高等工程数学- 三、《高等工程数学》(博)
高等工程数学 PPT
( p, q) 在 Re p>0,Re q>0 内为全纯函数.
18
函数满足如下重要性质:
性质4.对称性 ( p, q) (q, p) 性质5. 与 的关系
( p, q) ( p ) ( q ) ( p q )
19
(1.8)
(1.9)
Section 3. 误差函数
了解特殊函数的定义，熟悉特
殊函数的基本性质
为后续学习打下基础 特殊函数也广泛应用于工程科
学中。
5
内容简介
积分变换理论包括
F－氏变换 L－氏变换 其它变换。如：小波变换等。
6
内容简介
积分变换理论意义
直接用来求解微分方程 广泛应用于其它工程科学。如
振动力学、电工学、无线电技 术等等。
C1
2 (t z )
2
dt
1
(1.15)
4i sin
(t 1)
C2
2 ( z t)
dt
(1.16)
其中,C1为沿(- ,-1)切开的t平面上的一条正向闭 曲线,且含1, z为内点. C2为在t平面上沿负向 绕1一周,沿正向绕点-1一周的8字形闭曲线.
23
本章参考书目
个领域中常用的应用数 学方法
为今后学习其它工程课
程奠定必要的数学基础
2
内容简介
特殊函数(高等函数)
积分变换理论
泛函与变分法
曲线与曲面造型
3
内容简介
特殊函数(高等函数)定义
某些特定形式含参数积分
某些偏微分方程的特征函数 椭圆函数
4
内容简介
高等工程数学
线性方程组
本讲重点 1、线性方程组的解法,解的情况的判定 2、齐次和非齐次方程组解的结构,特别是基础解系的概 念
Precision Engineering Lab., Xiamen Univ.
高等工程数学
机电工程系 郭隐彪
目 录
Precision Engineering Lab., Xiamen Univ.
第一部分 矩阵论 第二部分 数值计算方法
第一部分 矩阵论
第一章 线性代数基本知识 第二章 方阵的相似化简 第三章 向量范数和矩阵范数 第四章 方阵函数与函数矩阵 第五章 矩阵分解 第六章 线性空间和线性变换
第二部分 数值计算方法
第一章 误差的基本知识 第二章 线性方程组的数值解法 第三章 方阵特征值和特征向量的数值计算 第四章 计算函数零点和极值点的迭代法 第五章 函数的插值与最佳平方逼近 第六章 数值积分与数值微分 第七章 常微分方程数值解法
第一章 线性代数基本知识
§1.1 向量和向量空间 §1.2 矩阵及其运算 §1.3 矩阵的初等变换及其应用 §1.4 线性方程组 §1.5 特征值与特征向量
第五章 矩阵分解
§5.1 方阵的三角分解 §5.2 方阵的正交（酉）三角分解 §5.3 矩阵的奇异值分解
第六章 线性空间和线性变换
§6.1 线性空间 §6.2 线性变换 §6.3 内积空间及两类特殊的线性变换
向量和向量空间
1、向量的内积、长度、夹角和正交等 2、关于向量组的线性相关性 3、关于向量组的极大无关组和向量组的秩
高等工程数学完整(研究生)ppt课件
中南大学数学科学与计算技术学院
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1
第一章 数学建模与误差分析
1
数学与科学计算
2
数学建模及其重要意义
3
数值方法与误差分析
4
误差的种类及其来源
5
绝对误差和相对误差
6
有效数字及其误差的关系*
7
误差的传播与估计
8
算法的相对稳定性*
.
2
§1 数学与科学计算
若用著名秦九韶（我国宋朝数学家）算法，将多项式 P ( x ) 改成
P ( x ) ( ( ( a n x ( a n 1 ) x a n 2 ) x a 2 ) x a 1 ) x a 0
来计算时，只要做 n 次乘法和次加法即可。
对于小型问题，计算的速度和占用计算机内存的多少似乎意义不大。 但对于复杂的大型问题而言，却是起着决定性作用。算法取得不恰当， 不仅影响到计算的速度和效率，还会由于计算机计算的近似性和误差的 传播、积累直接影响到计算结果的精度甚至直接影响到计算的成败。不 合适的算法会导致计算误差达到不能容许的地步，而使计算最终失败， 这就是算法的数值稳定性问题。
.
10
下面是一个简单的例算，可以看出近似值带来的误差与算法的选择对计算 结果精度所产生的巨大影响。
例1.3.1 计算
3
2 1
x
2 1
可用四种算式算出：
6
x
2 1
x 99 70 2
6
1 x 2 1
x
1
99 70 2
如果分别用近似值 27 51.4和 217121.4166L
.
7
§3 数值方法与误差分析
❖ 数值方法已成为科学研究的第三种基本手段。所谓数值方法，是指 将所欲求解的数学模型（数学问题）简化成一系列算术运算和逻辑运算， 以便在计算机上求出问题的数值解，并对算法的收敛性和误差进行分析、 计算。这里所说的“算法”，不只是单纯的数学公式，而且是指由基本 的运算和运算顺序的规定所组成的整个解题方案和步骤。一般可以通过 框图（流程图）来较直观地描述算法的全貌。
《高等工程数学》习题三参考答案
1 P{ X 1 x, X 2 x, , X n x} 1 (1 P{ X x}) n 1 (1 F ( x)) n ;
因为 X ( n ) max X i ，所以 FX ( n ) ( x) P{ X ( n ) x} P{ X 1 x} P{ X n x} F ( x ) 。
11. 解：因 X ~ N (80,20 2 ) ，样本容量为 100，所以 X ~ N (80,4) ，
3
P{ X 80 3} P{
X 3 2
3 3 } 2(1 ( )) 2 * (1 - normcdf(3/2)) 0.1336 。 2 2
3 )， 10
12. 解：设 X 1 , X 2 , , X 10 和 Y1 , Y2 , , Y15 为 N ( 20,3) 两独立样本，则 X ~ N (20,
2
2 ( n) ， X
X1 ~ t ( n) ， X2 / n
所以 X
2
X1 /1 ~ F (1, n) 。 X2 / n
9. 解：MATLAB 命令为（1）norminv(0.99)； （2）norminv(0.04)； （3）chi2inv(0.975,15);(4) chi2inv(0.025,15);(5) chi2inv(0.95,50);(6) chi2inv(0.95,100);(7) tinv(0.975,19);(8) tinv(0.975,99); (9) finv(0.95,2,6);(10) finv(0.05,3,40);(11) finv(0.05,2,6);(12) finv(0.01,3,40) 10.解：因 X ~ N (1,4) ，样本容量为 16，所以 X ~ N (1,
《高等工程数学》科学出版社 吴孟达版习题答案(1-8章)
《高等工程数学》――科学出版社版习题答案： 第一章习题（P26） 1．略2．在R 4中，求向量a ＝[1,2,1,1]T ,在基a 1 ＝ [1 , 1, 1, 1]T , a 2 ＝ [1 , 1, －1,－1]T a 3 ＝ [1 , －1, 1, －1]T a 4 ＝ [1 , －1,－1, 1]T 下的坐标。
解：其坐标为：x ＝( 5/4, 1/4, －1/4，－1/4 )T 3．在R2×2中，求矩阵12A=03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在基 111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦下的坐标。
解：其坐标为：x ＝( 3, －3, 2，－1 )T 4．试证：在R 2×2中，矩阵111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦线性无关。
证明：设 k 1B 1+ k 2B 2+ k 3B 3+ k 4B 4=0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦，只要证明k 1= k 2 = k 3= k 4 =0即可。
余略。
5．已知R 4中的两组基：和T T T T 1234=[2,1,1,1],=[0,3,1,0],=[5,3,2,1],=[6,6,1,3]ββββ－求由基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵，并求向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标。
解：基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵是：2056133611211013⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－ 向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标是：6．设R[x]n 是所有次数小于n 的实系数多项式组成的线性空间，求多项式p(x) = 1+ 2x n －1在基{1，(x －1)，(x －1)2，(x －1)3，….，(x －1)n －1}的坐标。
高等工程数学
摘要高等工程数学是工程类硕士研究生的一门重要的数学基础课程，在研究生数学素养的训练、创新能力的提高方面具有重要作用。
内容包含矩阵论、数值计算方法和数理统计三部分，其主要内容有：先行空间与线性变换、内积空间、矩阵的标准型、数理统计的基本概念与抽样分布、参数估计、假设检验、回归分析与方差分析。
关键词：线性空间、假设检验、方差分析一、线性空间的综述简单的说，线性空间是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另一元素。
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。
1.1 数域的概念设P是一个非空数集，且至少含有非零的数，若P中任意两个数的和、差、积、商（除分母为零外）仍属于该集合，则称P是一个数域。
容易验证有理数集合Q、实数集合R与复数集合C都是数域，分别称为有理数域、实数域与复数域。
1.2 线性空间定义设V是一个非空集合，P是一个数域，如果:(1)在集合V上定义一个二维运算（通常称为加法），即对V中任意两个元素x,y经过这个运算后得到的结果，仍是集合V中唯一确定的元素，该元素称为x 与y的和记作x+y.(2)在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于P任意数λ与V中任意元素x，经过这一运算后所得到的结果，仍是V中唯一确定的元素，称为唯一确定的元素，称为λ与x的数量乘积，记作λ x。
如果加法和数量乘法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间。
1.3线性空间的运算(1)对任意x,y∈V，x+y=y+x;(2)对任意x,y,z∈V，(x+y)+z=x+(y+z);(3)V中存在一个零元素，记作θ，对任意x∈V，都有x+θ=x;(4)对任意x∈V,都有y∈V，使得x+y=θ,元素y称为x的负元素，记作－x;(5)对任意x∈V,都有1x=x;对任何λ，μ∈P，x,y∈V。
《高等工程数学》科学出版社版习题答案(第三章)
《高等工程数学》――科学出版社版习题答案（第三章）（此习题答案仅供学员作业时参考。
因时间匆忙，有错之处敬请指正，谢谢！） （联系地址：yangwq@ ）P501． 自己验证范数的三个条件2． 自己验证范数的三个条件3． （1）122222212111121()||||(||)||||||||||||||||(||1),||||||(11)||n n n n nk k i j k k k i j k n k k T nx x x x C x x x x x x x Cauchy Schwartz x x x I I x x I R x ==≠===∈==+∙≥=-=∙=<>≤∙==∈∑∑∑∑∑设，，...，，则有－－(*)另由不等式，有－－(**)其中，，...，1所以由(*)和(**)式有：212||||||||x x ≤≤(（2）121111211111()||||max ||||||||()||max ||||||||max ||||||||||||||||n n nk k k n k n i k k nn i k k n i x x x x C x x x x x x x x x x x x n x n x x x n x ∞≤≤=≤≤∞≤≤=∞∞=∈==≤=≤=≤=≤≤∑∑ 设，，...，，则有－－(*)另外对，，...，的任一分量有所以有：－－(**)所以由(*)和(**)式有：（3）12211212()||||max ||||||()||max ||||||||||||n n k k n n i k k nx x x x C x x x x x x x x x x x x ∞≤≤≤≤∞=∈==≤==≤=≤=设，，...，，则有－－(*)因对，，...，的任一分量有 所以有：－－(**)所以由(*)和(**)式有：2||||||||x x ∞∞≤≤4． 已知1321i A i -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦试求第12|||| ||||||||A A A A ρ∞，，，（）解：12222||||max{2||||max{3121365531215511655||176650(16)(1)5511||||413||(1)162421(H H A A i i i A A i i i i I A A i A iI A i λλλλλλλλλλλλλρ∞====+-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦----==-+-=---+-=-+--==-+-=-----因所以)1A ==+5． 证明：(1)211H U U U II U =因是酉矩阵，所以＝而单位矩阵的特征值为，所以(2) 222222)))))H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H U U U IUA UA A U UA A AUA A AU AU U A AU U A A UA A AU AU AU A U AU U AU U A UU AU U A A UA A U AU U AU U AUA =========因是酉矩阵，所以＝（）（所以（）（（）即矩阵与（）（相似，所以有相同的特征值即（）（（）即矩阵与（）（相似，所以有相同的特征值即6． ||||=1||||=1111-1||||=max||||=max||||=11||||=||||||||||||||||||||e e I Ie e I A A A A A A ---=≤∴≥7． (1)证明：假设I －A 不可逆，则|I-A|=0，即1是A 的特征值，所以 ()1()()1A A A A A A ρρρ≥≤<又因为对的任一范数，都有所以由题设知矛盾，所以I －A 可逆(2) 由||||||||||||||||1||||||||||||||||||||11||||1||||1||||I A I A I I A I A A II A I I A AI A I I A A I I A A I A A I A I A A A I A A --⇒--⇒-+-∴-=+-≤+-≤+-∴---≤<-≤- -1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1()()=()-()=()=()()()()()()()由得() 得证明：1||||0.9 ()<1lim k k A A A O ρ→∞=∴∴=（2）2||(2)() ()=2||1|lim 2k k c c I B cc c c B c c c c B O λλλλλρλ→∞---=--=-+∴--∴<= 当|时，9．(1) 解： 21334(4)(1)22()41A A λλλλλλρ--=--=-+--∴=>故发散(2) 因为收敛半径为：R=5，所以收敛10．解： 1210.10.80.60.30.90.534140.90771300.511773490111425371773311311702835377k k A A A A λλ∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦==-⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑设的特征值为，，所以(1) 222sin 2cos(2)sin 2sin()sin cos()sin cos 2sin(2)cos 2cos()cos sin()cos t tt At t t t e te e e e te e t t t t At t t t t t t t t At t t t t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦(2) 222sin 2cos(2)sin 2sin()sin cos()sin cos 2sin(2)cos 2cos()cos sin()cos tt t At t t t e te e e e te e t t t t At t t t t t t t t At t t t t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦12． 解： A 的特征值为：－1，1，22221166110221102211sin 2(2sin 2sin )(sin 22sin )33sin()00sin 0sin 021cos 2(cos 2cos )(co 33cos()t t t t t t t At t t t t t t t t ee e e e e e e e e e e e e e e tt t t t At t t t t t At ------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤--⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-=（4-3-）（2-3+）（）（）（）（）s 2cos )0cos 000cos t t t t ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦13．解： A 的特征值为：1，1，42ln 1110240.5 1.50.50.50.5 2.5A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦-ln4-2ln4+6ln4-1-ln4+33。
高等工程数学Ⅲ智慧树知到课后章节答案2023年下南京理工大学
高等工程数学Ⅲ智慧树知到课后章节答案2023年下南京理工大学南京理工大学第一章测试1.有界区域上的弦振动方程定解问题可以用傅里叶积分变换法求解。
（）A:对 B:错答案:错2.二维热传导方程的古典显格式稳定性条件是（）A: B: C:其余都不对 D:答案:3.关于边值问题和变分问题，下列说法不正确的是（）。
A:所有选项都不对 B:Ritz形式和Galerkin形式的变分问题的解均称为相应边值问题的广义解 C:Ritz形式的变分问题比Galerkin形式的变分问题适用范围更广 D:Ritz形式的变分问题要求对称，而Galerkin形式的变分问题无此要求，因此两种变分形式之间无联系答案:所有选项都不对;Ritz形式的变分问题比Galerkin形式的变分问题适用范围更广;Ritz形式的变分问题要求对称，而Galerkin形式的变分问题无此要求，因此两种变分形式之间无联系4.无界区域上的弦振动方程定解问题可以用傅里叶积分变换法求解。
（）A:错 B:对答案:对5.二维热传导方程的Crank-Nicolson格式是无条件稳定的。
（）A:错 B:对答案:对6.考虑有界弦振动方程定解问题：其对应的本征值和本征函数分别是（）：A:B: C:D:答案:7.一维抛物型方程的Du-Fort-Frankel格式如下：，其截断误差为（）A: B: C: D:答案:8.一维对流方程的蛙跳格式的截断误差为。
（）A: B: C:答案:9.关于偏微分方程求解的有限元方法，下列说法正确的是（）。
A:有限元方法通常选取分片连续的多项式函数空间作为近似函数空间 B:对于第二、三类边界条件的定解问题，采用有限元方法无需处理边界 C:二维情形，有限元方法在区域剖分时，只能选择三角形单元或者矩形单元 D:有限元方法是基于Ritz-Galerkin方法提出的，通常选取传统幂函数作为近似函数空间的基底答案:有限元方法通常选取分片连续的多项式函数空间作为近似函数空间;对于第二、三类边界条件的定解问题，采用有限元方法无需处理边界10.一维对流方程的隐式迎风格式是（）A: B: C:D:答案:第二章测试1.在一元线性回归模型中，是的无偏估计。
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华中科技大学博士研究生入学考试《高等工程数学》考试大纲
1. 考试对象：工科类博士研究生入学考试者
2. 考试科目：矩阵论，数值分析，数理统计
3. 评价目标：
·考查学生对上述科目基础知识的掌握状况
·考查学生对学科数学基础理论和方法的逻辑分析与应用能力
4. 答卷方式：闭卷、笔试
5. 题型比例：
概念题：30%；计算、证明题：70%
6. 答题时间：180分钟
7. 考试科目的内容分布:
满分100分，每科目各占1/3
8. 考试内容与考试要求：
(1)了解线性空间的基本概念，掌握线性变换及其变换矩阵的性质与计算,
掌握线性空间R3上的基本正交变换。
(2)了解Jordan标准形的基本理论与方法,掌握方阵和线性变换的Jordan
矩阵计算方法,能应用Jordan化方法分析、解决相关问题。
(3)了解矩阵分解的基本思想,了解方阵的三角分解、Schur分解, 掌握满
秩分解和奇异值分解及其分解计算方法,掌握正规矩阵的分解性质。
(4)了解向量范数与矩阵范数，掌握向量与矩阵P范数的计算, 了解矩阵
函数的定义和矩阵分析的基本内容,掌握常用的矩阵函数的计算方法
及其应用。
(5)了解矩阵广义逆的概念, 掌握矩阵的M-P广义逆的定义、性质及其基
本应用。
(6)掌握插值多项式的各种构造方法及其截断误差的表示，了解三次样条
插值。
(7)掌握函数的最佳平方逼近与曲线拟合的最小二乘法，了解正交多项
式。
(8)理解代数精度的概念；掌握牛顿—柯特斯求积公式、Gauss型求积公
式的构造；了解复化求积公式及Romberg算法。
(9)理解常微分方程初值问题的数值解法，会求局部截断误差与阶；能讨
论单步法的绝对稳定性区域。
(10)掌握非线性方程求根的迭代公式的构造法并能判断其收敛性及收敛
阶。
(11)掌握求解线性方程组的高斯主元消去法及Jocabi、Gauss-Seidel迭
代法并会判别迭代的收敛性。
(12)了解抽样分布及有关内容。
(13)掌握参数估计的点估计、区间估计方法及其估计量的评价标准。
(14)掌握参数的假设检验，分布的非参数假设检验有关方法。
(15)掌握方差分析。
(16)掌握正交设计有关内容。
(17)掌握线性回归有关内容。
9. 参考书目：
[1]杨明，刘先忠，《矩阵论》（第二版），华中科技大学出版社，2005.
[2]李红，《数值分析》，华中科技大学出版社，2003.
[3]于寅，《高等工程数学》（第三版），华中理工大学出版社，1995. .。