生活中的优化问题举例
了解生活中的优化问题及解决方案
详细描述
线性规划模型的核心是确定一个 最优解，该解满足给定的线性约 束条件并最大化或最小化一个线 性目标函数。线性规划在各种领 域都有广泛应用，如资源分配、 生产计划、物流管理等。
应用场景
例如，在物流管理中，线性规划 可以用于确定最佳的车辆路径或 货物配载方案，以实现运输成本 最低、时间最短等目标。
应用场景
动态规划广泛应用于各种优化问题，如背包问题、旅行商 问题、排序问题等。例如，在背包问题中，动态规划可以 用于标。
遗传算法
总结词
遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法，用于解决一些难以用传统数学方法解决的优化问题。
详细描述
遗传算法通过模拟生物进化过程中的基因选择、交叉和变异等过程，来寻找最优解。它采用随机搜索的方法，不断迭 代搜索空间，直到找到满足要求的解或达到预设的终止条件。
应用场景
模拟退火算法广泛应用于各种优化问 题，如函数优化、组合优化、机器学 习等。例如，在组合优化中，模拟退 火算法可以用于解决旅行商问题、背 包问题等难解的问题。
03
解决方案：人工智能技术
机器学习
总结词
机器学习是一种人工智能技术，通过算 法使计算机系统具备学习和改进的能力 ，从而完成特定的任务。
详细描述
专家系统通常用于高度专业化的领域 ，如医学、法律、金融等，它们可以 通过推理和解析来提供准确的决策支 持，帮助用户解决问题和做出决策。
04
解决方案：优化软件工具
MATLAB
要点一
总结词
MATLAB是一种高效的数值计算软件，广泛应用于算法开 发、数据分析、数据可视化以及数值计算等。
要点二
详细描述
MATLAB提供了友好的用户界面和丰富的功能，使得用户 可以轻松地进行矩阵运算、绘制图形、实现算法等。此外 ，MATLAB还提供了丰富的工具箱，包括统计、优化、机 器学习等，可以满足不同领域的需求。
1.4生活中的优化问题举例(三).ppt1
半径为 6cm时,利润最大 .
y 换一个角度: 如果 我 们不用导 数工具 ,直接 从函数的图象 (图 r3 2 1.4 4)上观察,你有什么发现? f r 0.8π 3 r 从图象上容 易看出,当 r 3 时,
f 3 0,即瓶子半径是 3cm 时, 饮料的利润与饮料瓶的成本恰
解：⑴P(x) = R(x) – C(x) = – 10x3 + 45x2 + 3240x – 5000 MP (x) = P ( x + 1 ) – P (x) = – 30x2 + 60x +3275 (其中 xN 且 x[1, 20]). ⑵∵ P( x ) = – 30x2 + 90x + 3240 = – 30( x +9 )(x – 12) ∴当 1< x < 12 时, P( x ) > 0, P(x)单调递增, 当 12 <x < 20 时, P( x ) < 0 , P ( x ) 单调递减. ∴ x = 12 时, P(x)取最大值,即年建造 12 艘船时, 公司 造船的年利润最大. ⑶由 MP(x ) = – 30( x – 1) 2 + 3305 (xN 且 x[1, 20]). ∴当 1< x ≤ 20 时，MP (x)单调递减. MP (x)是减函数说明:随着产量的增加,每艘利润与前一 台比较,利润在减少.
4 3 S 3 S S 3 h h 3h 由①得 b= h,代入②,∴l= 3 h 3 h h 3
l′ = 3
S S S S =0, ∴ h = , 当 h < 时， l ′ <0, h > 时，l′>0. 2 4 4 4 h 3 3 3
生活中的优化问题举例
生活中的优化问题举例引言生活中，我们经常面临各种各样的问题和挑战。
为了提高效率、提升生活质量，我们需要不断寻找解决问题的方法和策略。
在这篇文章中，我们将探讨生活中的优化问题，并给出一些实际的例子来说明如何应对这些问题。
什么是优化问题？优化问题是指在给定的限制条件下，寻找一个最优解的问题。
通过优化，我们可以最大限度地提高效率、降低成本、提升满意度等。
在生活中，我们可以将优化问题应用于各个领域，如时间管理、健康管理、金融规划等。
生活中的优化问题举例1. 时间管理时间管理是一个常见的生活优化问题。
我们每天都面临着有限的时间资源，如何合理分配时间成为了一个重要的课题。
以下是一些可以帮助我们优化时间管理的方法和技巧：1.制定优先级：将任务按照重要性和紧急性进行排序，优先处理重要且紧急的任务，避免因琐碎的事务耗费过多时间。
2.打破大目标：学会将大目标分解成小目标，逐步推进。
这样可以减少任务的压力，并更好地管理时间。
3.制定时间表：制定一个明确的时间表，为每项任务规定固定的时间段。
这样可以提高效率，并避免时间的浪费。
4.利用时间碎片：充分利用日常生活中的碎片化时间，比如排队等待、交通工具上的时间，可以用来读书、听课等。
2. 健康管理健康是幸福生活的基石，因此健康管理也成为了一个重要的优化问题。
以下是一些可以帮助我们优化健康管理的方法和策略：1.合理饮食：均衡饮食是健康的基础。
合理控制饮食，摄入适量的营养物质，避免过量或偏食，有助于维持身体的健康状态。
2.积极运动：适量的运动可以帮助我们保持身体健康和心理平衡。
根据个人情况选择合适的运动方式和时间，如慢跑、游泳、瑜伽等。
3.规律作息：良好的作息习惯对于身体和心理健康至关重要。
合理安排睡眠时间，确保充足的休息，有助于保持精力充沛和情绪稳定。
4.健康检查：定期进行身体检查，及时发现和处理潜在的健康问题，有助于预防和治疗疾病。
3. 金融规划金融规划是一个经济优化的问题。
生活中的优化问题举例图文
安排休息时间
总结词
合理安排休息时间是优化健康管理的重要环节，有助于 恢复身体机能和缓解压力。
详细描述
保证充足的睡眠时间，合理安排工作和休息时间，采用 适当的放松方式，如冥想、瑜伽等，有助于恢复身体机 能和缓解压力。
总结词
创造良好的睡眠环境，保持规律的睡眠习惯，有助于提 高睡眠质量。
详细描述
保持安静、黑暗、舒适的睡眠环境，避免睡前过度兴奋 或刺激，保持规律的睡眠习惯，有助于提高睡眠质量。
自身能力范围。
制定工作计划
01
分解任务
将工作目标分解为具体的任务， 明确任务的责任人、完成时间和 所需资源。
安排时间
02
Байду номын сангаас
03
调整计划
根据任务的紧急性和重要性，合 理安排工作时间，确保任务按时 完成。
在执行过程中，根据实际情况及 时调整工作计划，以适应变化和 应对突发情况。
安排工作时间
避免过度劳累
总结词
结合日常生活和工作，灵活安排运动时间和场地，有助于 提高运动计划的可行性和持久性。
详细描述
根据个人生活和工作情况，灵活安排运动时间和场地，将 运动融入日常生活和工作中，有助于提高运动计划的可行 性和持久性。
总结词
注意运动安全，遵循正确的运动姿势和技巧，预防运动损 伤。
详细描述
在运动前进行适当的热身活动，遵循正确的运动姿势和技 巧，避免过度运动和损伤，注意运动安全。
总结词
学会放松自己，缓解压力和焦虑情绪。
详细描述
通过冥想、瑜伽、深呼吸等放松技巧来缓解压力和焦虑 情绪，学会放松自己。
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生活中的优化问题举例
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1.4生活中的优化问题举例
练习1、 一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个 正方形，要使两个正方形的面积和最小， 两段铁丝的长度分别是多少？
解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x,
其中0<x<l 则两个正方形面积和为
S
=
s1
+ s2
=( x)2 4
+( l
- x)2 4
=
1 (2x2 16
-
2lx
+
l2
)
S 1 (4x 2l) 1 (2x l)
生活中经常遇到求利润最大、用料 最省、效率最高等问题，这些问题称 为优化问题，优化问题有时也称为最 值问题．解决这些问题具有非常重要 的现实意义．
通过前面的学习，我们知道，导数是求函 数最大（小）值的有力工具，本节我们运 用导数，解决一些生活中的优化问题。
类型一：求面积、容积的最大问题
例1、海报版面尺寸的设计： 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，
解：设版心的高为xdm，则版心的
1dm
m
宽 128 dm，此时四周空白面积为 2dm x
S( x) ( x 4)(128 2) 128 x
2x 512 8 ( x 0) x
S
'(
x
)
2
512 x2
2dm
S(
x)
2
x
512 x
8，S
'(
x)
2
512 x2
令S '(x) 0可解得x 1（6 x -16舍去）
V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).
令
V(x)= 60x - 3 x2 = 0 2
,解得x=0(舍去),x=40.且
1.4生活中的优化问题(带答案)
1。
4生活中的优化问题举例1．要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为() A。
错误!cm B．错误!cm C.错误!cm D．错误!cm ［答案] D2．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3:4，那么容器容积最大时，高为()A．0.5m B．1m C．0。
8m D．1.5m[答案］ A［解析］设容器底面相邻两边长分别为3x m、4x m,则高为错误!＝错误!(m），容积V＝3x·4x·错误!＝18x2－84x3错误!，V′＝36x－252x2,由V′＝0得x＝1或x＝0（舍去)．x∈错误!时，V′〉0，x∈错误!时，V′<0，7所以在x＝错误!处，V有最大值，此时高为0。
5m。
3．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(）A．R B．2R C.错误!R D．错误!R［答案］ C［解析］设圆锥高为h,底面半径为r，则R2＝（h－R）2＋r2，∴r2＝2Rh－h2, ∴V＝错误!πr2h＝错误!h(2Rh－h2)＝错误!πRh2－错误!h3，V′＝错误!πRh－πh2。
令V′＝0得h＝错误!R.当0<h〈错误!R时，V′〉0；当错误!<h〈2R时，V′〈0。
因此当h＝错误!R时，圆锥体积最大．4．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时时，原油温度（单位:℃)为f（x）＝错误!x3－x2＋8(0≤x≤5），那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是（）A．8 B．错误!C．－1 D．－8［答案］ C[解析］瞬时变化率即为f′（x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x）＝(x－1）2－1，又x∈[0,5],故x＝1时,f′（x）min＝－1.5．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋错误!x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品的单价为50元,总利润最大时，产量应定为__________件．[答案］25[解析]设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知a＝错误!。
生活中的优化问题举例
生活中的优化问题举例
以下是一些生活中常见的优化问题举例：
1. 路线规划：对于一次旅行或者日常通勤，如何选择最短或最快的路线，以节省时间和资源。
2. 日程安排：如何合理分配时间，使得工作效率最大化，同时留出时间进行休息和娱乐。
3. 购物决策：在购买商品时，如何选择最佳的品牌、型号或价格，以满足需求并节约开支。
4. 饮食计划：如何合理安排饮食，以保证营养均衡，同时避免浪费和过量摄入。
5. 能源使用：如何优化能源的使用，例如合理设置空调温度、减少电器待机时间等，以节约能源成本并保护环境。
6. 个人理财：如何合理规划个人财务，包括投资、储蓄和债务，以实现财务增长并达到目标。
7. 旅游安排：在进行旅游计划时，如何选择最佳的目的地、交通方式、住宿和活动，以满足旅行的需求。
8. 学习方法：如何优化学习方法，例如选择适合个人的学习时间、学习环境和学习资源，以提高学习效率。
9. 生活习惯：如何培养健康的生活习惯，例如规律作息、科学饮食和适度运动，以改善身体健康。
10. 时间管理：如何合理分配时间，设置优先级和避免拖延，以提高工作和生活的效率。
1.4生活中的优化问题举例课件人教新课标
重难聚焦
名师点拨1.在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的 意义,不符合实际意义的值应舍去. 2.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'(x)=0的 情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知 道这就是最大(小)值. 3.在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用 函数关系表示,还应确定出函数关系中自变量的定义区间.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
利润最大问题 【例3】 某分公司经销某品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每 件产品需向总公司交a(3≤a≤5)元的管理费,估计当每件产品的售 价为x(9≤x≤11)元时,一年的销售量为(12-x)2万件. (1)求分公司一年的利润L(单位:万元)与每件产品的售价x的函数关 系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大?并求出 L的最大值Q(a). 分析:(1)利用题中等量关系找出L与x的函数关系式;(2)求出(1)中函 数关系式的导函数,再利用导数求最值.
当x=140时,y=175,即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500. 故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使矩形广告的面积最小.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)隔热层厚度为 x cm,
由题意知每年能源消耗费用为 C(x)= 3xk+5, 再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)= 3x4+05. 而建造费用为 C1(x)=6x.
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1.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为 20 cm，要使其体积最大，则其高为(
)
20 3 A. 3 cm C.20 cm
B.100 cm 20 D. 3 cm
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【解析】
设圆锥的高为 h cm，
1 则 V＝3π(400－h2)×h， 1 所以 V′(h)＝3π(400－3h2). 400 令 V′(h)＝0，得 h ＝ 3 ，
3.4
生活中的优化问题举例
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1.掌握应用导数解决实际问题的基本思路.(重点) 2.灵活利用导数解决实际生活中的优化问题，提高分析问题，解决问题的能 力.(难点)
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[基础· 初探]
教材整理 优化问题
阅读教材 P101 第一自然段，完成下列问题. 1.优化问题 (1)生活中经常会遇到求________ ________等问题，这些问题 利润最大、________ 用料最省、效率最高 通常称为优化问题. (2)用导数解决优化问题的实质是求函数的最值 ____________.
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【精彩点拨】 (1)利用题中等量关系列出 y 与 x 的函数关系式，将 x＝100 代入所求关系式判断 y>0 还是 y<0； (2)先求出(1)中函数关系式的导函数，再利用导数求最值.
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【自主解答】
(1)由题意，每年销售 Q 万件，成本共计为(32Q＋3)万元.销
【解析】 由图象可知，②④是正确的. 【答案】 B
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[小组合作型]
面积、体积最值问题
用长为 90 cm、宽为 48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四 个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 90° 角，再焊接而成 (如图 342).问 该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
图 342
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【精彩点拨】 设自变量高为x ―→ 根据长方体的体积公式建立体积关于x的函数 ―→ 利用导数求出容积的最大值 ―→ 结论
【自主解答】
设容器的高为 x cm，容器的容积为 V(x)cm3，则：
V(x)＝x(90－2x)(48－2x) ＝4x3－276x2＋4 320x(0＜x＜24). 所以 V′(x)＝12x2－552x＋4 320 ＝12(x2－46x＋360) ＝12(x－10)(x－36).
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实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利 用导数求解相应函数的最小值.根据 f′x＝0 求出极值点注意根据实际意义舍去 不合适的极值点后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是 所求函数的最小值.
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[再练一题] 2.甲、乙两地相距 400 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 100 千米/时，已知该汽车每小时的运输成本 P(元)关于速度 v(千米/时)的函数关 1 1 3 4 系是 P＝19 200v －160v ＋15v. (1)求全程运输成本 Q(元)关于速度 v 的函数关系式； (2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的 最小值.
利润最大(成本最低)问题
探究 关于利润问题常用的等量关系有哪些？
【提示】 关于利润问题常用的两个等量关系： ①利润＝收入－成本； ②利润＝每件产品的利润×销售件数.
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某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年 3x＋1 内，预计年销量 Q(万件)与广告费 x(万元)之间的函数关系为 Q＝ (x≥0)， x ＋1 已知生产此产品的年固定投入为 3 万元， 每生产 1 万件此产品需再投入 32 万元. 若每件产品售价为“年平均每件成本的 150%”与“年平均每件所占广告费的 50%”之和，则 (1)试将年利润 y(万元)表示为年广告费 x(万元)的函数.如果年广告费投入 100 万元，那么企业是亏损还是盈利？ (2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
[再练一题] 3.某工厂生产某种产品， 已知该产品的月生产量 x(吨)与每吨产品的价格 p(元 1 / 吨 ) 之间的关系式为 p ＝ 24 200 － x2 ，且生产 x 吨产品的成本为 R ＝ 50 000 ＋ 5 200x( 元). 问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多 少？(利润＝收入－成本)
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[再练一题] 1.已知矩形的两个顶点位于 x 轴上， 另两个顶点位于抛物线 y＝4－x2 在 x 轴 上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽.
【解】 设矩形边长 AD
＝2x(0<x<2)， 则|AB|＝y＝4－x2， 则矩形面积为 S＝2x(4－x2)＝8x－2x3(0<x<2)， ∴S′＝8－6x2，令 S′＝0， 2 3 2 3 解得 x1＝ 3 ，x2＝－ 3 (舍去).
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v2 (2)Q′＝16－5v， 令 Q′＝0，则 v＝0(舍去)或 v＝80， 当 0＜v＜80 时，Q′＜0； 当 80＜v≤100 时，Q′＞0， ∴v＝80 千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且 Qmin＝Q(80) 2 000 ＝ 3 (元).
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[探究共研型]
合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？
【精彩点拨】 用之和.
先求每平方米的购地费用，综合费用是建设费用与购地费
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【自主解答】
设建成 x 个球场，则 1≤x≤10，每平方米的购地费用为
128×104 1 280 1 000x ＝ x 元，因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用 f(x)＝
售收入是(32Q＋3)· 150%＋x· 50%， ∴年利润 y＝年收入－年成本－年广告费 1 ＝2(32Q＋3－x)
3x＋1 1 ＋3－x ＝232× x＋1
－x2＋98x＋35 ＝ (x≥0)， 2x＋1 －x2＋98x＋35 ∴所求的函数关系式为：y＝ (x≥0).因为当 x＝100 时，y<0， 2x＋1 所以当年广告费投入 100 万元时，企业亏损.
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－x2＋98x＋35 (2)由 y＝f(x)＝ (x≥0)，得 2x＋1 －x2－2x＋63 f′(x)＝ (x≥0). 2 2x＋1 令 f′(x)＝0，则 x2＋2x－63＝0. ∴x＝－9(舍去)或 x＝7. 又∵当 x∈(0,7)时，f′(x)>0； 当 x∈(7，＋∞)时，f′(x)<0， ∴f(x)极大值＝f(7)＝42. 又∵在(0，＋∞)上只有一个极值点， ∴f(x)max＝f(x)极大值＝f(7)＝42. 故当年广告费投入 7 万元时，企业年利润最大.
2
20 3 所以 h＝ 3 .故选 A.
【答案】 A
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2.某产品的销售收入 y1(万元)是产品 x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)；生产总 成本 y2(万元)也是 x 的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产( A.9 千台 B.8 千台 )
C.6 千台 D.3 千台 【解析】 利润函数 y＝y1－y2＝18x2－2x3(x>0)，求导得 y′＝36x－6x2，令 y′
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1.利润最大问题是生活中常见的一类问题， 一般根据“利润＝收入－成本” 或“利润＝每件产品利润×销售件数”建立函数关系式，再用导数求最大值. 2.解答此类问题时，要认真理解相应的概念，如：成本、利润、单价、销售 量、广告费等等，以免因概念不清而导致解题错误.
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1.求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题 意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值. 2.实际问题中函数定义域确定的方法 (1)根据图形确定定义域，如本例中长方体的长、宽、高都大于零； (2)根据问题的实际意义确定定义域，如人数必须为整数，销售单价大于成 本价、销售量大于零等.
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因为 f(x)在[0，＋∞)内只有一个点 x＝200 使 f′(x)＝0， 故它就是最大值点，且最大值为 1 f(200)＝－5×2003＋24 000×200－50 000 ＝3 150 000(元). 所以每月生产 200 吨产品时利润达到最大，最大利润为 315 万元.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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【解析】
设其中一段长为 x，则另一段长为 16－x，设两正方形的面积分
别为 S1，S2，面积之和为 S，则
2 x 2 16－x S＝S1＋S2＝4 ＋ 4
＝0，得 x＝6 或 x＝0(舍去). 因 0<x<6 时，y＝18x2－2x3 递增， x>6 时，y＝18x2－2x3 递减， ∴x＝6 时利润最大，故选 C. 【答案】 C
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3.把长度为 16 的线段分成两段，各围成一个正方形，则它们的面积和的最 小值为________.
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【解】
f(x)＝24
每月生产 x 吨时的利润为 1 2 200－5x x－(50 000＋200x)
1 3 ＝－5x ＋24 000x－50 000(x≥0). 3 2 由 f′(x)＝－5x ＋24 000＝0， 解得 x1＝200，x2＝－200(舍去).