北师大版数学七年级下册《用表格表示的变量间关系》变量之间的关系1
课堂小测
1、树苗的生长情况表：
年数（年） 0
1
2
3
4
5
...
树高（米） 1.5 1.7 1.9 2.1 2.3 2.5 ...
（1）从小树苗长成参天大树的过程中哪些量发生了变化？ 其中，自变量和因变量分别是哪个变量？ 解：由表中数据知：年数和树高发生了变化； 自变量：年数；因变量：树高.
课堂小测
新知探究
我国从1949年到2009年的人口统计数据如下（精确到0.01亿）： 时间/年 1949 1959 1969 1979 1989 1999 2009 人口/亿 5.42 6.72 8.07 9.75 11.07 12.59 13.35
(2)从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口是怎样的变化？ 解：从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口增加1.5亿左右，
《用表格表示的变量间关系》 变量之间的关系1
北师大版数学七年级下册
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教学目标
1、在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量； 2、能从表格中获得变量之间关系的信息，能用表格表示变量之间的关 系，尝试对变化趋势进行初步的预测； 3、经历观察、实验、猜想、验证等数学活动，发展合理推理能力，并 能有条理地、清晰地阐述自己的观点.
h
小车下滑时间/s
t
4.23
3.00
2.45
2.13
1.89 1.71 1.59
1.50
1.41 1.35
（4）估计当h=110厘米时，t的值是多少？
解：1.35s到1.29s中的任意一个值 .
（5）随着支撑物高度h的变化，还有哪些量发生变化？哪些量始
终不发生变化？ 解：下滑的时间t会发生变化，小车下滑的路程没有发生变化 .
新知探究
我国从1949年到2009年的人口统计数据如下（精确到0.01亿）： 时间/年 1949 1959 1969 1979 1989 1999 2009 人口/亿 5.42 6.72 8.07 9.75 11.07 12.59 13.35
(1)如果用x表示时间，y表示我国人口总数，那么随着x的变化，y的变 化趋势是什么？ 解：随着x的增加，y也增加.
1.89秒
新知探究
下面是王波学习小组得到的数据：
支撑物高度/cm 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
h
小车下滑时间/s
t
4.23
3.00 2.45
2.13
1.89 1.71 1.59
1.50
1.41 1.35
1.23 0.55 0.32 0.24 0.18 0.12
根据上表回答下列问题：
但最后10年的增加量大约只有0.76亿.
新知探究
相关概念：
在“小车下滑的时间”中，支撑物的高度h和小车下滑的时间t 都在变化，它们都是变量 .
其中小车下滑的时间t随支撑物的高度h的变化而变化.支撑物的 高度h是自变量 ，
自己主动发生变化的量（变化产生的原因）. 小车下滑的时间t是因变量， 被动发生变化的量（变化导致的结果） . 在这一变化过程中，小车下滑的距离（木板长度）一直没有变 化.像这种在变化过程中数值始终不变的量叫做常量 .
自变量是： 高度
因变量是： 气温
（2）蜡烛在燃烧的过程中，剩余蜡烛的长度随燃烧时间的 变化而变化，其中
自变量是： 燃烧时间 因变量是： 剩余蜡烛的长度
（3）在圆的周长公式C=2πr中，随着r的变大，C也变大 ，其中
自变量是： r
因变量是： C
课堂小结
在某一运动变化过程中，数值发生变化的量，叫做变量 . 在变化过程中数值始终不变的量叫做常量 . 自己主动发生变化的量叫自变量（变化产生的原因）. 被动发生变化的量叫因变量（变化导致的结果） .
年数（年） 0
1
2
3
4
5
...
树高（米） 1.5 1.7 1.9 2.1 2.3 2.5 ...
(2)请你根据以上信息预测第六年、第八年树的高度以及当小树苗
长到3.5米时，所需的年数.
解：第六年时：2.5 + 0.2 = 2.7（米）； 第八年时：2.7 + 0.2 + 0.2 = 3.1（米）. 由表格可知，小树苗原本高1.5米，每年都长高0.2米， 所以当小树苗长到3.5米时，所需的年数为（3.5－1.5） ÷0.2＝10（年）.
新课导入
万物都在悄悄地发生着变化，从数学的角度研究它们之间
的关系，将有助于我们更好地认识世界，预测未来，那就让我
们一起来揭开变化的新篇章吧…
冬秋春夏
新知探究
通过数据感受变化
王波学习小组利用同一块木板， 测量小车从不同的高度下滑的时 间，并将得到的数据填入下表：
支撑物高度/cm 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0.09 0.09 0.06
（1）支撑物高度为70cm时，小车下滑时间是多少？ 解：1.59 s
（2）如果用h表示支撑物高度，t表示小车下滑时间，
随着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？ 解：随着h逐渐变大，t逐渐变小. （3）h每增加10cm，t的变化情况相同吗？ 解：t的变化越来越小.
新知探究
支撑物高度/cm 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
新知探究
填一填 ： (1)在变化过程中，我们把变化着的量叫做变量，其中 一个叫做__自__变___量___，另一个叫做__因__变__量____；
(2)____因__变__量____随__自___变__量____的变化而变化.
新知探究
指出下列实例中的自变量与因变量：
（1）气温随高度而变化的过程中，其中
年龄 刚出生 6个月 1周岁 2周岁 6周岁 10周岁
体重/千克 3.5
7.0
10.5 14.0
21.0
31.5
小车下滑时间/s
新知探究
50厘米 40厘米 30厘米 20厘米 10厘米
4.23秒
新知探究
50厘米 40厘米 30厘米 20厘米 10厘米
3.00秒
新知探究
50厘米 40厘米 30厘米 20厘米 10厘米
2.45秒
新知探究
50厘米 40厘米 30厘米 20厘米 10厘米
2.13秒
新知探究
50厘米 40厘米 30厘米 20厘米 10厘米
课堂小测
2、婴儿在6个月、1周岁、2周岁时体重分别大约是出生时的2倍、3倍、 4倍，6周岁、10周岁时体重分别约是1周岁时的2倍、3倍.
（1）上述的哪些量在发生变化？自变量和因变量各是什么？ 解：年龄和体重都在发生变化； 年龄是自变量，体重是因变量.
课堂小测
（2）某婴儿在出生时的体重是3.5千克，请把他在发育过程中的体重 情况填入下表：
北师大版七年级数学下册用表格表示的变量间关系
6
定义
•一般地，在某一变化过程中，数值产生变化的量叫 做变量．在变化过程中，数值始终不变的量叫做常量 ．
7
1 生活中有哪些例子反应了变量之间的关系？与同伴进行交流. 解：气温随时间的变化，农作物的高度随种植时间的变化等．
2 某人要在规定时间内加工100个零件，则工作 效率y与时间t之间的关系中，下列说法正确的 是( C ) A．y，t和100都是变量 B．100和y都是常量 C．y和t是变量 D．100和t都是常量
•(1)上表反应了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ •(2)当氮肥的施用量是101 kg/hm2 (hm2是单位“公顷” 的符号)时，土豆的产量是 多少？如果不施氮肥呢？ •(3)根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜？说说你的理由. •(4)粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响.
在此题中，表格中第一行的数据表示气温，第二行的数据表示声音在空气 中的传播速度．
18
例3 •下表是佳佳往表妹家打长途电话的几次收费记录． 通话时间/分钟 1 2 3 4 5 6 7 电话费/元 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2
•(1)上表反应了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ •(2)你能帮佳佳预测一下，如果她打电话的通话时间是10分钟，则需付多少元电话费？
15
知识点 3 用表格表示两个变量间的关系
议一议 我国从1949年到2009年的人口统计数据如下（精确到0.01亿）:
时间/年 1949 1959 1969 1979 1989 1999 2009 人口 /亿 5.42 6.72 8.07 9.75 11.07 12.59 13.35
(1)如果用x表示时间，y表示我国人口总数，那么随着x的变化，y的变化 趋势是什么？ (2)从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口是怎样变化的？
数学北师大版七年级下册1用表格表示的变量间关系
数学北师⼤版七年级下册1⽤表格表⽰的变量间关系第三章变量之间的关系1 ⽤表格表⽰的变量间关系教学⽬标【知识与技能】1.在具体情境中理解什么是变量、⾃变量、因变量，并能举出反映变量之间关系的例⼦；2.能从表格中获得变量之间关系的信息，能⽤表格表⽰变量之间的关系，并根据表格中的资料尝试对变化趋势进⾏初步的预测.【过程与⽅法】经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，获得探索变量之间关系的体验，进⼀步发展符号感.【情感态度】了解可以⽤列表表⽰两个变量之间的关系，培养学⽣分析问题的能⼒与归纳思维的能⼒.【教学重点】借助表格，分清什么是变量，理解⾃变量、因变量以及因变量随⾃变量的变化情况.【教学难点】将具体问题抽象成数学问题，由数据进⾏推断，并能有条理地、清晰地阐述⾃⼰的观点，并能根据表格中的有关信息预测变化趋势.教学过程⼀、情景导⼊，初步认知我们⽣活在变化的世界中,很多东西都在发⽣变化,请学⽣列举⼀些⽇常⽣活中经常发⽣变化的事物.如:随年龄的增长，⾝⾼、体重都发⽣了变化；随着时间的变化，汽车⾏驶的路程也在变化；烧⼀壶⽔10分钟⽔开了……【教学说明】通过举例,希望学⽣体会⾝边的事物⽆时⽆刻不在发⽣变化，培养学⽣善于观察的能⼒.⼆、思考探究，获取新知1.实验操作：利⽤实验器材——⼩车、⽊板、秒表、调节⾼度的装置，让学⽣参与到“⼩车下滑的时间”的实验中,并⼀起完成表格.利⽤同⼀块⽊板，测量⼩车从不同的⾼度下滑的时间，然后将得到的数据填⼊下表：根据上表回答下列问题：（1）⽀撑物⾼度为70cm时，⼩车下滑时间是多少？（2）如果⽤h表⽰⽀撑物⾼度，t表⽰⼩车下滑时间，随着h逐渐变⼤，t 的变化趋势是什么？（3）h每增加10cm，t的变化情况相同吗？（4）估计当h=110cm时，t的值是多少.你是怎样估计的？（5）随着⽀撑物⾼度h的变化，还有哪些量发⽣变化？哪些量始终不发⽣变化？【教学说明】通过数据感受具体的变化及其中蕴含的规律，让学⽣参与到收集数据的试验过程中，亲⾝感受随着⽀撑物⾼度的增加,⼩车下滑所⽤的时间越来越少.问题(4)是进⾏预测,对学⽣来说有⼀定难度,⿎励学⽣充分进⾏交流,培养他们从表格获取信息的能⼒.2.议⼀议∶我国从1949年到2009年的⼈⼝统计数据如下（精确到0.01亿）：(1)如果⽤x表⽰时间，y表⽰我国⼈⼝总数，那么随着x的变化，y的变化趋势是什么？(2)x和y哪个是⾃变量?哪个是因变量?(3)从1949年起，时间每向后推移10年，我国⼈⼝是怎样变化的？(4)你能根据此表格预测2019年时我国⼈⼝将会是多少吗？【归纳结论】在“⼩车下滑的时间”的实验中，⽀撑物的⾼度h和⼩车下滑的时间t都在变化，它们都是变量.其中⼩车下滑的时间t随⽀撑物的⾼度h的变化⽽变化.⽀撑物的⾼度h是⾃变量，⼩车下滑的时间t是因变量.在这⼀变化过程中，⼩车下滑的距离（⽊板的长度）⼀直没有变化.像这种在变化过程中数值始终不变的量叫做常量.在⼈⼝变化中，我国⼈⼝总数y随时间x的变化⽽变化，x是变量，y是因变量.借助表格，我们可以表⽰因变量随⾃变量的变化⽽变化的情况.在表格⾥，通常把⾃变量放在上（或左）⾯，把因变量放在下（或右）⾯.【教学说明】通过两个例⼦,理解变量、⾃变量、因变量、常量的概念，同时体会表格对于数据的整理和呈现起到的作⽤.对于解决⽇常⽣活中变化的事物很有帮助.三、运⽤新知，深化理解1.⼩明和他爸爸做了⼀个实验，⼩明由⼀幢245m⾼的楼顶随⼿放下⼀只苹果，由他爸爸测量有关数据，得到苹果下落的路程和下落的时间之间有下⾯的关系：下列说法错误的是（A）A.苹果每秒下落的路程不变B.苹果每秒下落的路程越来越长C.苹果下落的速度越来越快D.可以推测，苹果下落7秒后到达地⾯2.2014年1~12⽉某地⼤⽶的平均价格如下表所⽰，其中⾃变量是⽉份，因变量是平均价格；当⾃变量等于9,10时，因变量的值2.8最⼩.3.下表是⼩华做观察⽔的沸腾实验时所记录的数据：（1）时间是8分钟时，⽔的温度为100℃；（2）此表反映了变量温度和时间之间的关系，其中时间是⾃变量，温度是因变量；（3）在0⾄8分钟时间内，温度随时间增加⽽增加；8⾄12分钟时间内，⽔的温度不再变化.4.⾦融危机虽然给世界各国带来不⼩的冲击，但某公司励精图治，决定投资开发新项⽬，通过考察确定有6个项⽬可供选择，各项⽬所需资⾦及预计年利润如下表：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是⾃变量？哪个是因变量？解：上表反映了所需资⾦和预计年利润之间的关系，所需资⾦是⾃变量，预计年利润率是因变量.（2）如果投资⼀个4亿元的项⽬，那么其年利润预计有多少？解：投资⼀个4亿元的项⽬，则其年利润预计有0.55千万元.（3）如果要预计获得0.9千万元的年利润，投资⼀个项⽬需要多少资⾦？解：预计获得0.9千万元的年利润，投资⼀个项⽬需要7亿资⾦.（4）如果该公司可以拿出10亿元进⾏多个项⽬的投资，可以有⼏种投资⽅案？哪种⽅案年利润最⼤？最⼤是多少？解：10亿元进⾏多个项⽬的投资，可以有⼀下⼏种投资⽅案：①项⽬1与项⽬2与项⽬6；②项⽬3与项⽬4；③项⽬2与项⽬6.∴最⼤收益是1.45亿元.【教学说明】对本环节知识进⾏巩固练习.在教学中要让学⽣体会不同情境下的变量之间的关系，如⼀个量随着另⼀个量增加，⼀个量随着另⼀个量减少，⼀个量随着另⼀个量先增加后减少或先减少后增加等等，避免单⼀的情况.四、师⽣互动,课堂⼩结师⽣互相交流总结本节所学的知识,如何从表格中获取信息；如何⽤表格表⽰变量之间的关系；如何对变化趋势进⾏预测.课后作业1.布置作业:教材“习题3.1”中第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.。
七年级数学下册课件(北师大版)用表格表示的变量间关系
(2)从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口是怎样变化的？
归纳
在表中，我国人口总数y 随时间x 的变化而变化， x 是自变量，y 是因变量.
把自变量x 的一系列取值和因变量的对应值列
成一个表格来表示变量之间的关系，像这种表示 变量之间关系的方法叫做表格法．
总结
观察表格要分三步：一是通过表格确定自变量与因变量；二 是纵向观察每一列，发现因变量与自变量的对应关系；三是分别 横向观察两栏，从中发现因变量随自变量的变化呈现的变化趋势， 此题中，通话时间变长，则电话费也随之增加．求因变量的值， 看自变量的值是否在所列数值之中，若在所列数值之中，则根据 对应关系，在表格中直接获取；若不在所列数值之中，则需根据 因变量与自变量之间的变化进行估计．此题，通过表格能够直接 知道通话1～7分钟所需的电话费，通话时间超过7分钟的电话费则 要从已知数据中寻找变化规律来进行计算．
(1)支撑物高度为70 cm时，小车 下滑时间是多少？
(2)如果用h 表示支撑物高度，t 表示小车下滑时间，随 着h 逐渐变大，t 的变化趋势是什么？
(3)h 每增加10 cm，t 的变化情况相同吗？ (4)估计当h＝110时，t 的值是多少.你是怎样估计的？ (5)随着支撑物高度h 的变化，还有哪些量发生变化？
此规律可以发现，当气温x 为___2_5___℃时，声速y
达到346 m/s.
3 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y (cm)与所挂 的物体的质量x (kg)间有下面的关系：
x/kg 0
1
2
3
4
5
y/cm 10 10.5 11 11.5 12 12.5
北师大版数学七年级下册《用表格表示的变量间关系》变量之间的关系1
北师大版数学七年级下册
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感谢所有辛勤付出的人民教师
教学目标
1、在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量； 2、能从表格中获得变量之间关系的信息，能用表格表示变量之间的关 系，尝试对变化趋势进行初步的预测； 3、经历观察、实验、猜想、验证等数学活动，发展合理推理能力，并 能有条理地、清晰地阐述自己的观点.
自变量是： 高度
因变量是： 气温
（2）蜡烛在燃烧的过程中，剩余源自烛的长度随燃烧时间的 变化而变化，其中
自变量是： 燃烧时间 因变量是： 剩余蜡烛的长度
（3）在圆的周长公式C=2πr中，随着r的变大，C也变大 ，其中
自变量是： r
因变量是： C
课堂小结
在某一运动变化过程中，数值发生变化的量，叫做变量 . 在变化过程中数值始终不变的量叫做常量 . 自己主动发生变化的量叫自变量（变化产生的原因）. 被动发生变化的量叫因变量（变化导致的结果） .
1.89秒
新知探究
下面是王波学习小组得到的数据：
支撑物高度/cm 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
h
小车下滑时间/s
t
4.23
3.00 2.45
2.13
1.89 1.71 1.59
1.50
1.41 1.35
1.23 0.55 0.32 0.24 0.18 0.12
根据上表回答下列问题：
但最后10年的增加量大约只有0.76亿.
新知探究
相关概念：
在“小车下滑的时间”中，支撑物的高度h和小车下滑的时间t 都在变化，它们都是变量 .
其中小车下滑的时间t随支撑物的高度h的变化而变化.支撑物的 高度h是自变量 ，
北师大版七年级下册数学《用表格表示的变量间关系》变量之间的关系说课教学课件复习
第四章 变量之间的关系
用表格表示的变量间关系
1.经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，并能在此 过程中理解变量、自变量、因变量，进一步发展符号感和 抽象思维. 2.能根据具体情境用表格或关系式表示变量之间的关系. 3.能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对 应关系.
平均身高/厘米
年龄/岁
2.△ABC底边BC上的高是6厘米.
当三角形的顶点C沿底边BC所在
直线向点B运动时，三角形的面
积发生了变化.
1
2 （1）在这一变化过程中，哪些量不变？哪些量发生变量各是什么？ 自变量：BC，因变量：
（3）如果三角形的底边长为 x（厘米），那么三角形
的面积y（厘米2）可以表示为___y____3__x___.
(1)在这个变化过程中，自变量是_圆__锥__的__底__面__半__径__，因变量 是__圆__锥__的__体__积____.
（2）如果圆锥底面半径为r（厘米），那么圆锥的体积V
4 r2
（厘米3）与r的关系式为____V_=___3______.
（3）当底面半径由1厘米变化到10厘米时，圆锥的体积由
(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个 是因变量？ (2)当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？
(3)根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受 能力最强？ (4)从表格中可知，当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐 步增强？当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
【规律总结】 用表格表示变量之间关系的“三个一”
一个优点：根据表格中已列出的自变量的值，可以直接查到与 其对应的因变量的值，使用起来比较方便. 一个不足：表格中所列出的对应值一般都是有限的，由表格不 容易看出两个变量之间的对应规律，不能直观、形象地反映变 量之间的变化趋势. 一个注意：用表格表示变量之间关系时,要先表示自变量,再表示 因变量,在表示自变量和因变量时,第一列要写单位名称.
北师大版七年级数学下册《31用表格表示的变量间关系》课件MnnMwH
一分耕耘一分收获
20到24小时.
一分耕耘一分收获
4.下表所列为某商店薄利多销的情况.某商品原价 为560元，随着不同幅度的降价，日销量(单位：件) 发生相应的变化(如表)：
这个表反映了_两___个变量之间的关系，_降__价___是自 变量，_日__销__量___是因变量.从表中可以看出每降价5 元，日销量增加__3_0_件，从而可以估计降价之前的 日销量为_7_5_0_件.
第三章 变量之间的关系
3.1 用表格表示的变量间关系
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
一分耕耘一分收获
学习目标
1.了解常量与变量的含义，能分清实例中的常量与 变量；了解自变量与因变量的意义;（重点）
2.能从表格中获得变量之间关系的信息，能用表格 表示变量之间的关系，尝试对变化趋势进行初步 的预测．（难点）
一分耕耘一分收获
归纳总结 在“小车下滑的时间”中，支撑物的高度h和小 车下滑的时间t都在变化，它们都是变量(variable). 其中小车下滑的时间t随支撑物的高度h的变化而变化. 支撑物的高度h是自变量(independent variale)， 小车下滑的时间t是因变量(dependent variale). 在这一变化过程中，小车下滑的距离（木板的 长度）一直没有变化.像这种在变化过程中数值始终 不变的量叫作常量（constant）.
一分耕耘一分收获
议一议
我国从1949年到1999年的人口统计数据如下： （精确到0.01亿）：
时间/
年x
人口/ 亿y
1949 5.42
1959 6.72
北师大版七年级下册数学第三章《变量间的关系》知识点梳理及典型例题
第三章变量之间的关系知识点梳理及典型例题知识回顾——复习路程、速度、时间之间的关系：，，；知识点一常量与变量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为.数值始终不变的量为；在某一变化过程中，如果有两个变量x和y，当其中一个变量x在一定范围内取一个数值时，另一个变量y也有唯一一个数值与其对应，那么，通常把前一个变量x叫做，后一个变量y叫做自变量的；注意：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如：s=60t，速度60千米/时是，时间t和里程s为变量.t 是，s是。
知识点二用表格表示变量之间的关系表示两个变量之间的关系的表格，一般第一行表示自变量，第二行表示因变量；借助表格，可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况。
注意：用表格可以表示两个变量之间的关系时，能准确地指出几组自变量和因变量的值，但不能全面地反映两个变量之间的关系，只能反映其中的一部分，从数据中获取两个变量关系的信息，找出变化规律是解题的关键.知识点三用关系式表示两个变量之间的关系例如，正方形的边长为x，面积为y，则y=x2这个关系式就是表示两个变量之间的对应关系，其中x是，y是；一般地，含有两个未知数（变量）的等式就是表示这两个变量的关系式；【温馨提示】（1）写关系式的关键是写出一个含有自变量和因变量的等式，将表示因变量的字母单独写在等号的左边，右边是用自变量表示因变量的代数式.（2）自变量的取值必须使式子有意义，实际问题还要有实际意义.（3）实际问题中，有的变量关系不一定能用关系式表示出来.【方法技巧】列关系式的关键是记住一些常见图形的相关公式和弄清两个变量间的量的关系.根据关系式求值实质上是求代数式的值或解方程.知识点四用图象表示两个变量间的关系图象法就是用图象来表示两个变量之间的关系的方法；在用图象法表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（横轴）上的点表示，用竖直方向的数轴（纵轴）上的点表示，用坐标来表示每对自变量和因变量的对应值所在位置；【温馨提示】图象法能直观、形象地描述两个变量之间的关系，但只是反映两个变量之间的关系的一部分，而不是整体，且由图象确定的数值往往是近似的.【方法技巧】（1）借助图象，过某点分别向横轴、纵轴作垂线可以知道自变量取某个值时，因变量取什么值.（2）借助图象可判断因变量的变化趋势：图象自左向右是上升的，则说明因变量随着自变量的增大而增大，图象自左向右是上升下降的，则说明因变量随着自变量的增大而增大减小，图象自左向右是与横轴平行的，则说明因变量在自变量的增大的过程中保持不变.知识点五变量之间的关系的表示方法比较表示变量之间的关系，可以用、和；其中表格法一目了然，使用方便，但列出的数值有限，不容易看出因变量与自变量的变化规律；关系式法简单明了，能准确反映出整个变化过程中因变量与自变量之间的相互关系，但是求对应值时，要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来；图象法的特点是形象、直观，可以形象地反映出变量之间的变化趋势和某些性质，是研究变量性质的好工具，其不足是由图象法往往难以得到准确的对应值；专题一能从表格中获取两个变量之间关系的信息专题二根据表格确定自变量、因变量及变化规律4．一辆小汽车在高速公路上从静止到启动10秒之间的速度经测量如下表：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个变量是自变量？哪个变量是因变量？（2）如果用t表示时间，v表示速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是什么？（3）当t每增加1 s时，v的变化情况相同吗？在哪一秒钟,v的增加量最大？（4）若在高速公路上小汽车行驶速度的上限为120 km/h，试估计还需几秒这辆小汽车的速度就达到这个上限?专题三用关系式表示两个变量之间的关系5．某水果批发市场香蕉的价格如下表：专题四用关系式求值7．一棵树苗，栽种时高度约为80厘米，为研究它的生长情况，测得数据如下表：（1）此变化过程中是自变量，是因变量；（2）树苗高度h与栽种的年数n之间的关系式为；（3）栽种后后，树苗能长到280厘米．8．某市为了鼓励市民节约用水，规定自来水的收费标准如下表：（1）现已知小伟家四月份用水18吨，则应缴纳水费多少元？（2）写出每月每户的水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系式．（3）若已知小伟家五月份的水费为17元，则他家五月份用水多少吨？专题五曲线型图象9．温度的变化是人们经常谈论的话题．请你根据图象，讨论某地某天温度变化的情况如图所示：（1）上午10时的温度是度，14时的温度是度；（2）这一天最高温度是度，是在时达到的；最低温度是度，是在时达到的；（3）这一天从最低温度到最高温度经过了小时；（4）温度上升的时间范围为，温度下降的时间范围为；（5）你预测次日凌晨1时的温度是．10．如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中.（1）请分别找出与各容器对应的水的高度h和时间t的变化关系的图象，用直线段连接起来；（2）当容器中的水恰好达到一半高度时，请在关系图的t轴上标出此时t值对应点T的位置．专题六折线型图象11.如图，表现了一辆汽车在行驶途中的速度随时间的变化情况．（1）A、B两点分别表示汽车是什么状态？（2）请你分段描写汽车在第0分钟到第19分钟的行驶状况．（3）司机休息5分钟后继续上路，加速1分钟后开始以60 km/h的速度匀速行驶，5分钟后减速，用了2分钟汽车停止，请在原图上画出这段时间内汽车的速度与时间的关系图．栽种以后的年数n/年高度h/厘米1 1052 1303 1554 180……每月每户用水量每吨价（元）不超过10吨部分0.50超过10吨而不超过20吨部分0.75超过20吨部分 1.50第三章 变量之间的关系复习题1．一名同学在用弹簧做实验，在弹簧上挂不同质量的物体后，弹簧的长度就会发生变化，实验数据如下表：(2)弹簧不挂物体时的长度是多少？如果用x 表示弹性限度内物体的质量，用y 表示弹簧的长度，那么随着x 的变化，y 的变化趋势如何？(3)如果此时弹簧最大挂重量为15千克，你能预测当挂重为10千克时，弹簧的长度是多少？2．如图：将边长为20cm 的正方形纸片的四个角截去相同的小正方形，然后将截好的材料围成一个无盖的长方体。
北师大数学七年级下册第四章-变量之间的关系
第01讲_变量之间的关系知识图谱变量之间的关系（北师版）知识精讲变量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量常量在一个变化过程中，有些量的数值是始终不变的，我们称它们为常量关系一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且y随着x的变化而变化，x是自变量，y是因变量二．变量关系的三种表示方法表格法；关系式法；图像法．步骤列表表中给出一些自变量的值及其对应的因变量的值描点在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，因变量为纵坐标，描出表格中数值对应的各点连线按照横坐标由小道大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来注意事项1．表示两个变量的对应关系的点有无数个．但是实际上我们只能描出其中有限个点，同时想象出其他点的位置2．用实心点表示在曲线的点，用空心圈表示不在曲线的点四．易错点1．确定自变量的取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义．2．解决图象有关的问题，一定要注意理解横、纵坐标所表示的实际含义，然后根据图象求出函数解析式来解题．3．不能认为式子中出现的字母都是变量，如π不是变量而是常量．三点剖析一．考点：1．用表格表示的变量间关系； 2．用关系式表示的变量间关系； 3．用图象表示的变量间关系．二．重难点：用图象表示的变量之间的关系三．易错点：1．确定自变量的取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义．2．解决图象有关的问题，一定要注意理解横、纵坐标所表示的实际含义，然后根据图象求出函数解析式来解题．用表格表示的变量间关系例题1、 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y （cm ）与所挂的物体的质量x （kg ）间有下面的关系： 下列说法不正确的是（ ）A.x 与y 都是变量，且x 是自变量，y 是因变量B.所挂物体质量为4kg 时，弹簧长度为12cmC.弹簧不挂重物时的长度为0cmD.物体质量每增加1kg ，弹簧长度y 增加0.5cm 【答案】 C【解析】 根据给出的表格中数据分析，可以确定自变量和因变量以及弹簧伸长的长度，得到答案．例题2、 已知某易拉罐厂设计一种易拉罐，在设计过程中发现符合要求的易拉罐的底面半径与铝用量有如下关系：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）当易拉罐底面半径为2.4cm 时，易拉罐需要的用铝量是多少？（3）根据表格中的数据，你认为易拉罐的底面半径为多少时比较适宜？说说你的理由． （4）粗略说一说易拉罐底面半径对所需铝质量的影响．【答案】 （1）易拉罐底面半径和用铝量的关系，易拉罐底面半径为自变量，用铝量为因变量； （2）当底面半径为2.4cm 时，易拉罐的用铝量为356.cm ．（3）易拉罐底面半径为2.8cm 时比较合适，因为此时用铝较少，成本低．（4）当易拉罐底面半径在1.6～2.8cm 变化时，用铝量随半径的增大而减小，当易拉罐底面半径在2.8～4.0cm 间变化时，用铝量随半径的增大而增大．【解析】 本题考查函数的自变量与函数变量，根据表格理解：随底面半径的增大，用铝量的变化情况是关键． 例题3、 某校组织学生到距学校6km 的光明科技馆参观，准备乘出租车去科技馆，出租车的收费标准如表：则收费y （元）与出租车行驶里程数x （km ）（x ≥3）之间的关系式为（ ）x 0 1 2 3 4 5y 10 10.5 11 11.5 12 12.5底面 半径 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0 用铝量 6.96.05.65.55.76.06.5里程数收费/元 3km 以下（含3km ） 8.00 3km 以上每增加1km1.80A.y=8xB.y=1.8xC.y=8+1.8xD.y=2.6+1.8x【答案】 D【解析】 由题意得，所付车费为：y=1.8（x ﹣3）+8=1.8x+2.6（x ≥3）． 故选：D ．随练1、 心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间有如下关系：（其中030x ≤≤）（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？（2）当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？（3）根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟后，学生的接受能力最强；（4）从表中可知，当时间x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？【答案】 见解析【解析】 （1）提出概念所用的时间x 和对概念接受能力y 两个变量； （2）当10x =时，59y =，所以时间是10分钟时，学生的接受能力是59；（3）当13x =时，y 的值最大是59.9，所以提出概念13分钟时，学生的接受能力最强； （4）由表中数据可知：当213x <<时，y 值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当1320x <<时，y 值逐渐减下，学生的接受能力逐步降低．用关系式表示的变量间关系例题1、 写出下列各问题中的关系式，指出其中的常量、自变量、因变量及自变量取值范围． （1）直角三角形中一锐角的度数y 与另一锐角的度数x 之间的函数关系．（2）如果水的流速量是a m/min (一个定量)，那么每分钟的进水量3Q()m 与所选择的水管直径D (m )之间的函数关系． 【答案】 （1）90y x =-，90是常量，x 是自变量，y 是因变量，自变量x 的取值范围是090x <<；（2）24aD Q π=，常量为4aπ，自变量为D ，Q 为因变量，自变量0D >【解析】 （1）直角三角形两锐角互余，所以90y x =-，其中90是常量，x 是自变量，y 是因变量，自变量x 的取值范围是090x <<；（2）由水管直径为D 可知，水管的截面积为24D π，所以24aD Q π=，其中常量为4aπ，自变量为D ，Q 为因变量，自变量0D >；例题2、 等腰三角形的周长为16cm ，底边长为x cm ，腰长为y cm ，则x 与y 之间的关系式为_________． 【答案】 y=8﹣12x （0＜x ＜8） 【解析】 ∵等腰三角形的周长为16cm ，底边长为x cm ，腰长为y cm ． ∴x+2y=16， ∴y=8﹣12x （0＜x ＜8）． 例题3、 等腰三角形的周长为16cm ，底边长为x cm ，腰长为y cm ，则x 与y 之间的关系式为 ．【答案】 y=8﹣12x （0＜x ＜8）．【解析】 ∵等腰三角形的周长为16cm ，底边长为x cm ，腰长为y cm ．提出概念所用时间（x ） 257101213141720对概念的接受能力（y ）47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55∴x+2y=16，∴y=8﹣12x（0＜x＜8）．故答案为：y=8﹣12x（0＜x＜8）．随练1、等腰三角形的周长为30，则腰长y关于底边长x的函数关系式为__________，其中自变量x的取值范围是__________．【答案】1152y x=-+；015x<<【解析】230y x+=，整理得，1152y x=-+，根据三角形三边关系定理，02x y<<，∴102152x x⎛⎫<<-+⎪⎝⎭，∴015x<<．随练2、以直角三角形中的一个锐角的度数为自变量x，另一个锐角的度数y为因变量，则它们的关系式是．【答案】y=90°﹣x．【解析】根据题意得y=90°﹣x．故答案为y=90°﹣x．用图象表示的变量间关系例题1、小华同学利用假期时间乘坐一大巴去看望在外打工的妈妈，出发时，大巴的油箱装满了油，匀速行驶一段时间后，油箱内的汽油恰剩一半时又加满了油，接着按原速度行驶，到目的地时油箱中还剩有13箱汽油，设油箱中所剩汽油量为V升，时间为t（分钟），则V与t的大致图象是（）A.AB.BC.CD.D【答案】D【解析】A、从图象可知最后纵坐标为0，即油箱是空的，与题意不符，故本选项错误；B、图象没有显示油箱内的汽油恰剩一半时又加满了油的过程，与题意不符，故本选项错误；C、图象显示油箱的油用完以后又加满，与题意不符，故本选项错误；D、当t为0时，大巴油箱是满的，然后匀速减少至一半，又加满，到目的地是油箱中还剩有13箱汽油，故本选项正确．故选D．例题2、如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（）A.乙前4秒行驶的路程为48米B.在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒C.两车到第3秒时行驶的路程相同D.在4到8秒内甲的速度都大于乙的速度【答案】C【解析】A、根据图象可得，乙前4秒的速度不变，为12米/秒，则行驶的路程为12×4=48米，故A正确；B、根据图象得：在0到8秒内甲的速度是一条过原点的直线，即甲的速度从0均匀增加到32米/秒，则每秒增加32 8=4米秒/，故B正确；C 、由于甲的图象是过原点的直线，斜率为4，所以可得v=4t （v 、t 分别表示速度、时间），将v=12m/s 代入v=4t 得t=3s ，则t=3s 前，甲的速度小于乙的速度，所以两车到第3秒时行驶的路程不相等，故C 错误；D 、在4至8秒内甲的速度图象一直在乙的上方，所以甲的速度都大于乙的速度，故D 正确．随练1、 一个装有进水管和出水管的容器，从某一时刻起只打开进水管进水，经过一段时间，再打开出水管放水，至12分钟时，关停进水管．在打开进水管到关停进水管这段时间内，容器内的水量y （单位：升）与时间x （单位：分钟）之间的函数关系如图所示，关停进水管后，经过_____分钟，容器中的水恰好放完．【答案】 8【解析】 由04-分钟的函数图象可知进水管的速度，根据412-分钟的函数图象求出水管的速度，再求关停进水管后，出水经过的时间．进水管的速度为：2045÷=（升/分），出水管的速度为：()()53020124 3.75--÷-=（升/分），∴关停进水管后，出水经过的时间为：30 3.758÷=分钟．随练2、 上周周末放学，小华的妈妈来学校门口接他回家，小华离开教室后不远便发现把文具盒遗忘在了教室里，于是以相同的速度折返回去拿，到了教室后碰到班主任，并与班主任交流了一下周末计划才离开，为了不让妈妈久等，小华快步跑到学校门口，则小华离学校门口的距离y 与时间t 之间的函数关系的大致图象是（ ）A. B. C. D.【答案】 B【解析】 根据题意得，函数图象是距离先变短，再变长，在教室内没变化，最后迅速变短，B 符合题意随练3、 在20km 越野赛中，甲乙两选手的行程y （单位：km ）随时间x （单位：h ）变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①两人相遇前，甲的速度小于乙的速度； ②出发后1小时，两人行程均为10km ； ③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km ； ④甲比乙先到达终点． 其中正确的有_______个．【答案】 1【解析】 在两人出发后0.5小时之前，甲的速度小于乙的速度，0.5小时到1小时之间，甲的速度大于乙的速度，故①错误由图可得，两人在1小时时相遇，行程均为10km ，故②正确；甲的图象的解析式为y=10x ，乙AB 段图象的解析式为y=4x+6，因此出发1.5小时后，乙的路程为15千米，甲的路程为12千米，甲的行程比乙少3千米，故③错误；乙到达终点所用的时间较少，因此乙比甲先到达终点，故④错误．拓展1、 如图所示，某计算装置有一个数据输入口A 和一个运算结果输入口B ，下表给出的是小红输入的数字及所得的运算结果（1）若小红输入的数为x ，输出的结果为y ，你能用x 表示y 么？请写出来．（不需要写出x 的取值范围）（2）若输出结果为8，求小红输入的数字 【答案】 （1）1y x =-（2）81【解析】 （1）由表中数据可观察到，每个B 中数据都是在A 中数据开方后减一所得，101-=-，011=-，141=-，∴可得到函数1y x =-．（2）当8y =时，()211y x x y =-⇒=+，∴2981x ==．2、 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度()y cm 与所挂的物体的质量()x kg 间有下面的关系：下列说法不正确的是（ ）A.x 与y 都是变量，且x 是自变量，y 是因变量B.所挂物体质量为4kg 时，弹簧长度为12cmC.弹簧不挂重物时的长度为0cmD.物体质量每增加1kg ，弹簧长度y 增加0.5cm 【答案】 C【解析】 弹簧不挂重物时的长度为10cm3、 在某次实验中，测得两个变量m 和v 之间的4组对应数据如下表：则m 与v 之间的关系最接近于下列各关系式中的（ ）A.22v m =-B.21v m =-C.33v m =-D.1v m =+【答案】 B【解析】 分别代入当4m =时，算出v 即可．4、 购买单价为每支1.2元的铅笔，总金额y （元）与铅笔数n （支）的关系式可表示为y =__________，其中，__________是常量，__________是变量． 【答案】 1.2n ，单价，铅笔数【解析】 总金额等于每支铅笔的价格乘以铅笔的支数，故 1.2y n =，铅笔的单价是常量，铅笔数是变量． 5、 乘坐某种出租汽车，当行驶路程小于或等于3千米时，乘车费用都是10元（即起步价10元），当行驶路程大于3千米时，超过3千米的部分每千米收费2元，若一次乘坐这种出租车行驶4千米，则应付车费__________元；若一次乘坐这种出租车付费20元，则乘车路程是__________千米． 【答案】 12,8【解析】 本题考查函数的应用。
北师大7下数学 用表格表示的变量间关系
D.热水器
仿例2.某人以每小时m km的速度从甲地向乙地行走,若甲、乙两地相距s
km,当他行走了x h后,他距离乙地还有y km,在这个问题中,__x__是自变
量,__y__是因变量.
活动3 自主探究2
如何用表格表示变量间的关系？ 答：借助表格,可以表示因变量随自变量化情况,一般第一行是自变量,第二 行是因变量.
第三章 变量之间的关系 课题 用表格表示的变量间关系
一、学习目标
1.在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量,并能举出反映变量之 间相互关系的例子. 2.能从表格中获得变量之间关系的信息,能用表格表示变量之间的关系,并 根据表格中的数据尝试对变化趋势进行初步的预测.
二、学习重难点
重点 能从表格中发现变量之间存在的关系,并能用自己的语言描述出来. 难点 理解变量、自变量、因变量等概念.
练习
3.某河受暴雨袭击，某天此河水的水位记录为下表:
时间/小时 0 4 8 12 16 20 24
水位/米 2 2.5 3
4
5
6
8
（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？自变量和 因变量各是什么？
时间与水位的关系，自变量是时间，因变量是水位. （2）12小时，水位是多少？ 4米. （3）哪一时段水位上升最快？
20到24小时.
练习
4.下表所列为某商店薄利多销的情况.某商品原价为560元，随着不同幅度 的降价，日销量(单位：件)发生相应的变化(如表)：
这个表反映了__两__个变量之间的关系，_降__价___是自变量，__日__销__量__是因 变量.从表中可以看出每降价5元，日销量增加__3_0_件，从而可以估计降价 之前的日销量为_7_5_0_件.
活动6 课堂小结