关于自共轭四元数矩阵的注记
子 块 ； 是 划 去 Ａ 的 第 １ 与 第 ２ 而得 的天 然余 子 块 ； 是 这样 的 ｎ一１阶矩 阵 ： 划 去 Ａ Ａ２ 行 列 Ａ 则 先
２ 主 要 结 果
２ １ 文 ［ 】 出的引理 ３ ． １给 互 换 自共 轭 四元 数 矩 阵 的第 ， 行 与 两 列 后 ， 行 展 开 式 之 值 不 变 ． 当 ， 两 其 又 Ｊ＞ １ ， 时 变 换 后 的第 ｉ 与 第 个 特 定 余 子 块 恰 好 互 换 ， 其 它 的 特 定 余 子 式 之 值 不 变 ． 一 个 而 一
行 外 ， 其 余 的 行 中选 行 数 最 小 的行 ， 其 中任 取 一 个 ， 余 的 因 子 选 法 即仿 此 进 行 ． 在 在 其
然后 再定 义 Ａ 的列展 开式 为 ：
ｌ Ａ
：可
即对 ｄ 的行 展 开 式 的 每 项 ， 其 共 轭 四元 数 代 替 之 ． 后 再 定 义 ｄ 的 行 列 展 开 式 为 ： 以 最
南 京 师大 学报 （ 自然科 学 舨 ）
第 ２ ５卷 第 １ （０ ２年 ） 期 ２０
的第 １ 与 第 ｉ 而 得 一 个 天 然 余 子 块 ， 后 把 此 余 子 块 的行 重 新 排 一 番 ， 第 一 １ １２ … ， 一 行 列 然 把 ，，， ｉ ２行 分 别 重 新 排 为 第 １ ２ … ， ， ， ｉ一２ ｉ一 １ ， 余 的 ｎ— ｉ 则 在 原 位 置 不 动 （ ， 行 其 行 ｉ＝ ３４， ， ． ， … ）
Ｖｏｌ ５ ２ ２ ２ ００
１
关 于 自共 轭 四 元 数 矩 阵 的 注 记
张 峥 嵘
（ 京 师范 大学 数学 与计 算 机科 学学 院 ， 京 ， １０ ７ 南 南 ２０９ ）
［ 要 】 指 出了文１］ 摘 １中的两扯错误 ． 并在文［： ３ 的基础上蛤出了文［］ １中部分定理的新证明 ． ［ 关键 词 】 自共轭四元数矩阵， 展开式， 行 列展开式 ［ 图分 类 号 】 １ １２ ， ［ 中 ｏ ５ ．１ 文献 标 识码 】 ［ Ａ， 文章 编 号 】０ １， １ （ ０ ２ ０ — ０ ９ ０ １０ －６ ６ ２ ０ ） １ ０ ４－ ４ １
１ 预 备 知 识
设 Ａ ＝ （ 为 四元 数体 Ｑ上任 意一 个 ｎ阶矩 阵 ， ［ ］ 口） 文 １ 定义 Ａ 的行 展 开式 为 ：
Ａｌ ＝∑ ±ⅡⅡ … ｔ Ｐ
其 中 符 号 由 置 换
（ Ｐｑ ） ，
的奇 偶 性 来 确 定 ， 只是 每 项 的 因 子 次 序 应 按 这 样 的 原 则 来 排 ： 一 个 因 子 可在 第 一 行 中任 选 一 第 个 ， 为 。 Ｐ而 Ｐ ≠ １ ， 第 二 个 因 子 就 在 第 Ｐ行 中 任取 一 个 ； 第 一 个 因 子 为 。 ｌ则 第 二个 如 ｔ 时 则 如 ｌ， 必 须 是 第 二 行 中 的 ； 第 一 个 因 子 是 。 Ｐ 而 第 二 个 是 。 ¨则 第 三 个 必 须 是 除 去 第 １ 与 第 Ｐ 如 １， Ｐ 行
文 ［］ １ 把上述 定理 中的 ＡｌＡ２… ， ， ， Ａ 分别 叫做Ａ 的第 １ ， ２ ， ， ｎ 特 定的余子 个 第 个 … 第 个 块 ； Ｉ 叫做 Ａ 的第 ｉ 把 ＡＩ 个特定 的余子式 ， ＝ １ … ， ． ， ｎ
则
在文［］中， ２ 行列式 ｌ 是这样间接定义的． Ａ０ 如果 ２－ 能由初等变换化简成 １ Ａ Ａ ＝
． ， ， ｊ ． Ｂ
针 对 该 引 理 ， 们 可 以 给 出如 下 的 反例 ： 我
ｌ ： ｛ Ａｌ ＋ｌ ） ｌ １ ｌ Ａ鲡 Ｉ Ａ
文 ［ ］给出了行展 开式 的依行 展 开定 理 ： １ 对 四元 数 体 Ｑ上 任 意 一 个 阶 矩 阵 Ａ ＝ （ ｉ 恒 有 ｌ 行 ＝ 。】ＡＩ行 一 。２Ａ２ 行 一 ｏ３ ａｉ ） ｌ Ａ Ｉ ｌ １ｌ ． １
０ 引 言
文 ［ ］ 明 了 自共 轭 四元 数矩阵 Ａ 的行列式 Ｉ的展 开定理 ， 且 用展 开定 理 推广 了一 １证 并 些关 于 实 、 复正定 与半正定 矩阵 的重要 性 质 本文 指 出文 ［ ］的两 处 错 误 ， 对 其 中的一些 推 １ 并
广 定理 给 出了新的证 明．
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第 ２ ５卷 第 １ 期
２０ ０ ２年
南 京 师大 学 报 （ 自然 科 学 版 ） Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ Ａ ＪＮ Ｏ ＭＡ ＮＶ ＲＳ Ｙ Ｎ ｔｒ ｃ ｎ ｅ Ｏ Ｒ Ａ ＦＮ ＮＩ Ｇ Ｎ Ｒ Ｌ Ｕ Ｉ Ｅ Ｉ （ ａｕａ Ｓ ｉ ｃ） Ｔ ｌ ｅ
收 穑 日期 ：０ １ ０－１ ２０ — ６ ４
作 者 简 介 ： 峥 螓 ，９ ７ ， ， 京 师 范 太 学 数 学 与计 算 机 科 学 学 院 硬 士 研 究 生 ， 要 从 事 计 算 数 学 的 学 习 与 研 究 ， 张 １７ 一 女 南 主
— —
４９ ——
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＿ ． ．． ． ． ． ． ．． 。 ． ． ．
Ａ２
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Ａ
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一
１
（ ） （ ）
其 中 １ ） ２ ） ． ． （ （ １ （ １・ ）为 体 的 中心 域 Ｆ 上 的 首 系 数 为 １的 多… （）于是 ０ 为 Ｆ 中元素 ． 一１ （） ０， Ａ０
自共轭四元数矩阵特征值的极值原理
第17卷第1期数学研究与评论V o l.17N o .11997年2月JOU RNAL O F M A TH E M A T I CAL R ESEA RCH AND EXPO S IT I ONFeb .1997自共轭四元数矩阵特征值的极值原理Ξ黄 礼 平(湘潭矿业学院基础科学部,湘潭411201)摘 要 本文将H erm ite 算子特征值的两个一般的极值原理推广到自共轭四元数矩阵,并给出了几个推论,同时也去掉了子空间的包含条件.关键词 自共轭四元数矩阵,特征值,极值原理,广义标准正交.分类号 AM S (1991)15A 33 CCL O 151.23本文证明了自共轭四元数矩阵特征值的两个一般的极值原理,从而将[1]-[3]中的重要结果推广到四元数体.设H 为实四元数体,Hm ×n为H 上m ×n 矩阵的集合,S Hn ×n为n 阶自共轭四元数矩阵[4]的集合,A 3为A 的共轭转置矩阵.设A ∈S H n ×n,用tr A =∑ni =1aii表示A 的迹,按照谢邦杰定义[5,6],用 A 表示A 的行列式,用Κ1(A )≥…≥Κn (A )表示A 的n 个特征值,设Hn为H 上n 维列向量构成的右向量空间,其中定义了内积(x ,y )=x 3y (x ,y ∈H n),如果x 3y =0,则称x 与y 广义正交.对于Hn中的一组向量Α1,…,Αk ,如果Α3i Αj =∆ij (k ronecker 符号),1≤i ,j ≤k ,则称Α1,…,Αk 是广义标准正交的.类似可定义广义正交基、广义正交补等概念.设[Α1,…,Αk ]为由Α1,…,Αk 所生成的Hn的子空间,H n ×kU ={A ∈Hn ×kA 3A =I k ,k ≤n }.引理1 设Α1,…,Αk 是H n中任一个右线性无关的向量组,则存在H n中的一个广义标准正交的向量组e 1,…,e k ,使得对于s =1,…,k 都有[Α1,…,Αs ]=[e 1,…,e s ].(1)证明 令Β1=Α1,Βs =Αs -∑s -1i =1Βi Α3sΒi(Β3iΒi )-1,s =2,…,k ,e i =Βi (Β3i Βi )-12,则e 1,…,e k 广义标准正交且(1)成立.证毕.引理2[7] 设V 1,V 2<H n,则di m (V 1+V 2)=di m V 1+di m V 2-di m (V 1∩V 2).(2) 引理3[8] 设A ∈S Hn ×n,U k ∈H n ×kU ,则对于1≤i ≤k 有Κn -k +i(A )≤Κi (U 3k A U k )≤Κi (A ).(3) 引理4 设1≤i 1<…<i k ≤n ,R t <H n,di m R t ≥i t ,S k <…<S 1<H n,di m S t ≥n -i t +1,t =1,…,k ,则存在广义标准正交的x t ∈R t ,t =1,…,k 和广义标准正交的y t ∈S t ,t =1,…,k 使得Ξ1994年3月10日收到.国家自然科学基金资助项目.[x 1,…,x k ]=[y 1,…,y k ].(4) 证明 当k =1时显然成立.假设对k -1的情况(k ≥2)命题成立,则对于k ,由归纳假设知存在广义标准正交的x ′t ∈R t ,t =2,…,k 和广义标准正交的y t ∈S t ,t =2,…,k 使得[x ′2,…,x ′k ]=[y 2,…,y k ].令S ′k =[y 2,…,y k ] [y 2,…,y k ]⊥∩S 1,则di m S ′k ≥di m S 1≥n -i 1+1.令P t =S ′k ∩R t ,则di m P t ≥i t -i 1+1≥t ,t =1,…,k 且P 1<…<P k .显然,x ′t ∈P t ,t =2,…,k .不难证明:存在x ″t ∈P t 使得x ″1,…,x ″k 右线性无关且[x ′2,…,x ′k ]<[x ″1,…,x ″k ].由引理1易知存在广义标准正交的x t ∈P t ,使得[x ″1,…,x ″k ]=[x 1,…,x k ].显然,x t ∈R t ,t =1,…,k .因此,取单位化向量y 1∈[y 2,…,y k ]⊥∩[x 1,…,x k ],则y 1,…,y k 广义标准正交且[y 1,…,y k ]=[x 1,…,x k ].因为y 1∈S ′k ∩[y 2,…,y k ]⊥,所以y 1∈S 1.证毕.引理5[8] 设A ∈S Hn ×n,则 A =∏ni =1Κi(A )且tr A =∑ni =1Κi(A ).(5)引理6[9] 设A =(a ij )∈S H n ×n,则(a 11,…,a nn );(Κ1(A ),…,Κn (A )).(6)定理 设A ∈S H n ×n,Κ1≥…≥Κn 为A 的特征值,1≤i 1<…<i k ≤n ,则有:(i ) 如果Υ(t 1,…,t k )是关于每个变量t i ∈R 的增函数,则Υ(Κi 1,…,Κi k )=sup S t <Hndi m S t =i t inf X =(x 1,…,x k )x t ∈S t ,X 3X =I k Υ(Κ′1,…,Κ′k ),(7)其中Κ′1≥…≥Κ′k 为X3A X 的k 个特征值.(ii ) 如果F (t 1,…,t k )是R k 上增的Schu r 2凸函数[10],则F (Κi 1,…,Κi k )=sup S t <Hndi m S t =i t inf x t ∈S tx 3r x t =∆rt F (x 31A x 1,…,x 3k A x k ).(8)证明 由[6]知存在U =(u 1,…,u n )∈H n ×nU使得A =U 3diag (Κ1,…,Κn )U .因此,A u i =Κi u i ,1≤i ≤n.(9)1) 首先证明:存在P t <H n,di m P t =i t ,使得任取广义标准正交的x t ∈P t ,t =1,…,k 都有Υ(Κi 1,…,Κi k )≤Υ(Κ′1,…,Κ′k ).(10)F (Κi 1,…,Κi k )≤F (x 31A x 1,…,x 3k A x k ).(11)事实上,令P t =[u 1,…,u i t ],则di m P t =i t 且P 1<…<P k .任取广义正交的x t ∈P t ,t =1,…,k ,设X =(x 1,…,x k )∈H n ×kU .将x 1,…,x t 扩充为S t 的一组广义标准正交基x 1,…,x t ,v t +1,…,v i t ,令V t =(x 1,…,x t ,v t +1,…,v i t )∈H i t ×it U ,则显然存在Q t ∈H i t×i tU 使得V t =(u 1,…,u i t )Q t .由引理3知 Κt (X 3A X )≥Κt ((x 1,…,x t )3A (x 1,…,x t ))≥Κi t (V 3t A V t )≥Κi t ((u 1,…,u i t )3A (u 1,…,u i t ))=Κi t ,(12)t =1,…,k .所以由Υ的递增性知(10)成立.另一方面,由x t ∈P k 知x t =∑i tj =1u j Αtj,Αtj∈H ,因此对于t =1,…,k 有:x 3t A x t =∑i tj =1Κj (Α3tj Αtj )≥Κi t ∑i tj =1Α3tj Αtj =Κi t.(13)因此由F 的递增性或凸性知(11)成立.2) 再证明:任取S t <H n,di m S t =i t ,存在广义标准正交的x t ∈S t ,t =1,…,k ,使得Υ(Κi 1,…,Κi k )≥Υ(Κ′1,…,Κ′k ).(14)F (Κi 1,…,Κi k )≥F (x 31A x 1,…,x 3k A x k ).(15) 事实上,令N t =[u i t ,u i t +1,…,u n ],则di m N t =n -i t +1且N 1=…=N k .由引理4知存在广义正交的x t ∈S t ,t =1,…,k 和广义标准正交的y t ∈N t ,t =1,…,k ,使得[x 1,…,x k ]=[y 1,…,y k ].设X =(x 1,…,x k ),Y =(y 1,…,y k ),则存在Q k ∈Hn ×kU使得X =YQ k .令i ′t =n -i k -t +1+1,R t =Nk -t +1,则1≤i ′1<…<i ′k ≤n 并且R 1<…<R t ,di m R t =i ′t.仿照1)的证明同理可知 -Κk -t +1(X 3A X )=Κt (X3(-A )X )=Κt (Q 3k Y3(-A )YQ k )≥Κt (Y 3(-A )Y )≥Κi ′k (-A )=-Κi k -t +1.(16)因此有Κ′t ≤Κi t ,t =1,…,k ,由Υ的递增性知(14)成立.另一方面,由引理6知(x 31A x 1,…,x 3k A x k );(Κ′1,…,Κ′k ).(17)因此由F 的Schu r 2凸性与(14)知(注意到F 为增函数): F (Κi 1,…,Κi k )≥F (Κ′1,…,Κ′k )≥F (x 31A x 1,…,x 3k A x k ).结合1)和2),易知(7)和(8)均成立.证毕.特别,因为Υ=∑ki =1ti与Υ=∏ki =1t i(ti≥0)均为增函数,所以由定理与引理5知有:推论1 设A ∈S Hn ×n,1≤i 1<…<i k ≤n ,Κ1≥…≥Κn 为A 的特征值,则∑k t =1Κi t=sup S t <Hndi m S t =i t infX =(x 1,…,x k )x t ∈S t ,X 3X =I ktr (X 3A X ).(18)推论2 设A 为n 阶半正定自共轭四元数矩阵[4],1≤i 1<…<i k ≤n ,Κ1≥…≥Κn 为A 的特征值,则∏kt =1Κi t=sup S t <Hndi m S t =i t infX =(x 1,…,x k )x t ∈S t ,X 3X =I kX 3A X .(19)由(13),(16)与引理6,仿照定理证明的方法,不难验证:推论3 在推论1的条件下,如果c 1≥…≥c k ≥0,∑kt =1c t Κi t=sup S t <Hndi m S t =i t infx t ∈S tx 3r x t =∆rt ∑kt =1c tx3tA x t .(20)参 考 文 献[1] A.R.Am ir2M oéz,D uke M ath.J.,23(1956),463-476.[2] M.M arcu s and R.T homp son,D uke M ath.J.,24(1957),43-46.[3] 王伯英,数学进展,15:4(1986),431—433.[4] 谢邦杰,吉林大学自然科学学报,2(1980),19—35.[5] 谢邦杰,数学学报,23:4(1980),522—533.[6] 谢邦杰,吉林大学自然科学学报,3(1980),1—33.[7] 谢邦杰,抽象代数学,上海科学技术出版社,1982.[8] 黄礼平,数学研究与评论,12:3(1992),449—454.[9] 刘建洲、谢清明,数学研究与评论,12:3(1992),379—384.[10] 王伯英,控制不等式基础,北京师范大学出版社,1990.Extrem un Pr i nc iples of E igenvalues forSelf-Con jugate Quatern ion M atr ixH uang L ip ing(D ep t.of Basi.Sciences.,X iangtan M ining Institute,X iangtan411201)AbstractT h is p ap er ex tends tw o general ex trem un p rinci p les of eigenvalues of H erm ite op erato r to the self2con jugate quatern i on m atrix.Keywords self2con jugate quatern i on m atrix,eigenvalues,ex trem un p rinci p le,generalized o rthono rm alizing。
2×2自共轭四元数矩阵空间的保行列式加法映射
２×２自共 轭 四元数 矩 阵 空 间的保 行 列 式加 法 映射
李艳君 郑 宝东 ，
（． １ 齐齐哈 尔大学 理 学院， 黑龙江 齐齐哈 尔 １ １０ ； ． 尔滨工业大学 理 学院， ６ ０ ６２ 哈 黑龙江 哈 尔滨 １０ ０ ） ５ ０ １ 摘 要 ： Ｑ 是一 个实 四元数体 ， Ｃ （ 是 Ｑ上 × 自共轭 四元 数矩 阵空 间 ， 设 Ｓ Ｑ） ，是从 Ｓ ． Ｑ） 其 自身 的映射 ， Ｃ（ 到
１０ ０ ， ｈｎ ） ０ １ Ｃ ｉａ
Ａ ｓ ａ ｔＬ ｔＱ ｅａｒ ｌ ｕｔｒ ｉ ｉｉｏ ｉ ， Ｃ （ ｂｔ ｃ： ｅ ｒ ｂ ａ ａｅｎｏ ｄｖ ｉｎｒ ｇ Ｓ ． Ｑ）ｂ ｅｓａｅｏ ｌ × ｓｌｃｎｕ ａ ｕｔｒ ｉ ｅ ｑ ｎ ｓ ｎ ｅｔ ｐ ｃ ｆ ｌ ｅ －ｏ ｊｇ ｔ ｑ ａｅｎｏ ｈ ａ ｆ ｅ ｎ ｍａｒ ｅ ｖｒＱ，ｆ ｐ厂：Ｃ （ 一 （ ｔｉ ｓ ｅ Ｉ ａｍａ ｃ ｏ Ｓ ．Ｑ） Ｑ）ｓｔ ｆ ｇｆ Ａ ＋Ｂ） （ ＋ｆ（ ａｉｉ （ ｓｎ ＝ｆ Ａ） Ｂ）ａ ｄｄ ｔ Ａ） ｏ ｎ ， ｎ ｅ （ ｆｒ ｙＡ Ｂ ａ ∈Ｓ ． Ｑ） ｔｅ ａｌ ｄ ｉｖ ｒｓｒｅ ｆ ｅｅｍｉａ ｔ ｎＳ Ｑ） Ｉ ｈｓｐｐ ｒ， ｈ ｒｃｅｉ ｅ Ｃ （ ， ｎｆ ｉ ｃｌ ｄａａ ｄｔ ｅｐｅｅｖｒ ｔｒ ｎ ｎ Ｃ （ ．ｎｔｉ ａｅ ｗｅｃａａｔｒ ｅｔ ｈ ｓ ｅ ｉ ｏｄ ｏ ｚ ｈ ａｄｔ ｅｐｅｅｖｒ ｆ ｅｅ ｉａ ｔ ｎＳ （ ． ｄ ｉ ｖ ｒ ｒｅｓ ｔｒ ｎｎ Ｃ２ Ｑ） ｉ ｓ ｏｄ ｍ ｏ
实四元数矩阵有许 多行列式 的定义， 比如谢邦 杰教授给出的定义和陈龙玄教授给出的定 义， 在一 般情况 下 ， 些 定 义 是 不 等 同 的 ， 对 于 自共 轭 矩 这 但
自共轭矩阵的特征值
自共轭矩阵的特征值
自共轭矩阵是一种特殊的矩阵，其转置矩阵等于其复共轭矩阵。
因此，自共轭矩阵的特征值具有一些特殊的性质。
首先，自共轭矩阵的特征值一定是实数或者成对出现的共轭复数。
这是因为特征值的定义中要求特征值与其对应的特征向量满足一个
线性方程组，而对于自共轭矩阵，其特征向量也一定可以取成共轭复数，因此特征值也必须是实数或共轭复数。
其次，自共轭矩阵的特征向量也具有一些特殊的性质。
对于一个自共轭矩阵的特征向量，其共轭复数也一定是该矩阵的特征向量。
这是因为特征向量的定义中要求满足一个线性方程组，而自共轭矩阵的特征向量可以取成共轭复数，因此特征向量和其共轭复数也满足同一个线性方程组。
最后，对于一个实对称矩阵，其一定是自共轭矩阵，因此其特征值都是实数，且其特征向量也都可以取成实数。
这是实对称矩阵特有的性质。
总之，自共轭矩阵的特征值和特征向量具有一些特殊的性质，这些性质在矩阵理论和应用中都有重要的作用。
- 1 -。
华罗庚行列式不等式的推广
H H ≤det ( I - AA ) det ( I - BB ) 1 +
k +1
t =1
∑
det Pt + det ( A - B ) det Ut
H
k
2
1 +
1Π 2
t =1
∑det P
det Ut
t
+ [ 2 - 2 ( k + 1) ] det ( A - B ) [ det ( I - AA ) det ( I - BB ) ] H 2 ≤ det ( I - AB ) H + H 证明 由 I - BB ( ∈ H ( n) ) 和 I - B B 有相同的特征值知 : H + H H I - B B ∈ H ( n ) 且 det ( I - BB ) = det ( I - B B ) + + 由文献 [ 5 ] 和式 ( 8) 知 , 当 det Pk ≠ 0 时 , 有 Pk ∈H ( k ) 且 Uk ∈H ( k ) . 这样 , 应用引理 2 、 3,有
第5期
杨忠鹏 : 华罗庚行列式不等式的推广
・631 ・
+ + 引理 3 设 A , B ∈ H0 ( n) 且对某正整数 k ( ≤ n - 1) 有 A k , B k ∈ H ( k ) , 则
k
det A 1 +
t =1
∑
det B t + det B 1 + det A t
+
∑
det A t det B t det B + det A ≥2 det B t det A t
n- 1
t =1
自共轭四元数矩阵的特征及迹不等式的两个充要条件
定理 Ｆ 对 ∈
定理 １ 若 Ａ ∈
本文的 目的是将 以上结论推广到 自 共轭四元数矩阵的情形 ． 我们的主要结论如下 （） １Ａ的对角线上的元素均为实数 ；２ 对任何 ∈ （） 定理 ２ 若 Ａ ＝Ａ∈ 定理 ３ 对 Ａ∈
均 为实数 ．
∈ Ｃ ｓ＝１２ ， （ ，）并称 ａ 为 ａ的实部 ， ０ 记为 ａ ０＝ Ｒ （ ） ａ ｅａ ；ｌ ＋ａｊ ３ 为 ａ的虚部 ． 万＝ａ 一ａ ｉ ２ ２ ＋ａｋ 称 ０ ｌ 一口
—
ａｋ ， 为ａ的共轭四元数． 于是 丽 ＝Ｉ ＝ａ ＋ａ ＋ａ ＋ａ． 被称为 ａ的范数（ Ｉ ａ ； ； Ｉ Ｉ ａ 或模）记 １ ＝｛ ． ｔ ＂ Ａ
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２Ｏ Ｏ８年 ４月
湘南 学院学报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ａ ｇ ａ ｎｖ ｒｉ ｏ ｒ ａ Ｘｉｎ ｎ ｎ Ｕ ｉｅ ｓ ｙ ｏ ｔ
Ａｐ ． ２ Ｏ ｒ ，Ｏ ８ Ｖ １２ ｌ ２ ０．９ Ｎ ． ０
第 ２ 卷第 ２期 ９
自共 四元数矩 阵的特征 及迹 轭 不 等 式 的两个 充 要 条 件
矩阵 ， 为 Ｒ 记
设 Ａ∈ 设 Ａ∈
．
， Ａ为 自共轭矩阵 ． 若对任意 ０≠ Ｅ １ ， ＂ 有 Ａ ｔ ｘ＞０ ０ ， （ ）则称 Ａ为（ 正 半） ， 若对任意 ０≠ Ｅ Ｉ ， Ｒ （ Ａ ）＞０ ≥０ ， ｒ 有 ｅｘ ｘ （ ）则称 Ａ为亚（ 正定 四元数 半）
（ Ｉ Ｅ Ｈ｝ ａ） ａ ．
＝
对 Ａ＝（ ） １” 定义Ａ的 为ｔ ∈ｔ ， ＂ 迹 ｒ Ａ＝∑ 口， 并称Ａ ＝（ ） 为Ａ的 共轭置 矩阵．
定 义 １ 若 Ａ ＝ Ａ 则称 Ａ是 自共轭 矩 阵 ， 为 Ｓ ． ， 记 ｒ ｉ
四元数的共轭
四元数的共轭
《关于四元数的联系与分歧》
四元数的共轭是一个流行的数学主题，更重要的是它具有应用于物理学和工程学的实际应用价值。
下面我们来详细了解关于四元数的共轭。
1.定义：四元数的共轭是一个复数的共轭，包括实部和虚部的天然定义，常用的结构是由三个虚部和一个实构成的复数a +bi + cj + dk。
2.转换：它可以通过转置和负值的操作进行转换，即a+bi+cj+dk 的共
轭就是a-bi-cj-dk。
3.数学操作：与一般复数一样，四元数也存在加减乘除等基本操作，其结果可以取得良好的精度。
4.应用：四元数具有多种形式，如极坐标、矩阵、向量等，在球坐标变换、旋转及定位系统等计算机图形学领域有重要的应用价值。
总之，四元数的共轭是一种重要的数学工具，具有很强的实用性，是实现多种物理和工程学科上的实际应用的可能。
关于四元数矩阵的一些不等式
关于四元数矩阵的一些不等式宋雪;冉慧【摘要】讨论了四元数矩阵的一些不等式,将经典的Wielandt-Hoffman定理、H(o)lder不等式、Young不等式和Minkowski不等式推广到了四元数矩阵上.【期刊名称】《重庆工商大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(031)003【总页数】4页(P30-33)【关键词】自共轭四元数矩阵;Wielandt-Hoffman定理;H(o)lder不等式;Young 不等式;Minkowski不等式【作者】宋雪;冉慧【作者单位】重庆大学数学与统计学院,重庆401331;重庆大学数学与统计学院,重庆401331【正文语种】中文【中图分类】O152.21近年来，对四元数体上代数问题的研究越来越深入，而四元数本身在众多的应用问题中也存在广泛的联系(如四元数在量子力学、刚体力学方面的应用)，四元数在计算机图形图像处理、识别和空间定位方面的应用，引起了国内外许多学者对四元数体的研究与关注.此处将一些数学中经典的初等不等式推广到了四元数矩阵上.1 定义和引理定义1 设A∈Hn×n，如果A*=A，则称A是H上的一个n阶自共轭矩阵，其全体记为H(n，*).定义2 设A∈Hn×n，如果A*A=AA*=In，则称A是H上的一个n阶酉矩阵，其全体记为H(n，u).定义3 设A ∈ Hn×n，称为矩阵A的迹，记为Tr(A)，即Tr(A)=定义4 设A=(aij)∈Hn×n，称‖A‖E= 为矩阵A的欧式范数，即矩阵A的Froubenius范数.定义5 设A∈Hn×n，如果A*A=AA*，则称A是正规矩阵.定义6 设A1，A2，…，Am(m≥2)为可交换的n阶四元数正规矩阵，它们的平方平均、算术平均、几何平均和调和平均分别定义为引理1［1］设A∈H(n，*)，则 A酉相似于实对角矩阵，即存在U∈H(n，u)，使得 U*AU=diag(λ1，λ2，…，λn)，其中λ1，λ2，…，λn∈R 为 A 的 n 个特征值.引理 2［2］设A ∈ H(n，*)，λ1，λ2，…，λn∈ R 为 A 的 n 个特征值，则Tr(A)=引理 3［2］设A∈H(n，*)，B∈H(n，*)，且α1≥α2≥…≥αn，β1≥β2≥…≥βn 分别为A，B 的特征值，如果 AB=BA，则≤ Tr(AB)≤引理4［3］设A∈H(n，*)，则存在实数a ＞ 0，使得A+aIn正定.引理5［4］设A ∈ H(n，*)，则 Tr(A2)=Tr(A*A)=2 主要结果2.1 Wielandt-Hoffman定理在四元数矩阵上的推广定理1 设A∈H(n，*)，C∈H(n，*)，且B=C-A.其特征值从大到小依次分别是α1≥α2≥…≥αn，γ1≥ γ2≥ … ≥ γn，β1≥ β2≥ … ≥ βn.如果 AC=CA，则证明 (i)若 A＞0，由于A∈H(n，*)，C∈H(n，*)，B=C-A，可知 B∈H(n，*).则由引理 1，存在酉矩阵 U1，U2，U3，使得由于 A＞0，则αi＞0(i=1，2，…，n).显然有同理Tr(A2)=又因为 Tr(B2)=Tr(C2-CA-AC+A2)=，AC=CA，所以 Tr(AC)=Tr(CA)，则由引理3≤ Tr(AC)≤ ，代入式(1)可得(ii)若A不正定，则由引理4，存在实数a＞0，使得A+aIn正定.由证明(i)可得又因为=Tr(B)=Tr(C-A)= (γi-αi)，代入式(3)化简可得证.推论1 在定理1的条件下，设B=(B ij)∈H(n，*)，则式(4)成立.证明由定理1和引理5，可知结论成立.推论2 在定理1的条件下，设B=(Bij)∈H(n，*)，则其欧式范数不等式成立.定理2 设A∈H(n，*)，C∈H(n，*)，且B=C+A.其特征值从大到小依次分别是α1≥α2≥…≥αn，γ1≥ γ2≥ … ≥ γn，β1≥ β2≥ … ≥ βn.如果 AC=CA，则证明定理2证明过程与定理1类似，此处略去.推论3 在定理2的条件下，设B=(Bij)∈H(n，*)，式(5)成立.证明由定理2和引理5，可知结论成立.推论4 在定理2的条件下，设B=(Bij)∈H(n，*)，则其欧式范数不等式成立.2.2 均值不等式在四元数矩阵上的推广定理3 设A1，A2，…，Am(m≥2)为可交换的n阶四元数自共轭矩阵，则有Q(A)≥M(A)≥G(A)≥H(A).证明因为A1，A2，…，Am(m≥2)为可交换的n阶四元数自共轭矩阵，由引理1知存在n阶酉矩阵U，使得由实数的均值-算术-几何-调和平均不等式，有由此可知结论成立.推论5 设A1，A2，…，Am(m≥2)为可交换的n阶四元数自共轭矩阵，则证明由于=U*diag((At)，…，(At))U，又由于，…(m≥2)为可交换的n阶四元数自共轭矩阵.由定理3可知结论成立.推论6 设A1，A2，…，Am(m≥2)为可交换的n阶四元数自共轭矩阵，则证明化简可知(+bIn)(+bIn)=(+bIn)(+bIn)，即+bIn(t=1，…，m)可交换，故由定理3可知结论成立.2.3 Hölder不等式、Young不等式和Minkowski不等式在四元数矩阵上的推广定理4 设A1，…，Am，B1，…，Bm(m≥2)为可交换的n阶四元数自共轭矩阵，p＞1=1，λi(At)，μi(Bt)(i=1，…，n;t=1，…，m)分别为其特征值，则证明由引理1和Hölder不等式可得，存在n阶酉矩阵U，使得结论得证.定理5 设A1，…，Am，B1，…，Bm(m≥2)为可交换的n阶四元数自共轭矩阵，p＞1，q＞1则有证明由Young不等式和定理4的证明方法可得.定理6 设A1，…，Am，B1，…，Bm(m≥2)为可交换的n阶四元数自共轭矩阵，p＞1，则有(证明由Minkowski不等式和定理4的证明方法可得.参考文献:【相关文献】［1］庄瓦金.体上矩阵理论导引［M］.北京:科学出版社，2006［2］陈香萍，伍俊良，李声杰.关于四元数矩阵迹的几个不等式［J］.重庆工学院学报:自然科学版，2009，23(3):79-82［3］WU J L，ZOU L M，CHEN X P，et al.The Estimation of Eigenvalues of Sum，Difference，and Tensor Product of Matrices Over Quaternion Division Algebra［J］.Linear algebra and its applications，2008，428:3023-3033［4］谢清明.四元数矩阵的范数与迹不等式［J］.数学理论与应用，1999，119(2):38-39［5］王松桂，吴密霞，贾忠贞.矩阵不等式［M］.2版.北京:科学出版社，2006［6］伍俊良，陈香萍，邹黎敏.2个四元数矩阵的同时对角化问题［J］.云南大学学报:自然科学版，2009，31(3):222-226［7］伍俊良，刘飞.实对称矩阵和与差的一些特征值与F-范数不等式［J］.高等学校计算数学学报，2004，26(4):365-370［8］刘静，耿宏瑞.一些数值不等式的矩阵形式推广［J］.西南师范大学学报:自然科学版，2012，37(6):5-8。
关于四元数矩阵之迹的注记
一
般 来说 ， 引理 ｌ 四元 数体 上并 不 成 立． 文讨 在 本
论 了 四 元 数 体 上 ｔ （ Ｂ） ｔ （ Ａ） ｔ （ 与 ｔ ｒ Ａ 与 ｒ Ｂ 和 ｒ Ａ） ｒ
（ ＡＢ ） 关 系 ， 到 了 ｔ（ Ｂ 的 得 ｒＡＢ） ｔ （ Ａ） ｔ（ 一 一 ｒ Ｂ 和 ｒＡ）
元 数 的研 究 可 以 以更 高 的角 度 揭 示 复 数 域 的性 质 ； 另
（ ５ ）
０． ‘ （… 、 ６）
，
令 ｔ（ 一 ∑ ａ 并 称 Ａ 一 （ ） Ａ 的 转 置 矩 ｒＡ） “， 日 为
且
。 ’ ｔ
ｆ ：
阵， 一 （ ） Ａ 的 共 轭 矩 阵 ， 一 （ ） 为 Ａ 的 共 为 Ａ ，
轭 转 置矩 阵 ． 果 Ａ∈ｃ ， 如 ” 记 （ 一 ｛ ， ， 。， Ａ） 。 … ， 其 ） 中 ，ｆ ， ， 为 Ａ 的特 征值 且 ， 必 不 同． （＝１ … ） 未
后 文 献［ —８ 对一 些 特殊 四元数 矩 阵类 上 相 应 问题 作 ６ ］
了进 一步 的讨 论 ．
Ａ — Ａｌ＋ Ａｚ
记 Ｒ为实 数 域 ， Ｒ Ｒ 为 复 数 域 ， ｃ： ｏ ｉ Ｈ—Ｃ ｑ ｏ
—
Ｂ ： Ｂｌ＋ Ｂ ｊ ２ Ｊ
Ｒ Ｒｉ Ｒ ｏ Ｒ ｏ ｏ ｊ ｋ为 实 四 元 数 体 ， 中 志 ＝ ｉ ： 一 其 ： ｊ
引理 １９ 如果 Ａ∈Ｃ ” Ｂ∈Ｃ ， Ｌ ， ” 则
ｔ（ ｒ ＡＢ ）Biblioteka ｔ （ ｒ ＢＡ ）， （ １）
∈ Ｂ （ｌ Ａ ） （ ｌ １ ＾ ） ２ Ａ 一一 ＋ 面 —Ｂ ） ２ １
证 明 由 （ ） 知 ３式
学习四元数笔记
复数是由实数加上虚数单位i 组成，其中i^2 = -1 \,。
相似地，四元数都是由实数加上三个元素i、j、k 组成，而且它们有如下的关系：i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 \,每个四元数都是1、i、j 和k 的线性组合，即是四元数一般可表示为a + bi + cj + dk \,。
四元数不像实数或复数那样，它的乘法是不可交换的，看乘数表四元数的优点是：表达式无奇点（和例如欧拉角之类的表示相比）比矩阵更简炼（也更快速）单位四元数的对可以表示四维空间中的一个转动。
以矩陣表示四元數[编辑]有兩種方法能以矩陣表示四元數，並以矩陣之加法、乘法應用於四元數之加法、乘法。
第一種是以二階複數矩陣表示。
若h = a + bi + cj + dk 則它的複數形式為：這種表示法有如下優點：所有複數(c = d = 0) 就相應於一個實矩陣。
四元數的絕對值的平方就等於矩陣的行列式。
四元數的共軛值就等於矩陣的共軛轉置。
對於單位四元數(|h| = 1) 而言，這種表示方式給了四維球体和SU(2)之間的一個同型，而後者對於量子力學中的自旋的研究十分重要。
（請另見泡利矩陣）第二種則是以四階實數矩陣表示：其中四元數的共軛等於矩陣的轉置。
（转载）四元数入门(2012-02-14 00:52:24)转载▼标签：computer graphic quaternion 四元数it 分类：学习（转载）四元数入门---------------------------------------------------------------------/showthread.asp?threadid=735114元数宝典这是国内找不到的超好文章。
（为什么大陆的4元数文章很垃圾呢？）（翻译中。
奉献给大家~~）70秒即懂，能使用，用四元数，4元数，阔特尼恩，Quaternion旋转(C) 中田亨（独立行政法人产业技术综合研究所数字人类研究中心研究员博士（工学））2003年11月25日★这个页面的对象读者想把三次元的旋转，用CG等定量地处理的人使用欧拉角(Euler Angles)的话，不懂得其道理的人卡尔丹角和欧拉角(Cardan Angles)不能区别的人对吉恩瓦尔洛克很困惑的人但是，对数学之类麻烦的事情很讨厌的人想要实例程序的人没有时间的人★旋转篇：我将说明使用了四元数（si yuan shu, quaternion）的旋转的操作步骤（１）四元数的虚部，实部和写法所谓四元数，就是把4个实数组合起来的东西。
四元数体上斜自共轭矩阵的几个定理
轭 四元数 ， ’表示 ａ的共 轭转 置 向量 ， 口 ａ Ｎ（ ）一 ａ ａ和 Ｎ（ ）一 ａ ａ 别表 示 ａ和 ａ的范 数 ， ’ ａ ’分 Ｒ［ ］表示
实数域 上关 于未 定元 的一 元 多项式 环．
１ 定 义 与 引 理
定义 １ 设 Ａ ∈ Ｈ ， 果 Ａ’一一Ａ， 称 Ａ是 Ｈ 上的一 个 ，阶斜 自共轭 矩 阵 ， 全 体记为 Ｈ（ ， 如 则 ｌ 其 ｎ
） ．
定义 ４１ ［
Ａ２
对任 意 四元数 矩 阵 Ａ — Ａ１ ＋Ａ２＋Ａ３ ＋ Ａ ｋ∈ Ｈ ， ∈ Ｒ （ 一 １ ２ ３ ４ ， ｉ Ｊ Ａ ｆ ， ， ，） 定义
Ａ１ Ａ４ 一 Ａ４ Ａ１ Ａ２ Ａ３ 一 Ａ２ Ａ１
Ａ ＿ １ 一 Ａ２ 一 Ａ３ 一 Ａ４
一
现象 引起 了人 们对 四元 数代 数 问题 的广 泛 兴趣 ［ ］ 同时 由于 四元 数 本 身在 众 多 的应 用 问题 中也存 １ ，
在广泛 的联 系 ， 四元 数在 量子 力学 ， 如 刚体 力学方 面 的应用 ， 四元 数 在计 算 机 图形 图像 处 理 和识 别 方 面 的应用 ， 四元数 在空 间定 位方 面的 应用等 ， 也促使 人们 对 四元数 代数 问题 加 以研 究 ］ 吨． 自共 轭 四元 数矩 阵 的研究 是 四元数代 数理论 中的一个 重 要 方面 ， 别 在 自共 轭 四元 数矩 阵 的特 征 特 值 、 异值 、 同 、 奇 合 正定 性 以及 自共 轭 四元数 矩 阵的子 式等方 面有 着广 泛 的研究 ［ ． 很少 有 文献 对斜 ｇ 但 自共 轭 四元数矩 阵进行研 究 ． 本文 借助 于 四元 数体上 斜 自共轭 矩 阵的概念 ， 出 了斜 自共 轭 四元 数矩 阵 给 的一 些性 质与判 定 准则 ； 到了斜 自共轭 四元 数矩 阵的 实表示 、 得 酉相 似分 解 以及 特征 值 的几个定 理． 文 中用 Ｒ 表示 实数 域 ， Ｃ表示 复数域 ， 表 示 Ｒ 上 的四元 数体 ， Ｈ Ｒ和 Ｈ 上 ， 阶矩 阵 的全体分 别记 为 ｌ Ｒ Ｈ ， 献 和 Ａ’一 表示 Ａ 的共轭 转置 ， ａ ＋口 ＋口Ｊ ３ 表示 实 四元 数 （ ｏａ ，２ａ 为实 数） ａ— ｏ ｌ ２ ＋口 ｋ 口 ， ｌａ ，３ ， 用 ａ和 分 别表 示 Ｈ 上 任意 ，维 四元 数 列 向量 和 ， 阶单位 矩 阵 ， ｅ ａ ｌ ｌ Ｒ （ ）表示 ａ的实部 ， 表 示 ａ的共 ａ