桂电《随机信号分析基础》 总复习提纲_18214
随机信号分析 第一章随机信号基础2
y
o
(x,y)
x
利用分布函数，对任意实数 x1 x 2 , y1 y2 则
P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 )
y o
( x1, y2 ) ( x1, y1)
F ( x ) f ( t )dt
x
F(x)
=
0
x0
0 x 1
x
tdt tdt
0 1
x
0
1
(2 t )dt
1 x 2
x2
1
即
x0 0, x2 , 0 x 1 2 F ( x) x2 2x 1 , 1 x 2 2 1, x2
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点 讨论二维随机变量 .
二维随机变量用（X，Y）表示下面着重讨论二维 r.v(X，Y),多维随机变量可类推。
二维随机变量（X,Y） X和Y的联合分布函数
一维随机变量X X的分布函数
F ( x ) P( X x )
F ( x , y) P ( X x , Y y) x, y
4．F ( x , y ) F ( x 0 , y ), F ( x , y ) F ( x , y 0 );
即F(x,y)对每个自变量都是右连续的。
5．对任意实数 x1 x2 , y1 y2
，有
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 ) 0.
《随机信号分析》复习课(第一章-第四章)
F (x, y) P{X x,Y y}
y
(x, y)
x
0
1.4 多维随机变量及分布
f (x, y) 2F (x, y) xy
f (x, y) 0
xy
F(x, y)
f (x, y)dxdy
f (x, y)dxdy 1
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
J
dx dy
对于任意单调函数 g(x) ：fY ( y) f X (x) J xg1( y)
如果 g(x) 不是单调函数：
fY ( y) f X (x1) J1 f X (xn ) J n
其中 x1 h1 ( y) … xn hn ( y) , Jk dxk / dy
1.6 随机变量的函数
《随机信号分析》复习课（第一章-第四章）
重点内容
绪论 随机变量基础 重点：随机变量的函数
第二章 随机过程的基本概念 重点: 平稳随机过程的概念，随机过程的功率谱密度 ，高斯过程
第三章 随机过程的线性变换 重点：随机过程线性变换的冲激响应法和频谱法， 白噪声通过线性系统，随机过程线性变换后的概率 分布
x2 f (x)dx
x1
1.3 随机变量的分布函数与概率密度
f (x)
1
2
exp
(x )2 2 2
X ~ N(, 2)
x
FX (x)
1 2
exp
(
x ) 22
2
dx
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-4 -3 -2 -1
第2章-确知信号与随机信号分析基础
f
(t)
n
Fn e
jn 0 t
Fn
n
Fn
1 T0
T0 / 2
f
T0 / 2
(t )e jn0t dt
0 f0 2 f0 3 f0 4 f0
f
2020/12/19
4
二、非周期信号的付氏变换形式
(1)
f (t)
F( j)
1
F( j)ejtd
2
f (t)ejtdt
(逆变换) (正变换)
(2) f (t) F( j)
付里叶变换对
注意：非周期信号的频谱F(ω)是连续谱，周 期信号的频谱Fn是离散谱，这个特征要记住
2020/12/19
5
三、常用信号的频谱
1. 单位冲激函(数 t)
E(t) E 或 (t) 1
物理意义 :变化快的信号如很脉窄冲的等 ,可近似用
数学模型(t)来表示 ,上式说明这类随时化间很变快
1
F ( ) 2 d
1
G ( )d
2
2
2
功率谱密度 P( )(或 P( j ))定义为单位频率上信号 的功率 ,
即S
Fn
n
2
1
2
P( )d
注意 ,由于周期信号的谱线 Fn为离散谱 , 而周期信号为功率
信号 , 在这种情况下 , 就只能用功率 , 而不能用能量 (因为此
时能量为无穷大 ). 因此 , 上面第二个式子中就只 能用功率
f
(t)
Fnejn0t
n
,式中 0
2
T0
,T0为周,期 则
S 1
T 2020/12/19 0
T0 T0
桂林电子科技大学随机信号基础复习题
简答题1．简述两个随机变量X 和Y 之间分别满足独立、不相关、正交关系的条件，以及这三种关系之间的联系。
答：独立：)()(),(y F x F y x F Y X XY ⋅=，或)()(),(y f x f y x f Y X XY ⋅=； 不相关：0=XY r 或0),cov(=Y X ； 正交：0][=XY E .若X 和Y 独立则一定不相关，若X 和Y 不相关则不一定独立； 若X 或Y 的数学期望为0，则不相关与正交等价。
2. 写出函数),(t e X 在①e 确定t 为变量、②t 确定e 为变量、③e 和t 都确定、④e 和t 都是变量四种情况下所代表的意义。
其中S e ∈，S 为样本空间，t 为时间参数。
答：①样本函数；②随机变量；③常数；④随机过程。
3．简述宽平稳随机过程与遍历性过程的关系。
答：平稳过程同时满足以下条件才为遍历性过程 ①均值具有遍历性②相关函数具有遍历性。
所以遍历过程一定是平稳过程，平稳过程不一定是遍历过程。
4.白噪声的功率谱密度和自相关函数各有何特点？一般白噪声在任意两个不同时刻有何种关系？正态白噪声在任意两个不同时刻有何种关系？答：白噪声的功率谱密度是常数，自相关函数是一个在0处的冲激函数。
一般白噪声在任意两个不同时刻不相关，正态白噪声在任意两个不同时刻独立。
5.若随机过程)(t X 是平稳过程，则其功率谱密度)(ωX G 与自相关函数)(τX R 有何关系？请写出关系式。
答：)(ωX G 是)(τX R 的傅立叶变换，ττωωτd e R G j X X -∞∞-⎰=)()(，或ωωπτωτd e G R j X X ⎰∞∞-=)(21)(.6.设线性系统的冲激响应为h(t)，输入随机过程为X(t)，系统输出为Y(t)，各自的自相关函数分别为RX(t1,t2)和RY(t1,t2)。
说明二者之间的关系。
答：)()(),(),(212121t h t h t t R t t R X Y **=.7.写出希尔伯特变换的时域形式)(t h 和频域形式)(ωH 。
第2章 随机信号分析复习
F jF sgn F H
那么传输函数为 H j sgn e 即：
j / 2U
H e
j
/ 2 0 / 2 U /2 0
希尔伯特滤波器幅度-频率和相位-频率特性
2018/10/9 29
希尔伯特变换特例
ˆ (t ) sin t f (t ) cos t , f ˆ (t ) cos t f (t ) sin t , f
若m(t ) M ( )为截至频率为 f 的低通信号，
H 1
希尔伯特变换的物理意义是将信号f(t)的所频率 成分都相移90o，而幅度保持不变。具有这种特 性的网络称之为希尔伯特滤波器。
2018/10/9 28
即：
/ 2 0 / 2 U /2 0
H 1
本章内容
1 2
确知信号的分析 卷积与相关
3
4 5
希尔伯特变换
确定信号通过线性系统的传输 随机信号通过线性系统的传输
1
2018/10/9
信号和系统分类
一、信号的分类：
确知信号 随机信号 周期信号 非周期信号
二、系统分类
线性系统 非线性系统 时不变系统 时变系统
2018/10/9
2
信号的频谱分析
1、傅里叶级数
通常记做 f (t ) F
2018/10/9 7
特例：冲激函数δ (t)
F (t ) (t )e jt dt e j 0 1
《随机信号分析》总复习1
2020/10/24
34
2.4.2 互相关函数及其性质
联合平稳随机过程互相关函数性质
（3）若X(t)和Y(t)是联合平稳的，则 Z(t)=X(t)+Y(t) 也是平稳的，且
举例：两个均值和方差大致相同的随机过程 ，相关性差异很大
2.2.2 随机过程的数字特征
协方差函数
也是相关性的描述 K X (t1,t2 ) E{[ X (t1) mX (t1)][X (t2 ) mX (t2 )]} 如果 K X (t1,t2 ) 0 ，则称 X (t1) 和 X (t2 )不相关。
x1...xN y1yM
如果
f XY (x1,..., xN , t1,..., tN , y1,..., yM , t'1 ,..., t'M ) f X (x1,..., xN , t1,..., tN ) fY ( y1,..., yM , t'1 ,..., t'M )
则称X(t) 和Y(t) 是相互独立的
y g(x)
Y g(X)
1.6 随机变量的函数
一维随机变量函数的分布
若 g(x) 为单调连续上升函数，x g 1( y)
FY ( y)=P{Y y} P{g( X ) y}=P{X g 1( y)} FX (g 1( y))
求导，得
fY
( y)
fX
(x)
dx dy
，雅可（Jacco）比
n)
2020/10/24
20
2.2.1 随机过程的概率分布
二维概率分布：
X (t1)及 X (t2 )为同一随机过程上的随机变量
FX (x1, x2 , t1, t2 ) P{X (t1) x1, X (t2 ) x2}
随机信号分析期末总复习提纲重点知识点
第 一 章1.1不考 条件部分不考△雅柯比变换 （随机变量函数的变换 P34） △随机变量之间的“不相关、正交、独立” P51 （各自定义、相关系数定义相互关系：两个随机变量相互独立必定互不相关，反之不一定成立 正交与不相关、独立没有明显关系 结合高斯情况）△随机变量的特征函数及基本性质 （一维的 P53 n 维的 P58）△ 多维高斯随机变量的概率密度和特征函数的矩阵形式、三点性质 P61()()()()()()()221()211222211,,exp 22exp ,,exp 22T Tx m X XXX X n n XT T jU X X X X X n X M X M f x f x x U U u Q u j m Q u u E ejM U σπσμ---⎡⎤--⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦C C C u u r u u ru u r u u r u u r u u r L u r u ru u r u r L另外一些性质： []()20XY XY X YX C R m m D X E X m ⎡⎤=-=-≥⎣⎦第二章 随机过程的时域分析1、随机过程的定义从三个方面来理解①随机过程(),X t ζ是,t ζ两个变量的函数②(),X t ζ是随时间t 变化的随机变量③(),X t ζ可看成无穷多维随机矢量在0,t n ∆→→∞的推广 2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？3、随机过程的概率密度P74、特征函数P81。
（连续、离散）一维概率密度、一维特征函数 二元函数4、随机过程的期望、方差、自相关函数。
（连续、离散）5、严平稳、宽平稳的定义 P836、平稳随机过程自相关函数的性质：0点值，偶函数，周期函数（周期分量），均值 7、自相关系数、相关时间的定义 P88222()()()()()(0)()X X XX X X X X XXC R m R R R R τττρτσσ--∞==-∞=非周期相关时间用此定义（00()d τρττ∞=⎰）8、两个随机过程之间的“正交”、“不相关”、“独立”。
随机信号分析复习
p X ( x1 , x 2 ,..., x n ; t1 , t 2 ,..., t n ) ∂ FX ( x1 , x 2 ,..., x n ; t1 , t 2 ,..., t n ) = ∂x1∂x 2 ...∂x n
2
显然， 取得愈大 随机过程的n维分布律描述随机 取得愈大， 显然，n取得愈大，随机过程的 维分布律描述随机 过程的特性也愈趋完善。 过程的特性也愈趋完善。
随机过程X(t)在四种不同情况下的意义： 随机过程X(t)在四种不同情况下的意义： X(t)在四种不同情况下的意义
(1)当t, ξ 都是可变量时，是一个时间函数族； 当 都是可变量时，是一个时间函数族； (2)当t是可变量，ξ固定时，是一个确定的时 当 是可变量 是可变量， 固定时， 间函数； 间函数； (3)当t固定，ξ是可变量时，是一个随机变量 (3)当t固定 固定， 是可变量时， (4)当t固定，ξ固定时，是一个确定值。 固定， 固定时，是一个确定值。
.2随机过程的统计特性 § 2.2随机过程的统计特性
一、 随机过程的概率分布 随机过程实际是依赖于时间t 一族随机变量， 随机过程实际是依赖于时间 t 的 一族随机变量 ， 因此， 因此，可以用多维随机变量的理论来描述随机过程 的统计特性。 的统计特性。 1. 一维概率分布 对于任意的时刻t， 是一个随机变量， 对于任意的时刻 ，X(t)是一个随机变量，它的 是一个随机变量 一维分布函数定义为： 一维分布函数定义为：
p X ,Y ( x1 ,..., xn , y1 ,..., ym ; t1 ,...,t n , t ,...,t ) = ∂
n+m
' 1
' m
FX ,Y ( x1 ,..., xn , y1 ,..., ym ; t1 ,...t n , t ,...t ) ∂x1...∂xn ∂y1...∂ym
《随机信号分析基础》总复习题纲
概率论基础1.概率空间、概率（条件概率、全概率公式、贝叶斯公式）2．随机变量的定义（一维、二维实随机变量）3.随机变量的描述：⑴统计特性一维、二维概率密度函数、一维二维概率分布函数、边缘分布概率分布函数、概率密度函数的关系⑵数字特征一维数字特征：期望、方差、均方值（定义、物理含义、期望和方差的性质、三者之间的关系）二维数字特征：相关值、协方差、相关系数（定义、相互关系）⑶互不相关、统计独立、正交的定义及其相互关系△雅柯比变换（随机变量函数的变换一维随机变量函数的单值和双值变换、二维随机变量函数的单值变换）5、高斯随机变量一维和二维概率密度函数表达式高斯随机变量的性质△随机变量的特征函数及基本性质、随机信号的时域分析1、随机信号的定义从三个方面来理解①随机过程X(t,ζ)是t,ζ两个变量的函数②X(t,ζ)是随时间t变化的随机变量③X(t,ζ)可看成无穷多维随机矢量在∆t→0,n→∞的推广2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？3、随机信号的统计特性分析：概率密度函数和概率分布函数（一维、二维要求掌握）4、随机信号的数字特征分析（定义、物理含义、相互关系）一维：期望函数、方差函数、均方值函数。
（相互关系）二维：自相关函数、自协方差函数、互相关函数、互协方差函数（相互关系）5、严平稳、宽平稳定义、二者关系、判断宽平稳的条件、平稳的意义、联合平稳定义及判定6、平稳随机信号自相关函数的性质：0点值，偶函数，均值，相关值，方差7、两个随机信号之间的“正交”、“不相关”、“独立”。
（定义、相互关系）8、高斯随机信号定义（掌握一维和二维）、高斯随机信号的性质9、各态历经性定义、意义、判定条件（时间平均算子、统计平均算子）、平稳性与各态历经性的关系直流分量、直流平均功率、总平均功率、交流平均功率随机信号的频域分析1、随机信号是功率信号，不存在傅里叶变换，在频域只研究其功率谱。
《随机信号分析基础》课件
频域分析方法
傅里叶变换
傅里叶变换将信号从时域转换为频域，显示信号在 不同频率上的能量分布。
功率谱密度估计
通过对信号进行功率谱密度估计，可以分析信号在 不同频率上的能量分随机信号
图像处理中的随机信号
随机信号在通信系统中有着重要 的应用，如随机噪声与调制信号。
随机信号在图像处理中被用于增 强图片细节、降低噪声等方面。
为什么学习信号与系统？
信号与系统是电气工程的基础，它涉及到广泛 的应用领域，如通信、控制、图像处理等。
随机过程概述
什么是随机过程？
随机过程是一类随机变量的集 合，它在不同时间点上产生随 机数值，描述了具有随机性的 系统或现象。
随机过程的特点
随机过程具有不可预测性、不 确定性和非平稳性等特点，需 要进行概率统计的建模与分析。
自然界中的随机信号
自然界中的一些现象，如气象数 据和地震信号等，可以用随机信 号进行建模与分析。
分布情况，用于频域分析与滤波设计。
时域分析方法
1 傅里叶级数展开
傅里叶级数展开是一种将 周期信号分解为多个正弦 函数或余弦函数的方法。
2 自相关函数计算
通过计算信号的自相关函 数，可以分析信号在不同 时刻上的相关性。
3 时域滤波
时域滤波是指对信号的幅 度或相位进行调整以实现 信号的变换或去除杂散分 量。
《随机信号分析基础》 PPT课件
本课件将介绍《随机信号分析基础》的主要内容，包括信号与系统简介、随 机过程概述、随机信号定义与分类、常见随机信号的特性分析、时域分析方 法、频域分析方法以及应用示例。
信号与系统简介
什么是信号与系统？
信号与系统研究的是电气工程中信号的产生、 传输与处理，以及系统对信号的描述与分析。
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第五章 随机信号通过线性系统的分析
1、线性系统的基本理论 稳定的物理可实现系统 2、 h( )d
0
RY ( ) RX ( ) h( ) h( )
PY RY (0)
RXY ( ) RX ( ) h( ) RYX ( ) RX ( ) h( )
P R e j d XY XY ⑵两个联合平稳的实随机过程， 1 RXY PXY e j d 2
要熟记常见信号的傅里叶变换和傅里叶变换性质，并且熟练应用。 求随机信号总平均功率的两种方法。 （时域和频域） 4、白噪声 定义、数字特征、不相关特性、带宽、功率 什么是加性高斯白噪声 5、带限白噪声 低通和带通带限白噪声 （定义、数字特征、相关特性、功率谱密度、带宽、功率）
第 一 章 概率论基础
1.概率空间、概率（条件概率、全概率公式、贝叶斯公式） 2．随机变量的定义（一维、二维实随机变量） 3.随机变量的描述： ⑴统计特性 一维、二维概率密度函数、一维二维概率分布函数 概率分布函数、概率密度函数的关系 ⑵数字特征 一维数字特征：期望、方差、均方值（定义、物理含义、期望和方差的性质、三者之间 的关系）
⑶互不相关、统计独立、正交的定义及其相互关系 4.随机变量函数的分布 △雅柯比变换 5、高斯随机变量 一维概率密度函数表达式 高斯随机变量的性质 （随机变量函数的变换 一维随机变量函数的单值和双值变换）
第二、三章 随机信号的时域分析
1、随机信号的定义 从三个方面来理解①随机信号 X t , 是 t , 两个变量的函数② X t , 是随时间 t 变化 的随机变量③ X t , 可看成无穷多维随机矢量在 t 0, n 的推广 2、什么是随机信号的样本函数？什么是随机信号的状态？随机过程与随机信号、样本 函数之间的关系？ 3、随机信号的统计特性分析：概率密度函数和概率分布函数（一维、二维要求掌握） 4、随机信号的数字特征分析（定义、物理含义、相互关系） 一维：期望函数、方差函数、均方值函数。 （相互关系） 二维：自相关函数、自协方差函数、互相关函数、互协方差函数（相互关系） 重点掌握自相关函数的意义。 定义、二者关系、判断宽平稳的条件、平稳的意义、联合平稳定义及判定 6、平稳随机信号自相关函数的性质： 0 点值，偶函数，均值，相关值，方差 7、两个随机信号之间的“正交”、“不相关”、“独立”。 （定义、相互关系。类似于两个随机变量之间的关系！ ！ ） 8、高斯随机信号 定义（掌握一维和二维） 、高斯随机信号的性质 9、各态历经性 定义、意义、判定条件（时间平均算子、统计平均算子） 、平稳性与各态历经性的关系 直流分量、直流平均功率、总平均功率、交流平均功率
2 2 2 2 2 D X E X E X （ X X mX ）
二维数字特征：相关值、协方差、相关系数（定义、相互关系）
cov X , Y E XY E X E Y （ C XY RXY mX mY ）
第四章 随机信号的频域分析
1、随机信号是功率信号，不存在频谱，即不能对随机信号本身做傅里叶变换，在频域 只研究其功率谱。 功率谱密度的含义，与总平均功率的关系 2、一般随机信号功率谱计算公式与方法
PX lim
1 2 E X T T 2T
3、平稳随机信号的攻略密密度计算方法 维纳—辛钦定理 ⑴平稳随机信号, PX R X ( )
输入平稳、高斯、各态历经，输出也是平稳、高各态历经，且输入输出联合平稳。 频域分析
mY mX H (0)
H (0) h d
0 2
PY ( ) PX ( ) H ( ) PX ( ) H ( ) H ( ) PXY ( ) H ( ) PX ( ) PYX ( ) H ( ) PX ( ) 1 1 PY PY ( )d 2 2
考试题型及分值分布
一、 选择填空题（共 20 分，每空 2 分，10 个） 二、 简答题（共 30 分，每个 6 分，5 个） 三、 计算题（共 50 分，每个 10 分，5 个）
考试时间地点： 第 9 周星期六（5 月 9 日）晚上 19:00—21:00；地点：17309,17311
3、 白噪声通过线性系统 线性系统的结论：双侧随机信号
H ( )
2
PX ( )d
X (t ) 输入物理可实现系统
若输入 X (t ) 是宽平稳的，则系统输出 Y (t ) 也是宽平稳的，且输入与输出联合平稳 若输入 X (t ) 是严平稳的，则输出 Y (t ) 也是严平稳的。 若输入 X (t ) 是宽各态历经的，则输出 Y (t ) 也是宽各态历经的 若线性系统输入为高斯过程，则输出为高斯分布 若系统输入信号的等效噪声带宽远大于系统的带宽，则输出接近于高斯分布 （输入白噪声的情况）
第六章
1、什么是窄带随机信号？
窄带随机信号
2、窄带随机信号的表达式如何表示？（包络相位表达式、正交分解表达式） 3、窄带随机信号的包络、相位、同相分量、正交分量之间的关系 4、零均值平稳高斯随机信号的同相分量、正交分量的统计特性 5、零均值平稳高斯随机信号的包络、相位的一维分布 6、 随相正弦波加窄带高斯噪声合成信号的包络和相位的一维分布。 （信噪比大小的讨论） 7、高斯分布、瑞利分布和莱斯分布的联系和区别。