蔬菜价格变动分析及采购计划的制定

2016年数学建模论文

第 3 套

论文题目：蔬菜价格变动分析及采购计划的制定组别：

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蔬菜价格变动分析及采购计划的制定

摘要

食品价格是居民消费价格指数的重要组成部分，食品价格波动直接影响居民生活成本和农民收入，是关系国计民生的重要战略问题。蔬菜作为老百姓餐桌上必不可少的元素，其价格的变化关系到千家万户的日常生活。本文应用ARMA和AR模型来研究蔬菜价格的变动以及蔬菜价格指数的编制问题，并运用所构建的模型来进行蔬菜价格的短期预测。

针对问题一，首先建立了AR模型。经合理性检验后确定为AR(6)模型，用此模型来研究这6种蔬菜价格随月份的变化规律，并预测2016年后半年以及2017年前半年这6种蔬菜每月的价格，预测结果见表2。为了解决蔬菜因季节性波动和周期性波动引起的AR模型预测与实际趋势有偏差的问题，本文建立了ARMA(1,13)模型来对AR(6)模型进行改进。结果表明，两种模型都能预测出蔬菜价格在年度之内呈上涨趋势。而对于季节性不是很明显的蔬菜，ARMA模型相对于AR模型ARMA模型能更好的预测价格。

针对问题二，本文首先利用SPSS软件对17种蔬菜进行了系统聚类，将17种蔬菜分为三类，通过分别计算三类蔬菜价格的平均值来给各类蔬菜对价格指数的影响程度赋予不同的权重值。然后考虑人们的消费习惯对价格指数的影响，本文查找网上资料，按销量将17种蔬菜分为五类，用各类蔬菜的销量在一定程度上反映人们的消费习惯。通过各类蔬菜的销量来给各类蔬菜对价格指数的影响程度赋予不同的权重值。最后对于上述两种因素，本文凭借生活经验，人为的对两种因素赋予不同的权重值，进而计算每月蔬菜价格的加权平均价格，求出每月的定基价格指数。通过检验发现价格指数仍是一平稳的时间序列，因此同第一问一样建立ARMA模型进行研究。

针对问题三，本文对问题二所得到的蔬菜价格指数进行回归分析，利用SPSS软件绘制散点图，发现在95%的置信区间内可以进行线性回归分析。然后利用SPSS 软件做线性回归，得到显著性水平为0.05时，线性回归模型整体显著。由回归方程可知近几年蔬菜价格总体升高，结合蔬菜价格指数的变动情况可知西安市每年一月至四月蔬菜价格总体处于高位。

针对问题四，本文根据题目要求，在满足所有约束条件的情况下，以采购蔬菜的

最大重量为目标函数，分别对四个蔬菜批发市场建立整数规划模型。通过LINGO 软件进行求解，得出到胡家庙蔬菜批发市场进行一次采购可以使得当天采购蔬菜的总重量最大。

关键词：

一、问题重述

食品价格是居民消费价格指数的重要组成部分，食品价格波动直接影响居民生活成本和农民收入，是关系国计民生的重要战略问题。在收入增长缓慢的情况下，食品价格上涨将使人民群众明显感到生活成本增加，特别是蔬菜价格的变化关系到千家万户的日常生活，菜价的上涨将严重影响城市低收入群体的生活质量。为监测食品价格的实际变化情况，西安市物价局对食品价格一直进行着严密的监测，每周都会在其官方网站上公布食品价格监测数据（网址：https://www.360docs.net/doc/4f14305519.html,/ptl/def/def/index_1285_3890.html），为了跟踪研究西安市农副产品价格变动的规律，请从该网站下载查阅相关监测数据，建立数学模型解决如下问题：

1）请从监测的17种蔬菜数据中任意选取6种蔬菜，并根据这6种蔬菜近几年的价格数据，建立数学模型研究这6种蔬菜价格随月份的变化规律，并预测2016年后半年以及2017年前半年这6种蔬菜每月的价格。要求至少选择两种以上方法进行对比分析。

2）监测17种蔬菜的价格数据给监测人员带来了很大的工作负担，为了综合评价蔬菜价格的总体水平，请建立一个蔬菜价格指数模型，使这个指数的升降能够从总体上较为准确地反映蔬菜价格的水平。注意蔬菜的类型、人们的消费习惯、以及其它因素都可能与这个蔬菜价格指数有关，并说明你所建立指数的合理性。再根据你建立的蔬菜价格指数模型，研究一下近几年蔬菜价格总体的变化趋势，说明一下对于西安市每年什么时候蔬菜价格总体处于高位。

3）假设你是一家饭店的采购员，每一天都要根据当天西安市四个主要蔬菜批发市场的蔬菜牌价（如表1所示），选择到其中一家市场进行一次采购。为满足饭店营业需求，饭店制定了采购单，并对采购量做出如下要求：每天必须购买的蔬菜有：豆角至少50公斤，青椒至少30公斤，土豆至少

20公斤，西红柿至少100公斤，莲花白至少100公斤，胡萝卜至少20公斤，茄子至少10公斤，其余蔬菜品种采购员可以酌情选择购买至少5种，如果购买这种蔬菜至少购买10公斤。

假设采购所用的汽车是一辆载重量不超过1.5吨的小型三轮货车，因为车辆保养的原因，要求每天车辆的公里吨数（即路程╳载重吨数，空载不计）不得超过8（公里╳吨），每天采购额不得超过4000元，且采购单中要求必须购买蔬菜的采购额至少要达到实际采购总额的80%以上。

请建立数学模型针对表1中蔬菜价格制定某天采购计划的最佳方案，即在满足上述所有条件都满足的情况下，到哪一个蔬菜市场区购买蔬菜，购买哪些蔬菜，各多少公斤，使得当天采购蔬菜的总重量最大。假定蔬菜批发的最小单位为1公斤。

表1. 西安市主要蔬菜批发市场某日蔬菜牌价（单位：元/公斤）

4）如果要在2016年10月1日完成3）中的任务，采购计划的最佳方案又是怎样的？

二、问题分析

题目要求建立明确的数学模型，分别用来研究蔬菜价格随月份变化的规律，并对蔬菜价格进行预测；研究近几年蔬菜价格总体变化趋势；以及确定蔬菜采购的最优方案。

问题一，要根据所选的6种蔬菜近几年的价格数据，建立数学模型研究这6种蔬菜价格随月份的变化规律，并预测2016年后半年和2017年前半年这6种蔬菜每月的价格。需要绘制6种蔬菜价格随月份变化的折线图，仔细观察蔬菜价格随着月份有着什么样的变化。由于6种蔬菜价格分别是6个时间序列，因此可以考虑运用时间序列构建模型来研究蔬菜价格随月份变化的规律，并考虑比较常用的ARMA模型建模。按照建立模型的步骤，首先对序列进行稳定性检验，确定为平稳非白噪声序列后，计算自相关和偏自相关系数，进而进行ARMA模型识别；确定相应的模型后，估计模型中未知参数的值，然后对所得模型进行检验，验证模型是否有效；最后根据所得的模型预测时间序列将来的走势，从而对所选的6种蔬菜价格进行预测。

问题二，考虑到蔬菜的类型、人们的消费习惯、季节性变化等多种因素都会对蔬菜的价格指数造成影响，各种影响是一灰色系统，很难建立确定的数学关系。因此本文选取了季节性变化对蔬菜价格指数的影响进行研究。由于题目中没有各蔬菜的销售量，因此我们采用简单平均法求解价格指数模型，以2011年6月各蔬菜的月均价为基期，研究近五年的蔬菜价格变化趋势，从而得出西安市每年什么时候蔬菜价格总体处于高位。

问题三，要求满足题目所有的约束条件的情况下确定采购方案，使得采购蔬菜的总重量最大。显然，这是一个线性规划问题，只需根据题目要求分别对三个蔬菜批发市场建立整数规划模型，确定目标函数和约束条件，利用软件进行求解。

最后比较四个结果，选择最优方案即可。

问题四，要求完成2016年10月1日的采购蔬菜方案。显然，需要问题一中预测的2016年10月1日的蔬菜价格数据，建立整数规划模型，确定目标函数和约束条件，利用软件进行求解。最后比较四个结果，选择最优方案即可。

三、问题假设

1、假设影响蔬菜价格的主要因素为供需关系与各时期产量，与其他变量无关；

2、假设在拟合过程中，蔬菜的生产成本与运输成本不发生改变；

3、假设在拟合过程中，国家现有关于农产品的计划政策没有发生改变；

4、假设所统计的数据全部真实可靠。

四、符号说明

五、问题一模型建立与求解

5.1 蔬菜价格随月份的变化趋势

本文采用了西安市物价局公布的蔬菜价格监测数据，具体收集了豆角、茄子、芹菜、西红柿、土豆和胡萝卜6种蔬菜2011年7月至2016年6月每月的价格，并将其整理为表2

。

表2. 6种蔬菜价格变动（单位：元/千克）

绘制6种蔬菜价格随时间变化的折线图，如图1所示。由图可以看出6种蔬菜价格均存在明显的季节变动，变动的总体趋势是冬春价格较高，夏季价格较低。其中豆角、西红柿、茄子每年的价格波动较大，土豆、芹菜和胡萝卜白每年的价格波动较小。从每月价格变动情况看，由于1～4月天气较寒冷，蔬菜供应大部分为温室蔬菜，其成本较高，所以是一年中蔬菜价格较高时期。随着天气逐渐变暖，5～9月是蔬菜生产旺季，蔬菜价格逐渐下降。在每年的8月左右，蔬菜价格降到最低值。随着天气逐渐转冷，10～12月蔬菜供应逐渐减少，加上北方主要依靠温室种植蔬菜，其成本逐渐提高，蔬菜价格也随之上升。在每年的2月左右，蔬菜价格升到最高值。

5.2 AR 模型的建立与求解

5.2.1 AR 模型的建立

设{},0,1,2,...t X t =±±是零均值平稳序列，满足下列模型：

1111...t t t p t p t X X X X ???ε---=++++ （1） 其中t ε是零值、方差是2εσ的平稳白噪声，则称t X 是阶数为p 的自回归序列，简记为AR (p)序列，而

12(,,...,)T p ????=

称为自回归参数向量，其分量,1,2,...,j j p ?= 称为自回归系数。引进算子描述（1）较为方便，算子B 的定义如下：

1,k t t t t k BX X B X X --==

记算子多项式

212()1...P P B B B B ????=----

则式（1）可以改写为：

()t t B X ?ε=

5.2.2 AR 模型的求解

由预报差分方程

^

^

^

^

12()(1)(2)...(),k k k p k X m X m X m X m p m p ???=-+-++->

又

^

(),0k k m X m X m -=≤

给出预报的递推公式：

^

1211

^^121^

^^^1121^^12(1)...(2)(1).........()(1)(2)...(1)()(1)(2)...().k k k p k p k k k p k p k k k p p k k k k k p X X X X X X X X X p X p X p X X X m X m X m X m p m p

?????????????--+-+--?

=+++?

?

=+++?

?

?

?=-+-+++???=-+-++->? 由此可见，()^

()1k X m m ≥ 仅仅依赖于t X 的k 时刻以前的p 个时刻的值

1,,...,k k k p X X X -+。这是AR(p )预测的特点。 5.2.3 结果分析

以2011年6月到2016年6月的数据作为样本，采用AR 模型对2016年7月到2017年6月进行预报。首先对AR 模型的参数进行确定，经计算采AR(6) 通过合理性检验，所以采用AR 模型进行预测。预测结果如图2所示。

由图3预测结果可看出，豆角的最高价格出现在2月份，最低价格出现在10月份。芹菜和茄子的最高价格与最低价格变化与豆角类似，只是变化比较平缓。

土豆和胡萝卜的价格变化不是很明显。

其总体的价格趋势与2011年7月到2016年6月的趋势是相符的。蔬菜整体的价格趋势处于上涨趋势。其中豆角、茄子、芹菜、西红柿这四种蔬菜呈现明显的季节性变动，而土豆和胡萝卜的季节性不是很明显，也可能是由于蔬菜生长受季节性的影响。与此同时，蔬菜价格受季节性影响的同时又各不相同，各有各的特点。

5.3 ARMA 模型的建立与求解

5.3.1 ARMA 模型的建立

设{},0,1,2,...t X t =±±是零均值平稳序列，满足下面模型：

1111......t t p t p t t q t q X X X ??εθεθε-------=--- (2) 其中t ε是零均值、方差是2εσ的平稳白噪声，则称t X 是阶数为p,q 的自回归滑动平均序列，简记为ARMA (p,q)序列。当q=0时，它是AR(p)序列；当p=0时，它是MA(q)模型。

应用算子多项式(),()B B ?θ，式(2)可以写为

()()i t B X B ?θε=

对于一般的平稳序列{},0,1,2,...t X t =±± ，设其均值()t E X μ=，满足下列模型： 1111()()...()...t t p t p t t q t q X X X μ?μ?μεθεθε----------=--- （3） 利用后移算子(),()B B ?θ，式（3）可以表示为

()()()i t B X B ?μθε-=

时间序列的m 步预报，是根据1{,,...}k k x x -的取值对未来k+m 时刻的随机变量

(0)k m x m +> 做出估计。估计量记作^

()k x m ，它是1{,,...}k k x x -的线性组合。引进估

计空间

200,k j k j j

j j x x c X c ∞∞-==????

Ω==<∞??????

∑∑ 现设t X 是零均值正态ARMA(p,q)序列。所谓平稳线性最小均方预报^

()x m 是指：

^

()k x m ∈Ω，且使得

^

2[(())]min k m k E X X m +-=

在正态性条件下^

()k x m 是k m x +对于1{,,...}k k x x -的条件期望，即 ^

1()[,,...]()k k m k k k m k X m E X X X E X +-+==Ω

因为1{,,...}k k x x -是一般相关的，因此，将^

()k x m 用1{,,...}k k x x -的元素的线性表示并不好意思很方便。考虑到对于ARMA(p,q)序列，总存在传递形式，令

200,,j k j j k

j j I d d εεε∞∞-

--==????

==<+∞??????

∑∑ 则可以证明k k I --Ω=，这就是说，^()k x m 可以用k

I --中的元素来表示。

5.3.2 ARMA 模型的求解

平稳线性最小均方预报具有下面性质。如果{},0,1,2,...t X t =±±是零均值的ARMA(p,q)序列，则下面的预报差分方程成立

^^^^

12()(1)(2)...(),k k k p k X m X m X m X m p m p ???=-+-++-> （4）

事实上，因

11221......k m k m k m p k m p k m q q k m q k m X X X X ???θεθεε++-+-+-+-+-+=+++---+ 当m q >时

^

1111^^

^

12()()()...()()...()()

(1)(2)...()

k k m k k m k p k m q k k m k q k m q k k m q k k k p k X m E X E X E X E E E X m X m X m p ??θεθεε???++-+-+-+-+-=Ω=Ω++Ω-Ω--Ω+Ω=-+-++-

对于ARMA(p,q)序列，由预报差分方程（4）可知，只需要知道

^

^

^

(1),(2),...,()k k k X X X p 就可以递推出^

(),k X m m p >。定义预报向量

^^^^

()(1),(2),...,()T k k k k X q X X X q ??= ???

令

*

,1,2,...0,j j j p j p

??=?=?

>? 可证下面递推预报公式

1

122()

()^^111

1*****12111010...0001...0......

.........

......000...1...

q q k k k q q p q q q q q j k q j j p G G G G X x X G G G G X ?????++----++-=+??

-????????????-??????????=++???

?????-??????????-+??????

????

∑ （5）

式（5）中第三项当p q ≤时为0。由可逆性条件可知，当0k 较小时，可令初值

()

^0q k X =。 在实际中，参数的模型是未知的。若已建立了时间序列模型，则理论

模型中得参数可用估计参数代替，再进行预报。 5.3.3 结果分析

以2011年6月到2016年6月的数据作为样本，采用ARMA 模型对2016年7月到2017年6月进行预报。首先对ARMA 模型的参数进行确定，经计算采ARMA(1,13) 通过合理性检验，所以采用ARMA 模型进行预测。预测结果如图3所示。

图3 ARMA 模型预测结果

由图3预测结果可看出，豆角的最高价格出现在2月份，最低价格出现在10月份。茄子的最高价格比豆角迟两个月，出现在12月份，最低价格也是出现在10月份。芹菜的最高价格与最低价格变化与豆角类似，只是变化比较平缓。土豆和胡萝卜的价格变化不是很明显。

其总体的价格趋势与2011年7月到2016年6月的趋势是一致的。蔬菜整体的价格趋势处于上涨趋势。其中豆角、茄子、芹菜、西红柿这四种蔬菜呈现明显的季节性变动，而土豆和胡萝卜的季节性不是很明显，也可能是由于蔬菜生长受季节

性的影响。与此同时，蔬菜价格受季节性影响的同时又各不相同，各有各的特点。

5.4 两种模型预测结果对比分析

本文采用了AR模型和ARMA模型来预测蔬菜的价格。由于蔬菜的价格呈现季节性波动、周期性波动和随机性波动。针对季节性波动本文选取了季节性蔬菜豆角和非季节性蔬菜土豆作为典型的研究对象。图4是两种模型下季节性蔬菜

图4 季节性与非季节性蔬菜在两种模型下的对比

由图4可以看出，季节性蔬菜豆角在两种模型下的预测结果差异不是很大，主要原因是ARMA模型和AR模型对于波动性比较大的能够准确预测。对于波动性不是很大、价格趋势不是很明显的土豆来说，相对于AR模型，ARMA模型能更好的预测价格趋势，而AR模型预测的价格偏低。

总体来说，两种模型都能预测出蔬菜价格在年度之内呈上涨趋势，在年内季节性蔬菜呈季节性变动，能反映出不同的蔬菜有不同的特点。除此之外，两种模型也能够较为准确地预测出蔬菜价格的最低点和最高点，反映出蔬菜价格变动的周期性规律。

六、问题二模型建立与求解

6.1 蔬菜价格指数相关知识

在经济统计领域的研究中，统计指数是一种相对数，用来表示某种社会经济现象的变动情况。从广义上来说，一切用来表示社会经济现象数量变动的相对数都是指数，不仅可以反映某一变量随时间变化的相对数，还能够反映某一变量随地域的变化。从狭义上来说，统计指数是一种以相对数（数值比数）的形式综合反映多个变量在数值上总变动情况的方法。

价格指数作为一种统计指数，反映着某种商品的价格水平在不同时期变化的方向、程度和趋势。根据统计指数的概念，可以把狭义的价格指数k 简单的理解为某一个变量在某一时期（记为时刻t=1）内的价格1

p 与该变量在另一个作为

比较标准的时期（记为时刻t=0）内的价格0

p 的比数10

100K p p

=

?。其中作为比

较标准的时期即t=0被称为基期；当前时期，即t=1被称为报告期。也就是说把基期的价格指数看成100，以基期水平为标准，计算比值，得到报告期的指数，以此来判断价格在不同时期的变动情况。

根据指数计算所选用的基期不同，可以把指数分为定期指数和环比指数两种：定期指数是始终以某一固定的时期作为基期来计算各期的指数；环比指数是始终以前一期作为基期来计算各期的指数。环比价格指数反映相邻两期的价格变化，基期不固定，在长期内没有可比性，因此本文只对蔬菜价格指数的月定基价格指数进行研究，不研究对月环比价格指数。 6.2 问题二模型建立及求解 6.3.1 蔬菜价格指数模型建立

本文采用简单的平均法来求蔬菜价格指数，以2011年6月作为基期，应用表2中6种蔬菜的月均价数据，建立价格指数模型。

001,2,3...ji ji i

i

I i n Q P Q

P =

=∑∑， （6）

表3 2011年7月6种蔬菜的月均价

6.3.2 模型求解

由表2可查出

ji

P

的值，对于第i 种蔬菜月份为j 的权重

ji

Q

的计算，即

61

ji

ji

ji

i P

Q

P

==

∑

同理

06001

i i

i

i P Q

P

==

∑；接着通过式（1）对2011年7月至2016年6月蔬菜的价格指数I 进行

计算。

表4 2011年7月-2016年6月蔬菜的价格指数

6.3 结果分析

由蔬菜价格指数趋势图可知，此模型很好的反应出了蔬菜价格在近5年的价格随季节变化的趋势，指数的升降代表了一年中不同季节蔬菜价格的上升和下降，说明了季节因素对蔬菜价格指数的影响较大。

通过指数模型研究发现，近五年蔬菜价格指数的总体趋势是：2、3月份各蔬菜价格达

到最高。4、5月份各蔬菜价格逐渐变低至6、7月份各蔬菜价格达到最低，而从8月份以后蔬菜价格又逐渐增高。本文分析蔬菜价格波动的原因：（1）气候的影响。西安地区四季分明，冬天寒冷，需要在大棚里面种植的蔬菜，这就增加了种植蔬菜的成本。所以冬季的蔬菜价格明显要高于夏季。（2）节假日的影响。前一年的年底月到后一年的2月为过年影响时间段，人们大量采购蔬菜，供小于求，因此也会涨价。（3）国家的调控。国家每年都会制定各种价格调控政策，这也会在某一时间段影响价格的变化。因此西安市每年2月份的时候蔬菜价格总体处于高位。

八、问题四模型建立与求解

8.1 预测各菜市场蔬菜价格

本题需要应用问题二的模型预测2016年10月1日四个菜市场17种蔬菜价格的数据。具体步骤：（1）根据问题二结果可知2016年10月1日6种蔬菜价格，并应用问题二所建模型和表一中的数据预测胡家庙蔬菜批发市场的其他11种蔬菜价格，从而得到2016年10月1日胡家庙蔬菜批发市场17种蔬菜价格；（2）根据表一中其他三个菜市场各个蔬菜价格与胡家庙蔬菜批发市场中与之对应的蔬菜价格之比，并且考虑到受季节变化影响预测出2016年10月1日另外三个菜市场的蔬菜价格，可得表5为西安市主要蔬菜批发市场2016年10月1日的各蔬菜价格。

8.2 模型建立

本题所用模型为问题三线性规划模型，其目标函数和约束条件都一致，只有蔬菜价格数据不同。

目标函数：

17

1

max i i Z x ==∑

约束条件：

123456717717

117

117

17

1171

503020100100201010([8,17])515008000400080%i i i i i i j i i i i i i i i x x x x x x x x i c x x s x p x x ======≥?

?≥??≥?

≥??≥?

≥??≥?

≥∈???≥???≤???≤???≤?????≥?

??∑∑∑∑∑∑

8.3 模型求解

根据约束条件和表5的数据，求解得出的具体采购方案如表6所示；