北师大版-数学-七年级上册-【例题与讲解】一元一次方程的应用—水箱变高了

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北师大版七年级上册数学《应用一元一次方程―水箱变高了》一元一次方程PPT教学课件

课堂达标
等量关系：周长不变
墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物，小颖将梯形下底的
钉去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，那么，小颖所钉长方形的长和
宽各为多少厘米？
10
解：设长方形的长为xcm
10
10
6
10
6
则 2(10+x)=10×4+6×2
解得
x=16
答：长方形的长为16cm，宽为10cm。
小结
4米
4 米
（2）设新水箱的高度是x米，填写下表：
3.2米
旧水箱
新水箱
x 底面半径/米
2
1.6
米
高/米
4
x
体积/立方米 π×22×4 π×1.62×x
4米
4 米
3.2米
（3）规范的解题过程： x
米解：设新水箱的高度是x米
由题意，得 π×22×4= π×1.62×x 解方程，得 16π= 2.56πx
化而变化，当__长__=_宽____（即为_正__方_形__）时，面积最大。
2.练习变式小华的父亲养了一群鸡，把它们圈在用80米篱笆围成的长为30米、
宽为10米的鸡圈内．为了扩大养鸡规模，利用现有的篱笆把鸡圈面积扩大，你能帮他想想办法吗？
解：将80米的篱笆围成正方形时，面积最大这时，正方形的边长为80÷4=20米。
2.列方程解应用题的步骤：
（1）审清题意，找准“__等__量___关系”；（2）设_未__知__数___；（3）列__方__程____；（4）正确求__解_____；（5）判明方程解的__合__理__性__；
（6）答。
3.下列过程中，哪些量变了？哪些量没变？根据不变量找出等量关系。（1）用一块橡皮泥先捏出一个“瘦长”的圆柱，然后把它变矮，变成一

初一上数学课件(北师版)-应用一元一次方程——水箱变高了

【规范解答】设长方形的长为 x 米，依题意得：x＋2(x－5)＝35，解得 x＝ 15，∵15＞14，∴小王的设计不合实际．【题后反思】类似此类有关实际问题的应用题，在解出未知数的值后要注意其值是否符合问题的实际意义．
知识点一：等积变形
等体积变形：即物体的外形或形态发生变化，但变化前后的体积不变，
列方程解决形体问题．【例 1】锻造车间要铸造底面半径为 8cm，高为 12cm 的圆柱形零件毛坯 5 个，需要用横截面半径为 16cm 的圆柱形钢材多长？(生产过程中的损耗不计)
【思路分析】锻造过程中，虽然物体形状变了，但体积不变，就是利用这一点为相等关系建立方程求解．
【规范解答】设需要横截面半径为 16cm 的圆柱形钢材 xcm，根据题意，得 5π×82×12＝π×162×x，解得 x＝15.答：需要横截面半径为 16cm 的圆柱形钢材 15cm 长．
箱壁每平方米的造价是箱底每平方米造价的23，若整个水箱共花去 1860 元，
求水箱的高度．
解：设水箱的高度为 x 米，2(5x＋3x)×60×23＋5×3×60＝1860，∴x＝1.5，答：水箱的高度为 1.5 米．
7．用一根铁丝围成一个三条边都为 24cm 的三角形，如果将它改围成一个
正方形，这个正方形的边长是( B )
A．24cm
B．18cm
C．12cm
D．9cm
8．如图，小明从一个正方形的纸片上剪下一个宽为 6cm 的长条后，再从剩下的纸片上剪下一条宽为 8cm 的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，则原正方形的边长是( B )
A．20 C．48
B．24 D．144
9．长方形的长是宽的 3 倍，如果宽增加了 4m 而长减少了 5m，那么面积增加 15m2，设长方形原来的宽为 xm，所列方程是( B ) A．(x＋4)(3x－5)＋15＝3x2 B．(x＋4)(3x－5)－15＝3x2 C．(x－4)(3x＋5)－15＝3x2 D．(x－4)(3x＋5)＋15＝3x2

北师大版数学七年级上册课件：5.3 应用一元一次方程——水箱变高了 (共12张PPT)

5.3Βιβλιοθήκη 应用一元一次方程——水箱变高了
1、分析简单问题中的数量关系，建立方解决问题
2、通过具体问题的解决体会利用方程解问题的关键是寻找等量关系
将一个底面直径是10厘米,高为36厘米的 “瘦长”形水箱改造成底面直径为20厘米的 “矮胖”形水箱，那么在容积不变的前提下新水箱的高变成了多少？
等量关系：旧水箱的容积=新水箱的容积
x
x+1.4
解：设此时长方形的宽为x米，则它的长为(x+1.4)米根据题意，得 x+x+1.4=10÷2
2x=3.6 x=1.8 长方形的长为1.8+1.4=3.2 ∴长方形的长为3.2米，宽为1.8米
(2) 使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、少米？它所围成的长方形与（1）中所围成的长方形相比有什么变化？
(3) 使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时的边长是多少米？它所围成的面积与(2)中相比又有什么变
解：设此时正方形的边长为x米，根据题意，得
x+x=10÷2
同样长的铁
围成怎样的四
x
x=2.5
形面积最大呢
正方形的边长为2.5米，
S=2.5×2.5＝6.25 米2 比（1）中面积增大6.25－6.09＝0.16 米2
小明的爸爸想用10米铁线在墙边围成一个鸡棚，使长比宽大4米，问小明要帮他爸围成的鸡棚的长和宽各是多少呢？
x x+4
墙铁线
如图所示，小明将一个正方形纸片剪去一个宽为4厘米的长条后，在从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5厘米的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，
4 5厘米
谢谢！
谢谢！

初中数学北师大版七年级上册应用一元一次方程——水箱变高了课件

柱底面半径，读题时要看清题目中所给条件是直径还是
半径.
感悟新知
知识链接常见立体图形的体积公式： 1. V正方体=a(3a为棱长). 2. V长方体=abh(a、b为底面的长、宽，h为高). 3. V圆柱=πR2h(R为底面圆的半径，h 为高).
知1－讲

感悟新知
知1－练
例 1 用直径为4 cm 的圆柱形钢铸造3 个直径为2 cm，高为 16 cm 的圆柱形零件，需要截取多长的圆柱形钢？解题秘方：紧扣题意中铸造前后的体积相等这一等量关系，列出方程解决问题.
感悟新知
知1－练
例2 将装满水的底面直径为40 cm，高为60 cm 的圆柱形水桶里的水全部灌于另一个底面直径为50 cm 的圆柱形水桶里(水不会溢出)，这时水面的高度是多少厘米？解题秘方：紧扣容器改变但水的体积没有变这一等量关系.
感悟新知
解：设这时水面的高度为x cm.
根据题意可得，
感悟新知
知2－练
3-2. 用两根等长的铁丝分别围成一个正方形和一个圆. 已知正方形的边长比圆的半径长2(π－2)m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积较大.
感悟新知
解：设圆的半径为r m，则正方形的边长为m.
知2－练
根据题意，得2πr＝4.解得r＝4.
所以铁丝的长为2π×4＝8π(m)．
感悟新知
知2－练
3-1. 用一根铁丝可围成边长为9 cm 的正方形，若用这根铁丝围成长比宽多2 cm 的长方形，则长方形的面积是多少？
解：设长方形的宽为x cm，则它的长为(x＋2)cm. 依题意，得2x＋2(x＋2)＝9×4.解得x＝8. 则x＋2＝10，10×8＝80(cm2) 所以长方形的面积为80 cm2.

北师版初中七上数学5.3 应用一元一次方程-水箱变高了(课件)

例题欣赏 ☞
例题&解析
（2）若使长方形的长和宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？围成的面积与第二次围成的面积相比，又有什么变化？
x
例题&解析
解：（2）设正方形的边长为x米.
根据题意，得：(x +x) ×2 =10 解得：x=2.5
面积：2.5×2.5=6.25(米2)
同样长的铁丝围成怎样的四边形面积
x x+0.8
例题&解析
解：（1）设长方形的宽为x米，则它的长为（x+0.8）米.根据题意，得：
(x+0.8 +x)×2=10 解得：x=2.1 长：2.1+0.8=2.9 面积：2.9×2.1=6.09(米2)
此时长方形的长为2.9米，宽为2.1米，面积为6.09平方米.此时长方形的面积比第一次围成的面积增大6.09-5.76=0.33(平方米).
探索&交流
如下图，将一个底面直径是20厘米，高为9厘米的“矮胖”形圆柱锻压成底面直径是10厘米的“瘦长”形圆柱，高变成了多少？
10
20 9
锻压前的体积＝锻压后的体积．
10
20 9
探索&交流
探索&交流
设锻压后圆柱的高为x厘米，填写下表：（单位：厘米）
底面半径高
锻压前 10 9
锻压后 5 x
体积
探索&交流
列方程解应用题的一般步骤：设未知数、列方程、解方程、检验所得结果、确定答案；可简要地概括为“设、列、解、检、答”．
例题欣赏 ☞
例题&解析
例3.3月12日是植树节，七年级170名学生参加义务植树活动，如果平均一名男生一天能挖树坑3个，平均一名女生一天能种树7棵，要正好使每个树坑种一棵树，则该年级的男生、女生各有多少人？

数学七年级上北师大版 5.3应用一元一次方程——水箱变高了课件.

旧水箱底面半径 /m 高/m
新水箱
2
4
1.6
x
2.56x
体积/m3
16
例：用一根长为10米的铁丝围成一个长方形.
（1）使得该长方形的长比宽多1.4 米，此时长方形的长、宽各是多少米呢？面积是多少？
等量关系：（长+宽）× 2 = 周长.
解：（1）设长方形的宽为X 米，则它的长为(X+1.4) 米，由题意得 2 ( x+1.4 +x ) =10
第3节应用一元一次方程
——水箱变高了
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4米的圆柱形储水箱. 现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4米减少为3.2米.那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4米增高为多少？
等量关系：旧水箱的容积=新水箱的容积解：设水箱的高变为 x 米，填写下表：
解：设长方形的宽为 x 米，则它的长为（x+0.8）米. 由题意得 x 2(x +0.8 + x) =10 解,得 x=2.1 长为：2.1+0.8=2.9（米） x+0.8 面积为：2.9 ×2.1=6.09(平方米) 面积增加了：6.09-5.76=0.33（平方米）.
答：长方形的长为2.9米，宽为2.1米,面积是6.09平方米,比（1）中的长方形的面积增加了0.33平方米.
x x+1.4
解,得 x=1.8
长为：1.8+1.4=3.2（米）
面积为： 3.2 × 1.8=5.76（米2）.
答：长方形的长为3.2米，宽为1.8米,面积是5.76平方米.
（2）使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与（1）所围成的长方形相比，面积有什么变化？

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3 应用一元一次方程——水箱变高了
1．几何图形中常用的公式
(1)常用的体积公式
长方体的体积＝长×宽×高；
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；
圆柱的体积＝底面积×高＝πr 2h ；
圆锥的体积＝13×底面积×高＝13
πr 2h . (2)常用的面积、周长公式
长方形的面积＝长×宽；
长方形的周长＝2×(长＋宽)；
正方形的面积＝边长×边长；
正方形的周长＝边长×4；
三角形的面积＝12
×底×高；平行四边形的面积＝底×高；
梯形的面积＝12
×(上底＋下底)×高；圆的面积＝πr 2；
圆的周长＝2πr .
【例1】用7.8米长的铁丝做成一个长方形框架，使长比宽多1.2米，求这个长方形框架的宽是多少米？设长方形的宽是x 米，可列方程为( )．
A ．x ＋(x ＋1.2)＝7.8
B ．x ＋(x －1.2)＝7.8
C ．2＝7.8
D ．2＝7.8
解析：根据长方形的周长公式列方程即可．长方形的周长＝2×(长＋宽)，故可列方程为2＝7.8.
答案：C
2．形积变化问题中的等量关系
形积变化问题中，物体的形状和体积会发生变化，但问题中一定有相等关系．分以下几种情况：
(1)形状发生了变化，体积不变．其相等关系是：变化前物体的体积＝变化后物体的体
积．
(2)形状、面积发生了变化，周长不变．其相等关系是：变化前图形的周长＝变化后图形的周长．
(3)形状、体积不同．根据题意找出体积之间的关系，即为相等关系．
【例2】有一位工人师傅要锻造底面直径为40 cm的“矮胖”形圆柱，可他手上只有底面直径是10 cm，高为80 cm的“瘦长”形圆柱，试帮助这位师傅求出“矮胖”形圆柱的高．
分析：圆柱的形状由“瘦长”变成“矮胖”，底面直径和高度都发生了变化，在不计损耗的情况下不变量是它们的体积，抓住这一不变量，就得到等量关系——锻造前的体积＝锻造后的体积．
解：设锻造成“矮胖”形圆柱的高为x cm，
根据题意，得
π·52·80＝π·202·x.
解这个方程，得
x＝5.
答：“矮胖”形圆柱的高为5 cm.
3．等长变形问题
等长变形，是指用物体(一般用铁丝)围成不同的图形，图形的形状、面积发生了变化，但周长不变．
解答此类问题，可以利用周长不变设未知数，寻找相等关系列出方程．
面积问题中常常会用到特殊图形的周长和面积公式．如三角形、平行四边形、长方形、正方形、梯形、圆等；记住常见的几何图形的面积公式，抓住周长不变的特征是解决等长变形问题的关键．
【例3】如图所示是用铁丝围成的一个梯形，将其改成一个长和宽比为2∶1的长方形，那么该长方形的长和宽分别为多少？
分析：根据“梯形的周长＝长方形的周长”列方程求解．
解：设长方形的宽为x，则长为2x.
由题意，得2(x＋2x)＝5＋6＋9＋13，
解这个方程，得x＝5.5，所以2x＝11.
答：该长方形的长和宽分别为11,5.5.。