三角函数图像及其变换

高一数学第十四讲 三角函数图像及其变换
一、知识要点：
ππ
ππ
ϕω2,2
3,
,2
,
0=+x 列表求出对应的x 的值与y 的值，用平滑曲线连结各点，即可得到其在一个周期内的图象。

3．研究函数R x x A y ∈+=),sin(ϕω(其中0,0>>ωA )的单调性、对称轴、对称中心仍然是将ϕω+x 看着整
体并与基本正弦函数加以对照而得出。

它的最小正周期||2ωπ
=T
4．图象变换
(1)振幅变换 R x x y ∈=,s i n
−−−−−−−−−−−−−−→
−<<>倍
到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,s i n A
(2)周期变换 R x x y ∈=,s i n −−−−−−−−−−−−−−→
−<<>倍
到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ω
ωω1
1)(01)(R x x y ∈=,s i n ω (3)相位变换 R x x y ∈=,s i n −−−−−−−−−−−−→−<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(s i n ϕ (4)复合变换 R x x y ∈=,s i n
−−−−−−−−−−−−→
−<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(s i n ϕ
−−
−−−−−−−−−−−−→−<<>倍
到原来的
或伸长所有点的横坐标缩短ω
ωω11)(01)(R x x y ∈+=),sin(ϕω −−−−−−−−−−−−−−→
−<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x A y ∈+=),sin(ϕω
5．主要题型：求三角函数的定义域、值域、周期，判断奇偶性，求单调区间，利用单调性比较大小，图
象的平移和伸缩，图象的对称轴和对称中心，利用图象解题，根据图象求解析式，已知三角函数值求角。

二.基础练习
1． 函数1π2sin()23
y x =+的最小正周期T = ． 2．函数sin
2x
y =的最小正周期是 若函数tan(2)3y ax π=-的最小正周期是2π,则a=____.
3．函数]),0[)(26
sin(
2ππ
∈-=x x y 为增函数的区间是
4．函数2
2cos()()363
y x x ππ
π=-
≤≤的最小值是 5．将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4
y x π
=-的图像？
6．已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ϕϕ⎛⎫⎛
⎫=+<
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
的图象经过点(01)，
，则该简谐运动的最小正周期T 和初相ϕ分别为
7.已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a,b,c 的大小关系为______.
8．给出下列命题： ①存在实数x ，使sin cos 1x x =成立； ②函数5sin 22y x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭是偶函数； ③直线8x π=是函数5sin 24y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
的图象的一条对称轴；
④若α和β都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>．
⑤R x x x f ∈+
=),32sin(3)(π
的图象关于点)0,6
(π
-
对称；
其中结论是正确的序号是 （把你认为是真命题的序号都填上）． 三、例题分析：
题型1：三角函数图像变换
例1、 变为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数1
cos 2
y x =的图象怎样变换？
式1：将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向
左平移3
π
个单位，所得图象的解析式是 .
题型2：三角函数图像性质
例2、已知函数 y=log 2
1)4
x π
-
)
⑴求它的定义域和值域； ⑵求它的单调区间；⑶判断它的奇偶性； ;⑷判断它的周期性.
变式1：求函数34sin(2)23
y x ππ=
+的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合．；
变式2：函数y =2sin x 的单调增区间是
题型3：图像性质的简单应用
例3、已知函数()()sin 0,0,||2f x A x A πωθωθ⎛⎫
=+>><
⎪⎝
⎭
的图象与y 轴交于点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，它在y 轴右
侧的第一个最大值点和最小值点分别为()0,3x ，()02,3x π+-，
（1）求函数()y f x =的解析式；
（2）用“五点法”作出此函数在一个周期内的图象，并说明它是由函数sin y x =的图象依次经过哪些变换而得到的。

变式1：如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin （ωx ＋ϕ）＋b . （Ⅰ）求这段时间的最大温差； （Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式．
变式2：已知函数πϕωϕω≤≤>+=0,0),sin()(x x f 是R 上的偶函数，其图象关于点
)0,4
3(
π
M 对称，求ϕ和ω的值。

题型4：三角函数综合应用 例4、求下列函数的定义域
(1)x x y sin 21tan 1--+-= (2))sin(cos x y = (3) 1
cos 2)1lg(tan -+=x x y .
例5、求下列函数的值域
(1)R x x y ∈-= ,2cos 23 (2)R x x x y ∈-+= ,2sin 2cos 2 (3)x
x
y cos 2cos 2-+=
例6 若()2
122cos sin f x a a x x =---的最小值为 ()g a ，
（1）求()g a 的表达式；
（2）求使()1g a =的a 的值，并求当a 取此值时()f x 的最大值。

能力检测题
1．（2007年福建）．已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛
⎫
=+
> ⎪3⎝⎭
的最小正周期为π，则该函数的图象（ ） A ．关于点0π
⎛⎫ ⎪3⎝⎭
，对称 B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π⎛⎫ ⎪4⎝⎭
，对称 D ．关于直线x π=3对称 2．（2007年江苏卷1）．下列函数中，周期为
2
π
的是（ ） A ．sin
2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4
x
y = D ．cos 4y x = 3．（07年山东卷文4）．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛
⎫
=- ⎪3⎝⎭
的图象（ ） A ．向右平移
π6个单位 B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π
3
个单位 D ．向左平移
π
6
个单位 4．如果m
m x 44cos +=有意义，则m 的取值范围是
5．（2007年江西卷文2）．函数5tan(21)y x =+的最小正周期为 6．要得到sin
2x y =的图象，只需将函数cos 24x y π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
的图象 7．对于函数)0,(A, )sin(的常数均为不等于，
ϕωϕω+=x A y ，有下列说法： ①最大值为A ； ②最小正周期为|2|ω
π
； ③
在],0[π至少有一个x ，使得0=y ； ④由)( 2
222Z k k x k ∈+≤+≤-
π
πϕωπ
π解得x 的区间范围即为原函数的单调增区间。

其中正确的说法是
8．函数)4
2tan(π
-
=x y 的单调增区间为 .
9．已知]0,2[π-∈x ,且,01cos sin 22=--x x 求角x 的集合. 10．函数π2
1
sin
-=x y 的单调递增区间是 . 11．函数(),f x x R ∈是奇函数，且当0x ≥时，()2
sin f x x x =+，则当0x <时，()f x 等于 ．
12.如果α、β、γ均为锐角，1sin 3α=，tan β=3
cos 4
γ=，则,,αβγ从小到大的顺序为 ． 13. 函数2
225)
tan 1(log x
x y -+=
的定义域是
14．（07年浙江卷理2）若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2
ϕπ
<）的最小正周期是π，
且(0)f =，则。