文科一轮复习作业手册 第12讲 函数的图象与变换

第12讲 函数的图象与变换
1．(2018·宿州期中)为了得到函数y ＝log 4x －34的图象，只需把函数y ＝1
2log 2x 的图象上所
有的点( D )
A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
因为y ＝log 4x －34＝log 4(x －3)－1，所以将y ＝1
2
log 2x 的图象向右平移3个单位长
度得到y ＝12log 2(x －3)，再将y ＝12log 2(x －3)再向下平移1个单位长度得到y ＝1
2log 2(x －3)－1，
即y ＝log 4x －3
4
的图象．
2．函数f (x )＝ln(|x |－1)＋x 的大致图象是( A )
因为|x |>1，所以x >1或x <－1.当x >1时，f (x )＝ln(x －1)＋x ，可知f (x )在(1，＋∞)上单调递增，故排除B ，C ，D ，选A.
3．(2017·全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin x
x
2的部分图象大致为( D )
A
B
C
D
当0＜x ＜π2时，y ＝1＋x ＋sin x x 2＞0，故排除选项A ，C.当x →＋∞时，sin x
x
2→0,1
＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin x
x
2→＋∞，故排除选项B.故选D.
4．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( C )
A ．(1,3)
B ．(－1,1)
C ．(－1,0)∪(1,3)
D ．(－1,0)∪(0,1) f (x )的图象如图所示．
由xf (x )>0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，f (x )>0，或⎩⎪⎨⎪⎧
x <0，f (x )<0，
所以不等式的解集为(－1,0)∪(1,3)．
5．关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的值为 1 . 函数y ＝|x 2－4x ＋3|的图象如下图所示，
由图象知y ＝1与
y ＝|x 2－4x ＋3|有三个交点，
即方程|x 2－4x ＋3|＝1有三个根，所以a ＝1.
6．(2018·重庆模拟)对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧
a ，a ≥
b ，
b ，a <b ，
函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x
－2|}(x ∈R )的最小值是 3
2
.
画出f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的图象，如图．
由图象可知，其最小值为3
2
.
7．方程kx ＝1－(x －2)2有两个不相等的实根，求实数k 的取值范围． 令y 1＝kx ，y 2＝1－(x －2)2， 则y 1＝kx 表示过原点的直线，
因为y 22＋(x －2)2＝1(y 2≥0)表示圆心在(2,0)，半径为1的半圆，如图．
由d ＝
|2k |1＋k 2
＝1(k >0)k ＝33.
故0≤k <
3
3
时，直线与半圆有两个交点． 所以方程有两个不相等的实根时，k 的取值范围为[0，
33
)．
8．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )
图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1
m
x i ＝( B )
A ．0
B ．m
C ．2m
D ．4m 因为f (x )＝f (2－x )，
所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．
又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称， 所以两函数图象的交点关于直线x ＝1对称． 当m 为偶数时，∑i ＝1
m
x i ＝2×m
2＝m ；
当m 为奇数时，∑i ＝1
m x i ＝2×m －1
2＋1＝m .故选B.
9．若函数f (x )＝(2－m )x
x 2＋m
的图象如下图所示，则m 的取值范围为 (1,2) .
因为函数的定义域为R ， 所以x 2＋m 恒不为零，所以m >0. 由图象知，当x >0时，f (x )>0， 所以2－m >0，所以m <2.
又因为在(0，＋∞)上函数f (x )在x ＝x 0(x 0>1)处取得最大值， 而f (x )＝2－m
x ＋
m x
，所以x 0＝m >1m >1.
所以m 的取值范围为{m |1<m <2}． 10．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)作出f (x )的图象；
(2)求函数f (x )的单调区间，并指出单调性；
(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝mx 有四个不相等的实数根}． (1)(方法一)当x 2－4x ＋3≥0，即x ≤1或x ≥3时， f (x )＝x 2－4x ＋3，
当x 2－4x ＋3<0，即1<x <3时， f (x )＝－x 2＋4x －3.
所以f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
(x －2)2－1， x ≤1或x ≥3，－(x －2)2＋1， 1<x <3. 其图象由两条抛物线的部分图形组成，如下图左图所示．
(方法二)先作出函数y ＝x 2－4x ＋3
的图象，然后将x 轴下方的图象翻折到x 轴的上方，原x 轴上方的图形及翻折上来的图形就是所要求作的函数图象．
(2)由函数f (x )的图象知，函数f (x )的单调区间有：
(－∞，1)，(1,2)，(2,3)，(3，＋∞)，其中增区间为(1,2)和(3，＋∞)，减区间为(－∞，1)和(2,3)．
(3)方程f (x )＝mx 有四个不相等的实根，就是直线l ：y ＝mx 与函数f (x )的图象有四个不同的公共点(如上图右图所示)．
设直线l 与f (x )的图象有三个公共点时的斜率为k (k ≠0)，则0<m <k .
由方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ，
y ＝－x 2＋4x －3，
消去y 得x 2＋(k －4)x ＋3＝0，(*)
令Δ＝(k －4)2－12＝0，得k ＝4±23，
当k ＝4＋23时，方程(*)的两根x 1＝x 2＝－3∉ (1,3)，故不合题意； 当k ＝4－23时，方程(*)的两根x 1＝x 2＝3∈(1,3)，故符合题意． 所以M ＝{m |0<m <4－23}。