江苏省南通市如皋市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)
【详解】
（1）设 AC 中点为 G ， BC 的中点为 H ，连接 EG 、 FG 、 AH 、 DH ，
因为 AE BE ， AG GC ， CF DF ，
所以 EG//BC ， FG//AD ，
所以ÐEFG 就是直线 EF 与 AD 所成的角或补角，
FG 3
在三角形 EFG 中， EG 1，
字不能为 0，可得其取法数目，再选 3 个数字，排在中间，有 A43 种排法，由分步计数原理，
计算可得答案
【详解】根据题意，末位数字可以为 1、3、5，有 A31 种取法，首位数字不能为 0，有 A41 种取
法，再选
3 个数字，排在中间，有 A43 种排法，则五位奇数共有 A31 A41 A43 288 ，
)
A. 1,
B. 1, 0 0, C. 1, 0
D.
2,
【答案】C 【解析】 【分析】
先根据曲线 y ax2 2x 1 与 x 轴有两个交点得到 a 1 且 a 0 ，再根据充分不必要条件
的定义得解.
【详解】当
a=0
时，
x
1 2
，曲线
y
ax2
2x
1
与
x
轴有一个交点；
当 a≠0 时，
因为曲线 y ax2 2x 1 与 x 轴有两个交点，
故选：B 【点睛】本题主要考查空间直线位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
二､多项选择题 9.如城镇小汽车的普及率为 75%，即平均每 100 个家庭有 75 个家庭拥有小汽车，若从如城镇 中任意选出 5 个家庭，则下列结论成立的是( )
243 A. 这 5 个家庭均有小汽车的概率为 1024
B.
P x 2 x
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据随机变量 服从标准正态分布 N (0,1) ，得到正态曲线关于 0 对称，再结合正态分布
的密度曲线定义(x) P(„ x ， x 0) ，由此可解决问题．
【详解】
随机变量 服从标准正态分布 N (0,1) ， 正态曲线关于 0 对称，
所以 BAO 就是 AB 与平面 ACD 所成角.
cosBAO 9 8 3 14 7 2
由题得 BF 3, AF 2 2, AB 3 ，所以
2 3 2 2 12 2 12 .
所以 C 正确 D 错误.
故答案为：BC. 【点睛】本题主要考查空间异面直线所成的角的求法，考查直线和平面所成的角的求法，意 在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
于 M1 ， M 2 ，ET 与 GT 交于点 N，则下列关于点 L1 ， L2 ， M1 ， M 2 ，N 与两个椭圆: 1 :
x2 y2 1
3x2 y2 1
16 9 ， 2 : 32 9 的位置关系叙述正确的是( )
2 ，所以 A 错误 B 正确.
（2）过点 B 作 BO 垂直 AF ，垂足为 O .
因为 CD BF ， CD AF ， BF AF F, BF, AF 平面 ABF ，
所以 CD 平面 ABF ， BO 平面 ABF ，所以 CD BO ，
因为 BO AF ， AF CD F, AF,CD 平面 ACD ，所以 BO 平面 ACD ，
9 为 10 ，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为( )
2 A. 3
27 B. 50
9 C. 10
3 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】
设某地区每年七月份刮台风为事件 A,设某地区每年七月份下大雨为事件 B,则该地区七月份
P(B | A) 9
既刮台风又下大雨为事件 AB，由题得
10 ，化简即得解.
3 【详解】由题得小汽车的普及率为 4 ，
( 3)5 243 A. 这 5 个家庭均有小汽车的概率为 4 1024 ，所以该命题是真命题；
B.
这
5
个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为
C53
(
3 4
)3
(
1 4
)2
135 512 ,所以该命题是假
命题； C. 这 5 个家庭平均有 3.75 个家庭拥有小汽车，是真命题； D. 这 5 个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为
【详解】由题得
C330
C330 ,
C120C210 C110C220
所以 P(X 2) P(Y 2)
C330
.
故选：C.
【点睛】本题主要考查超几何分布概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5.某设备的使用年限 x(单位:年)与所支出的维修费用 y(单位:万元)如下表所示.已知 y 与 x
故选：B
【点睛】本题主要考查条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基
础题.
4.一个班级共有 30 名学生，其中有 10 名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某
项活动，假设选出的 3 名代表中的女生人数为变量 X，男生的人数为变量 Y，则
P X 2 P Y 2 等于( )
(2)若 a b ，则 a b ；
(3)若 a b ，则 a//b ； (4)若 a b ，则 a⊥b.
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
【答案】B
【解析】
【分析】
（1）直接判断得解；（2）举出一个反例 a / /b 即可判断错误；（3）举出一个反例，
a, b 相交即可判断错误；（4）举出反例，a,b 不垂直即可判断错误.
【答案】A 【解析】 【分析】
B. 18
81 C. 4
35 D. 2
|
先求出
PF2
|
9 4
，再利用双曲线的几何性质求出 PF1F2
的周长.
【详解】由题得 c 16 9 5 ，
因为
P
点的横坐标为
5,所以
PF2
F1F2
|
,所以
PF2
|
9 4
，
|
所以
PF1
|
9 4
+2
4=
41 4
，
9 41 45 所以 PF1F2 的周长为 4 + 4 +10= 2 .
27 B. 这 5 个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为 64
C. 这 5 个家庭平均有 3.75 个家庭拥有小汽车
81 D. 这 5 个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为 128
【答案】ACD 【解析】 【分析】 利用独立重复试验的概率和互斥事件的概率研究每一个选项判断得解.
【详解】(1)若 a / /b ，则 a / /b ，是正确的； rr
(2)若 a b ，则 a b 是错误的 ，因为 a、b 有可能平行或者相交；
(3)若 a b ，则 a//b 是错误的，因为 a,b 有可能相交、异面； (4)若 a b ，则 a⊥b 是错误的，因为 a,b 可能不垂直.
【详解】设某地区每年七月份刮台风为事件 A,设某地区每年七月份下大雨为事件 B,则该地
区七月份既刮台风又下大雨为事件 AB，
P( A) 3 , P(B | A) 9
由题得
5
10 ,
P(B
|
A)
9= 10
P( AB) P( A)
P( AB) 3
所以
5,
P( AB) 9 3 27
所以
10 5 50 .
2，
由于三棱锥 A BCD 是正三棱锥， BC DH ， BC AH ，
又因为 AH , HD 平面 ADH ， AH DH H ，所以 BC ⊥ 平面 ADH ，
Q AD 平面 ADH ，所以 BC AD ，所以 EG FG ，
tan EFG EG 1 2 FG 3 3
所以
具有线性相关关系，且线性回归方程为 yˆ ax 1 ，则实数 a 的值为( )
A. 6 【答案】D 【解析】
B. 4
C. 2
D. 1
【分析】 先求出样本中心点，代入回归直线方程即得解.
x 2 3 4 5 6 4, y 2 4 6 6 7 5
【详解】由题得
5
5
，
所以样本中心点为（4,5），
(x) P(„ x ， x 0) ，根据曲线的对称性可得： A.(x) ( x) 1 (x) ，所以该命题正确；
B. (2x)
(
2x), 2(x)
2 (
x)
，所以
2 x
2
x 错误；
C. P(| | x)=P(x x) 1 2(x) 1 2[1 (x)] 2(x) 1，所以该命题正确；
所以 5=4a+1,所以 a=1.
故选：D.
【点睛】本题主要考查回归直线方程的样本中心点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水
平.
6.在直角坐标系 xoy
中，双曲线
x2 C: 16
ห้องสมุดไป่ตู้
y2 9
1 的右支上有一点
P，该点的横坐标为
5， F1 、
F2 是 C 的左､右焦点，则 △PF1F2 的周长为( )
45 A. 2
D. P(| | x) P( x 或 x)=1(x) (x) 1(x) 1(x) 2 2(x) ，所以该
命题错误．
故选： AC ．
【点睛】本题主要考查正态分布的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11.在正三棱锥 A BCD 中，侧棱长为 3，底面边长为 2，E，F 分别为棱 AB，CD 的中点，则
江苏省南通市如皋市 2019-2020 学年高二数学上学期期末考试试题
（含解析）
一､单项选择题
2019-2020学年高二年级上学期期末考试数学试卷附解答
2019-2020学年高二年级上学期期末考试数学试卷一、填空题（每小题 3分，共36 分）1.关于,x y 的二元一次方程的增广矩阵为123015-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += 。
【答案】8-2.已知(5,1),(3,2)OA OB =-=，则AB 对应的坐标是 。
【答案】）（3,23.已知直线420ax y +-=与直线10x ay ++=重合,则a = 。
【答案】2-4.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是AB 中点，F 为BC 中点，则直线1A E 与1C F 的位置关系是 。
【答案】相交5.圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于 。
【答案】26.已知复数22iz i+=，则z 的虚部为 。
【答案】1- 7..经过动直线20kx y k -+=上的定点，方向向量为(1,1)的直线方程是 。
【答案】02=+-y x8.复数34i +平方根是 。
【答案】）（i +±29.过点(),0M 且和双曲线2222x y -=有相同的焦点的椭圆方程为 。
【答案】13622=+y x 10.已知双曲线22:1916x y C -=的左、右焦点分别为12,F F P ，为双曲线C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于 。
【答案】4811.平面上一机器人在行进中始终保持与点(1,0)F 的距离和到直线1x =-的距离相等。
若机器人接触不到过点(1,0)P -且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是 。
【答案】）（）（+∞∞,11-,-【解析】由抛物线定义可知，机器人的轨迹方程为x y 42=，过点)0,1(-P 且斜率为k 的直线方程为)1(+=x k y 代入x y 42=，可得0)42(2222=+-+k x k x k ， 机器人接触不到过点)0,1(-P 且斜率为k 的直线，04)42422<--=∆∴k k （，1-<∴k 或1>k . 12.已知圆M :22(1)1x y +-=，圆N :22(1)1x y ++=.直线1l 、2l 分别过圆心M 、N ，且1l 与圆M 相交于,A B 两点，2l 与圆N 相交于,C D 两点。
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)_3
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据分式不等式的解法和函数的定义域，求得集合或，，再利用集合的运算，即可求解．【详解】由题意，集合或，，则，所以，故选B．【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中利用分式不等式的解法和函数的定义域求得集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2.复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得复数，即可得到复数的模，得到答案．【详解】由题意，复数，解得，所以，故选D．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.已知平面内一条直线及平面，则“”是“”的（）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理和性质定理，以及充分条件和必要条件的判定方法，即可求解．【详解】由题意，根据直线与平面垂直的判定定理，可得由“”可证得“”，即充分性是成立的；反之由“”不一定得到“”，即必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故选B．【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记线面垂直的判定与性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．4.公比不为的等比数列中，若，则不可能为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的性质，得到，且，即可求解，得到答案．【详解】由，根据等比数列的性质，可得，且，所以可能值为或或，所以不可能的是6，故选B．【点睛】本题主要考查了等比数列的性质的应用，其中熟记等比数列的性质是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．5.已知一组样本数据点，用最小二乘法求得其线性回归方程为.若的平均数为，则（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设这组样本数据中心点为，代入线性回归方程中求得，再求的值.【详解】解：设样本数据点的样本中心点为，则，代入线性回归方程中，得，则.故选：B.【点睛】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题.6.在平面直角坐标系中，已知，动点满足，则动点的轨迹方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，然后表示出向量的坐标，代入已知条件，整理后得到动点的轨迹方程.【详解】设，，，因为所以整理得故选A项.【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，属于简单题.7.已知二元一次不等式组表示的平面区域为，命题：点在区域内；命题：点在区域内. 则下列命题中，真命题是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二元一次不等式组，判定出命题为假命题，为真命题，再根据复合命题真值表，即可得到判定，得到答案．【详解】由二元一次不等式组，可得点不适合不等式，所以点不在不等式组表示的平面区域内，所以命题为假命题，则为真命题，又由点适合不等式组每个不等式，所以点在不等式组表示的平面区域内，所命题为真命题，由复合命题真值表可得，命题为真命题，故选C．【点睛】本题主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域，以及复合命题的真假判定，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．．8.已知的垂心为，且是的中点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将转化为，然后得到，再将和，用来表示，得到答案.【详解】因为为的垂心，所以，而，所以因为是的中点，所以【点睛】本题考查向量的互相表示，向量的数量积，属于简单题.9.圆上有且仅有两点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】双曲线的一条渐近线为，圆，圆心，半径，根据题意，圆心到的距离的范围为，从而得到关系式，利用得到关系，从而得到离心率.【详解】双曲线的一条渐近线为，圆，圆心，半径因为圆上有且仅有两点到的距离为1，所以圆心到的距离的范围为即，而所以，即故选C项.【点睛】本题考查圆上的点到直线的距离，双曲线的渐近线，求双曲线的离心率，属于中档题.10.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒．遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒．借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的值为0，则开始输入的值为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先执行程序，依次求出每次的输出结果，当输出结果为0时，求出此时的值，因此输入框里的输入的值是此时的值，从中选出正确的答案.【详解】模拟程序的运行，可得当时，，满足条件，执行循环体；当时，，满足条件，执行循环体；当时，，不满足条件，退出循环体，输出，所以，.所以本题答案为B.【点睛】本题考查了通过输出结果写出输入框中输入的值，正确按程序框图写出每次循环后的结果，是解题的关键.11.在三棱锥中，平面，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出的外接圆的半径，然后取的外接圆的圆心，过作，且，由于平面，故点为三棱锥的外接球的球心，为外接球半径，求解即可.【详解】在中，，，可得，则的外接圆的半径，取的外接圆的圆心，过作，且，因为平面，所以点为三棱锥的外接球的球心，则，即外接球半径，则三棱锥外接球的表面积为.故选C.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球表面积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.12.已知实数，满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，，得，变形为，令，，求导求最值得,结合取等条件求出x,y即可【详解】设，，则，令，(m)=m<1,(m)>0,m>1,(m)<0,则在单调递增单调递减，令，则单调递减，单调递增由题意，，，，,故x+y=2故选A【点睛】本题考查导数与函数的综合，导数与函数的最值问题，换元思想，将题目转化为两个函数的最值问题是关键，是难题二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.展开式中的常数项为_________.【答案】【解析】【分析】写出二项式的通项，直接由x的指数为0求得r的值，再代入通项求得答案.【详解】由得到：故，得到因此：展开式中的常数项为故答案为：【点睛】本题考查了二项式展开式的系数，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.14.已知的半衰期为年（是指经过年后,的残余量占原始量的一半）.设的原始量为,经过年后的残余量为,残余量与原始量的关系如下:,其中表示经过的时间,为一个常数.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时的残余量约占原始量的.请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今________年.（已知）【答案】2292【解析】由题意可知，当时，，解得.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时的残余量约占原始量的.所以，得,.15.已知为抛物线上的两个动点，且，抛物线的焦点为，则面积的最小值为_________.【答案】12【解析】【分析】由于，设，由，得到t,m 关系，利用均值不等式求得最大值，继而得解.【详解】设，且或（舍去）由于异号，不妨设则当且仅当：，即时等号成立.因此面积的最小值为16，此时因此直线OA倾斜角为，斜率为1.故点A就是直线y=x与抛物线的除原点外的另一个交点：故A（4，4），B（4，-4）因此故答案为：12【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线和抛物线的位置关系，考查了学生综合分析，转化划归，求解运算的能力，属于较难题.16.中，角所对应的边分别为，若边上的高等于，当最大时，_________.【答案】【解析】【分析】利用边上的高等于及面积公式得到：，又由余弦定理得到，即得解最大值，利用求解b,c比例关系，即得解.【详解】在中，边上的高等于，因此:由余弦定理：故的最大值为，当时成立.由于令故又故答案为：【点睛】本题考查了解三角形综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知等比数列的首项，前项和为，设，且数列为等比数列.（1）求，的通项公式；（2）若数列的前项和为，求的值.【答案】（1）（2）0【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，由数列为等比数列，成等比数列，求解，得到，的首项和公比，即得解.（2）,乘公比错位相减法求和，代入计算即得解.【详解】（1）不妨设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式和求和公式得到：且：由于数列为等比数列，故：（2）。
2019-2020学年江苏省南通市高二(上)期末数学试卷+详解
2019-2020学年江苏省南通市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合{1A =，2}，{B a =，3}a -，若{1}A B = ，则实数(a =)A ．1-B ．1C ．4D ．1或42．（5分）已知复数z 满足(12)5z i +=，则复数(z =)A ．12i--B ．12i-+C ．12i-D ．12i+3．（5分）已知3log 4a =，1331log ,45b c -==，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b>>4．（5分）如图，点A ，B ，C ，P 均在正方形网格的格点上．若(,)AP AB AC R λμλμ=+∈，则2(λμ+=)A ．1B ．32C ．43D ．25．（5分）函数()cos f x x x =的图象大致为()A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知两圆的方程分别是22(3)(2)1x y -++=与22(7)(1)36x y -+-=，则这两圆的位置关系是()A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切7．（5分）八音是中国古代对乐器的统称，包含“金、石、土、革、丝、木、匏(páo )、竹”八类，每类又包括若干种乐器．现有“土、丝、竹“三类乐器，其中“土”包括“缶(fǒu )、埙(x ūn )“2种乐器：“丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4种乐器：“竹”，包括“箫、笛、笋“3种乐器．现从这三类乐器中各选1种乐器分配给甲、乙、丙三位同学演奏，则不同的分配方案有()A ．24种B ．72种C ．144种D ．288种8．（5分）已知22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，右焦点为F ，直线11A B 与直线2B F 相交于点T ．若2A T 垂直于x 轴，则椭圆的离心率(e =)A ．13B C ．12D 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省如皋市2019_2020学年高二数学上学期教学质量调研试题(一)(含解析)
精品文档，欢迎下载！江苏省如皋市2019-2020学年高二数学上学期教学质量调研试题（一）（含解析）一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1.抛物线22x y =-的准线方程为（ ） A. 18x =B. 18y =C. 12x =D. 12y =【答案】D 【解析】 【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y 轴上以及2p ，再直接求出其准线方程． 【详解】解：因为抛物线的标准方程为：22x y =-，焦点在y 轴上；所以：22p =，即1p =， 所以：122p =， 所以准线方程12y =． 故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．2.若双曲线E ：22149x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线上的一点，且12,PF =则2PF =（ ） A. 8 B. 6C. 4D. 2【答案】B 【解析】 【分析】求得双曲线的2a =，由双曲线的定义可得1224PF PF a -==，代入已知条件解方程即可得到所求值．【详解】解：双曲线E ：22149x y -=可得2a =，由双曲线的定义可得1224PF PF a -==， 由12=PF ，可得2|2|||4PF -=， 解得26PF =（−2舍去）． 故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的定义和方程，考查定义法的运用，以及运算能力，属于基础题．3.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)4x y b b-=>经过点，则该双曲线的渐近线方程是（ ）A. y =B. 2y x =±C. 12y x =±D. y x =±【答案】D 【解析】 【分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b ，则双曲线的渐近线方程可求．【详解】解：∵双曲线22214x y b -=经过点，∴224614b-=，解得b =又2a =，∴该双曲线的渐近线方程是y x =． 故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．4.已知椭圆22:1(0)y C x n n +=>的离心率为2，则n 的值为（ ）A.14或4 B.14C.12或2 D.12【答案】A 【解析】 【分析】通过椭圆的离心率列出方程，求解即可．【详解】解：椭圆22:1(0)y C x n n +=>可得：椭圆的焦点坐标在x =， 解得14n =；椭圆的焦点坐标在y =， 解得4n =． 故选：A ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，要注意焦点位置的讨论，是基本知识的考查．5.若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的（ ）A. 离心率相等B. 虚半轴长相等C. 实半轴长相等D. 焦距相等【答案】D 【解析】【详解】09k <<Q ，则90k ->，250k ->，双曲线221259x y k-=-实半轴长为5，焦距为=双曲线221259x y k -=-，虚半轴长为3，焦距为=，因此，两双曲线的焦距相等， 故选：D.6.已知椭圆2212:1x C y m +=(1m >)与双曲线2222:1x C y n-=(0n >)的焦点重合，若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，曲线1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的值为（ ）A. 1B.35C.53【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得22111,3m n n m -=+=，解方程可得,m n ，再由离心率公式，化简计算可得所求值．【详解】解：椭圆2212:1x C y m +=(1m >)与双曲线2222:1x C y n-=(0n >)的焦点重合，可得2211m n -=+，即222n m =-，①若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，可得13n m =，② 由①②可得31,22m n ==，则1253e m n e ⋅====．故选：C ．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查离心率的计算，以及方程思想和化简运算能力，属于基础题．7.已知抛物线22(0)y px p =>上一点M 到抛物线焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( )A. B. ±1C. 34±D. ±【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可求出M 的横坐标，代入抛物线方程解出M 的纵坐标，代入斜率公式计算斜率.【详解】抛物线22(0)y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，Q 点M 到焦点F 的距离等于M 到准线2px =-的距离， 所以22M px p +=， 32M x p ∴=代入抛物线方程解得M y =，2MMFM y k p x ∴==-A. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，斜率公式的应用，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决..8.已知直线1y kx =+与焦点在x 轴上的椭圆2221(0)4x yb b+=>总有公共点，则b 的取值范围是（ ） A. (1,2) B. ()1,+∞C. [)1,+∞D. [)1,2【答案】D 【解析】 【分析】由题意直线1y kx =+恒过定点(0,1)M ，要使直线1()y kx k R =+∈与焦点在x 轴上的椭圆2221(0)4x yb b+=>总有公共点，则只需要点(0,1)M 在椭圆上或椭圆内，代入可求． 【详解】解：由题意直线1y kx =+恒过定点(0,1)M要使直线1()y kx k R =+∈与焦点在x 轴上的椭圆2221(0)4x y b b+=>总有公共点， 则只需要点(0,1)M 在椭圆上或椭圆内， 则211b≤且24b < ∴12b ≤<． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了直线与椭圆位置关系的判断，常见的判断方法是联立直线方程与曲线方程，但此类方法一般计算量比较大，而本题的这种解决灵活的应用了直线恒过定点的性质，但解题时容易漏掉焦点在x 轴上的条件的考虑，误认为只有211b≤． 9.已知双曲线22:2C x y -=，过右焦点的直线交双曲线于,A B 两点，若,A B 中点的横坐标为4，则弦AB 长为（ ）A. B.C. 6D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出直线(2)y k x =-，与22:2C x y -=联立，根据韦达定理，可求出k 的值，再根据弦长公式||AB =AB 的长．【详解】解：双曲线22:122x y C -=，则24c =，所以右焦点(2,0)F ，根据题意易得过F 的直线斜率存在，设为(2)y k x =-，(,),(,)A A B B A x y B x y联立22(2)2y k x x y =-⎧⎨-=⎩， 化简得()222214420kxk x k -+--=，所以2222442,11A B A B k k x x x x k k ---+==--， 因为,A B 中点横坐标为4，所以22481A B k x x k -+==-， 解得22k =，所以2242101A B k x x k--==-， 则()()2228410244A B A B A B x x x x x x -=+-=-⨯=，则||AB ===故选：D ．【点睛】本题考查直线和双曲线相交，产生的弦的长度问题，属于基础题．10.在平面直角坐标系xOy 中，已知F 是抛物线24x y =的焦点，过点F 作两条相互垂直的直线12,l l ，12,l l 分别与抛物线交于点,A B 和,C D ，记AB 的中点为M ，CD 的中点为N ，则OM ON ⋅u u u u r u u u r的最小值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】设出12,l l 的方程，分别与抛物线24x y =联立，利用韦达定理和中点坐标公式求出M ，N 的坐标，进而可以求出OM ON ⋅u u u u r u u u r，利用基本不等式求其最小值． 【详解】解：由F 是抛物线24x y =的焦点，得(0,1)F ， 设1:1l y kx =+， 1122(,),(,)A x y B x y联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx --=， 12441kx x k -∴+=-=, ()221211112y y kx kx k x x ∴+=+++=++242k =+()22,21M k k ∴+设21:1y x l k=-+， 3344(,),(,)C x y D x y 联立2114y x kx y ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消去y 得2440x x k -=+， 344x k x ∴+=-,334434112x x x x y y k k k +∴+=-+-+=-+242k =+222,1N k k ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭()()22222222,21,14211OM ON k k k k k k ⎛⎫⎛⎫∴⋅=+⋅-+=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r222121k k =++≥+5=． 故选：C ．【点睛】本题考查直线和抛物型的位置关系，利用韦达定理解决中点坐标问题，中档题，注意计算的准确性．11.设P ，Q 分别是圆()2262x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A.C.D. 7【答案】C 【解析】 【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P ，Q 两点间的最大距离. 【详解】圆()2262x y +-=的圆心为M (0,6)，设()00,Q x y ，则2200110x y +=， 即[]01,1y ∈-，MQ ==[]0 ,?1,1y ∈-∴当0y =- 23时，MQ =最大PQ 的最大值为故选C.【点睛】本题考查了椭圆与圆的综合，圆外任意一点到圆的最大距离是这个点到圆心的距离与圆的半径之和，根据圆外点在椭圆上，即可列出椭圆上一点到圆心的距离的解析式，结合函数最值，即可求得椭圆上一点到圆上一点的最大值.12.过点()1,0M 的直线l 与椭圆2212x y +=交于A B 、两点，若2AM MB =则直线l 的斜率为（ ）A.2B.7C. 2±D. 7±【答案】C 【解析】 【分析】设直线l 的方程为：()()11221,,,,my x A x y B x y =-，与椭圆方程联立．由2AM MB =，可得122y y =-，将其与韦达定理联立，即可解出直线l 的斜率． 【详解】解：设直线l 的方程为：()()11221,,,,my x A x y B x y =-．联立22122my x x y =-⎧⎨+=⎩，化为：()222210m y my ++-=，>0∆， 12122221,22m y y y y m m ∴+=-=-++． 2AM MB =Q ，即2AM MB =u u u u r u u u r()12020y y ∴-=-，即122y y =-．联立1221221222122m y y m y y m y y -⎧+=⎪+⎪⎪=-⎨+⎪=-⎪⎪⎩，解得227m =．m ∴= ∴直线l的向斜率1k m == 故选：C ．【点睛】本题考查了直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，其中将长度关系转化为向量关系，进而得到坐标关系是关键，属于难题． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若椭圆22:143x y C +=的左右焦点分别为12,F F ，点P 是椭圆上的一点，123F PF π∠=，则12F PF ∆的面积为_________.【解析】 【分析】依题意，在12F PF ∆中，123F PF π∠=，12||||24PF PF a +==，122F F =，利用余弦定理可求得12||||F P P F ⋅的值，从而可求得12F PF ∆面积．【详解】解：∵椭圆22:143x y C +=，2,1a b c ∴===．又∵P 为椭圆上一点，123F PF π∠=，12,F F 为左右焦点，∴12||||24PF PF a +==，122F F =，()221212121222cos3F F PF PF PF PF PF PF π∴=+-⋅-⋅12163PF PF =-⋅4=，124P P F F ∴⋅=，121211sin 4232PF F S PF PF π∆∴=⋅=⨯=．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查余弦定理的应用与三角形的面积公式，属于中档题．14.在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线222210,0)x y a b a b-=>>（的右焦点作垂直于x 轴的直线l ，l 与双曲线的渐近线交于A B 、两点，且三角形ABO 为等腰直角三角形，若双曲线的，则双曲线的标准方程为_________.【答案】22144x y -=【解析】 【分析】设双曲线的右焦点，渐近线方程，由三角形ABO 为等腰直角三角形，可得90AOB ︒∠=，可得a b =，则可得渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得a ，进而可得到所求双曲线的方程．【详解】解：设双曲线22221x y a b-=的右焦点为(c,0)，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，由三角形ABO 为等腰直角三角形，可得90AOB ︒∠=，则221b a-=-，即a b =，则双曲线的渐近线方程为y x =±， 设双曲线的方程为222x y a -=，=2a =， 所以双曲线的方程为22144x y -=．故答案为：22144x y-=．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程和点到直线的距离公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．15.如图，已知OAP∆和ABQ∆均为等边三角形，它们的边长分别,m n，抛物线()220y px p=>恰好经过点,P Q，则mn=_________.【答案】12【解析】【分析】根据已知写出,P Q坐标，代入抛物线方程，即可求出结果．【详解】解：由已知(,0),(,0)A m B m n+，得33(,),(,)2222m m n n P Q m-+，因为抛物线()220y px p=>恰好经过点,P Q，223222322m m p n n p m⎧⎛⎫⎪-=⋅ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭∴⎨⎪⎛⎫=⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭⎩，两式相除可得222m m n m n=+，设(0)m t t n=>，则221t t t=+，解得：12t=，即m n=12．故答案：12． 【点睛】本题考查抛物线的方程，考查学生方程的思想以及计算能力，其中的整体运算和换元法可以将复杂计算简单化，难度不大．16.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x C y +=，直线l 与椭圆交于,A B 两点，当O到直线AB 的距离为1时，则OAB ∆面积的最大值为_________. 【答案】1 【解析】 【分析】首先由点到直线的距离公式求出变量的关系，然后将直线方程和椭圆方程联立，化为关于x 的一元二次方程，由弦长公式求得AB 长度，利用二次函数求AB 长度最值，最后写出OAB ∆的面积．【详解】解：当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为：1x =±， 不妨取1x =来计算，将1x =代入椭圆方程得：2y =±，AB \=；当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为：y kx m =+，1122(,),(,)A x y B x y 当O 到直线AB1=，整理得221m k =+，联立2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩，消去y 得()222148440k x kmx m +++-=，21212228441414kmm x x x x k k-∴+=-=++， ()()()22222212122281616||1411414km m AB kx x x x k k k ⎡⎤⎡⎤-⎛⎫=++-+- ⎪++=⎢⎥⎣⎦⎢⎝⎭⎥⎣⎦()()()()()()22222222222264161614641616111414k m m k k mk k k k --++-+=+++=⋅⋅()()()()()222222222641616*********k k k k k k k +-+=+=+++⋅设2,)4(11t k t =>+，则214k t -=， ()222224813(1)963||311344(1)4t t t AB t t t t tt ⋅+-===-+--⎛⎫⋅ ⎪⋅+⎝+=--+⎭， 当31t=，即3t =时，2AB 取最大值4， 综上，AB 的最大值为2，OAB ∴∆面积的最大值为11212⨯⨯=． 故答案为：1．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理求出弦长的最值，对学生计算能力要求较高，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共82分）17.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线D的渐近线方程为y =，且经过点(2,3)，直线:2l y x =-交双曲线于,A B 两点，连结,OA OB . （1）求双曲线方程； （2）求OA OB ⋅u u u r u u u r的值.【答案】（1）2213y x -=（2）1OA OB ⋅=u u u r u u u r【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐进线方程设出双曲线方程，代入已知点，求出方程； （2）方程联立韦达定理设而不求，求向量的数量积即可． 【详解】解：（1）由双曲线D的渐近线方程为y =，设双曲线的方程为：223y x k -=，将点(2,3)代入双曲线方程得1k =，所以双曲线的方程为：2213y x -=（2）联立22213y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得22470x x +-=设()()1122,,,A x y B x y ， 则121272,2x x x x +=-=-， ()()()121212127922244422y y x x x x x x =--=-++=-++=∴121279122OA OB x x y y ⋅=+=-+=u u u r u u u r ．【点睛】本题考查渐近线方程与双曲线方程的关系，以及方程的联立设而不求的方法的应用，注意，以(0,0)m y x m n n =±>>为渐进线的双曲线系方程可设为2222y x m nλ-=，λ为参数且不为0．18.已知抛物线2:4C y x =，直线:l y x m =+与抛物线交于,A B 两点，(1,6)P -是抛物线准线上的点，连结,PA PB . （1）若1m =-，求AB 长；（2）若PAB ∆是以,PA PB 为腰的等腰三角形，求m 的值. 【答案】（1）8AB =（2）1m =- 【解析】 【分析】（1）将直线方程和抛物线方程联立，求出12x x +，利用弦长公式12AB x x p =++即可求出结果；（2）将直线方程和抛物线方程联立，求出AB 的中点为M 的坐标，利用PM AB ⊥，斜率乘积为-1，列方程求解即可．【详解】解（1）设()()1122,,,A x y B x y 联立214y x y x=-⎧⎨=⎩，得2610x x -+= 则126x x +=， 则1262822p pAB AF BF x x =+=+++=+=. （2）设()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点为M 联立24y x m y x=+⎧⎨=⎩，得2440y y m -+= 则124y y +=，则1222M y y y +== 则(2,2)M m -.又PAB ∆是以,PA PB 为腰的等腰三角形 ∴PM AB ⊥ ∴1PM AB k k ⋅=- ∴4113m⨯=--+∴1m =-.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，灵活运用韦达定理，将形成等腰三角转化为斜率乘积为-1，是中档题．19.已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 且不与x 轴垂直的动直线l 与椭圆交于,M N 两点，点P 是椭圆C 右准线上一点，连结,PM PN ，当点P 为右准线与x 轴交点时，有2122PF F F =. （1）求椭圆C 的离心率；（2）当点P 的坐标为(2,1)时，求直线PM 与直线PN 的斜率之和.【答案】（1）2e =（2）2 【解析】【分析】（1）由2122PF F F =，建立关于,a c 的关系式，变形即可求出离心率；（2）先根据点P 的坐标求出椭圆方程，设出直线l 与椭圆联立，利用韦达定理和斜率公式，计算PM PN k k +，整理可得结果．【详解】解（1）由已知当P 为右准线与x 轴交点时，有2122PF F F =∴222a c c c ⎛⎫-=⎪⎝⎭∴222c a =∴212e = 又(0,1)e ∈，∴2e =. （2）∵(2,1)P ，∴22ac=又222a c =，∴2221a c ⎧=⎨=⎩，∴21b =∴椭圆22:12x C y +=.设直线l ：(1)y k x =-，()()1122,,,M x y N x y联立22(1)22y k x x y =-⎧⎨+=⎩，得()2222124220k x k x k +-+-= 则22121222422,1212k k x x x x k k -+==++， ∴()()121212121111112222PM PN k x k x y y k k x x x x ------++=+----=()()1212212122k x k k x k x x --+--+=+--121211112(1)2222k k k k k k x x x x ⎛⎫--=+++=+-+ ⎪----⎝⎭()()121242(1)22x x k k x x ⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪--⎝⎭()12121242(1)24x x k k x x x x ⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪-++⎝⎭将22121222422,1212k k x x x x k k-+==++代入得 ()12121242(1)2(1)(2)224PM PN x x k k k k k k x x x x ⎛⎫+-+=+-=+-⨯-= ⎪ ⎪-++⎝⎭.∴直线PM 与直线PN 的斜率之和为2.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理和斜率公式对式子进行变形计算，对学生计算能力要求较高，难度比较大．20.如图，马路l 南边有一小池塘，池塘岸MN 长40米，池塘的最远端O 到l 的距离为400米，且池塘的边界为抛物线型，现要在池塘的周边建一个等腰梯形的环池塘小路,,AB BC CD ，且,,AB BC CD 均与小池塘岸线相切，记BAD θ∠=.（1）求小路的总长，用θ表示；（2）若在小路与小池塘之间（图中阴影区域）铺上草坪，求所需铺草坪面积最小时，tan θ的值.【答案】（1）tan 800(0tan 40)2sin AB BC CD θθθ++=+<<（2）当tan 202θ=时，所需铺草坪面积最小 【解析】 【分析】（1）建立合适的平面直角坐标系，求出小池塘的边界抛物线方程，然后设出直线AB 的方程，和抛物线联立，可求出切点坐标， 同时可求出,B C 的坐标，表示出AB BC CD ++，变形即可得结果；（2）要所需铺草坪面积最小，需要梯形面积最小，利用（1）的结果表示出梯形面积，利用基本不等式求出最值．【详解】解：（1）以O 为原点，BC 所在直线为x 轴，过点O 作垂直于x 轴的直线为y 轴，建立直角坐标系，所以(20,400),(20,400)M N -，因为小池塘的边界为抛物线型，设边界所在的抛物线方程为22(0)x py p =>， 因为(20,400)M -是曲线上一点，所以12p =，即抛物线方程为2y x =. 设AB 所在的直线方程：(tan )y kx t k θ=+=，联立2y kx t y x=+⎧⎨=⎩，即20x kx t --=， 因为AB 与抛物线相切， 所以240k t ∆=+=①. 记直线AB 与抛物线切于点Q ， 所以Q 点的横坐标为(0,20)2k∈，即(0,40)k ∈. 易得点,0t B k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点400,400t A k -⎛⎫ ⎪⎝⎭，由对称性可知,0t C k ⎛⎫⎪⎝⎭，点400,400t D k -⎛⎫-⎪⎝⎭. 所以小路总长为2240022400t AB BC CD k k ⎛⎫++=-++ ⎪⎝⎭由①及tan θk =可知tan 800(0tan 40t 2an in )2s AB BC CD θθθθ++=+=+<<； （2）记草坪面积为S ，梯形面积为1S ，小池塘面积为2S ，所以12S S S =-，因为小池塘面积2S 为定值，要使得草坪面积最小，则梯形面积最小111400()400240022t t S BC AD k k -⎛⎫=+⋅=⋅-+⋅ ⎪⎝⎭，由①知1800200S k k ⎛⎫=+≥⎪⎝⎭(0,40)k =”取得“＝”所以当tan θ=【点睛】本题考查抛物线的应用，建立适当坐标系，将长度，面积问题的计算都转化为坐标运算，是中档题．21.已知椭圆222:1(3x y C a a +=>的焦距为2，,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，,M N 为椭圆C 上的两点（异于,A B ），连结,,AM BN MN ，且BN 斜率是AM 斜率的3倍. （1）求椭圆C 的方程； （2）证明：直线MN 恒过定点.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）根据题目条件列出关于,,a b c 的方程，解出即可；（2）设出直线,AM AN ，和椭圆联立，利用韦达定理，求出,M N 的坐标，利用点斜式写出直线MN 的方程，观察直线，得出直线恒过定点．【详解】解：（1）因为22223c a c =⎧⎨=+⎩所以21a c =⎧⎨=⎩，即椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）设()()1122,,,M x y N x y ，直线:(2)AM y k x =+，22(2)34120y k x x y =+⎧⎨+-=⎩，即()2222341616120k x k x k +++-=， 所以221122161216,3434A A k k x x x x k k--⋅=+=++， 所以2126834k x k-=+，代入直线:(2)AM y k x =+，得21234k y k =+， 所以点2226812,3434k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 设直线:3(2)BN y k x =-，223(2)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，即()2222112484840k x k x k +-+-= 所以22222248448112112B B k k x x x x k k-⋅=+=++， 所以222242112k x k -=+，代入直线:3(2)BN y k x =-，得212112k y k -=+ 所以点22224212,112112k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 当MN 斜率不存在时，22226824234112k k k k--=++， 解得214k =，此时121x x ==，直线MN 过点(1,0)； 当MN 斜率存在时， 所以22222221212434112682421434112MN k k k k k k k k k k k +++==----++， 直线22222468124:(1)14343414k k k k MN y x x k k k k⎛⎫-=-+=- ⎪-++-⎝⎭， 所以直线恒过定点(1,0)．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理和点斜式方程，求出直线过定点，对学生计算能力要求较高，难度比较大．22.已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b +=>>经过点，(0,1)F 是C 的一个焦点，过F 点的动直线l 交椭圆于,A B 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在定点M （异于点F ），对任意的动直线l （斜率存在）都有0MA MB k k +=，若存在求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212y x +=（2）存在这样的定点M ，坐标为()0,2，详见解析 【解析】【分析】（1）根据题目条件列出关于,,a b c 的方程，解出即可；（2）设出点,,M A B ，联立直线l 和椭圆C ，将0MA MB k k +=用韦达定理和斜率公式变形整理，利用恒成立的意义，即可求出点M 的坐标． 【详解】解（1）由题意得2222211121c a b a b c =⎧⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩， 所以1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即椭圆C 的方程为：2212y x +=. （2）假设存在这样的点M ，设点()00,M x y ，点()()1122,,,A x y B x y ，设直线:1l y kx =+，联立221220y kx y x =+⎧⎨+-=⎩，消去y 得()222210k x kx ++-=， 所以12122221,22k x x x x k k --+=⋅=++.因为010201020MA MB y y y y k k x x x x --+=+=--， ()()()()010022010y y x x y y x x ∴--+--=，()000120121212()20y x y x x x y y y x y x ∴-+-+++=，()()()()00120111221022011y x y x x x k x x kx x kx x ⎡⎤∴-+-++++++⎦=⎣， ()()00000121222120y x x y x k x x kx x ∴--+-++=，()000002221222022k y x k k y x x k k +-∴-+-=++ 整理得：()2000000224440x y k y k x y x +-+-=.因为任意的直线l （斜率存在）都成立，所以00000020240440x y y x y x =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得0002x y =⎧⎨=⎩， 所以存在这样的定点M ，坐标为()0,2.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理和斜率公式对条件等式变形，对学生计算能力要求较高，难度比较大．。
2019-2020年高二上学期期末考试 数学文 含答案
2019-2020年高二上学期期末考试 数学文 含答案本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.） 1．若a 、b 为正实数，则a b >是22a b >的 A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件2．抛物线2x y =的焦点坐标是 A ．)0,41(-B. )41,0(-C. )41,0(D ． )0,41(3．在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则该数列前11项和11S =A. 58B. 88C. 143D. 1764. 已知下列四个命题：①“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题；②“正方形是菱形”的否命题；③“若ac 2＞bc 2，则a ＞b”的逆命题；④若“m ＞2，则不等式x 2﹣2x+m ＞0的解集为R”．其中真命题的个数为 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5．曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为A ．120°B ．30°C ．60°D ．45°6. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,525280S a a S +==，则 A ．11-B ．8-C ．5D ．117. 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆1322=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是A.32B.6C. 34D. 128．在△ABC 中，角A ，B 所对的边长为a ，b ，则“a=b”是“acosA=bcosB”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件9. 设函数f （x ）在定义域内可导，y=f （x则导函数y=f '（x ）可能为A BC D10设变量x ，y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩.则目标函数z=2x+3y 的最小值为A ． 6B. 7C. 8D. 2311．如图，某船在海上航行中遇险发出呼救信号，我海上救生艇在A 处获悉后，立即测出该船在方位角45°方向，相距10海里的C 处，还 测得该船正沿方位角105°的方向以每小时9海里的 速度行驶，救生艇立即以每小时21海里的速度前往 营救，则救生艇与呼救船在B 处相遇所需的时间为A.15小时 B.13小时 C. 25小时D. 23小时12. 已知双曲线(>0)mx y m -=221的右顶点为A ，若该双曲线右支上存在两点,B C 使得ABC ∆为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A．B ．(1,2)C． D ．(1,3)第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题: （本大题4小题，每小题5分，共20分）13．已知32()32f x ax x =++且(1)4f '-=，则实数a 的值等于_________ 14．在ABC ∆中，角A,B,C 成等差数列且3=b ，则ABC ∆的外接圆面积为______15. 下列函数中，最小值为2的是①y =② 21x y x +=③(),(02)y x x x =-<④2y =16．已知F 是抛物线C ：x y 42=的焦点，A 、B 是C 上的两个点，线段AB 的中点为M(2,2)，则△ABF 的面积等于 ____．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本题满分10分).在ABC ∆中，A B C 、、是三角形的三内角，a b c 、、是三内角对应的三边，已知222b c a bc +-=．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若222sin sin sin A B C +=，求角B 的大小．18.(本题满分12分).已知双曲线与椭圆1244922=+y x 有共同的焦点，且以x y 34±=为渐近线. （1）求双曲线方程．（2）求双曲线的实轴长.虚轴长.焦点坐标及离心率.19.(本题满分12分).已知等差数列{}n a 满足818163a a 34a a 31a a >-=-=+且,（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）把数列{}n a 的第1项、第4项、第7项、……、第3n －2项、……分别作为数列{}n b 的第1项、第2项、第3项、……、第n 项、……，求数列{}2nb 的前n 项和；20.(本题满分12分).函数f （x ）= 4x 3+ax 2+bx+5的图像在x=1处的切线方程为y=－12x ； （1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）在 [—3，1]上的最值。
江苏省如皋中学2019-2020学年高二上学期阶段测试数学试卷(无答案)
数学试题（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题（本大题共12题，每题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．） 1. 抛物线212x y =的焦点坐标为( ). A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，182.直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 3.若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A ．73B ．54C ．43 D ．534.已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A ．1710B ．8C ．2D ．1755.总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为( )A ．04B ．07C ．02D ．016.双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( )A ．2B ．22C ．4D ．427.学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n 位同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50)(单位： 元)，其中支出在[30,50)(单位：元)的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则n 的值为( ) A ．100 B ．120 C ．130 D ．3908.设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若 y i ＝2x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1，2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( )A ．2,16a +B ．2,16a a ++C ．2,4D ．2,4a +9.根据如下样本数据：x 3 4 5 6 7 8 y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为y ^＝bx ＋a ，则( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <010.一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a >b ，b <c 时称为“凹数”(如213，312等)，若a ，b ，c ∈{1，2，3，4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数是“凹数”的概率是( )A ．16B ．425C ．13D ．72411.P 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)右支上的一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率的取值范围是( )A ．()1,3B ．(]1,3C ．()3,+∞D ．[)3,+∞12.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:(1)2C x y -+=，圆2222:()()C x m y m m -++=，若圆2C 上存在点P 满足：过点P 向圆1C 作两条切线,PA PB ，切点为,,A B PAB V 的面积为1，则正数m 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．2,323⎡+⎣C ．1,323⎡+⎣D ．1,33⎡⎣二、 填空题（本大题共4题，每题5分，共20分．） 13.若1231313x x C C +-=，则=x ． 14..若*(41)()n x n N -∈的展开式中各项系数的和为729，则展开式中3x 项的系数是 .15.为了美化城市，现在要把一条路上的7盏路灯全部改装成彩色路灯.如果彩色路灯有红、黄与白三种颜色,要求在安装时相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，则不同的安装方法为 ．16.已知点P 是双曲线22=143x y -上除顶点外的任意一点，F 1、F 2分别为左、右焦点，c 为半焦距，△PF 1F 2的内切圆与F 1F 2切于点M ， 则F 1M ·F 2M ＝________.三、解答题（本大题共6题，共70分．请写出必要的解题步骤．）17.高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：（1）根据上面图表，①②③④处的数值分别为 ； （2）在所给的坐标系中画出[85，155]的频率分布直方图；（3）根据题中信息估计总体平均数，并估计总体落在［135，155］中的概率及学生人数．18.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆C 与x 轴正半轴于点P 、Q ，且85AP PQ =u u u r u u u r．（1）求椭圆C 的离心率；（2）若过A 、Q 、F 三点的圆恰好与直线l ：033=++y x 相切，求椭圆C 的方程．分组 频数 频率 [)95,85 ① ②[)105,95 0．050 [)115,105 0．200 [)125,115 12 0．300 [)135,125 0．275 [)145,135 4 ③ [145， 155]0．050 合计 ④组距频率 0.035— 0.005— 0.010—0.015— 0.020— 0.025—0.030—| | | | | | | | 85 95 105 115 125 135 145 155 成绩19.已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++L ，求：（1）127a a a +++L ； （2）017||||||a a a +++L ； （3）2372642a a a +++L ；（4）2202461357()(a a a a a a a a +++-+++）.20.一个袋中装有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是52；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是97．若袋中共有10个球,（1）求白球的个数；（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E(ξ)．21.已知直线12:,:l y x l y x ==，动点,P Q 分别在12,l l 上移动，且PQ N = 是线段PQ 的中点，记点N 的轨迹为曲线C . （1） 求曲线C 的方程；（2）过点(0,1)M 分别作直线,MA MB 交曲线C 于,A B 两点，设这两条直线的斜率分别为12,k k ，且122k k +=，求证：直线AB 过定点.22.如图，已知A 1、A 2、B 1、B 2是椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的四个顶点，△A 1B 1B 2是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆M. (1) 求椭圆C 及圆M 的方程；(2) 若点D 是圆M 劣弧A 1B 2︵上一动点(点D 异于端点A 1、B 2)，直线B 1D 分别交线段A 1B 2、椭圆C 于点E 、G ，直线B 2G 与A 1B 1交于点F.(ⅰ) 求GB 1EB 1的最大值；(ⅱ) 试问：E 、F 两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．。
2019—2020年最新苏教版高二数学上学期期末考试学情检测及答案解析.docx
（新课标）2019—2020学年苏教版高中数学必修三高二上学期期末复习检测一．填空题.（每题5分，共70分）1.已知直线032=+-y x l ：则点 P(1,-1)在直线的_________方.（填上、下）2.函数)0(1)(>+=x xx x f 的最小值为___________ 3.若命题“q p ∧”为假命题，“p ⌝”也为假命题，则命题“q p ∨”的真假性为________4.函数ex e x f x -=)(的单调增区间为_______________5.命题p ：x > 1，命题q ：01>-xx 则p 是 q 成立的 __________________条件。
6.若x ≥0，y ≥0，2x+3y ≤100，2x+y ≤60，则z = 6x+4y 的最大值是 ___________7.已知抛物线x y 82=的准线过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则双曲线的方程为___________8.若命题”使“01)1(,2<+-+∈∃x a x R x 是假命题，则实数a 的取值范围是_____________9.已知函数a x x x x f +--=23)(的图像与x 轴仅有一个交点，则a 的取值范围为________ 10. 已知命题:p 函数2lg(21)y ax ax =++的值域是R ，命题:q 2321ax ax a +++的定义域为R ，若p q ∧为真命题，则实数a 的取值集合为11.已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 与双曲线1322=-y x 的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点 A 在抛物线上且 AF AK 2=,则AFK ∆的面积为12.在]2,21[上，函数q px x x f ++=2)(与函数212)(xx x g +=在同一点处取得相同的最小值，那么函数f(x)在]2,21[上最大值是______________13. 若ABC ∆为锐角三角形，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足2sin()4a B c π+=，则s i n s i n B C 的取值范围是 14.若点 P ，Q 分别在函数x e y =和函数x y ln =的图像上，则P 与Q 两点间的距离的最小值是___________二．解答题.(共90分，前3题每题14分，后3题每题16分)15(1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y的最小值； (2)当x >0时，求f (x )＝2xx 2＋1的最大值．(1)∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2x y 时，取等号．(2)∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．16.已知)0(0120208222>≤-+-≤--m m x x q x x p ：，：，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。
精品解析：江苏省2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)
P 使 PA1 2c, PA2 2c 2a ，此时 PF1F2 为等腰三角形，
也且仅有一个点 P 使 PA2 2c, PA1 2c 2a ，此时 PF1F2 为等腰三角形，同理可得第二三四象限每
个象限也有且仅有两个点，一共八个，
所以 C 是真命题；
0
A1PA2 2
F1PF2 2
2
，根据焦点三角形面积的二级结论 SPF1F2
A. PA1 PA2 2a
B.
直线
PA1,
PA2
的斜率之积等于定值
b2 a2
C. 使得 PF1F2 为等腰三角形的点 P 有且仅有 8 个
b2 D. PF1F2 的面积为 tan A1PA2
2
【答案】BC 【解析】 【分析】 结合双曲线的几何性质和常见二级结论推导即可得解.
【详解】在 A1PA2 中，两边之差小于第三边，即 PA1 PA2 A1A2 2a ，所以 A 不是真命题；
1(a＞b＞0) 的离心率为
3 ，过右焦点 F 且斜率为 k(k＞0) 的直线与 C 相交于 2
A、B 两点．若 AF 3FB ，则 k
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
【答案】B
【解析】
因为 e c a
3 ，所以 c 2
3 2
a ，从而 b2
a2
c2
a2 4
，则椭圆方程为
x2 a2
+
4y2 a2
9.若 a 0,b 0, a b 2 ，则下列不等式,其中正确的有（ ）
A. ab 1
B. a b 2
C. a2 b2 2
【答案】ACD 【解析】 【分析】
D. 1 1 2 ab
江苏省南通市如皋市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
江苏省南通市如皋市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一､单项选择题： 1.设全集，集合，，则（{}1,0,1,2,3U =-{}1,0M =-{}0,1,2N =()U M N ⋂=ð）A.B.C.D.{}1,2{}1,2,3{}0,3{}0,1【答案】A 【解析】【分析】先计算，再计算得到答案.{}1,2,3U M =ð()UM NðI【详解】全集，集合，，则.{}1,0,1,2,3U =-{}1,0M =-{}0,1,2N ={}1,2,3U M =ð.(){}1,2UM N ⋂=ð故选：.A 【点睛】本题考查了集合的交集和补集的运算，意在考查学生的计算能力.2.已知向量，且，则实数m ＝（ ）a =()1m ，()2,1b =- ()a b b -⊥ A. 3 B. C. D. ﹣31212-【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算和数量积运算法则,列出关于m 的方程,然后解方程求出的值.m 【详解】解:由,得,(1,),(2,1)a m b ==- (1,1)a b m -=-+因为,所以,()a b b -⊥ ()0a b b -=所以,所以.121(1)0m -⨯-⨯+=3m =-故选:.D 【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算和数量积,属基础题.3.函数的定义域为（ ）()f x =A. B. {}14x x -<<{}04x x <<C.D.{}4x x >{}1x x <-【答案】B 【解析】【分析】函数定义域满足，解得答案.2310430x x x ⎧->⎨+->⎩【详解】函数的定义域满足：，解得.()f x =2310430x x x ⎧->⎨+->⎩04x <<故选：.B 【点睛】本题考查了具体函数的定义域，意在考查学生的计算能力.4.函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则的值()sin 2f x x=π6()y g x =π4g ⎛⎫ ⎪⎝⎭为（ ）A. B. C.12-12【答案】B 【解析】【分析】计算得到，代入数据计算得到答案.()sin 26x y g x π=+=⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】，则.()sin 26x y g x π=+=⎛⎫ ⎪⎝⎭π51sin 2sin 44662g πππ⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：.B 【点睛】本题考查了三角函数的平移和计算，意在考查学生对于三角函数平移的理解和掌握..5.函数（其中是自然对数的底数）的大致图象为（ ）()e ln x f x x=⋅eA. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】当时，；当时，，对比图像得到答案.x →+∞()f x →+∞x →-∞()0f x →【详解】当时，；当时，，对比图像知满足.x →+∞()f x →+∞x →-∞()0f x →A 故选：.A 【点睛】本题考查了函数图像的识别，意在考查学生对于函数图像的理解.6.已知函数为奇函数，则（ ）222,0,(),0ax x x f x x bx x ⎧->=⎨-+≤⎩()f a b +=A. B. C. D. 2-1-12【答案】C 【解析】【分析】当时，，代入计算得到，得到，计算得到答案.0x >0x -<222ax x x bx -=+1,2a b ==-【详解】当时，，则，，0x >0x -<2()f x x bx -=--()2()f x f x x bx =-=+即，解得，故.222ax x x bx -=+1,2a b ==-()()11f a b f +=-=故选：.C 【点睛】本题考查了根据函数奇偶性求参数，函数值的计算，意在考查学生的计算能力.7.已知，则（）πtan 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin πsin 3αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭A. B. C.5272【答案】B 【解析】【分析】化简得到，再利用齐次式计算得到答案.πtan 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan α=【详解】，解得πtan 6α⎛⎫-== ⎪⎝⎭tan α=.sin 7π2s in 3αα===⎛⎫+ ⎪⎝⎭故选：.B 【点睛】本题考查了三角函数化简，齐次式的应用，意在考查学生的计算能力.8.已知函数的图象关于点及直线()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭π,06M ⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，且在不存在最值，则的值为（ ）π:3l x =()f x π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭ϕA. B. C. D. π3-π6-π6π3【答案】C 【解析】【分析】根据对称得到，根据没有最值得到，得到，，再根据2,12T k N k π=∈+T π≥2T π=1ω=对称中心得到，得到答案.,6m m Zπϕπ=+∈【详解】函数的图象关于点及直线()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭π,06M ⎛⎫- ⎪⎝⎭对称.π:3l x =则.2+,,4236212T kT T k N k ππππ=+=∴=∈+在不存在最值，则，故时满足条件，，.()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭T π≥0k =2T π=1ω=，则.sin 066f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,66m m m Z ππϕπϕπ-+=∴=+∈当时满足条件，故.0m =6π=ϕ故选：.C 【点睛】本题考查了三角函数对称，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用能力.二､多项选择题：9.下列个结论中，正确的结论是（ ）4A. 对任意角，使得α()cos πcos αα+=B. 存在角和，使得αβ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=+C. 存在无穷多个角和，使得αβ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=-D. 对任意角和，都有αβ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-⋅【答案】BC 【解析】【分析】根据诱导公式和和差公式依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 对任意角，，错误；α()cos πcos αα+=-A B. 当时，成立，故正确；2,k k Z βπ=∈()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=+B C. 当时，任意，成立，故正确；2,k k Z βπ=∈α()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=-C D. 当时，不成立，故错误；,2k k Zπαβπ+=+∈()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-⋅D 故选：.BC 【点睛】本题考查了诱导公式和和差公式，意在考查学生对于三角函数公式的理解.10.关于函数，，下述结论正确的是（ ）()y f x =()y g x =A. 若是奇函数，则()y f x =()00f =B. 若是偶函数，则也为偶函数()y f x =()y f x =C. 若满足，则是区间上的增函数()()y f x x R =∈()()12f f <()f x []1,2D. 若，均为上的增函数，则也是上的增函数()y f x =()y g x =R ()()y f x g x =+R 【答案】BD 【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 若是奇函数，则，当定义域不包含时不成立，故错误；()y f x =()00f =0A B. 若是偶函数，，故，也为偶函数，()y f x =()()f x f x =-()()f x f x =-()y f x =正确；B C. 举反例：满足，在不增函数，故错误；()243f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()()12f f <[]1,2C D. 若，均为上的增函数，则也是上的增函数()y f x =()y g x =R ()()y f x g x =+R 设，则12x x <()()()()2211f x g x f x g x +-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，故单调递增，故正确；()()()()21210f x f x g x g x =-+->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()y f x g x =+D故选：.BD 【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.11.在梯形中，，，，分别是，的中点，与ABCD //AB CD 2AB CD =E F AB CD AC 交于，设，，则下列结论正确的是（ ）BD M AB a = AD b =A.B.12AC a b=+ 12BC a b=-+C.D.1233BM a b=-+ 14EF a b=-+【答案】ABD 【解析】【分析】根据向量运算依次计算每个选项判断得到答案.【详解】A. ，正确；1122AC AD DC AD AB a b=+=+=+A B. ，正确；1122BC BA AD DC AB AD AB a b=++=-++=-+B C.，错误；222333BM BA AM AB AC a b=+=-+=-+C D. ，正确；111244EF EA AD DF AB AD AB a b=++=-++=-+D 故选：.ABD 【点睛】本题考查了向量的基本定理的应用，意在考查学生的应用能力.12.设函数，则下列结论正确的是（ ）()sin cos f x x x=+A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上是单调增函数()f x π()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭C. 函数的图象关于直线对称D. 函数的值域是()f x 2π3x =()f x []0,2【答案】ACD 【解析】【分析】化简得到，画出函数图像，根据图像得到答案.()sin cos 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭【详解】，画出函数图像，如图所示：()sin cos 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭根据图像知：函数的最小正周期为；函数在上先增后减；()f x π()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭函数的图象关于直线对称；函数的值域是；()f x 2π3x =()f x []0,2故选：.ACD 【点睛】本题考查了三角函数的周期，单调性，对称和值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用，画出函数图像是解题的关键.三､填空题13.已知，那么 ．tan =2αcos 2α=【答案】35-【解析】试题分析：.22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin sin cos tan 15ααααααααα--=-===-++考点：齐次式、倍角公式.14.已知函数，则是________函数（从“奇”，“偶”，()12221x f x x =-+()()1g x f x =+“非奇非偶”及“既是奇函数又是偶”中选择一个填空），不等式的解集为________.()()24102f x x f x -+-≤-【答案】 (1). 奇 (2). []5,2-【解析】【分析】，计算得到得到答案，化简得到()121221x xg x x =-++()()g x g x -=-，根据函数单调性得到答案.()()2104g x x g x -≤-【详解】函数单调递增，故单调递增；12,221x y x y ==-+()12221x f x x =-+，函数单调递增；()()1212112212211x x xg x f x x x -+==-++++=，故是奇函数；()()()121121221221x x x x x x g x g x -----+=--=-++-=()g x ，即.()()24102f x x f x -+-≤-()()()2410104g x x g x g x -≤--=-故，解得.2104x x x -≤-52x -≤≤故答案为：奇；.[]5,2-【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.15.窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件.如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓是ABCD 边长为米的正方形，内嵌一个小正方形，且，，，分别是，，1EFGH E F G H AF BG ，的中点，则的值为________.CH DE AG DF ⋅【答案】0【解析】【分析】如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，计A AB x AD y 算直线方程得到坐标，，计算向量得到答案.42,55F ⎛⎫ ⎪⎝⎭34,55G ⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐A AB x AD y 标系.延长与交于点，，故为中点.AF BC I 1tan 2FB BIFAB FA AB ∠===I BC 直线，同理可得：直线，直线；1:2AI y x =:22GB y x =-+11:22HC y x =+解得：，，42,55F ⎛⎫ ⎪⎝⎭34,55G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，故，，.()0,0A ()0,1D 34,55AG ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 43,55DF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 0AG DF ⋅=故答案为：.【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的应用能力和计算能力，建立坐标系转化为坐标运算是解题的关键.16.已知函数其中，且，若函数有个()1,0,π2sin ,02,2x a x f x x x ⎧-≤⎪=⎨<<⎪⎩0a >1a ≠()1y f x =-3不同的零点，，，且，则实数的取值范围是________.1x 2x 3x 1230x x x ++>a【答案】⎛ ⎝【解析】【分析】画出函数图像，排除的情况，根据对称性得到，计算得到答案.1a >232x x +=【详解】如图所示：当时，函数有个不同的零点，不满足；1a >()1y f x =-2当时，不妨设，根据对称性知，故.01a <<123x x x <<232x x +=12x >-，故，故11x a -=log 22a x =>-0a<<故答案为：.⎛ ⎝【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.四､解答题：17.已知集合，集合.102x A x x ⎧⎫-=>⎨⎬+⎩⎭{}3,xB y y x a ==≤（1）若，求；1a =A B（2）若，求实数的取值范围.()R B C A ≠∅ a 【答案】（1）（2）{}23A B x x ⋃=-<≤0a ≥【解析】【分析】（1）计算得到，，再计算并集得到答案.{}21A x x =-<<{}03B y y =<≤（2）或，，根据计算得到答案.{2R A x x =≤-ð}1x ≥{}03aB y y =<≤()RB A ≠∅ ð【详解】（1），102x A x x ⎧⎫-=>⎨⎬+⎩⎭()(){}120x x x =-+>{}21x x =-<<当时，，1a ={}{}3,103x B y y x y y ==≤=<≤所以.{}23A B x x ⋃=-<≤（2），则或，{}21A x x =-<<{2R A x x =≤-ð}1x ≥，{}{}3,03x aB y y x a y y ==≤=<≤因为，所以，解得.()R B A ≠∅ð31a≥0a ≥【点睛】本题考查了并集运算，根据交集运算结果求参数，意在考查学生对于集合知识的综合应用.18.如图，在平面直角坐标系中，点，是以为直径的上半圆弧上两点（点在xOy P Q AB P 的右侧），点为半圆的圆心，已知，点，设.Q O 2AB =43,55P ⎛⎫⎪⎝⎭POQ α∠=（1）若，求的值；π2α=AQ AO ⋅（2）若点的纵坐标为，求的值.Q 12cos α【答案】（1）（225【解析】【分析】（1）设，则，，计算，根据计POB β∠=3sin 5β=4cos 5β=35Q x =-1Q AQ AO x ⋅=+ 算得到答案.（2）计算得到，利用和差公式将展开计算得到答案.5π6αβ+=5πcos cos 6αβ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【详解】（1）设，则，.POB β∠=3sin 5β=4cos 5β=所以，()3cos cos sin 25Q x παβββ⎛⎫=+=+=-=-⎪⎝⎭.()()()()21,01,015Q Q Q AQ AO x y x ⋅=--⋅--=+=（2），且，，()13sin sin 25αββ+=<=()0,παβ+∈π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，所以，.π,π2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭5π6αβ+=5π6αβ=-所以.5π5π5πcos cos cos cos sin sin 666αβββ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭413525=+⋅=【点睛】本题考查了向量的数量积，三角恒等变换，意在考查学生的综合应用能力.19.已知函数，其中为实数.()2log 11m f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭m （1）若，求证：函数在上为减函数；1m =()f x ()1,+∞（2）若为奇函数，求实数的值.()f x m【答案】（1）证明见解析（2）或0m =2m =【解析】【分析】（1）对于，，且，计算得到证明.1x ∀()21,x ∈+∞12x x <()()120f x f x ->（2）根据奇函数得到，代入化简得到，计算得到()()0f x f x -+=()22211x m x --=-答案.【详解】（1）当时，，1m =()221log 1log 11x f x x x ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭对于，，且，1x ∀()21,x ∈+∞12x x <()()12122212log log 11x x f x f x x x -=---1212122121221log log 1x x x x x x x x x x ⎛⎫--=⋅= ⎪--⎝⎭因为，所以，所以，12x x <12x x ->-121122x x x x x x ->-又因，，且，所以，1x ()21,x ∈+∞12x x <()1222110x x x x x -=->即，所以，.1211221x x x x x x ->-1212122log 0x x x x x x ⎛⎫-> ⎪-⎝⎭()()120f x f x ->所以函数在上为减函数.()f x ()1,+∞（2），()221log 1log 11m x m f x x x +-⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭若为奇函数，则，即.()f x ()()f x f x -=-()()0f x f x -+=所以211log log 11x m x m x x -+-+-⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭211log 11x m x m x x -+-+-⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，2(1)1log 11x m x m x x --+-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭2222(1)log 01x m x ⎛⎫--== ⎪-⎝⎭所以，所以，或.()22211x m x --=-()211m -=0m =2m =【点睛】本题考查了单调性的证明，根据奇偶性求参数，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.20.某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圈上一点（异于，），点在线段ΔABC BC P B C H 上，且满足.已知，，设.BC CH AB ⊥90ACB ∠=︒1dm AB =ABC θ∠=（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大.ABC PCB ∠=∠CA CP +当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；θ（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.60PBA ∠=︒CH CP +当为何值时，取得最大值，并求该最大值.θCH CP +【答案】（1）（2）当，π6θ=π12θ=CH CP +【解析】【分析】（1）设，则在直角中，，，计算得到ABC PCB θ∠=∠=ΔABC sin AC θ=cos BC θ=，计算最值得到答案.2sin sin 1AC CP θθ+=-++（2）计算，得到，得的最值.sin cos CH θθ=⋅πsin 23CH CP θ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭【详解】（1）设，则在直角中，，.ABC PCB θ∠=∠=ΔABC sin AC θ=cos BC θ=在直角中，，ΔPBC 2cos cos cos cos PC BC θθθθ=⋅=⋅=.sin sin cos sin cos PB BC θθθθθ=⋅=⋅=，，22sin cos sin 1sin AC CP θθθθ+=+=+-2sin sin 1θθ=-++π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以当，即，的最大值为.1sin 2θ=π6θ=AC CP +54（2）在直角中，由，ΔABC 1122ABC S CA CB AB CH∆=⋅=⋅可得.sin cos sin cos 1CH θθθθ⋅==⋅在直角中，，ΔPBC πsin 3PC BC θ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭ππcos sin cos cos sin 33θθθ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭所以，，1sin cos cos sin 2CH CP θθθθθ⎫+=+-⎪⎪⎭π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以211sin 2sin cos 22CH CP θθθθ+=+-，11πsin 22sin 2423θθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭所以当，.π12θ=CH CP +【点睛】本题考查了利用三角函数求最值，意在考查学生对于三角函数知识的应用能力.21.如图，在中，，，，是的中点，点满足ΔABC 90BAC ∠=︒2AB =3AC =D BCE ，与交于点.2AE EC =BE AD G （1）设，求实数的值；AG AD λ=λ（2）设是上一点，且，求的值.H BE HA HB HC HA ⋅=⋅ GH BC ⋅【答案】（1）（2）452-【解析】【分析】（1）设，，得到，，计算得到答案.AC a = AB b = 22AC a b λλ=+ ()213t AG a t b=+-（2），代入数据化简得到答案.()GH BC AH AG BC AH BC AG BC⋅=-⋅=⋅-⋅【详解】（1）设，，因为，是的中点，AC a = AB b =AG AD λ= D BC 所以.①222AC AB AC a bλλλ+=⋅=+设，，BG tBE =01t <<故，整理得，()AG AB t AE AB-=- ()1AG t AE t AB=+- 又，即，2AE EC = 23AE AC=所以.②()()221133t AG t AC t AB a t b=⋅+-=+-联立①②，据平面向量其本定理，得解得，，2,231,2t t λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩45λ=35t =所以实数的值为.λ45（2）因为，所以，即，HA HB HC HA ⋅=⋅ ()HA HB HC ⋅-= 0AH BC ⋅= 所以()GH BC AH AG BC AH BC AG BC⋅=-⋅=⋅-⋅ .()()22222555AG BC a b a b a b ⎛⎫=-⋅=-+⋅-=-- ⎪⎝⎭()2223225=-⨯-=-【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，向量的数量积，意在考查学生对于向量知识的综合应用能力.22.已知函数，其中.()231f x x ax =---0a >（1）若，求函数的单调区间；2a =()f x （2）若关于的不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范x ()23f x x ≤-()1,0x ∈-a 围；（3）若函数有个不同的零点，求实数的取值范围.()f x 4a 【答案】（1）单调减区间是，单调增区间是，（2）（3）(),1-∞-()1,-+∞2a≥3a <<【解析】【分析】（1）化简得到，分别计算单调性得到答案.()22324,,2322,,2x x x f x x x x ⎧+-<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩（2）化简得到恒成立，计算函数的最大值得到答案.12a x x ≥-++12y x x =-++（3）化简得到，确定在和上都各有()2234,,32,,x ax x af x x ax x a ⎧+-<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩()f x 3,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭3,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭个不同的零点，计算得到答案.2【详解】（1）当时，2a =()222324,,2231322,,2x x x f x x x x x x ⎧+-<⎪⎪=---=⎨⎪-+≥⎪⎩当时，，32x <()()222415f x x x x =+-=+-所以在上单调递减，在上单调递减.()f x (),1-∞-31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，，32x ≥()()222211f x x x x =-+=-+所以在上单调递增.()f x 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭因为函数的图象在上不间断，()f x R 所以的单调减区间是，单调增区间是.()f x (),1-∞-()1,-+∞（2）对任意恒成立.23123x ax x ---≤-()1,0x ∈-因为，，所以，()1,0x ∈-0a >30ax -<故不等式可化为，即，23123x ax x +--≤-12a x x ≥-++所以问题转化为不等式对任意恒成立.12a x x ≥-++()1,0x ∈-又在上单调递减，12y x x =-++()1,0-所以，()1121+221y x x =-++<--+=-所以.2a ≥（3），其中.()22234,,3132,,x ax x a f x x ax x ax x a ⎧+-<⎪⎪=---=⎨⎪-+≥⎪⎩0a >显然，当时，至多有个不同的零点，且当时，3x a <()23f x x ax =+-23x a ≥至多有个不同的零点，()22f x x ax =-+2又有个不同的零点，()f x 4所以在和上都各有个不同的零点，()f x 3,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭3,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2所以且即0,230,a f f a ⎧⎛⎫-< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩3,20,230,a a a f f a ⎧>⎪⎪⎪⎛⎫<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩22240,42310,3,220,42a a a a a aa a a ⎧⎛⎫+⋅--<⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎨⎪>⎪⎪⎪-⋅+<⎪⎩又，解得，0a>3a <<所以实数的取值范围是.a 3a <<【点睛】本题考查了函数的单调区间，恒成立问题，根据零点个数求参数，意在考查学生对于函数知识的综合应用能力.。
2020-2021学年江苏省南通市如皋市高二(上)期末数学试卷
2020-2021学年江苏省南通市如皋市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）αβ>是sin sin αβ>的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．（5分）5(2)(12)x x +-的展开式中，2x 的系数为( ) A ．70B ．70-C ．120D ．120-3．（5分）如图是容量为n 的样本的频率分布直方图，已知样本数据在[14，18)内的频数是6，则样本数据落在[6，10)的频数是( )A ．6B ．8C ．9D ．104．（5分）设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥C ．若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥5．（5分）直线34y x =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点，则的取值有()个A ．1B ．2C ．3D ．46．（5分）已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，则点1B 到平面1A BC 的距离为( ) A 221B 221C 47D 477．（5分）琵琶、二胡、编钟、箫、笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排四节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡一定安排，且这两种乐器互不相邻的概率为( ) A ．1360B ．16C ．115D ．7158．（5分）设1F ，2F 是椭圆22:13x y C m+=的两个焦点，若椭圆C 上存在点M 满足12120F MF ∠=︒，则m 的取值范围是( )A ．3(0,][4,)4+∞B ．9(0,][4,)4+∞C ．3(0,][12,)4+∞D ．9(0,][12,)4+∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。