(推荐)人教A版高中数学必修一《函数的奇偶性》教案
【公开课】高中数学人教A版(2019) 必修第一册第三章《函数的奇偶性》教案
3.2.2函数奇偶性的教学设计一、教材分析《奇偶性》位于高中数学人教A版（2019）必修第一册第三章3.3.2节。
本节课是在学生学习函数单调性之后，教材从学生熟悉的函数图象情境出发，让学生从形的角度认识函数的奇偶性，从数的角度探究函数奇偶性的本质，再通过数形结合来解决函数的相应问题。
二、学情分析本节课是面对普通班的学生进行讲解的,他们数学基础相对一般，但部分同学思维比较敏捷，大多数同学对数学比较热爱。
学生对函数及对称图形有一定的知识储备，在前面经历过探究和学习函数单调性的过程，对于根据函数的图象转化为数字特征并抽象为数学概念有了初步认识，但是由于初步接触，有一定的困难，为了让大部分学生掌握本节课的知识与方法，能够实现教学目标，突出重点、突破难点，我制定了后面的教学方案。
三、教学目标（一）学科目标1.知识与技能：了解函数的奇偶性的概念和几何意义；学会判断函数的奇偶性；学会运用奇偶性研究函数的图象。
2.过程与方法：通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合、分类讨论的思想。
3.情感态度与价值观：展示优美的函数图象加强学生对数学美的体验。
（二）核心素养目标1.数学抽象：函数的奇偶性的定义及图象的对称性；2.逻辑推理：根据偶函数的探究过程，探究和总结奇函数的概念；3.数学运算：判断函数奇偶性过程中的运算；4.直观想象：根据函数解析式画出函数图象、根据函数关于y轴对称画出大致图像研究函数的性质。
5.数学建模：通过具体函数实例，培养学生发现问题解决问题的能力。
四、教学重难点（一）重点：函数奇偶性的概念、简单性质及应用。
（二）难点：感悟数学奇偶性含义的数学抽象过程。
五、教学策略分析（一）.通过观察所展示的函数图象及动态图象演示，让学生形成对奇（偶）函数的直观认识；通过数量关系刻画函数的对称性，得出奇（偶）函数的定义。
是学生在函数奇偶性的数学抽象过程中在轻松愉快的环境下掌握，从而突破教学难点。
高中数学《函数的奇偶性》公开课优秀教学设计
函数的奇偶性教学设计1教材分析函数的奇偶性是继函数的单调性之后的又一重要性质。
“奇偶性”是人教A 版必修1第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。
在函数的单调性学习中，教材先是从几个特殊的函数图象开始，学生通过对函数图象的观察，也即对“形”的认识，从数学直观上体验到函数图象的上升和下降，又进一步从“数”的角度给出函数的单调性定义。
在奇偶性的教学中教材的教学方式和单调性的教学方式是一致的，因此在教学中采用类比的方法进行。
从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，也是为继续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数奠定基础。
因此，本节课起着承上启下的重要作用。
2学情分析初中时学生已经学习过中心对称和轴对称图形的相关概念。
学生对xk x f ax x f kx x f ===)(,)(,)(2等函数的图象比较熟悉。
因此在此基础上引入“奇偶性”的概念。
在引入概念时始终结合具体的函数图象，学生在学习时始终处于“最近发展区”，符合学生的认知规律。
3教学目标知识与技能：《数学课程标准(实验)》要求，结合具体函数，了解奇偶性的含义。
能够说出函数奇偶性的定义；根据奇偶性的定义学会判断函数的奇偶性；根据函数的奇偶性能够说出函数的分类；能够领悟判断函数奇偶性的一般方法和步骤。
并能进一步领悟数形结合思想。
过程与方法： 通过几个具体函数，学生能够获得直观上的奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，发现定义域中的任意一个x 都成立，最后在这个基础上建立奇偶函数的概念。
通过具体的特例学生进一步形成对函数奇偶性的深刻认识。
情感、态度与价值观：数学是美的也是自然的，但需要学生的领悟，不但能够直观看到函数曲线的对称美，还要体会逻辑美。
因此概念的生成不能僵硬，要调动学生参与数学学习的热情和兴趣，这样的课堂不但能够更好的学习知识还具有很强的育人作用。
4教学重点与难点重点：（1）函数的奇偶性定义及几何意义（2）数形结合思想的体现难点：（1）学生通过对几个函数图象的观察，从“形”的角度能观察出函数图象关于y 轴对称或关于原点对称，但如何将观察到的“形”的问题转化成“数”的形式是本节课的难点。
高中数学人教A版 必修1《3.2.2函数的奇偶性》课件（16张PPT）
一看
二找
三判断
看定义域 是否关于 原点对称
找 f x与
f x的
下结
关系
论
函数奇偶性的判断
变式训练1 判断下列函数的奇偶性：——定义法
（1）f x 4 x2 （2）f x x2x 1
x 1
（3）f x 0
按照奇偶性将函数分类为：
①奇函数 ②偶函数 ③非奇非偶函数 ④既奇又偶函数
函数奇偶性的判断 ——图象直观感知
利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以 及复合函数的奇偶性判断.
f x
偶
偶
奇
奇
gx
偶
奇
奇
偶
f x gx
f x gx
f x gx
f g(x)
研究题 借助几何画板绘制大量函数图象并归纳函数的单调
性与函数的奇偶性的关系。来自f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)
不同点
图象关于y轴对称 图象关于原点对称
补充：奇偶性是函数在其定义域上的整体性质
函数奇偶性的判断
例6 判断下列函数的奇偶性： ——定义法
（1）f x x4
偶函数 （2） f x x5 奇函数
（3）f x x 1
x
奇函数
（4）
f
x
1 x2
偶函数
归纳： 根据定义判断函数的奇偶性的步骤：
f x x2
…
9
4
1
0
14
…
9
gx 2 | x | … -1
0
1
2
1
0
…
-1
f 3 9 f 3 f 2 4 f 2 f 1 1 f 1
几何画板
当自变量取一对相反数时， 相应的两个函数值相等
3.2.2函数的奇偶性-高一数学课件(人教A版必修第一册)
则6= f(-5) ≤ f(x) ≤ f(7)
因此，f(x) 在[-7,-5]上是减函数，最小值是6
方法小结
• 偶函数 y 轴两侧的函数单调性相反；
• 奇函数原点两侧的函数单调性相同；
题型三 利用奇偶性和单调性比较大小
则f(x)在[-7,-5]上是( C )
A.增函数，最大值是6
B.增函数，最小值是6
C.减函数，最小值是6
D.减函数，最大值是6
解析：任取x1、x2∈[-7,-5]且 x1<x2，即-7≤ x1< x2≤-5，则5≤-x2<-x1≤7，
由题意可得 f(-x2) < f(-x1)，由偶函数的性质可得 f(x1) > f(x2)，
题型二 奇偶性的应用
例2 已知函数 f(x)=x5-ax3+bx+2，f(-5)=17，则f(5)的
-13
值是________
解析：∵g(x)=x5-ax3+bx是奇函数,
∴g(-x)=-g(x),
∵f(-5)=17=g(-5)+2,
∴g(5)=-15,
∴f(5)=g(5)+2=-15+2=-13
x(x-1)
当x>0时，f(x)=________
解析：当x>0时，-x<0，
所以f(-x)=-x(-x+1)=x(x-1)，
因为f(x)是偶函数，
所以当x>0时，f(x)=f(-x)=x(x-1)
题型一 利用函数奇偶性求解析式
例1(2) 已知f(x),g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，
高中数学必修一《函数的基本性质》优质教案
高中数学必修一《函数的基本性质》优质教案教材分析《奇偶性》内容选自人教版A版第一册第三章第三节第二课时;函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此奇偶性成为函数的重要性质之一,它的研究也为今后指对函数、幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用.教学目标与素养课程目标1、理解函数的奇偶性及其几何意义；2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3、学会判断函数的奇偶性．数学学科素养1.数学抽象：用数学语言表示函数奇偶性；2.逻辑推理：证明函数奇偶性；3.数学运算：运用函数奇偶性求参数；4.数据分析：利用图像求奇偶函数；5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用奇偶性解决实际问题。
重难点重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断；难点：函数奇偶性概念的探究与理解．课前准备教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程一、 情景导入前面我们用符号语言准确地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”（或“下降”）的性质.下面继续研究函数的其他性质.画出并观察函数的图像，你能发现这两个函数图像有什么共同特征码？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、 预习课本，引入新课阅读课本82-84页，思考并完成以下问题1.偶函数、奇函数的概念是什么？2.奇偶函数各自的特点是？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、 新知探究1．奇函数、偶函数（1）偶函数（even function）一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（2）奇函数（odd function）一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．2、奇偶函数的特点（1）具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，就不具有奇偶性．因此定义域关于原点对称是函数存在奇偶性的一个必要条件。
高中数学《函数的奇偶性》说课稿 新人教A版必修1
函数的奇偶性说课稿一、说教材1、说课内容：函数的奇偶性2、教材的编写意图：教材从具体到抽象，从感性到理性，从实践到理论，层次分明，循序渐进地引导学生回顾自然界和日常生活中具有对称美的事物，进入数学领域观察、归纳，同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思想，形成函数奇偶性概念。
3、教学目标〔1〕、从形和数两个方面进行引导，使学生理解奇偶性的概念,回会利用定义判断简单函数的奇偶性.〔2〕、在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的数学思想方法.〔3〕、在学生感受数学美的同时,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神.4、教学重点函数奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断5、教学难点对函数奇偶性的概念的理解二、说教法根据本节教材内容和编排特点，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采用以引导发现法为主，直观演示法、设疑诱导法为辅。
教学中，教师精心设计一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情景，诱导学生思考，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养思维能力。
三、说学法根据学法指导自主性和差异性原那么，让学生在“观察一归纳一检验一应用〞的学习过程中，自主参与知识的发生、发展、形成的过程，使学生掌握知识。
四、说程序设计：课堂教学是学生数学知识的获得、技能技巧的形成、智力、能力的发展以及思想品德的养成的主要途径。
为了达到预期的教学目标，我对整个教学过程进行了系统地规划，设计了四个主要的教学程序是：〔一〕设疑导入观图激趣，。
〔二〕指导观察，形成概念。
〔三〕给出例题、加深理解。
〔四〕、学生探索、发展思维。
五、说课过程：〔一〕、设疑导入、观图激趣、。
1、让学生感受生活中的美：对称美学生举例，出示一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志〕〔通过让学生观察麦当劳的标志导入新课，既激发了学生浓厚的学习兴趣，又为新知作好铺垫。
新人教A版新教材学高中数学必修第一册第三章函数概念与性质奇偶性函数奇偶性的概念教案
考点学习目标核心素养函数奇偶性的判断结合具体函数，了解函数奇偶性的含义，掌握判断函数奇偶性的方法数学抽象，逻辑推理奇、偶函数的图象了解函数奇偶性与函数图象对称性之间的关系直观想象奇、偶函数的应用会利用函数的奇偶性解决简单问题数学运算问题导学预习教材P8２—P8４，并思考以下问题：１．奇函数与偶函数的定义是什么？２．奇、偶函数的定义域有什么特点？３．奇、偶函数的图象有什么特征？１．偶函数（１）定义：一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果∀x∈I，都有—x∈I，且f（—x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数．（２）图象特征：图象关于y轴对称．２．奇函数（１）定义：一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果∀x∈I，都有—x∈I，且f（—x）＝—f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数．（２）图象特征：图象关于原点对称．■名师点拨（１）奇、偶函数定义域的特点由于f（x）和f（—x）须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．（２）奇、偶函数的对应关系的特点１奇函数有f（—x）＝—f（x）⇔f（—x）＋f（x）＝0⇔错误!＝—１（f（x）≠0）；２偶函数有f（—x）＝f（x）⇔f（—x）—f（x）＝0⇔错误!＝１（f（x）≠0）．（３）函数奇偶性的三个关注点１若奇函数在原点处有定义，则必有f（0）＝0．有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；２既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f（x）＝0，x∈I，其中定义域I是关于原点对称的非空集合；３函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）奇、偶函数的定义域都关于原点对称．（）（２）函数f（x）＝x２的图象关于原点对称．（）（３）对于定义在R上的函数f（x），若f（—１）＝—f（１），则函数f（x）一定是奇函数．（）（４）若f（x）是定义在R上的奇函数，则f（—x）＋f（x）＝0.（）答案：（１）√（２）×（３）×（４）√下列函数为奇函数的是（）Ａ．y＝|x|Ｂ．y＝３—xＣ．y＝错误!Ｄ．y＝—x２＋１４解析：选Ｃ．A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数，故选Ｃ．若函数y＝f（x），x∈[—２，a]是偶函数，则a的值为（）A．—２B．２Ｃ．0D．不能确定解析：选Ｂ．因为偶函数的定义域关于原点对称，所以—２＋a＝0，所以a＝２．下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．（填序号）解析：１３关于y轴对称是偶函数，２４关于原点对称是奇函数．答案：２４１３若f（x）是定义在R上的奇函数，f（３）＝２，则f（—３）＝________，f（0）＝________．解析：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（—３）＝—f（３）＝—２，f（0）＝0．答案：—２0函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性：（１）f（x）＝|x＋１|—|x—１|；（２）f（x）＝错误!＋错误!；（３）f（x）＝错误!；（４）f（x）＝错误!【解】（１）因为x∈R，所以—x∈R，又因为f（—x）＝|—x＋１|—|—x—１|＝|x—１|—|x＋１|＝—（|x＋１|—|x—１|）＝—f（x），所以f（x）为奇函数．（２）因为函数f（x）的定义域为{—１，１}，关于原点对称，且f（x）＝0，所以f（—x）＝—f（x），f（—x）＝f（x），所以f（x）既是奇函数又是偶函数．（３）f（x）的定义域为[—１，0）∪（0，１]．即有—１≤x≤１且x≠0，则—１≤—x≤１，且—x≠0，又因为f（—x）＝错误!＝—错误!＝—f（x）．所以f（x）为奇函数．（４）f（x）的定义域是（—∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称．当x>0时，—x<0，f（—x）＝１—（—x）＝１＋x＝f（x）；当x<0时，—x>0，f（—x）＝１＋（—x）＝１—x＝f（x）．综上可知，对于x∈（—∞，0）∪（0，＋∞），都有f（—x）＝f（x），所以f（x）为偶函数．错误!判断函数奇偶性的两种方法（１）定义法（２）图象法[注意] 对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式．１．给定四个函数：１y＝x３＋错误!；２y＝错误!（x>0）；３y＝x３＋１；４y＝错误!.其中是奇函数的有（）Ａ．１个B．２个Ｃ．３个D．４个解析：选Ｂ．１函数的定义域为R，f（x）＝x３＋错误!，f（—x）＝—（x３＋错误!）＝—f（x），则函数f（x）是奇函数；２函数的定义域关于原点不对称，则函数f（x）为非奇非偶函数；３函数的定义域为R，f（0）＝0＋１＝１≠0，则函数f（x）为非奇非偶函数；４函数的定义域为（—∞，0）∪（0，＋∞），f（—x）＝错误!＝—错误!＝—f（x），则函数f（x）是奇函数．２．如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）Ａ．y＝x＋f（x）B．y＝xf（x）Ｃ．y＝x２＋f（x）D．y＝x２f（x）解析：选Ｂ．因为f（x）是奇函数，所以f（—x）＝—f（x）．对于A，g（—x）＝—x＋f（—x）＝—x—f（x）＝—g（x），所以y＝x＋f（x）是奇函数．对于B，g（—x）＝—xf（—x）＝xf（x）＝g（x），所以y＝xf（x）是偶函数．对于C，g（—x）＝（—x）２＋f（—x）＝x２—f（x），所以y＝x２＋f（x）为非奇非偶函数．对于D，g（—x）＝（—x）２f（—x）＝—x２f（x）＝—g（x），所以y＝x２f（x）是奇函数．奇、偶函数的图象已知函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x２＋２x.现已画出函数f （x）在y轴左侧的图象，如图所示．（１）请补出完整函数y＝f（x）的图象；（２）根据图象写出函数y＝f（x）的递增区间；（３）根据图象写出使f（x）<0的x的取值集合．【解】（１）由题意作出函数图象如图：（２）据图可知，单调递增区间为（—１，0），（１，＋∞）．（３）据图可知，使f（x）<0的x的取值集合为（—２，0）∪（0，２）．１．（变问法）本例条件下，y取何值时，有四个不同的x值与之对应？解：结合图象可知，满足条件的y的取值范围是（—１，0）.２．（变条件）若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？解：（１）由题意作出函数图象如图所示：（２）据图可知，单调递增区间为（—１，１）．（３）据图可知，使f（x）<0的x的取值集合为（—２，0）∪（２，＋∞）．错误!巧用奇偶性作函数图象的步骤（１）确定函数的奇偶性．（２）作出函数在[0，＋∞）（或（—∞，0]）上对应的图象．（３）根据奇（偶）函数关于原点（y轴）对称得出在（—∞，0]（或[0，＋∞））上对应的函数图象．[注意] 作对称图象时，可以先从点的对称出发，点（x0，y0）关于原点的对称点为（—x0，—y0），关于y轴的对称点为（—x0，y0）．已知函数y＝f（x）是偶函数，且图象与x轴有四个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和是（）Ａ．４Ｂ．２Ｃ．１Ｄ．0解析：选Ｄ．因为f（x）是偶函数，且图象与x轴有四个交点，所以这四个交点每组两个关于y轴一定是对称的，故所有实根之和为0．利用函数的奇偶性求参数（１）若函数f（x）＝ax２＋bx＋３a＋b是偶函数，且定义域为[a—１，２a]，则a＝________，b＝________．（２）若已知函数f（x）＝错误!是定义在（—１，１）上的奇函数，且f错误!＝错误!，求函数f（x）的解析式．【解】（１）因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a—１＝—２a，解得a＝错误!.又函数f（x）＝错误!x２＋bx＋b＋１为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0．故填错误!和0．（２）因为f（x）是定义在（—１，１）上的奇函数，所以f（0）＝0，即错误!＝0，所以b＝0．又因为f错误!＝错误!＝错误!，所以a＝１，所以f（x）＝错误!.错误!利用奇偶性求参数的常见类型及策略（１）定义域含参数：奇、偶函数f（x）的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b ＝0求参数．（２）解析式含参数：根据f（—x）＝—f（x）或f（—x）＝f（x）列式，比较系数即可求解．１．若f（x）＝（ax＋１）（x—a）为偶函数，且函数y＝f（x）在x∈（0，＋∞）上单调递增，则实数a的值为（）Ａ．±１Ｂ．—１Ｃ．１Ｄ．0解析：选Ｃ．因为f（x）＝（ax＋１）（x—a）＝ax２＋（１—a２）x—a为偶函数，所以１—a２＝0．所以a＝±１．当a＝１时，f（x）＝x２—１，在（0，＋∞）上单调递增，满足条件；当a＝—１时，f（x）＝—x ２＋１，在（0，＋∞）上单调递减，不满足．２．已知函数f（x）＝错误!是奇函数，则a＝________．解析：因为f（x）为奇函数，所以f（—１）＋f（１）＝0，即（a—１）＋（—１＋１）＝0，故a＝１．答案：１１．下列函数是偶函数的是（）Ａ．y＝xＢ．y＝２x２—３Ｃ．y＝错误!Ｄ．y＝x２，x∈（—１，１]解析：选Ｂ．对于A，定义域为R，f（—x）＝—x＝—f（x），是奇函数；对于B，定义域为R，满足f（x）＝f（—x），是偶函数；对于C和D，定义域不关于原点对称，则不是偶函数．２．函数f（x）＝错误!—x的图象关于（）Ａ．y轴对称Ｂ．直线y＝—x对称Ｃ．坐标原点对称Ｄ．直线y＝x对称解析：选Ｃ．函数f（x）＝错误!—x是奇函数，其图象关于坐标原点对称．３．已知函数f（x）为R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x２＋错误!，则f（—１）＝________．解析：当x＞0时，f（x）＝x２＋错误!，所以f（１）＝１＋１＝２．又f（x）为奇函数，所以f（—１）＝—２．答案：—２４．根据题中函数的奇偶性及所给部分图象，作出函数在y轴另一侧的图象，并解决问题：（１）如图１是奇函数y＝f（x）的部分图象，求f（—４）·f（—２）；（２）如图２是偶函数y＝f（x）的部分图象，比较f（１）与f（３）的大小．解：（１）作出函数在y轴另一侧的图象，如图所示，观察图象可知f（—４）＝—f（４）＝—２，f（—２）＝—f（２）＝—１，所以f（—４）·f（—２）＝（—２）×（—１）＝２．（２）作出函数在y轴另一侧的图象，如图所示．观察图象可知f（１）＝f（—１），f（３）＝f（—３），f（—１）<f（—３），所以f（１）<f（３）．[A 基础达标]１．下列函数为奇函数的是（）Ａ．y＝x２＋２B．y＝x，x∈（0，１]Ｃ．y＝x３＋x D．y＝x３＋１解析：选Ｃ．对于A，f（—x）＝（—x）２＋２＝x２＋２＝f（x），即f（x）为偶函数；对于B，定义域不关于原点对称，故f（x）既不是奇函数也不是偶函数；对于C，定义域为R，且f（—x）＝（—x）３＋（—x）＝—（x３＋x）＝—f（x），故f（x）为奇函数；对于D，f（—x）＝—x３＋１≠f（x）且f（—x）≠—f（x），故f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．２．若函数f（x）＝（m—１）x２＋（m—２）x＋（m２—7m＋１２）为偶函数，则m的值是（）Ａ．１B．２Ｃ．３D．４解析：选Ｂ．因为函数f（x）＝（m—１）x２＋（m—２）x＋（m２—7m＋１２）为偶函数，所以f（—x）＝f（x），即（m—１）x２＋（m—２）x＋（m２—7m＋１２）＝（m—１）x２＋（—m＋２）x＋（m２—7m ＋１２），即m—２＝—m＋２，解得m＝２．３．设f（x）是定义在R上的一个函数，则函数F（x）＝f（x）—f（—x）在R上一定（）Ａ．是奇函数Ｂ．是偶函数Ｃ．既是奇函数又是偶函数Ｄ．既不是奇函数又不是偶函数解析：选Ａ．F（—x）＝f（—x）—f（x）＝—[f（x）—f（—x）]＝—F（x），符合奇函数的定义．４．如图，给出奇函数y＝f（x）的局部图象，则f（—２）＋f（—１）的值为（）Ａ．—２B．２Ｃ．１D．0解析：选Ａ．由题图知f（１）＝错误!，f（２）＝错误!，又f（x）为奇函数，所以f（—２）＋f（—１）＝—f（２）—f（１）＝—错误!—错误!＝—２．故选Ａ．５．如果函数y＝错误!是奇函数，则f（x）＝________．解析：设x<0，则—x>0，所以２×（—x）—３＝—２x—３．又原函数为奇函数，所以f（x）＝—（—２x—３）＝２x＋３．答案：２x＋３6．已知函数f（x）＝ax３＋bx＋错误!＋５，满足f（—３）＝２，则f（３）的值为________．解析：因为f（x）＝ax３＋bx＋错误!＋５，所以f（—x）＝—ax３—bx—错误!＋５，即f（x）＋f（—x）＝１0．所以f（—３）＋f（３）＝１0，又f（—３）＝２，所以f（３）＝8．答案：87．判断下列函数的奇偶性：（１）f（x）＝３，x∈R；（２）f（x）＝５x４—４x２＋7，x∈[—３，３]；（３）f（x）＝错误!解：（１）因为f（—x）＝３＝f（x），所以函数f（x）是偶函数．（２）因为x∈[—３，３]，f（—x）＝５（—x）４—４（—x）２＋7＝５x４—４x２＋7＝f（x），所以函数f（x）是偶函数．（３）当x>0时，f（x）＝１—x２，此时—x<0，所以f（—x）＝（—x）２—１＝x２—１，所以f（—x）＝—f（x）；当x<0时，f（x）＝x２—１，此时—x>0，f（—x）＝１—（—x）２＝１—x２，所以f（—x）＝—f（x）；当x＝0时，f（—0）＝—f（0）＝0．综上，对x∈R，总有f（—x）＝—f（x），所以函数f（x）为R上的奇函数．8．定义在R上的奇函数f（x）在[0，＋∞）上的图象如图所示．（１）补全f（x）的图象；（２）解不等式xf（x）>0．解：（１）描出点（１，１），（２，0）关于原点的对称点（—１，—１），（—２，0），则可得f（x）的图象如图所示．（２）结合函数f（x）的图象，可知不等式xf（x）>0的解集是（—２，0）∪（0，２）．[B 能力提升]9．设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）Ａ．f（x）g（x）是偶函数Ｂ．|f（x）|g（x）是奇函数Ｃ．f（x）|g（x）|是奇函数Ｄ．|f（x）g（x）|是奇函数解析：选Ｃ．依题意得对任意x∈R，都有f（—x）＝—f（x），g（—x）＝g（x），因此，f（—x）·g （—x）＝—f（x）·g（x）＝—[f（x）·g（x）]，f（x）g（x）是奇函数，A错；|f（—x）|·g（—x）＝|—f （x）|·g（x）＝|f（x）|·g（x），|f（x）|·g（x）是偶函数，B错；f（—x）·|g（—x）|＝—f（x）·|g（x）|＝—[f（x）|g（x）|]，f（x）·|g（x）|是奇函数，C正确；|f（—x）·g（—x）|＝|—f（x）g（x）|＝|f （x）g（x）|，|f（x）g（x）|是偶函数，D错．故选C.１0．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）—g（x）＝x３＋x２＋１，则f（１）＋g（１）＝（）Ａ．—３Ｂ．—１Ｃ．１Ｄ．３解析：选Ｃ．因为f（x）—g（x）＝x３＋x２＋１，所以f（—x）—g（—x）＝—x３＋x２＋１，又由题意可知f（—x）＝f（x），g（—x）＝—g（x），所以f（x）＋g（x）＝—x３＋x２＋１，则f（１）＋g（１）＝１，故选Ｃ．１１．已知奇函数f（x）＝错误!（１）求实数m的值，并画出y＝f（x）的图象；（２）若函数f（x）在区间[—１，a—２]上单调递增，试确定a的取值范围．解：（１）当x<0时，—x>0，f（—x）＝—（—x）２＋２（—x）＝—x２—２x.又f（x）为奇函数，所以f（—x）＝—f（x）＝—x２—２x，所以f（x）＝x２＋２x，所以m＝２．y＝f（x）的图象如图所示．（２）由（１）知f（x）＝错误!由图象可知，f（x）在[—１，１]上单调递增，要使f（x）在[—１，a—２]上单调递增，只需错误!解得１<a≤３．１２．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a、b∈R，当a＋b≠0时，都有错误!>0．（１）若a>b，试比较f（a）与f（b）的大小关系；（２）若f（１＋m）＋f（３—２m）≥0，求实数m的取值范围．解：（１）因为a>b，所以a—b>0，由题意得错误!>0，所以f（a）＋f（—b）>0．又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（—b）＝—f（b），所以f（a）—f（b）>0，即f（a）>f（b）．（２）由（１）知f（x）为R上的单调递增函数，因为f（１＋m）＋f（３—２m）≥0，所以f（１＋m）≥—f（３—２m），即f（１＋m）≥f（２m—３），所以１＋m≥２m—３，所以m≤４．所以实数m的取值范围为（—∞，４]．[C 拓展探究]１３．已知f（x）是定义在R上的函数，设g（x）＝错误!，h（x）＝错误!.（１）试判断g（x）与h（x）的奇偶性；（２）试判断g（x），h（x）与f（x）的关系；（３）由此你能猜想出什么样的结论？解：（１）因为g（—x）＝错误!＝g（x），h（—x）＝错误!＝—h（x），所以g（x）是偶函数，h （x）是奇函数．（２）g（x）＋h（x）＝错误!＋错误!＝f（x）．（３）如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和．。
高中数学必修第一册人教A版《3.2函数的奇偶性---奇偶性的应用》名师课件
定义域关于原点对称
如果函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对
称图形；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数.
如果函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心
的中心对称图形；若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数.
人教A版同步教材名师课件
函数的奇偶性
---函数奇偶性的应用
探究新知
; ()()
−
= − ||; ()() =
−
.
|+|−
思路
分析
本题考查利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性.解题的关键是确定函数的定
义域是否关于原点对称，然后化简函数解析式，验证()与 − 的关系.
解析
(1)∵函数()的定义域是{| ≠ 1}，关于原点不对称，
解析
(1)函数的定义域为{| ≠ 0} ，关于原点对称，对于定义域内的每一个都有(−) =
1
1
3
3
− − = − − = −()，从而函数()为奇函数.
−
(2) 函 数 的 定 义 域 为 R ， 关 于 原 点 对 称 ， 对 于 定 义 域 内 的 每 一 个 都 有 − =
的图象,有什么共同特征么？
两个函数图象都关于原点成中心对称图形.
探究新知
奇函数
一般地，设函数()的定义域为 ，如果∀ ∈ ，都有
− ∈ ，且 − = −()，那么函数()就叫做奇函数
(odd function).
典例讲解
例1.判断下列函数的奇偶性：
()() =
∴()既不是奇函数也不是偶函数.
(2) ∵函数()的定义域是R，关于坐标原点对称.
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函数的奇偶性
人教A版必修一第一章第三节
课题函数的奇偶性课型新授课课时安排一课时
教学目标1、知识目标：
（1）理解函数奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法；（2）能利用函数的奇偶性简化函数图像的绘制过程。
2、能力目标：
(1)重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；
(2)启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题；
(3)通过教师指导总结知识结论，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力。
3、德育目标：
通过自主探索，培养学生的动手实践能力，激发学生学习数学的兴趣，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
教学
重点
函数奇偶性的概念及函数奇偶性的判断教学
难点
对函数奇偶性定义的掌握和灵活运用
教学方法1、教法
根据本节教材内容和编排特点，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采用以引导发现法为主，直观演示法、设疑诱导法、类比法为辅的教学方式。
教学中，教师精心设计一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情景，诱导学生思考，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养思维能力。
2、学法
让学生在“观察一归纳一应用”的学习过程中，自主参与知识的产生、发展、形成的过程，使学生掌握知识。
教学
过程
教学内容师生活动教学设计意图
一、创设情境观察下面两张图片：
直观感受
生活中的对称
美。
通过让学生观察
图片导入新课，让学
生感受到数学来源于
生活，数学与生活是
密切相关的，从而激
发学生浓厚的学习兴
趣。
引入新课
二、师生互动探索新知①麦当劳的标志②风车
问题1：图像有何共同特点？
问题2：你能回忆几类常见函数及
图像吗？请找出哪些关于轴对称，哪
些关于原点成中心对称。
O
①()
f x x
=②
1
()
f x
x
=
O
③2
)
(x
x
f=④a
x
f=
)
(
⑤x
x
f=
)
(
问题3：如何从数学角度，用数
学语言来描述这种对称性呢？
1、探索定义
请作出2
)
(x
x
f=的图像，求
)
(
),
(
),2
(
),2(
),1
(
),1(
a
f
a
f
f
f
f
f
-
-
-。
观察并思考：
①关于y轴对称的点的横、纵坐标
具有什么特点？
②在函数f(x)＝x2图像上任取一
点，关于y轴对称的对称点是否一定
还在其图像上呢？
研究结论：图像关于y轴对称的
函数具有以下特征：对于函数f(x)定
义域D内的任意实数x，都有f(－x)
＝f(x)。
此类函数y＝f(x)叫做偶函数。
这就是偶函数的定义。
2、深化概念
①如何理解“D内的任意一个x，
都有-x∈D”
②f(－x)=f(x)实质是什么？
课外探究：是否所有的二次函数、
1、关于y轴对
称的轴对称函
数图像：③④⑤
2、关于原点对
称的中心对称
函数图像：①②
学生动手，
计算出每个函
数值。
发现①横
坐标为相反数，
纵坐标相等。
②
是。
用符号描述
)
(
)
(x
f
x
f=
-
你能说出偶
函数的定义
吗？
让学生思考
后再作答，教师
给予完善。
指出这两类就是
本节课要研究和学习
的对象。
以提问的方式，
引出本节课的课题
----如何用数学语言
来描述这种图像的对
称特征。
由于函数图像是
由无数点构成的，所
以让学生通过取特殊
点猜想所有点的情况
的方式，让学生体会
到从特殊到一般的过
程。
从而从形和数两
个方面丰富了学生对
偶函数的认识。
同时，
学生会自然猜想，这
个符号描述的特征是
否对任意的实数都成
立呢？这就使偶函数
概念的建立变得自
然、严谨。
①指出是用定义
进行判断的前提条
件。
函数的这个性质
是整体性质，与单调
性注意区别。
教师层层深入地
提出问题，学生根教x
y
o
x
y
x
y
o
x
y
O
x
y
|
上是奇函数,当＞
x
教案设计说明：
本节课内容选自高中数学人教A版必修一第一章第三节，本节课主要引导学生认识函数奇偶性的实质就是函数图像的对称性，它是研究函数性质的主要方面。
如果我们已知一个函数的奇偶性，就可以推出它在整个定义域的图像和性质。
在这一节中，数形有着密切的联系，因此，本节课没有一开始就给出定义，而是通过给出图片让学生先有个直观认识。
为了引导学生由图形的直观认
识上升到数量关系的精确描述，先
提示学生图形是由点组成的，找出其间的关系后，建立奇偶函数的概念，再引导学生表述定义。
目的是为了培养学生的观察、归纳、抽象的能力，让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，同时渗透数形结合的数学思想。
最后，通过例题和练习进一步加深学生对定义的理解。
教学过程中每个环节环环相扣，层层深入。
符合学生对新知识的认知过程。
教案的设计“以人为本，以学定教”，教师始终扮演的是组织者、引导者、参与者的角色，通过问题教学法，变“教的课堂”为“学的课堂”，学生成为课堂学习真正的主人。
学习函数的奇偶性的目的是为了让学生掌握奇、偶函数的图像特征，会用定义判断函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决一些与现实生活有关的综合问题。
通过对函数奇偶性的理论研究，增强学生对数学美的体验，培养学生乐于求索的精神，形成科学、严谨的研究态度。
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