高等数学1-1 数列的极限
高中数学 数列的极限》 学设计 教
例 ３． 求常数数列 － ７， － ７， － ７， － ７， ……的极限。
４． 反馈练习
这节课设计了 ４ 道巩固性练习。
练习 １．
一个无穷数列的通项公式是
ａｎ＝
ｎ ２ｎ＋１
， 求这
个数的极限是 １ ？ ２
练习 ２． 下列命题正确的是（ ）
①数列｛（－ １）! ｎ ３ ｝没有极限
②数列｛（－ １）ｎ ２ ｝的极限为 ０ ｎ
３． 知识应用
这里举了 ３ 道例题， 与学生一块思考， 一起分析作答。
例 １． 已知数列：
１， － １ ， １ ， － １ ， １ ， ……，（ － １） ｎ＋１ １ ， ……
２３ ４５
ｎ
（ １） 计算 ｜ａｎ－ ０｜。 （ ２） 第几项后面的 所 有 项 与 ０ 的 差 的 绝 对 值 都 小 于
无限趋近于 １。
那 么 就 把 １ 叫 数 列（ １） 的 极 限 ， １ 叫 数 列（ ２） 的 极 限 。
这两个数列只是形式不同， 它们都是随项数 ｎ 的无限增
大， 项无限趋近于某一确定常数， 这个常数叫做这个数列
的极限。
那么， 什么叫数列的极限呢？ 对于无穷数列｛ａｎ｝， 如果 当 ｎ 无限增大时， ａｎ 无限趋向于某一个常数 Ａ， 则称 Ａ 是 数 列 ｛ａｎ｝的 极 限 。
Ｊｉａｏｘｕｅｓｈｅｊｉ 教 学 设计
高中数学《数列的极限》教学设计
盘俊春
（ 贺州高级中学， 广西 贺州 ５４２８００）
一 、教 学 目 标 １．知识与能力目标 ①使学生理解数列极限的概念和描述性定义。 ②使学生会判断一些简单数列的极限， 了解数列极 限 的“ε－ Ｎ”定 义 ， 能 利 用 逐 步 分 析 的 方 法 证 明 一 些 数 列 的极限。 ③通过观察运动和变化的过程， 归纳总结数列与其 极限的特定关系， 提高学生的数学概括能力和抽象思维 能力。 ２．过程与方法目标 培养学生的极限的思想方法和独立学习的能力。 ３．情感、态度、价值观目标 使学生初步认识有限与无限、近似与精 确 、量 变 与 质 变的辩证关系， 培养学生的辩证唯物主义观点。 二 、教 学 重 点 和 难 点 教学重点： 数列极限的概念和定义。 教学难点： 数列极限的“ε－ Ｎ”定义的理解。 三 、教 学 对 象 分 析 这节课是数列极限的第一节课，是学生学习极限的入 门课， 对于学生来说是一个全新的内容， 学生的思维正处 于由经验型抽象思维向 理论型抽象思维过渡阶段 ， 在《立 体几何》 内容 求球的表面积和体积时对极限思 想 已 有 接 触， 而学生在以往的数学学习中主要接触的是关于“有限” 的问题， 很少涉及“无限”的问题。极限这一抽象概念能够 使他们做基于直观的理解， 并引导他们作出描述性定义 “当 ｎ 无限增大时 ， 数 列｛ａｎ｝中 的 项 ａｎ 无 限 趋 近 于 常 数 Ａ， 也就是 ａｎ 与 Ａ 的差的绝对值无限趋近 于 ０”， 并能用这 个 定义判断一些简单数列的极限。但要使他们在一节课内 掌握“ε－ Ｎ”语言求极限要求过高。因此不宜讲得太难， 能 够通过具体的几个例子， 归纳研究一些简单的数列的极 限。使学生理解极限的基本概念， 认识什么叫做数列的极 限以及数列极限的定义即可。 四 、教 学 策 略 及 教 法 设 计 本课是采用启发式讲授教学法， 通过多媒体课件演 示及学生讨论的方法进行教学。通过学生比较熟悉的一 个实际问题入手， 引起学生的注意， 激发学生的学习兴趣。 然后通过具体的两个比较简单的数列， 运用多媒体课件 演示向学生展示了数列中的各项随着项数的增大， 无限 地趋向于某个常数的过程， 让学生在观察的基础上讨论 总结出这两个数列的特征， 从而得出数列极限的一个描 述性定义。再在教师的引导下分析数列极限的各种不同 情况。从而对数列极限有了直观上的认识， 接着让学生根 据数列中各项的情况判断一些简单的数列的极限。从而 达到深化定义的效果。最后进行练习巩固， 通过这样的一 个完整的教学过程， 由观察到分析、由定量到定性， 由直观 到抽象， 并借助于多媒体课件的演示， 使得学生逐步地了 解极限这个新的概念， 为下节课的极限的运算及应用做 准备， 为以后学习高等数学知识打下基础。在整个教学过
高等数学1-2数列极限+收敛数列
一、数列极限的定义 二 、收敛数列的性质
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1
一、数列极限的定义 1、概念的引入
（1）割圆术： “割之弥细，所失 弥少，割之又割， 以至于不可割，则
与圆周合体而无所
失矣” ——刘徽
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2
正 6=3×2 边形的面积 A1
正12 3 2 2 边形的面积 A2
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例6 证明
证明 lim n a 1,( a 0). n 当a =1时为常数列，结论显然成立.
a 1, 令 n a 1 n , ( n 0), 则 若 a (1 n )n 1 n n nn 1 n n ,
a a
故 lim x n a .
n
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0,寻找N,但不必要求最小的N.
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n 2 3n 1 例5 证明 lim 2 . n 2n 3n 4 2 证明： 0, 3n 4 7n 7 n 2 3n 1 n2 3n3n 41 3n 4n , 解不等式 2 2 2 2 , 2 2 2 3) n 4n 2n 3n 4 22 2(nn 4 3n2 4) 2( 2n2(n n 4) n 32 7 n 2 3n 1 若要 2 , 只要 , 4n 2n 3n 4 2 n 2 3n 1 7 7 7 . 解得n , 取N [ ], 当n N , 2 2n 3n 4 2 4 n 4 4 n 2 3n 1 lim 2 . n 2n 3n 4 2 思考：N的取法是否唯一？不等式放大(适当放大)过 程中是否还可以作其他形式的放大？
高等数学第2章第1节数列极限的概念
第二章 数列极限引 言为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势．例如有这么一个变量，它开始是１，然后为1111,,,,,234n如此，一直无尽地变下去，虽然无尽止，但它的变化有一个趋势，这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零．我们就说，这个变量的极限为０．在高等数学中，有很多重要的概念和方法都和极限有关（如导数、微分、积分、级数等），并且在实际问题中极限也占有重要的地位．例如求圆的面积和圆周长（已知：2,2S r l r ππ==），但这两个公式从何而来？要知道，获得这些结果并不容易！人们最初只知道求多边形的面积和求直线段的长度．然而，要定义这种从多边形到圆的过渡就要求人们在观念上，在思考方法上来一个突破．问题的困难何在？多边形的面积其所以为好求，是因为它的周界是一些直线段，我们可以把它分解为许多三角形．而圆呢？周界处处是弯曲的，困难就在这个“曲”字上面．在这里我们面临着“曲”与“直”这样一对矛盾．在形而上学看来，曲就是曲，直就是直，非此即彼，辩证唯物主义认为，在一定条件下，曲与直的矛盾可以相互转化．恩格斯深刻提出：“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾，在一定的条件下直线和曲线应当是一回事”．整个圆周是曲的，每一小段圆弧却可以近似看成是直的；就是说，在很小的一段上可以近似地“以直代曲”，即以弦代替圆弧．执照这种辩证思想，我们把圆周分成许多的小段，比方说，分成n 个等长的小段，代替圆而先考虑其内接正n 边形．易知，正n 边形周长为2sinn l nR nπ=显然，这个n l 不会等于l ．然而，从几何直观上可以看出，只要正n 边形的边数不断增加．这些正多边形的周长将随着边数的增加而不断地接近于圆周长．N 越大，近似程度越高．但是，不论n 多么大，这样算出来的总还只是多边形的周长．无论如何它只是周长的近似值，而不是精确值．问题并没有最后解决．为了从近似值过渡到精确值，我们自然让n 无限地增大，记为n →∞．直观上很明显，当n →∞时，n l l →，记成lim n n l l →∞=．——极限思想．即圆周长是其内接正多边形周长的极限．这种方法是我国刘微（张晋）早在第３世纪就提出来了，称为“割圆术”．其方法就是——无限分割．以直代曲；其思想在于“极限”．除之以外，象曲边梯形面积的计算均源于“极限”思想．所以，我们有必要对极限作深入研究．§１ 数列极限的概念一 什么是数列１ 数列的定义数列就是“一列数”，但这“一列数”并不是任意的一列数，而是有一定的规律，有一定次序性，具体讲数列可定义如下；若函数f 的定义域为全体正整数集合N +，则称:f N R +→为数列．注：１）根据函数的记号，数列也可记为(),f n n N +∈；２）记()n f n a =，则数列()f n 就可写作为：12,,,,n a a a ，简记为{}n a ，即{}{}()|n f n n N a +∈=；３）不严格的说法：说()f n 是一个数列．２ 数列的例子（1）(1)111:1,,,,234n n ⎧⎫---⎨⎬⎩⎭；（2）11111:2,1,1,1,435n ⎧⎫++++⎨⎬⎩⎭ （3）{}2:1,4,9,16,25,n ；（4）{}11(1):2,0,2,0,2,n ++-二、什么是数列极限１．引言对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）：第１天截下12， 第２天截下2111222⋅=，第３天截下23111222⋅=，第n 天截下1111222n n -⋅=，得到一个数列：231111,,,,,2222n 不难看出，数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项12n 随着n 的无限增大而无限地接近于零． 一般地说，对于数列{}n a ，若当n 无限增大时，n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限．不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列．据此可以说，数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是收敛数列，０是它的极限． 数列{}{}21,1(1)n n ++-都是发散的数列．需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来．还有待进一步分析．以11n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为例，可观察出该数列具以下特性： 随着n 的无限增大，11n a n =+无限地接近于1→随着n 的无限增大，11n+与１的距离无限减少→随着n 的无限增大，1|11|n +-无限减少→1|11|n+-会任意小，只要n 充分大． 如：要使1|11|0.1n +-<，只要10n >即可； 要使1|11|0.01n+-<，只要100n >即可；任给无论多么小的正数ε，都会存在数列的一项N a ，从该项之后()n N >，1|11|n ε⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．即0,N ε∀>∃，当n N >时，1|11|n ε⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．如何找Ｎ？（或Ｎ存在吗？）解上面的数学式子即得：1n ε>，取1[]1N ε=+即可．这样0,ε∀>当n N >时，111|11|n n N ε⎛⎫+-=<< ⎪⎝⎭．综上所述，数列11n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的通项11n +随n 的无限增大，11n+无限接近于１，即是对任意给定正数ε，总存在正整数Ｎ，当n N >时，有1|11|n ε⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．此即11n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭以１为极限的精确定义，记作1lim 11n n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭或1,11n n →∞+→． 2.数列极限的定义定义1 设{}n a 为数列,a 为实数,若对任给的正数ε,总存在正整数N,使得当n N >时有||n a a ε-<, 则称数列{}n a 收敛于a,实数a 称为数列{}n a 的极限,并记作lim n n a a →∞=或()n a a n →→∞.(读作:当n 趋于无穷大时,n a 的极限等于a 或n a 趋于a)． 由于n 限于取正整数,所以在数列极限的记号中把n →+∞写成n →∞,即lim n n a a →∞=或()n a a n →→∞.若数列{}n a 没有极限，则称{}n a 不收敛，或称{}n a 为发散数列． [问题]：如何表述{}n a 没有极限？ ３．举例说明如何用N ε-定义来验证数列极限 要证,lim a a n n =∞→关键是：对任正数ε，解不等式ε<-a a n找出n 的范围，进而确定． （1） 直接解不等式 ε<-a a n例１ 证明1(1)lim 0(0)n n nαα+→∞-=> 同理可证：12(1)lim 0n n n +→∞-=，13(1)lim 0,n n n+→∞-= . （2）适当放大),)((k n nAn a a =≤-ϕ转化为解不等式εϕ<)(n ． 例２ 证明 lim 0(||1)nn q q →∞=<．同理可证：1lim 02n n →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭，12lim 0,lim(1)0,,23n nn n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .例３．证明 321lim097n n n →∞-=+.例４．证明 223lim 33n n n →∞=-. 例５．证明1n =，其中0a >.４ 关于数列的极限的N ε-定义的几点说明 （１） 关于ε：①ε的任意性．定义１中的正数ε的作用在于衡量数列通项n a 与常数a 的接近程度，ε越小，表示接近得越好；而正数ε可以任意小，说明n a 与常数a 可以接近到任何程度；②ε的暂时固定性．尽管ε有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出Ｎ；③ε的多值性．ε既是任意小的正数，那么2,3,2εεε等等，同样也是任意小的正数，因此定义１中的不等式||n a a ε-<中的ε可用2,3,2εεε等来代替．从而“||n a a ε-<”可用“||n a a ε-≤”代替；④正由于ε是任意小正数，我们可以限定ε小于一个确定的正数．（２） 关于Ｎ：① 相应性，一般地，Ｎ随ε的变小而变大，因此常把Ｎ定作()N ε，来强调Ｎ是依赖于ε的；ε一经给定，就可以找到一个Ｎ；②Ｎ多值性．Ｎ的相应性并不意味着Ｎ是由ε唯一确定的，因为对给定的ε，若100N =时能使得当n N >时,有||n a a ε-<,则101N =或更大的数时此不等式自然成立．所以Ｎ不是唯一的．事实上，在许多场合下，最重要的是Ｎ的存在性，而不是它的值有多大．基于此，在实际使用中的Ｎ也不必限于自然数，只要Ｎ是正数即可；而且把“n N >”改为“n N ≥”也无妨．（３）数列极限的几何理解：在定义１中，“当n N >时有||n a a ε-<”⇔“当n N >时有n a a a εε-<<+” ⇔“当n N >时有(),(;)n a a a U a εεε∈-+=” ⇔所有下标大于Ｎ的项n a 都落在邻域(;)U a ε内；而在(;)U a ε之外，数列{}n a 中的项至多只有Ｎ个（有限个）．反之，任给0ε>，若在(;)U a ε之外数列{}n a 中的项只有有限个，设这有限个项的最大下标为Ｎ，则当n N >时有(;)n a U a ε∈，即当n N >时有||n a a ε-<，由此写出数列极限的一种等价定义（邻域定义）： 定义1' 任给0ε>，若在(;)U a ε之外数列{}n a 中的项只有有限个，则称数列{}n a 收敛于极限a.由此可见：１）若存在某个00ε>，使得数列{}n a 中有无穷多个项落在0(;)U a ε之外，则{}n a 一定不以a 为极限；２）数列是否有极限，只与它从某一项之后的变化趋势有关，而与它前面的有限项无关． 所以，在讨论数列极限时，可以添加、去掉或改变它的有限项的数值，对收敛性和极限都不会发生影响．例１ 证明{}2n 和{}(1)n-都是发散数列．例２．设lim lim n n n n x y a →∞→∞==，作数列如下：{}1122:,,,,,,,n n n z x y x y x y . 证明 lim n n z a →∞=.例３．设{}n a 为给定的数列，{}n b 为对{}n a 增加、减少或改变有限项之后得到的数列．证明：数列{}n b 与{}n a 同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等．三、无穷小数列在所有收敛数列中，在一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下： 定义２ 若lim 0n n a →∞=，则称{}n a 为无穷小数列．如1211(1)1,,,2n n n n n +⎧⎫-⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭都是无穷小数列．数列{}n a 收敛于a 的充要条件：定理２.１ 数列{}n a 收敛于a 的充要条件是{}n a a -为无穷小数列． 作业 P27 2（2）（3），3（1）（4）（6），4，5（1），6。
数列的极限ppt
恒有 f ( x) A .
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0 ( x x0 )
注意:{x 0 x x0 }
f ( x0 0) A.
{ x 0 x x0 } { x x x0 0}
. Sept. 26 Mon
Review
1.数列极限性质：唯一性，有界性，夹逼性， 保号性；
定理 : lim f ( x) A x x0
f ( x0 0) f ( x0 0) A.
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1. 不等式 xn a 刻划了 xn 与 a 的无限接近;
2. N 与任意给定的正数 有关.
极限的 N 定义:
lim
n
xn
a
0, N 0,使 n N 时,恒有 xn a .
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x1 , x2 ,, xi ,xn ,
xn1 , xn2 ,, xnk ,
xn
1
(1)n 2
子列 1，1，
0，0，
0, 1, 0, 1,
定义3. 设有序列{ xn }，若 M 0，对一切n 都有： | xn | M 则称 {xn} 是有界序列。
例： 0,1,0,1,
为有界序列。
二. 数列极限的定义
有界，几个特殊数列的极限; 。
1-1数列极限
第一章 极限与连续 §1.1 数列极限（1）教学目标：1° 使学生初步掌握数列极限这一重要概念的内涵与外延； 2° 使学生学会用定义证明极限的基本方法；3° 通过知识学习，加深对数学的抽象性特点的认识；体验数学概念形成的抽象化思维方法；体验数学“符号化”的意义及“数形结合”方法；4° 了解我国古代数学家关于极限思想的论述，增强爱国主义观念。
教学重点：数列极限的定义及性质 教学难点：数列极限的定义理解 课时：四课时 教学过程：第一课时我们已经有了函数的概念，但如果我们只停留在函数概念本身去研究运动，即如果仅仅把运动看成物体在某一时刻在某一地方，那我们就还没有达到揭示变量变化的内部规律的目的，我们就事实上还没有脱离初等数学的领域，只有我们用动态的观点揭示出函数y ＝f （x ）所确定的两个变量之间的变化关系时，我们才算真正开始进入高等数学的研究领域。
极限是进入高等数学的钥匙和工具。
我们从最简单的也是最基本的数列极限开始研究。
一、极限思想数列极限来自实践，它有丰富的实际背景。
例1 曲边梯形的面积问题：设给了一个如图所示的曲边梯形，其中只有一个曲边，它是抛物线2y x =的一段。
试计算这个曲边梯形的面积s.222211121110()()...()n n S n n n n n n n -=⋅+⋅+⋅++⋅])1(...321[122222-++++=n n=6)12()1(12--⋅n n n n=2111(362n n +-→13 这种全新的方法就是：极限方法。
我们的祖先也很早就对数列进行了研究，早在战国时期就有了极限的概念例2 战国时代哲学家庄周所著的《庄子。
天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”也就是说一根一尺长的木棒，每天截去一半，这样的过程可以一直无限制的进行下去。
将每天截后的木棒排成一列,如图所示, 其长度组成的数列为1{}2n,随着n 无限的增加, 木棒的长度无限的趋近于零。
高等数学 第二节 数列的极限
lim
n
xn
a 的"
N" 定义 :
lim
n
xn
a
0, N N ,当n N 时, 有
| xn a | .
注意: (1) 0 的任意性; a xn a
(2) N 的存在性：N N ( ).
(3) 几何解释 当 x = n, 则 xn f (n)
第n 项 xn 叫 做 数 列 的 一 般 项.
例如:
1 , 2 , 3 ,, n ,: 2 3 4 n1
n n
1
;
2,
1 2
,
4 3
,,
n
(1)n1 n
,:
n
(1)n1 n
;
2,4,8,,2n ,:
{2n };
1,1,1,,(1)n1,: {(1)n1}.
注意: 1. 数列的每一项都是数.
n
2
2 n2
n n2
)
1 .
2
1. 证明lim( n2 1 n) 0. n
证 0,
n2 1 n 0 ( n2 1 n)( n2 1 n) n2 1 n
n2
1 1
n
1 2n
,
欲使 1 , 只须n 1 ,
2n
2
取
N
1
2
,
则当n N时,
n2 1 n 0 ,
lim
n
xn
a
f(n)
a
x1
a的邻域
x2
a
自然数 N
xn
对一切 n > N a
高等数学 极限
( 1) n1 例1 证 明l im 0. n n
n 1 ( 1 ) 1 证明 an a 0 , n n 对 0,要使an 0 , 即 1 , n 1 , n
1 取N ,
( 1)n1 0 , 当n N时, 有 n
( 1) n1 由极限的定义知 lim 0. n n
3n 1 3 . 例2 证 明 l i m n 2n 1 2
3n 1 3 1 1 1 证明 an a , 2n 1 2 4n 2 4 n 2 4 n 3n 1 3 1 1 , 只要 , n 对 0, 要 使 , 2n 1 2 4 4n
n
证明 由条件 (2), 0 , N 1 , N 2 N , 当 当
时, 时,
令 N max N 1 , N 2 ,
则当 n N 时, 结合条件 (1)，得
a bn an cn a
从而
a an a
上的点 a1 , a2 ,, an ,.
a3
a1
a2 a4
an
2.数列极限的定义 问题的提出——割圆术 我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利用圆 内接正多边形计算圆面积的方法——割圆术，就是
极限思想在几何上的应用.
割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不 可割，则与圆合体而无所失.
用圆内接多边形的面积去逼近圆的面积: 正六边形的面积 A1
由单调有界准则知， an 极限存在 故数列 , 设为a.
在an1 1 an 两边取极限 , 得 a 1 a，
解得
1 5 1 5 a 或 a . 2 2
第二讲数列的极限
n 1 n n 1
(1) n 0 n ( n 1) 2
证：由于 x n a
(1) n 1 1 1 0 2 2 n 1 n (n 1) (n 1)
第一章第二讲数列的极限
要使 x n a
1 1 成立，只要 n n 1
故对 0 ，取 N [ ] ，当 n N 时，总有
xn 趋近于 a ，即 xn 与 a 之间的距离越来越小，所以我们可以利用 xn a 来刻
画 xn 趋近于某一个数 a . 当 xn a 小于一个很小的数的时候，我们就可以说 xn 与 a 越来越近.
题目：已知数列
n ( 1) n 1 n
（1）
n (1) n 1 与 1 之间的关系？ n
1 2 3 4 , , , , 2 3 4 5
(ⅱ) 2 , 4 , 8 , 16 , (ⅲ) 1 , 1 , 1 , 1 , (ⅳ) s1 , s2 ,, sn , (ⅴ) x1 , x2 ,, xn , 解：(ⅰ) xn
n n 1
当 n 时， xn 趋近于 1
第一章第二讲数列的极限
N ，当 n N 时， | xn
a | 1 都成立
于是 n N 时， xn xn a a xn a a 1 a
第一章第二讲数列的极限 取 M max x1 , x2 , , xN ,1 a ，则数列 xn 中的每一项满足 xn M 故数列 xn 是有界的. 注：根据该定理，若数列 xn 无界，则 xn 一定发散，但若 xn 有界，则 xn 不 一定收敛. 3、极限的保号性：若 lim x n
1 1 n n
所以从第 [ ] 1 项开始后面所有的项与 1 的差的绝对值小于
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概念的引入 数列的概念 数列极限的概念 收敛数列的性质 小结 思考题 作业
©
第一章 函数1与极限
数列的极限
一、概念的引入
极限概念是从常量到变量, 从有限到无限, 即从初等数学过渡到高等数学的关键.
极限的思想源远流长. 庄子(约公元前355~275年)在《天下篇》 中写道: “一尺之棰,日取其半,万世不竭
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
注 数列极限的定义通常是用来进行推理
和证明极限,而不是用来求极限, 因为这里
需要预先知道极限值是多少.
©
例1. 已知
证明数列 的极限为1.
证:
欲使
因此 , 取
则当
即
只要
时, 就有
故
©
例2. 设
的极限为 0 .
证:
证明等比数列
欲使 亦即
只要
即
(q 0)
因此 , 取
可看作一动点在数轴上依次取 x1 , x2 , , xn , .
x1 x3 x2 x4 xn
数列可看作自变量为正整数 n的函数:
xn f (n) 整标函数或下标函数
©
数列的极限
(2) 在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴, 则数列的几何意义是平面上一串分离的点. xn
o ·1 2·3·4
n
注 不可将这串点·连成曲线.
©
数列的极限
三、数列极限的概念
问题 当 n无限增大时, xn是否无限接近于某一
确定的数值? 如果是, 如何确定? 研究数列{1 (1)n1 }当 n 时的变化趋势.
n 1 1, 1 1 , 1 1 , 1 1 , 1 1 ,
2345 即 2, 1 , 4 , 3 , 6
2 345
不可能同时位于长度为1的区间内.
{ xn }是有界的, 但却发散.
©
数列的极限
3. 保号性
定理3
如果
lim
n
xn
a,
且
a
0(a
0),
则N
0,
当n N ,有xn 0 ( xn 0).
证
a 有
0 由定义,
xn a
对
a, 2
a 2
0,
N
0,当 n
N
时,
从而
xn
a
a 2
a 2
0.
推论 如果数列xn从某项起有 xn 0 ( xn 0),
记为 或
lim
n
xn
a,
xn a (n ).
如果数列没有极限, 就说数列发散(diverge).
©
数列的极限
注
(1) 不等式 xn a 刻划了xn 与a的无限接近; (2) 正数是任意给定的 , 但是一旦给出之后,
它就是确定了;
(3) N与给定的有关,一般地说, 越小, N将越大;
(4) {xn}有没有极限, “前面” 的有限项不起作用, 主要看“后面”的无穷多项.
term), 或者一般项.
如 2,4,8, ,2n , ;
{2n }
1 , 1 , 1 , 248
,
1 2n
,
;
1 {2n }
©
数列的极限
1,1,1, ,(1)n1 , ; {(1)n1 }
2, 1 , 4 , , n (1)n1 , ;
23
n
数列的(两种)几何表示法:
n (1)n1
{
}
n
(1)数列对应着数轴上一个点列.
当n无限增大时, xn 无限接近于1.
©
例如
0
0 1 2
©
共同性质
（要多近有多近）
⑤、⑥ 无此性质
©
数列的极限
研究数列{1 (1)n1 }当 n 时的变化趋势. n
当n无限增大时, xn无限接近于1.
“无限接近”意味着什么?
如何用数学语言刻划它.
|
xn
1
|
(1 (1)n1
1)1 n
1 n
, 则当 n > N 时, 就有
故
证明 ©
数列的极限
例
设xn
C(C为常数),
证明 lim n
xn
C.
证 任给 0, 对于一切自然数n ,
xn C C C 0 成立,
所以,
lim
n
xn
C.
说明 常数列的极限等于同一常数.
©
数列的极限
例 证 极用 定明 限定数.义0列,证寻x数找n 列N,n极1但c限o不s存n必2在要(时求n ,最关1、小键2、的是3N任）.意以给0为
有
xn
1
1, 10000
给定
0, 只要 n
N ( [1])时,有
xn
1
成立.
©
数列的极限
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总存在正整数N,使得对于n N 时的一切 xn ,
不等式
xn a
成立. 那末就称常数a是数列 xn的极限(limit), 或称数列 xn收敛于a (converge to a) .
N nK
从而有
xnk a
, 由此证明
lim
k
x nk
a.
©
数列的极限
由此定理可知, 仅从某一个子数列的收敛 一般不能断定原数列的收敛性;
但若已知一个子数列发散, 或有两个子数列 收敛于不同的极限值, 可断定原数列是发散的.
还可以证明: 数列{ xn } 的奇子数列 { x2k1} 和偶子数列
{ x2k }均收敛于同一常数a 时, 则数列 { xn } 也收
敛于a . (证明留给做作业)
©
数列的极限
例 试证数列 cos n 不收敛. 证 因为cos n 的奇子数列 1, 1, 1,
收敛于 1, 而偶子数列 1, 1, 1, 收敛于 1,
所以数列 cos n 不收敛.
©
内容小结
1. 数列极限的 “ – N ” 定义及应
用 2. 收敛数列的性质:
©
数列的极限
2. 唯一性 定理2 每个收敛的数列只有一个极限.
证
设
lim
n
xn
a,
又 lim n
xn
b,
由定义,
0,N1, N2. 使得当n N1时恒有 xn a ;
当n
N
时恒有
2
xn
b
;
取N
maxN1 ,
N 2,
则当n N时有 | a b | (xn b) (xn a)
xn b xn a 2 .
xn 1 可以要多么小就多么小,只要n充分大, 则要看 xn 1小到什么要求.
©
数列的极限
|
xn
1 |
1 n
给定
1 100
,
由
1 n
1, 100
只要 n 100时,有
xn
1
1, 100
给定 1 , 1000
只要 n 1000时, 有
xn
1
1, 1000
给定 1 , 10000
只要 n 10000时,
且
lim
n
xn
a,
那么
a
0
(a
0).
用反证法
©
数列的极限
4. 收敛数列与其子数列(subsequence)间的关系
在数列 xn中依次任意抽出无穷多项: xn1 , xn2 , xnk ,
(其下标n1 n2 nk ) 所构成的新数列
{ xnk }叫做数列{ xn }的子数列.
这里 xnk是原数列中的第 nk项,在子数列中是
定义 对数列xn ,若存在正数M, 使得一切自然
数n,恒有| xn | M成立,则称数列 xn有界; 否则,
称为无界.
如,
数列 xn
n n1
有界; 数列 xn 2n 无界.
数轴上对应于有界数列的点 xn 都落在
闭区间[M, M]上.
©
数列的极限
定理1 收敛的数列必定有界.
证
设
lim
n
xn
a,
由定义,
仅当a b时才能成立. 故收敛数列极限唯一.
©
数列的极限
例 证明 数列xn (1)n1是发散的 . 反证法
证 假设数列{ xn }收敛，则有唯一极限a 存在.
取
1 , 则N 2
0,
当n
N时, 有
xn
a
1 成立, 2
即当n
N时,
xn
(a
1,a 2
1), 2
区间长度为1.
而xn无休止地反复取1, 1两个数,
采用逻辑符号将 lim n
xn
a的定义可缩写为:
N 定义 0, N 0, 当n N时,
有 xn a .
©
数列的极限
数列极限的几何意义
a 2
xn a
a xn a
(n N )
即 xn U(a , )
a
(n N )
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点xn 都落在(a , a )内,
©
引例.
设有半径为 r 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积
逼近圆面积 S .
n
如图所示 , 可知
r
当 n 无限增大时,
©
无限逼近 S（刘徽割圆术）。
数列的极限
二、数列 (sequence of number) 的概念
定义 按照自然数的顺序排列的一列数
x1 , x2 , xn , 简记为{ xn },其中xn称为数列{ xn }的通项(general