一次函数图象的变换
函数专题——-一次函数的图像和性质
教学过程一、课程导入画出y=-x与y=-x+2的图象，找出它们的相同点和不同点小结：直线y＝kx＋b可以看作由直线y＝kx平移___|b|__个单位而得到，当b＞0时，向___上__平移，当b＜0时，向___下__平移。
即k值相同时，直线一定平行。
二、 复习预习①如图〔l 〕所示，当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限〔直线不经过第四象限〕；②如图〔2〕所示，当k ＞0，b ﹥O 时，直线经过第一、三、四象限〔直线不经过第二象限〕；③如图〔3〕所示，当k ﹤O ，b ＞0时，直线经过第一、二、四象限〔直线不经过第三象限〕；④如图〔4〕所示，当k ﹤O ，b ﹤O 时，直线经过第二、三、四象限〔直线不经过第一象限〕．k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大；当k<0时， y 的值随x 值的增大而减小；一次函数y ＝kx ＋b 的图象为 一条直线，与坐标轴的交点分别为)0.(k b ，(0，b)．它的倾斜程度由k 决定，b 决定该直线与y 轴交点的位置.三、知识讲解考点1 一次函数图象上点的坐标特征1、一次函数y ＝kx ＋b 的图象为一条直线，与坐标轴的交点分别为)0.(kb ，(0，b)．它的倾斜程度由k 决定，b 决定该直线与y 轴交点的位置．2、正比例函数图象上的点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上，一定满足函数的解析式．根据正比例函数的定义，知xy 是定值． 3、经过函数的某点一定在函数的图象上．在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式．考点2 一次函数图像的平移上加下减〔b〕，左加右减〔x〕直线y＝kx＋b可以看作由直线y＝kx平移___|b|__个单位而得到，当b＞0时，向___上__平移，当b＜0时，向___下__平移。
即k值相同时，直线一定平行。
考点3 待定系数法求一次函数关系式先设待求函数关系式〔其中含有未知的常数系数〕，再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。
新42.一次函数的图像变换
35. 【中】将直线 y = 2 x − 3 向下平移 4 个单位可得直线______，再向左平移 2 个单位可得 直线_______ 【答案】 y = 2 x − 7 ， y = 2 x − 3 36. 【中】将直线 y = 2 x + 1 向下平移 3 个单位，得到的直线应为_______，关于 y 轴对称的 直线为________ 【答案】 y = 2 x − 2 ， y = −2 x − 2 37. 【中】 （沈阳）将 y = −3x + 4 先向左平移 3 个单位，再向下平移 5 个单位，得到的直线 为__________． 【答案】 y = −3x − 10 38. 【中】 （2009 青海）直线 y = x + 2 向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位所得直线的 解析式为________ 【答案】 y = x − 3 39. 【中】若直线 y = kx + b 平行直线 y = 3x + 4 ，且过点 (1，− 2 ) ，则将 y = kx + b 向下平移
3 个单位的直线是______. 【答案】 y = 3x − 8
1) ，则平移后的直线的函数关系式为 40. 【中】将直线 y = −3x + 5 平移，使它经过点 ( −1，
________ 【答案】 y = −3x − 2
41. 【中】已知一次函数 y = −3x + 2 ，它的图象不经过第____象限，将直线 y = 2 x − 4 向上 平移 5 个单位后，所得直线的表达式为________ 【答案】三， y = 2 x + 1 42. 【中】 （2010 人大附初二上统练）若直线 y = − mx + 1 + n 沿着 x 轴向左平移 3 个单位得 到 y = − x + 1 ，则 m − n = __________． 【答案】 −2 43. 【中】 （2009 枣庄）在直角坐标系中有两条直线 l1 、 l2 ，直线 l1 所对应的的函数关系式 为 y = x − 2 ，如果将坐标纸折叠，使 l1 与 l2 重合，此时点 ( −1，0 ) 与点 ( 0 ，− 1) 也重合， 则直线 l2 所对应的函数关系式为______________ 【答案】 y = x + 2
一次函数图象的变换
一次函数图象的变换（一）——平移求一次函数图像平移后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住点的坐标变化解决问题。
知识点：“已知一个点的坐标和直线的斜率 k，我们就可以写出这条直线的解析式”。
我们知道：y =kx+b经过点（0，b)，而（0，b)向上平移m个单位得到点（0，b+m)，向下平移m个单位得到点（0，b－m)，向左平移m个单位得到点（0－m，b)，向右平移m个单位得到点（0+m，b )，直线y =kx+b平移后斜率不变仍然是k，设出平移后的解析式为y =kx+ h,把平移后得到的点的坐标带入这个解析式求出h，就可以求出平移后直线的解析式。
下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用：例1：把直线y=2x-1向右平移1个单位，求平移后直线的解析式。
分析:y=2x-1经过点（0，-1），向右平移1个单位得到（1，-1）。
平移后斜率不变，即k=2，所以可以设出平移后的解析式为y =2x+ h，再将点（1，-1）代入求出解析式中的h，就可以求出平移后直线的解析式。
解：设平移后的直线解析式为y=2x+h点（0，-1）在y=2x-1上，向右平移1个单位得到（1，-1），将点（1，-1）代入y=2x+h中得：-1=2×1+hh=-3所以平移后直线的解析式为y=2x-3例2：把直线y=2x-1向上平移3个单位，再向右平移1个单位，求平移后直线的解析式。
分析：点（0，-1）在直线y=2x-1上，当直线向上平移3个单位，点变为（0，-1+3），即为（0,2）；再向右平移1个单位后，点（0，2）变为点（0+1，2），即点变为（1,2）。
设出平移后的解析式为y =kx+h，根据斜率k =2不变，以及点（1,2）就可以求出h,从而就可以求出平移后直线的解析式。
解：设平移后的直线解析式为y=2x+h.易知点（0，-1）在直线y=2x-1上，则此点按要求平移后的点为：平移后得到的点（1,2）在直线y=2x+h 上则：2=2×1+hh=0所以平移后的直线解析式为y=2x总结：求直线平移后的解析式时，只要找出一个点坐标，求出按要求平移后此点的坐标变为多少，再根据斜率不变和变化后的点来求解析式。
一次函数图象的变换--对称
一次函数图象的变换——对称求一次函数图像关于某条直线对称后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住对称点的坐标解决问题。
知识点：1、与直线y=kx+b关于x轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数。
设l上任一点的坐标为（x,y），则（x, -y）应当在直线y=kx+b上，于是有-y=kx+b,即l：y=-kx-b。
2、与直线y=kx+b关于y轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数。
设l上任一点的坐标为（x,y），则（-x, y）应当在直线y=kx+b上，于是有y=-kx+b,即l：y=-kx+b。
下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用：例：已知直线y=2x+6.分别求与直线y=2x+6关于x轴，y轴和直线x=5对称的直线l的解析式。
分析：关于x轴对称时，横坐标不变纵坐标互为相反数；关于y轴对称时，纵坐标不变横坐标互为相反数；关于某条直线（垂直坐标轴）对称时，则相关点解：1、关于x轴对称设点（ x , y ）在直线l上，则点（ x , -y ）在直线y=2x+6上。
即：-y=2x+6y=-2x-6所以关于x轴对称的直线l的解析式为：y=-2x-6.关于直线对称。
2、关于y轴对称设点（x,y）在直线l上，则点（-x,y）在直线y=2x+6上。
即：y=2(-x) +6y=-2x+6所以关于y轴对称的直线l的解析式为：y=-2x+6.3、关于直线x=5对称（作图）由图可知：AB=BC则C点横坐标：-x+5+5=-x+10所以点C （-x+10, y）设点（x,y）在直线l上，则点（-x+10, y）在直线y=2x+6上。
即：y=2（-x+10）+6y=-2x+26所以关于直线x=5对称的直线l的解析式为：y=-2x+26.总结：根据对称求直线的解析式关键在找对称的坐标点。
关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数；关于某条直线（垂直对称轴）对称，可见例题中分析的方法去求对称点。
微专题六 一次函数的图象与几何变换
专题解读
一次函数图象的平移规律：左加右减、上加 下减；图象的平移不改变 k 的值．
探究一 一次函数图象的平移
典型例题 1 一次函数 y＝kx＋b 的图象，如图 所示．
(1) 求这个一次函数的表 达式；
(2) 如果这个一次函数的图象向上平移 m 个单位得到的图象恰与它向右平移 n 个单位得 到的图象完全相同，求 m，n 之间的关系.
解：(1)这个一次函数的表达式为 y＝－21x ＋2；
(2)依题意可得：－12x＋2＋m＝－12(x－n) ＋2，
化简得：m＝21n.
对点自测
1. 直线 y＝2x＋2 沿 y 轴向下平移 6 个单位 后与 x 轴的交点坐标是( D )
A. (－4，0)
B. (－1，0)
C. (0，2)
D. (2，0)
A. (0，4) B. (0，3) C. (－4，0) D. (0，－3)
解：∵直线 y＝－43x＋8 与 x 轴，y 轴分别
交于点 A 和点 B， ∴y＝0 时，x＝6， 则 A 点坐标为：(6，0)， 当 x＝0 时，y＝8， 则 B 点坐标为(0，8)； ∴BO＝8，AO＝6， ∴AB＝ 82＋62＝10，
A. (－2，0)
B. (2，0)
C. (－6，0)
D. (6，0)
解：∵直线 l1 经过点(0，4)，l2 经过点(3， 2)，且 l1 与 l2 关于 x 轴对称，
∴两直线相交于 x 轴上，直线 l1 经过点(3， －2)，l2 经过点(0，－4)，
把点(0，4)和点(3，－2)代入直线 l1 的表达 式 y＝kx＋b，则有
2. 如图，直线 l1 与直线 l2 关于 y 轴对称， 4
一次函数图像的平移变换
一次函数图像的平移变换一次函数又称为线性函数，表示为y = kx + b。
其中，k为斜率，b为截距。
在数学中，我们经常会遇到需要对一次函数的图像进行平移变换的情况。
本文将介绍一次函数图像的平移变换及其相关概念和公式。
1. 平移变换的概念和基本原理平移变换是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向平移一定的单位长度。
当对一次函数进行平移变换时，只需考虑平移的距离和方向。
2. 沿横轴的平移变换当对一次函数图像沿横轴正方向平移h个单位长度时，函数表达式中的x值需要减去h。
即新的函数表达式为y = k(x - h) + b。
同样地，当对一次函数图像沿横轴负方向平移h个单位长度时，函数表达式中的x值需要增加h。
3. 沿纵轴的平移变换当对一次函数图像沿纵轴正方向平移v个单位长度时，函数表达式中的y值需要增加v。
即新的函数表达式为y = kx + (b + v)。
同样地，当对一次函数图像沿纵轴负方向平移v个单位长度时，函数表达式中的y值需要减去v。
4. 示例和应用为了更好地理解一次函数图像的平移变换，我们来看一个具体的示例。
假设有一条一次函数的图像，其函数表达式为y = 2x + 3。
我们对该函数图像进行以下平移变换：- 沿横轴正方向平移2个单位长度；- 沿纵轴负方向平移3个单位长度。
对于沿横轴的平移，我们将函数表达式中的x值减去2，得到新的函数表达式y = 2(x - 2) + 3。
这个新的函数表示了原函数向右平移2个单位长度后的图像。
对于沿纵轴的平移，我们将函数表达式中的y值减去3，得到新的函数表达式y = 2x + (3 - 3)。
这个新的函数表示了原函数向下平移3个单位长度后的图像。
通过对一次函数图像的平移变换，我们可以改变函数图像在平面坐标系中的位置，从而更灵活地应用于实际问题中。
5. 总结一次函数图像的平移变换是一种常见的数学操作，通过改变函数表达式中的自变量或因变量来实现。
沿横轴的平移变换可以通过调整函数表达式中的x值实现，而沿纵轴的平移变换可以通过调整函数表达式中的y值实现。
第3讲 一次函数的解析式与图象变换(教师版)
板块一
此处需要添加知识点1
已知：正比例函数
1
1
1
一次函数
板块二
此处需要添加知识点1
把函数
1
1
阅读下面的材料：
∵直线分别与轴、轴交于点、，∴点∵，∴直线为．∴点的坐标为∵，∴．∴点在轴的正半轴上．
当点在点的左侧时，
当点在点的右侧时，
1
⑴2
3
如图，在平面直角坐标系中，
板块三
1
在直角坐标系中画函数
1
求在直角坐标平面中不等式1
如图，已知直线
1
已知一次函数图象经过点
1
一辆汽车在行驶过程中，路程1
已知一次函数
1
已知一次函数1
若将直线
1
如图，将直线
1
在同一坐标系中，对于函数①2
某一次函数的图象与直线
1
已知：一次函数2
已知点
1
在直角坐标系中画函数
的值对应取绝对值所得，
图象中位于轴下方部分翻折到轴上方所得，直1
已知
1
如果一条直线
1
已知一次函数
1
函数
1
平面直角坐标系中，正方形
1
解关于
标注函数>二次函数。
一次函数的几何变换
）左右平移过程中，纵坐标不变，改变的是横坐标也就是自变量，向左平移自变量变小，因此要加上平移的变大，因此要减去平移的量，简述为“左加右减”．
“左加右减，上加下减；左右平移在括号，上下平移在末稍”．
（）关于轴对称（翻折）后，纵坐标不变，横坐标变为相反数．
即关于轴对称后的解析式为18/06/12
x x 2y y =kx +b y
（）关于原点对称（绕原点旋转即关于原点对称后的解析式为【方法】口诀：“关于谁，谁不变；另一个，变相反；关于原点都要变”．
（）关于直线对称（翻折）
【方法】
①根据两点确定一条直线，结合图形求出对称后直线上两个点的坐标，再用待定系数法求出解析式即可．3y =kx +b 已知直线与直线1y =kx +b 2y =n
【方法】根据两点确定一条直线，结合图形求出对称后直线上两个点的坐标，再用待定系数法求出解析式即可．
直线绕原点逆时针旋转后的解析式为（ ）．
A. B. C. D. y =3x O 90∘y =− x 13
y =3x
y = x 13
y =−3x。
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一次函数图象的变换——平移求一次函数图像平移后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住点的坐标变化解决问题。
知识点：“已知一个点的坐标和直线的斜率 k，我们就可以写出这条直线的解析式”。
我们知道：y =kx+b经过点（0，b)，而（0，b)向上平移m 个单位得到点（0，b+m)，向下平移m个单位得到点（0，b－m)，向左平移m个单位得到点（0－m，b)，向右平移m个单位得到点（0+m，b)，直线y =kx+b平移后斜率不变仍然是k，设出平移后的解析式为y =kx+h,把平移后得到的点的坐标带入这个解析式求出h，就可以求出平移后直线的解析式。
下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用：
例1：把直线y=2x-1向右平移1个单位，求平移后直线的解析式。
分析:y=2x-1经过点（0，-1），向右平移1个单位得到（1，-1）。
平移后斜率不变，即k=2，所以可以设出平移后的解析式为y =2x+h，再将点（1，-1）代入求出解析式中的h，就可以求出平移后直线的解析式。
解：设平移后的直线解析式为y=2x+h
点（0，-1）在y=2x-1上，向右平移1个单位得到（1，-1），
将点（1，-1）代入y=2x+h中得：
-1=2×1+h
h=-3
所以平移后直线的解析式为y=2x-3
例2：把直线y=2x-1向上平移3个单位，再向右平移1个单位，求平移后直线的解析式。
分析：点（0，-1）在直线y=2x-1上，当直线向上平移3个单位，点变为（0，-1+3），即为（0 , 2 ）；再向右平移1个单位后，点（0，2）变为点（0+1，2），即点变为（1 , 2 ）。
设出平移后的解析式为y =kx+h，根据斜率k=2不变，以及点（1 , 2 ）就可以求出h,从而就可以求出平移后直线的解析式。
解：设平移后的直线解析式为y=2x+h.
易知点（0，-1）在直线y=2x-1上，
则此点按要求平移后的点为：
( 0,-1 )
平移后得到的点（ 1 , 2 ）在直线y=2x+h 上
则：2=2×1+h
h=0
所以平移后的直线解析式为y=2x
总结：求直线平移后的解析式时，只要找出一个点坐标，求出按要求平移后此点的坐标变为多少，再根据斜率不变和变化后的点来求解析式。
练习：1、点(0,1)向下平移2个单位后的坐标是________，
直线y 2x 1向下平移2个单位后的解析式是_____________.
2、直线y=2x 1向右平移2个单位后的解析式是_____________.
3、直线y=8x+13既可以看作直线y=8x-3向______平移(填“上”或“下”)____单位长度得到；也可以看作直线y=8x-3______平
移(填“左”或“右”)_____单位长度得到．
答案：1、（0，-1）；y=2x-1 2、 y=2x-3 3、上 16 左 2
2 向上平移3个单位
向右平移1个单位 ( , )
一次函数图象的变换——对称
江苏省兴化市竹泓初级中学225716 徐荣圣
求一次函数图像关于某条直线对称后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住对称点的坐标解决问题。
知识点：
1、与直线y=kx+b关于x轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数。
设l上任一点的坐标为（x,y），则（x, -y）应当在直线y=kx+b上，于是有-y=kx+b,即l：y=-kx-b。
2、与直线y=kx+b关于y轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数。
设l上任一点的坐标为（x,y），则（-x, y）应当在直线y=kx+b上，于是有y=-kx+b,即l：y=-kx+b。
下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用：
例：已知直线y=2x+6.分别求与直线y=2x+6关于x轴，y轴和直线x=5对称的直线l的解析式。
分析：关于x轴对称时，横坐标不变纵坐标互为相反数；
关于y轴对称时，纵坐标不变横坐标互为相反数；
关于某条直线（垂直坐标轴）对称时，则相关点
解：1、关于x轴对称
设点（x , y ）在直线l上，则点（x , -y ）在直线y=2x+6上。
即：-y=2x+6
y=-2x-6
所以关于x轴对称的直线l的解析式为：y=-2x-6.
关于直线对称。
2、关于y轴对称
设点（x,y）在直线l上，则点（-x,y）在直线y=2x+6上。
即：y=2(-x) +6
y=-2x+6
所以关于y轴对称的直线l的解析式为：y=-2x+6.
3、关于直线x=5对称（作图）
由图可知：AB=BC则C点横坐标：-x+5+5=-x+10
所以点C （-x+10, y）
设点（x,y）在直线l上，
则点（-x+10, y）在直线y=2x+6上。
即：y=2（-x+10）+6
y=-2x+26
所以关于直线x=5对称的直线l的解析式为：y=-2x+26.
总结：根据对称求直线的解析式关键在找对称的坐标点。
关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数；
关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数；
关于某条直线（垂直对称轴）对称，可见例题
中分析的方法去求对称点。
练习：1、和直线y=5x-3关于y轴对称的直线解析式为，和直线y=-x-2关于x轴对称的直线解析式为。
2、已知直线y=kx+b与直线y= -2x+8关于y轴对称，
求k、b的值。
答案：1、y=-5x-3;y=x+2
分析：设点（x,y）在直线上，则点（-x,y）在关于y轴对称的直线y=5x-3上，所以直线为y=-5x-3;设点（x,y）在直线上，则点（x,-y）在关于x轴对称的直线y=-x-2上，所以直线为y=x+2.
2、y=2x+8
分析：设点（x,y）在直线y=kx+b上，而直线y=kx+b与直线y= -2x+8关于y轴对称，则（-x,y）在直线y= -2x+8上，所以有y=-2(-x)+8,即：y=2x+8 所以k=2,b=8
一次函数图象的变换——旋转
江苏省兴化市竹泓初级中学225716 徐荣圣
求一次函数图像平移后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住点的坐标绕着某一点旋转一定角度变化解决问题。
知识点：当旋转的角度为180°时，两条直线关于这点成中心对称。
设旋转后直线上任一点（x , y），则关于旋转点（m , n）成中心的对称的点为（2m-x,2n-y）,此点在旋转前的直线上。
若旋转的角度不是180°，则需根据已知的条件求出两个点的坐标，再用待定系数法求解。
例1、已知直线y=6x+6，将直线绕着坐标原点o旋转180°，求旋转后的直线的解析式。
分析：直线绕着坐标原点o旋转180°，即绕点（0,0）旋转180°。
可设点（x , y）在旋转后的直线上，则点（-x , -y）在直线y=6x+6上，带入就可以求出旋转后的直线解析式。
解：设旋转后直线上任一点的坐标为（x , y），由关于原点（0 , 0）成中心对称的坐标关系，则（-x , -y）在直线y=6x+6上。
所以-y=6(-x)+6,
即y=-6x+6
所以旋转后的直线的解析式为y=-6x+6。
例2、已知直线y=-x+8与x轴，y轴分别交于A,B两点。
点C在
直线y=-x+8上，点C的横坐标为6。
将直线绕着C点逆时针旋转一
个角度后，交x轴于点D，且CA=CD。
求旋转后的直线的解析式。
分析：从图中可知，若知道点C和点D的坐标，
再用待定系数法就可以求出旋转后的
直线的解析式。
解：过点C作CE⊥x轴于点E。
显然△ACD为等腰三角形。
把x=6代入y=-x+8，得y=2，故点C（6,2），E(6,0)。
易知A（8,0）,由等腰三角形的性质知D点坐标为（4,0）。
旋转后的直线过C、D两点，利用待定系数法可知y=x-4,
所以旋转后的直线的解析式为y=x-4。
总结：若直线是绕着某一点旋转180°，则设点（x , y）在旋转后的直线上，再根据中心对称求中心对称的点的坐标代入旋转前的直线求出直线的解析式；若旋转一点的角度，可根据已知条件求出两个点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式。
练习：1、点（2，-1）关于原点中心对称的点为___________。
2、点（-2 , 3）关于点（1 , 1）中心对称的点为___________。
3x+4分别交x轴,y轴于点A,B。
将△AOB绕
3、如图，直线y=－
4
点O顺时针旋转90°到△A′OB′的位置。
求直线A′B′的
解析式。
答案：1、（-2,1）2、（4，-1）
3x-3
3、y=
4
分析：易知A（3,0），B（0,4）。
则OA=3，OB=4由旋转知△AOB≌△A′OB′.
∴OA′=OA=3，OB′=OB=4.
∴A′(0，-3)，B′(4，0).
3x-3
∴直线A′B′的解析式为y=
4
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