4不定积分知识点

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4(1)不定积分的基本知识

G( x) f ( x), 要证F( x) G( x) 常数
又 F( x) f ( x),因为
G( x) F( x) G( x) F( x) f ( x) f ( x) 0
导数恒为零的函数必为常数
某个常数
故 F(x) G(x) C0 G(x) F(x) C0
只要找到f (x)的一个原函数,就知道它的全部原函数.
要判断一个不定积分公式是否正
确,只要将右端的函数求导,看是否等于
被积函数.
19
不定积分的基本知识
(1) kdx kx C (k是常数)
基 (2)
xdx x1 C ( 1) 1
本 (3) dx ln | x | C
积分
x
说明：x
0,
dx x
ln x C
公式
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1
由于原函数可导, 所以原函数必定连续,
因此在x = 0处必连续,于是有
1 C2 1 C1 C2 2 C1
故
e|x|
dx
例已知一曲线 y = f (x)在点( x, f (x))处的切线斜率为 sec2 x sin x, 且此曲线与y轴的交点为 (0,5), 求此曲线的方程. 解 dy sec2 x sin x
dx
y (sec2 x sin x)dx
tan x cos x C y(0) 5 C 6 所求曲线方程为 y tan x cos x 6
x 2 (1
x2
dx. )
解
1 2x2
x 2 (1
x2
dx )
1x
x2 (1
2xx2 )2dx
分项积分法
1
1
x2dx 1 x2dx

不定积分知识点总结

不定积分知识点总结引导语：不定积分一直是很多人都掌握不好的一个知识点，那么不定积分要怎么学好呢？接下来是小编为你带来收集整理的不定积分知识点总结，欢迎阅读！不定积分1、原函数存在定理定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F (x),使对任一x∈l都有F' (x) =f(x);简单的说连续函数一定有原函数。

分部积分法如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u,这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。

如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。

2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。

定积分1、定积分解决的典型问题(1)曲边梯形的面积（2 )变速直线运动的`路程2、函数可积的充分条件定理设f(x)在区间[a上]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。

定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积3、定积分的若干重要性质性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。

推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx推论| ∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m ( b-a ) ≤∫abf(x)≤dx≤M ( b-a ),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。

性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在点ξ。

使下式成立：∫abf(x)dx=f（ξ）( b-a )。

4、关于广义积分设函数f(x)在区刚[a,b]上除点c ( a<c<b )外连续，而在点c的邻域内无界，如果两个广义积分∫acf(x)dx与∫cbf(x)dx 都收敛，则定义∫acf(x)dx=∫cbf(x)dx ,否则(只要其中一个发散）就称广义积分∫abf(x)dx发散。

不定积分

第4章不定积分习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)思路: 被积函数52x-=，由积分表中的公式（2）可解。

解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22xx dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。

一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。

解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 223134ln ||.423x x x x C --=--++ ★(8)23(1dx x -+⎰思路:分项积分。

经济数学第四章不定积分

(3) 若函数 f (x) 在区间 I 上存在原函数，则其任
意两个原函数只差一个常数项.
前页后页结束2.不定积源自的概念定义2 如果函数F(x)是f (x)在区间 I 上的一个原函数，那
么f (x)的全体原函数F(x) ＋C(C为任意常数)称为f (x)在区
间 I 上的不定积分. 记作
f (x)dx
f
(x)
1
f
(x)
2
f (x )dx n
f
(x)dx
1
f
(x)dx
2
f
(x)dx.
n
前页后页结束
例6 求 (2x3 5x2 4x 3)dx.
解 (2x3 5 x2 4x 3)dx 2x3dx 5 x2dx 4xdx 3dx
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
又如d(sec x)=sec x tan xdx，所以sec x是sec x tan x
的原函数.
前页后页结束
注:(1)如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存在．
(2)如果f(x)在某区间上存在原函数，那么原函数不是唯一的,且有无穷多个
例如在(,上) 是sin x 的c原os函x 数而 sin x 1,sin x 2 sin x 1,sin x 3也是它的原函数即 cos x 加任意常数都是 sin x 的原函数.
ln 3
ln 3
例8 求 x( x1)2dx.
解
x( x1)2
x
5 2
2x
3 2
x
1
2,
所以
x(
x
1)2dx
(
x
5 2
2
x

第四章不定积分Microsoft Word 文档

不定积分一原函数与不定积分的概念1 原函数的定义：如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x , 即对x I ∀∈, 都有()()F x f x '=或()()dF x f x dx '=则函数()F x 称为()f x 在区间I 上的一个原函数。

注如果函数()f x 有原函数()F x ，则有无数多个原函数，且其中任意两个原函数相差一个常数，因而()f x 全部原函数可表示为：()F x c + （其中c 为任意常数）2 原函数存在的充分条件：设()f x 是区间I 上连续函数，则()f x 在区间I 上存在原函数。

3 不定积分定义在区间I 上, 函数()f x 的原函数的全体称为()f x 在区间I 上的不定积分, 记作()f x dx ⎰，即有()()f x dx F x c =+⎰ （其中()()F x f x '=）注：1不定积分与原函数是两个不同概念．不定积分是全体原函数集合，原函数是一个函数。

2函数()f x 的原函数的图形称为()f x 的积分曲线。

3不定积分定义给出求不定积分基本方法：求出()f x 的一个原函数()F x ，则()()f x dx F x c =+⎰【例】若()f x 的导函数是sin x ，则()f x 的一个原函数为（A ）1+sin x （B ）1sin x - （C ）1+cos x （D ）1cos x -解: 方法1 已知()sin f x x '=，而sin cos xdx x C =-+⎰，所以()0cos f x x C =-+又()()0cos sin f x dx x C dx x C x C =-+=-++⎰⎰，取00C=，1C =。

方法2 对（A ）（B ）（C ）（D ）中每一个函数求二阶导。

3．不定积分的基本运算性质设函数()f x 及()g x 的原函数都存在，则()()()()f x g x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰，其中,αβ是实常数。

04第四章--不定积分

第四章不定积分'、不定积分的概念和性质1 •原函数：若F (x) = f (x)，则称F (x)为f (x)的一个原函数. 2.不定积分：若 F (x)二 f (x)，则 f (x)dx = F (x) • C • 3 .不定积分的基本性质：(1) [ f(x)dx]" = f(x)或 d f (x)dx = f (x)dx ；(2) F (x)dx=F(x) C 或 dF(x) =F(x) C . 例1 (1 )若xln x 是f (x)的一个原函数，求 f (x)；(2) 若F(x)是叱的一个原函数，求dF(x 2)；x(3)若e »是f (x)的一个原函数，求e xf (x)dx ；1 1(4)若 f (x) e xdx =e xC ，求 f (x);(5) 求■ f (x 3)dJ ；(6) 若 f(x)二 e*，求f (lnx)dx . x解(1)因为 f (x) =(xln x)" = ln x 1，所以f (x)J .xsin x(2)因为F (x)-——，所以x (3)因为 f(x) =(e»)〔则 f (x)= ，所以e xf (x)dx 二 e x e»dx 二 dx 二 x C .f (x)g x. 2 dF(x 2) =[F (x 2) 2x]d^Sin ^x - x 22xdx 二 2sin x 2dx . (4) 1因为 f(x)e x= 1e11 —e x，所以■ f(x 3)dJ = f (x 3).f (ln x) dx 二 f (In x)d(ln x)二 f (In x) C = e " xc =丄 C . x x(5) (6)、直接积分法被积函数经过恒等变形后，能用基本积分公式和不定积分的性质计算不定积分的方法，称为直接积分法.例2 (1) (3) (5) (7) (9) 解(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9) 计算下列不定积分：(x 1)2 .rr dx；2-^pdx;1 x24也pdx;1 x2cos2x ,dx ;sin x cosxsin4 x cos4 x 门2 2dx.sin xcos x2 3j—LdxW vxx x xa e dx = (ae) dx(2)(4)(6)a x e x dx ;2(12x2)dx；x (1 x )sin2 -dx ；2cos2x ,dx ；xsin212x21x"2)dx52 2 4x25-2 2-x2 2x2 C .3—- dx = 11 x2 1 x21 2x2.—厂dx 二x2(1 x2)4x2dx1 x2cIn (ae)1 px = x - arctanx +C .1 1 12 2 dx 二arctan x -x x1 3dx x x arcta nx C .3_1亠1x1 —cosx ’1 .dx(x - sin x) C .2 22. 2.cos x - sin x .dx dx = (cos x - sinx)dx' sin x + cosx二sin x cosx C .,「1 —2sin2 x , rdx 2 dx =si n2 x--cot x -2x C ..4 亠 4sin x cos xcos2xsin x cosxcos2x・2sin x-2 dxsin2 xcos2 x 血二・4sin x・2 2~sin xcos x4cos x2+・2 2 ' sinxcos x ydx=(ta n 2x cot 2x)dx= (sec x csc x -2)dx=tan x - cot x - 2x C .三、换元积分法1 •第一换元积分法(凑微分法)设 f (u)du = F(u) • C ，则u (x)f[ (x)] ： (x)dx 二 f [ ：(x)]d ：(x) f(u)du^F(u) C u一(x)F[「(x)] C .常用的凑微分公式:f (ax b)dx =1 f (ax b)d(ax b)；a • f(ax n b)x nJL dx 二丄 f(ax n b)d(ax nb); na Lf (lnx)2dx= f (ln x)d(ln x)； xr J 1十J f — pdx=-J f (7) f(e ")e "d ^-： f (e")d(e")；(8) f (sin x)cosxdx= f (sin x)d(sin x)；(9) f (cosx)sin xdx - - f (cosx)d (cos x)；2(10) f (tanx)sec xdx 二 f (tanx)d(tanx)； (11)f (cot x) csc 2xdx = - f (cot x) d (cot x)；(12) f (secx)secx tanxdx 二 f (secx)d(secx)； (13) f (cscx)cscxcotxdx 二-f (cscx)d(cscx)；(14)『f= f f (arcsin x)d (arcsinx)；W —x 2(1)(2)(3) (4) (5) (6) dx =2 f (. x)d(.. x)f (e x)e xdx 二 f(e x )d(e x);iL 2 (15) -1 -x dx - - f (arccosx)d (arccosx)； (16) f (arctanix)d^ f (arctanx)d(arctanx)； b1 +x2 ' (17) f (arcc(ot x)d^ _ f (arccot x)d (arccot x). 1 +x 注 ①结合导数、微分基本公式理解这些凑微分公式及后面例题中出现的较复杂凑微分公式； ② 熟练掌握这些常用的凑微分公式和熟记基本积分公式； ③ 分部积分法中也会用到凑微分公式.例3(1) (3) 计算下列不定积分:sin xdx ; sin 4 xdx ; (2) (4) (5)(6) (7)tan 5 xsec 3xdx(8)sin 3 xdx ; sin 5 xdx ; arcta n 、、x ,ExT ；. cos2x (9)(x -1)e x2^xdx (10) dx ；1 sin xcosx ” dx(11) sin x cosx ..44 dx； sin x cos x(12) (13) sin 4x cos2xdx ;(14)sin 2 x 2 cos 2 x ' sin x , dx ;1 si nx. dxI 2~x 2x 5(15)dx解(1)x2x \e (1 e )r■ 2 . J —cos2x .sin xdxdx 1sin2x C . 4(2)1x -2 2sin 3 xdx - - sin 2 xd(cosx)二(cos 2x —1)d(cosx)」cos 3x - cosx C .3(3) (4)2 [ 2 dx (1 -2cos2x cos 2x)dx / 4 L1 1 cos4x(1-2cos2x )dx 4 2 3 1 c 1 ，小x sin 2x sin4x C . 8 4 32 sin 5 xdx - - sin 4 xd(cosx) - - (1 - cos 2 x)2d(cosx)sin 4xdx=匚吨 I 2=_(1 _2cos 2 x cos 4x)d(cosx) 注注意区分以上积分中cosx ，解法相同. In In x , dx =xln x J —arctan . x . J肩丙取切sin x 换为 (5) (6) (7)(8)(9) (10)(11) (12) 2 3 1 5 - --cosx — cos x - - cos X 亠 C . 3 5 sinx 的幕指数为奇数或偶数时的解法•若将 tan 5 xseC 3cos2x x 1 2 d(ln x) = In In xd(ln In x) In ln x C .In x 2 严呦匕x dgG) =2 [arctan 仮d(arctan^'G) 1 (x)2=(arctan . x) C .xdx = tan 4 xsec xd(secx)2 2 2二(sec x -1) sec xd (secx)二(sec 6 x 「2sec 4 x sec x) d (secx)In In 1 sin xcosx 1 7 sec 7 1 dx 二2 1 5 13x sec x sec x C . 5 3 1 d(sin 2x) sin 2x 1d(2 sin 2x)二 ln(2 sin 2x)C . 2 sin 2x 1 2 dx 二一 e x /x d(x 2-2x) 2 • 被积函数的分子、分母同除以 cos 2x 2f sec xdxdx'2 +tan 2x1 丄 tan x arctan C . sin 2x 6 -cos2x f *2宀(x -1)e x “ sin 2x 2cos 2sin xcosxs^x cos 4x dx1 2 x e 2d (ta n x) 2 tan 2x dx1 cos2xsin 2x 」12 dx 21 cos 2x2 1 cos 2x--arctancos2x C .2 d(cos2x)sin x(1 - sin x) 1^d_(rx)(1g 2, 心n x —sin x , dx 2 dx cos x2 2=secx tanxdx - tan xdx =secx - (sec x -1)dx =secx - tan x x C .「1「(13) sin 4xcos2xdx (si n6x si n2x)dx‘ 2 '1 1cos6x cos2x C . 12 4注与三角函数有关的积分中，常常使用半角公式和积化和差公式以降低三角函数的幕指数，简称降幕法.是常用的积分方法., . 1 , 1 X+1dx 2 dx arctan C .'(X +1)2+4 2 2 .2xJ 2x、d(e x)二e (1 e ).x+ C . xln x1，所以 x(x 1)dx 二一 [ln(1 x) - ln x] —dxx x 1二-[ln(1 x) —In x]d[ln(1 x) — In x]1 2[ln(1 x) - Inx]2 C .11X\評一R d(e)*例4 计算下列不定积分：(1) 1 I n x * 2 dx ； (xl nx)2(2) (3)2x3x2 3 -dx ； 9x -4x(4)(5) f cos2x . dx ;1 sin xcosx (6)(7)In(x 、1 x 2) 5dx .dx；因为(xln x) =1 In x ，所以1y d(xln x)二丄卫4dx =(xlnx) (xlnx) 因为[In(1 x) -In x] 1 + x x(2) ln(1 x) -Inx(14)(15) e x (1 e 2x ) dX=—e J x解(1) 4X In tan x , dx ; sinxcosx x 21 -arctane x C .ln(1x)T nxdx ； x(x 1)2dx =—lnIn(x 、1 x 2) 5‘ 岚 dx=In(x .1 x 2) 5d [In(x .1 x 2) 5]2-------- 3[In(x J x 2) 5]2 C .32 •第二换元积分法设.f[ (t)p ：(t)dt = F(t) C ，则.f(x)dx x _ (t) f[ :(t)]「(t)dt =F(t) (t_(x)F( :*(x)) C .(3) dxIn 2 -In 312x31- 2x3In 3x - 2x x2(1 n2—I n3) 3x —2(4)1因为(In tan x) ，所以sin xcosx (5)(6) ln tan x dx = In tan xd (In tan x) =1In 2 tan xC . sin xcosx 2 因为(1 • sin xcosx) = cos2x ，所以 1dx d(1 sin xcosx) 1 sin xcosx二In(1 sinxcosx) C .x 2，得cos2x 1 sin xcosx 被积函数的分子、分母同除以1+2xdx 二丄 x 2x 2tdx 1x 4x 2「1辛d x_x(7) 因为 1x -— ___ x + C 石C _ 1【2 [ln(x .1 x 2) 5]"二^1一，所以arctan〜1 arctan x _1 C . 2 2x 1 x 2C1 ln 2注(1 )当被积函数中含有根式时，一般要通过适当换元，去掉根号后再积分，这是第二换元积分法的主要作用•常见的代换有：① 含有形如nax b 的根式时，作代换nax b = t ；② 含有形如.a 2-x 2、- a 2x 2、. x 2-a 2( a 0 )的根式时，分别作三角代换： x=asi nt , x =ata nt , x=ased ；(2)当被积函数中分母关于 x 的次数比分子关于 x 的次数至少大1时,=2ln( 1 -1) -x C •(3)设、1 ln x =t ，则 ln x 二 t 2-1, x lnx_ dx =2 (t 2 -1)dt =?t 3 -2t C x .1 In x 3(1 ln x)仪 1 In x - 2 1 In x C 3(In x -2) 1 In x C . 3(4)设 x =atant ，贝U dx =asec 2tdt ，于是(21 2、2dx V .coftdt 二 1 (x a ) a1可考虑倒代换：x =-；当被积函数为a x 所构成的代数式时，可考虑指数代换: 计算下列不定积分：arctan 、x . dx ;.x(1 x) (3) 例5 (1) (2) (3)(5)dx;x . 1 ln x ：~2 2.a ■ ■ xdx (a 0)(4) f ———dx; e x1 r 1 」 J l2 , _2、2 dx ( aA 0)； (x a )「Jx 2_9 ddx • x(1) 曰疋设 ardan x = t ,贝 V x =tan t , 2 2x 二 ta n t , dx 二 2ta nt(2)arctan x 2dx 二 2tdt =t C x(1 x)________ QX设、e x 1 二 t ，则 x =1 n(t 2「1), dx2——2二(arctan 、x) C •dt ，于是.e x1dx =2 J dt =ln't 2 —12 2=e , dx 二 2te t 'dt ，于 3t -sin2t C • 2a 3C =C由 x =atant 得x 2ta nt 2axt 二 arctan — , sin 2t 2 22，a 1 ta n t x a 所以 2 12 2 dx 厶 arctan 「2" 2 C - '(x 2+a 22 2a‘I a x 2+a 2 丿 (5)设 x =asint ，贝U dx 二 acostdt ，于是(6)设 x =3sect ，则 dx =3secttantdt ，于是=In I sect tant I -sint C 1 .由 x =3sect 得x 叫X -9 Jx 2-9 sect tan t = -- ——，sin t = -----3 3 x十… —9 x Jx 2 -9 < x 2 —9 所以］ ------ 2—dx =ln + ------- +C 1x 3 3 x=lnx + Jx 2 - 9— Jx 2、.x例6计算下列不定积分:由于 2 2 -X~4 x cott=cost sin t dx a 2 j a 2. cos t ~47 sin t cot 21 csc 2tdtcot 2td(cott)二 3acot 31 C .「si n 2t sint所以x 4dx(a 2 x 2)、. a 23a 2x(1)dxx 2 ” x 2 a 2(2) 『 dxx(x 7 2) (3)x 1 dx ； x 2 .. x 2 -1(5) 2x dx 1 2x 4x解(1)令x 彳，则dx(4)p dx」 x 〃丄 2x\e (1 e )-gdt于是x 2 -9 dx tan 21sectdt = (sect -cost)dtdx x 2 . x 2 a 2dt1 a 2t 2(2) dx x(x 72)(3)(4) 2a 2…1 a 2t 2d(1 a 2t 2)1 a 2t 2C2 ax =1 t t 6 1 2t 7 dt1 1一汕1M C r ln|令e xdxx2x.e (1 e )(5)令 2x2xdx dx —a 2x17d(1 2t 7)14 1 2t 71 x7 21 2ln___ dt 1 -t 21j-t 2dt 2 j_t.X 2-1 1 "-arcs in — x xd(1 -t 2) --arcsint ,1 -t 2C1t ，则 dx dtt 2(1 t 2) t 2 亠dt1 t 21arcta nt C = t-xx—e -arctane则dx — ln2 1dtt 1 2x 4x ln21 t t2 dtIn 2 1 arcta n例7计算下列不定积分:1(1) -------- dx ；x(1 +J x)(3)dx；In 2t4——dt 3 4 (2)(4)arcta n2x1 1C .x 1 2 dx； x — X,x(x 1) dx . • x x 1二x -x 2- arcsin(2x -1) C .2[ dx = ((x 2+x 唧x 2—1)dx = [x 2dx 十[x 寸x 2—1dxx —、x 2—11= gx3 1(X 2 -1)2d(x 2-1)32Jx 3」(x 2 —1)。

第4章不定积分

第四章不定积分教学目的： 1、理解原函数概念、不定积分的概念。

2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。

3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

教学重点：1、不定积分的概念；2、不定积分的性质及基本公式；3、换元积分法与分部积分法。

教学难点：1、换元积分法；2、分部积分法；3、三角函数有理式的积分。

§4. 1 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念定义1 如果在区间I 上, 可导函数F (x )的导函数为f (x ), 即对任一x ∈I , 都有F '(x )=f (x )或dF (x )=f (x )dx ,那么函数F (x )就称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的原函数.例如因为(sin x )'=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数.又如当x ∈(1, +∞)时,因为x x 21)(=', 所以x 是x21的原函数. 提问:cos x 和x21还有其它原函数吗？原函数存在定理如果函数f (x )在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数F (x ), 使对任一x ∈I 都有F '(x )=f (x ).简单地说就是: 连续函数一定有原函数.两点说明:第一, 如果函数f (x )在区间I 上有原函数F (x ), 那么f (x )就有无限多个原函数, F (x )+C 都是f (x )的原函数, 其中C 是任意常数.第二, f (x )的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x )和F (x )都是f (x )的原函数, 则Φ(x )-F (x )=C (C 为某个常数).定义2 在区间I 上, 函数f (x )的带有任意常数项的原函数称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的不定积分, 记作⎰dx x f )(.其中记号⎰称为积分号, f (x )称为被积函数, f (x )dx 称为被积表达式, x 称为积分变量. 根据定义, 如果F (x )是f (x )在区间I 上的一个原函数, 那么F (x )+C 就是f (x )的不定积分, 即⎰+=C x F dx x f )()(.因而不定积分dx x f )(⎰可以表示f (x )的任意一个原函数.例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以C x x d x +=⎰s i n c o s .因为x 是x21的原函数, 所以 C x dx x+=⎰21. 例2. 求函数xx f 1)(=的不定积分. 解：当x >0时, (ln x )'x1=, C x dx x+=⎰ln 1(x >0); 当x <0时, [ln(-x )]'xx 1)1(1=-⋅-=, C x dx x+-=⎰)ln( 1(x <0). 合并上面两式, 得到C x dx x+=⎰||ln 1(x ≠0). 例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.解设所求的曲线方程为y =f (x ), 按题设, 曲线上任一点(x , y )处的切线斜率为y '=f '(x )=2x ,,即f (x )是2x 的一个原函数.因为 ⎰+=C x x d x 22,故必有某个常数C 使f (x )=x 2+C , 即曲线方程为y =x 2+C .因所求曲线通过点(1, 2), 故2=1+C , C =1.于是所求曲线方程为y =x 2+1.积分曲线: 函数f (x )的原函数的图形称为f (x )的积分曲线.从不定积分的定义, 即可知下述关系: ⎰=)(])([x f dx x f dxd , 或 ⎰=dx x f dx x f d )(])([;又由于F (x )是F '(x )的原函数, 所以⎰+='C x F dx x F )()(,或记作 ⎰+=C x F x dF )()(.由此可见, 微分运算（以记号d 表示）与求不定积分的运算（简称积分运算, 以记号⎰表示）是互逆的. 当记号⎰与d 连在一起时, 或者抵消, 或者抵消后差一个常数.二、基本积分表(1)C kx kdx +=⎰(k 是常数), (2)C x dx x ++=+⎰111μμμ, (3)C x dx x+=⎰||ln 1, (4)C e dx e x x +=⎰, (5)C aa dx a x x +=⎰ln , (6)C x xdx +=⎰sin cos ,(7)C x xdx +-=⎰cos sin , (8)C x xdx dx x+==⎰⎰tan sec cos 122,(9)C x xdx dx x+-==⎰⎰cot csc sin 122, (10)C x dx x+=+⎰arctan 112, (11)C x dx x +=-⎰arcsin 112, (12)C x xdx x +=⎰sec tan sec ,(13)C x dx x +-=⎰csc cot csc ,(14)C x dx x +=⎰ch sh ,(15)C x dx x +=⎰sh ch .例4 ⎰⎰-=dx x dx x331C x C x +-=++-=+-21321131. 例5 ⎰⎰=dx x dx x x 252C x ++=+1251251C x +=2772C x x +=372. 例6 ⎰⎰-=dx x x x dx343C x ++-=+-134134C x +-=-313C x+-=33. 三、不定积分的性质性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和, 即⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.这是因为, ])([])([])()(['+'='+⎰⎰⎰⎰dx x g dx x f dx x g dx x f =f (x )+g (x ).性质2 求不定积分时, 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来, 即⎰⎰=dx x f k dx x kf )()((k 是常数, k ≠0).例7. ⎰⎰-=-dx x x dx x x )5()5(21252 ⎰⎰-=dx x dx x 21255⎰⎰-=dx x dx x 21255 C x x +⋅-=232732572.例8 dx x x x dx xx xx dx x x )133(133)1(222323-+-=-+-=-⎰⎰⎰ C xx x x dx x dx x dx dx x +++-=-+-=⎰⎰⎰⎰1||ln 3321113322. 例9 ⎰⎰⎰-=-xdx dx e dx x e x x cos 3)cos 3(C x e x +-=sin 3.例10 C e C e e dx e dx e x x x xx x ++=+==⎰⎰2ln 12)2ln()2()2(2. 例11 dx xx dx x x x x dx x x x x )111()1()1()1(122++=+++=+++⎰⎰⎰ C x x dx x dx x++=++=⎰⎰||ln arctan 1112. 例12 dx x x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰++-+=++-=+222242411)1)(1(1111 ⎰⎰⎰⎰++-=++-=dx xdx dx x dx x x 222211)111( C x x x ++-=arctan 313. 例13 ⎰⎰⎰⎰-=-=dx xdx dx x dx x 222sec )1(sec tan= tan x - x + C .例14 ⎰⎰⎰-=-=dx x dx x dx x )cos 1(212cos 1 2sin 2 C x x +-=)sin (21.例15 C x dx x dx x x +-==⎰⎰cot 4sin 142cos 2sin 1222. §4. 2 换元积分法一、第一类换元法设f (u )有原函数F (u ), u =ϕ(x ), 且ϕ(x )可微, 那么, 根据复合函数微分法, 有d F [ϕ(x ) ]=d F (u )=F '(u )d u = F ' [ϕ(x ) ] d ϕ(x )= F '[ϕ(x ) ]ϕ'(x )d x ,所以 F '[ϕ(x )]ϕ'(x )dx = F '[ϕ(x )] d ϕ(x )= F '(u )d u = d F (u )=d F [ϕ(x ) ],因此 ⎰⎰'='')()]([)()]([x d x F dx x x F ϕϕϕϕ⎰⎰='=)()(u dF du u F C x F x dF +==⎰)]([)]([ϕϕ.即 )(])([)()]([)()]([x u du u f x d x f dx x x f ϕϕϕϕϕ=⎰⎰⎰=='=[F (u ) +C ] u = ϕ(x ) = F [ϕ(x )]+C .定理1 设f (u )具有原函数, u =ϕ(x )可导, 则有换元公式⎰⎰⎰+=+==='C x F C u F du u f x d x f dx x x f )]([)()()()]([)()]([ϕϕϕϕϕ .被积表达式中的dx 可当作变量x 的微分来对待, 从而微分等式ϕ'(x )dx =du 可以应用到被积表达式中.在求积分⎰dx x g )(时, 如果函数g (x )可以化为g (x )= f [ϕ(x )]ϕ'(x )的形式, 那么⎰dx x g )()(])([)()]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰='=.例1. ⎰⎰'⋅=dx x x xdx )2(2cos 2cos 2⎰=)2(2cos x xdC u u d u +==⎰s i n c o s =sin 2x +C .例2. dx x x dx x ⎰⎰'++=+)23(23121231⎰++=)23(23121x d xC u dx u +==⎰||ln 21121C x ++=|23|ln 21. 例3. ⎰⎰⎰⎰=='=du e x d e dx x e dx xe u x x x )()(222222C e C e x u +=+=2. 例4. 22222121)(1211dx x dx x x dx x x ⎰⎰⎰-='-=- C u du u x d x +-=-=---=⎰⎰2321223121)1(121 C x +--=232)1(31. 例5. ⎰⎰⎰-==x d x dx x x xdx cos cos 1cos sin tan C u du u+-=-=⎰||ln 1 =-ln|cos x |+C .即 C x x d x +-=⎰|c o s |ln tan .类似地可得C x x d x +=⎰|s i n |ln cot .熟练之后, 变量代换就不必再写出了.例6. dx ax a dx x a ⎰⎰+=+2222)(1111 C a x a a x d ax a +=+=⎰a r c t a n 1)(1112. 即 dx xa ⎰+221C a x a +=a r c t a n 1. 例7. C ax a a x d a x a dx a x +==⎰⎰sh ch ch . 例8. 当a >0时,⎰⎰-=-dx a x a dx x a 222)(1111C a x a x d ax +=-=⎰a r c s i n )(112. 即 dx xa ⎰-221C a x +=a r c s i n . 例9. ⎰⎰+--=-dx a x a x a dx ax )11(21122]11[21⎰⎰+--=dx a x dx a x a ])(1)(1[21⎰⎰++---=a x d ax a x d a x a C a x a x a ++--=|]|ln ||[ln 21C ax a x a ++-=||ln 21. 即 dx ax ⎰-221C a x a x a ++-=||ln 21. 例10. ⎰⎰⎰++=+=+xx d x x d x x dx ln 21)ln 21(21ln 21ln )ln 21( C x ++=|ln 21|ln 21. 例11. ⎰⎰⎰==x d e x d e dx x e x x x 3322333 C e x +=332. 含三角函数的积分:例12. ⎰⎰⋅=xdx x xdx sin sin sin 23⎰--=x d x cos )cos 1(2⎰⎰+-=x xd x d cos cos cos 2C x x ++-=3cos 31cos . 例13. ⎰⎰=x xd x xdx x sin cos sin cos sin 4252⎰-=x d x x s i n )s i n 1(s i n 222⎰+-=x d x x x s i n )s i n s i n 2(s i n 642C x x x ++-=753s i n 71s i n 52s i n 31. 例14. dx x xdx ⎰⎰+=22cos 1cos 2)2cos (21⎰⎰+=xdx dx ⎰⎰+=x xd dx 22cos 4121C x x ++=2s i n 4121. 例15. dx x xdx 224)(cos cos ⎰⎰=⎰+=dx x 2)]2cos 1(21[ ⎰++=dx x x )2cos 2cos 21(412 ⎰++=dx x x )4cos 212cos 223(41 C x x x +++=)4s i n 812s i n 23(41 C x x x +++=4s i n 3212sin 4183. 例16. ⎰⎰+=dx x x xdx x )5cos (cos 212cos 3cos C x x ++=5s i n 101sin 21. 例17. ⎰⎰=dx x xdx sin 1csc ⎰=dx x x cos sin 21 C x x x d x x x d +===⎰⎰|2t a n |ln 2tan 2tan 2cos 2tan 22=ln |csc x -cot x |+C . 即 ⎰x d xc s c =ln |csc x -cot x |+C . 例18. ⎰⎰+=dx x xdx )2csc(sec πC x x ++-+=|)2cot()2 csc(|ln ππ =ln |sec x + tan x | + C .即 ⎰x d xs e c =ln |sec x + tan x | + C .二、第二类换元法定理2 设x =ϕ(t )是单调的、可导的函数, 并且ϕ'(t )≠0. 又设f [ϕ(t )]ϕ'(t )具有原函数F (t ), 则有换元公式C x F t F dt t t f dx x f +=='=-⎰⎰)]([)()()]([)(1ϕϕϕ.其中t =ϕ-1(x )是x =ϕ(t )的反函数.这是因为)()]([1)()]([)(})]([{1x f t f dtdxt t f dx dt t F x F =='='='-ϕϕϕϕ. 例19. 求dx x a ⎰-22(a >0).解: 设x =a sin t , 22 ππ<<-t , 那么22x a -t a t a a cos sin 222=-=, dx =a cos t d t , 于是⎰⎰⋅=-t d ta t a dx x a cos cos 22 C t t a t d t a ++==⎰)2s i n 4121(c o s 222. 因为a x t arcsin =, ax a a x t t t 222cos sin 22sin -⋅==, 所以 dx x a ⎰-22C t t a ++=)2sin 4121(2C x a x a x a +-+=22221arcsin 2.解: 设x =a sin t , 22 ππ<<-t , 那么 ⎰⎰⋅=-t d ta t a dx x a cos cos 22 C t t a t d t a ++==⎰)2s i n 4121(c o s 222C x a x a x a +-+=22221a r c s i n 2. 提示:22x a -t a t a a cos sin 222=-=, dx =a cos tdt .提示: a x t arcsin =, ax a a x t t t 222cos sin 22sin -⋅==. 例20. 求⎰+22a x dx (a >0). 解法一: 设x =a tan t , 2 2 ππ<<-t , 那么22a x +t a a 222tan +=t a 2tan 1+==a sec t , dx =a sec 2t d t , 于是 ⎰+22a x dx ⎰⎰==tdt dt t a t a sec sec sec 2= ln |sec t + tan t |+C . 因为a a x t 22sec +=, ax t =tan , 所以 ⎰+22a x dx = ln |sec t + tan t |+C C a a x a x +++=)ln(22122)ln(C a x x +++=, 其中C 1=C -ln a .解法一: 设x =a tan t , 22 ππ<<-t , 那么 ⎰⎰⎰==+t d t dt t a t a ax dx sec sec sec 222=ln|sec t +tan t |+C C aa x a x +++=)l n (22122)l n (C a x x +++=, 其中C 1=C -ln a .提示:22a x +t a a 222tan +==a sec t , dx =a sec 2t dt ,提示:a a x t 22sec +=, ax t =tan . 解法二: 设x =a sh t , 那么⎰+22a x dx C a x C t dt dt t a t a +=+===⎰⎰arsh ch ch C a x a x +⎪⎭⎫⎝⎛++=1)(ln 2122)l n (C a x x +++=,其中C 1=C -ln a .提示: 22a x +222a t sh a +==a ch t , dx =a ch t d t .例23. 求⎰-22a x dx (a >0). 解: 当x >a 时, 设x =a sec t (2 0π<<t ), 那么22a x -222sec a t a -=1sec 2-=t a =a tan t ,于是⎰-22a x dx ⎰⎰==tdt dt t a t t a sec tan tan sec = ln |sec t + tan t |+C .因为a a x t 22tan -=, ax t =sec , 所以⎰-22a x dx = ln |sec t + tan t |+C C a a x a x +-+=||ln 22122)ln(C a x x +-+=,其中C 1=C -ln a .当x <a 时, 令x =-u , 则u >a , 于是 ⎰-22a x dx C a u u a u du +-+-=--=⎰)ln(2222 C a x x +-+--=)l n (22122)l n (C a x x +---=,122222)ln(ln C a x x C aa x x +---=+---=, 其中C 1=C -2ln a . 综合起来有⎰-22a x dx C a x x +-+=||ln 22. 解: 当x >a 时, 设x =a sec t (20π<<t ), 那么 ⎰-22a x dx ⎰⎰==t d t dt t a t t a sec tan tan secC aa x ax C t t +-+=++=)l n (|t a n s e c |ln 22C a x x +-+=)l n (22,其中C 1=C -ln a .当x <-a 时, 令x =-u , 则u >a , 于是 ⎰-22a x dx C a u u a u du +-+-=--=⎰)ln(2222 C aa x x C a x x +---=+-+--=22222ln )ln( 122)l n (C a x x +---=, 其中C 1=C -2ln a .提示:22a x -222sec a t a -=1sec 2-=t a =a tan t .提示:aa x t 22tan -=, a x t =sec .综合起来有C a x x a x dx +-+=-⎰||ln 2222. 补充公式: (16)C x xdx +-=⎰|cos |ln tan , (17)C x xdx +=⎰|sin |ln cot , (18)C x x xdx ++=⎰|tan sec |ln sec , (19)C x x xdx +-=⎰|cot csc |ln csc , (20)C a x a dx x a +=+⎰arctan 1122,(21)C a x a x a dx a x ++-=-⎰||ln 21122,(22)C a x dx x a +=-⎰arcsin 122,(23)C a x x a x dx +++=+⎰)ln(2222,(24)C a x x a x dx +-+=-⎰||ln 2222.§4. 3 分部积分法设函数u =u (x )及v =v (x )具有连续导数. 那么, 两个函数乘积的导数公式为(uv )'=u 'v +uv ',移项得 uv '=(uv )'-u 'v . 对这个等式两边求不定积分, 得 ⎰⎰'-='v d x u uv dx v u , 或⎰⎰-=v d u uv udv , 这个公式称为分部积分公式. 分部积分过程:⋅⋅⋅='-=-=='⎰⎰⎰⎰ vdx u uv vdu uv udv dx v u .例1 ⎰⎰⎰-==xdx x x x xd xdx x sin sin sin cos =x sin x -cos x +C . 例2 C e xe dx e xe xde dx xe x x x x x x +-=-==⎰⎰⎰.例3 ⎰⎰⎰-==2222dx e e x de x dx e x x x x x⎰⎰-=-=x x x x x d e e x d x xe e x 2222⎰+-=dx e xe e x x x x 222 =x 2e x -2xe x +2e x +C =e x (x 2-2x +2 )+C . 例4 ⎰⎰⎰⋅-==dx xx x x xdx xdx x 121ln 21ln 21ln 222C x x x xdx x x +-=-=⎰22241ln 2121ln 21.例5 ⎰⎰-=x xd x x xdx arccos arccos arccos dx x xx x ⎰-+=211arccos )1()1(21a r c c o s 212x d x x x ---=⎰-C x xx +--=21a r c c o s . 例6 ⎰⎰=2arctan 21arctan xdx xdx x ⎰+⋅-=dx xx x x 2221121arctan 21⎰+--=dx xx x )111(21arctan 212C x x x x ++-=a r c t a n 2121a r c t a n 212.例7 求xdx e x sin ⎰.解因为⎰⎰⎰-==x d e x e xde xdx e x x x x sin sin sin sin ⎰⎰-=-=x x x x x d e x e x d x e x e c o s s i n c o s s i n ⎰+-=x d e x e x e x x x c o s c o s s i n ⎰+-=x d e x e x e x x x c o s c o s s i n ⎰--=x d xe x e x e x x x s i n c o s s i n , 所以 C x x e x d x e x x +-=⎰)c o s (s i n 21s i n. 例8 求⎰xdx 3sec . 解因为⎰⎰⎰=⋅=x xd xdx x xdx tan sec sec sec sec 23 ⎰-=x d x x x x 2t a n s e c t a n s e c ⎰--=dx x x x x )1(sec sec tan sec 2 ⎰⎰+-=x d x x d x x x s e c s e c t a n s e c 3 ⎰-++=x d x x x x x 3s e c |t a n s e c |ln tan sec , 所以 ⎰x d x 3s e c C x x x x +++=|)tan sec |ln tan (sec 21.例9 求⎰+=nn a x dx I )(22, 其中n 为正整数.解 C ax aax dx I +=+=⎰arctan 1221;当n >1时，用分部积分法, 有 dx a x x n a x x a x dx n n n ⎰⎰+-++=+--)()1(2)()(222122122dx a x a a x n a x x n n n ⎰+-+-++=--])()(1[)1(2)(222122122, 即 ))(1(2)(211221n n n n I a I n a x xI --++=---, 于是 ])32()([)1(211--++-=n n I n a x x n a I . 以此作为递推公式, 并由C ax a I +=arctan 11即可得n I . 例10 求dx e x ⎰.解令x =t 2 , 则 , dx =2tdt . 于dx e x ⎰C x e C t e dt te x t t +-=+-==⎰)1(2)1(22. x d e x x d e dx e x x x ⎰⎰⎰==2)(2x d e e x de x x x x ⎰⎰-==222 C x e C e e x x x x +-=+-=)1(222. 第一换元法与分部积分法的比较:共同点是第一步都是凑微分⎰⎰=')()]([)()]([x d x f dx x x f ϕϕϕϕu x =)(ϕ令⎰du u f )(, ⎰⎰=')()()()(x dv x u dx x v x u ⎰-=)()()()( x du x v x v x u . 哪些积分可以用分部积分法？⎰xdx x cos , ⎰dx xe x , dx e x x ⎰2; ⎰xdx x ln , ⎰xdx arccos , ⎰xdx x arctan ; xdx e x sin ⎰, ⎰xdx 3sec .2222⋅⋅⋅===⎰⎰⎰du e dx e dx xe u x x ,2222⋅⋅⋅=-==⎰⎰⎰dx e e x de x dx e x x x x x .§4. 4 几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分有理函数的形式:有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数, 即具有如下形式的函数:mm m m nn n n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=----11101110)()(, 其中m 和n 都是非负整数; a 0, a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n 及b 0, b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b m 都是实数, 并且a 0≠0, b 0≠0. 当n <m 时, 称这有理函数是真分式; 而当n ≥m 时, 称这有理函数是假分式. 假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式. 例如1111)1(1122223++=+++=+++x x x x x x x x . 真分式的不定积分:求真分式的不定积分时, 如果分母可因式分解, 则先因式分解, 然后化成部分分式再积分. 例1 求⎰+-+dx x x x 6532. 解 ⎰+-+dx x x x 653⎰--+=dx x x x )3)(2(3⎰---=dx x x )2536(⎰⎰---=dx x dx x 2536=6ln|x -3|-5ln|x -2|+C .提示:)3)(2()32()(23)3)(2(3----++=-+-=--+x x B A x B A x B x A x x x , A +B =1, -3A -2B =3, A =6, B =-5.分母是二次质因式的真分式的不定积分: 例2 求⎰++-dx x x x 3222. 解 ⎰++-dx x x x 3222dx x x x x x )3213322221(22++-+++=⎰dx x x dx x x x ⎰⎰++-+++=321332222122⎰⎰+++-++++=2222)2()1()1(332)32(21x x d x x x x d C x x x ++-++=21a r c t a n 23)32l n (212.提示: 321332221323)22(213222222++⋅-++-⋅=++-+=++-x x x x x x x x x x x . 例3 求⎰-dx x x 2)1(1.解 ⎰⎰-+--=-dx x x x dx x x ])1(1111[)1(122⎰⎰⎰-+--=dx x dx x dx x 2)1(1111C x x x +----=11|1|ln ||ln .提示:)1(1)1(1)1(1)1(1-+--=-+-=-x x x x x x x x x22)1(1111)1(1)1(1-+--=-+-+--=x x x x x x x x .二、三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数, 其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算. 由于各种三角函数都可以用sin x 及cos x 的有理式表示, 故三角函数有理式也就是sin x 、cos x 的有理式. 用于三角函数有理式积分的变换:把sin x 、cos x 表成2tan x 的函数, 然后作变换2tan x u =:222122t a n 12t a n 22s e c 2t a n22c o s 2s i n 2s i n u u x x x x x x x +=+===,222222112s e c 2t a n 12s i n 2c o s c o s u u x xx x x+-=-=-=. 变换后原积分变成了有理函数的积分. 例4 求⎰++dx x x x )cos 1(sin sin 1. 解令2tan x u =, 则212sin u u x +=, 2211cos uu x +-=, x =2arctan u , du u dx 212+=. 于是 ⎰++dx x x x )cos 1(sin sin 1⎰+-++++=)111(12)121(2222u u u u u u du u 212+⎰++=du u u )12(21 C u u u +++=|)|ln 22(212C x x x +++=|2t a n|ln 212tan 2tan 412. 解令2tan x u =, 则du u u u u u u u dx x x x 2222212)111(12)121()cos 1(sin sin 1+⋅+-++++=++⎰⎰ ⎰++=+++=du uu C u u u )12(21|)|ln 22(212C x x x +++=|2t a n|ln 212tan 2tan 412. 说明: 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分.例如,⎰⎰++=++=+C x x d xdx x x )sin 1ln()sin 1(sin 11sin 1cos . 三、简单无理函数的积分无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去. 例5 求⎰-dx xx 1.解设u x =-1, 即12+=u x , 则 du u u udu u u dx xx ⎰⎰⎰+=⋅+=-12211222C u u du u +-=+-=⎰)arctan (2)111(22C x x +---=)1a r c t a n 1(2. 例6 求⎰++321x dx .解设u x =+32. 即23-=u x , 则du u u du u u x dx ⎰⎰⎰++-=⋅+=++111331121223C u u u du u u +++-=++-=⎰|)1|ln 2(3)111(32C x x x +++++-+=|21|ln 23)2(233332.例7 求⎰+xx dx )1(3.解设x =t 6, 于是dx =6t 5d t , 从而dt t t dt t t t xx dx ⎰⎰⎰+=+=+22325316)1(6)1(C t t dt t +-=+-=⎰)arctan (6)111(62 C x x +-=)a r c t a n (666. 例8 求⎰+dx xx x11.解设t xx =+1, 即112-=t x , 于是dtt t t t dx xx x⎰⎰--⋅-=+222)1(2)1(11 dt t dt t t )111(212222-+-=--=⎰⎰ C t t t ++---=|11|ln 2C xx x x xx +++-+-+-=11ln 12.练习 1. 求⎰+xdxcos 2.解: 作变换2t a n x t =, 则有dt t dx 212+=, 2211c o s tt x +-=,⎰+x dx cos 2⎰+-++=22211212t t t dt ⎰+=dt t 2312⎰+=3)3(11322t d t C t +=3arctan32C x+=)2tan 31arctan(32. 2. 求⎰dx xx45cos sin .解: ⎰dx x x 45cos sin ⎰-=x d x xc o s c o s s i n 44⎰--=xd xx c o s c o s )c o s 1(422 ⎰+--=x d xx c o s )c o s 1c o s 21(42C xx x ++--=3c o s 31c o s 2c o s . 3. 求⎰+-+dx x x x 23132. 解:⎰+-+dx x x x 23132⎰--+=dx x x x )1)(2(13⎰---=dx x x )1427( ⎰-=dx x 217⎰--dx x 114 =7ln|x -2|-4ln|x -1|+C .§4.5积分表的使用积分的计算要比导数的计算来得灵活、复杂. 为了实用的方便, 往往把常用的积分公式汇集成表, 这种表叫做积分表. 求积分时, 可根据被积函数的类型直接地或经过简单变形后, 在表内查得所需的结果. 积分表一、含有ax +b 的积分 1．⎰++=+C b ax ab ax dx ||ln 12．)1()()1(1)(1-≠+++=++⎰μμμμC b ax a dx b ax 3．C b ax b b ax adx bax x ++-+=+⎰|)|ln (124．[]C b ax b b ax b b ax a dx b ax x ++++-+=+⎰||ln )(2)(21122325．C xb ax b b ax x dx ++-=+⎰ln 1)(6．C x b ax b a bx b ax x dx +++-=+⎰ln 1)(22 7．()C b ax b b ax a dx b ax x ++++=+⎰||ln 1)(22 8．()C b ax b b ax b b ax a dx b ax x ++-+-+=+⎰2322||ln 21)( 9．C xb ax b b ax b b ax x dx ++-+=+⎰ln 1)(1)(22 例1求⎰+dx x x 2)43(. 解: 这是含有3x +4的积分, 在积分表中查得公式 ()C b ax b b ax a dx b ax x ++++=+⎰||ln 1)(22.现在a =3、b =4, 于是()C x x dx x x ++++=+⎰434|43|ln 91)43(2.二、含有b ax +的积分 1．C b ax adx b ax ++=+⎰3)(322．C b ax b ax adx b ax x ++-=+⎰32)()23(1523．C b ax b abx x a adx b ax x +++-=+⎰322232)()81215(10524．C b ax b ax a dx bax x ++-=+⎰)2(3225．C b ax b abx x a a dx bax x +++-=+⎰)843(15222232 6．⎰⎪⎩⎪⎨⎧<+-+->+++-+=+)0( arctan 2)0( ln 1b C b b ax bb C b b ax b b ax b b ax x dx 7．⎰⎰+-+-=+b ax x dx b a bx b ax b ax x dx 228．⎰⎰+++=+bax x dx b b ax dx xb ax 29．⎰⎰+++-=+bax x dx a xb ax dx xb ax 22 三、含x 2±a 2的积分1．⎰+=+C ax a a x dx arctan 122 2．⎰⎰--+--++-=+1222122222)()1(232)()1(2)(n n n a x dx a n n a x a n x a x dx 3．C a x a x a a x dx ++-=-⎰ln 2122四、含有ax 2+b (a >0)的积分1．⎪⎩⎪⎨⎧<+-+--->+=+⎰)0( ln 21)0( arctan 12b C bx a b x a ab b C x b a ab b ax dx 2．C b ax adx b ax x ++=+⎰||ln 2122 3．⎰⎰+-=+b ax dxa b a x dx b ax x 2224．C b ax x b b ax x dx ++=+⎰||ln 21)(222 5．⎰⎰+--=+dx b ax b a bx b ax x dx 22211)( 6．C bx x b ax b a b ax x dx +-+=+⎰22222321||ln 2)( 7．⎰⎰+++=+dx bax b b ax b x b ax dx 2222121)(2)( 五、含有ax 2+bx +c (a >0)的积分六、含有22a x + (a >0)的积分1．C a x x C a x a x dx +++=+=+⎰)ln(arsh 22122 2．C a x a x a x dx +++⎰222322)( 3．C a x dx a x x ++=+⎰2222 4．C a x dx a x x ++-=+⎰223221)( 5．C a x x a a x x dx a x x +++-+=+⎰)ln(2222222222 6．C a x x ax x dx a x x +++++-=+⎰)ln()(222232227．C x a a x a a x x dx +-+=+⎰||ln 12222 8．C x a a x ax x dx ++-=+⎰222222 9．C a x x a a x x dx a x +++++=+⎰)ln(222222222 例3求⎰+942x x dx . 解: 因为⎰⎰+=+222)23(2194x x dx x x dx , 所以这是含有22a x +的积分, 这里23=a . 在积分表中查得公式 C x a a x aa x x dx+-+=+⎰||ln 12222. 于是 C x x C x x x x dx+-+=+-+⋅=+⎰||2394ln 31||23)23(ln 3221942222. 七、含有22a x -(a >0)的积分1．⎰+-+=+=-C a x x C a x x x a x dx ||ln ||arch ||22122 2．⎰+--=-C a x a x a x dx 222322)( 3．C a x dx a x x +-=-⎰2222 4．⎰+--=-C a x dx a x x 223221)( 5．C a x x a a x x dx a x x +-++-=-⎰||ln 2222222222 6．⎰+-++--=-C a x x a x x dx a x x ||ln )(22223222 7．⎰+=-C x a a a x x dx ||arccos 122 8．⎰+-=-C x a a x a x x dx 222222 9．C a x x a a x x dx a x +-+--=-⎰||ln 222222222八、含有22x a -(a >0)的积分1．⎰+=-C a x x a dx arcsin 22 2．⎰+--=-C x a a x x a dx 222322)( 3．C x a dx x a x +--=-⎰2222 4．⎰+-=-C x a dx x a x 223221)( 5．C a x a x a x dx x a x ++--=-⎰arcsin 22222222 6．⎰+--=-C a x x a x dx x a x arcsin )(223222 7．⎰+--=-C x x a a a x a x dx ||ln 12222 8．⎰+--=-C x a x a x a x dx 222222 9．C ax a x a x dx x a +--=-⎰arcsin 2222222 九、含有)0(2>++±a c bx ax 的积分十、含有bx a x --±或))((b x a x --的积分十一、含有三角函数的积分1．C x x xdx ++=⎰|tan sec |ln sec2．C x x xdx +-=⎰|cot csc |ln csc3．C x xdx x +=⎰sec tan sec4．C x xdx x +-=⎰csc cot csc5．C x x xdx +-=⎰2sin 412sin 2 6．C x x xdx ++=⎰2sin 412cos 2 7．⎰⎰---+-=xdx nn x x n xdx n n n 21sin 1cos sin 1sin8．⎰⎰---+=xdx nn x x n xdx n n n 21cos 1sin cos 1cos 9．C x b a b a x b a b a bxdx ax +---++-=⎰)cos()(21)cos()(21cos sin 10．C x b a b a x b a b a bxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin 11．C x b a b a x b a b a bxdx ax +--+++=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos 12．)( 2tan arctan 2sin 222222b a C b a b x a b a x b a dx >+-+-=+⎰ 13．)( 2tan 2tan ln 2sin 22222222b a C a b b x a a b b x a a b x b a dx <+-++--+-=+⎰ 14．())( 2tan arctan 2cos 22b a C x b a b a b a b a b a x b a dx >++--++=+⎰ 14．)( 2tan 2tan ln 2cos 22b a C a b ba x ab ba x ab b a b a x b a dx <+-+--++-++=+⎰ 例2求⎰-xdx cos 45. 解: 这是含三角函数的积分. 在积分表中查得公式())( 2t a n a r c t a n 2c o s 22b a C x b a b a b a b a b a x b a dx >++--++=+⎰. 这里a =5、b =-4, a 2>b 2, 于是() 2t a n )4(5)4(5a r c t a n )4(5)4(5)4(52c o s 45C x x dx +-+-----+-+=-⎰ ()C x +=2t a n 3a r c t a n 32. 例3 求⎰xdx 4sin .解: 这是含三角函数的积分. 在积分表中查得公式⎰⎰---+-=x d x n n x x n x d x n n n 21s i n 1c o s s i n 1s i n , C x x x d x +-=⎰2s i n 412s i n 2. 这里n =4, 于是C x x x x x d x x x x d x +-+-=+-=⎰⎰)2s i n 412(43c o s s i n 41s i n 43c o s s i n 41s i n 3234.。

高数期末复习第四章不定积分

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高数高上数第四章重点
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郭啸龙主编
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帮《不定积分》
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本章说明
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汇总了求不定积分的所有方法与题型，含所有公式
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帮第四章不定积分重要知识点
考点
重要程度
分值
1.直接积分 2.凑积分 3.换元法
数必考
0~3
4.分部积分法
6~10
5.有理化积分
1. kdx kx C
帮 (4) cot xdx ln | sin x | C
(6) csc xdx ln | csc x cot x | C
数 (8)
dx sin 2 x
csc2 xdx cot x C
高 (10) csc x cot xdx csc x C
帮
帮定义：在区间 I 上， F(x) f (x) （或 dF (x) f (x)dx ）,则 F (x) 称为 f (x) 在区间 I 上
即 x 3 (A B)x (3A 2B) .
帮数
因是恒等式，两端关于 x 的同次幂的系数应相等,即
A B 1 3A 2B 3,
帮从中解得 A 5,B 6 .
x2
x
3 5x
dx 6
x52dx
x
6
dx 3
5
ln
|
x
2
|
6
|
x
3
|
C
数
高
数高
高
帮数高
帮数高
的一个原函数.
数定义 f (x) 在区间 I 上的全体原函数称为 f (x) 在区间 I 上的不定积分,记作 f (x)dx ,

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2 1 1 t2
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6[t arctant] C
6[6 x arctan6 x] C.
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基 (16)
本积 (17)
分表
(18)
(19)
tan xdx ln cos x C; cot xdx ln sin x C; sec xdx ln(sec x tan x) C; csc xdx ln(csc x cot x) C;
第二类积分换元公式
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例例例
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例例当a0时,
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例
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例3
求
x(1
1 2ln
dx. x)
解

x(1
1 2ln
dx x)

1

1 2 ln
d (ln x
x)

1 2

1

1 2 ln
d x
(1

2
ln
x5 1 x2dx (sin t)5 1 sin2 t cos tdt
sin5 t cos2 tdt （应用“凑微分”即可求出结果）
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定理2 设 x (t )是单调的、可导的函数，
并且 (t) 0，又设 f [ (t)] (t)具有原函数，
总结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂
函数为u , 使其降幂一次(假定幂指数是正整
数)
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例4 求积分 x3 ln xdx.
解 u ln x, x3dx d x4 dv,
4

x3
ln
xdx

1 4
x4
ln
x

1 4

x
3dx
令
x

1 t

dx

1 t2
dt ,

x(
1 x7
dx 2)

t
17
t

2

1 t2
dt

1
t
6
2t 7
dt
1 ln | 1 2t 7 | C 1 ln | 2 x7 | 1 ln | x | C.
14
14
2
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说明(5) 当被积函数含有两种或两种以上的
根式 k x,, l x 时，可采用令x t n （其中 n为各根指数的最小公倍数）
例23 求
1 dx.
x(1 3 x)
解令 x t 6 dx 6t 5dt,

1 x(1 3
dx x)

t
3
6t 5 (1
t
2
)
dt

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微分与积分的关系从不定积分的定义可知
又由于F(x)是F (x)的原函数, 所以
由此可见, 如果不计任意常数, 则微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
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三、不定积分的性质
(1) [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx; (2) kf ( x)dx k f ( x)dx.
e x sin x (e x cos x e xd cos x)
e x (sin x cos x) e x sin xdx 注意循环形式

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例21 解当x>a 时,
当x<a时,
(C1Clna).
综合起来有首页
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(C1C2lna).
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1
例20 求
dx. 1 ex
解令 t 1 e x e x t 2 1,
x lnt2 1,
dx

t
2t 2
dt , 1

1 1
dx

dx

1
1 e
x
d
(1

e
x
)
x ln(1 e x ) C.
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例8
求
(1
1 x2
)e
x
1 x
dx.
解

x

1 x

1
1 x2
,

(1
1 x2
x 1
)e xdx

x 1
e xd(x

1)

x 1
ex

C.
x
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例10
求
1

1 cos
x
dx.
解

1

1 cos
x
dx

1

1 cos x
cos x1 cos
x
dx

1 cos x 1 cos2 x
dx

1 cos x sin2 x
dx

1 sin 2
x
dx

1 sin 2
x
d
(sin
x)
cot x 1 C. sin x
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例
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例例
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例12 求 cos 3x cos 2xdx.
解 cos Acos B 1[cos( A B) cos( A B)], 2
cos 3x cos 2x 1 (cos x cos5x), 2

cos
3
F( x) C 都是 f ( x)的原函数.
（2）若F ( x) 和G( x) 都是f ( x) 的原函数，则 F ( x) G( x) C （C 为任意常数）
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不定积分的定义：
在区间I 内，函数 f ( x)的带有任意
常数项的原函数称为 f ( x)在区间I 内的
若将这条曲线沿y轴向上或向下移动长度为|C|的距离,就
得到f(x)的另一条积分曲线F(x)+C,由于C可以取任意实
数,故可以得到f(x)的无穷多条积分曲线,它们构成一个曲
线族,称为f(x)的积分曲线族. 它的特点是:在横坐标相同
的点处,各积分曲线的切线有相同的斜率,都是f(x),即各
切线平行.
y f (x)dx 或 y F (x) C
1
1
u

1
1
u
du
1 ln 1 u C 1 ln 1 cos x C.
2 1u
2 1 cos x
类似地可推出 sec xdx ln(sec x tan x) C .
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例解
注进行变换和逆变换均要根据此图.
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第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将
g( x)dx 化为 f [( x)]( x)dx.
观察重点不同，所得结论不同.
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二、第二类换元法
问题 x5 1 x2dx ?
解决方法改变中间变量的设置方法.
过程令 x sin t dx cos tdt,
不定积分，记为 f ( x)dx .
f ( x)dx F( x) C
积分号
被积函数
被积表达
式
积分变量
任意常数
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2.不定积分的几何意义设F(x)是f(x)的一个原函数,则方程y=F(x)的图形是
直角坐标系xOy中的一条曲线,称为f(x)的一条积分曲线.
f [( x)]( x)dx F[( x)] C [ f (u)du]u ( x) 由此可得换元法定理
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定理1 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)