北师大版九年级数学第二章：二次函数 单元测试卷
初三数学二次函数单元测试卷(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(每小题3分,共30分)1.下列四个函数中,一定是二次函数的是 ( )A.y=+xB.y=ax2+bx+cC.y=x2-(x+7)2D.y=(x+1)(2x-1)2.若(2,5),(4,5)是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点,则它的对称轴是( )A.直线x=-3B.直线x=1C.直线x=2D.直线x=33.二次函数y=x2+2x-5有( )A.最小值-5B.最大值-5C.最小值-6D.最大值-64.(襄阳中考)二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,若点A(x1,y1),B(x2,y2)在此函数图象上,x1<x2<1,则y1与y2的大小关系是( )A.y1≤y2B.y1<y2C.y1≥y2D.y1>y25.函数y=ax+b的图象经过第一、二、三象限,则二次函数y=ax2+bx的大致图象是( )6.将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得图象的函数表达式是( )A.y=(x-1)2+2B.y=(x+1)2+2C.y=(x-1)2-2D.y=(x+1)2-27.一个二次函数的图象的顶点坐标是(2,4),且过另一点(0,-4),则这个二次函数为 ( )A.y=-2(x+2)2+4B.y=-2(x-2)2+4C.y=2(x+2)2-4D.y=2(x-2)2-48.对于抛物线y=-(x+1)2+3,下列结论:①抛物线的开口向下;②对称轴为直线x=1;③顶点坐标为(-1,3);④当x>1时,y随x的增大而减小.其中正确结论的个数为( )A.1B.2C.3D.49.(2015·兰州中考)已知二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的两个交点A(x1,0),B(x2,0),且x1<x2,点P(m,n)是图象上一点,那么下列判断正确的是( )A.当n<0时,m<0B.当n>0时,m>x2C.当n<0时,x1<m<x2D.当n>0时,m<x110.如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2经过平移得到抛物线y=x2-2x,其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为( )A.2B.4C.8D.16二、填空题(每小题4分,共24分)11.如果函数y=(a-1)x2是二次函数,那么a的取值范围是.12.二次函数y=x2-6x+n的部分图象如图所示,若关于x的一元二次方程x2-6x+n=0的一个解为x1=1,则另一个解为x2= .13.如图所示的抛物线是二次函数y=ax2-3x+a2-1的图象,那么a的值是.14.(2015·舟山中考)把二次函数y=x2-12x化为形如y=a(x-h)2+k的形式是.15.如图所示,利用两面夹角为135°且足够长的墙,围成梯形围栏ABCD,∠C=90°,新建墙BCD总长为15 m,则当CD= m时,梯形围栏的面积最大.16.二次函数y=x2的图象如图所示,点A0位于坐标原点,点A1,A2,A3,…,A n在y轴的正半轴上,点B1,B2,B3,…,B n在二次函数位于第一象限的图象上,点C1,C2,C3,…,C n在二次函数位于第二象限的图象上,四边形A0B1A1C1,四边形A1B2A2C2,四边形A2B3A3C3,…,四边形A n-1B n A n C n都是菱形,∠A0B1A1=∠A1B2A2=∠A2B3A3=…=∠A n-1B n A n=60°,菱形A n-1B n A n C n的周长为.三、解答题(共66分)17.(6分)已知关于x的函数y=(a-b)x3+2x2+2+是二次函数,求a+b的值.18.(6分)已知抛物线的顶点坐标为M(1,-2),且经过点N(2,3),求此二次函数的解析式.19.(8分)已知二次函数y=-2x2+(3k+2)x-3k.(1)若二次函数的图象过点A(3,0),求此二次函数图象的对称轴;(2)若二次函数的图象与x轴只有一个交点,求此时k的值.20.(8分)如图所示,抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点,并与x轴交于点A(2,0).(1)求此抛物线的表达式;(2)写出顶点坐标及对称轴;(3)若抛物线上有一点B,且S△OAB=3,求点B的坐标.21.(8分)已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点A(0,-6),与x轴的一个交点坐标是B(-2,0).(1)求二次函数的关系式,并写出顶点坐标;(2)将二次函数图象沿x轴向左平移个单位长度,求所得图象对应的函数关系式.22.(8分)某种商品的进价为每件50元,售价为每件60元,每个月可卖出200件.若每件商品的售价上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于72元),设每件商品的售价上涨x 元(x为整数),每个月的销售利润为y元.(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;(2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?23.(10分)某市政府大力扶持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似地看做一次函数:y=-10x+500.(1)设李明每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?(2)如果李明想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?(3)根据物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果李明想要每月获得的利润不低于2000元,那么他每月的成本最少需要多少元?(成本=进价×销售量)24.(12分)如图所示,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A,B两点,过点A的直线l与抛物线交于点C,其中A点的坐标是(1,0),C点坐标是(4,3).(1)求抛物线的解析式;(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点D,使△BCD的周长最小?若存在,求出点D的坐标,若不存在,请说明理由;(3)若点E是(1)中抛物线上的一个动点,且位于直线AC的下方,试求△ACE的最大面积及E 点的坐标.【答案与解析】1.D2.D(解析:因为点(2,5),(4,5)是该抛物线上关于对称轴对称的两点,所以只需求两对称点横坐标的平均数.)3.C(解析:y=x2+2x-5=(x+1)2-6.∵a=1>0,∴当x=-1时,二次函数有最小值,为-6.故选C.)4.B(解析:由图象可知,当x<1时,y随x的增大而增大,∵x1<x2<1,∴y1<y2.故选B.)5.B(解析:∵函数y=ax+b的图象经过第一、二、三象限,∴a>0,b>0.当a>0时,抛物线开口向上,排除D.当a>0,b>0时,对称轴为直线x=-<0,排除A,C.故选B.)6.A(解析:将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得图象的函数表达式是y=(x-1)2+2.故选A.)7.B(解析:∵二次函数的图象的顶点坐标是(2,4),∴设这个二次函数的解析式为y=a(x-2)2+4,把(0,-4)代入得a=-2,∴这个二次函数的解析式为y=-2(x-2)2+4.故选B.) 8.C(解析:①∵a=-<0,∴抛物线的开口向下,正确;②对称轴为直线x=-1,故②错误;③顶点坐标为(-1,3),正确;④∵x>-1时,y随x的增大而减小,∴当x>1时,y随x的增大而减小一定正确.综上所述,正确的结论是①③④,共3个.故选C.)9.C(解析:∵a=1>0,∴抛物线的开口向上.∵抛物线的对称轴为直线x=-=-=-,二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的两个交点A(x1,0),B(x2,0),且x1<x2,无法确定x1与x2的正负情况,∴当n<0时,x1<m<x2,但m的正负无法确定,故A错误,C正确;当n>0时,m<x1或m>x2,故B,D错误.故选C.)10.B(解析:如图所示,过点C作CA垂直y轴于点A,∵抛物线y=x2-2x=(x2-4x)=(x2-4x+4)-2=(x-2)2-2,∴顶点坐标为C(2,-2),B(2,2),故对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为×2×4=4.)11.a≠1(解析:由y=(a-1)x2是二次函数,得a-1≠0.解得a≠1.)12.5(解析:对称轴为直线x=-=-=3,根据二次函数的图象的对称性,可得=3,解得x2=5.)13.-1(解析:由图象可知,抛物线经过原点(0,0),∴a2-1=0,解得a=±1,∵图象开口向下,∴a<0,∴a=-1.)14.y=(x-6)2-36(解析:y=x2-12x=(x2-12x+36)-36=(x-6)2-36.故填y=(x-6)2-36.)15.37.5(解析:过点A作AE⊥BC于E,则四边形ADCE为矩形,∠DAE=∠AEB=90°,∴∠BAE=∠BAD-∠EAD=45°,∴∠B=45°,设DC=x,则AE=BE=x,∴AD=CE=15-2x,∴梯形ABCD面积为S=(AD+BC)·CD=(15-2x+15-x)·x=-x2+15x=-(x-5)2+,∴当x=5时,S最大=37.5.)16.4n(解析:∵四边形A0B1A1C1是菱形,∠A0B1A1=60°,∴△A0B1A1是等边三角形.设△A0B1A1的边长为m1,则B1,代入抛物线的解析式中得=,解得m=0(舍去)或m=1,故△A0B1A1的边长为1,同理可求得△A1B2A2的边长为2,…,依次类推,等边三角形A n-1B n A n的边长为n,故菱形A n-1B n A n C n 的周长为4n.故填4n.)17.解:由题意得解得则a+b=2.18.解:已知抛物线的顶点坐标为M(1,-2),设此二次函数的解析式为y=a(x-1)2-2,把点(2,3)代入解析式,得a-2=3,即a=5,∴此函数的解析式为y=5(x-1)2-2.19.解:(1)将A(3,0)代入二次函数表达式,求得k=2,∴二次函数表达式为y=-2x2+8x-6,配方得y=-2(x-2)2+2,∴二次函数图象的对称轴为直线x=2.(2)由题意得Δ=(3k+2)2-4×(-2)×(-3k)=0,解得k1=k2=.20.解:(1)把(0,0),(2,0)代入y=x2+bx+c,得解得∴表达式为y=x2-2x.(2)∵y=x2-2x=(x-1)2-1,∴顶点坐标为(1,-1),对称轴为直线x=1. (3)设点B的坐标为(c,d),则×2|d|=3,解得d=3或d=-3.∵顶点的纵坐标为-1,-3<-1(或方程x2-2x=-3无解),∴d=3,∴x2-2x=3,解得x1=3,x2=-1,∴点B的坐标为(3,3)或(-1,3).21.解:(1)由题意,得解得∴y=x2-x-6=x2- x+-=-,顶点坐标为. (2)将其图象沿x轴向左平移个单位长度,所得图象对应的函数关系式为y=-=(x+2)2-.22.解:(1)根据题意,得y=(60-50+x)(200-10x),整理得y=-10x2+100x+2000(0≤x≤12). (2)由(1)得y=-10x2+100x+2000=-10(x-5)2+2250,当x=5时,y最大=2250.故每件商品的售价定为65元时,每个月获得最大利润,最大利润为2250元.23.解:(1)由题意,得w=(x-20)·y=(x-20)·(-10x+500)=-10x2+700x-10000,x=-=35.答:当销售单价定为35元时,每月可获得最大利润. (2)由题意,得-10x2+700x-10000=2000,解这个方程,得x1=30,x2=40.答:李明想要每月获得2000元的利润,销售单价应定为30元或40元.(3)∵a=-10<0,∴二次函数图象开口向下.∴当30≤x≤40时,w≥2000.∵x≤32,∴当30≤x ≤32时,w≥2000.设成本为P(元),由题意,得P=20(-10x+500)=-200x+10000.∵k=-200<0,∴P随x的增大而减小.∴当x=32时,P最小=3600.答:想要每月获得的利润不低于2000元,每月的成本最少为3600元.24.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0),点C(4,3),∴解得∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3. (2)∵点A,B关于对称轴对称,∴当点D为AC与对称轴的交点时,△BCD的周长最小,设直线AC的解析式为y=kx+m(k≠0),则解得∴直线AC的解析式为y=x-1.∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴抛物线的对称轴为直线x=2,当x=2时,y=2-1=1,∴抛物线对称轴上存在点D(2,1),使△BCD的周长最小. (3)设过点E与直线AC平行的直线为y=x+m,可得消掉y得x2-5x+3-m=0,令Δ=(-5)2-4×1×(3-m)=0,得m=-.故当m=-时,点E到AC的距离最大,△ACE的面积最大,此时x=,y=-=-,∴点E的坐标为,设过点E的直线与x轴的交点为F,则F,∴AF=-1=.∵直线AC的解析式为y=x-1,∴∠CAB=45°,∴点F到AC的距离为×=.又∵AC==3,∴△ACE的最大面积=×3×=,此时E点坐标为.。
第二章 二次函数数学九年级下册-单元测试卷-北师大版(含答案)
第二章二次函数数学九年级下册-单元测试卷-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①a<0，，b<0 ；② b2-4ac>0；③a+b>am2+bm；④b+2a=0；⑤-a+c>0 正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2、二次函数y＝﹣x2+2x+4，当﹣1≤x≤2时，则（）A.1≤y≤4B.y≤5C.4≤y≤5D.1≤y≤53、由二次函数y=6（x﹣2）2+1，可知（）A.图象的开口向下B.图象的对称轴为直线x=C.函数的最大值为1 D.当x＞2时，y随x的增大而增大4、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若M=4a+2b+c，N=a-b+c，P=4a+2b则（）A.M＞0，N＞0，P＞0B.M＞0，N＜0，P＞0C.M＜0，N＞0，P＞0 D.M＜0，N＞0，P＜05、己知抛物线y=ax2(a>0)过A(-2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是( )A.y1>0>y2B.y2>0>y1C.y1>y2>0 D.y2>y1>06、小明在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小明此次成绩为（）A.8米B.10米C.12米D.14米7、二次函数的对称轴是A.直线B.直线C.y轴D.x轴8、抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点是（）A.（1，﹣2）B.（1，2）C.（﹣1，2）D.（﹣1，﹣2）9、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）A.a>0B.b＜0C.c＜0D.a＋b＋c>010、对于二次函数，下列说法正确的是（）A.图象开口向下B.图象和y轴交点的纵坐标为-3C. 时，y随x的增大而减小D.图象的对称轴是直线11、已知点是二次函数图象上的两个不同的点，则当时，其函数值等于（）A.2022B.2021C.2020D.201912、抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是( )A.(3，4)B.(－3，4)C.(3，－4)D.(2，4)13、将二次函数y=﹣x2﹣4x+2化为y=a（x+m）2+k的形式，则（）A.a=﹣1，m=﹣2，k=6B.a=﹣1，m=2，k=6C.a=1，m=﹣2，k=﹣6 D.a=﹣1，m=2，k=﹣614、若A(－，y1)，B(－1，y2)，C(1，y3)为二次函数y＝－x2－4x＋5的图象上的三点，则y1， y2， y3的大小关系是( )A.y1＜y2＜y3B.y3＜y2＜y1C.y3＜y1＜y2D.y2＜y1＜y315、已知二次函数，一次函数，有下列结论：①当时，随的增大而减小；②二次函数的图象与轴交点的坐标为和；③当时，；④在实数范围内，对于的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立，则.其中，正确结论的个数是（）A.0B.1C.2D.3二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，抛物线y=x2+bx-3与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点A、C的横坐标分别为-1和2.点G是抛物线上的动点，在x轴上存在点F，使以A、C、F、G四个点为顶点的四边形是平行四边形，则点F的坐标为________.17、如图，抛物线y＝x2+bx+c（c＞0）与y轴交于点C，顶点为A，抛物线的对称轴交x轴于点E，交BC于点D，tan∠AOE＝．直线OA与抛物线的另一个交点为B．当OC＝2AD 时，c的值是________．18、如图，设A(-2，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)是抛物线y=-(x+1)²+m上的三点，则y1，y2， y3的大小关系为________(用“>”连接)。
九年级下册数学单元测试卷-第二章 二次函数-北师大版(含答案)
九年级下册数学单元测试卷-第二章二次函数-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、在平面直角坐标系中，抛物线y2与直线y1均过原点，直线经过抛物线的顶点（2，4），则下列说法：①当0＜x＜2时，y2＞y1；②y2随x的增大而增大的取值范围是x＜2；③使得y2大于4的x值不存在；④若y2＝2，则x＝2﹣或x＝1.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2、如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3、抛物线y＝(x＋1)2与坐标轴的交点个数是( )A.0B.1C.2D.34、已知，二次函数y=x2﹣2x+a（a是实数），当自变量任取x1， x2时，分别与之对应的函数值y l， y2满足y1＞y2，则x1， x2应满足的关系式是（）A.xl ﹣1＜x2﹣1 B.x1﹣1＞x2﹣1 C.|x1﹣l|＜|x2﹣1| D.|x1﹣1|＞|x2﹣1|5、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①abc＜0；②当x=1时，函数有最大值．③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0．④4a+2b+c＜0．其中正确结论的个数是（）A.1 B.2C.3D.46、抛物线的顶点坐标是（）A.（﹣1，2）B.（﹣1，﹣2）C.（1，﹣2）D.（1，2）7、下表是二次函数的 x,y的部分对应值：则对于该函数的性质的判断：①该二次函数有最大值；②不等式y＞-1 的解集是x＜0 或x＞2；③方程的两个实数根分别位于和之间；④当x＞0 时，函数值y 随x 的增大而增大；其中正确的是( )A.②③B.②④C.①③D.①④8、若将抛物线y= 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到一个新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.9、已知点P（a，a+3）在抛物线y=x2﹣7x+19图象上，则点P关于原点O的对称点P′的坐标是（）A.（4，7）B.（﹣4，﹣7）C.（4，﹣7）D.（﹣4，7）10、如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x﹣x2刻画，斜坡可以用一次函数y= x刻画，下列结论错误的是（）A.当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3mB.小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势C.小球落地点距O点水平距离为7米D.斜坡的坡度为1：211、把函数y= x2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y= (x-1)2+1的图象( )A.向左平移1个单位，再向下平移1个单位B.向左平移1个单位，再向上平移1个单位C.向右平移1个单位，再向上平移1个单位D.向右平移1个单位，再向下平移1个单位12、二次函数的图象如图，下列结论：①；②；③；④.其中正确的有（）A.1个B.3个C.2个D.4个13、在函数中，以x为自变量的二次函数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个14、抛物线y=x2﹣2x+1的顶点坐标是（）A.（1，0）B.（﹣1，0）C.（﹣2，1）D.（2，﹣1）15、如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A.y=（x-1）2+2B.y=（x+1）2+2C.y=x 2+1D.y=x 2+3二、填空题(共10题，共计30分)16、抛物线开口向________．17、若二次函数的图象经过原点，则的值为________．18、如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数为________．19、抛物线y=x2+ 的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________.20、如图,△AOB和△ACD均为正三角形,顶点B,D在双曲线y= (x>0)上,则=________.21、若二次函数（、为常数）的图象如图，则的值为________22、已知函数y=(m+2)x m(m+1)是二次函数,则m=________.23、如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），扇形的圆心角是60°，若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数取值范围是________24、抛物线与轴有________个交点．25、已知抛物线的对称轴是x＝m,若该抛物线与x轴交于(1,0),(3,0)两点，则m的值为________三、解答题(共5题，共计25分)26、将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD的面积．27、如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，且与x轴交于A（﹣2，0）．（1）求此二次函数解析式及顶点B的坐标；（2）在抛物线上有一点P，满足S△AOP=3，直接写出点P的坐标．28、已知二次函数，当时有最大值，且此函数的图象经过点，求此二次函数的关系式，并指出当为何值时，随的增大而增大．29、已知二次函数当x=1时，y有最大值为5，且它的图象经过点（2，3），求这个函数的关系式．30、如图，抛物线过x轴上两点A(9,0),C(-3,0),且与y轴交于点B(0,-12).（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P从点A出发，以每秒2个单位沿射线AC方向运动；同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位沿射线BA方向运动，当点P到达点C处时，两点同时停止运动.问当t为何值时，△APQ∽△AOB？（3）若M为线段AB上一个动点，过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N．①是否存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．②当点M运动到何处时，四边形CBNA的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形CBNA面积的最大值．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、C3、C4、D5、C6、D7、A8、B9、B10、A11、C12、C13、B14、A15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)28、29、30、。
北师大版九年级下册第二章二次函数单元测试及答案
北师大版九年级下册第二章二次函数单元测试及答案(时间：90分钟，满分：100分) 一、选择题(每题3分，共36分)1.下列关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)( )A. B.C. D.2.抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ）A. 直线3-=xB. 直线3=xC. 直线2-=xD. 直线2=x3. 抛物线y = a(x+1)2 -2与x 轴交于点（-3，0），则该抛物线与x 轴另一交点的坐标是（ ）A 、（21，0） B 、（1，0） C 、（2，0） D 、（3，0）4. （08绍兴）已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线21y x =-上，下列说法中正确的是（ ）A ．若12y y =，则12x x =B ．若12x x =-，则12y y =-C ．若120x x <<，则12y y >D ．若120x x <<，则12y y >5. 已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( ) A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<06. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则点在 第___象限 ( ) A. 一 B. 二 C. 三D. 四7. 如图所示，已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交x 轴于点A(m ，0)和点B ，且m>4，那么AB 的长是( ) A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m8. 若一次函数y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax 2+bx 的图象只可能是( )9. 已知抛物线和直线 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x= -1，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上的点，P 3(x 3，y 3)是直线 上的点，且-1<x 1<x 2，x 3<-1，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( ) A. y 1<y 2<y 3 B. y 2<y 3<y 1 C.10.把y 3<y 1<y 2 D. y 2<y 1<y 3 抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是( ) A. B. C.D.11.下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数cx c a ax y +++=)(2与一次函数c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）OxyAO xyBO xyCOxyD北师大版九年级下册第二章二次函数单元测试12.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ）A. 0>M ，0>N ，0>PB. 0<M ，0>N ，0>PC. 0>M ，0<N ，0>PD. 0<M ，0>N ，0<P一选择题（每题3分，共36分）二、填空题(每题4分，共24分)13. 二次函数y=x 2-2x+1的对称轴方程是______________.14. 若将二次函数y=x 2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式，则y=________.15. 抛物线y=x 2+bx+c ，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.16. 若二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点（-2，8），且一元二次方程ax 2+bx+c=0的根为-1和2，则该二次函数的解析关系式为 ___________17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________.18. （2009年甘肃庆阳）图12为二次函数2y ax bx c =++的图象，给出下列说法：①0ab <；②方程20ax bx c ++=的根为1213x x =-=，；③0a b c ++>；④当1x >时，y 随x 值的增大而增大；⑤当0y >时，13x -<<．其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）三．解答题19.已知二次函数图象与x 轴交点（2,0）(-1,0)与y 轴交点是（0，-1）求解析式及顶点坐标。
第二章 二次函数 单元测试卷 2022-2023学年 北师大版数学九年级下册(含答案)
第二章二次函数单元测试卷一、选择题(每小题3分，共24分)1．下列函数是y关于x的二次函数的是()A．y＝－x B．y＝2x＋3C．y＝x2－3 D．y＝1 x2＋12．把函数y＝(x－1)2＋2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数表达式为()A．y＝x2＋2 B．y＝(x－1)2＋1C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－1)2－33．二次函数y＝x2－2x＋4化为y＝a(x－h)2＋k的形式，下列正确的是() A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x－1)2＋3C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2＋44．抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是() A．m＜2 B．m＞2C．0＜m≤2 D．m＜－25．根据下列表格对应值：x … 6.17 6.18 6.19 6.20 6.21…ax2＋bx＋c …－0.02－0.010.010.040.08…判断关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个解x的取值范围是()A．6.20＜x＜6.21 B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.206．在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx＋c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是()(第6题)7．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y(m3)与旋钮的旋转角度x(度)(0<x≤90)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为()(第7题)A．18度B．36度C．41度D．58度8．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点(点C在点D右边)，对称轴为直线x＝52，连接AC，AD，BC.若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是()A．点B的坐标为(5，4)B．AB＝ADC．a＝－1 6D．OC·OD＝16(第8题)(第12题)二、填空题(每小题3分，共15分)9．二次函数y＝(x＋3)2＋2的图象的对称轴是直线________．10．已知函数y＝(m－1)x m2＋1＋3x，当m＝________时，它是二次函数．11．已知二次函数的图象经过(－1，0)、(3，0)、(0，3)三点，那么这个二次函数的表达式为____________．12．如图所示，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y，则y关于x的函数表达式为________．13．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc>0；②b2－4ac>0；③8a＋c<0；④5a＋b＋2c>0，其中正确的结论有________(只填序号)．(第13题)三、解答题(共13小题，共81分)14．(5分)把下列二次函数化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项．(1)y＝(1－x)(1＋x)；(2)y＝4x2－12x(1＋x)．。
九年级下册数学单元测试卷-第二章 二次函数-北师大版(含答案)
九年级下册数学单元测试卷-第二章二次函数-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+b 和反比例函数y= 的图象大致是( )A. B. C. D.2、如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-2，0）、B（1，0），直线x=与此抛物线交于点C，与x轴交于点M，在直线上取点D，使MD=MC，连接AC，BC，AD，BD，某同学根据图象写出下列结论：①a-b=0；②当x＜时，y随x增大而增大；③四边形ACBD是菱形；④9a-3b+c＞0．你认为其中正确的是( )A.②③④B.①②③C.①③④D.①②③④3、赵州桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度AB为20m时，水面与桥拱顶的高度DO等于（）A.2 mB.4 mC.10 mD.16 m4、顶点为（﹣6，0），开口向下，形状与函数y= x2的图象相同的抛物线所对应的函数是（）A.y= （x﹣6）2B.y= （x+6）2C.y=﹣（x﹣6）2 D.y=﹣（x+6）25、如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b，其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6、如果抛物线A：y=x2－1通过左右平移得到抛物线B，再通过上下平移抛物线B得到抛物线C：y=x2－2x＋2，那么抛物线B的表达式为( )A. y= x2＋2B. y= x2－2 x－1C. y= x2－2 xD. y= x2－2 x＋17、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n与x轴的交点为点A，与二次函数交于点B，点C，点A，B，C三点的横坐标分别为a、b、c，则下面四个等式中不一定成立的是（）A.a 2+bc=c 2-abB.C.b 2(c-a)=c 2(b-a)D.8、已知点A（﹣3，7）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（）A.（0，7）B.（﹣1，7）C.（﹣2，7）D.（﹣3，7）9、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，点B位于（4，0）、（5，0）之间，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C，D两点，D点在x轴上方且横坐标小于5，则下列结论：①4a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③m（am+b）＜4a+2b（其中m为任意实数）；④a＜﹣1，其中正确的是（）A.①②③④B.①②③C.①②④D.①③④10、如图，抛物线的顶点为B(1，3)，与轴的交点A在点 (2，0)和(3，0)之间．以下结论：①；②；③；④≥；⑤若，且，则.其中正确的结论有（）A.4个 B.3个C.2个D.1个11、对于二次函数y=ax2－（2a－1）x＋a－1（a≠0），有下列结论：①其图象与x轴一定相交；②其图象与直线y=x－1有且只有一个公共点；③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a取何值，函数图象都经过同一个点．其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.412、已知抛物线，如图所示，下列命题：①；②对称轴为直线；③抛物线经过，两点，则；④顶点坐标是（，其中真命题的概率是（）A. B. C. D.113、二次函数y=ax2+bx+c图象如图，下列正确的个数为（）①bc＞0；②2a﹣3c＜0；③2a+b＞0；④ax2+bx+c=0有两个解x1， x2，当x1＞x2时，x1＞0，x2＜0；⑤a+b+c＞0；⑥当x＞1时，y随x增大而减小．A.2B.3C.4D.514、已知二次函数y=ax2+2ax﹣3的部分图象（如图），由图象可知关于x的一元二次方程ax2+2ax﹣3=0的两个根分别是x1=1.3和x2=（）A.﹣1.3B.﹣2.3C.﹣0.3D.﹣3.315、己知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①a+b+c<0；②a-b+c<0；③b+2a<0；④abc>0，其中正确结论的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(共10题，共计30分)16、若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＜0的解集为________．17、抛物线y=x2﹣4x+c与x轴交于A、B两点，己知点A的坐标为（1，0），则线段AB的长度为________ ．18、如图，抛物线y=x2+bx+ 与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B （点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为________．19、如图，在平面直角坐标系中，，，经过两点的圆交轴于点（在上方），则四边形面积的最小值为________.20、一个边长为3厘米的正方形，若它的边长增加x厘米，面积随之增加y平方厘米，则y关于x的函数表达式是________．21、如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）直接具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为________s．22、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图形经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1， x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＜0；②a＜b＜﹣2a；③b2+8a＜4ac；④﹣1＜a＜0．其中正确结论的序号是________23、已知正整数a满足不等式组（x为未知数）无解，则函数y=（3﹣a）x2+x﹣图象与x轴的交点坐标为________．24、若函数y=（m﹣3）是二次函数，则m=________．25、在平面直角坐标系中，与抛物线关于x轴成轴对称的抛物线的解析式是________三、解答题(共5题，共计25分)26、将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD的面积．27、如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线. 如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m，求水流的落地点C到水枪底部B的距离.28、已知二次函数y＝2x2+4x﹣6，求该抛物线的顶点坐标．29、某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：销售单价x（元/…20 30 40 50 60 …件）每天销售量（y件）…500 400 300 200 100 …（1）已知y是x的函数，请你分析它是我们学过的哪种函数，并求出函数关系式；（2）市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价在什么范围时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？30、在“美丽乡村”建设中，某村施工人员想利用如图所示的直角墙角，计划再用30米长的篱笆围成一个矩形花园，要求把位于图中点处的一颗景观树圈在花园内，且景观树与篱笆的距离不小2米．已知点到墙体、的距离分别是8米、16米，如果、所在两面墙体均足够长，求符合要求的矩形花园面积的最大值．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、B3、B4、D5、C6、C7、A8、B9、C10、A11、D12、C13、B14、D15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、29、。
北师大新版九年级数学下学期《第2章 二次函数》 单元练习卷 含解析
第2章二次函数一．选择题（共10小题）1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（）A．y＝2x+3 B．C．y＝3x2﹣1 D．y＝（x﹣1）2﹣x22．对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣2C．顶点坐标是（2，1）D．与x轴有两个交点3．抛物线y＝3x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，所得的抛物线是（）A．y＝3（x+2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+14．抛物线y＝x2+2x与x轴的交点坐标是（）A．（0，0）B．（2，0）C．（0，0）或（﹣2，0）D．（0，0）或（2，0）5．如图所示，中堂中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，水柱喷出的竖直高度y （m）与水平距离x（m）满足y＝﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（）A．2 B．4 C．6 D．2+6．若A（﹣3，y1），，C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3B．y1＜y3＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y17．已知二次函数y＝ax2+bx+c中x和y的值如下表（）x0.10 0.11 0.12 0.13 0.14y﹣5.6 ﹣3.1 ﹣1.5 0.9 1.8 则ax2+bx+c＝0的一个根的范围是（）A．0.10＜x＜0.11 B．0.11＜x＜0.12C．0.12＜x＜0.13 D．0.13＜x＜0.148．赵州桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度AB 为20m时，水面与桥拱顶的高度DO等于（）A．2m B．4m C．10m D．16m9．抛物线y＝x2﹣x+m与x轴至少有一个公共点，则m的取值范围是（）A．m B．m＞C．m≤D．m＜10．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+b与一次函数y＝bx+a的图象可能是（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）11．已知点A（3，n）在二次函数y＝x2﹣x+1的图象上，那么n的值为．12．抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴交点的交点坐标为．13．函数y＝（m+1）x|m|+1+5x﹣5是二次函数，则m＝．14．二次函数y＝kx2﹣4x+1与x轴有交点，则k的取值范围是．15．如图，一次函数y＝mx+n的图象与二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是．16．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b ＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜0时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中，正确的有．（只填序号）17．如图，将函数y＝+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A′、B′．若曲线段AB扫过的面积为12（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是．三．解答题（共23小题）18．（1）解方程：（x﹣2）（x+3）＝6；（2）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，求该抛物线的顶点坐标．19．已知抛物线y＝﹣x+5．（l）求该抛物线的顶点坐标；（2）判断点P（﹣2，5）是否落在图象上，请说明理由．20．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为C．（1）求A，B，C，D的坐标；（2）求四边形ABCD的面积．21．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y… 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m…（1）写出m的值；（2）在图中画出这个二次函数的图象；（3）当y≥5时，x的取值范围是；（4）当﹣4＜x＜1时，y的取值范围是．22．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调査，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y与x之间的函数关系式，并直接写出当x取何值时，商场可获得最大利润？最大利润为多少元？23．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）一辆宽为2米，高为3米的货船能否从桥下通过？24．已知函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k2﹣3k﹣10的图象经过原点，试确定k的值．25．在平面直角坐标系中，若抛物线y＝2x2与直线y＝x+1交于点A（a，b）和点B（c，d），其中a＞c，点O为原点，求△ABO的面积．26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，点P从点C开始沿CB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从A开始沿AC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q同时从点C，A出发，试问：（1）出发多少时间时，点P，Q之间的距离等于？（2）出发多少时间时，△PQC的面积为6cm2？（3）△PQC面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？27．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D 作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？28．我县某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包田地种植“黄金梨”，已知该黄金梨的成本价为8元/千克，到了收获季节投入市场销售时，通过调查市场行情发现销售该黄金梨不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当黄金梨定价为多少元时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某农户今年共采摘黄金梨4800千克，若黄金梨的保质期为40天，则按（2）中的方式进行销售，能否销售完这批黄金梨？请说明理由．29．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P 在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．30．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B和点C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），抛物线的对称轴为x＝1，D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）点E为线段BC上一动点，过点E作x轴的垂线，与抛物线交于点F，求四边形ACFB面积的最大值，以及此时点E的坐标．（3）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，写出点P点的坐标；若不存在，说明理由．31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（4，0），B（﹣1，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是直线AC上一动点，过点D作DE垂直于y轴于点E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点D的坐标；（3）在AC上方的抛物线上是否存在点P，使得△ACP是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．32．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件50元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件40.5元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价2元，每天可多销售16件，那么每天要想获得最大利润，每件售价应多少元？最大利润是多少？33．如图，已知直线y＝x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．（1）求抛物线解析式；（2）点C（m，0）是x轴上异于A、O点的一点，过点C作x轴的垂线交AB于点D，交抛物线于点E．①当点E在直线AB上方的抛物线上时，连接AE、BE，求S△ABE的最大值；②当DE＝AD时，求m的值．34．已知等边△ABC和Rt△DEF按如图所示的位置放置，点B、D重合，且点E、B（D）、C在同一条直线上．其中∠E＝90°，∠EDF＝30°，AB＝DE＝，现将△DEF沿直线BC以每秒个单位向右平移，直至E点与C点重合时停止运动，设运动时间为t 秒．（1）试求出在平移过程中，点F落在△ABC的边上时的t值；（2）试求出在平移过程中△ABC和Rt△DEF重叠部分的面积S与t的函数关系式．35．如图，为了绿化小区，某物业公司要在形如五边形ABCDE的草坪上建一个矩形花坛PKDH．已知：PH∥AE，PK∥BC，DE＝100米，EA＝60米，BC＝70米，CD＝80米．以BC所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，坐标原点为O．（1）求直线AB的解析式．（2）若设点P的横坐标为x，矩形PKDH的面积为S，求S关于x的函数关系式．36．在体育测试时，九年级的一名高个男同学推铅球，已知铅球所经过的路径是某个二次函数图象的一部分（如图所示）．如果这个男同学出手处A点的坐标是（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标是（6，5）．求这个二次函数的解析式．37．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，在图中直角坐标系内，求涵洞所在抛物线的函数表达式．38．已知二次函数y＝﹣x2+x+（1）将y＝﹣x2+x+成y＝a（x﹣h）2+k的形式：（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线x……y……（3）当﹣3＜x＜3时，观察图象直接写出函数值y的取值的范围．（4）将该抛物线在x上方的部分（不包含与x的交点）记为G，若直线y＝x+b与G 只有一个公共点，则b的取值范围是．39．抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，（1）抛物线与x轴的另一个交点坐标为；m＝，n＝．（2）画出此二次函数的图象；（3）利用图象回答：当x取何值时，y≤0？40．已知抛物线y＝﹣2x2+（m﹣3）x﹣8．（1）若抛物线的对称轴为y轴，求m的值；（2）若抛物线的顶点在x正半轴上，求顶点坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（）A．y＝2x+3 B．C．y＝3x2﹣1 D．y＝（x﹣1）2﹣x2【分析】根据二次函数的定义，可得答案．【解答】解：A、是一次函数，故A错误；B、二次函数都是整式，故B错误；C、是二次函数，故C正确；D、是一次函数，故D错误；故选：C．2．对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣2C．顶点坐标是（2，1）D．与x轴有两个交点【分析】利用二次函数的性质对A、B、C进行判断；利用3（x﹣2）2+1＝0的实数解的个数对D进行判断．【解答】解：二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象的开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1），当y＝0时，3（x﹣2）2+1＝0，此方程没有实数解，所以抛物线与x轴没有交点．故选：C．3．抛物线y＝3x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，所得的抛物线是（）A．y＝3（x+2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+1【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可．【解答】解：抛物线y＝3x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位后的抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣1），所得抛物线为y＝3（x+2）2﹣1．故选：A．4．抛物线y＝x2+2x与x轴的交点坐标是（）A．（0，0）B．（2，0）C．（0，0）或（﹣2，0）D．（0，0）或（2，0）【分析】根据题意可知，解方程x2+2x＝0，即可得出结果．【解答】解：令y＝0，则x2+2x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣2，所以抛物线y＝x2+2x与x轴的交点坐标是（0，0）或（﹣2，0），故选：C．5．如图所示，中堂中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，水柱喷出的竖直高度y （m）与水平距离x（m）满足y＝﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（）A．2 B．4 C．6 D．2+【分析】直接利用二次函数最值求法得出答案．【解答】解：∵抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，∴水柱的最大高度是：6．故选：C．6．若A（﹣3，y1），，C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3B．y1＜y3＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可．【解答】解：对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∵a＝1＞0，∴x＜﹣1时，y随x的增大而减小，x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∴y2＜y1＜y3．故选：A．7．已知二次函数y＝ax2+bx+c中x和y的值如下表（）x0.10 0.11 0.12 0.13 0.14y﹣5.6 ﹣3.1 ﹣1.5 0.9 1.8 则ax2+bx+c＝0的一个根的范围是（）A．0.10＜x＜0.11 B．0.11＜x＜0.12C．0.12＜x＜0.13 D．0.13＜x＜0.14【分析】由表格可发现y的值﹣1.5和0.9最接近0，再看对应的x的值即可得．【解答】解：由表可以看出，当x取0.12与0.13之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为0.12＜x＜0.13．故选：C．8．赵州桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度AB 为20m时，水面与桥拱顶的高度DO等于（）A．2m B．4m C．10m D．16m【分析】根据题意，把x＝10直接代入解析式即可解答．【解答】解：根据题意B的横坐标为10，把x＝10代入y＝﹣x2，得y＝﹣4，∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），即水面与桥拱顶的高度DO等于4m．故选：B．9．抛物线y＝x2﹣x+m与x轴至少有一个公共点，则m的取值范围是（）A．m B．m＞C．m≤D．m＜【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣1）2﹣4m≥0，然后解不等式即可．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣x+m与x轴至少有一个公共点，∴△＝（﹣1）2﹣4m≥0，∴m≤．故选：C．10．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+b与一次函数y＝bx+a的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】本题可先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y ＝bx2+a的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由抛物线y＝ax2+b可知，图象开口向上，与y轴交在负半轴a＞0，b＜0，由直线y＝bx+a可知，图象过一，二，三象限，b＞0，a＞0，故此选项错误；B、由抛物线y＝ax2+b可知，图象开口向上且与y轴交在正半轴a＞0，b＞0，由直线y＝bx+a可知，图象过一，二，四象限，b＜0，a＞0，故此选项错误；C、由抛物线可y＝ax2+b知，图象开口向下且与y轴交在正半轴a＜0，b＞0，由直线y＝bx+a可知，图象过一，三，四象限b＞0，a＜0，故此选项正确；D、由抛物线可y＝ax2+b知，图象开口向下且与y轴交在负半轴a＜0，b＜0，由直线y＝bx+a可知，图象过一，二，三象限b＞0，a＞0，故此选项错误；故选：C．二．填空题（共7小题）11．已知点A（3，n）在二次函数y＝x2﹣x+1的图象上，那么n的值为7 ．【分析】将A（3，n）代入二次函数的关系式y＝x2﹣x+1，然后解关于n的方程即可．【解答】解：∵A（3，n）在二次函数y＝x2﹣x+1的图象上，∴A（3，n）满足二次函数y＝x2﹣x+1，∴n＝9﹣3+1＝7，即n＝7，故答案是：7．12．抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴交点的交点坐标为（1，0）．【分析】通过解方程x2﹣2x+1＝0得抛物线与x轴交点的交点坐标．【解答】解：当y＝0时，x2﹣2x+1＝0，解得x1＝x2＝1，所以抛物线与x轴交点的交点坐标为（1，0）．故答案为（1，0）．13．函数y＝（m+1）x|m|+1+5x﹣5是二次函数，则m＝ 1 ．【分析】根据二次函数的定义，必须二次项系数不等于0，且未知数的次数等于2，据此列不等式组并求解即可．【解答】解：由二次函数的定义可知，当时，该函数是二次函数∴∴m＝1故答案为：1．14．二次函数y＝kx2﹣4x+1与x轴有交点，则k的取值范围是k≤4且k≠0 ．【分析】根据二次函数y＝kx2﹣4x+1与x轴有交点，可以得到关于k的不等式组，从而可以求得k的取值范围．【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣4x+1与x轴有交点，∴，解得，k≤4且k≠0，故答案为：k≤4且k≠0．15．如图，一次函数y＝mx+n的图象与二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是x＜﹣1或x＞4 ．【分析】写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：当x＜﹣1或x＞4，所以关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是x＜﹣1或x＞4．故答案为x＜﹣1或x＞4．16．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b ＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜0时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中，正确的有①②③⑤．（只填序号）【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断；②根据抛物线与x轴的交点个数即可判断；③根据抛物线的对称轴即可判断；④根据抛物线与y轴的交点和顶点坐标即可判断；⑤根据抛物线的性质即可判断；⑥根据当x＝1时y的值即可判断．【解答】解：①根据图象可知：a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0．∴①正确；②∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，即b2﹣4ac＞0，4ac＜b2．∴②正确；③∵抛物线的对称轴x＜1，即﹣＜1，得2a+b＞0．∴③正确；④∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣2），∴抛物线的顶点的纵坐标不能为﹣2．∴④错误；⑤根据抛物线的性质可知：当x＜0时，y随x的增大而减小；∴⑤正确；⑥当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0．∴⑥错误．故答案为①②③⑤．17．如图，将函数y＝+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A′、B′．若曲线段AB扫过的面积为12（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是y＝（x﹣2）2+5 ．【分析】曲线段AB扫过的面积＝（x B﹣x A）×AA′＝3AA′＝12，则AA′＝4，即可求解．【解答】解：曲线段AB扫过的面积＝（x B﹣x A）×AA′＝3AA′＝12，则AA′＝4，故抛物线向上平移4个单位，则y＝（x﹣2）2+5，故答案为．三．解答题（共23小题）18．（1）解方程：（x﹣2）（x+3）＝6；（2）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，求该抛物线的顶点坐标．【分析】（1）根据解一元二次方程的方法可以解答此方程；（2）根据抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，可以求得该抛物线的解析式，然后将该函数的解析式化为顶点式，即可解答本题．【解答】解：（1）∵（x﹣2）（x+3）＝6，∴x2+x﹣6＝6，∴x2+x﹣12＝0，∴（x﹣3）（x+4）＝0，∴x﹣3＝0或x+4＝0，解得，x1＝3，x2＝﹣4；（2）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，解得，，∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．19．已知抛物线y＝﹣x+5．（l）求该抛物线的顶点坐标；（2）判断点P（﹣2，5）是否落在图象上，请说明理由．【分析】（1）将抛物线的解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的顶点坐标；（2）先判断点P是否落在图象上，然后将x＝﹣2代入函数解析式，求出相应的函数值，即可解答本题．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x+5＝+，∴该抛物线的顶点坐标是（1，）；（2）点P（﹣2，5）不落在图象上，理由：当x＝﹣2时，y＝×（﹣2）2﹣（﹣2）+5＝9，∴点P（﹣2，5）不落在图象上．20．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为C．（1）求A，B，C，D的坐标；（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以求得A，B，C，D的坐标；（2）根据（1）中求得的点A，B，C，D的坐标，可以求得四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）＝（x﹣1）2﹣4，∴当y＝0时，x1＝3，x2＝﹣1，当x＝0时，y＝﹣3，该函数的顶点坐标为（1，﹣4），∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（1，﹣4），点D 的坐标为（0，﹣3）；（2）连接OC，如右图所示，∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（1，﹣4），点D 的坐标为（0，﹣3），∴四边形ABCD的面积是：S△AOD+S△ODC+S△OCB＝＝9．21．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y… 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m…（1）写出m的值0 ；（2）在图中画出这个二次函数的图象；（3）当y≥5时，x的取值范围是x≤﹣4或x≥2 ；（4）当﹣4＜x＜1时，y的取值范围是﹣4≤y＜5 ．【分析】（1）先确定出对称轴，根据抛物线的对称性即可求得；（2）根据二次函数图象的画法作出图象即可；（3）根据抛物线的对称性，（﹣4，5）关于直线x＝﹣1的对称点是（2，5），根据图象即可求得结论，（4）根据函数图象，写y的取值范围即可．【解答】解：（1）由图表可知抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∵（﹣3，0）关于直线x＝﹣1的对称点是（1，0），∴m＝0，故答案为：0；（2）函数图象如图所示；（3）∵（﹣4，5）关于直线x＝﹣1的对称点是（2，5），由图象可知当y≥5时，x的取值范围是x≤﹣4或x≥2，故答案为x≤﹣4或x≥2；（4）由图象可知当﹣4＜x＜1时，y的取值范围是﹣4≤y＜5，故答案为﹣4≤y＜5．22．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调査，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y与x之间的函数关系式，并直接写出当x取何值时，商场可获得最大利润？最大利润为多少元？【分析】（1）根据一天获利＝每件利润×一天的销售量即可求解；（2）①根据降价后的单件利润乘以销售量等于总利润列方程即可求解；②根据①的关系式利用二次函数的性质即可求解．【解答】解：（1）根据题意，得（100﹣80）×100＝2000．答：商场经营该商品原来一天可获利润2000元（2）①根据题意，得（100﹣80﹣x）（100+10x）＝2160整理，得x2﹣10x+16＝0，解得x1＝2，x2＝8．答：每件商品应降价2元或8元．②y＝（100﹣80﹣x）（100+10x）＝﹣10x2+100x+2000＝﹣10（x﹣5）2+2250当x＝5时，y有最大值为2250．答：y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x2+100x+2000．当x取5元时，商场可获得最大利润，最大利润为2250元．23．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）一辆宽为2米，高为3米的货船能否从桥下通过？【分析】（1）根据直角坐标系中的抛物线，和已知条件即可求解；（2）根据货车宽度可知抛物线解析式中的x值，即可求出对应的y的值，再与货车高度比较即可求解．【解答】解：（1）根据题意，得抛物线的顶点坐标为（5，4），经过（0，0），∴设：抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+4，把（0，0）代入，得25a+4＝0，解得a＝﹣，所以抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+4＝﹣x2+x．答：抛物线解析式为y＝﹣x2+x．（2）货船能从桥下通过．理由如下：∵货船宽为2米，高为3米，当x＝6时，y＝﹣（6﹣5）2+4＝3.84，∵3.84＞3，∴货船能从桥下通过．答：货船能从桥下通过．24．已知函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k2﹣3k﹣10的图象经过原点，试确定k的值．【分析】根据函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k2﹣3k﹣10的图象经过原点，可以得到关于k的一元二次方程，从而可以求得k的值．【解答】解：∵函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k2﹣3k﹣10的图象经过原点，∴0＝2×02﹣（3﹣k）×0+k2﹣3k﹣10，∴k2﹣3k﹣10＝0，∴（k﹣5）（k+2）＝0，解得，k1＝5，k2＝﹣2，即k的值是5或﹣2．25．在平面直角坐标系中，若抛物线y＝2x2与直线y＝x+1交于点A（a，b）和点B（c，d），其中a＞c，点O为原点，求△ABO的面积．【分析】首先求得两个交点的坐标，然后求得三角形的面积即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＝﹣或x＝1，∵点A（a，b）和点B（c，d），其中a＞c，∴A（1，2），B（﹣，），∴S△ABO＝×1×+×1×1＝．26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，点P从点C开始沿CB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从A开始沿AC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q同时从点C，A出发，试问：（1）出发多少时间时，点P，Q之间的距离等于？（2）出发多少时间时，△PQC的面积为6cm2？（3）△PQC面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？【分析】（1）可设出发xs时间时，点P，Q之间的距离等于2cm，根据勾股定理列出方程求解即可；（2）可设出发ys时间时，△PQC的面积为6cm2，根据三角形的面积公式列出方程求解即可；（3）根据题意得到△PQC面积和时间t的关系式，根据关系式即可得到结论．【解答】解：（1）设出发xs时间时，点P，Q之间的距离等于2cm，依题意有x2+（12﹣2x）2＝（2）2，解得x1＝2，x2＝7.6（不合题意舍去）．答：出发2s时间时，点P，Q之间的距离等于2cm；（2）设出发ys时间时，△PQC的面积为6cm2，依题意有y（12﹣2y）＝6，解得y1＝3﹣，y2＝3+．答：出发（3﹣）s或（3+）s时间时，△PQC的面积为6cm2；（3）依题意有S△PQC＝t（12﹣2t）＝﹣（t﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴△PQC面积的有最大值9，此时时间是3．27．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D 作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？【分析】（1）由平行线得△ABC∽△ADE，根据相似形的性质得关系式；（2）由S＝•BD•AE；得到函数解析式，然后运用函数性质求解．【解答】解：（1）动点D运动x秒后，BD＝2x．又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．∵DE∥BC，∴，∴，∴y关于x的函数关系式为y＝（0＜x＜4）．（2）解：S△BDE＝＝＝（0＜x＜4）．当时，S△BDE最大，最大值为6cm2．28．我县某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包田地种植“黄金梨”，已知该黄金梨的成本价为8元/千克，到了收获季节投入市场销售时，通过调查市场行情发现销售该黄金梨不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当黄金梨定价为多少元时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某农户今年共采摘黄金梨4800千克，若黄金梨的保质期为40天，则按（2）中的方式进行销售，能否销售完这批黄金梨？请说明理由．【分析】（1）根据图象即可求出y与x的函数关系；（2）根据销售利润等于每千克的利润乘以销售量即可求解；（3）每天的销售量与天数即可求解．【解答】解：（1）设y与x的函数关系为y＝kx+b，将（10，200），（15，150）代入，得，，∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+300（8≤x≤30）．（2）设每天销售获得利润为w元，根据题意，得w＝（x﹣8）（﹣10x+300）＝﹣10x2+380x﹣2400＝﹣10（x﹣19）2+1210∵﹣10＜0，当x＝19时，w有最大值为1210，答：黄金梨定价为19元时，每天销售获得的利润最大，最大利润是1210元．（3）根据题意，得40y＝4800，即﹣10x+300＝120，解得x＝18．答：能销售完这批黄金梨．29．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P 在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，∴0＝a（3﹣1）2+4，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3，∵点D在y轴上，令x＝0可得y＝3，∴D点坐标为（0，3），∴可设直线BD解析式为y＝kx+3，把B点坐标代入可得3k+3＝0，解得k＝﹣1，∴直线BD解析式为y＝﹣x+3；（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），∴PM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝，PM有最大值；（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），∴QG＝|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|＝|﹣x2+3x|，∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠DBO＝45°，∴∠HGQ＝∠BGE＝45°，当△BDQ中BD边上的高为时，即QH＝HG＝，∴QG＝＝2，∵点Q在第一象限，∴﹣x2+3x＝2，解得x＝1或x＝2，∴Q（1，4）或（2，3），综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（1，4）或（2，3）．30．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B和点C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），抛物线的对称轴为x＝1，D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）点E为线段BC上一动点，过点E作x轴的垂线，与抛物线交于点F，求四边形ACFB面积的最大值，以及此时点E的坐标．（3）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，写出点P 点的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由B、C的坐标，结合抛物线对称轴，根据待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由B、C可求得直线BC解析式，可设出F点坐标，则可表示出E点坐标，从而可求得EF的长，则可表示出△CBF的面积，从而可表示出四边形ACFB的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，可求出E点的坐标；（3）由抛物线解析式可求得D点坐标，可设P点坐标为（1，t），则可表示出PC、PD和CD的长，由等腰三角形可分PC＝PD、PC＝CD和PD＝CD三种情况分别得到关于t的方程，可求得P点坐标．【解答】解：（1）∵点B和点C的坐标分别为（3，0）（0，﹣3），抛物线的对称轴为x＝1，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2））∵B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC解析式为y＝x﹣3，∵E点在直线BC上，F点在抛物线上，∴设F（x，x2﹣2x﹣3），E（x，x﹣3），∵点F在线段BC下方，∴EF＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，∴S△BCF＝EF•OB＝×3（﹣x2+3x）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，又∵S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6，∴S四边形ACFB＝S△ABC+S△BCF＝﹣（x﹣）2++6＝﹣（x﹣）2+，∵﹣＜0，∴当x＝时，S四边形ACFB有最大值，最大值为，此时E点坐标为（，﹣），综上可得四边形ACFB面积的最大值为，此时点E的坐标为（，﹣）；（3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4），且C（0，﹣3），∵P点为抛物线对称轴上的一点，∴设P（1，t），∴PC＝＝，PD＝|t+4|，CD＝＝，∵△PCD为等腰三角形，∴分PC＝PD、PC＝CD和PD＝CD三种情况，①当PC＝PD时，则＝|t+4|，解得t＝﹣3，此时P点坐标为（1，﹣3）；②当PC＝CD时，则＝，解得t＝﹣2或t＝﹣4（与D点重合，舍去），此时P点坐标为（1，﹣2）；。
北师大版九年级下第二章《二次函数》单元测试含答案
北师大版九年级数学下册第二章单元测试一、 选择题（每小题4分，共10小题，满分40分） 每题有A 、B 、C 、D 四个选项，只有一个是正确的，请把正确的选项填写在题的括号内.1.二次函数y=a （x+m ）2+n 的图象如图，则一次函数y=mx+n 的图象经过（ ）A ．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限 2.函数y=k x与y=﹣kx 2+k （k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 3.关于二次函数y=x 2﹣2x ﹣3的图象，下列说法中错误的是（ ）A ．当x ＜2，y 随x 的增大而减小B ．函数的对称轴是直线x=1C ．函数的开口方向向上 D．函数图象与y 轴的交点坐标是（0，﹣3）4.如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2+bx+c 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．5.如图所示是二次函数y=ax 2﹣x+a 2﹣1的图象，则a 的值是（ ）A．a=﹣1 B．a=12C．a=1 D．a=1或a=﹣16.抛物线y=x2﹣2x﹣3的图象向左平移2个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2+bx+c，则b、c的值为（）A．b=2，c=2 B．b=2，c=﹣1 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣3，c=27.根据下列表格对应值：判断关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x的范围是（）A．x＜3 B．x＞5 C．3＜x＜4 D．4＜x＜58.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x=﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc ＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）A．①② B．②③ C．①②④D．②③④9.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞510.已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且﹣1＜x1＜x2，x3＜﹣1，则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y1＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）请把正确的答案填写在横线上.11.二次函数y=x2﹣2x+6的最小值是．12.抛物线y=x2﹣5x+6与x轴交于A、B两点，则AB的长为．13.若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是．14.如图，抛物线y=x+1）（x﹣3）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为该抛物线的对称轴上一点，当点D到直线BC和到x轴的距离相等时，则点D的坐标为．三、解答题（共8小题，满分90分）15.二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．（1）求b、c的值；（2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．16.如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．17.已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．18.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．19.已知某种产品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查发现，该产品每降价1元，每星期可多卖出20件，由于供货方的原因销量不得超过380件，设这种产品每件降价x元（x为整数），每星期的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）该产品销售价定为每件多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）该产品销售价在什么范围时，每星期的销售利润不低于6000元，请直接写出结果．20.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．21.如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0）与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（Ⅱ）求△BCD的面积；（Ⅲ）若直线CD交x轴与点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD与点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究抛物线最多可以向上平移多少个单位长度（直接写出结果，不写求解过程）．22.如图，已知正方形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，抛物线y=23x2+bx+c经过点A，B，交正x轴于点D，E是OC上的动点（不与C重合）连接EB，过B点作BF⊥BE交y轴与F（1）求b，c的值及D点的坐标；（2）求点E在OC上运动时，四边形OEBF的面积有怎样的规律性？并证明你的结论；（3）连接EF，BD，设OE=m，△BEF与△BED的面积之差为S，问：当m为何值时S最小，并求出这个最小值．23.如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=12x刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．参考答案及解析1. 【答案】C ．解析：∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣m ＞0，n ＜0，∴m ＜0，∴一次函数y=mx+n 的图象经过二、三、四象限，故选C ．2. 【答案】B ．解析：由解析式y=﹣kx 2+k 可得：抛物线对称轴x=0；A 、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k ＜0，则﹣k ＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y 轴的交点为y 轴的负半轴上；本图象与k 的取值相矛盾，故A 错误；B 、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k ＞0，则﹣k ＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，本图象符合题意，故B 正确；C 、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k ＞0，则﹣k ＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，本图象与k 的取值相矛盾，故C 错误；D 、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k ＞0，则﹣k ＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，本图象与k 的取值相矛盾，故D 错误．故选B ．3. 【答案】A ．解析：∵y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线开口向上，对称轴为x=1，当x ＜1时y 随x 的增大而减小，故B 、C 正确，A 不正确， 令x=0可得y=﹣3，∴抛物线与y 轴的交点坐标为（0，﹣3），故D 正确，故选A ．4. 【答案】B ．解析：∵a ＜0，∴抛物线的开口方向向下，故第三个选项错误；∵c ＜0，∴抛物线与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上，故第一个选项错误；∵a ＜0、b ＞0，对称轴为x=2b a＞0， ∴对称轴在y 轴右侧，故第四个选项错误．故选B ．5. 【答案】C ．解析：由图象得，此二次函数过原点（0，0），把点（0，0）代入函数解析式得a 2﹣1=0，解得a=±1；又因为此二次函数的开口向上，所以a ＞0；所以a=1．故选C ．6. 【答案】B解析：y=x 2﹣2x ﹣3=x 2﹣2x+1﹣4=（x ﹣1）2﹣4，图象向左平移2个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为y=（x ﹣1+2）2﹣4+2=（x+1）2﹣2=x 2+2x ﹣1，则b=2，c=﹣1，故选B ．7. 【答案】C解析：∵x=3时，y=0.5，即ax 2+bx+c ＞0；x=4时，y=﹣0.5，即ax 2+bx+c ＜0，∴抛物线与x 轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，∴关于x 的方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的一个解x 的范围是3＜x ＜4．故选C ．8. 【答案】A解析：∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线对称轴为直线x=﹣2b a=﹣1， ∴b=2a ＞0，则2a ﹣b=0，所以②正确；∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜0，∴abc ＜0，所以①正确；∵x=2时，y ＞0，∴4a+2b+c ＞0，所以③错误；∵点（﹣5，y 1）离对称轴的距离与点（3，y 2）离对称轴的距离相等，∴y 1=y 2，所以④不正确．故选A ．9. 【答案】D.解析：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），∴图象与x 轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．利用图象可知：ax 2+bx+c ＜0的解集即是y ＜0的解集，∴x ＜﹣1或x ＞5．故选D ．考点：二次函数利用图象.10. 【答案】D ．解析：对称轴为直线x=﹣1，且﹣1＜x 1＜x 2，当x ＞﹣1时，y 2＜y 1，又因为x 3＜﹣1，由一次函数的图象可知，此时点P 3（x 3，y 3）在二次函数图象上方，所以y 2＜y 1＜y 3．故选D ．11. 【答案】5.解析：y=x 2﹣2x+6=x 2﹣2x+1+5=（x ﹣1）2+5，可见，二次函数的最小值为5．12. 【答案】1.解析：当y=0，则0=x 2﹣5x+6，解得：x1=2，x2=3，故AB的长为：3﹣2=1．13.【答案】0或1①若m=0，则函数y=2x+1，是一次函数，与x轴只有一个交点；②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1，是二次函数．根据题意得：△=4﹣4m=0，解得：m=1．14.【答案】（11，﹣.解析：如图所示：∵抛物线y=x+1）（x﹣3）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，x+1）（x﹣3）=0时，x=﹣1，或x=3，当x=0时，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，，对称轴x=1，∴BM=3﹣1=2，当点D到直线BC和到x轴的距离相等时，点D在∠ABC或∠ABE的平分线上，①点D在∠ABC的平分线上时，∵tan∠=∴∠ABC=60°，∴∠ABD=30°，∴∴D（1；②点D 在∠ABE 的平分线上时，∠ABE=180°﹣60°=120°，∴∠ABD=60°，∴∴D （1，﹣.15.【答案】（1）43b c =-⎧⎨=⎩ ；（2）顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2解析：（1）∵二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点（4，3），（3，0），∴3=16+4093b cb c +⎧⎨=++⎩ ，解得43b c =-⎧⎨=⎩ ；（2）∵该二次函数为y=x 2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1．∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2考点：1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数的性质．16. 【答案】（1）y=﹣x 2﹣4x ；（2）（﹣2，4）、（﹣4）、（﹣2﹣4）． 解析：（1）由已知条件得20(4)4(4)0c a c =⎧⎨⨯--⨯-+=⎩，解得10a c =-⎧⎨=⎩，所以，此二次函数的解析式为y=﹣x 2﹣4x ；（2）∵点A 的坐标为（﹣4，0），∴AO=4，设点P 到x 轴的距离为h ，则S △AOP =12×4h=8，解得h=4，①当点P 在x 轴上方时，﹣x 2﹣4x=4，解得x=﹣2，所以，点P 的坐标为（﹣2，4），②当点P 在x 轴下方时，﹣x 2﹣4x=﹣4，解得x 1=﹣x 2=﹣2﹣所以，点P 的坐标为（﹣4）或（﹣2﹣4），综上所述，点P 的坐标是：（﹣2，4）、（﹣4）、（﹣2﹣4）．17. 【答案】（1）b=2,c=3, y=﹣x 2+2x+3．(2) ﹣1＜x ＜3解析：（1）将点（﹣1，0），（0，3）代入y=﹣x 2+bx+c 中，得103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩． ∴y=﹣x 2+2x+3．（2）令y=0，解方程﹣x 2+2x+3=0，得x 1=﹣1，x 2=3，抛物线开口向下，∴当﹣1＜x ＜3时，y ＞0．18. 【答案】（1）M （12，0），P （6，6）；（2）y=16-x 2+2x ；（3）15米． 解析：（1）M （12，0），P （6，6）（2）∵顶点坐标（6，6）∴设y=a （x ﹣6）2+6（a≠0）又∵图象经过（0，0）∴0=a （0﹣6）2+6∴a=16- ∴这条抛物线的函数解析式为y=16-（x ﹣6）2+6，即y=16-x 2+2x ； （3）设A （x ，y ）∴A （x ，16-（x ﹣6）2+6） ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB=DC=16-（x ﹣6）2+6， 根据抛物线的轴对称性，可得：OB=CM=x ，∴BC=12﹣2x ，即AD=12﹣2x ，∴令L=AB+AD+DC=2[16-（x ﹣6）2+6]+12﹣2x=13-x 2+2x+12=13-（x ﹣3）2+15． ∴当x=3，L 最大值为15∴AB 、AD 、DC 的长度之和最大值为15米．19. 【答案】（1）w=﹣20x 2+100x+6000，x ≤4，且x 为整数；(2) 当定价为57或58元时有最大利润6120元；(3) 售价不低于56元且不高于60元时，每星期利润不低于6000元．解析: （1）w=（20﹣x ）（300+20x ）=﹣20x 2+100x+6000，∵300+20x≤380，∴x≤4，且x 为整数；（2）w=﹣20x 2+100x+6000=﹣20（x ﹣52）2+6125， ∵﹣20（x ﹣52）2≤0，且x≤4的整数， ∴当x=2或x=3时有最大利润6120元，即当定价为57或58元时有最大利润6120元；（3）根据题意得：﹣20（x ﹣52）2+6125≥6000， 解得：0≤x≤5．又∵x≤4，∴0≤x≤4答：售价不低于56元且不高于60元时，每星期利润不低于6000元．20. 【答案】（1）y=x 2﹣2x ﹣3．（2）对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．（3）点P 在该抛物线上滑动到（4）或（1﹣4）或（1，﹣4）时，满足S △PAB =8．解析：（1）∵抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，∴方程x 2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，∴﹣1+3=﹣b ，﹣1×3=c ， ∴b=﹣2，c=﹣3，∴二次函数解析式是y=x 2﹣2x ﹣3．（2）∵y=﹣x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．（3）设P 的纵坐标为|y P |，∵S △PAB =8， ∴12AB•|y P |=8， ∵AB=3+1=4，∴|y P |=4，∴y P =±4， 把y P =4代入解析式得，4=x 2﹣2x ﹣3，解得，x=1± 把y P =﹣4代入解析式得，﹣4=x 2﹣2x ﹣3，解得，x=1，∴点P 在该抛物线上滑动到（4）或（1﹣4）或（1，﹣4）时，满足S △PAB =8．21. 【答案】（Ⅰ）抛物线的解析式：y=﹣x 2+2x+8=﹣（x ﹣1）2+9，顶点D （1，9）；（Ⅱ）6；（Ⅲ）72.解析：（Ⅰ）将A 、B 的坐标代入抛物线的解析式中，得： 428016480a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式：y=﹣x 2+2x+8=﹣（x ﹣1）2+9，顶点D （1，9）；（Ⅱ）如图1，∵抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+8，∴C（0，8），∵B（4，0），∴直线BC解析式为y=﹣2x+8，∴直线和抛物线对称轴的交点H（1，6），∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=12×3×1+12×3×3=6．（Ⅲ）如图2，∵C（0，8），D（1，9）；代入直线解析式y=kx+b，∴89 bk b=⎧⎨+=⎩，解得：18 kb=⎧⎨=⎩，∴y=x+8，∴E点坐标为：（﹣8，0），∵B（4，0），∴x=4时，y=4+8=12∴F点坐标为：（4，12），设抛物线向上平移m个单位长度（m＞0），则抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣1）2+9+m；当x=﹣8时，y=m﹣72，当x=4时，y=m，∴m﹣72≤0 或m≤12，∴0＜m≤72，∴抛物线最多向上平移72个单位．22.【答案】（1）b=43，c=2；D点坐标为（3，0）．（2）点E在OC上运动时，四边形OEBF的面积不变；（3）当m=2S最小为0．解析：（1）把点A（0，2）、B（2，2）代入抛物线y=23-x2+bx+c得28223cb c=⎧⎪⎨-++=⎪⎩解得b=43，c=2；∴y=23-x2+43x+2；令23-x2+43x+2=0解得x1=﹣1，x2=3∴D点坐标为（3，0）．（2）点E在OC上运动时，四边形OEBF的面积不变；∵四边形OABC是正方形∴AB=BC，∠BCE=∠BAE=∠ABC=90°又∵BF⊥BE∴∠FBE=90°∴∠ABF=∠CBE∴△ABF≌△BCE∴四边形OEBF的面积始终等于正方形OABC的面积．（3）如图，可以看出S△BEF=S梯形OCBF﹣S△OEF﹣S△BEC=12（2+2+m）×2﹣12m（2+m）﹣12（2﹣m）×2=﹣12m2+m+2S △BED =12×（3﹣m ）×2 =3﹣m 两个三角形的面积差最小为0，即3﹣m=﹣12m 2+m+， 解得∵E 是OC 上的动点∴m=2当m=2S 最小为0．23. 【答案】（1）最高点P 的坐标为（2，4）；（2）点A 的坐标为（72，74）；（3）214；（4）点M 的坐标为（32，154）． 解析：（1）由题意得，y=﹣x 2+4x=﹣（x ﹣2）2+4，故二次函数图象的最高点P 的坐标为（2，4）；（2）联立两解析式可得：2124y x y x x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，解得：00x y =⎧⎨=⎩，或7274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 故可得点A 的坐标为（72，74）； （3）如图，作PQ ⊥x 轴于点Q ，AB ⊥x 轴于点B ．S △POA =S △POQ +S △梯形PQBA ﹣S △BOA =12×2×4+12×（74+4）×（72﹣2）﹣12×72×74=4+6916﹣4916=214； （4）过P 作OA 的平行线，交抛物线于点M ，连结OM 、AM ，则△MOA 的面积等于△POA 的面积．设直线PM 的解析式为y=12x+b ， ∵P 的坐标为（2，4）， ∴4=12×2+b ，解得b=3， ∴直线PM 的解析式为y=12x+3． 由21324y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩，32154x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点M 的坐标为（32，154）．。
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元综合达标测试题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元综合达标测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分30分）1．在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝﹣3x B．xy＝2C．y＝ax2+bx+c D．y＝2x2+52．下列各点中，在抛物线y＝x2﹣4上的是（）A．（1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（1，﹣5）D．（﹣1，﹣5）3．抛物线y＝﹣（x﹣5）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣5，3）B．（5，3）C．（3，5）D．（5，﹣3）4．将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是（）A．y＝x2﹣1B．y＝x2﹣5C．y＝（x+2）2﹣3D．y＝（x﹣2）2﹣3 5．已知b＞0时，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象如下列四个图之一所示：根据图象分析，a的值等于（）A．﹣2B．﹣1C．1D．26．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（）A．1m B．2m C．（2﹣4）m D．（﹣2）m 7．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y28．如图，抛物线y1＝a（x+1）2﹣5与抛物线y2＝﹣a（x﹣1）2+5（a≠0）交于点A（2，4），B（m，﹣4），若无论x取任何值，y总取y1，y2中的最小值，则y的最大值是（）A．4B．5C．2D．19．已知函数y＝，若使y＝k成立的x值恰好有两个，则k的值为（）A．﹣1B．1C．0D．±110．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标（﹣2，3），抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，有下列说法：①4a﹣b＝0；②a﹣b+c＝0；③若（﹣4，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2；④b2+3b＝4ac．其中正确的个数有（）A．4B．3C．2D．1二．填空题（共7小题，满分21分）11．已知抛物线y＝（a+3）x2开口向下，那么a的取值范围是．12．请写出一个开口向下，对称轴为直线x＝2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式．13．已知二次函数y＝x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是．14．抛物线y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的对称轴是直线x＝2，且它的最高点在直线y＝x+2上，则m＝，n＝．15．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如下表：x…﹣3﹣20135…y…70﹣8﹣9﹣57…则当x＝2时对应的函数值y＝．16．如图在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，其顶点为D，若△ABC与△ABD的面积比为3：5，则m值为．17．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝﹣x2+2x+1与y轴交于C点，若点E在抛物线的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，则CE+EF的最小值为．三．解答题（共9小题，满分69分）18．用配方法把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣m）2+k的形式，并写出该函数图象的顶点坐标．19．已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．（1）求a，b的值；（2）若（5，n），（m，n）是抛物线上不同的两点，求m的值．20．已知二次函数的图象经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），且有最小值为﹣2．（1）求这个函数的解析式；（2）函数的开口方向、对称轴；（3）当y＞0时，x的取值范围．21．已知函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）（1）当m，n取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x轴有交点吗？请判断并说明理由；（2）若它是一个二次函数，假设n＞﹣1，那么：①当x＜0时，y随x的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由；②它一定经过哪个点？请说明理由．22．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（5，0），与y轴交于点C（0，5）．（1）求抛物线的表达式；（2）若点M是抛物线在x轴下方的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值．23．如图1，地面OB上两根等长立柱AO，CB之间悬挂一根近似成抛物线y＝x2﹣x+3的绳子．（1）求绳子最低点离地面的距离；（2）因实际需要，在离AO为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；（3）保持（2）中点N的位置不变，将立柱MN的长度提升为3米，发现抛物线F1和F2的形状和大小都一样，测得抛物线F1和F2的最低点到地面的高度相差0.5米，求抛物线F1对应函数的二次项系数．24．已知二次函数y＝x2+px+q图象的顶点M为直线y＝x与y＝﹣x+m的交点．（1）用含m的代数式表示顶点M的坐标；（2）若二次函数y＝x2+px+q的图象经过点A（0，3），求二次函数的表达式；（3）当m＝6且x满足t﹣1≤x≤t+3时，二次函数y＝x2+px+q的最小值为2，求t的取值范围．25．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件．如果该商品的售价每上涨1元，就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x 元（x为整数）时，月销售利润为y元．（1）求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．（2）当每件商品的售价定为多少元时，可获得的月利润最大？最大月利润是多少？26．在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（2m，4）（m为常数，且m＞0），将点A绕线段AB中点顺时针旋转90°得到点C．经过A、B、C三点的抛物线记为G．（1）当m＝2时，求抛物线G所对应的函数表达式．（2）用含m的式子分别表示点C的坐标和抛物线G所对应的函数表达式．（直接写出即可）（3）当抛物线G在直线x＝﹣2和x＝2之间的部分（包括边界点）的最高点与最低点的纵坐标之差为8时，直接写出m的取值范围．（4）连结AC，点R在线段AC上，过点R作x轴的平行线与抛物线G交于P、Q两点，连结AP、AQ．当点R将线段PQ分成1：3两部分，且△APQ的面积为时，求m的值．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：A、y＝﹣3x是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；B、xy＝2不是二次函数，故此选项不符合题意；C、a＝0时不是二次函数，故此选项不符合题意；D、y＝2x2+5是二次函数，故此选项符合题意；故选：D．2．解：当x＝1时，y＝x2﹣4＝﹣3；当x＝﹣1时，y＝x2﹣5＝﹣3；∴点（﹣1，﹣3）在抛物线上，点（1，3）、（1，﹣5）、（﹣1，﹣5）都不在抛物线上．故选：B．3．解：抛物线y＝﹣（x﹣5）2+3的顶点坐标是（5，3）．故选：B．4．解：将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是y＝（x+2）2﹣3．故选：C．5．解：因为前两个图象的对称轴是y轴，所以﹣＝0，又因为a≠0，所以b＝0，与b＞0矛盾；第三个图的对称轴﹣＞0，a＞0，则b＜0，与b＞0矛盾；故第四个图正确．由于第四个图过原点，所以将（0，0）代入解析式，得：a2﹣1＝0，解得a＝±1，由于开口向下，a＝﹣1．故选：B．6．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了2﹣4．故选：C．7．解：∵函数的解析式是y＝﹣（x+1）2+a，如右图，∴对称轴是直线x＝﹣1，∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，于是y1＞y2＞y3．故选：A．8．解：由题意可知：y的函数图象如图所示：观察函数图象可知：点A为函数y的图象的最高点，∴y的最大值为4．故选：A．9．解：函数y＝的图象如图：根据图象知道当y＝﹣1或y＝1时，对应成立的x有恰好有2个，则k的值为±1．故选：D．10．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2，∴﹣＝﹣2，∴4a﹣b＝0，因此①正确；∵抛物线的对称轴为x＝﹣2，图象与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）和点（0，0）之间，∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，因此②不正确；∵|﹣4﹣（﹣2）|＜|1﹣（﹣2）|，∴（﹣4，y1）到对称轴的水平距离小于（1，y2）到对称轴的水平距离，且抛物线开口向下，∴y1＞y2，故③正确；∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），∴＝3，∴b2+12a＝4ac，∵4a﹣b＝0，∴b＝4a，∴b2+3b＝4ac，故④正确；∴正确的有：①③④，故选：B．二．填空题（共7小题，满分21分）11．解：∵抛物线y＝（a+3）x2开口向下，∴a+3＜0，∴a＜﹣3．故答案为：a＜﹣3．12．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，令a＝﹣1，设抛物线的关系式为y＝﹣（x﹣h）2+k，∵对称轴为直线x＝2，∴h＝2，把（0，3）代入得，3＝﹣（0﹣2）2+k，解得，k＝7，∴抛物线的关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+7，故答案为：y＝﹣（x﹣2）2+7（答案不唯一）．13．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣m，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，∴﹣m≤2，解得m≥﹣2．故答案为：m≥﹣2．14．解：∵抛物线y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的对称轴是直线x＝2，且它的最高点在直线y ＝x+2上，∴，当x＝2时，y＝×2+2＝3，∴m＝﹣1，该抛物线的顶点坐标为（2，3），∴3＝[（﹣1）2﹣2]×22﹣4×（﹣1）×2+n，解得，n＝﹣1，故答案为：﹣1，﹣1．15．解：观察表格可知，当x＝﹣3或5时，y＝7，根据二次函数图象的对称性，（﹣3，7），（5，7）是抛物线上两对称点，对称轴为直线x＝＝1，顶点（1，﹣9），根据对称性，x＝2与x＝0时，函数值相等，都是﹣8．16．解：∵y＝x2+mx+2＝（x+）2+2﹣，∴顶点D（﹣，2﹣），C（0，2），∴OC＝2，∵S△ABC＝AB•OC＝AB×2＝AB，S△ABD＝AB•|2﹣|，△ABC与△ABD的面积比为3：5，∴AB：AB•|2﹣|＝3：5，解得：m＝﹣．故答案是：﹣．17．解：如图，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE＝C′E，∴CE+EF＝C′E+EF，∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，直线AB的解析式为y＝x+3，∵C（0，1），∴C′（2，1），∴直线C′F的解析式为y＝﹣x+，联立直线C′F和直线AB得：x+3＝﹣x+，解得x＝，代入解得y＝，∴F（，），∴C′F＝＝，即CE+EF的最小值为．故答案为．三．解答题（共9小题，满分69分）18．解：y＝x2﹣4x+5＝（x2﹣8x）+5＝（x2﹣8x+16）+5﹣8＝（x﹣4）2﹣3，∴顶点（4，﹣3）．19．解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，，解得：；（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1，∴对称轴是直线x＝﹣＝2，∵（5，n），（m，n）是抛物线上不同的两点，纵坐标相同，∴（5，n），（m，n）是对称点，∴＝2，解得m＝﹣1．20．解：（1）由题意得：函数的对称轴为x＝1，此时y＝﹣2，则函数的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣2，把点A坐标代入上式，解得：a＝，则函数的表达式为：y＝x2﹣x﹣（2）a＝＞0，函数开口向上，对称轴为：x＝1；（3）当y＞0时，x的取值范围为：x＞3或x＜﹣1．21．解：（1）①当m＝1，n≠﹣2时，函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）是一次函数，它一定与x轴有一个交点，∵当y＝0时，（n+1）x m+mx+1﹣n＝0，∴x＝，∴函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；②当m＝2，n≠﹣1时，函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）是二次函数，当y＝0时，y＝（n+1）x m+mx+1﹣n＝0，即：（n+1）x2+2x+1﹣n＝0，△＝22﹣4（1+n）（1﹣n）＝4n2≥0；∴函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；③当n＝﹣1，m≠0时，函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n是一次函数，当y＝0时，x＝，∴函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；（2）①假命题，若它是一个二次函数，则m＝2，函数y＝（n+1）x2+2x+1﹣n，∵n＞﹣1，∴n+1＞0，抛物线开口向上，对称轴：﹣＝＝﹣＜0，∴对称轴在y轴左侧，当x＜0时，y有可能随x的增大而增大，也可能随x的增大而减小，②当x＝1时，y＝n+1+2+1﹣n＝4．当x＝﹣1时，y＝0．∴它一定经过点（1，4）和（﹣1，0）．22．解：（1）将（5，0），（0，5）代入y＝x2+bx+c得，解得，∴y＝x2﹣6x+5．（2）设直线BC解析式为y＝kx+n，将（5，0），（0，5）代入y＝kx+n得，解得，∴y＝﹣x+5，设点M坐标为（m，m2﹣6m+5），则点N坐标为（m，﹣m+5），∴MN＝﹣m+5﹣（m2﹣6m+5）＝﹣m2+5m＝﹣（m﹣）2+，∴MN最大值为．23．解：（1）∵＞0，∴抛物线开口向上，抛物线的顶点为最低点，∵y＝x2﹣x+3＝（x﹣4）2+，∴绳子最低点离地面的距离为m；（2）由（1）可知，对称轴为x＝4，则BO＝8，令x＝0得y＝3，∴A（0，3），C（8，3），由题意可得：抛物线F1的顶点坐标为：（2，1.8），设F1的解析式为：y＝a（x﹣2）2+1.8，将（0，3）代入得：4a+1.8＝3，解得：a＝0.3，∴抛物线F1为：y＝0.3（x﹣2）2+1.8，当x＝3时，y＝0.3×1+1.8＝2.1，∴MN的长度为2.1米；（3）∵MN＝3，点M（3，3），∵抛物线F1和F2的形状和大小都一样，∴设抛物线F1的解析式为y＝a（x﹣）2+k1，F2的解析式为y＝a（x﹣）2+k2，抛物线F1和F2的最低点到地面的高度分别为k1和k2，由题意，得k1﹣k2＝0.5，把点M（3，3）分别代入y＝a（x﹣）2+k1和y＝a（x﹣）2+k2，得k1＝3﹣a，k2＝3﹣a，∴3﹣a﹣（3﹣a）＝0.5，解得：a＝．∴抛物线F1对应函数的二次项系数为．24．解：（1）由，得，即顶点M坐标为（m，m）；（2）∵此时二次函数为y＝（x﹣m）2+m过点A（0，3），∴3＝（0﹣m）2+m得m1＝﹣3，m2＝，∴y＝（x+2）2﹣1或y＝（x﹣）2+；（3）当m＝6时，顶点为M（4，2），∴抛物线为y＝（x﹣4）2+2，函数的最小值为2，∵x满足t﹣1≤x≤t+3时，二次函数的最小值为2，∴，解得1≤t≤5．25．解：（1）y＝（30﹣20+x）（180﹣10x）＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；（2）由（1）知，y＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）．∵﹣10＜0，∴当x＝＝4时，y最大＝1960元；∴每件商品的售价为34元．答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元；26．解：（1）由题意可知，点C为抛物线G的顶点，当m＝2时，C（2，6），设G所对应的函数的表达式为y＝a（x﹣2）2+6（a≠0），将点A（0，4）代入y＝a（x﹣2）2+6得4＝4a+6，解得a＝﹣．∴y＝﹣（x﹣2）2+6．（2）∵抛物线对称轴为直线x＝＝m，∴点C坐标为（m，m+4），设抛物线解析式为y＝a（x﹣m）2+m+4，把（0，4）代入y＝a（x﹣m）2+m+4得4＝am2+m+4，解得a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣m）2+m+4．（3）①0＜m≤2时，在直线x＝﹣2和x＝2之间的部分的抛物线最高点为顶点（m，m+4），最低点为直线x＝﹣2与抛物线交点（﹣2，﹣），m+4﹣（﹣）＝8时，解得m＝2．②当m＞2时，图象最高点为直线x＝2与抛物线交点（2，﹣+8），最低点为直线x＝﹣2与抛物线交点（﹣2，﹣），﹣+8﹣（﹣）＝8，∴m＞2符合题意，∴m≥2．（4）作CD⊥PQ于点D，∵点R将线段PQ分成1：3两部分，∴PQ＝4PR＝2PD，∴PR＝RD，∴CD＝RD，∴PQ＝4CD，设CD＝t，则PQ＝4t，∴点Q的坐标为（m+2t，m+4﹣t），∴＝﹣（m+2t﹣m）2+m+4＝m+4﹣t．解得t＝m．∴点Q坐标为（m，m+4），PQ＝m，∵△APQ的面积为，∴m（m+4﹣4）＝，解得m＝或m＝﹣（舍）．∴m＝．。
第二章二次函数 单元测试 2022-2023学年九年级下册数学北师大版
第二章二次函数（单元测试）2022-2023学年九年级下册数学北师大版一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分)1．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y =-0.01（x -20）2+4，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好位于水面，且AC ⊥x 轴，若OA =5米，则桥面离水面的高度AC 为（ ）A ．5米B ．4米C ．2.25米D ．1.25米2．下列关于二次函数()()312y x x =+-的图像和性质的叙述中，正确的是（ ）A ．点()0,2在函数图像上B ．开口方向向上C ．对称轴是直线1x =D ．与直线3y x =有两个交点3．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为2x =-，下列结论正确的是（ ）A ．a<0B ．0c >4．在平面直角坐标系中，将二次函数2y x 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A ．()221y x =-+ B ．()221y x =++ C ．()221y x =+- D ．()221y x =-- 5．抛物线y ＝x 2+3上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若y 1＜y 2，则下列结论正确的是( )A ．0≤x 1＜x 2B ．x 2＜x 1≤0C ．x 2＜x 1≤0或0≤x 1＜x 2D ．以上都不对6．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象关于直线1x =对称，与x 轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，若121x -<<-，则下列四个结论：⊥234x <<，⊥320a b +>，⊥24b a c ac >++，⊥a c b >>．正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知抛物线22y x kx k =+-的对称轴在y 轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k 的值是（ ）A ．5-或2B ．5-C ．2D ．2-8．关于二次函数()215y x =-+，下列说法正确的是（ ） A ．函数图象的开口向下 B ．函数图象的顶点坐标是()1,5-9．已知实数a ，b 满足1b a -=，则代数式2267a b a +-+的最小值等于（ ）A ．5B ．4C ．3D ．210．已知抛物线22()1y x =-+，下列结论错误的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴为直线2x =C ．抛物线的顶点坐标为(2,1)D ．当2x <时，y 随x 的增大而增大 11．如图，二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴相交于()1,0A -，B 两点，对称轴是直线1x =，下列说法正确的是（ ）A ．0a >B ．当1x >-时，y 的值随x 值的增大而增大C ．点B 的坐标为()4,0D ．420a b c ++>12．将二次函数223y x x =-++的图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y x b =+与新函数的图象恰有3个公共点时，b 的值为（ ）二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分)13．已知抛物线(1)(5)y x x =--与x 轴的公共点坐标是12(,0),(,0)A x B x ，则12x x +=_______．14．如图，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx +c 的两个交点坐标分别为A (﹣3，6)，B (1，3)，则方程ax 2﹣bx ﹣c ＝0的解是_________．15．如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++，则铅球推出的水平距离OA 的长是_____m ．16．如图，平行四边形ABCD 中，4AB =，点D 的坐标是(08)，，以点C 为顶点的抛物线经过x 轴上的点A ，B ，则此抛物线的解析式为__________________．17．如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像过点(－1，0)，对称轴为直线x =2，下列结论：⊥4a +b =0；⊥9a +c <3b ；⊥8a +7b +2c >0；⊥若点A (－3，1y )、点B (21,2y -)、点C (37,2y )在该函数图像上，则132y y y <<：⊥若方程()()153a x x +-=-的两根为12,x x ，且12x x <，则1215.x x <-<<其中正确的结论有__________． (只填序号)18．平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,39P m n -，且实数m ，n 满足240m n -+=，则点P 到原点O 的距离的最小值为___________．19．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y （个）与销售价格x （元/个）的关系如图所示，当1020x ≤≤时，其图象是线段AB ，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）．20．某游乐场的圆形喷水池中心O 有一雕塑OA ，从点A 向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x 轴，点O 为原点建立直角坐标系，点A 在y 轴上，x 轴上的点C ，D 为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y 16-＝（x ﹣5）2＋6 （1）雕塑高OA 的值是____m ；（2）落水点C ，D 之间的距离是____m ．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分)21．某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．(1)求第二批每个挂件的进价；(2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？22．为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y 千克与每平方米种植的株数x （28x ≤≤，且x 为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．(1)求y 关于x 的函数表达式．(2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？(1)求抛物线的解析式；△面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请(2)抛物线上是否存在点P，使PBC的面积是BCD说明理由．24．丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x（元/件）…354045…每天销售数量y（件）…908070…(1)直接写出y与x的函数关系式；(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？25．某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在24周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x 周该软件的周销售量为T（单位：千套），当0＜x≤8时，T与x+4成反比；当8＜x≤24时．T﹣2与x成正比，并预测得到了如表中对应的数据．设第x周销售该软件每千套的利润为K（单位：千元），K与x满足如图中的函数关系图象：(1)求T与x的函数关系式；(2)观察图象，当12≤x≤24时，K与x的函数关系式为________．(3)设第x周销售该学习软件所获的周利润总额为y（单位：千元），则：⊥在这24周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由．⊥该公司销售部门通过大数据模拟分析后认为，最有利于该学习软件提供售后服务和销售的周利润总额的范围是286≤y≤504，求在此范围内对应的周销售量T的最小值和最大值．参考答案：1．C2．D3．C4．B5．D6．B7．B8．D9．A10．D11．D12．A13．614．x 1＝﹣3，x 2＝115．1016．221624y x x =-+-17．⊥⊥⊥⊥18310 19．12120． 116##156 22 21．(1)第二批每个挂件的进价为40元(2)当每个挂件售价定为58元时，每周可获得最大利润，最大利润是1080元22．(1)0.55y x =-+（28x ≤≤，且x 为整数）(2)每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克23．(1)2=23y x x --(2)存在，()11P，()21P24．(1)y ＝﹣2x +160(2)销售单价应定为50元(3)当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元25．(1)120(08)42(824)x T x x x ⎧<≤⎪=+⎨⎪+<≤⎩；(2)44K x =-+；(3)⊥存在，不变的值为240；⊥当周利润总额的范围是286≤y ≤504时，对应的周销售量T 的最小值是11千套，最大值是18千套．答案第3页，共1页。
北师大版九年级数学下《第二章二次函数》单元测试题(有答案)
第二章 二次函数一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分；在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意)1．下列函数中，y 是关于x 的二次函数的是( ) A ．y ＝ax 2＋bx ＋c B ．y ＝x (x －1)C ．y ＝1x2 D ．y ＝(x －1)2－x 22．对于二次函数y ＝(x －1)2＋2的图象，下列说法正确的是( ) A ．开口向下 B ．对称轴是直线x ＝－1C ．顶点坐标是(1，2)D ．与x 轴有两个交点3．已知二次函数y ＝x 2－6x ＋m 的最小值是－3，那么m 的值等于( ) A ．10 B ．4 C ．5 D ．64．如图2－Z －1，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴相交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是( )图2－Z －1A ．x ＜－2B ．－2＜x ＜4C ．x ＞0D ．x ＞45．2＋bx ＋c 中，y 与x 的部分对应值如下：则一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0的一个根x 满足条件( ) A ．1.2＜x ＜1.3 B ．1.3＜x ＜1.4 C ．1.4＜x ＜1.5 D ．1.5＜x ＜1.66．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图2－Z －2所示，则一次函数y ＝bx ＋a 的图象不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限图2－Z －27．如图2－Z －3是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1，给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b ＝0；③a ＋b ＋c >0；④若点B ⎝⎛⎭⎫－52，y 1，C ⎝⎛⎭⎫－12，y 2为函数图象上的两点，则y 1＜y 2.其中正确的是( )图2－Z－3A．②④B．①④C．①③D．②③8．如图2－Z－4，正三角形ABC的边长为4，P为BC边上的任意一点(不与点B，C 重合)，且∠APD＝60°，PD交AB于点D.设BP＝x，BD＝y，则y关于x的函数图象大致是()图2－Z－4图2－Z－5二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)9．将抛物线y＝－2x2先向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式是______________．10．已知抛物线y＝x2－2x－3，若点P(3，0)与点Q关于该抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标是________．11．已知A(4，y1)，B(－4，y2)是抛物线y＝(x＋3)2－2上的两点，则y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)12．如图2－Z－6是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为4 m，AB＝12 m，D，E为拱桥底部的两点，且DE ∥AB，点E到直线AB的距离为5 m，则DE的长为________m.图2－Z－613．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图2－Z－7所示，若线段AB在x轴上，且AB为23个单位长度，以AB为边作等边三角形ABC，使点C落在该函数在y轴右侧的图象上，则点C的坐标为________．图2－Z－7三、解答题(本大题共4小题，共48分)14．(10分)如图2－Z－8，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点．(1)试求抛物线的表达式；(2)记抛物线与y轴的交点为D，求△BCD的面积．图2－Z－815．(12分)“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间存在一次函数关系，如图2－Z－9所示．(1)求y与x之间的函数关系式(不用写自变量x的取值范围)；(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元/件时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．图2－Z－916．(12分)如图2－Z －10，在直角坐标系中，已知点A (8，0)，B (0，6)，点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 做匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q 由点A 出发沿AO (O 为坐标原点)方向向点O 做匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ .若设运动时间为t (0＜t ＜103)秒，解答下列问题：(1)当t 为何值时，△APQ 与△ABO 相似？(2)设△AQP 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值．图2－Z －1017．(14分)如图2－Z －11，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x ＝2，AB ＝2.(1)求抛物线的函数表达式；(2)设P 为对称轴上一动点，求△APC 的周长的最小值；(3)设D 为抛物线上一点，E 为对称轴上一点，若以点A ，B ，D ，E 为顶点的四边形是菱形，则点D 的坐标为________．图2－Z －11详解详析1．[解析] B A ．当a ＝0时，y ＝bx ＋c 不是二次函数；B.y ＝x (x －1)＝x 2－x 是二次函数；C.y ＝1x2不是二次函数；D.y ＝(x －1)2－x 2＝－2x ＋1为一次函数．故选B.2．[答案] C3．[解析] D 原二次函数可化为y ＝(x －3)2－9＋m ，∵函数的最小值是－3，∴－9＋m ＝－3，∴m ＝6.故选D.4．[解析] B ∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于(－2，0)和(4，0)两点，函数图象开口向下，∴函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是－2＜x ＜4，故选B.5．[解析] C 由表可以看出，当x 取1.4与1.5之间的某个数时，y ＝0，即这个数是关于x 的一元一次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根x 的取值范围为1.4＜x ＜1.5. 故选C. 6．[答案] D7．[解析] B ①由抛物线与x 轴有两个交点，知b 2－4ac ＞0，所以①正确．②因为对称轴为直线x ＝－1，所以－b2a＝－1，即2a －b ＝0，所以②错误．因为抛物线经过点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1，所以抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(1，0)，于是有a ＋b ＋c ＝0，所以③错误．④点B ⎝⎛⎭⎫－52，y 1在对称轴左侧1.5个单位长度处，点C ⎝⎛⎭⎫－12，y 2在对称轴右侧0.5个单位长度处，找出相应的点，显然y 1＜y 2，所以④正确．故选B.8．[解析] C ∵△ABC 是正三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°，∵∠BPD ＋∠APD ＝∠C ＋∠CAP ，∠APD ＝60°，∴∠BPD ＝∠CAP ，∴△BPD ∽△CAP ，∴BP ∶AC ＝BD ∶PC .∵正三角形ABC 的边长为4，BP ＝x ，BD ＝y ，∴x ∶4＝y ∶(4－x )，∴y ＝－14x 2＋x .故选C.9．[答案] y ＝－2(x ＋1)2－3 10．[答案] (－1，0) 11．[答案] ＞[解析] 由y ＝(x ＋3)2－2可知抛物线的对称轴为直线x ＝－3.∵抛物线开口向上，而点A (4，y 1)到对称轴的距离比点B (－4，y 2)到对称轴的距离远， ∴y 1＞y 2.12．[答案] 18[解析] 如图所示，建立平面直角坐标系，x 轴在直线DE 上，y 轴经过最高点C . 设AB 与y 轴交于点H ， ∵AB ＝12，∴AH ＝BH ＝6， 由题可知：OH ＝5，CH ＝4， ∴OC ＝5＋4＝9，∴B (6，5)，C (0，9)．设该抛物线的表达式为y ＝ax 2＋k ， ∵顶点为C (0，9)， ∴y ＝ax 2＋9.把B (6，5)代入，得5＝36a ＋9，解得a ＝－19，∴抛物线的表达式为y ＝－19x 2＋9.当y ＝0时，0＝－19x 2＋9，解得x ＝±9，∴E (9，0)，D (－9，0)， ∴OE ＝OD ＝9，∴DE ＝OD ＋OE ＝9＋9＝18(m)． 故答案为18.13．[答案] (1＋7，3)或(2，－3)[解析] ∵△ABC 是等边三角形，且AB ＝2 3，∴AB 边上的高为3.又∵点C 在二次函数的图象上，∴点C 的纵坐标为±3.将y ＝±3代入y ＝x 2－2x －3，得x ＝1±7或0或2.∵点C 落在该函数在y 轴右侧的图象上，∴x ＞0，∴x ＝1＋7或2，∴点C 的坐标为(1＋7，3)或(2，－3)．14．解：(1)由题意得⎩⎨⎧4a －2b ＋2＝6，4a ＋2b ＋2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.∴抛物线的表达式为y ＝12x 2－x ＋2.(2)当x ＝0时，y ＝2，故点D 的坐标为(0，2)．连接BD ，CD ，BC . ∵C ，D 两点的纵坐标相同， ∴CD ∥x 轴，∴点B 到CD 的距离为6－2＝4. ∵CD ＝2－0＝2， ∴S △BCD ＝12×2×4＝4.15．[解析] (1)可用待定系数法来确定y 与x 之间的函数关系式；(2)根据利润＝销售量×单件的利润，然后将(1)中的函数关系式代入其中，求出利润和销售单价之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；(3)首先得出w －150与x 之间的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，求得对应的x 值，根据增减性，求出x 的取值范围．解：(1)由题意得⎩⎨⎧40k ＋b ＝300，55k ＋b ＝150，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－10，b ＝700.故y 与x 之间的函数关系式为y ＝－10x ＋700，(2)由题意，得－10x ＋700≥240，解得x ≤46.设每天获取的利润为w 元，则w ＝(x －30)·y ＝(x －30)(－10x ＋700)＝－10x 2＋1000x －21000＝－10(x －50)2＋4000. ∵－10＜0，∴当x ＜50时，w 随x 的增大而增大，∴当x ＝46时，w 最大＝－10×(46－50)2＋4000＝3840.答：当销售单价为46元/件时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元． (3)令w ′＝w －150＝－10x 2＋1000x －21000－150＝3600， －10(x －50)2＝－250， x －50＝±5， x 1＝55，x 2＝45.如图所示，由图象得当45≤x ≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．16．解：(1)在Rt △ABO 中，由勾股定理得：AB ＝OA 2＋OB 2＝10. ①当P A AB ＝AQOA 时，△APQ ∽△ABO ，即10－3t 10＝2t 8，解得t ＝2011； ②当AP OA ＝AQAB 时，△APQ ∽△AOB ，即10－3t 8＝2t 10，解得t ＝5023. 综上所述，当t ＝2011或t ＝5023时，△APQ 与△ABO 相似．(2)如图所示，过点P 作PD ⊥x 轴于点D .∵PD ⊥x 轴，OB ⊥x 轴，∴OB ∥PD ， ∴AP AB ＝PDOB ， 即10－3t 10＝PD6，∴PD ＝6－95t .由三角形的面积公式可知：S ＝12AQ ·PD ＝12·2t ·(6－95t )＝6t －95t 2，∴S 与t 之间的函数关系式为S ＝－95t 2＋6t (0＜t ＜103)．∵S ＝－95t 2＋6t ＝－95(t －53)2＋5，∴当t ＝53时，S 有最大值，最大值为5.17．解：(1)∵AB ＝2，对称轴为直线x ＝2， ∴点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(3，0)． 把A ，B 两点的坐标代入y ＝x 2＋bx ＋c 中，得⎩⎨⎧1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0， 解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝3，∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)连接AC ，BC ，BC 交对称轴于点P ，连接P A (如图)．由(1)知抛物线的函数表达式为y ＝x －4x ＋3，点A ，B 的坐标分别为(1，0)，(3，0)， ∴点C 的坐标为(0，3)，∴BC ＝32＋32＝3 2，AC ＝32＋12＝10.∵点A ，B 关于对称轴直线x ＝2对称， ∴P A ＝PB ，∴P A ＋PC ＝PB ＋PC ，此时PB ＋PC ＝BC ，∴当点P 在对称轴上运动时，P A ＋PC 的最小值等于BC ， ∴△APC 的周长的最小值＝AC ＋P A ＋PC ＝BC ＋AC ＝3 2＋10. (3)(2，－1)。