三角函数图像三种变换
三角函数的图像及其变换规律
三角函数的图像及其变换规律三角函数是高中数学中的重要内容之一，也是大学数学和物理的基础。
其中，三角函数与图像变换规律是我们需要深入了解的。
一、初步认识三角函数的图像三角函数是由单位圆上的点的坐标表示的函数，我们称这些点的坐标为正弦和余弦，正弦函数的图像和余弦函数的图像可以通过下面的方式作出：1. 画一个以原点 O 为圆心、1 为半径的单位圆；2. 以非负 x 轴正半轴为起始线，从原点开始按逆时针方向旋转一定角度θ，记作点 A (1,0)，A 点纵坐标就是正弦值sinθ；3. 以非负 y 轴正半轴为起始线，从原点开始按逆时针方向旋转一定角度θ，记作点 B (0,1)，B 点横坐标就是余弦值cosθ。
4. 相邻两个峰值之间的水平距离称为周期，即正弦函数和余弦函数的周期都是2π。
这样我们就可以画出正弦函数 y = sin x 和余弦函数 y = cos x 的图像了。
在这个图像中，横轴表示角度，纵轴表示函数值。
另外，三角函数中还有一种常见的函数，即 y = tan x（正切函数）和 y = cot x（余切函数），它们的图像可以通过画出正弦函数和余弦函数的图像来得到。
二、三角函数的图像变换规律我们还可以通过对函数公式的系数进行变换，来改变函数图像的期数、振幅、图像的左右平移及上下平移等。
具体变换规律如下：1. 函数 y = A sin(Bx - C) + D，其中 A 为振幅，B 为周期，C 为左右平移，D 为上下平移。
当 A 和 B 变化时，函数图像的振幅和期数也随之发生变化。
其中，若 A > 1，则函数图像沿 y 轴方向压缩；若 A < 1，则函数图像沿 y 轴方向伸长。
当 B > 1 时，函数图像变窄了，其左右的振动次数增多，周期减小；当 B < 1 时，函数图像变宽了，左右振动次数减少，周期增加。
当 C > 0 时，函数图像向右移动；当 C < 0 时，函数图像向左移动。
高考数学中的三角函数图像的映象变换
高考数学中的三角函数图像的映象变换三角函数作为高中数学的基础知识，其图像映象变换是数学考试中必须掌握的知识点。
在高考考试中，从题目的大量出现可以看出，对于学生来说，了解清楚三角函数图像的映象变化是取得高分的要点之一。
本文将从三角函数的基础知识开始，讲解其图像映象变化的演变过程以及对数学计算的影响。
一、三角函数的基础知识三角函数是学习高中数学的基础知识，包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)。
其中，正弦函数 sin(x) 的周期为2π，其函数图像在2π 区间内是一个周期性区间之内的波浪线；余弦函数 cos(x) 的周期为2π，其函数图像在2π 区间内是一个周期性区间之外的波浪线；正切函数 tan(x) 是一个不断向两侧无限延伸的函数。
二、三角函数图像的映象变换1. 垂直方向的拉伸和压缩变换垂直方向的拉伸和压缩变换是指通过改变三角函数图像的振幅，使其映射为一张更高或更矮的图像。
具体来说，若三角函数的振幅从原先的 A 拉伸为 2A，则会使三角函数的波浪线在垂直方向拉伸；反之，若三角函数的振幅从原先的 A 压缩为 A/2，则会使三角函数的波浪线在垂直方向压缩。
2. 水平方向的平移变换水平方向的平移变换是指通过移动三角函数图像的水平坐标轴，使其波峰和波谷发生横向位移。
具体来说，若将 sin(x) 函数向右平移 h 个单位，则对应的函数为 sin(x-h)；反之，若将 sin(x) 函数向左平移 h 个单位，则对应的函数为sin(x+h)。
3. 镜像对称变换镜像对称变换是指通过对 x 轴或者 y 轴进行镜像反转，使函数图像在经过镜像后，出现左右位置颠倒的情况。
具体来说，若将sin(x) 函数关于 y 轴进行镜像对称，则对应的函数为 sin(-x)；若将sin(x) 函数关于 x 轴进行镜像对称，则对应的函数为 -sin(x)。
三、三角函数图像的变换对数学计算的影响三角函数图像的映象变换可以方便简单地将三角函数问题简化，从而更好地处理数学计算问题。
三角函数的图像变换
cosθ = 邻边/斜边，在单位圆中表示为x坐标。
正切函数（tangent）
三角函数的周期性
tanθ = 对边/邻边，表示为正弦与余弦之比。
正弦、余弦函数周期为2π，正切函数周期为 π。
三角函数在各象限表现
第一象限
所有三角函数值均为正。
第三象限
正弦、余弦函数值为负，正切函数值为正。
第二象限
正弦函数值为正，余弦、正切函数值为负。
伸缩变换对正弦函数影响
横向伸缩
改变正弦函数图像的周期长度。缩小周期使得函数图像更加紧密，扩大周期则 使得函数图像更加稀疏。
纵向伸缩
改变正弦函数图像的振幅大小。增大振幅使得函数图像波动范围更大，减小振 幅则使得函数图像波动范围更小。
周期性与相位调整方法
周期性调整
通过改变正弦函数的周期来调整图像的疏密程度。可以通过调整函数中的系数来 实现周期的变化。
相位调整
通过改变正弦函数的相位来调整图像出现的位置。可以通过在函数中添加常数项 来实现相位的调整。同时，利用三角函数的和差化积公式，也可以实现相位的调 整。
03 余弦函数图像变换分析
余弦函数基本图像特征
波形图像
余弦函数图像呈现周期性波动，具有典型的波形 特征。
振幅和周期
余弦函数的振幅和周期是确定其图像形状和尺寸 的关键参数。
拓展：其他类型周期函数图像变换
锯齿波和方波
除了正弦波和余弦波外，还有其 他类型的周期函数如锯齿波和方 波等，它们的图像变换同样具有 实际应用价值。
周期函数的合成与分解
通过三角函数的线性组合可以合 成其他类型的周期函数；反之， 其他类型的周期函数也可以通过 傅里叶级数展开成三角函数的线 性组合。
三角函数的变换
三角函数的变换三角函数是数学中重要的概念，它描述了角度和三角形之间的关系。
在数学和物理领域，我们经常需要对三角函数进行变换，以便简化计算或者得到更加具体的结果。
以下将介绍三角函数的常见变换及其特点。
1. 平移变换平移变换是最常见的三角函数变换之一。
平移变换将函数图像沿着横轴或纵轴平移一定的单位。
对于正弦函数sin(x)，平移变换可以表示为y = sin(x - c)或y = sin(x + c)，其中c表示平移的单位。
这种变换改变了正弦函数的相位，使得图像在横向移动。
2. 伸缩变换伸缩变换是通过改变三角函数的振幅或周期来实现的。
对于正弦函数sin(x)，伸缩变换可以表示为y = a*sin(bx)，其中a和b分别表示振幅和周期的变化系数。
当a>1时，振幅增大；当0<a<1时，振幅减小。
当b>1时，周期缩短；当0<b<1时，周期延长。
伸缩变换可以使得函数图像在纵向或横向方向上发生变化。
3. 反转变换反转变换是将函数图像沿着横轴或纵轴进行镜像翻转。
对于正弦函数sin(x)，反转变换可以表示为y = -sin(x)或y = sin(-x)。
这种变换改变了正弦函数的正负号，使得图像在纵向发生翻转。
4. 相位差变换相位差变换是通过改变角度值来实现的。
对于正弦函数sin(x)，相位差变换可以表示为y = sin(x + d)，其中d表示相位差。
相位差变换改变了正弦函数的起始位置，使得图像在横向发生移动。
5. 复合变换除了单独的平移、伸缩、反转和相位差变换，我们还可以将它们组合起来进行复合变换。
通过在函数的输入和输出上进行多次变换，可以得到更加复杂的函数图像。
例如，可以将平移和伸缩变换组合来实现在横向上平移并且改变振幅的效果。
三角函数的变换在数学和物理中有着广泛的应用。
它们可以用来描述周期性现象、波动传播以及信号处理等。
通过灵活运用变换的技巧，我们可以简化计算过程并得到更加准确的结果。
三角函数的图像及其变换
振幅变换
振幅变换
通过将三角函数中的系数乘以一 个常数，可以改变函数图像的形 状和大小。例如，将正弦函数 y=sin(x)变为y=2sin(x)，图像的 高度变为原来的两倍。
总结词
振幅变换可以改变函数图像的大 小和形状，但不影响位置。
详细描述
振幅变换通常通过乘以一个常数来实 现。例如，对于正弦函数y=sin(x)，乘 以2得到y=2sin(x)，图像的高度变为 原来的两倍。同样地，对于余弦函数 y=cos(x)，乘以2得到y=2cos(x)，图 像的高度也变为原来的两倍。
与复数的联系
三角函数与复数之间有着密切的联系。例如，复数的三角形式就是由三角函数来表示的，这使得复数 的一些性质和运算可以通过三角函数来理解和实现。
此外，在复分析中，三角函数也起着重要的作用，如在求解某些复数域上的微分方程时，经常需要用 到三角函数。
谢谢
THANKS
应用
正切函数在解决实际问题和数学 问题中也有应用，例如在几何学 和三角学中的角度和长度计算。
02 三角函数的图像
CHAPTER
正弦函数的图像
01
正弦函数图像是周期函数，其基本周期为$2pi$，在$[0, 2pi]$ 区间内呈现波形。
02
正弦函数图像在$x$轴上的交点是$(frac{pi}{2} + kpi, 0)$，其
周期变换
总结词
详细描述
通过改变三角函数的周期，可以改变
函数图像的形状和位置。例如，将正 弦函数和余弦函数的周期从2π变为4π， 图像将变为原来的两倍长，但形状和
周期变换可以改变函数图像的长度， 但不影响形状和位置。
位置保持不变。
周期变换通常通过乘以一个常数来实现。例 如，将函数y=sin(x)变为y=sin(2x)，周期 从2π变为π，图像长度减半。同样地，对于 余弦函数，将y=cos(x)变为y=cos(2x)，周 期从2π变为π，图像长度也减半。
(完整版)三角函数图像平移变换
三角函数图像平移变换由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ）的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量"起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换）先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右（ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍（ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象. 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左（ϕ＞0）或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin （ωx ＋ϕ)的图象。
1。
为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像,只需将函数sin 2y x =的图像( A ）A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位2.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ D ）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位3.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ B ）(A ）向右平移6π个单位长度 （B)向右平移3π个单位长度(C)向左平移6π个单位长度 （D)向左平移3π个单位长度4.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是CA sin(2)3y x π=-，x R ∈B sin()26x y π=+，x R ∈C sin(2)3y x π=+，x R ∈D sin(2)32y x π=+,x R ∈5.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像B（A)向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位6.已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象AA 向左平移8π个单位长度 B 向右平移8π个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π个单位长度7。
三角函数图形的变换
三角函数图形的变换1、正弦与余弦函数图象的变换2、由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换):先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换:先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
作y =sin x （长度为2π的某闭区间）的图象 得y =sin(x +φ) 的图象得y =sin ωx 的图象 得y =sin(ωx +φ) 的图象 得y =sin(ωx +φ) 的图象 得y =Asin(ωx +φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R 上沿x 轴平 移|φ|个单位 横坐标 伸长或缩短 横坐标伸 长或缩短沿x 轴平 移|ωϕ|个单位 纵坐标伸 长或缩短纵坐标伸 长或缩短【经典例题】图像变换一：左右平移1、把函数R x x y ∈=,sin 图像上所有的点向左平移4π个单位，所得函数的解析式为 _________2、把函数R x x y ∈=,cos 图像上所有的点向右平移5π个单位，所得函数的解析式为 _________图像变换二：纵向伸缩3、对于函数R x x y ∈=,s i n 3的图像是将R x x y ∈=,sin 的图像上所有点的______(“横”或”纵”)坐标______（伸长或缩短）为原来的______而得到的图像。
三角函数图像与变换
三角函数图像与变换一、引言三角函数是高中数学中的重要内容，它们在数学和物理等领域都有广泛的应用。
本文将从三角函数的图像出发，探讨其与变换的关系，并探讨它们在实际问题中的应用。
二、三角函数的基本图像1. 正弦函数的图像正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像呈现周期性的波动形态。
当自变量为0时，正弦函数的值为0；当自变量为90度（或π/2弧度）时，正弦函数的值为1；当自变量为180度（或π弧度）时，正弦函数的值为0；当自变量为270度（或3π/2弧度）时，正弦函数的值为-1；以此类推，正弦函数的图像在每个周期内都呈现出上升、下降、上升、下降的特点。
2. 余弦函数的图像余弦函数与正弦函数非常相似，它们的图像在形态上只有一个平移。
当自变量为0时，余弦函数的值为1；当自变量为90度（或π/2弧度）时，余弦函数的值为0；当自变量为180度（或π弧度）时，余弦函数的值为-1；当自变量为270度（或3π/2弧度）时，余弦函数的值为0；以此类推，余弦函数的图像也呈现出上升、下降、上升、下降的特点。
3. 正切函数的图像正切函数是另一个重要的三角函数，它的图像呈现出周期性的波动形态。
正切函数的图像在每个周期内都有一个渐进线，即在自变量接近90度（或π/2弧度）和270度（或3π/2弧度）时，函数值趋近于无穷大。
三、三角函数的变换1. 平移变换平移变换是指将函数的图像沿x轴或y轴方向移动一定的距离。
对于正弦函数和余弦函数，平移变换可以通过改变自变量的值来实现。
例如，将正弦函数的自变量增加π/4，可以使函数图像向左平移π/4个单位；将正弦函数的自变量减少π/4，可以使函数图像向右平移π/4个单位。
同样的，对于余弦函数，也可以通过改变自变量的值来实现平移变换。
2. 伸缩变换伸缩变换是指将函数的图像在x轴或y轴方向进行拉伸或压缩。
对于正弦函数和余弦函数，伸缩变换可以通过改变自变量的系数来实现。
例如，将正弦函数的自变量乘以2，可以使函数图像在x轴方向压缩一倍；将正弦函数的自变量除以2，可以使函数图像在x轴方向拉伸一倍。
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的图象 ?
(1)向左平移
函数y sin x
3
y sin(x )的图象
3
(2)横坐标缩短到原来的 1 2
y sin(2x+ )的图象
纵坐标不变
3
(3)纵坐标伸长到原来的2倍 y 2sin(2x )的图象
横坐标不变
3
选做题：
题：怎样由y = sinx的图象得到y = 2sin( x - π )的图象？
y=sinx
y=Asin(x+)
方法2:按先变周期后平移顺序变换
横坐标缩短>1 (伸长0<<1)到原来的1/倍
y=sinx
纵坐标不变
y=sinx
向左>0 (向右<0) 平移||/个单位
y
sin
(x
)
sin(x
)
横坐标不变
y=Asin(x+)
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍
三、当堂检测：
π 6
)
（四）总结归纳：
y=sinx
y=Asin(x+)
方法1:按先平移后变周期的顺序变换
y=sinx
向左>0 (向右<0) 平移||个单位
y=sin(x+)
横坐标缩短>1 (伸长0<<1)到原来的1/倍
纵坐标不变
y=sin(x+)
横坐标不变
y=Asin(x+)
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍
振幅
(2)T = 2π ω
周期
(3)f = 1 = ω T 2π
频率
(4)ωx +
相位
(5)
初相
二）尝试练习题
二、学习过程：
1、为了得到函数y cos(x 1)的图象，只需把函数? 3
y cos x图象上所有的点( D )(1月4题)
A. 向左平行移动 1 个单位 B. 向左平行移动 1 个单位
①
y sin x
y sin(x ) ②
4
y sin(2x )
4
①____将___函 ____数____y_____s__in___x__的___图象向左平4 个单位
把函数y sin(x )图象上所有点的横坐标
4 ②_____缩____短___到 ____原____来___的 ____12__倍__ （纵坐标不变）
y sin x
所有点的横坐标
y
26
= sin
x
伸长为原来的2倍
2
途径一:
所有的点向右
y = sin( x - π )
平移多为原来的2倍
y = 2sin( x - π ) 26
y sin x
所有的点向右 平移多少个单位？
y = sin(x - π ) 6
途径二:
伸长伸所所为长有有原为点点来原的的的来纵横多的坐坐少多标标倍少？倍？yy==si2ns(i2xn(-2x6π-)
（三）巩固练习：
2.把y sin(2x )的图象向右平移 个单位,
3
6
D 这时图象所表示的函数为
A. y sin(2x ), B. y sin(2x )
2
6
C. y sin(2x 3), D. y sin 2x 2
（三）巩固练习：
3、怎样由y sin x的图象得到y 2sin(2x )
5
（三）巩固练习：
1.选择题 :已知函数y 3sin( x )的图象为C.
(2)为了得到函数y 3sin(2x 5)的图象,只要
5
把C上所有的点B
( A)横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
(B)横坐标缩短到原来的1 倍,纵坐标不变 2
(C)纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变
(D)纵坐标缩短到原来的1 倍,横坐标不变 2
7
4、为了得到函数y=sin(x- p )的图象，只需 4
要把函数y=sin(x+ p )的图象上的所有点 D
4 A.向右平行移动 p 个单位?
2 B.向右平行移动 p 个单位
4 C.向左平行移动 p 个单位?
2 D.向左平行移动 p 个单位
4
5:如何按照下列指定的顺序,将一个函数的图象 变为下一个函数的图象.
3
3
C. 向右平行移动 1 个单位 D. 向右平行移动 1 个单位
3
3
2、为了得到函数y=cos x 的图象，只需把函数y=cosx 3
图象上所有的点的 (A)? (5题)
A.横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变?
B.横坐标缩小到原来的 1 倍，纵坐标不变? 3
C.纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变?
水
2020年6月17日星期三
一、学习目标：
1、会求函数 y Asin(x ) ( A 0, 0)的三种变换的量
2．会根据正弦函数的三种变换来求余弦函 数和正切函数的三种变换．
）复习题
二、学习过程：
y = Asin(ωx +)(其中A > 0, ω > 0)在简谐
运动中的相关概念 :
(1)A
（三）巩固练习：
1.选择题 :已知函数y 3sin( x )的图象为C.
(3)为了得到函数y
4sin(
x
5 )的图象,只要
5
把C上所有的点C
( A)横坐标伸长到原来的4 倍,纵坐标不变 3
(B)横坐标缩短到原来的3 倍,纵坐标不变 4
(C)纵坐标伸长到原来的4 倍,横坐标不变 3
(D)纵坐标缩短到原来的3 倍,横坐标不变 4
（三）巩固练习：
1.选择题 :已知函数y 3sin( x )的图象为C.
5 (1)为了得到函数y 3sin( x )的图象,只要
5
把C上所有的点 C
( A)向右平行移动 个单位长度.
5
(B)向左平行移动 个单位长度.
5
(C)向右平行移动2 个单位长度.
5
(D)向左平行移动2 个单位长度.
D.纵坐标缩小到原来的 1 倍，横坐标不变 3
3、已知函数y=cos(x+ )的图象为C，为了得到
7
函数y=cos(x- )的图象只需把C上所有的点（? C ）
7
A.向右平行移动 个单位长度?
7
B.向左平行移动 个单位长度?
7
C.向右平行移动 2 个单位长度?
7
D.向左平行移动 2 个单位长度
C. 横坐标缩小原来的1/3倍 D.横坐标缩小到原来的1/3倍
C •3. 要得到函数 y=sin（x + π/3）的图象，只需将 y=sinx 图象（ ）
D •1. 要得到函数 y= 2 sin x 的图象，只需将 y= sinx 图象（ ）
A.横坐标扩大原来的两倍 B. 纵坐标扩大原来的两倍
C.横坐标扩大到原来的两倍 D. 纵坐标扩大到原来的两倍
D •2. 要得到函数 y=sin3x 的图象，只需将 y=sinx 图象（ ）
A. 横坐标扩大原来的3倍 B.横坐标扩大到原来的3倍