2018学年湘教版数学选修2-2分层训练：6-1-1归纳

第6章推理与证明
6、1合情推理和演绎推理
6、1.1 归纳
一、基础达标
1、某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●
○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆颜色应是
()
A、白色
B、黑色
C、白色可能性大
D、黑色可能性大
答案 A
2、由集合{a1}，{a1，a2}，{a1，a2，a3}，…子集个数归纳出集合{a1，a2，a3，…，a n}子集个数
为
()
A、n
B、n＋1
C、2n
D、2n－1
答案 C
解析集合{a1}子集有∅，{a1}共2个；{a1，a2}子集有∅，{a1}，{a2}，{a1，a2}共4个；集合{a1，a2，a3}子集共8个，猜测含n个元素集合子集有2n个，故选C.
3、根据给出数塔猜测123 456×9＋7等于
() 1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1111
1 234×9＋5＝11111
12 345×9＋6＝111111
A、1111110
B、1111111
C、1111112
D、1111113
答案 B
解析由数塔运算积知识易得B.
4、设n 是自然数，则18(n 2－1)[1－(－1)n ]值
( )
A 、一定是零
B 、不一定是整数
C 、一定是偶数
D 、是整数但不一定是偶数
答案 C
解析 当n ＝1时，值为0，
当n ＝2时，值为0，
当n ＝3时，值为2，
当n ＝4时，值为0，
当n ＝5时，值为6.
5、已知2＋23＝22
3，3＋38＝33
8，4＋415＝44
15，…，若6＋a b ＝6a
b (a ，b 均为实数)，推测a ＝________，b ＝________.
答案 6 35
6、设函数f (x )＝x x ＋2(x >0)，观察f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2
， f 2(x )＝f [f 1(x )]＝x 3x ＋4
， f 3(x )＝f [f 2(x )]＝x 7x ＋8
， f 4(x )＝f [f 3(x )]＝x 15x ＋16
，… 根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N ＋且n ≥2时，f n (x )＝f [f n －1(x )]＝________.
答案 x (2n
－1)x ＋2n 解析 先求分母中x 项系数组成数列通项公式，由1,3,7,15…，可推知该数列通项公式为a n ＝2n －1，又函数结果分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为b n ＝2n .
∴f n (x )＝x (2n
－1)x ＋2n . 7、设S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)
，写出S 1，S 2，S 3，S 4值，归纳并猜想出结果，并给出证明、
解 n ＝1,2,3,4时，S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，S 4＝45.
猜想：S n ＝n n ＋1
. 证明如下：1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1
， ∴S n ＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1
) ＝1－1n ＋1＝n n ＋1
. 二、能力提升
8、观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 011末四位数字为
( )
A 、3 125
B 、5 625
C 、0 625
D 、8 125
答案 D
解析 55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58末四位数字为0 625,59末四位数字为3 125,510末四位数字为5 625,511末四位数字为8 125,512末四位数字为0 625，…，
由上可得末四位数字周期为4，呈现规律性交替出现，所以52 011＝54×501＋7末四位数字为8 125.
9、(2013·湖北(理))古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究过各种多边形数、如三角形数1,3,6,10，…，
第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k
边形数中第n 个数表达式：
三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n
正方形数 N (n,4)＝n 2
五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n
六边形数 N (n,6)＝2n 2－n
......
可以推测N (n ，k )表达式，由此计算N (10,24)＝________.
答案 1 000
解析 由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，…，
可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝(k 2－1)n 2－(k 2－2)n ，于是N (n,24)＝11n 2－10n ，故N (10,24)
＝11×102－10×10＝1 000.
10、(2013·陕西(理))观察下列等式：
12＝1
12－22＝－3
12－22＋32＝6
12－22＋32－42＝－10
…
照此规律，第n 个等式可为________、
答案 12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋12n (n ＋1)
解析 分n 为奇数、偶数两种情况、
当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2
]＝－n (n ＋1)2. 当n 为奇数时，第n 个等式＝－
n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2. 综上，第n 个等式：12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋12n (n ＋1)、
11、根据下列条件，写出数列中前4项，并归纳猜想它通项公式、
(1)a 1＝a ，a n ＋1＝12－a n
； (2)对一切n ∈N *，a n >0，且2S n ＝a n ＋1.
解 (1)由已知可得a 1＝a ，
a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a
. 猜想a n ＝(n －1)－(n －2)a n －(n －1)a
(n ∈N *)、 (2)∵2S n ＝a n ＋1，
∴2S 1＝a 1＋1，即2a 1＝a 1＋1，
∴a 1＝1.又2S 2＝a 2＋1，
∴2a 1＋a 2＝a 2＋1，∴a 22－2a 2－3＝0.
∵对一切n ∈N *，a n >0，∴a 2＝3.
同理可求得a 3＝5，a 4＝7，
猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)、
12、观察以下等式：
sin 230°＋cos 260°＋sin 30°·cos 60°＝34，
sin 240°＋cos 270°＋sin 40°·cos 70°＝34，
sin 215°＋cos 245°＋sin 15°·cos 45°＝34.
…
写出反映一般规律等式，并给予证明、
解 反映一般规律等式是(表述形式不唯一)：
sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin α·cos(α＋30°)＝34.
证明如下：
sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin α·cos(α＋30°) ＝sin 2α＋(cos α·cos 30°－sin α·sin 30°)2 ＋sin α·(cos αcos 30°－sin α·sin 30°)
＝sin 2α＋(32cos α－12sin α)2＋32sin α·cos α－12sin 2α
＝sin 2α＋34cos 2α＋14sin 2α－32sin α·cos α＋32sin α·cos α－12sin 2α ＝34(sin 2α＋cos 2α)＝34.
三、探究与创新
13、在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n
，n ∈N ＋，求a 2，a 3，a 4，并猜想数列通项公式，并给出证明、
解 {a n }中a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23
， a 3＝2a 22＋a 2＝12＝24
， a 4＝2a 32＋a 3＝25
，…， 所以猜想{a n }通项公式a n ＝2n ＋1
(n ∈N ＋)、 证明如下：因为a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n
， 所以
1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12， 即1a n ＋1
－1a n ＝12，所以数列{1a n }是以1a 1＝1为首项，
公差为12等差数列，
所以1a n
＝1＋(n －1)12＝n 2＋12， 即通项公式a n ＝2n ＋1
(n ∈N ＋)、。