九年级数学正多边形和圆2
D
正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心 . 正多边形的半径: 外接圆的半径
正多边形的中心角 : 正多边形的每一条 边所对的圆心角 .
E
D
半径R . O.
边心距r
F
中心角
C
正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边 的距离.
中心角 360 n
E 中心角 F
R
D
180 AOG BOG n
例 有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,求
地基的周长和面积(精确到0.1平方米).
解:
由于ABCDEF 是正六边形，所以 它的中心角等于 360 60， 6 OBC是等边三角形，从而正
F A
Bห้องสมุดไป่ตู้
2 2
E
. .O
r R P
D
C
六边形的边长等于它的半径.
∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
在RtOPC中，OC 4，PC
BC 4 2 2 2
根据勾股定理，可得边心距r
4
2 2 3
1 1 2 亭子的面积S Lr 24 2 3 41.6(m ) 2 2
（n 2） 180 n 正n边形的一个内角的度数是 ____________;
360 n 中心角是___________;
B O
E
C
D
小结：
各边相等，各角 1、怎样的多边形是正多边形？ 也相等的多边形 叫做正多边形。
你能举例说明吗？
2、怎样判定一个多边形是正多边形？
根据正多边形与圆关系的 第一个定理
达标检测： 1、判断题。 ①各边都相等的多边形是正多边形。 （× ）
②一个圆有且只有一个内接正多边形。 （ × ） 2、证明题。
弧相等— 圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形
证明：∵AB=BC=CD=DE=EA
∴ AB=BC=CD=DE=EA
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
A
∵BCE=CDA=3AB
∴∠ 1=∠ 2 同理 ∠ 2=∠ 3=∠4=∠5
⌒
⌒
⌒
B
1 2 3 4 5
E
又∵ 顶点 A、B、C、D、E都在⊙O上， C
∴ 五边形 ABCDE是 ⊙O的内接五边形.
O C
120 °
①用量角器度量，使 ∠AOB=∠BOC=∠COA =120°． ②用量角器或30°角的 三角板度量，使 ∠BAO=∠CAO=30°．
B
你能用以上方法画出正四边形、正五边形、 正六边形吗？
A O ·
90°
D B O
A E
F
E
·
72°
A
O ·
60°
D
B
C
C
D
B
C
你能尺规作出正四边形、正八边形吗？
4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做 中心 正方形ABCD的
5、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做 正方形ABCD的 边心距
A .O B E
D
C
6、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的 弦心距OF叫正五边形ABCDE的 边心距 ， 它是正五边形ABCDE的 内切 圆的半径。
中心 7、 ∠AOB叫做正五边形ABCDE的 角， 它的度数是 72度 D E .O A F B C
8、图中正六边形ABCDEF的中心角是∠AOB 它的度数是 60度
9、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有 什么数量关系？为什么？
E
D
F
.O
C
A
B
1、正多边形的各边相等 2、正多边形的各角相等
3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形 共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形 的中心。
4、边数是偶数的正多边形还是中心 对称图形，它的中心就是对称中心。
A O ·
D
只要作出已知⊙O的互相垂 直的直径即得圆内接正方 形，再过圆心作各边的垂 线与⊙O相交，或作各中心 角的角平分线与⊙O相交， 即得圆接正八边形，照此 方法依次可作正十六边形、 正三十二边形、正六十四 边形……
B
C
你能尺规作出正六边形、正三角形、正十 二边形吗？
以半径长在圆 周上截取六段相 等的弧，依次连 结各等分点，则 作出正六边形. 先作出正六边 形，则可作正三 角形，正十二边 形，正二十四边 形………
边心距把△AOB分成 2个全等的直角三角形
. .O
a
C
G B 设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.
边心距r 面积S
A
a ， ） R（ 2
2
2
1 1 L 边心距（r） na 边心距（r） 2 2
演 稿
示 1
文
2 3 后 等
南宁空调出租/news/2016-04-21/17116128842499135165056.shtml 巨庀夻
正多边形和圆
E A D
B
C
三条边相等，三个角也相等 （ 60度）。
四条边都相等，四个角也相 等（ 90度）。
正多边形：
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
正n边形：如果一个正多边形有n条边，
那么这个正多边形叫做正n边形。
想一想：
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？
A
D
B
C
弦相等（多边形的边相等）
A
B
F
E
求证：顺次连结正六边形 各边中点所得的多
边形是正六边形。
C
D
正多边形的中心角与外角的大小关系 相等 是________.
抢答题：
外接 △ABC的中心，它是△ABC的 1、O是正 圆与 内切 圆的圆心。 A
2、OB叫正△ABC的 ， 半径 它是正△ ABC的 外接 圆的半径。 3、OD叫作正△ABC 边心距，它是正△ABC 的 的 内切 圆的半径。 B
.O D C
F
E O ·
A
D
B
C
说说作正多边形的方法有哪些?
归纳 （1）用量角器等分圆周作正n边形； （2）用尺规作正方形及由此扩展作正八 边形, 用尺规作正六边形及由此扩展作正 12边形、正三角形．
探究
按照一定比例,画一个停车 让行的交通标志的外缘
停
练习： （1）用量角器作五角星； （2）P116.
A
如图： 已知点A、B、C、D、 E是⊙O 的5等分点， 画出⊙O的内接和外 切正五边形
画正多边形的方法
1.用量角器等分圆 2.尺规作图等分圆
(1)正四、正八边形的尺规作图 （2 ）正六、正三 、正十二边形的尺规作图
由于正多边形在生产、生活实际中有广泛 的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能 力之一。 怎样画一个正多边形呢？ 问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接 正三角形. A
人教版九年级数学上册24.3.2《正多边形和圆(2)》说课稿
人教版九年级数学上册24.3.2《正多边形和圆(2)》说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册24.3.2《正多边形和圆(2)》这一节主要介绍了正多边形的性质以及正多边形与圆的关系。
在教材中，通过图形的观察和推理，引导学生发现正多边形的性质，并且能够运用这些性质解决实际问题。
教材内容紧凑，逻辑清晰，通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对图形的认识和推理能力有一定的掌握。
但是，对于正多边形的性质以及与圆的关系的理解还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对学生的特点进行教学设计和调整。
三. 说教学目标1.知识与技能：通过学习，使学生了解正多边形的性质，能够运用这些性质解决实际问题；培养学生对圆的性质的理解，能够运用圆的性质解决几何问题。
2.过程与方法：通过观察、推理、交流等方法，培养学生的图形认知能力和逻辑思维能力。
3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：正多边形的性质，以及正多边形与圆的关系。
2.教学难点：正多边形的性质的证明，以及如何运用这些性质解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等，引导学生主动探究，积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件，直观展示图形的性质和变化，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些生活中的正多边形和圆的图形，引导学生对正多边形和圆的性质产生兴趣，激发学生的学习热情。
2.新课导入：介绍正多边形的定义和性质，通过示例和练习，使学生掌握正多边形的性质。
3.知识拓展：引导学生发现正多边形与圆的关系，通过示例和练习，使学生理解正多边形与圆的性质。
4.课堂练习：设计一些具有挑战性的练习题，引导学生运用所学的知识解决实际问题。
5.小结：通过总结本节课所学的内容，帮助学生巩固知识，提高学生的总结能力。
九年级数学正多边形和圆2
你能尺规作出正四边形、正八边形吗？
A
D
·O
B
C
只要作出已知⊙O的互 相垂直的直径即得圆 内接正方形，再过圆 心作各边的垂线与⊙O 相交，或作各中心角 的角平分线与⊙O相交， 即得圆接正八边形， 照此方法依次可作正 十六边形、正三十二
边形、正六十四边 形……
你能尺规作出正六边形、正三角形、正 十二边形吗？
F
E
O
A
·
D
B
C
以半径长在圆 周上截取六段相 等的弧，依次连 结各等分点，则 作出正六边形.
先作出正六边
形，则可作正三 角形，正十二边 形，正二十四边
形………
说说作正多边形的方法有哪些?
归纳
（1）用量角器等分圆周作正n边形；
（2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边 形, 用尺规作正六边形及由此扩展作正12边 形、正三角形．
7.两个正三角形的内切圆的半径分别为12 和18,则它们的周长之比为2﹕—3———,面积之 比为4-﹕---9--------.
C
B
你能用以上方法画出正四边形、正五 边形、正六边形吗？
A
A
D
F
E
·O
B
E
O·
A
O ·
D
90°
72°
60°
B
C
C
D
B
C
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；
那人仔细查看了一番地上的脚印，突然说：“那是我自己的脚印呀！” 神笑了：“现在你知道了，既然你在最低潮、最悲观的阶段，都能够背负我走过去，那你现在还需要我吗？” 120、简单的精彩 地质考察队在大山里发现了一个罕见的山洞。洞内地形非常曲折，大洞套小洞 ，变化无穷，还有深潭和峭壁，甚为奇险
青岛版数学九年级上册《正多边形与圆》2
边数 3
角 角 径 长 距 长积
3
60° 120 2 2 3 1 6 3 3 3
4
90 90 2 2 1 8 4
6
120 60 2 2
12 6 3
O
O
O
半径R 60 边心距r
半径R 45 边心距r
半径R 30 边心距r
AC
M AC
M
AC
M
当堂训练
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。
径为边长的正六边形ABCDEF的面积．
S 27 3 cm2 2
A
F
B
O
E
C
D
例题选讲
分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形 的边长，边心距和面积.
解：作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D
连接OB，则OB=R，BC=a
A
在Rt△OBD中 ∠OBD=30°, a
边心距＝OD=
1 R.
a BD=
巩固练习
1．正八边形的每个内角是_1_3__5_°_度.
2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则
∠CFD的度数是（ C ）
A. 60° B. 45° C. 30° D. 22.5°
巩固练习
3．如果一个正多边形绕它的中心旋转90°就与
原来的图形重合，那么这个正多边形是（ B ）
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
B O
E
x
C
D
巩固练习
6．如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH， 若△ADE的面积为10，则正八边形
ABCDEFGH的面积为( A )
A. 40 B .50 C. 60
人教版九年级数学上册作业课件 第二十四章 圆 正多边形和圆 (2)
a，则正六
边形的面积为 6×21
×a×
3 2
a＝32 3
a2，正方
形的面积为 a×a＝a2，∴正六边形与正方形的面
(2积)易比得为O3F2＝3 Ea2F∶＝aF2＝G，3 ∴3 ∠∶O2GF＝12 (180°－60°－90°)＝15°
16．如图①，②，③，④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方 形ABCD，正五边形ABCDE，正n边形ABCDEF…的边AB，BC上的点，且 BM＝CN，连接OM，ON.
人教版
第二十四章 圆
24．3 正多边形和圆
1．各边_相__等__、各角也_相__等__的多边形是正多边形． 练习1：下列图形中是正多边形的是( D ) A．等腰三角形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
2．正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的_____，中外心接圆的 _____叫半做径正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多 边形的______中，心中角心到正多边形的一边的_____叫距做离正多边形的
(2)90° 72° (3)∠MON＝36n0°
(1)求图①中∠MON的度数； (2)图②中∠MON的度数是_9_0_°___，_ 图③中∠MON的度数是_7_2_°___；_ (3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系．(直接写出答案)
解：(1)连接OA，OB，图略．∵正三角形ABC内接于⊙O，∴AB＝BC， ∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°.∵BM＝CN，∴AM＝BN，又 ∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON(SAS)，∴∠AOM＝∠BON，∴∠AOM＋ ∠BOM＝∠BON＋∠BOM，∴∠AOB＝∠MON＝120°
∠DEB＝72°，∴∠AME＝∠EAC，∴ME＝AE
人教版九年级数学上册《24.3 正多边形和圆》 教案 第2课时
第二十四章圆24.3 正多边形和圆第2课时一、教学目标1．巩固正多边形与圆的关系．2．掌握用尺规画图作正多边形．二、教学重点及难点重点：画特殊的正多边形．难点：利用直尺与圆规作特殊的正多边形．三、教学用具多媒体课件，三角板、直尺、圆规、量角器．四、相关资源五、教学过程【复习回顾，引入新课】师生活动：教师展示复习的课件，让学生回顾上节课所学知识．设计意图：通过复习正多边形与圆相关定义，为本节课学习正多边形画法作好铺垫．【合作探究，形成新知】实际生活中，经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等，这些问题都与等分圆周有关，我们一起探究正六边形的画法．我们可以用量角器画正六边形吗？如果可以，请说说作图原理．师生活动：四人一组，小组讨论、交流，一名学生回答，全班订正．学生回答不足的地方，教师补充．归纳用“量角器等分圆”：依据：同圆中相等的圆心角所对应的弧相等．操作：两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个圆心角，然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正多边形的边长误差较大．【例题分析，深化提升】例有没有其他作正六边形的方法？你能用尺规作出圆的内接正六边形吗？试试看．师生活动：教师组织学生思考作图的方法，先让学生独立思考，再与小组同学协作完成，有方法的小组通过实物投影展示，对完成较好的同学给予表扬．教师引导学生观察正六边形，从而使其回忆起正六边形的边长等于半径，找到作图的方法，然后学生自己动手作图．设计意图：充分发挥学生的发散思维，让学生充分利用手中的工具，实际操作，认真思考，从而培养学生的动手能力．【练习巩固，综合应用】已知⊙O的半径为1 cm，求作⊙O的内接正八边形．解：（1）如图所示，作直径AC，使AC=2 cm．（2）作AC的中垂线BD交⊙O于B，D两点．（3）连接AD，作AD的中垂线交AD于M点．，，的中点E，F，G．（4）用同样的方法作出AB BC CD（5）依次连接各分点，即得正八边形．正八边形AEBFCGDM即为所求作的⊙O的内接正八边形．设计意图：巩固正多边形画法．六、课堂小结学完这节课你有哪些收获？1．量角器画正多边形2．尺规作正多边形师生活动：学生自己总结，不全面的由其他学生补充完善．教师重点关注：不同层次学生对本节知识的理解、掌握程度．设计意图：让学生总结出自己的收获，理清思路、整理经验，从而形成良好的学习习惯，同时也提出自己的疑问和困惑便于教师及时反馈．七、板书设计24.3 正多边形和圆(2)1．量角器画正多边形2．尺规作正多边形。
九年级数学上册24.3正多边形和圆(第2课时)教案新人教版
24.3 正多边形和圆教学内容24.3 正多边形和圆（2）．教学目标1．理解正多边形的性质．2．会画正多边形，了解依次连结圆的n等分点所得的多边形是正多边形，过圆的n等分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是正多边形．教学重点正多边形的画法．教学难点对正n边形中泛指“n”的理解．教学步骤一、导入新课实际生活中,经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等，这些问题都与等分圆周有关．二、新课教学我们知道，依次连结圆的五等分点所得的圆内接五边形是正五边形．如果n等分圆周，(n ≥3)、n=6,n=8……是否也正确呢？教师引导学生充分讨论．因为在同圆中，弧等弦等，n等分圆就得到n条弦等,也就是n边形的各边都相等．又n 边形的每个内角对圆的(n－2）条弧，而每一内角所对的弧都相等，根据弧等、圆周角相等，证明了n边形的各角都相等,因此圆内接正五边形的证明具有代表性．定理：把圆分成n(n≥3）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形．为何要“依次"连结各分点呢？缺少“依次”二字会出现什么现象？大家讨论讨论看看．我们还可以用圆心角来等分圆周．由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形．例如，画一个边长为1。
5 cm 的正六边形时，可以以 1.5 cm为半径作一个⊙O，用量角器画一个等360 ＝60°的圆心角,它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧于6相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次连接各分点，即可得到正六边形（如下图)．对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作．如，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径,就可以把圆四等分，从而作出正方形（下图）．三、巩固联系教材第108页练习．四、课堂小结今天学习了什么，有什么收获？五、布置作业习题24.3 第4、6题．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
人教版九年级数学上册《正多边形和圆(第2课时)》示范教学课件
例1 如图，画⊙O 的内接正三角形．
解：先画⊙O 的内接正六边形，再在 正六边形的基础上，选择不相邻的三个顶 点，顺次连接，即可作正三角形．如图， △DBF是⊙O 的内接正三角形．
E
D
F
O
C
A
B
例2 如图，画⊙O 的内接正八边形．
解：先画圆的内接正四边形，再在正 四边形的基础上用直尺和圆规分别作与正 四边形相邻两边垂直的直径，即可作正八 边形．如图，八边形 AHBFCGDE 是⊙O 的内接正八边形．
E
D
F
O
C
A
B
探究 如图，作⊙O 的内接正方形．
解：用直尺和圆规作两条相互垂直的直径，就可以把圆四等分，
从而作出⊙O 的内接正方形，如图所示． D
AO
C
B
归纳
用等分圆周画正多边形的方法：
1．只用量角器：在半径为 R 的圆中，用量角器把 360°圆心
角 n 等分，即可把半径为 R 的圆周 n 等分，顺次连接各分点即可得
H
A
B
O
E
F
D
C
G
按照此方法可以作出正十六边形、正三十二边形、正六十四边 形……也可以作出正十二边形、正二十四边形……
许多图案设计都和圆有关，下图就是一些利用等分圆周设计出 的图案．
其中一个图案的设计过程如下：
利用某些正多边形可以镶嵌整个平面的性质，还可以设计出一 些美丽的图案，如图．
练习 试一试：利用圆或正多边形设计一些图案．
分，然后顺次连接各分点即可．
如何等分圆周？ 因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以作相等的圆心角 就可以等分圆周．
解：方法 1 （1）作一个⊙O ；
2023-2024学年九年级上数学：正多边形和圆(精讲教师版)
2023-2024学年九年级上数学：第24章圆
24.3
正多边形和圆
正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心，外接圆的半径叫作这个正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
第1页（共15页）。
人教版九年级数学上册《正多边形和圆》第2课时教学课件
∴ = ，
∴
1
∠ = ∠ = 60°，
2
∴ △ 是等边三角形.
探究新知
已知⊙ 的半径为 ，画圆的内接正三角形.
探究新知
已知⊙ 的半径为 ，画圆的内接正三角形.
30°
30°
探究新知
已知⊙ 的半径为 ，画圆的内接正三角形.
方法
用量角器度量，使∠ = ∠ = 30°.
但画图的误差积累到最后一个等分点，误差较大．
3
尺规作图，虽然精确，但不是任意等分圆周都能用这种
方法，而且作图时存在误差.
4
本节课提到的其他一些方法只适用于某些特殊的正多边形.
练习
1
如何在半径为 的⊙ 中作出内接正九边形呢？
40°
练习
2
如何借助圆画出一个五角星呢？
72°
72°
练习
情境引入
实际生活中，经常遇到画正多边形的问题，比如画一个
六角螺帽的平面图，画一个五角星等，这些问题都与等分圆
周有关. 要制造如下图中的零件，也需要等分圆周.
引入新知
已知⊙ 的半径为 ，画圆的内接正三角形.
探究新知
已知⊙ 的半径为 ，画圆的内接正三角形.
探究新知
已知⊙ 的半径为 ，画圆的内接正三角形.
3
探究新知
已知⊙ 的半径为 ，画圆的内接正三角形.
方法
用圆规在⊙ 上顺次截取两条长度等于 3 的弦，连
《正多边形和圆形》圆PPT优质课件(第2课时)
课堂检测
2.画一个正十二边形.
作法：如图，分别以⊙O的四
等分点A，B，E，F为圆心，
以⊙O的半径长为半径，画8条 弧与⊙O相交，就可以把⊙O分 成12等份，依次连接各等分点， 即得到正十二边形.
课堂小结
1.画正多边形的方法：
由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因 此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得 到相应的正多边形.
作法：如图，以2cm为半径作一个⊙O，用量角器画一个
360 等60于
的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依
6
次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次
连接各分点，即可得出正六边形．
O·
60°
课堂检测
拓广探索题
1.一个平面封闭图形内(含边界)任意两点距离的最大值 称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为 图形的“周率”，下面四个平面图形(依次为正三角形、 正方形、正六边形、圆)的周率从左到右依次记为a1，a2 ，a3，a4，则下列关系中正确的是B ( ) A.a4＞a2＞a1 B.a4＞a3＞a2 C.a1＞a2＞a3 D.a2＞a3＞a4
四边形……
探究新知
你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边 形吗？
F
E
O
A
·
D
B
C
以半径长在圆周上截取六 段相等的弧，依次连结各等分 点，则作出正六边形.
先作出正六边形，则可作 正三角形，正十二边形，正二 十四边形………
探究新知
说说作正多边形的方法有哪些?
（1）用量角器等分圆周作正n边形； （2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形, 用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正 三角形．
⑤顺次连接A、E、F、C、G、H各点;