数值分析思考题

数值分析思考题6

1、数值计算中迭代法与直接法的区别是什么

（1）直接法是指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算求得方程组的精确解的方法。直接法又称为精确法。

（2）迭代法是采取逐次逼近的方法，即从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是方程组的精确解，只经过有限次运算得不得精确解。迭代法是一种逐次逼近的方法,与直接法比较, 具有程序简单,存储量小的优点。

2、详述你所知道的线性方程组的迭代法的收敛性定理。

迭代公式收敛的充分必要条件是假设矩阵M的谱半径，可知的充分必要条件是。

迭代公式和

,收敛。

严格对角占优线性方程组Ax=b（其中，）的Jacobi 迭代公式，收敛。

Gauss-Seidel迭代公式

，收敛。

3、详述你所知道的非线性方程（组）的迭代法以及收敛性结果。（1）不动点迭代法：不一定收敛，若存在常数L<1，使得

,则收敛于x*。

（2）斯蒂芬森迭代法：若不动点迭代公式的迭代函数在不动点

x*的某邻域内具有二阶连续导数， 且，则

二阶收敛，极限是x*。 （3）牛顿迭代法：收敛

4、举例说明解线性方程组的SOR 方法的最佳松弛因子与何种因素有关

解线性方程组的SOR 方法的最佳松弛因子与迭代矩阵的谱半径有关，是单峰关系。经实验，当谱半径是时，松弛因子是。

5、指出解非线性方程组的Newton 法的主要工作量所在。分别用Newton 法和Broyden 秩1校正方法求解如下方程组在()1,1,1T

点附近的根：

2

1232

12332312470,10110,1080.

x x x x x x x x ?---=?+--=??+-=?

解非线性方程组的Newton 法的主要工作量在于求解。

牛顿解： ， ，

Broyden 秩1校正方法： ， ，