43角动量角动量守恒定律
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角动量、角动量守恒
T
（3） ）
m, l
联立(1)、(2)、(3)式求解 式求解 联立
mg
1 T = mg 4
例5：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量 ： 可绕中心转动的细杆， 为 M、长为 2l 、可绕中心转动的细杆，有一质 、 量为 m 的小球以速度 v0 与杆的一端发生完全弹 性碰撞， 性碰撞，求小球的反弹速度 v 及杆的转动角速 度ω。 解：在水平面上，碰撞 在水平面上， 过程中系统角动量守恒， 过程中系统角动量守恒，
∆A/ ∆t = 恒 量
两个共轴飞轮转动惯量分别为J 例1：两个共轴飞轮转动惯量分别为 1、J2， 角速度分别为 ω1 、ω2，求两飞轮啮合后共同 啮合过程机械能损失。 的角速度 ω 。啮合过程机械能损失。 J1 J2 解：两飞轮通过摩 擦达到共同速度,合 擦达到共同速度 合 外力矩为0， 外力矩为 ，系统角 动量守恒。 动量守恒。
定义：力对某点 的力矩等于力的作用点 定义：力对某点O的力矩等于力的作用点 的矢量积。 的矢径 r 与力F的矢量积。 v v
v Mo
ϕ
注意： 注意： 1）大小： o = rF sin ϕ ）大小： M v v 的方向 2）方向： × F ）方向： r 3）单位：牛顿米 ）单位： v r 4）当 F ≠ 0 时， ） 有两种情况 Mo = 0 v A） r = 0 ） B）力的方向沿矢径的方向（ sin ϕ = 0） ）力的方向沿矢径的方向（
ω1 L0 = L = C J1ω1 + J2ω2 = (J1 + J2 )ω
ω2
J1ω1 + J2ω2 共同角速度 ω = J1 + J2
啮合过程机械能损失
∆E = E − E0
1 1 1 2 2 2 ∆E = (J1 + J2 )ω − ( J1ω1 + J2ω2 ) 2 2 2 J1ω1 + J2ω2 其中 ω = J1 + J2
4-3角动量 角动量守恒定律
A
B
1 v∝ r
r r
近 日
v v 彗星
点
A
rA
r F
r v B远
rB
B点
日
vA > vB
r vA
彗星
13
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
比较
t2
r r ∫ Fdt =ΔP
t1
r r dP F= dt
动量
r r dL M= dt t
2
角动量
r r ∫ M
7
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
讨论 子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
系统的动量、角动量和机械能是否守恒？ 系统的动量、角动量和机械能是否守恒？
o
v v
子 弹 击 入 杆
o
圆 锥 摆
o
v θ T
'
m
v v
v p
o
v v
R
以子弹和沙袋为系统 以子弹和杆为系统 圆锥摆系统 守恒； 不守恒； 动量: 不守恒； 守恒； 不守恒； 动量 不守恒； 角动量: 守恒； 守恒； 守恒； 角动量 守恒； 守恒； 守恒； 不守恒 . 机械能: 守恒 . 8 机械能 不守恒 .
考虑到
θ =ωt
7lg 12v0 dr g = cosωt = cos( t) dt 2ω 24v0 7l
21
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
r L
本节小结： 本节小结：
角动量： 一.角动量：
L = Jω
质点的角动量： ⑴质点的角动量：
第四章 刚体转动
vM = 2gh
6mvM ω= (m′ + 6m)l
B
1 v∝ r
r r
近 日
v v 彗星
点
A
rA
r F
r v B远
rB
B点
日
vA > vB
r vA
彗星
13
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
比较
t2
r r ∫ Fdt =ΔP
t1
r r dP F= dt
动量
r r dL M= dt t
2
角动量
r r ∫ M
7
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
讨论 子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
系统的动量、角动量和机械能是否守恒？ 系统的动量、角动量和机械能是否守恒？
o
v v
子 弹 击 入 杆
o
圆 锥 摆
o
v θ T
'
m
v v
v p
o
v v
R
以子弹和沙袋为系统 以子弹和杆为系统 圆锥摆系统 守恒； 不守恒； 动量: 不守恒； 守恒； 不守恒； 动量 不守恒； 角动量: 守恒； 守恒； 守恒； 角动量 守恒； 守恒； 守恒； 不守恒 . 机械能: 守恒 . 8 机械能 不守恒 .
考虑到
θ =ωt
7lg 12v0 dr g = cosωt = cos( t) dt 2ω 24v0 7l
21
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
r L
本节小结： 本节小结：
角动量： 一.角动量：
L = Jω
质点的角动量： ⑴质点的角动量：
第四章 刚体转动
vM = 2gh
6mvM ω= (m′ + 6m)l
3.4 角动量定理 角动量守恒定律
大小：
L r P sin
r， P
S
P
r
O
特例：质点作圆周运动
方向：垂直
组成的平面
L M L2 T
L rp mr v
1
SI
k g m /s
2
量纲：
讨论
惯性参照系
(1) 质点的动量矩（角动量）与质点的动量及位矢(取决 于固定点的选择)有关； (2) 当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点 O 的动量矩也称为质点对过O 垂直于运动平面的轴的 动量矩 ； L
dr dt
二、力对定点的力矩
dL dt
d r p dt
dr dt
o
p r
dp dt
p v p 0
dL dt r dp dt rF M
M
F
O .
定义
为力对定点O的力矩 M rF 力对O 点的力矩 大小： M r F sin
M
A
r Lo T
A
R T 0
R
r
mg
O
m gR sin m gr
LA R mv
r
对于O点：
M
g
M
A
r T
rT cos
LO r m v
r mg
m gr
质点作任何运动都可以用角动量来描述其运动状态。 例 质点对圆心的动量矩。 行星在椭圆轨道上的动量矩。
F 0 P 0
M 0 L 0
形式上完全相同，所以记忆上就可简化。从动量定理变换到 角动量定理，只需将相应的量变换一下，名称上改变一下。
L r P sin
r， P
S
P
r
O
特例：质点作圆周运动
方向：垂直
组成的平面
L M L2 T
L rp mr v
1
SI
k g m /s
2
量纲：
讨论
惯性参照系
(1) 质点的动量矩（角动量）与质点的动量及位矢(取决 于固定点的选择)有关； (2) 当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点 O 的动量矩也称为质点对过O 垂直于运动平面的轴的 动量矩 ； L
dr dt
二、力对定点的力矩
dL dt
d r p dt
dr dt
o
p r
dp dt
p v p 0
dL dt r dp dt rF M
M
F
O .
定义
为力对定点O的力矩 M rF 力对O 点的力矩 大小： M r F sin
M
A
r Lo T
A
R T 0
R
r
mg
O
m gR sin m gr
LA R mv
r
对于O点：
M
g
M
A
r T
rT cos
LO r m v
r mg
m gr
质点作任何运动都可以用角动量来描述其运动状态。 例 质点对圆心的动量矩。 行星在椭圆轨道上的动量矩。
F 0 P 0
M 0 L 0
形式上完全相同，所以记忆上就可简化。从动量定理变换到 角动量定理，只需将相应的量变换一下，名称上改变一下。
4-3 角动量 角动量守恒定律【普通物理学】
v0
v
u
A
h
14
质量 m'在 A 点和 B 点只受有心力作用 ,
角动量守恒
mv0 (R h) mvBR
vB (R h)v0 R 1 727 m s1
飞船在 A点喷出气体后，在到达月球的 过程中，机械能守恒
1 2
mvA2
G
mMm Rh
1 2
mvB2
G
mM m R
15
1 2
mv
2 A
mi
ri
2，合 )外M力di i矩(n J0)
dt
dt dt
18
对定轴转的刚体，受合外力矩M，从
t1到 t2内，角速度从ω1变为 ω2，积分可得：
t2
t1
Mdt
J2
J1
非刚体定轴转动的角动量定理
t2
t1
Mdt
J 22
J11
当转轴给定时，作用在物体上的冲量
矩等于角动量的增量 ——定轴转动的角动
量定理.
0
0
得 L mR 3 2 (2g sin )1 2
L mR2
( 2g sin )1 2
R
10
*例2 一质量为 m 的登月飞船，在离 月球表面高度 h 处绕月球作圆周运动．飞船 采用如下登月方式：当飞船位于点 A 时，它 向外侧短时间喷射出粒子流，使飞船与月球 相切地到达点 B , 且OA 与 OB 垂直．飞船 所喷气体相对飞船的速度为 u 1.00 104 m s1 试问：登月飞船在登月过程中所需消耗燃料
力的时间累积效应： 冲量、动量、动量定理．
力矩的时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理．
1
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
4-3角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
v v v M = r ×F
Z
v L
M =0 v v v L=r×p L = rmυ sin 90 = mr ω = Jω
0 2
v p
o
守恒
r
m v
行星绕太阳、卫星绕地球的椭圆轨道运动 行星绕太阳、卫星绕地球的椭圆轨道运动——行星 行星 对太阳、 对太阳、卫星对地球的角动量守恒
第四章 刚体的转动 二 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 1 刚体定轴转动的角动量
内力矩可以改变系统各组成部分 的角动量， 的角动量，但不能改变系统的总 角动量
在冲击等问题中 冲击等问题中
Q M >> M
in
ex
∴L ≈C
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
一物体正在绕固定光滑轴自由转动， （A）它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变。 （B）它受热时角速度变大，遇冷时角速度变小。 （C）它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度均变大。 （D）它受热时角速度变小，遇冷时角速度变大。
m v
如果力的作用线通过固定点: 如果力的作用线通过固定点 M=0 O
F
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
v v dL M= dt
∫
t2
t1
v v v M d t = L2 − L1
冲量矩
∫t1
t2
v M dt
质点的角动量定理： 质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受 的冲量矩等于质点角动量的增量. 的冲量矩等于质点角动量的增量 3 质点的角动量守恒定律
43角动量角动量守恒定律
r
F
dL
M
dt dt
dt
14
物理学
第五版
质点的合外力矩
4-3 角动量
M
dL
dt
角动量守恒定律
作用于质点的合外力对参考点 O 的力矩，等于质点对 该点 O 的角动量随时间的变化率.
2 质点的角动量定理
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
M
dt
t1
3 质点的角动量守恒定律
M 0 , L 恒矢量
做匀变速转动．
与二维平面圆周 运动情况相同
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
0 t
x
x0
v0t
1 2
at 2
0
0t
1 2
t
2
v2
v02 2a(x x0 )
2
2 0
2 (
0
)
3
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
三 角量与线量的关系
ω d
dt
dω dt
4-3 角动量 角动量守恒定律
对定轴转的刚体，受合外力矩M，从t1到t2内，角速度
M从 1变d(为J)2， 积dL分可得： dt dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩 J2 J1
刚体的角动量定理： 刚体绕定轴转动时，刚体的冲量矩等 于角动量的增量
非刚体定轴转动的角动量定理
了解
t2
t1
Mdt
J 22
i
i
L J
2 M刚 i体定dd轴Lti 转动ddt的(m角ir动i2量)定理
O ri
角动量守恒定律
0 L v0 ; L v 2 2
得：
v0 v 9
注意：区分两类冲击摆 质点 质点 柔绳无切向力 （1） o • 水平方向： Fx =0 ， px 守恒
v0
l
m (2)
Fy
M
L • 对 o 点：M 0 ，
m v 0l = ( m + M ) v l
m v 0= ( m + M ) v
守恒
Fx
质点
定轴刚体（不能简化为质点）
o
v0
m
l
轴作用力不能忽略，动量不守恒， 但对 o 轴合力矩为零，角动量守恒
M
mv 0 l ml 2 1 Ml 2 3
v l
回顾习题
P84 4 -10
F
O
m M
F轴 0 m M系统 p 不守恒; M轴 0 m M系统 对O点角动量守恒 m 2 gh R m M vR
角动量守恒定律： 当质点系所受外力对某参考点（或轴）的力矩的矢 量和为零时，质点系对该参考点（或轴）的角动量 守恒。
注意
1.与动量守恒定律对比
当 F外 0 时，
当 M外 0 时，
2.守恒条件 能否为
p 恒矢量 L 恒矢量
或
?
彼此独立
M外 0
M轴 0
M 外 dt 0
m 以速度v 0 撞击 m 2 ，发生完全非弹性碰撞
求：撞后m 2的速率 v ?
解1：m 和 m 2 系统动量守恒
m v 0 = (m + m 2 ) v
A
解2： m 和 (m1 + m 2 )系统动量守恒
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
9
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
讨论
守恒条件 M 0
若 J 不变，不变； 若 J 变， 也变，但 L J 不变.
内力矩不改变系统的角动量.
在冲击等问题中M in M exL 常量
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
第四章 刚体的转动
7
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
2 刚体定轴转动的角动量定理
质M点i mi受ddLt合i 力d矩(dJMti()包括ddMt (iemx、iri
Miin
2 )
)
对定轴转的刚体
M
M
M
idex(Jdd)t
M (
iinmir0i2，合) 外d力(dJ矩t
m y
r
大 小L rmvsin
L 的方向符合右手法则
角动量单位：kg·m2·s-1
第四章 刚体的转动
3
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
质点以 作半径为 r
的圆周运动，相对圆心
L mr 2 J
L
o
p
m r
2 质点的角动量定理
M
dL
dt
作用于质点的合外力对参考点 O 的力
3
质点的角动量守恒定律
M 0, L 恒矢量
第四章 刚体的转动
6
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
二 刚体定轴转动的角动量定理
和角动量守恒定律
1 刚体定轴转动
的角动量
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4-3 角动量
M
dL
dt
角动量守恒定律
作用于质点的合外力对参考点 O 的力矩，等于质点对 该点 O 的角动量随时间的变化率.
2 质点的角动量定理
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
M
dt
t1
3 质点的角动量守恒定律
M 0 , L 恒矢量
16
物理学
第五版
4-3 角动量
例1 一半径为 R 的光滑圆
mr
M J
转动惯量
M mr 2
J mjrj2 J r2dm j
V r 2dV
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与 刚体的转动惯量成反比.
8
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
➢ J 的计算方法
❖ 质量离散分布
J mjrj2 m1r12 m2r22 mjrj2
2 M刚 i体定dd轴Lti 转动ddt的(m角ir动i2量)定理
O ri
vi
mi
质点mi受合力矩Mi(包括Miex、 Miin )
对定轴转的刚体
d ( dt
mi ri 2 )
M
i
in
0
d(J)
dt
， 合外力矩
M
M d( J )
dt
Mi ex dL
dt
19
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
i 1
in i 1
动合m量外i v守力i 恒为 定零iin1律时m：，i当系vi统系0 的统所总受动
) d两 t 式n 相m加i vi得 恒；矢量 i量n 将mi保vi持0 不变。
f i1 f
i 1
13
物理学
4-3 角动量 角动量守恒定律
第五版
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
1 质点的角动量
➢ 在冲击等问题中 M in >> M ex L 常量
➢ 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
21
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
➢ 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
许多现象都可以用角动
量守恒定律来说明.
➢花样滑冰 ➢跳水运动员跳水
t2
t1
Mdt
L2
L1
J2 J1 M rF 0
P*
刚体定轴转 d: 力臂
动，过轴心 的力，其力
矩 M 为零
（2）刚体内所用力与反作用力互相抵 消，即刚体内合内力矩为零
（3）合力矩=合外力矩
M Me 7
物理学
二 第五版 转动定律
4-3 角动量 角动量守恒定律
定轴转动
（1）刚体上的一个质点m绕定
定律
轴转动
（2）刚体转动定律
M rF sinθ
F sin θ Ft mat
对定轴转的刚体，受合外力矩M，从t1到t2内，角速度
M从 1变d(为J)2， 积dL分可得： dt dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩 J2 J1
刚体的角动量定理： 刚体绕定轴转动时，刚体的冲量矩等 于角动量的增量
非刚体定轴转动的角动量定理
了解
t2
t1
Mdt
J 22
J11
20
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
质量为m的质点以速度 v 在空间
zL
v
r 运动，某时对 O 的位矢为 ，质
rm
点对O的角动量
L
r
p
r
mv
大小 L rmvsin
xo
y
L
v
L 的方向符合右手法则
r
角动量单位：kg·m2·s-1 质点以作半径为r的圆周运动， 相对圆心
L mr mr 2
L
o
p
m r
14
物理学
第五版
t2
t1
M
dt
L2
L1
J2
J1
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
若 M 0 ，则 L J =常量
角动量守恒定理： 如果物体所受的合外力矩等于零，或者 不受外力矩的作用，物体的角动量保持不变。
讨论
若 J 不变，不变；
➢ 守恒条件 M 0 若 J 变， 也变，但 L J 不变.
➢ 内力矩不改变系统的角动量.
z
z
>0 <0
2
物理学
第五版
4-3 角动量
角加速度：由刚体角速度变化 所引起
角加速度
lim
d
t dt
对于绕定轴转动的刚体，角加速度
的方向同样也可以用正负来表示。
角动量守恒定律
z 角速度变化
ω
r P’(t+dt)
.. O d P(t)
x
> 0
>0
刚体做加速运动
< 0 < 0 刚体做减速运动
❖ 质量连续分布
J m jrj2 r2dm j
V r2dV
dm：质量元
dV ：体积元
9
物理学
第五版
细棒
细棒 薄圆环 圆柱体
球体
4-3 角动量 角动量守恒定律
L
J 1 mL2
m
3
L m
J 1 mL2
圆筒
12
R
m J mR2
R m
Rm
J 1 mR2 2
J 2 mR2 5
J
1 2
m(R12
N可弹起多高? 解：设跷板是匀质的，长度为l，质量为 m’，跷板可绕中部
支撑点C 在竖直平面内转动，演员的质量均为m．假定演员
M落在跷板上，与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞．
解 碰撞前M落在 A点的速度
2 02 2 a(x x0 )
vM (2gh)1 2
碰撞后的瞬间，M、N 与翘板作为一个系统具 有相同的线速度
点击图片播放
L J
为常量
miri2
22
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律
电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等
23
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
例4 一杂技演员M由距水平跷板高为h 处自由下落到
跷板的一端A，并把跷板另一端的演员N弹了起来．问演员
m2 v20
质两点式的相动加量得定理： I
t2 t1
F
dt
mv2
mv1
质点f12系的f2动1 量定理：
m三1 :I、t动t12 ttF12量1F1守 f恒F122定ddtt律(
m1v1 m1 v1
m2 v2 ) ( m1 m1 v10
v10
m2
v20
)
ft12(2
t1
n
dt Fmi 1v10)md1tv10
沿顺时针方向转动
d < 0
下，其转动方向可以用角 速度的正负来表示。
方向: 右手螺旋法则
1
物理学
第五版
4-3
右手螺旋法则：右手拇指伸
直，其余四指弯曲，弯曲方
向与刚体转动方向一致，拇
指所指方向即为角速度
方向
角动量
角动量守恒定律
对于绕定轴运动的刚体， 角速度 用右手螺旋法则
判断的方向与用正负判断 的方向相同
L LdL m2 gR3
cos d
0
0
L mR2
L mR 3 2 (2g sin )1 2
( 2g sin )1 2
R
18
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
二 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1 刚体定轴转动的角动量
z
L
miri2 ( miri2 )
i
i
L J
2 (
0)
4
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
三 角量与线量的关系
ω d
dt
dω dt
d 2
d2t
v rωet
an
a r
e t v
at
at r
an rω2
a
ret
rω2en
5
物理学
第五版
复习
4-3 角动量 角动量守恒定律
运动学两个模型
质点
r(t) 求导 v(t) 求导 a(t)
3
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
二 匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的 =常量时，刚体
做匀变速转动．
与二维平面圆周 运动情况相同
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
0 t
x
x0
v0t
1 2
at 2
0
0t
1 2
t
2
v2
v02 2a(x x0 )
2
2 0
物理学
第五版 复习4_1 4_2
4-3 角动量 角动量守恒定律
一 刚体转动的角速度和角加速度
角坐标 (t)
沿逆时针方向转动 > 0 沿顺时针方向转动 < 0
z
ω
r P’(t+dt)
.. O d P(t)
角位移 (t t) (t)
x
角速度矢量 lim d
t t 0
dt
沿逆时针方向转动 d > 0 在刚体绕定轴转动的情况
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