信息的度量
信息的度量
3.1 具有概率特性的信息
以具有概率特性的反导弹知识为例, 为有效指挥控制反导作战, 对来袭导弹 的到达率搜集信息并处理, 获得所需信息(知识, 如来袭导弹到达率),以得到最有 效作战决策。广义的信息包括知识, 知识是信息的高级发展。假设导弹防御决策 所需的相对知识为在j 时间段单位时间内来袭导弹的到达比例, 需求其熵和知识 量。 设x 为在j 时间段单位时间内来袭导弹的比例,即x= h/q。 其中, h为j时间段单 位时间内来袭导弹到达的数量; q为在j - 1时间段来袭导弹的剩余量,x 为随机变 量。x 的熵H ( x )表明x 的信息量。在信息论中x 的熵(单位: 奈特)表示为:
3.2 非各态历经过程特性的信息语用学度量
非各态历经过程特性的信息语用学计量与按采样定理的采样函数值xi ( t ) 的价值和效用内容有关。设非各态历经过程特性的信息价值和效用可能性为Q (x), 则非各态历经过程特性的信息采样的语用学度量信息量为:
I lbQ x lb1
N
Qx
换算法, 计算带宽Δ f。按采样间隔h= 1 / ( 2Δf )进行采样(采样定理)。可得采样 数N = 2ΔfT。可以证明, N = 2ΔfT 是过程时间函数x ( t)最多的独立符号数。可 推算上述3种过程特性的信息采样序列中每个采样的语法信息量为:
F k
2
I - lb1
2fT lb2fT lbN
N
( 9)
其中, Rxi 1 , R (x )与Δf , T, 采样次序以及语义内容有关。非各态历经过程
i 1
特性的信息采样序列的总信息量为: I= N lb1 /R (x ) ( 10)
3.信息的语用学度量(P ragmatics measure ofinformation)
信息论研究的主要内容
信息论研究的主要内容
信息论是一门研究信息传输、存储、处理等问题的学科，其主要内容包括以下几个方面：
1. 信息的度量和表示：信息的度量可以通过熵、互信息等指标来实现，而信息的表示则可以通过编码的方式来实现。
2. 信道编码和解码：信道编码和解码是信息传输的核心环节，其中编码方法包括香农编码、哈夫曼编码等，而解码方法则包括维特比算法、前向后向算法等。
3. 误差控制编码：误差控制编码是一种能够在数据传输过程中自动纠错的编码方式，其中最常用的是海明码、卷积码等。
4. 压缩编码：压缩编码是一种能够将数据在保持质量不变的情况下减少数据存储空间的编码方式，其中最常用的是无损压缩算法和有损压缩算法。
5. 信息论在通信系统中的应用：信息论在通信系统中的应用包括调制、多路复用、功率控制、网络协议等方面，它为通信系统的设计和性能优化提供了基础理论支持。
总之，信息论研究的主要内容涵盖了信息的度量、信道编码和解码、误差控制编码、压缩编码以及信息论在通信系统中的应用等方面，为信息传输和处理提供了基础理论支持。
- 1 -。
1.4 信息及其度量
I = log
P(x) = - loga
1.4 信息及其度量
二、度量信息量的方法
I = log
1 p(x) a P(x) = - loga
a=2—比特(bit);
a=e—奈特(nat);
a=10—哈特莱(Det);
1.4 信息及其度量
二、度量信息量的方法
1、离散消息
P(x ) 1）信源每个符号的自信息量；I(xi ) = - log2 i（bit）
越不可能发生的 事件，带来的信 息量越大！
例：
1.4 信息及其度量
二、度量信息量的方法
信息量是概率P(x)的函数； I=f［P(x)］ P(x)越小，I越大； P(x)→1时， I→0 P(x)→0时， I→∞
若干个互相独立事件构成的消息，信息具有相加性；
I［P(x1)P(x2)…］=I［P(x1)］+I［P(x2)］+…
1.4 信息及其度量
信息是消息的内涵（有效内容，不确定性）； 通信的目的：传输消息中所包含的信息； 信息量—对消息中内容的不确定性的定量描述；
1.4 信息及其度量
一、度量信息量的原则
能度量任何消息，与消息的种类无关；
度量方法与消息的重要程度无关； 消息中所含的信息量与消息中内容的不确定性有关；
I总 23I0 14I1 13I 2 7I3 108（bit）
利用熵的概念来计算： H 1.906 (b/符号）
I总 57 H 57 1 906 108.64（bit）
评注
1.4 信息及其度量
2、连续消息
1 f (x) a
信息度量的基本公式
信息度量的基本公式
信息度量的基本公式是用来衡量信息熵的一种数学模型，它可以有效地计算出信息的不确定性、复杂度等统计特征。
它的核心思想是，当一个系统的状态发生变化时，它所表示的信息量会随之增加或减少。
该公式的基本形式是H(X)=-∑pi log2pi，其中X表示系统的状态，pi表示该状态出现的概率，H(X)表示X的信息度量。
以二进制位为例，假设X的状态有两种，即0和1，那么X的信息度量H(X)= -p0log2p0-p1log2p1。
假如X的状态有n种，则X的信息度量H(X)= -∑pi log2pi，其中pi为状态i出现的概率，i=1,2,…,n。
比如，信息度量H(X)可以应用于英语文本中，其中X 表示文本中出现的所有字符，pi表示每个字符出现的概率。
这样，就可以通过计算H(X)来衡量文本中字符组合出现的不确定性和复杂度。
此外，信息度量的基本公式也可以用来分析图像、声音等多媒体信息，其中X表示图像或声音的各种状态，pi 表示该状态出现的概率。
信息度量的基本公式对于衡量信息的复杂度和不确定性非常有效，它可以有效地用于计算机视觉、语音识别、机器学习等领域。
除此之外，信息度量的基本公式还可以用来分析网络流量的可信性和安全性，其中X表示网络流量中出现的数据包，pi表示数据包出现的概率。
总之，信息度量的基本公式是一个统计方法，可以有效地应用于衡量信息的复杂度和不确定性等方面，广泛应用于计算机视觉、语音识别、机器学习、网络流量安全性等领域。
信息的度量
How to measure Information?
信息论基础
本章内容
• 信息及其度量
• 平均信息量-熵
• 通过信道的平均信息量-互信息量 • 信息不增原理 • 各种信息量之间的关系 • 连续随机变量的信息度量
参考书：沈振元等，“通信系统原理”，第11章（PP412-437)
戴善荣, “信息论与编码基础”, 第2章
p ( xi , yj ) p ( xi / yj ) = p ( yj ) p ( xi , yj ) p ( yj / xi ) = p ( xi )
3 联合自信息量和条件自信息量 设输入和输出都可以用离散概率空间来表示：
X = {A， P}，其中A={ai}; Y = {B, Q}, 其中B={bj}
Y y1 , y 2 , , y j , P(Y ) = p( y ), p( y ), , p( y ), 2 j 1
这里p(yj)（j=1,2,3等）是集合Y中各个消息 y1，y2 ，y3 …出现的概率。
收信者获得的信息量
当信宿接到集合Y中的一个消息符号后，接收 者重新估计关于信源的各个消息 发生的概率 就变成条件概率，这种条件概率又称为后验概 率。 收信者收到一个消息后，所获得的信息量等 于收到消息前后不确定程度的减少量。
i n n 1 1 pi) ln 2 = 0, ( n = 1, pi = 1) i =1 i =1
n 1 1 p( 1) = ( i i =1 p n ln 2 i=1 n
1
i
故有H ( x ) H 0 0,即等概时有最大熵
例
一个二进制信元X，两个符号出现的概率分别为p和1-p,
信息论与编码第二章信息的度量
14
2.1.1 自信息量
（1）直观定义自信息量为：
收到某消息获得的信息量 = 不确定性减少的量
= 收到此消息前关于某事件发生的不确定性 收到此消息后关于某事件发生的不确定性
15
2.1.1 自信息量
举例：一个布袋中装有对人手感觉完全 一样的球，但颜色和数量不同，问下面 三种情况下随意拿出一个球的不确定程 度的大小。
18
2.1.1 自信息量
应用概率空间的概念分析上例，设取红球的状 态为x1，白球为x2，黑球为x3，黄球为x4，则 概率空间为： x2 （1） X x1
P( x) 0.99 0.01
（ 2）
（ 3）
X x1 P( x) 0.5
一、自信息和互信息
二、平均自信息
2.1.2 互信息
三、平均互信息
2.1.1 自信息量
信源发出的消息常常是随机的，其状态存在某种 程度的不确定性，经过通信将信息传给了收信者， 收信者得到消息后，才消除了不确定性并获得了 信息。
获得信息量的多少与信源的不确定性
的消除有关。
不确定度——惊讶度——信息量
第二章：信息的度量
自信息和互信息 平均自信息 平均互信息
2.1.1 自信息（量） （续9）
例4：设在一正方形棋盘上共有64个方格，如果甲将一 粒棋子随意的放在棋盘中的某方格且让乙猜测棋子所 在位置。 （1） 将方格按顺序编号，令乙猜测棋子所在的顺序 号。问猜测的难易程度。
（2）将方格按行和列编号，甲将棋子所在方格的列编 号告诉乙之后，再令乙猜测棋子所在行的位置。问猜 测的难易程度。
自信息是事件发生前，事件发生的不确定性。
信息论编码 第二章信息度量1
50个红球，50个黑球
Y
20个红球，其它4种 颜色各20个
Z
问题：能否度量、如何度量？？
2.3.2信源熵数学描述
信源熵
• 定义：信源各个离散消息的自信息量的数学期望 （即概率加权的统计平均值）为信源的平均信息 量，一般称为信源的信息熵，也叫信源熵或香农 熵，有时也称为无条件熵或熵函数，简称熵。 • 公式： n 1 H ( X ) = E[ I ( xi )] = E[log2 ] = −∑ p( xi ) log2 p( xi ) p( xi ) i =1 • 熵函数的自变量是X,表示信源整体，实质上是无 记忆信源平均不确定度的度量。也是试验后平均 不确定性＝携载的信息 信息量为熵 • 单位：以2为底，比特/符号 • 为什么要用熵这个词，与热熵的区别？
3
( 2)
∑ p ( x ) = 1, ∑ p ( y
i =1 m i j =1
n
m
j
) = 1,∑ p ( xi / y j ) = 1,
i =1 n
n
概 率 复 习
∑ p( y
j =1 n
j
/ xi ) = 1, ∑ ∑ p ( xi y j ) = 1
j =1 i =1 m
m
( 3) ( 4) (5)
1
对天气x1 ,Q p( x1 / y1 ) = 0,∴不必再考虑x1与y1之间 信息量
对天气 x 2 : I ( x 2 : y 1 ) = log
2
p ( x 2 / y1 ) = log p ( x2 )
2
1/ 2 = 1( bit ) 1/ 4
同理 I ( x 3 : y 1 ) = I ( x 4 : y 1 ) = 1( bit ), 这表明从 y 1 分别得到了
信息论——信息的度量
信息论——信息的度量信息的度量 信息具可度量性，其⼤⼩取决于信息所消除的不确定性 举例如下： 消息A：中国⼥⼦乒乓球队夺取亚运会冠军。
消息B：中国男⼦⾜球队夺取世界杯赛冠军。
从事件的描述上来看，其主题内容⼤致相同，那么我们是否可以认为事件A和事件B具有相同的信息量呢？显然是不⾏的。
根据以往经验，我们可以认为事件A是⼀个⼤概率事件，所以事件A的不确定性⽐较⼩，故当事件A发⽣时，我们从这个消息中得到的信息（消除的不确定度）很⼩。
同理对事件B⽽⾔，由于是个极⼩概率事件，我们得到的信息很⼤。
由此我们可以推断：消息B的信息量⼤于消息A。
对于⼀个事件X，我们假设其不确定性为 I(p1) ，其中 p1 是事件X的先验概率。
对应于事件X的消息X所消除的不确定性为 I(p2)。
那么在我们获取了消息X之后，事件X的不确定性就变为了 I(p1)-I(p2) ，由此我们可以知道当我们对⼀个事物的信息获取的越多，其不确定性就越⼩，当其不确定性变为0时，该事件就被确定下来了，我们对其⽆法再获取更多的信息量了。
直观定义： 收到某消息获取的信息量=不确定性减少量=收到该消息前后某事件的不确定性差信息量的数学表⽰ 理论依据（信息量具有的性质）： 1.⾮负性对于⼀个事件⽽⾔，当事件被完全确定时，即我们⽆法获取更多信息时，其信息量为0，因此⽆法⽐0更⼩。
2.单调性是先验概率的单调递减函数，即某事件的发⽣概率越⼤，其信息量就越⼩。
3.对于事件A 若 P(a)=0 则 I(Pa)=+∞ 若 P(a)=1 则 I(Pa)=0。
4.两个独⽴事件的联合信息量应等于它们分别的信息量之和。
I(xi)具有两个含义： 1.事件发⽣前，表⽰该事件发⽣的不确定性。
2.事件发⽣后，表⽰该事件所提供的信息量。
术语解释 先验概率（prior probability）是指根据以往经验和分析得到的概率。
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解：任一码元不是为0就是为1 因为 P(0) = P(1) = 1/2 所以 I (0) = I (1) = – lb (1/2) = 1(bit)
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信息论与编码课件
2.1 度量信息的基本思路
2.1.2度量信息的基本思路
➢ 若信源中事件xi的出现所带来的信息量用 I(xi)来表示并称之为事件xi的自信息量，
➢ 则概率为p(xi)的信源输出xi所包含的信息 量I(xi)必须满足以下几个条件：
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信息论与编码课件
2.1 度量信息的基本思路
2.1.2度量信息的基本思路
1. 信的源取输值出无x关i所。包含的信息量仅依赖于它的概率，而与它 2. I (xi)是P(xi)的连续函数。 3. I (xi)是P(xi)的减函数，即： ✓ 如果P(xi) > P(xj)，则I(xi) < I(xj)。 ✓ 极限情况，若P(xi) = 0, 则 I(xi) → ∞； ✓ 若 P(xi) = 1, 则I(xi) = 0。 4.若两个单符号离散信源（符号集合X, Y ）统计独立, 则
件的概率的减函数。 ➢ 信息量的另一个直观属性是，某一输出事件的概率的
微小变化不会很大地改变所传递的信息量，即信息量 应该是信源输出事件概率的连续减函数。
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信息论与编码课件
2.1 度量信息的基本思路
2.1.2度量信息的基本思路
➢ 假设与输出xi相关的信息能被分成独立的两部 分，比如xi1与xi2，即xi = { xi1，xi2 }。
不信相 源等 的， 总即 体信P(x息i)≠测P度(xj。)，因此I(xi)不能作为整个
➢ 能作为信源总体信息测度的量应是信源各个不
同符号xi (i (i =1, 2, …,
=N1) ,在2,信…源, N空) 所间包P含(X的) =自{信P息(x1量), I(xi)
P(x2), …, P(xi), …, P(xN )}中的统计平均值。
X中出现xi、Y中出现yj的联合信息量 I (xi ,yj) = I (x i) + I (yj)
➢ 只有对数函数能够同时满足以上条件。
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信息论与编码课件
2.1 度量信息的基本思路
2.1.2度量信息的基本思路
➢定义2.3
事件xi的出现所带来的信息量
I (xi
)
lb
1 P( xi
2.2.2条件自信息量
➢ 若信源的输出为X，信宿的输入为Y，即考虑了信道的 作用，如图2.2所示，这时经常是某一事件在某种条件 下才出现，它的出现所带来的信息量就必须要在联合
符号集合X、Y中进行考虑，且需用条件概率来描述。
X
Y
信源
信道
信宿
图2.2 最简单的通信系统模型
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➢ 因此，信源又可以看作是具有一定概率分布的 某一符号集合。
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信息论与编码课件
2.1 度量信息的基本思路
2.1.1单符号离散信源
• 定义2.2
若信源的输出是随机事件X，其出现概率为P(X),，则它 们所构成的集合，称为信源的概率空间或简称为信源空 间。
➢ 信源空间通常用如下方式来描述：
✓不确定度只与事件的概率有关，是一个 统计量，在静态状态下也存在；
✓自信息量只有该随机事件出现时才给出， 不出现时不给出，因此它是一个动态的 概念。
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信息论与编码课件
2.2 信源熵和条件熵
2.2.1信源熵
➢ 自号x信i的息自量信I(息xi)量只。能表示信源发出的某一具体符 ➢ 很多信源的符号集合具有多个元素且其概率并
4
信息论与编码课件
2.1 度量信息的基本思路
2.1.1单符号离散信源
➢由此给出如下定义： • 定义2.1
如果信源发出的消息是离散的、有限 或无限可列的符号或数字，且一个符号 代表一条完整的消息，则称这种信源为 单符号离散信源。
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信息论与编码课件
2.1 度量信息的基本思路
➢ 例2.2 对于2n进制的数字序列, 假设每一符号的出现 完全随机且概率相等，求任一符号的自信息量。 解：设2n进制数字序列任一码元xi的出现概率 为P (xi)，根据题意， P(xi) = 1/2n I (xi ) = – lb(1/2n) = n (bit)
➢ 事件的自信息量只与其概率有关，而与它的取 值无关。
2.1.2度量信息的基本思路
➢ 考虑一个单符号离散信源，它的输出被传送给对此感 兴趣的一方。
➢ 设x1为最大可能的输出，xN为最小可能的输出。 ✓ 例气如，x，N为假冰设雹信或源其输它出强代对表流天天气气情。况，x1为晴或多云天 ✓ 哪个输出包含更多的信息，x1还是xN？ ✓ 直观地，传递xN 给出了更多的信息。 ➢ 由此可以合理地推算信源输出的信息量应该是输出事
(2.4)
称为信源的信息熵，简称信源熵。其中，
定义0lb0 = 0。
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信息论与编码课件
2.2 信源熵和条件熵
2.2.1信源熵
➢对于单符号离散信源，信源熵是信源每 发一个符号所提供的平均信息量，其量 纲为信息单位/信源符号。
➢信源熵只与信源符号的概率分布有关， 是一种先验熵。
➢ 例如，若信宿的符号yj 的出现概率为P(yj)，自 信息量为I (yj) (j=1, 2, …, M)，则信宿熵为
M
H (Y) P( y j ) I ( y j ) P( y) I ( y) P( y)lbP( y)
j 1
Y
Y
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2.2 信源熵和条件熵
信息论与编码课件
第二章 信息的度量
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信息论与编码课件
本章内容提要
➢度量信息的基本思路 ➢信源熵和条件熵 ➢互信息量和平均互信息量 ➢多维随机变量的熵
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2
信息论与编码课件
第2章 信息的度量
➢信息论的发展是以信息可以度量为基础 的，度量信息的量称为信息量。
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信息论与编码课件
2.2 信源熵和条件熵
2.2.1信源熵
定自义信2.息4 若量信为源I (符xi)号(ix=i1的, 2出, …现,概N率)，为则P(xi)，
N
H (X) P(xi ) I(xi ) i1
X
P(x) I(xi )
X
P(x)lbP(x)
X: [X P]: P(X) :
x1 , P( x1 ),
x2 , , xi , , P(x2 ), , P(xi ),
,
➢显然，信源空间必定是一个完备集，即
N
P(xi ) 1 i 1
xN
P(xN ) (2.1) (2.2)
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信息论与编码课件
2.1 度量信息的基本思路
✓ 例如，假设天气预报中的天气及温度变化是与污染程 度相关性很小甚至几乎完全独立的，则信源的每一个 输出就能分成独立的两部分。
➢ 直观地，传递xi所包含的信息量是分别传递xi1 和xi2所得到的信息量的和。
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2.1 度量信息的基本思路
2.1.2度量信息的基本思路
解: 设P(1)=p，则P(0)) = - p lbp - (1-p) lb(1-p)
(2.5)
➢ 上式又称为二进制熵函数，也常用Hb(p)表示
➢ p = 0或p =1时，H(X) = 0；p = 1/2时，H(X) =1。
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H ( p) 1.0
➢对于随机出现的事件，它的出现会给人 们带来多大的信息量？
➢考虑到通信系统或很多实际的信息传输 系统，对于所传输的消息如何用信息量 的方法来描述？
➢本章将围绕这些问题展开讨论。
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信息论与编码课件
2.1 度量信息的基本思路
2.1.1单符号离散信源
➢ 从讨论信源的特征入手，给出定量度量信息 的方法。
X
X
(2.8)
➢考虑到整个Y集合，有
H(X | Y) P(y)H(x | y)
➢对于任何给定概率分布的信源，H(X)是 一个确定的数，其大小代表了信源每发 出一个符号给出的平均信息量。
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信息论与编码课件
2.2 信源熵和条件熵
2.2.1信源熵
➢ 例2.3 二进制通信系统的信源空间为
求该信[X源 的P] :熵X。P:(X) :
1 P(1)
0 P(0)
I ( y j | xi ) lbP( y j | xi ) (2.7)
➢上述条件概率仅仅由信道特性决定，可以看作
是由信道给出的信息量。
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信息论与编码课件
2.2 信源熵和条件熵
2.2.3条件熵
➢ 为寻求在给定y条件下X集合的总体信息量度， 有
H (X | y) P(x | y) I (x | y) P(x | y)lbP(x / y)
➢ 以天文学范畴的事件为例。
✓ 小行星撞击地球、月食、日食、流星雨、星系的产生 与消亡等等，都是天文学内一个个离散的事件