第五讲：卡尔曼滤波
贝叶斯滤波(五)卡尔曼滤波算法推导
贝叶斯滤波(五)卡尔曼滤波算法推导贝叶斯滤波和卡尔曼滤波是两种常用的滤波算法，用于对系统状态进行估计和预测。
本文将从理论推导的角度，介绍贝叶斯滤波和卡尔曼滤波的基本原理和推导过程。
贝叶斯滤波是一种基于贝叶斯定理的滤波算法，通过将先验知识和观测数据相结合，对系统状态进行更新和预测。
贝叶斯滤波的基本思想是将系统状态表示为一个概率分布，并通过观测数据来更新这个概率分布。
贝叶斯滤波的核心是贝叶斯定理，即后验概率等于先验概率乘以似然函数除以归一化常数。
卡尔曼滤波是一种线性高斯滤波算法，用于对线性系统进行状态估计。
卡尔曼滤波的基本原理是通过对系统状态和观测数据的线性组合，得到对系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波分为两个步骤，即预测步骤和更新步骤。
在预测步骤中，通过系统模型和先验知识对系统状态进行预测；在更新步骤中，通过观测数据对系统状态进行修正。
下面我们将从贝叶斯滤波开始，推导出卡尔曼滤波的基本原理。
考虑一个连续时间的线性动态系统，其状态方程和观测方程可以表示为：状态方程：x(t) = A(t)x(t-1) + w(t)观测方程：z(t) = H(t)x(t) + v(t)其中，x(t)表示系统在时刻t的状态，z(t)表示在时刻t的观测数据，A(t)和H(t)分别表示状态转移矩阵和观测矩阵，w(t)和v(t)分别表示过程噪声和观测噪声。
为了简化推导过程，我们假设过程噪声和观测噪声都是高斯分布，并且相互独立。
即w(t)∼N(0,Q(t))，v(t)∼N(0,R(t))。
根据贝叶斯滤波的基本原理，我们需要求解后验概率分布P(x(t)|z(1:t))，即给定观测数据z(1:t)，求解系统状态x(t)的概率分布。
根据贝叶斯定理，后验概率可以表示为：P(x(t)|z(1:t)) = P(z(t)|x(t),z(1:t-1))P(x(t)|z(1:t-1)) / P(z(t)|z(1:t-1))其中，P(z(t)|x(t),z(1:t-1))表示给定状态x(t)和之前观测数据z(1:t-1)的条件下，观测数据z(t)的概率分布；P(x(t)|z(1:t-1))表示给定之前观测数据z(1:t-1)的条件下，状态x(t)的概率分布；P(z(t)|z(1:t-1))表示给定之前观测数据z(1:t-1)的条件下，观测数据z(t)的概率分布。
卡尔曼滤波原理
卡尔曼滤波原理
卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的递归滤波器。
它可以通过组合系统的测量值和模型的预测值来提供对状态的最优估计。
卡尔曼滤波器首先利用系统的数学模型预测下一个状态，并计算预测值与实际测量值之间的差异。
然后，通过加权这些差异，卡尔曼滤波器可以生成对当前状态的最佳估计。
卡尔曼滤波的核心原理是“最小均方误差”。
它假设系统状态和观测都是高斯分布，然后尝试寻找最小均方误差的估计值。
通过选择合适的权重，卡尔曼滤波器可以在预测值和测量值之间找到一个平衡，从而提供最佳的估计结果。
卡尔曼滤波器由两个主要步骤组成：预测和更新。
在预测步骤中，卡尔曼滤波器使用系统模型和先前的状态估计来预测下一个状态。
然后，在更新步骤中，卡尔曼滤波器将测量值与预测值进行比较，并使用加权平均法来更新状态估计。
通过周期性地重复这两个步骤，卡尔曼滤波器可以连续地提供对系统状态的估计。
卡尔曼滤波器在估计问题中广泛应用，特别是在传感器融合、航空航天和导航系统中。
它能够有效地处理噪声和不确定性，并在给定系统模型和测量信息的情况下提供最优的状态估计。
卡尔曼滤波器原理详解课件
VS
机器人避障
通过卡尔曼滤波器对机器人进行避障控制， 实现机器人在复杂环境中的安全导航。
06
卡尔曼滤词
详细描述
无迹卡尔曼滤波器
总结词 详细描述
自适应卡尔曼滤波器
缺点分析
假设限制
01
初值问题
02
计算复杂度
03
改进方向
扩展到非线性系统 优化算法 融合其他方法
05
卡尔曼滤波器的应用实例
无人机定位与控制
无人机定位
无人机控制
通过卡尔曼滤波器对无人机进行控制， 实现无人机的稳定飞行和精确控制。
航天器轨道确定
航天器轨道估计
航天器导航
机器人导航与避障
机器人路径规划
状态方程和观测方程
状态方程 观测方程
卡尔曼滤波器的递推算法
预测步骤
根据当前状态和输入预测下一个状态。
更新步骤
根据观测值和预测值更新状态估计。
递推算法
通过重复执行预测步骤和更新步骤，逐步更新状态估计。
卡尔曼滤波器的最优估计
最优估计
在给定观测数据和模型的情况下，使用某种准则（如最小方差）找到的最佳估计。
卡尔曼滤波器的基本原理
01
02
数学模型
递归估计
03 最优估计
02
卡尔曼滤波器的数学模型
线性动态系统
线性系统
如果系统的状态变量可以表示为输入和输出的 线性组合，则该系统是线性的。
动态系统
如果系统的状态随时间变化，则该系统是动态的。
线性动态系统
如果一个系统既是线性的又是动态的，则该系统被称为线性动态系统。
卡尔曼滤波的原理与应用pdf
卡尔曼滤波的原理与应用一、什么是卡尔曼滤波卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的算法，其基本原理是将过去的观测结果与当前的测量值相结合，通过加权求和的方式进行状态估计，从而提高对系统状态的准确性和稳定性。
二、卡尔曼滤波的原理卡尔曼滤波的原理可以简单概括为以下几个步骤：1.初始化：初始状态估计值和协方差矩阵。
2.预测：使用系统模型进行状态的预测，同时更新预测的状态协方差矩阵。
3.更新：根据测量值，计算卡尔曼增益，更新状态估计值和协方差矩阵。
三、卡尔曼滤波的应用卡尔曼滤波在很多领域都有广泛的应用，下面列举了几个常见的应用场景：•导航系统：卡尔曼滤波可以用于航空器、汽车等导航系统中，实时估计和优化位置和速度等状态参数，提高导航的准确性。
•目标追踪：如在无人机、机器人等应用中，利用卡尔曼滤波可以对目标进行状态估计和跟踪，提高目标追踪的鲁棒性和准确性。
•信号处理：在雷达信号处理、语音识别等领域，可以利用卡尔曼滤波对信号进行滤波和估计，去除噪声和提取有效信息。
•金融预测：卡尔曼滤波可以应用于金融市场上的时间序列数据分析和预测，用于股价预测、交易策略优化等方面。
四、卡尔曼滤波的优点•适用于线性和高斯性：卡尔曼滤波适用于满足线性和高斯假设的系统，对于线性和高斯噪声的系统，卡尔曼滤波表现出色。
•递归性：卡尔曼滤波具有递归性质，即当前状态的估计值只依赖于上一时刻的状态估计值和当前的测量值，不需要保存全部历史数据，节省存储空间和计算时间。
•最优性：卡尔曼滤波可以依据系统模型和观测误差的统计特性，以最小均方差为目标，进行最优状态估计。
五、卡尔曼滤波的局限性•对线性和高斯假设敏感：对于非线性和非高斯的系统，卡尔曼滤波的性能会受到限制，可能会产生不理想的估计结果。
•模型误差敏感：卡尔曼滤波依赖于精确的系统模型和观测误差统计特性，如果模型不准确或者观测误差偏差较大，会导致估计结果的不准确性。
•计算要求较高：卡尔曼滤波中需要对矩阵进行运算，计算量较大，对于实时性要求较高的应用可能不适合。
卡尔曼滤波PPT课件
• k＝1， (2) 0.5000H，(2) 0.500Sˆ(02)， 0.4762 Sˆ(1) 0.4048 X (2)
• k＝2， (3) 0.4048H，(3)
(4)
H (4)
• k＝3， (5) 0.3824H，(5)
• k＝4， (6) 0.3768H，(6)
0.404Sˆ(83) ， 0.4941Sˆ(2) 0.3824 X (3)
其中
，
尔曼滤波器的稳态
和
X(k) C(k)S(k) w(k)
S信(k号) 和A噪(k声)S统(k计独1立) 。w求1卡(k 1)
。
A 0.8 C 1
Q(k
)
2 w1
0.36
R(k) var(w(k)) 1
H(k) ε(k )
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（5）
ε(k )
ε(k) 0.64ε(k 1) 0.36 H(k) 0.64ε(k 1) 1.36
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初始条件为Sˆ(1) 0, (0) 1 ，k＝0开始
观测，利用等式（4），（5）进行递推得：
(0)
H (0)
Sˆ (0) X (0)
• k＝0， (1) 1.0000H，（1） 1.000Sˆ(01)， 0.4Sˆ(0) 0.5X (1)
ε(k令) H(K)C(k) ε(k) ε(k，)C(k) τ H(k) τ H(k)[C(k) ε(k)C(k) τ R(k)]H(k) τ
代入上C式(化k简)ε：(k)C(k) τ R(k) SSτ U ε(k)C(k) τ
ε(k ) ε(k) H(K)U τ (6-U68H) (k) τ H(k)SS τ H(k) τ
卡尔曼滤波方法资料课件
线性最小方差估计方法的优 点
适用于线性系统状态估计，计算量较小，易于实现。
线性最小方差估计方法的 缺点
对非线性系统效果不佳，需要先验知识或模 型参数。
04
卡尔曼滤波方法的实现 和应用案例
卡尔曼滤波方法的软件实现
软件平台
可以使用Python、C、Matlab等编程语言实现卡尔曼滤波算法。
卡尔曼滤波方法在控制系统中的应用案例
应用场景
卡尔曼滤波方法在控制系统中主要用于估计系统的状态变量。
案例分析
通过实际控制系统的数据和实验，验证卡尔曼滤波方法在控制系统中的可行性和稳定性。
卡尔曼滤波方法在雷达系统中的应用案例
应用场景
卡尔曼滤波方法在雷达系统中主要用于 目标跟踪和运动参数估计。
VS
案例分析
卡尔曼滤波方法的基本概念和原理
基本概念
卡尔曼滤波方法是一种递归估计方法，通过建立状态方程和观测方程，对系统状态进行最优估计。
原理
卡尔曼滤波方法基于最小均方误差准则，通过不断更新估计值来逼近真实值，具有计算量小、实时性 强的优点。
卡尔曼滤波方法的应用领域
机器人
用于机器人的定位、路径规划、 避障等。
描述系统状态和观测之间的关系。
定义初始状态和误差协方差
02
确定系统初始状态和误差协方差的估计值，为后续的滤波过程
提供初始条件。
选择合适的模型参数
03
根据实际情况选择合适的模型参数，如系统动态参数、观测参
数等，以更好地描述系统特性。
预测步骤
01
根据上一时刻的状态和误差协方 差，预测当前时刻的系统状态和 误差协方差。
卡尔曼滤波.ppt
头脸识别 图像分割 图像边缘检测
Temperature Problem - Ideal World
假设当前室内温度仅跟上一时刻有 关 温度计观测（摄氏－〉华氏） 根据连续的观测值来推算实际温度 变化
Temperature Problem - Real World
假设当前室内温度仅跟上一时刻有 关
为
先验误差和后验误差odel - Algorithm
递推公式
如果没有误差，可以认为 则包含全部误差的信息，称为新息 (innovation) K为修正矩阵，或称混合因子 (Blend factor)
Blend factor Matrix
修正矩阵的形式有多种，其中一种为：
R->0 => K = 1/H
Discrete KF
Flow Chart
任意给定初值均可，但P!=0
Experiment
目标：
用KF估计一个常数（电压）
约束：
数据本身有误差（电压不稳）
观测有误差（电压表不准）
Analysis – Matrix Assignment
通过一种算法排除可能的随机干扰提高检测精度的一种手段线性系统?线性系统fabfafb?数学方法处理?噪声信号输入尽可能少噪声输出usefor?机器人导航控制?传感器数据融合?雷达系统以及导弹追踪?计算机图像处理?头脸识别?图像分割?图像边缘检测temperatureproblemidealworld?假设当前室内温度仅跟上一时刻有关?温度计观测摄氏华氏?根据连续的观测值来推算实际温度变化temperatureproblemrealworld?假设当前室内温度仅跟上一时刻有关?但变化中可能有噪声温度计观测摄氏?温度计观测摄氏华氏华氏?读数会有误差?两种噪声相互无关?根据连续的观测值来推算实际温度变化kalmanfilteringfirstsight?kf是根据上一状态的估计值和当前状态的观测值推出当前状态的估计值的滤波方法?stfst1ot?它是用状态方程和递推方法进行估计的因而卡尔曼滤波对信号的平稳性和时不变性不做要求?维纳滤波
卡尔曼滤波方法PPT课件
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联邦滤波器算法
• 信息分配
在进入下一次递推之前，需将主滤波器中的信息 （状态、方差）在各子滤波器中按如下规则进行分配：
N
Xˆ i Xˆ g ,
Pii
P 1
ig
,
Q1
Qi1 Qm1
i 1
其中，Qi m1Q , i , i 1,, N, m 为信息分配系数，m 为
主滤波器的信息分配系数，满足守恒原则
方差估值 Pk k [I Kk Hk ]Pk k1
6
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3.5 卡尔曼滤波的结构图
上述递推公式，称为卡尔曼滤波器。实际上，卡尔曼 滤波器也是一个系统，其结构框图如下：
Zk + -
+
Kk
+
Z k|k 1
当前估计值
Xˆ k
延时 一步
Hk
k ,k 1
一步预测
上一步估计值
Xˆ k|k 1
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感谢您的观看！
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Yi f ( i )
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Unscented卡尔曼滤波(续) 变换样本点Yi 即可近似表示 y 的分布。下面利用 Yi 来计算 y 的均值和方差。
3. 计算 y 的均值和方差
p
y Wi(m)Yi
i0
p
Py Wi(c) (Yi y)(Yi y)T i0
其中，
Wi(m)
Wi(c)
得预测测量估计偏差： Z~k|k1 Zk Zˆk|k1 Zk Hk Xˆ k|k1
利用此偏差修正预测估计：
Xˆ k|k Xˆ k k1 Kk [Zk Hk Xˆ k k1]
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平滑算法
7
目录
概述 标准 KF 扩展 KF Schmidt KF 自适应 KF 平滑算法
状态向量（状态） ✓ 是一组描述系统的参数。 ✓ 可以是常量，也可是时变量，是估计对象。 ✓ 与之相关联的是误差协方差矩阵，描述了状态估计的不确定度
及估计误差间的相关度。
8
1.4 卡尔曼滤波的要素
目录
4个要素：2个模型、1组观测量、1个算法
Kk
Pk/k
1
H
T k
(
H
k
Pk
/
k
1H
T k
Rk) 1
Pk/k- 1 =
k
,k-
1Pk-
T
1 k,k-
1
+
Gk- 1Qk- 1GTk- 1
Pk
(I K k H k )Pk/k 1 (I K k H k )T
K
k
R
k
K
T k
或 Pk (I K k Hk )Pk/k 1
16
目录
概述 标准 KF 扩展 KF Schmidt KF 自适应 KF 平滑算法
概述 标准 KF 扩展 KF Schmidt KF 自适应 KF 平滑算法
2个模型
系统模型
也称过程模型或者时间传递模型，描述了状态与误差协方差矩阵随 时间的变化特性。
对于选定状态量，系统模型是确定的。
观测模型
描述了观测向量与状态向量间的函数关系。
9
目录 概述
标准 KF 扩展 KF Schmidt KF 自适应 KF
15
目 录 2. 离散卡尔曼滤波方程
概述 标准 KF
状态一步预测方程 状态估值计算方程
滤波增益方程
扩展 KF
一步预测均方差方程
Schmidt KF
自适应 KF 估计均方差方程
平滑算法
Xˆ k/k- 1 = k,k- 1Xˆ k- 1 Xˆ k Xˆ k /k 1 K k (Zk
H k Xˆ k /k 1 )
13
目 录 要求{Wk}和{Vk}是互不相关的、零均值白噪声序列：
概述 标准 KF
E Wk WjT E Vk VjT
Qk kj R k kj
扩展 KF Qk和Rk分别称为系统噪声和量测噪声的方差矩阵，分别 Schmidt KF 是已知值的非负定阵和正定阵；
自适应 KF 平滑算法
δk j 是Kronecker δ函数，即：
• 概述 标准 KF 扩展 KF Schmidt KF 自适应 KF 平滑算法
Born 1930 in Hungary BS and MS from MIT PhD 1957 from Columbia Filter developed in 1960-61
Kalman R E. A new approach to linear filtering and prediction problems [J]. Journal of Fluids Engineering, 1960, 82(1): 35-45. （引用：18083）
目 录 1. 离散系统的数学描述
设离散化后的系统状态方程和量测方程分别为：
概述 标准 KF 扩展 KF
Xk
X k,k 1 k 1
k 1Wk 1
Zk Hk Xk Vk
Schmidt KF
自适应 KF 平滑算法
Xk为k时k-1刻到的k时n维刻状的态Γ系Wk向-统1k为-量1一为系步k统-1状时噪态刻声的矩系阵统噪声 Zk为（k被H时转k估刻为移计的k矩时量mV阵刻k维）为（系量kn时统测×（刻量向nn阶×m测量维）r矩阶（量阵）r维测）噪声 （m×n阶）
• 概述 • 经典KF • EKF • LKF
惯性导航系统（INS）的精对准和标定 单一导航（GNSS, 无线电、水声学、匹配） 组合导航
✓ INS/GNSS组合导航及多传感器组合导航 ✓ INS/水声组合导航 ✓ INS/匹配导航
…
11
二、Kalman滤波
2020/4/10
12
2.1 卡尔曼滤波方程1组测向量是一组针对同一时刻的系统特性的测量值，例如观测量可以包括 GNSS系统的位置测量值，或者INS与GNSS位置结果的差值。
1个算法：
卡尔曼滤波算法 使用观测向量、观测模型和系统模型来获得状态向量的最优估计， 分为系统传递和测量更新两个部分。
平滑算法
10
目 录 1.5 卡尔曼滤波的导航应用
最小方差估计
线性最小方差估计
递推线性最小 方差估计
自适应 KF 平滑算法
卡尔曼滤波是一种贝叶斯估计
6
目录
1.3 卡尔曼滤波的要素和流程
实际系统
概述 标准 KF
系统模型
观测模型
观测向量及 其协方差
状态向量及 其协方差
扩展 KF Schmidt KF
卡尔曼滤波算法
自适应 KF （实线表示数据流一直有，虚线表示只在某些应用中有，Ref：Paul Groves）
自适应 KF
平滑算法
5
目录
• 概述 标准 KF 扩展 KF Schmidt KF
Kalman滤波是一种递推线性最小方差估计
在提供的初始估计基础上，卡尔曼滤波通过递归运算，用先验值和 最新观测数据的加权平均来更新状态估计（老息+新息）。
非递归算法（如标准最小二乘）中没有先验估计，估计结果由全部 观测数据计算而来（新息） 。
时间更新 方程
量测修正 方程
Xˆ k /k 1 k,k 1Xˆ k 1
卡尔曼滤波算法及应用
目录
一. 概述 二. 标准卡尔曼滤波
卡尔曼滤波方程 闭环卡尔曼滤波 卡尔曼滤波特性及实现中的问题
三. 扩展卡尔曼滤波
非线性系统 线性化卡尔曼滤波 扩展卡尔曼滤波
四. Schmidt 卡尔曼滤波 五. 自适应卡尔曼滤波 六. 平滑算法
2
一、概述
2020/4/10
3
目 录 1.1 Rudolf Emil Kalman
0 (k j) kj 1 (k j)
14
目录
概述 标准 KF 扩展 KF Schmidt KF 自适应 KF 平滑算法
初始状态的一、二阶统计特性为：
E X0 mx0
Var X0 Cx0
Var{·} 为对{·}求方差的符号
卡尔曼滤波要求mx0和Cx0为已知量，
且要求X0与{Wk}和{Vk}都不相关
4
1.2 概述
目录
• 概述 标准 KF
Kalman滤波是一种最优估计算法，而非滤波器
✓ 能够实时估计系统中的参数（如连续变化的位置、速度等信息）。 ✓ 估计量通过一系列受噪声污染的观测量来更新， ✓ 观测量必须是待估参数的函数，但是在给定的时刻，不要求观测量
能够唯一确定当时的参数值。
扩展 KF
Schmidt KF