桂电《随机信号分析基础》 总复习提纲_18214
随机信号分析 第一章随机信号基础2
y
o
(x,y)
x
利用分布函数，对任意实数 x1 x 2 , y1 y2 则
P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 )
y o
( x1, y2 ) ( x1, y1)
F ( x ) f ( t )dt
x
F(x)
=
0
x0
0 x 1
x
tdt tdt
0 1
x
0
1
(2 t )dt
1 x 2
x2
1
即
x0 0, x2 , 0 x 1 2 F ( x) x2 2x 1 , 1 x 2 2 1, x2
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点 讨论二维随机变量 .
二维随机变量用（X，Y）表示下面着重讨论二维 r.v(X，Y),多维随机变量可类推。
二维随机变量（X,Y） X和Y的联合分布函数
一维随机变量X X的分布函数
F ( x ) P( X x )
F ( x , y) P ( X x , Y y) x, y
4．F ( x , y ) F ( x 0 , y ), F ( x , y ) F ( x , y 0 );
即F(x,y)对每个自变量都是右连续的。
5．对任意实数 x1 x2 , y1 y2
，有
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 ) 0.
《随机信号分析》复习课(第一章-第四章)
F (x, y) P{X x,Y y}
y
(x, y)
x
0
1.4 多维随机变量及分布
f (x, y) 2F (x, y) xy
f (x, y) 0
xy
F(x, y)
f (x, y)dxdy
f (x, y)dxdy 1
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
J
dx dy
对于任意单调函数 g(x) ：fY ( y) f X (x) J xg1( y)
如果 g(x) 不是单调函数：
fY ( y) f X (x1) J1 f X (xn ) J n
其中 x1 h1 ( y) … xn hn ( y) , Jk dxk / dy
1.6 随机变量的函数
《随机信号分析》复习课（第一章-第四章）
重点内容
绪论 随机变量基础 重点：随机变量的函数
第二章 随机过程的基本概念 重点: 平稳随机过程的概念，随机过程的功率谱密度 ，高斯过程
第三章 随机过程的线性变换 重点：随机过程线性变换的冲激响应法和频谱法， 白噪声通过线性系统，随机过程线性变换后的概率 分布
x2 f (x)dx
x1
1.3 随机变量的分布函数与概率密度
f (x)
1
2
exp
(x )2 2 2
X ~ N(, 2)
x
FX (x)
1 2
exp
(
x ) 22
2
dx
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-4 -3 -2 -1
第2章-确知信号与随机信号分析基础
f
(t)
n
Fn e
jn 0 t
Fn
n
Fn
1 T0
T0 / 2
f
T0 / 2
(t )e jn0t dt
0 f0 2 f0 3 f0 4 f0
f
2020/12/19
4
二、非周期信号的付氏变换形式
(1)
f (t)
F( j)
1
F( j)ejtd
2
f (t)ejtdt
(逆变换) (正变换)
(2) f (t) F( j)
付里叶变换对
注意：非周期信号的频谱F(ω)是连续谱，周 期信号的频谱Fn是离散谱，这个特征要记住
2020/12/19
5
三、常用信号的频谱
1. 单位冲激函(数 t)
E(t) E 或 (t) 1
物理意义 :变化快的信号如很脉窄冲的等 ,可近似用
数学模型(t)来表示 ,上式说明这类随时化间很变快
1
F ( ) 2 d
1
G ( )d
2
2
2
功率谱密度 P( )(或 P( j ))定义为单位频率上信号 的功率 ,
即S
Fn
n
2
1
2
P( )d
注意 ,由于周期信号的谱线 Fn为离散谱 , 而周期信号为功率
信号 , 在这种情况下 , 就只能用功率 , 而不能用能量 (因为此
时能量为无穷大 ). 因此 , 上面第二个式子中就只 能用功率
f
(t)
Fnejn0t
n
,式中 0
2
T0
,T0为周,期 则
S 1
T 2020/12/19 0
T0 T0
桂林电子科技大学随机信号基础复习题
简答题1．简述两个随机变量X 和Y 之间分别满足独立、不相关、正交关系的条件，以及这三种关系之间的联系。
答：独立：)()(),(y F x F y x F Y X XY ⋅=，或)()(),(y f x f y x f Y X XY ⋅=； 不相关：0=XY r 或0),cov(=Y X ； 正交：0][=XY E .若X 和Y 独立则一定不相关，若X 和Y 不相关则不一定独立； 若X 或Y 的数学期望为0，则不相关与正交等价。
2. 写出函数),(t e X 在①e 确定t 为变量、②t 确定e 为变量、③e 和t 都确定、④e 和t 都是变量四种情况下所代表的意义。
其中S e ∈，S 为样本空间，t 为时间参数。
答：①样本函数；②随机变量；③常数；④随机过程。
3．简述宽平稳随机过程与遍历性过程的关系。
答：平稳过程同时满足以下条件才为遍历性过程 ①均值具有遍历性②相关函数具有遍历性。
所以遍历过程一定是平稳过程，平稳过程不一定是遍历过程。
4.白噪声的功率谱密度和自相关函数各有何特点？一般白噪声在任意两个不同时刻有何种关系？正态白噪声在任意两个不同时刻有何种关系？答：白噪声的功率谱密度是常数，自相关函数是一个在0处的冲激函数。
一般白噪声在任意两个不同时刻不相关，正态白噪声在任意两个不同时刻独立。
5.若随机过程)(t X 是平稳过程，则其功率谱密度)(ωX G 与自相关函数)(τX R 有何关系？请写出关系式。
答：)(ωX G 是)(τX R 的傅立叶变换，ττωωτd e R G j X X -∞∞-⎰=)()(，或ωωπτωτd e G R j X X ⎰∞∞-=)(21)(.6.设线性系统的冲激响应为h(t)，输入随机过程为X(t)，系统输出为Y(t)，各自的自相关函数分别为RX(t1,t2)和RY(t1,t2)。
说明二者之间的关系。
答：)()(),(),(212121t h t h t t R t t R X Y **=.7.写出希尔伯特变换的时域形式)(t h 和频域形式)(ωH 。
第2章 随机信号分析复习
F jF sgn F H
那么传输函数为 H j sgn e 即：
j / 2U
H e
j
/ 2 0 / 2 U /2 0
希尔伯特滤波器幅度-频率和相位-频率特性
2018/10/9 29
希尔伯特变换特例
ˆ (t ) sin t f (t ) cos t , f ˆ (t ) cos t f (t ) sin t , f
若m(t ) M ( )为截至频率为 f 的低通信号，
H 1
希尔伯特变换的物理意义是将信号f(t)的所频率 成分都相移90o，而幅度保持不变。具有这种特 性的网络称之为希尔伯特滤波器。
2018/10/9 28
即：
/ 2 0 / 2 U /2 0
H 1
本章内容
1 2
确知信号的分析 卷积与相关
3
4 5
希尔伯特变换
确定信号通过线性系统的传输 随机信号通过线性系统的传输
1
2018/10/9
信号和系统分类
一、信号的分类：
确知信号 随机信号 周期信号 非周期信号
二、系统分类
线性系统 非线性系统 时不变系统 时变系统
2018/10/9
2
信号的频谱分析
1、傅里叶级数
通常记做 f (t ) F
2018/10/9 7
特例：冲激函数δ (t)
F (t ) (t )e jt dt e j 0 1
《随机信号分析》总复习1
2020/10/24
34
2.4.2 互相关函数及其性质
联合平稳随机过程互相关函数性质
（3）若X(t)和Y(t)是联合平稳的，则 Z(t)=X(t)+Y(t) 也是平稳的，且
举例：两个均值和方差大致相同的随机过程 ，相关性差异很大
2.2.2 随机过程的数字特征
协方差函数
也是相关性的描述 K X (t1,t2 ) E{[ X (t1) mX (t1)][X (t2 ) mX (t2 )]} 如果 K X (t1,t2 ) 0 ，则称 X (t1) 和 X (t2 )不相关。
x1...xN y1yM
如果
f XY (x1,..., xN , t1,..., tN , y1,..., yM , t'1 ,..., t'M ) f X (x1,..., xN , t1,..., tN ) fY ( y1,..., yM , t'1 ,..., t'M )
则称X(t) 和Y(t) 是相互独立的
y g(x)
Y g(X)
1.6 随机变量的函数
一维随机变量函数的分布
若 g(x) 为单调连续上升函数，x g 1( y)
FY ( y)=P{Y y} P{g( X ) y}=P{X g 1( y)} FX (g 1( y))
求导，得
fY
( y)
fX
(x)
dx dy
，雅可（Jacco）比
n)
2020/10/24
20
2.2.1 随机过程的概率分布
二维概率分布：
X (t1)及 X (t2 )为同一随机过程上的随机变量
FX (x1, x2 , t1, t2 ) P{X (t1) x1, X (t2 ) x2}
随机信号分析期末总复习提纲重点知识点
第 一 章1.1不考 条件部分不考△雅柯比变换 （随机变量函数的变换 P34） △随机变量之间的“不相关、正交、独立” P51 （各自定义、相关系数定义相互关系：两个随机变量相互独立必定互不相关，反之不一定成立 正交与不相关、独立没有明显关系 结合高斯情况）△随机变量的特征函数及基本性质 （一维的 P53 n 维的 P58）△ 多维高斯随机变量的概率密度和特征函数的矩阵形式、三点性质 P61()()()()()()()221()211222211,,exp 22exp ,,exp 22T Tx m X XXX X n n XT T jU X X X X X n X M X M f x f x x U U u Q u j m Q u u E ejM U σπσμ---⎡⎤--⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦C C C u u r u u ru u r u u r u u r u u r L u r u ru u r u r L另外一些性质： []()20XY XY X YX C R m m D X E X m ⎡⎤=-=-≥⎣⎦第二章 随机过程的时域分析1、随机过程的定义从三个方面来理解①随机过程(),X t ζ是,t ζ两个变量的函数②(),X t ζ是随时间t 变化的随机变量③(),X t ζ可看成无穷多维随机矢量在0,t n ∆→→∞的推广 2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？3、随机过程的概率密度P74、特征函数P81。
（连续、离散）一维概率密度、一维特征函数 二元函数4、随机过程的期望、方差、自相关函数。
（连续、离散）5、严平稳、宽平稳的定义 P836、平稳随机过程自相关函数的性质：0点值，偶函数，周期函数（周期分量），均值 7、自相关系数、相关时间的定义 P88222()()()()()(0)()X X XX X X X X XXC R m R R R R τττρτσσ--∞==-∞=非周期相关时间用此定义（00()d τρττ∞=⎰）8、两个随机过程之间的“正交”、“不相关”、“独立”。
随机信号分析复习
p X ( x1 , x 2 ,..., x n ; t1 , t 2 ,..., t n ) ∂ FX ( x1 , x 2 ,..., x n ; t1 , t 2 ,..., t n ) = ∂x1∂x 2 ...∂x n
2
显然， 取得愈大 随机过程的n维分布律描述随机 取得愈大， 显然，n取得愈大，随机过程的 维分布律描述随机 过程的特性也愈趋完善。 过程的特性也愈趋完善。
随机过程X(t)在四种不同情况下的意义： 随机过程X(t)在四种不同情况下的意义： X(t)在四种不同情况下的意义
(1)当t, ξ 都是可变量时，是一个时间函数族； 当 都是可变量时，是一个时间函数族； (2)当t是可变量，ξ固定时，是一个确定的时 当 是可变量 是可变量， 固定时， 间函数； 间函数； (3)当t固定，ξ是可变量时，是一个随机变量 (3)当t固定 固定， 是可变量时， (4)当t固定，ξ固定时，是一个确定值。 固定， 固定时，是一个确定值。
.2随机过程的统计特性 § 2.2随机过程的统计特性
一、 随机过程的概率分布 随机过程实际是依赖于时间t 一族随机变量， 随机过程实际是依赖于时间 t 的 一族随机变量 ， 因此， 因此，可以用多维随机变量的理论来描述随机过程 的统计特性。 的统计特性。 1. 一维概率分布 对于任意的时刻t， 是一个随机变量， 对于任意的时刻 ，X(t)是一个随机变量，它的 是一个随机变量 一维分布函数定义为： 一维分布函数定义为：
p X ,Y ( x1 ,..., xn , y1 ,..., ym ; t1 ,...,t n , t ,...,t ) = ∂
n+m
' 1
' m
FX ,Y ( x1 ,..., xn , y1 ,..., ym ; t1 ,...t n , t ,...t ) ∂x1...∂xn ∂y1...∂ym
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第五章 随机信号通过线性系统的分析
1、线性系统的基本理论 稳定的物理可实现系统 2、 h( )d
0
RY ( ) RX ( ) h( ) h( )
PY RY (0)
RXY ( ) RX ( ) h( ) RYX ( ) RX ( ) h( )
P R e j d XY XY ⑵两个联合平稳的实随机过程， 1 RXY PXY e j d 2
要熟记常见信号的傅里叶变换和傅里叶变换性质，并且熟练应用。 求随机信号总平均功率的两种方法。 （时域和频域） 4、白噪声 定义、数字特征、不相关特性、带宽、功率 什么是加性高斯白噪声 5、带限白噪声 低通和带通带限白噪声 （定义、数字特征、相关特性、功率谱密度、带宽、功率）
第 一 章 概率论基础
1.概率空间、概率（条件概率、全概率公式、贝叶斯公式） 2．随机变量的定义（一维、二维实随机变量） 3.随机变量的描述： ⑴统计特性 一维、二维概率密度函数、一维二维概率分布函数 概率分布函数、概率密度函数的关系 ⑵数字特征 一维数字特征：期望、方差、均方值（定义、物理含义、期望和方差的性质、三者之间 的关系）
⑶互不相关、统计独立、正交的定义及其相互关系 4.随机变量函数的分布 △雅柯比变换 5、高斯随机变量 一维概率密度函数表达式 高斯随机变量的性质 （随机变量函数的变换 一维随机变量函数的单值和双值变换）
第二、三章 随机信号的时域分析
1、随机信号的定义 从三个方面来理解①随机信号 X t , 是 t , 两个变量的函数② X t , 是随时间 t 变化 的随机变量③ X t , 可看成无穷多维随机矢量在 t 0, n 的推广 2、什么是随机信号的样本函数？什么是随机信号的状态？随机过程与随机信号、样本 函数之间的关系？ 3、随机信号的统计特性分析：概率密度函数和概率分布函数（一维、二维要求掌握） 4、随机信号的数字特征分析（定义、物理含义、相互关系） 一维：期望函数、方差函数、均方值函数。 （相互关系） 二维：自相关函数、自协方差函数、互相关函数、互协方差函数（相互关系） 重点掌握自相关函数的意义。 定义、二者关系、判断宽平稳的条件、平稳的意义、联合平稳定义及判定 6、平稳随机信号自相关函数的性质： 0 点值，偶函数，均值，相关值，方差 7、两个随机信号之间的“正交”、“不相关”、“独立”。 （定义、相互关系。类似于两个随机变量之间的关系！ ！ ） 8、高斯随机信号 定义（掌握一维和二维） 、高斯随机信号的性质 9、各态历经性 定义、意义、判定条件（时间平均算子、统计平均算子） 、平稳性与各态历经性的关系 直流分量、直流平均功率、总平均功率、交流平均功率
2 2 2 2 2 D X E X E X （ X X mX ）
二维数字特征：相关值、协方差、相关系数（定义、相互关系）
cov X , Y E XY E X E Y （ C XY RXY mX mY ）
第四章 随机信号的频域分析
1、随机信号是功率信号，不存在频谱，即不能对随机信号本身做傅里叶变换，在频域 只研究其功率谱。 功率谱密度的含义，与总平均功率的关系 2、一般随机信号功率谱计算公式与方法
PX lim
1 2 E X T T 2T
3、平稳随机信号的攻略密密度计算方法 维纳—辛钦定理 ⑴平稳随机信号, PX R X ( )
输入平稳、高斯、各态历经，输出也是平稳、高各态历经，且输入输出联合平稳。 频域分析
mY mX H (0)
H (0) h d
0 2
PY ( ) PX ( ) H ( ) PX ( ) H ( ) H ( ) PXY ( ) H ( ) PX ( ) PYX ( ) H ( ) PX ( ) 1 1 PY PY ( )d 2 2
考试题型及分值分布
一、 选择填空题（共 20 分，每空 2 分，10 个） 二、 简答题（共 30 分，每个 6 分，5 个） 三、 计算题（共 50 分，每个 10 分，5 个）
考试时间地点： 第 9 周星期六（5 月 9 日）晚上 19:00—21:00；地点：17309,17311
3、 白噪声通过线性系统 线性系统的结论：双侧随机信号
H ( )
2
PX ( )d
X (t ) 输入物理可实现系统
若输入 X (t ) 是宽平稳的，则系统输出 Y (t ) 也是宽平稳的，且输入与输出联合平稳 若输入 X (t ) 是严平稳的，则输出 Y (t ) 也是严平稳的。 若输入 X (t ) 是宽各态历经的，则输出 Y (t ) 也是宽各态历经的 若线性系统输入为高斯过程，则输出为高斯分布 若系统输入信号的等效噪声带宽远大于系统的带宽，则输出接近于高斯分布 （输入白噪声的情况）
第六章
1、什么是窄带随机信号？
窄带随机信号
2、窄带随机信号的表达式如何表示？（包络相位表达式、正交分解表达式） 3、窄带随机信号的包络、相位、同相分量、正交分量之间的关系 4、零均值平稳高斯随机信号的同相分量、正交分量的统计特性 5、零均值平稳高斯随机信号的包络、相位的一维分布 6、 随相正弦波加窄带高斯噪声合成信号的包络和相位的一维分布。 （信噪比大小的讨论） 7、高斯分布、瑞利分布和莱斯分布的联系和区别。