3.4生活中的优化问题举例

第三章第4节 生活中的优化问题举例
课前预习学案
一、预习目标
了解解决优化问题的思路和步骤
二、预习内容
1．概念：
优化问题：_______________________________________________________ 2.回顾相关知识：
（1）求曲线y=x 2+2在点P(1,3)处的切线方程.
（2）若曲线y=x 3上某点切线的斜率为3, 求此点的坐标。

3：生活中的优化问题, 如何用导数来求函数的最小(大)值？
4.解决优化问题的基本思路是什么？
三、提出疑惑
同学们, 通过你的自主学习, 你还有哪些疑惑, 请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系, 正确设定所求最大值或最小值的变量y 与自变量x , 把实际问题转化为数学问题, 即列出函数解析式()y f x =, 根据实际问题确定函数()y f x =的定义域；
2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤, 细心运算, 正确合理地做答.
重点：求实际问题的最值时, 一定要从问题的实际意义去考察, 不符合实际意义的理论值应予舍去。

难点：在实际问题中, 有()0f x '=常常仅解到一个根, 若能判断函数的最大（小）值在x 的变化区间内部得到, 则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值。

二、学习过程
1.汽油使用效率最高的问题
阅读例1, 回答以下问题：
（1）是不是汽车速度越快, 汽油消耗量越大？
（2）“汽车的汽油使用效率最高”含义是什么？
（3）如何根据图3.4-1中的数据信息, 解决汽油的使用效率最高的问题？
2.磁盘最大存储量问题
阅读背景知识, 思考下面的问题：
问题：现有一张半径为的磁盘, 它的存储区是半径介于r与R的环形区域。

（1）是不是r越小, 磁盘的存储量越大？
（2）r为多少时, 磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？
3饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
阅读背景知识, 思考下面的问题：
（1）请建立利润y与瓶子半径r的函数关系。

（2）分别求出瓶子半径多大时利润最小、最大。

（3）饮料瓶大小对饮料公司利润是如何影响的？
三、反思总结
通过上述例子, 我们不难发现, 解决优化问题的基本思路是：
四、当堂检测
已知某养猪场每年的固定成本是20000元, 每年最大规模的养殖量是400头。

每养1头猪, 成本增加100元, 如果收入函数是R(q)= (q是猪的数量), 每年养多少头猪可使总利润最大？总利润是多少？（可用计算器）
课后练习与提高
1.打印纸型号设计原理
某种打印纸的面积为623.7cm2, 要求上下页边距分别为2.54cm, 左右页边距分别为3.17cm, 如果要求纵向打印, 长与宽分别为多少时可使其打印面积最大(精确到0.01cm)？收集一下
各种型号打印纸的数据资料, 并说明其中所蕴含的设计原理。

型号A5A4A3Legal 16开32开大32开B4B5宽14.8 21 29.7 21.59 18.4 13 14 25.7 18.2 高21 29.7 42 35.56 2618.4 20.3 36.4 25.7
2.圆柱形金属饮料罐容积一定时, 它的高与半径应怎样选择, 才能时所用材料最省？
圆柱形金属饮料罐的表面积一定时, 应怎样制作, 其容积最大？
§3.4 生活中的优化问题举例
教学目标：
1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系, 正确设定所求最大值或最小值的变量y 与自变量x , 把实际问题转化为数学问题, 即列出函数解析式()y f x =, 根据实际问题确定函数()y f x =的定义域；
2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤, 细心运算, 正确合理地做答.
重点：求实际问题的最值时, 一定要从问题的实际意义去考察, 不符合实际意义的理论值
应予舍去。

难点：在实际问题中, 有()0f x '=常常仅解到一个根, 若能判断函数的最大（小）值在
x 的变化区间内部得到, 则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值。

教学方法：尝试性教学 教学过程： 前置测评：
（1）求曲线y=x 2+2在点P(1,3)处的切线方程.
（2）若曲线y=x 3上某点切线的斜率为3, 求此点的坐标。

【情景引入】 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题, 这些问题通
常称为优化问题．通过前面的学习, 我们知道, 导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节, 我们利用导数, 解决一些生活中的优化问题
例1.汽油的使用效率何时最高
材料：随着我国经济高速发展, 能源短缺的矛盾突现, 建设节约性社会是众望所归。

现实
生活中, 汽车作为代步工具, 与我们的生活密切相关。

众所周知, 汽车的每小时耗油量与汽车的速度有一定的关系。

如何使汽车的汽油使用效率最高（汽油使有效率最高是指每千米路程的汽油耗油量最少）呢？
通过大量统计分析, 得到汽油每小时的消耗量 g(L/h)与汽车行驶的平均速度v （km/h ）之间的函数关系g=f(v) 如图3.4-1, 根据图象中的信息, 试说出汽车的速度v 为多少时, 汽油的使用效率最高？
解：因为G=w/s=(w/t)/(s/t)=g/v
这样, 问题就转化为求g/v 的最小值, 从图象上看, g/v
表示经过原点与曲线上点（v,g ）的直线的斜率。

继续观察图像, 我们发现, 当直线与曲线相切时, 其斜率最小, 在此点处速度约为90km/h, 从树枝上看, 每千米的耗油量就是途中切线的斜率, 即f ’(90),约为0.67L.
例2.磁盘的最大存储量问题
【背景知识】计算机把数据存储在磁盘上。

磁盘是带有磁性介质的圆盘, 并有操作系统
将其格式化成磁道和扇区。

磁道是指不同半径所构成的同心轨道, 扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。

磁道上的定长弧段可作为基本存储单元, 根据其磁化与否可分别记录数据0或1, 这个基本单元通常被称为比特（bit ）。

为了保障磁盘的分辨率, 磁道之间的宽度必需大于m , 每比特所占用的磁道长度不得小于
n 。

为了数据检索便利, 磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。

问题：现有一张半径为R 的磁盘, 它的存储区是半径介于r 与R 之间的环形区域． 是不是r 越小, 磁盘的存储量越大？
r 为多少时, 磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？
解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。

设存储区的半径介于r 与R 之间, 由于磁道之间的宽度必需大于m , 且最外面的磁道
不存储任何信息, 故磁道数最多可达R r m -。

由于每条磁道上的比特数相同, 为获得最大存储量, 最内一条磁道必须装满, 即每条磁道上的比特数可达2r
n π。

所以, 磁盘总存储量
()f r =R r m -×2r n π2()
r R r mn π
=-
（1）它是一个关于r 的二次函数, 从函数解析式上可以判断, 不是r 越小, 磁盘的存储量越大．
（2）为求()f r 的最大值, 计算()0f r '=．
()2()2f r R r mn π
'=
-
令()0f r '=, 解得
2R
r =
当
2R r <
时, ()0f r '>；当2R
r >
时, ()0f r '<．
因此
2R r =
时, 磁盘具有最大存储量。

此时最大存储量为224R mn π 例3.
饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
（1）你是否注意过, 市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大, 饮料公司的利润越大？
【背景知识】 某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是
20.8r π分, 其中 r 是瓶子的半径, 单位是厘米。

已知每出售1 mL 的饮料, 制造商可获利
0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm
问题：（１）瓶子的半径多大时, 能使每瓶饮料的利润最大？ （２）瓶子的半径多大时, 每瓶的利润最小？
【引导】 先建立目标函数, 转化为函数的最值问题, 然后利用导数求最值.
（1）半径为2cm 时, 利润最小, 这时()20
f <, 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的
成本, 此时利润是负值． （2）半径为6cm 时, 利润最大．
【思考】根据以上三个例题, 总结用导数求解优化问题的基本步骤.
【总结】（1）认真分析问题中各个变量之间的关系, 正确设定最值变量y与自变量x, 把
实际问题转化为数学问题, 列出适当的函数关系式
()
y f x
=
, 并确定函数的定义区间；
（2）求
()
'
f x
, 解方程
()
'0
f x=
, 得出所有实数根；
（3）比较函数在各个根和端点处的函数值的大小, 根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值。

作业：P114习题3.4第2、4题关键细节由问题的实际意义来判断函数最值时, 如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．。