北航数值分析全部三次大作业

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北航数值分析大作业第一题幂法与反幂法

数值分析（B ）大作业（一）姓名：学号：电话：1、算法设计：①求1λ、501λ和s λ的值：s λ：s λ表示矩阵的按模最小特征值，为求得s λ直接对待求矩阵A 应用反幂法即可。

1λ、501λ：若矩阵A 的特征值满足关系 1n λλ<<且1n λλ≠，要求1λ、及501λ时，可按如下方法求解： a ．对矩阵A 用幂法，求得按模最大的特征值1m λ。

b ．按平移量1m λ对矩阵A 进行原点平移得矩阵1m BA I λ=+，对矩阵B 用反幂法求得B 的按模最小特征值2m λ。

c ． 321m m m λλλ=-则：113min(,)m m λλλ=，13max(,)n m m λλλ=即为所求。

②求和A 的与数5011140k k λλμλ-=+最接近的特征值ik λ（k=0，1，…39）：求矩阵A 的特征值中与P 最接近的特征值的大小，采用原点平移的方法：先求矩阵 B=A-PI 对应的按模最小特征值k β，则k β+P 即为矩阵A 与P 最接近的特征值。

在本次计算实习中则是先求平移矩阵k B A I μ=-，对该矩阵应用反幂法求得s λ，则与k μ最接近的A 的特征值为：s P λ+重复以上过程39次即可求得ik λ（k=0，1，…39）的值。

③求A 的（谱范数）条件数2cond()A 和行列式det A ：在（1）中用反幂法求矩阵A 的按模最小特征值时，要用到Doolittle 分解方法，在Doolittle 分解完成后得到的两个矩阵分别为L 和U ，则A 的行列式可由U 阵求出，即：det(A)=det(U)。

求得det(A)不为0，因此A 为非奇异的实对称矩阵，则： max 2()scond A λλ=，max λ和s λ分别为模最大特征值与模最小特征值。

2、程序源代码：#include "Stdio.h"#include "Conio.h"#include "math.h"//****************************************************************************// // 在存储带状矩阵时，下面的几个量在程序中反复用到，为方便编程故把它们定义成宏.// // M ：转换后的矩阵的行数，M=R+S+1。

北航数值分析大作业3

数值分析第三次作业1.设计方案对Fredholm积分方程，用迭代法进行求解：()'(())u x A u x=，其中11(())()(,)()A u x g x K x y u y dy-=-⋅⎰对于公式中的积分部分用数值积分方法。

复化梯形积分法，取2601个节点，取迭代次数上限为50次。

实际计算迭代次数为18次，最后算得误差为r= 0.97E-10。

复化Simpson积分法，取迭代次数上限为50次，取2*41+1，即83个节点时能满足精度要求。

实际计算迭代次数为17次，最后的误差为r= 0.97E-10。

Guass积分法选择的Gauss—Legendre法，取迭代次数上限为50次，直接选择8个节点，满足精度要求。

实际计算迭代次数为24次，最后算得误差为r= 0.87E-10。

2.全部源程序module integralimplicit nonecontains!//////////复化梯形subroutine trapezoid(m)implicit noneinteger :: i,j,k,mreal*8 :: x(m+1),u(m+1)real*8 :: sum,sum1,g,r,hreal*8 :: e=1.0e-10h=2./mdo i=1,m+1x(i)=-1.+(i-1)*hend dou=0.02do k=1,50do i=1,m+1sum1=0.g=dexp(x(i)*4.)+(dexp(x(i)+4.)-dexp(-4.-x(i)))/(x(i)+4.)do j=2,msum1=sum1+dexp(x(i)*x(j))*u(j)end dosum=h/2.*(dexp(x(i)*-1.)*u(1)+dexp(x(i)*1.)*u(m+1)+2*sum1)u(i)=g-sumend dor=h/2.*((dexp(x(1)*4)-u(1))**2+(dexp(x(m+1)*4)-u(m+1))**2) do i=2,mr=r+h*(dexp(x(i)*4)-u(i))**2end doif(dabs(r)<=e) exitend dowrite(*,*) kopen(1,file="trapezoid.txt")do i=1,m+1write(1,'(3(f18.12))') x(i),u(i),dexp(x(i)*4.)end dowrite(1,'(4x,a2,e9.2)') "r=",rclose(1)returnend subroutine trapezoid!///////////复化simpsonsubroutine simpson(m)implicit noneinteger :: i,j,k,mreal*8 :: x(2*m+1),u(2*m+1)real*8 :: sum,sum1,sum2,g,r,hreal*8 :: e=1.0e-10h=2./(2.*m)do i=1,2*m+1x(i)=-1.+(i-1)*hend dou=0.02do k=1,50do i=1,2*m+1sum1=0.sum2=0.g=dexp(x(i)*4.)+(dexp(x(i)+4.)-dexp(-4.-x(i)))/(x(i)+4.)do j=1,msum1=sum1+dexp(x(i)*x(2*j))*u(2*j)end dodo j=1,m-1sum2=sum2+dexp(x(i)*x(2*j+1))*u(2*j+1)sum=h/3.*(dexp(x(i)*-1.)*u(1)+dexp(x(i)*1.)*u(2*m+1)+4*sum1+2*sum2) u(i)=g-sumend dor=h/3.*((dexp(x(1)*4)-u(1))**2+(dexp(x(2*m+1)*4)-u(2*m+1))**2)do i=1,mr=r+4.*h/3.*(dexp(x(2*i)*4)-u(2*i))**2end dodo i=1,m-1r=r+2.*h/3.*(dexp(x(2*i+1)*4)-u(2*i+1))**2end doif(dabs(r)<=e) exitend dowrite(*,*) kopen(2,file="simpson.txt")do i=1,2*m+1write(2,'(3(f18.12))') x(i),u(i),dexp(x(i)*4.)end dowrite(2,'(4x,a2,e9.2)') "r=",rclose(2)returnend subroutine simpson!///////////Gauss_Legendre法subroutine Gaussimplicit noneinteger,parameter :: m=8integer :: i,j,kreal*8 :: x(m),u(m),a(m)real*8 :: sum,g,rreal*8 :: e=1.0e-10data x /-0.9602898565,-0.7966664774,-0.5255324099,-0.1834346425,&0.1834346425,0.5255324099,0.7966664774,0.9602898565/data a /0.1012285363,0.2223810345,0.3137066459,0.3626837834,&0.3626837834,0.3137066459,0.2223810345,0.1012285363/u=0.02do k=1,50do i=1,mg=dexp(x(i)*4.)+(dexp(x(i)+4.)-dexp(-4.-x(i)))/(x(i)+4.)do j=1,msum=sum+dexp(x(i)*x(j))*u(j)*a(j)end dou(i)=g-sumend dor=0.do i=1,mr=r+a(i)*(dexp(x(i)*4)-u(i))**2end doif(dabs(r)<=e) exitend dowrite(*,*) kopen(3,file="Gauss.txt")do i=1,mwrite(3,'(3(f18.12))') x(i),u(i),dexp(x(i)*4.)end dowrite(3,'(4x,a2,e9.2)') "r=",rclose(3)returnend subroutine Gaussend module!//////////主程序program mainuse integralimplicit noneinteger :: code1=2600integer :: code2=41call trapezoid(code1)call simpson(code2)call Gaussend program3.各种积分方法的节点和数值解（由于数据太多，在打印时用了较计算时少的有效数字）复化Simpson法4.各方法所得曲线（由于所取节点太多，且精度高，所以图中很难看出各曲线的区别。

北航研究生数值分析上机作业三 (报告+所有程序大全)

数值分析上机作业3——求解非线性方程组以及二元函数的插值拟合1. 算法设计对于全部的插值节点(,),0,1,...,10,0,1,...,20i j x y i j ==，带入非线性方程组中，用Newton 迭代法解非线性方程组，得到(,),0,1,...,10,0,1,...,20i j t u i j ==。

对(,)i j t u ，在二维数表中进行插值，采用分片双二次插值法。

插值过程中，先选择分片区域的中心节点，在数表中的列记为(0:5)tt ，行记为(0:5)uu ，中心节点记为(,)a b ，生成向量_(0:2)t temp ，_(0)(())((1))/(((1)())((1)(1)))i i t temp t tt a t tt a tt a tt a tt a tt a =--+----+， _(1)((1))((1))/((()(1))(()(1)))i i t temp t tt a t tt a tt a tt a tt a tt a =---+---+， _(2)((1))(())/(((1)(1))((1)()))i i t temp t tt a t tt a tt a tt a tt a tt a =---+--+-，同理，生成向量_(0:2)u temp ，_(0)(())((1))/(((1)())((1)(1)))_(1)((1))((1))/((()(1))(()(1)))_(2)((1))(())/(((1)(1))((1)())j j j j j j u temp u uu a u uu a uu a uu a uu a uu a u temp u uu a u uu a uu a uu a uu a uu a u temp u uu a u uu a uu a uu a uu a uu a =--+----+=---+---+=---+--+-)记数表中以分片区域中心节点为中心的3×3的矩阵为T , 对于(,)i j t u 插值结果为(_)()(_)T t temp T u temp 。

数值分析大作业三四五六七

数值分析大作业三四五六七数值分析大作业三四五六七Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】大作业三1. 给定初值0x 及容许误差，编制牛顿法解方程f (x )=0的通用程序. 解：Matlab 程序如下：函数m 文件：fu.mfunction Fu=fu(x)Fu=x^3/3-x;end函数m 文件：dfu.mfunction Fu=dfu(x)Fu=x^2-1;end用Newton 法求根的通用程序Newton.mclear;x0=input('请输入初值x0:');ep=input('请输入容许误差:');flag=1;while flag==1x1=x0-fu(x0)/dfu(x0);if abs(x1-x0)<ep< p="">flag=0;endx0=x1;endfprintf('方程的一个近似解为：%f\n',x0);寻找最大δ值的程序：Find.mcleareps=input('请输入搜索精度：');ep=input('请输入容许误差：');flag=1;k=0;x0=0;while flag==1sigma=k*eps;x0=sigma;k=k+1;m=0;flag1=1;while flag1==1 && m<=10^3x1=x0-fu(x0)/dfu(x0);if abs(x1-x0)endm=m+1;x0=x1;endif flag1==1||abs(x0)>=epflag=0;endendfprintf('最大的sigma 值为：%f\n',sigma);2．求下列方程的非零根5130.6651()ln 05130.665114000.0918x x f x x +??=-= ?-解：Matlab 程序为：（1）主程序clearclcformat longx0=765;N=100;errorlim=10^(-5);x=x0-f(x0)/subs(df(),x0);n=1;while n<n< p="">x=x0-f(x0)/subs(df(),x0);if abs(x-x0)>errorlimn=n+1;elsebreak;endx0=x;enddisp(['迭代次数: n=',num2str(n)])disp(['所求非零根: 正根x1=',num2str(x),' 负根x2=',num2str(-x)])（2）子函数非线性函数ffunction y=f(x)y=log((513+0.6651*x)/(513-0.6651*x))-x/(1400*0.0918);end（3）子函数非线性函数的一阶导数dffunction y=df()syms x1y=log((513+0.6651*x1)/(513-0.6651*x1))-x1/(1400*0.0918);y=diff(y);end运行结果如下：迭代次数: n=5所求非零根: 正根x1=767.3861 负根x2=-767.3861大作业四试编写MATLAB 函数实现Newton 插值，要求能输出插值多项式. 对函数21()14f x x=+在区间[-5，5]上实现10次多项式插值.分析：（1）输出插值多项式。

数值分析第三次作业

26.解：(1).J 法：J ∴法收敛.GS 法：()11102210221101110122100210G B D L U ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦022023002-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()212322det 0232020,2,21G G I B B λλλλλλλλλρ--=-=--∴===∴=GS ∴法不收敛.()2.J 法：()()131231*********()12202101121101212012125det 412125550,,,1222J J J B D L U I B i i B λλλλλλλλλρ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦--==+--∴===-∴=J ∴法不收敛.GS 法：()()()1312310220221101101122022022det 11002201J J J B D L U I B B λλλλλλλλρ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦--===⇒===∴=()1120111200011220212120021120014120G B D L U ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦01212012120012-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦()()()21231212det 01212120120,12,121G G I B B λλλλλλλλλρ--=+=+=+∴===-=GS ∴法收敛27.解：()1010911102,702106A b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A 为严格对角占优阵，J ∴法和GS 法均收敛.J 法的分量形式为：()()()11111,1,2,,i nk k k ii ij j ij j j j i ii x b a x a x i n a -+==+⎛⎫=--= ⎪⎝⎭∑∑J ∴法的迭代格式为：(1)()12(1)()()213(1)()321(9)101(72)101(62)10k k k k k k k x x x x x x x +++⎧=+⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=+⎪⎩取初值(0)0x =，J 法的数值结果是：迭代次数k()1k x ()2k x ()3kx 1 0.900000 0.700000 0.600000 2 0.970000 0.910000 0.740000 3 0.991000 0.945000 0.782000 4 0.994000 0.955500 0.789000 50.9955500.9572500.791100GS 法的分量形式为：()()()111111,1,2,,i nk k k ii ij j ij j j j i ii x b a x a x i n a -++==+⎛⎫=--= ⎪⎝⎭∑∑GS ∴法的迭代格式为：(1)()12(1)(1)()213(1)(1)321(9)101(72)101(62)10k k k k k k k x x x x x x x +++++⎧=+⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=+⎪⎩取初值(0)0x =，GS 法的数值结果是：迭代次数k ()1k x()2k x()3kx10.900000 0.790000 0.758000 2 0.979000 0.949500 0.789900 3 0.994950 0.957475 0.791495 4 0.9957475 0.9578738 0.7915748 50.9957874 0.95789370.7915787()123210,99,950A∆=∆=∆=∴对称正定，()1110000101001011100102010105020110000105J B D L U -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪=+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭212,310101111det()()00,10520201051()20J J I B B λλλλλλλλρ-∴-=--=-=⇒==±-∴=∴SOR 法的最优松弛因子为：[]2221.01282111/2011()opt J B ωρ==≈+-+-()10.01282opt opt L ρωω=-=对应的渐近收敛率为：R=-ln ()() 4.35654opt opt R L L ωρω=SOR 法的分量形式为：()()()()()111111,1,2,,i nk k k k iii ij j ijjj j i ii x x b a x a xi n a ωω-++==+⎛⎫=-+--= ⎪⎝⎭∑∑∴SOR 法（ω取最佳松弛因子）的迭代格式为：(1)()()112(1)()(1)()2213(1)()(1)3321.012820.01282(9)101.012820.01282(72)101.012820.01282(62)10k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x +++++⎧=-++⎪⎪⎪=-+++⎨⎪⎪=-++⎪⎩取初值(0)0x =，SOR 法的数值结果是：迭代次数k ()1k x()2k x()3kx10.911538 0.801296 0.770006 2 0.981009 0.954035 0.791074 3 0.995588 0.957822 0.791571 4 0.995785 0.957894 0.791579 50.9957890.9578950.79157928.一定收敛.证明：对于11122122a a A a a ⎛⎫=⎪⎝⎭，A 对称正定，()212211122122111221201,2,,det()0,iia i a a A a a a a a a a ∴===-对于J 法：121111121121222221000()01000J a aa a B D L U a a a a -⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪-⎛⎫⎪ ⎪=+== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122211212121,2121122112222det()0J a a a a I B a a a a a a λλλλλ-==-=⇒=22121122121122()1J a a a a B a a ρ∴=∴J 法收敛. GS 法：12221112121221122112212112222121122121122det()00,0()1G G a a a a I B a a a a a a a a a a a B a a λλλλλλλρ⎛⎫-==-=⇒==⎪⎝⎭-∴=∴GS 法收敛.∴对于系数矩阵对称正定的2阶线性方程组，J 法和GS 法一定收敛. 30.证明：由线性代数知识知：∃可逆矩阵使121s J J p B P J J -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中,i in n iJ R ⨯∈对应于特征值()121,2,,i s i s n n n nλ=++=()0B ρ=∴B 的所有特征值为0，120101,1,2,,10i i r r i s J R i s r r r n⨯⎛⎫⎪⎪⎪∴=∈=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1i r =时，11i J R ⨯∈1i r 时， 0,i i r r i i J J R ⨯=∈12kkkk s J J J J ⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦最多迭代到第n 次，即k=n 时，10,0k k k J B PJ P -=== 设x *是Ax b =的精确解，误差向量()()k k e x x *=-()()()()()()110k k k k ke x x B x x B e B e--**=-=-===所以最多迭代到第n 次时，()()()00,k k k e B e x x *===所以结论成立31．解：（1）根据迭代公式(1)()()()k k k x x Ax b α+=--，有： (1)()()k k xI A x b αα+=-+ ∴迭代矩阵13212B I A ααααα--⎛⎫=-= ⎪--⎝⎭ 12132det()(1)(14)0121,14I B λααλλαλααλαλαλα-+∴-==-+-+=-+∴=-=-当{}()max 1,141B ραα=--时，迭代收敛111110121411141ααααα⎧---⎧⎪⇒⇒⎨⎨---⎪⎩⎩012α∴时，此迭代方法收敛{}()()m a x 1,141,00.441,0.40.5B B ρααααραα=---⎧∴=⎨-≤⎩ 0.4α∴=时，()Bρ最小，迭代收敛最快()12,n λλ为A 的特征值，11,1n αλαλ∴--为I A α-的特征值{}1()m a x 1,1n I A ρααλαλ∴-=--必要性：迭代收敛()1I A ρα⇒-111110211nαλαλαλ-⎧-⎪∴⇒⎨-⎪⎩所以必要性成立充分性：()1111102022,1,2,11,1,2,()max 11i i ini i i ni nI A αλαλλλαλρααλ--=∴≤=∴-=∴-=-所以此迭代法收敛，充分性成立（3） 1102αλ-时，111121,0()21,2n n in I A αλαλλρααλαλλλ-⎧-≤⎪+⎪-=⎨⎪-⎪+⎩根据图像，12nαλλ=+时，()I A ρα-最小33.解：()()()()()()()()()()()()()()()1()1121()111211111(1)()11111,k k k k k k x D L Ux D L b x L D U x L b x D U L D L Ux D U L D L b D U bC D U L D L U g D U L D L b D U b+--++-------+-----⎧=-+-⎪⎨⎪=--⎩⇒=--+--+-∴=--=--+-分析收敛性：()()()()()1111L D L D L DD LI D D L----=--+-=-+-⎡⎤⎣⎦()()()1111D D L I D L D D D L LD ----⎡⎤=---=-⎣⎦()()111C D U D D L LD U---∴=--()()()()()11112D L D D U L D U D L I DL D U L D U D L U-------=----=--=()()111I C I D L D D U LD U ---⎡⎤∴-=---⎣⎦()()()()111I D L D D U D L D D U A ---⎡⎤⎡⎤=------⎣⎦⎣⎦()()()()1111I I D L D D U A D L D D U A ----⎡⎤⎡⎤=-+--=--⎣⎦⎣⎦ 令()()1M D L D DU -⎡⎤=--⎣⎦1C I M A -∴=-因为A 对称正定，所以D 也正定令 1111222,()D D D W D D U ----==-TM W W ∴=()()11111112222TWCW D D L LD D D L LD -----⎡⎤⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 令()11122P DD L LD--=-1T W C W P P -∴=所以C 与T PP 相似，其特征值均为非负实数1111()T I WCW W I C W WM AW W AW -------=-==所以 1I WCW --为对称正定矩阵，其特征值()110WCW λ--C ⇒的特征值()C λ满足()01C λ≤，故该迭代法收敛35.解：1112112111122212Ax Bx b x A Bx A b Bx Ax b x A Bx A b ----⎧+==-+⎧⎪⇒⎨⎨+==-+⎪⎩⎩∴J 法的迭代公式为：(1)()111111(1)()1222110000k k k k J x x A b A B A Bx x A b A B C A B +---+---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∴=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫-∴= ⎪-⎝⎭若λ为矩阵1A B --的特征值，对应的特征向量为11111,0n x R x A Bx x λ-∈≠∴-= 11111111111111111111J J x x x A B x C x x x A B x x x x A B x C x x x A B x λλλλλλ----⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴若n 阶矩阵1A B --有特征值12,,,n λλλ，则2n 阶矩阵J C 有特征值12,,,nλλλ±±±38.（1）解：因为系数矩阵A 对称正定，所以可以运用共轭梯度法（CG ）解此方程组取()()00,0Tx =,()()()()000r p b Ax 0,1T∴==-=-，()()()()()()00r ,r 12p ,Ap α==()()()0,-T10001x xp2α⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，()()(),0T10003r rAp2α⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,()()()()()(),11r ,r 94r r β==()()(),-T110039p r p 24β⎛⎫=+= ⎪⎝⎭()()()()()()11111r ,r 12p ,Ap α==,()()()()1,-2T2111x x p α=+=()2x 即为所求方程的精确解。

北航数值分析大作业三

一、题目：关于x, y, t, u, v, w 的下列方程组0.5cos 2.670.5sin 1.070.5cos 3.740.5sin 0.79t u v w x t u v w y t u v w x t u v w y +++-=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+++-=⎩1、试用数值方法求出f(x, y)在区域 {(,)|00.8,0.5 1.5}D x y x y =≤≤≤≤上的一个近似表达式,0(,)kr s rsr s p x y cx y ==∑要求(,)p x y 一最小的k 值达到以下的精度10202700((,)(,))10i j i j i j f x y p x y σ-===-≤∑∑其中，0.08,0.50.05i j x i y j ==+。

2、计算****(,),(,)i j i j f x y p x y （i = 1, 2, …，8；j = 1, 2,…，5）的值，以观察(,)p x y 逼近(,)f x y 的效果，其中，*i x =0.1i , *j y =0.5+0.2j 。

说明：1、用迭代方法求解非线性方程组时，要求近似解向量()k x 满足()(1)()12||||/||||10k k k x x x --∞∞-≤2、作二元插值时，要使用分片二次代数插值。

3、要由程序自动确定最小的k 值。

4、打印以下内容：●算法的设计方案。

●全部源程序（要求注明主程序和每个子程序的功能）。

●数表：,,i j x y (,)i j f x y （i = 0,1,2,…,10；j = 0,1,2,…,20）。

●选择过程的,k σ值。

●达到精度要求时的,k σ值以及(,)p x y 中的系数rs c （r = 0,1,…,k;s = 0,1,…,k ）。

●数表：**,,i j x y ****(,),(,)i j i j f x y p x y （i = 1, 2, ...,8；j = 1, 2, (5)。

北航数值分析报告大作业第三题(fortran)

北航数值分析报告大作业第三题(fortran)“数值分析“计算实习大作业第三题——SY1415215孔维鹏一、计算说明1、将x i=0.08i，y j=0.5+0.05j分别代入方程组（A.3）得到关于t，u，v，w的的方程组，调用离散牛顿迭代子函数求出与x i，y j对应的t i，u j。

2、调用分片二次代数插值子函数在点(t i,u j)处插值得到z(x i,y j)=f(x i,y j)，得到数表(x i,y j,f(x i,y j))。

3、对于k=1,2,3,4?，分别调用最小二乘拟合子函数计算系数矩阵c rs 及误差σ，直到满足精度，即求得最小的k值及系数矩阵c rs。

4、将x i?=0.1i，y j?=0.5+0.2j分别代入方程组（A.3）得到关于t?，u?，v?，w?的的方程组，调用离散牛顿迭代子函数求出与x i?，y j?对应的t i?，u j?，调用分片二次代数插值子函数在点(t i?,u j?)处插值得到z?(x i?,y j?)=f(x i?,y j?)；调用步骤3中求得的系数矩阵c rs求得p(x i?,y j?)，打印数表(x i?,y j?,f(x i?,y j?),p(x i?,y j?))。

二、源程序（FORTRAN）PROGRAM SY1415215DIMENSIONX(11),Y(21),T(6),U(6),Z(6,6),UX(11,21),TY(11,21),FXY(11,21), C(6,6) DIMENSIONX1(8),Y1(5),FXY1(8,5),PXY1(8,5),UX1(8,5),TY1(8,5)REAL(8) X,Y,T,U,Z,FXY,UX,TY,C,E,X1,Y1,FXY1,PXY1,UX1,TY1OPEN (1,FILE='第三题计算结果.TXT')DO I=1,11X(I)=0.08*(I-1)ENDDODO I=1,21Y(I)=0.5+0.05*(I-1)ENDDO!*****求解非线性方程组，得到z=f（t，u）的函数*******DO I=1,11DO J=1,21CALL DISNEWTON_NONLINEAR(X(I),Y(J),UX(I,J),TY(I,J)) ENDDO ENDDO!*************分片二次插值得到z=f（x，y）***********DO I=1,11DO J=1,21CALL INTERPOLATION(UX(I,J),TY(I,J),FXY(I,J))ENDDO ENDDOWRITE (1,"('数表(x,y,f(x,y)):')")WRITE (1,"(3X,'X',7X,'Y',10X,'F(X,Y)')")DO I=1,11DO J=1,21WRITE(1,'(1X,F5.2,2X,F5.3,2X,E20.13)') X(I),Y(J),FXY(I,J) ENDDOWRITE (1,"('')")ENDDO!***********最小二乘拟合得到P（x，y）**************N=11M=21WRITE (1,'(" ","K和σ分别为：")')DO K=1,20CALL LSFITTING(X,Y,FXY,C,N,M,K,K,E) WRITE (1,'(I3,2X,E20.13)') K-1,EIF(ETA).OR.(A(L,K)==TA)) THENTA=A(L,K)TL=LDO J=K,NT(K,J)=A(K,J)A(K,J)=A(TL,J)A(TL,J)=T(K,J)ENDDOTB(K)=B(K)B(K)=B(TL)B(TL)=TB(K)ENDIF ENDDODO I=K+1,NM(I,K)=A(I,K)/A(K,K)A(I,K)=0DO J=K+1,NA(I,J)=A(I,J)-M(I,K)*A(K,J) ENDDOB(I)=B(I)-M(I,K)*B(K)ENDDOENDDO!回代过程X(N)=B(N)/A(N,N)DO K=N-1,1,-1S=0.0DO J=K+1,NS=S+A(K,J)*X(J)ENDDOX(K)=(B(K)-S)/A(K,K)ENDDORETURNEND!***********求向量的无穷数************ SUBROUTINE NORM(X,N,A) DIMENSION X(N)REAL(8) X,AA=ABS(X(1))DO I=2,NIF(ABS(X(I))>ABS(X(I-1))) THENA=ABS(X(I)) ENDIFENDDORETURNEND!**************分片二次代数插值************** SUBROUTINE INTERPOLATION(U,V,W) PARAMETER (N=6,M=6)DIMENSION X(N),Y(M),Z(M,N),LK(3),LR(3)REAL(8) X,Y,Z,H,TREAL(8) U,V,W,LK,LR !U,V分别为插值点处的坐标，W为插值结果INTEGER R!**********************数据赋值********************** DATA Y/0.0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0/DATA X/0.0,0.4,0.8,1.2,1.6,2.0/DATA Z/-0.5,-0.42,-0.18,0.22,0.78,1.5,&&-0.34,-0.5,-0.5,-0.34,-0.02,0.46,&&0.14,-0.26,-0.5,-0.58,-0.5,-0.26,&&0.94,0.3,-0.18,-0.5,-0.66,-0.66,&&2.06,1.18,0.46,-0.1,-0.5,-0.74,&&3.5,2.38,1.42,0.62,-0.02,-0.5/H=0.4T=0.2!******************计算K,R************************* IF(UX(N-1)-H/2) THENK=N-1ELSEDO I=3,N-2IF((U>X(I)-H/2).AND.(UY(M-1)-T/2) THENR=M-1 ELSEDO J=3,M-2IF((V>Y(J)-T/2).AND.(VN) P=N IF(P>20) P=20IF(Q>M) Q=MIF(Q>20) Q=20XX=0YY=0D1=NAPX(1)=0.0DO I=1,NAPX(1)=APX(1)+X(I)ENDDOAPX(1)=APX(1)/D1DO J=1,MV(1,J)=0.0DO I=1,NV(1,J)=V(1,J)+Z(I,J)ENDDOV(1,J)=V(1,J)/D1ENDDOIF(P>1) THEND2=0.0APX(2)=0.0DO I=1,NG=X(I)-APX(1)D2=D2+G*GAPX(2)=APX(2)+(X(I)-XX)*G*G ENDDO APX(2)=APX(2)/D2BX(2)=D2/D1DO J=1,MV(2,J)=0.0DO I=1,NG=X(I)-APX(1)V(2,J)=V(2,J)+Z(I,J)*G ENDDOV(2,J)=V(2,J)/D2ENDDOD1=D2ENDIFDO K=3,PD2=0.0APX(K)=0.0DO J=1,MV(K,J)=0.0ENDDODO I=1,NG1=1.0G2=X(I)-APX(1)DO J=3,KG=(X(I)-APX(J-1))*G2-BX(J-1)*G1 G1=G2 G2=GENDDOD2=D2+G*GAPX(K)=APX(K)+X(I)*G*GDO J=1,M V(K,J)=V(K,J)+Z(I,J)*G ENDDOENDDODO J=1,MV(K,J)=V(K,J)/D2ENDDOAPX(K)=APX(K)/D2BX(K)=D2/D1D1=D2ENDDOD1=MAPY(1)=0.0DO I=1,MAPY(1)=APY(1)+Y(I)ENDDOAPY(1)=APY(1)/D1DO J=1,PU(J,1)=0.0DO I=1,MU(J,1)=U(J,1)+V(J,I) ENDDO U(J,1)=U(J,1)/D1ENDDOIF(Q>1)THEND2=0.0APY(2)=0.0DO I=1,MG=Y(I)-APY(1)D2=D2+G*G APY(2)=APY(2)+(Y(I))*G*G ENDDO APY(2)=APY(2)/D2BY(2)=D2/D1DO J=1,PU(J,2)=0.0DO I=1,MG=Y(I)-APY(1)U(J,2)=U(J,2)+V(J,I)*GENDDOU(J,2)=U(J,2)/D2ENDDOD1=D2ENDIFDO K=3,QD2=0.0APY(K)=0.0DO J=1,PU(J,K)=0.0ENDDODO I=1,MG1=1.0G2=Y(I)-APY(1)DO J=3,KG=(Y(I)-APY(J-1))*G2-BY(J-1)*G1 G1=G2 G2=GENDDOD2=D2+G*GAPY(K)=APY(K)+Y(I)*G*G DO J=1,PU(J,K)=U(J,K)+V(J,I)*G ENDDOENDDODO J=1,PU(J,K)=U(J,K)/D2ENDDOAPY(K)=APY(K)/D2BY(K)=D2/D1D1=D2ENDDOV(1,1)=1.0V(2,1)=-APY(1)V(2,2)=1.0DO I=1,PDO J=1,QA(I,J)=0.0ENDDOENDDODO I=3,QV(I,I)=V(I-1,I-1)V(I,I-1)=-APY(I-1)*V(I-1,I-1)+V(I-1,I-2)IF(I>=4) THENDO K=I-2,2,-1V(I,K)=-APY(I-1)*V(I-1,K)+V(I-1,K-1)-BY(I-1)*V(I-2,K) ENDDO ENDIFV(I,1)=-APY(I-1)*V(I-1,1)-BY(I-1)*V(I-2,1)ENDDO DO I=1,PIF(I==1) THENT(1)=1.0T1(1)=1.0ELSEIF(I==2) THENT(1)=-APX(1)T(2)=1.0T2(1)=T(1)T2(2)=T(2)ELSET(I)=T2(I-1)T(I-1)=-APX(I-1)*T2(I-1)+T2(I-2) IF(I>=4) THENDO K=I-2,2,-1T(K)=-APX(I-1)*T2(K)+T2(K-1)-BX(I-1)*T1(K) ENDDOENDIFT(1)=-APX(I-1)*T2(1)-BX(I-1)*T1(1)T2(I)=T(I)DO K=I-1,1,-1T1(K)=T2(K)T2(K)=T(K)ENDDOENDIFDO J=1,QDO K=I,1,-1DO L=J,1,-1A(K,L)=A(K,L)+U(I,J)*T(K)*V(J,L) ENDDOENDDOENDDOENDDODT1=0.0DO I=1,NX1=X(I)DO J=1,MY1=Y(J)X2=1.0DD=0.0DO K=1,PG=A(K,Q)DO KK=Q-1,1,-1G=G*Y1+A(K,KK)ENDDOG=G*X2DD=DD+GX2=X2*X1ENDDODT=DD-Z(I,J)DT1=DT1+DT*DTENDDOENDDORETURNEND三、计算结果数表(x,y,f(x,y)): X Y UX TY F(X,Y) 0.00 0.500 1.345 0.243 0.17E+000.00 0.550 1.322 0.269 0.66E+000.00 0.600 1.299 0.295 0.35E+000.00 0.650 1.277 0.322 0.94E+000.00 0.700 1.255 0.350 0.30E-020.00 0.750 1.235 0.377 -0.87E-010.00 0.800 1.215 0.406 -0.58E+000.00 0.850 1.196 0.434 -0.72E+000.00 0.900 1.177 0.463 -0.54E+000.00 0.950 1.159 0.492 -0.86E+000.00 1.050 1.125 0.550 -0.74E+00 0.00 1.100 1.109 0.580 -0.06E+00 0.00 1.150 1.093 0.609 -0.00E+00 0.00 1.200 1.0790.639 -0.18E+00 0.00 1.250 1.064 0.669 -0.52E+00 0.00 1.3001.050 0.699 -0.19E+00 0.00 1.350 1.037 0.729 -0.48E+00 0.001.400 1.024 0.759 -0.68E+00 0.00 1.450 1.011 0.790 -0.52E+00 0.00 1.500 1.000 0.820 -0.29E+000.08 0.500 1.415 0.228 0.67E+00 0.08 0.550 1.391 0.253 0.08E+00 0.08 0.600 1.368 0.279 0.02E+00 0.08 0.650 1.346 0.306 0.47E+00 0.08 0.700 1.325 0.333 0.57E+00 0.08 0.750 1.304 0.360 0.48E-01 0.08 0.800 1.284 0.388 -0.73E-01 0.08 0.850 1.265 0.416 -0.16E+00 0.08 0.900 1.246 0.444 -0.29E+00 0.08 0.950 1.229 0.473 -0.36E+00 0.08 1.000 1.211 0.502 -0.08E+00 0.08 1.050 1.194 0.531 -0.29E+00 0.08 1.100 1.178 0.560 -0.78E+00 0.08 1.150 1.163 0.589 -0.93E+00 0.08 1.200 1.148 0.619 -0.44E+00 0.08 1.250 1.133 0.649 -0.92E+00 0.08 1.300 1.119 0.679 -0.71E+000.08 1.400 1.093 0.739 -0.37E+00 0.08 1.450 1.080 0.769-0.83E+00 0.08 1.500 1.068 0.799 -0.92E+000.16 0.500 1.483 0.214 0.31E+00 0.16 0.550 1.460 0.239 0.64E+00 0.16 0.600 1.437 0.264 0.91E+00 0.16 0.650 1.414 0.290 0.06E+00 0.16 0.700 1.393 0.316 0.70E+00 0.16 0.750 1.372 0.343 0.59E+00 0.16 0.800 1.352 0.370 0.12E+00 0.16 0.850 1.333 0.398 0.77E-02 0.16 0.900 1.315 0.426 -0.83E-01 0.16 0.950 1.297 0.454-0.58E+00 0.16 1.000 1.279 0.483 -0.20E+00 0.16 1.050 1.2620.512 -0.11E+00 0.16 1.100 1.246 0.541 -0.74E+00 0.16 1.1501.231 0.570 -0.09E+00 0.16 1.200 1.216 0.600 -0.59E+00 0.16 1.250 1.201 0.629 -0.66E+00 0.16 1.300 1.187 0.659 -0.71E+00 0.16 1.350 1.174 0.689 -0.32E+00 0.16 1.400 1.161 0.718-0.56E+00 0.16 1.450 1.148 0.748 -0.31E+00 0.16 1.500 1.136 0.778 -0.75E+000.24 0.500 1.551 0.201 0.66E+01 0.24 0.550 1.527 0.2250.03E+000.24 0.650 1.482 0.275 0.64E+00 0.24 0.700 1.460 0.3010.47E+00 0.24 0.750 1.439 0.327 0.34E+00 0.24 0.800 1.419 0.354 0.24E+00 0.24 0.850 1.400 0.381 0.69E+00 0.24 0.900 1.381 0.409 0.04E-01 0.24 0.950 1.363 0.437 -0.42E-01 0.24 1.000 1.346 0.465 -0.06E+00 0.24 1.050 1.329 0.494 -0.59E+00 0.24 1.100 1.313 0.523 -0.83E+00 0.24 1.150 1.297 0.552 -0.15E+00 0.24 1.200 1.282 0.581 -0.19E+00 0.24 1.250 1.267 0.610 -0.84E+00 0.24 1.300 1.253 0.640 -0.66E+00 0.24 1.350 1.240 0.669 -0.30E+00 0.24 1.400 1.227 0.699 -0.86E+00 0.24 1.450 1.214 0.729 -0.84E+00 0.24 1.500 1.202 0.759 -0.77E+000.32 0.500 1.617 0.188 0.28E+01 0.32 0.550 1.593 0.212 0.49E+01 0.32 0.600 1.570 0.236 0.68E+00 0.32 0.650 1.547 0.261 0.75E+00 0.32 0.700 1.526 0.286 0.60E+00 0.32 0.750 1.505 0.312 0.77E+00 0.32 0.800 1.485 0.339 0.05E+00 0.32 0.850 1.466 0.365 0.99E+00 0.32 0.900 1.447 0.393 0.27E+00 0.32 1.000 1.411 0.448 -0.01E-02 0.32 1.050 1.395 0.477-0.41E-01 0.32 1.100 1.378 0.505 -0.18E+00 0.32 1.150 1.3630.534 -0.25E+00 0.32 1.200 1.347 0.563 -0.29E+00 0.32 1.2501.333 0.592 -0.90E+00 0.32 1.300 1.319 0.621 -0.00E+00 0.32 1.350 1.305 0.650 -0.40E+00 0.32 1.400 1.292 0.680 -0.54E+00 0.32 1.450 1.279 0.710 -0.79E+00 0.32 1.500 1.267 0.739-0.91E+000.40 0.500 1.681 0.177 0.91E+01 0.40 0.550 1.658 0.1990.00E+01 0.40 0.600 1.634 0.223 0.83E+01 0.40 0.650 1.612 0.247 0.02E+01 0.40 0.700 1.591 0.272 0.94E+00 0.40 0.750 1.570 0.298 0.49E+00 0.40 0.800 1.550 0.324 0.94E+00 0.40 0.850 1.530 0.350 0.40E+00 0.40 0.900 1.512 0.377 0.33E+00 0.40 0.950 1.493 0.405 0.99E+00 0.40 1.000 1.476 0.432 0.68E+00 0.40 1.050 1.459 0.460 0.08E-01 0.40 1.100 1.443 0.488 -0.84E-01 0.40 1.150 1.427 0.517-0.98E+00 0.40 1.200 1.412 0.545 -0.27E+00 0.40 1.250 1.397 0.574 -0.06E+000.40 1.350 1.369 0.632 -0.66E+00 0.40 1.400 1.356 0.662-0.37E+00 0.40 1.450 1.343 0.691 -0.43E+00 0.40 1.500 1.331 0.721 -0.12E+000.48 0.500 1.745 0.166 0.69E+01 0.48 0.550 1.721 0.188 0.02E+01 0.48 0.600 1.698 0.211 0.74E+01 0.48 0.650 1.676 0.235 0.40E+01 0.48 0.700 1.654 0.259 0.23E+01 0.48 0.750 1.634 0.284 0.56E+00 0.48 0.800 1.613 0.310 0.28E+00 0.48 0.850 1.594 0.336 0.49E+00 0.48 0.900 1.575 0.363 0.31E+00 0.48 0.950 1.557 0.390 0.66E+00 0.48 1.000 1.539 0.417 0.30E+00 0.48 1.050 1.522 0.444 0.34E+00 0.48 1.100 1.506 0.472 0.07E-01 0.48 1.150 1.490 0.500 -0.62E-01 0.48 1.200 1.475 0.529 -0.45E+00 0.48 1.250 1.460 0.557 -0.86E+00 0.48 1.300 1.446 0.586 -0.39E+00 0.48 1.350 1.432 0.615 -0.22E+00 0.48 1.400 1.419 0.644 -0.67E+00 0.48 1.450 1.406 0.674-0.55E+00 0.48 1.500 1.394 0.703 -0.14E+000.56 0.500 1.808 0.156 0.48E+010.56 0.600 1.761 0.200 0.10E+01 0.56 0.650 1.739 0.2230.68E+01 0.56 0.700 1.717 0.247 0.94E+01 0.56 0.750 1.696 0.272 0.33E+01 0.56 0.800 1.676 0.297 0.11E+00 0.56 0.850 1.657 0.323 0.63E+00 0.56 0.900 1.638 0.349 0.97E+00 0.56 0.950 1.620 0.375 0.52E+00 0.56 1.000 1.602 0.402 0.56E+00 0.56 1.050 1.585 0.429 0.47E+00 0.56 1.100 1.568 0.457 0.20E+00 0.56 1.150 1.552 0.485 0.13E+00 0.56 1.200 1.537 0.513 0.09E-01 0.56 1.250 1.522 0.541 -0.47E-01 0.56 1.300 1.508 0.570 -0.99E+00 0.56 1.350 1.4940.599 -0.82E+00 0.56 1.400 1.481 0.627 -0.26E+00 0.56 1.4501.468 0.657 -0.71E+00 0.56 1.500 1.455 0.686 -0.98E+000.64 0.500 1.870 0.147 0.74E+01 0.64 0.550 1.846 0.1680.10E+01 0.64 0.600 1.823 0.190 0.54E+01 0.64 0.650 1.801 0.213 0.42E+01 0.64 0.700 1.779 0.236 0.56E+01 0.64 0.750 1.758 0.260 0.03E+01 0.64 0.800 1.738 0.285 0.42E+01 0.64 0.850 1.718 0.310 0.41E+010.64 0.950 1.681 0.362 0.36E+00 0.64 1.000 1.664 0.388 0.18E+00 0.64 1.050 1.646 0.415 0.28E+00 0.64 1.100 1.630 0.443 0.07E+00 0.64 1.150 1.614 0.470 0.66E+00 0.64 1.200 1.598 0.498 0.09E+00 0.64 1.250 1.584 0.526 0.50E-01 0.64 1.300 1.569 0.554 -0.88E-01 0.64 1.350 1.555 0.583 -0.76E+00 0.64 1.400 1.542 0.611 -0.66E+00 0.64 1.450 1.529 0.640 -0.33E+00 0.64 1.500 1.516 0.669 -0.56E+00 0.72 0.500 1.931 0.139 0.94E+01 0.72 0.550 1.907 0.159 0.84E+01 0.72 0.600 1.884 0.181 0.36E+01 0.72 0.650 1.862 0.203 0.40E+01 0.72 0.700 1.840 0.226 0.47E+01 0.72 0.750 1.819 0.249 0.56E+01 0.72 0.800 1.799 0.273 0.19E+01 0.72 0.850 1.779 0.298 0.37E+01 0.72 0.900 1.760 0.323 0.86E+01 0.72 0.950 1.742 0.349 0.76E+00 0.72 1.000 1.724 0.375 0.24E+00 0.72 1.050 1.707 0.402 0.55E+00 0.72 1.100 1.691 0.429 0.97E+00 0.72 1.150 1.675 0.456 0.27E+00 0.72 1.200 1.659 0.484 0.31E+000.72 1.300 1.630 0.539 0.49E+00 0.72 1.350 1.616 0.5680.72E-02 0.72 1.400 1.602 0.596 -0.69E-01 0.72 1.450 1.589 0.625 -0.67E+00 0.72 1.500 1.576 0.653 -0.20E+000.80 0.500 1.992 0.131 0.31E+01 0.80 0.550 1.968 0.1510.44E+01 0.80 0.600 1.945 0.172 0.41E+01 0.80 0.650 1.922 0.193 0.45E+01 0.80 0.700 1.900 0.216 0.00E+01 0.80 0.750 1.879 0.239 0.10E+01 0.80 0.800 1.859 0.263 0.16E+01 0.80 0.850 1.840 0.287 0.52E+01 0.80 0.900 1.821 0.312 0.02E+01 0.80 0.950 1.802 0.337 0.38E+01 0.80 1.000 1.784 0.363 0.89E+01 0.80 1.050 1.767 0.389 0.28E+00 0.80 1.100 1.751 0.416 0.09E+00 0.80 1.150 1.734 0.4430.23E+00 0.80 1.200 1.719 0.470 0.93E+00 0.80 1.250 1.704 0.498 0.15E+00 0.80 1.300 1.689 0.525 0.86E+00 0.80 1.350 1.675 0.553 0.64E+00 0.80 1.400 1.662 0.582 0.74E-01 0.80 1.450 1.649 0.610 -0.37E-01 0.80 1.500 1.636 0.638 -0.81E+00K和σ分别为：0 0.93E+031 0.61E+012 0.92E-023 0.53E-034 0.16E-055 0.77E-07系数矩阵Crs（按行）为：0.00E+01 -0.83E+01 0.56E+00 0.97E+00 -0.03E+00 0.70E-010.91E+01 -0.99E+00 -0.96E+01 0.17E+01 -0.66E+00 0.10E-01 0.77E+00 0.42E+01 -0.10E+00 -0.81E+00 0.81E+00 -0.62E-01-0.25E+00 -0.21E+00 0.97E+00 -0.18E+00 0.49E+00 -0.63E-010.34E+00 -0.56E+00 0.69E-01 0.51E+00 -0.77E-01 0.27E-01-0.94E-01 0.94E+00 -0.58E+00 0.69E-01 -0.50E-01 0.53E-02 数表（x,y,f(x,y),p(x,y)):X Y F(X,Y) P(X,Y)0.100 0.700 0.58E+00 0.05E+000.100 1.100 -0.66E+00 -0.26E+00 0.100 1.300 -0.68E+00-0.31E+00 0.100 1.500 -0.52E+00 -0.49E+000.200 0.700 0.54E+00 0.19E+00 0.200 0.900 -0.63E-01 -0.65E-01 0.200 1.100 -0.90E+00 -0.90E+00 0.200 1.300 -0.84E+00 -0.90E+00 0.200 1.500 -0.03E+00 -0.04E+000.300 0.700 0.82E+00 0.09E+00 0.300 0.900 0.48E+00 0.11E+00 0.300 1.100 -0.63E+00 -0.88E+00 0.300 1.300 -0.72E+00 -0.96E+00 0.300 1.500 -0.34E+00 -0.84E+000.400 0.700 0.79E+00 0.89E+00 0.400 0.900 0.56E+00 0.63E+00 0.400 1.100 -0.83E-01 -0.04E-01 0.400 1.300 -0.72E+00 -0.71E+00 0.400 1.500 -0.85E+00 -0.07E+000.500 0.700 0.56E+01 0.92E+01 0.500 0.900 0.51E+00 0.23E+00 0.500 1.100 0.59E+00 0.27E+00 0.500 1.300 -0.53E+00 -0.11E+00 0.500 1.500 -0.67E+00 -0.33E+000.600 0.900 0.14E+00 0.75E+00 0.600 1.100 0.19E+00 0.32E+00 0.600 1.300 -0.70E-01 -0.82E-01 0.600 1.500 -0.08E+00 -0.75E+00 0.700 0.700 0.89E+01 0.29E+01 0.700 0.900 0.91E+01 0.11E+010.700 1.100 0.60E+00 0.97E+00 0.700 1.300 0.22E-01 0.06E-01 0.7001.500 -0.53E+00 -0.80E+00 0.800 0.700 0.09E+01 0.06E+01 0.800 0.900 0.32E+01 0.50E+01 0.800 1.100 0.03E+00 0.79E+00 0.800 1.300 0.25E+00 0.50E+00 0.800 1.500 -0.14E+00 -0.28E+00。

BUAA数值分析大作业三

北京航空航天大学2020届研究生《数值分析》实验作业第九题院系：xx学院学号：姓名：2020年11月Q9:方程组A.4一、算法设计方案（一）总体思路1.题目要求∑∑===k i kj s r rsy x cy x p 00),(对f(x, y) 进行拟合，可选用乘积型最小二乘拟合。

),(i i y x 与),(i i y x f 的数表由方程组与表A-1得到。

2.),(**j i y x f 与1使用相同方法求得，),(**j i y x p 由计算得出的p(x,y)直接带入),(**j i y x 求得。

1. ),(i i y x 与),(i i y x f 的数表的获得对区域D ={ （x,y)|1≤x ≤1.24,1.0≤y ≤1.16}上的f (x , y )值可通过xi=1+0.008i ，yj=1+0.008j ，得到),(i i y x 共31×21组。

将每组带入A4方程组，即可获得五个二元函数组，通过简单牛顿迭代法求解这五个二元数组可获得z1~z5有关x,y 的表达式。

再将),(i i y x 分别带入z1~z5表达式即可获得f(x,y)值。

2.乘积型最小二乘曲面拟合2.1使用乘积型最小二乘拟合，根据k 值不用，有基函数矩阵如下：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k i i k x x x x B 0000 ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k j jk y y y y G 0000数表矩阵如下：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=),(),(),(),(0000j i i j y x f y x f y x f y x f U记C=[rs c ]，则系数rs c 的表达式矩阵为：11-)(-=G G UG B B B C T TT ）（通过求解如下线性方程，即可得到系数矩阵C 。

UG B G G C B B T T T =)()(2.2计算),(),,(****j i j i y x p y x f (i =1,2,…,31 ; j =1,2,…,21) 的值),(**j i y x f 的计算与),(j i y x f 相同。

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北航数值分析全部三次大作业
第一次大作业是关于解线性方程组的数值方法。

我们被要求实现各种
常用的线性方程组求解算法，例如高斯消元法、LU分解法和迭代法等。

我首先学习了这些算法的原理和实现方法，并借助Python编程语言编写
了这些算法的代码。

在实验中，我们使用了不同规模和条件的线性方程组
进行测试，并比较了不同算法的性能和精度。

通过这个作业，我深入了解
了线性方程组求解的原理和方法，提高了我的编程和数值计算能力。

第二次大作业是关于数值积分的方法。

数值积分是数值分析中的重要
内容，它可以用于计算曲线的长度、函数的面积以及求解微分方程等问题。

在这个作业中，我们需要实现不同的数值积分算法，例如矩形法、梯形法
和辛普森法等。

我学习了这些算法的原理和实现方法，并使用Python编
写了它们的代码。

在实验中，我们计算了不同函数的积分值，并对比了不
同算法的精度和效率。

通过这个作业，我深入了解了数值积分的原理和方法，提高了我的编程和数学建模能力。

第三次大作业是关于常微分方程的数值解法。

常微分方程是数值分析
中的核心内容之一，它可以用于描述众多物理、化学和生物现象。

在这个
作业中，我们需要实现不同的常微分方程求解算法，例如欧拉法、龙格-
库塔法和Adams法等。

我学习了这些算法的原理和实现方法，并使用Python编写了它们的代码。

在实验中，我们解决了一些具体的常微分方
程问题，并比较了不同算法的精度和效率。

通过这个作业，我深入了解了
常微分方程的原理和方法，提高了我的编程和问题求解能力。

总的来说，北航数值分析课程的三次大作业非常有挑战性，但也非常
有意义。

通过这些作业，我在数值计算和编程方面得到了很大的提升，也
更加深入地了解了数值分析的理论和方法。

虽然这些作业需要大量的时间和精力，但我相信这些努力将会对我未来的学习和工作产生积极的影响。