三角函数图像变换讲解ppt
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2024年度高中数学必修四三角函数PPT课件
建筑设计
在建筑设计中，利用三角函数计算建筑物的角度、高度和距离等 参数，确保设计的准确性和美观性。
机械设计
在机械设计中，三角函数用于计算齿轮、轴承等机械元件的尺寸和 角度，保证机械传动的精确性和稳定性。
航空航天工程
在航空航天工程中，利用三角函数分析飞行器的姿态、航向和速度 等参数，确保飞行安全。
21
2024/3/24
32
THANKS
感谢观看
2024/3/24
33
周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
29
常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
2024/3/24
02
三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
04
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
30
解三角形问题：利用正 弦定理、余弦定理求解 边或角
易错知识点剖析及防范措施
混淆三角函数定义域和值域
注意定义域和值域的区别，避免混淆
忽视三角函数的周期性
在解题时要考虑周期性，避免漏解或 多解
2024/3/24
错误使用三角恒等变换公式
注意公式的适用条件和变形方式，避 免误用
忽视解三角形的限制条件
在解三角形时要注意边和角的限制条 件，避免得出不符合题意的解
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正 。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
2024/3/24
7
02 三角函数诱导公 式与变换
2024/3/24
8
诱导公式及其应用
2024/3/24
诱导公式的基本形式
最新三角函数图像变换幻灯片
3、函数图象的左右平移变换
问题3
作函数y=sin(x+ )和y=sin(x- )
3
4
的简图，并指出它们与y=sinx图象之
间的关系。
x _
2 7
x+ 3
3
0
6
2
sin(x+ ) 3
0
1
y
3
6
3
2
0
-1
y=sin(x+
兀
3
)1
y=sinx
- o
3
6
2
7
3
6
2
5 3
5 3
2
0
x
-1
x
4
（3） y=sin(x+φ)与y=sinx图象的关系
通过以上几种形式的讨论和研究，得出形如 y=Asin(ωx+φ)与y=sinx函数的图象间的关系。
1.作三角函数的图象的方法一般有： (1) 描点法；（2）几何法；
2. 作三角函数的简图：
主要先找出在确定图象性质时起 关键作用的五个点: (1)最大值点 (2) 最值点 (3)与x轴的交点
y＝sinx的图象各点的纵坐标缩短到原来的1/2y倍＝
(横坐标不变)
1 2
sinx的图象
结论: y＝Asinx （其中A>0) 的图象可看成是由y＝sinx 的图象上的所有点的横坐标不变,纵坐标伸长 （A>1时) 或 缩短(0<A<1时)到原来的A倍而得到.
注：A引起图象的纵向伸缩，它决定函数的最大（最小） 值,我们把A 叫做振幅。
y
2
1
o
-1 -2
0
2
0
人教A版高中数学必修一课件 《三角恒等变换》三角函数PPT(第5课时简单的三角恒等变换)
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 运用和、差、倍角公式化简 ↓
统一化成f（x）＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式 ↓
利用辅助角公式化为f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋k 的形式，研究其性质
1．已知函数 f(x)＝cos2x－1π2＋sin2x＋1π2－1，则 f(x)(
)
A．是奇函数
＝79×－13－－4
9
2×2
3
2＝13.
本部分内容讲解结束
α ＝cos
α.
(变条件)若本例中式子变为
（1＋sin θ＋cos θ）sin
θ2－cos
θ
2
2＋2cos θ
(0＜θ＜π)，则化简后的结果是什么？
2sin 解：原式＝
θ 2cos
θ2＋2cos2
θ
2
sin
θ2－cos
θ 2
4cos2
θ 2
cos ＝
θ2sin2
θ2－cos2
θ 2
θ
cos
2
2sin2
α 2
α
2sin
2
αα
2 ＝－
2sin 2cos
sin
α
2
2.
因为 0＜α＜π，
所以 0＜α2＜π2.所以 sin α2＞0.
所以原式＝－2 2cos α2.
与三角函数性质有关的问题
已知函数 f(x)＝cos(π＋x)cos 32π－x－ 3cos2x＋ 23. (1)求 f(x)的最小正周期和最大值；
(2)因为 0≤x≤23π， 所以π3≤x＋π3≤π. 当 x＋π3＝π， 即 x＝23π时，f(x)取得最小值． 所以 f(x)在区间0，23π上的最小值为 f23π＝－ 3.
5.5 三角恒等变换 课件(21张PPT)(2024年)
2
α是 的二倍角,
2是的二倍角，在倍角公式cos 2α=1－2sin2α中，利用换
元法，
用代替2，用
2
代替，得
cos α=1－2sin2
2
1－
2
=
2
2
新知探究
同理，在倍角公式cos
2
2α=2cos α－1中，用代替2，用
cos
2
α=2
2
−1
2
1+
(1)sin αcos β＝
2
(2)sin θ＋sin φ=2sin θ＋φcos θ－φ
2
2
思考1:(2)式与(1)式有什么相同点和不同点？
θ＋φ
θ－φ
(换元法)如果我们令α＝
，β＝
,
2
2
θ＋φ θ－φ
θ＋φ θ－φ
即α＋β＝
+
= ，α－β＝
=φ，代入(1)中得
2
2
2
2
θ＋φ
θ－φ
2sin
cos
＝sin θ＋sin φ
(＋)＋(－)
同理，我们还可以得到公式
cos αsin
cos αcos
1
β＝
2
1
β＝
2
(＋)－(－)
(＋)＋(－)
1
2
sin αsin β＝ (－)－(＋)
我们把以上四个公式叫做“积化和差公式”
例2、求证：
1
[sin(α＋β)＋sin(α－β)]
2
2
2
， 2 ，2 .
新知探究
例1、试以cos α表示2
三角函数的图像和性质PPT课件
三角函数的图像和性质
2021/6/7
1
一、三角函数图像的作法 二、三角函数图像的性质 三、f(x)= Asin(x+) 的性质
几何法 五点法 图像变换法
2021/6/7
2
一、三角函数图象的作法
1.几何法 y=sinx 作图步骤:
y
(1)等分单位圆作出特殊角的三角函数线;
(2)平移三角函数线; (3)用光滑的曲线连结各点.
得 到 y = s i n ( ω x + ) 在 某 周 期 内 的 简 图
步骤4
各点纵的坐纵标坐标变为伸原长来或的缩A倍短(横坐标不变)；
得 到 y = A s i n ( ω x + ) 在 某 周 期 内 的 简 图
沿x轴
扩展
步骤5
得 到 y = A s i n ( ω x + ) 在 R 上 的 图 象
3
x
11
返回目录
二、三角函数图象的性质
函数 y sin x
ycosx
y tanx
图象
y 1
0
1
2 x
y
1
0
1
2
x
y
2
3 2
2
0
3 2
x
单调性
[2k， 32k](kz)
2
2
递减
[ 2 k， 2 2 k](k 递z)增
[2k， 2k](kz) 递增 [2 k,2 k](k z)
22
递减
纵向伸长3倍
y=3sinx
左移 π 3π
y=3横si向n(缩x+短31) y=3sin(2x+ 2π) 方法2： y=sinx 3
2021/6/7
1
一、三角函数图像的作法 二、三角函数图像的性质 三、f(x)= Asin(x+) 的性质
几何法 五点法 图像变换法
2021/6/7
2
一、三角函数图象的作法
1.几何法 y=sinx 作图步骤:
y
(1)等分单位圆作出特殊角的三角函数线;
(2)平移三角函数线; (3)用光滑的曲线连结各点.
得 到 y = s i n ( ω x + ) 在 某 周 期 内 的 简 图
步骤4
各点纵的坐纵标坐标变为伸原长来或的缩A倍短(横坐标不变)；
得 到 y = A s i n ( ω x + ) 在 某 周 期 内 的 简 图
沿x轴
扩展
步骤5
得 到 y = A s i n ( ω x + ) 在 R 上 的 图 象
3
x
11
返回目录
二、三角函数图象的性质
函数 y sin x
ycosx
y tanx
图象
y 1
0
1
2 x
y
1
0
1
2
x
y
2
3 2
2
0
3 2
x
单调性
[2k， 32k](kz)
2
2
递减
[ 2 k， 2 2 k](k 递z)增
[2k， 2k](kz) 递增 [2 k,2 k](k z)
22
递减
纵向伸长3倍
y=3sinx
左移 π 3π
y=3横si向n(缩x+短31) y=3sin(2x+ 2π) 方法2： y=sinx 3
三角函数y=Asin(ωx ψ)图像变换 课件-必修一
y
2
2
1
O 1
3
2 x
2
注意:五点是指使函数值为0及达到最大值和最小值 的点.
函数y sin（x + )在一个周期内的简图.
3
x
2
7
5
3
6
3
6
3
x+
3
0
2
3
2
2
sin(x + )
0
1
0
－1
0
3
描点作图:
y
1
7
5
o π
6
2
3
x
2
3
6
3
-1
探究一： 对函数图象的影响
试研究
y sin(x + ),
+
5
)的图象,只要
5
把C上所有的点 C
( A)横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变 3
•2. 要得到函数 y=sin3x 的图象，只需将 y=sinx 图象（D ） A. 横坐标扩大原来的3倍 B.横坐标扩大到原来的3倍 C. 横坐标缩小原来的1/3倍 D.横坐标缩小到原来的1/3倍
•3. 要得到函数 y=sin（x + π/3）的图象，只需将 y=sinx 图象（ C） A. 向左平移π/6个单位 B. 向右平移π/6个单位 C. 向左平移π/3个单位 D. 向右平移π/3个单位
y
2
y sin 2x
1
o
2
y sin 1 x 2 4
3
2 2
-1
二、函数y=sinx(>0)图象: 周期变换
函数 y=sinx (>0且0) 的图象可以看作 是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短 (当>1时)或伸长(当0< <1时)到原来的1/ 倍(纵坐标不变)而得到的.
三角函数图像变换课件
π , y 取最大值或最小值. ∴当 x=- 8 时 取最大值或最小值 π |sin2(- π )+acos2(- )|2=a2+1 8 解得 a=-1. 8
π 对称 法3 ∵函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 8 对称, π 时的函数值相同 ∴当自变量取 0, - 4 时的函数值相同. ∴sin0+acos0=sin2(- π )+acos2(- π ). 即 0+a=-1+0. π 对称 法4 ∵函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 对称, π + π = π 时, 函数值为 0. ∴当 x=- 8 4 8 ∴sin π +acos π =0.
五、典型例题
o
x
3.求函数 y=sin4x+2 3 sinxcosx-cos4x 的最小正周期和最小值 求函数 的最小正周期和最小值, 上的单调增区间. 并写出该函数在 [0, π] 上的单调增区间 解: ∵ y=sin4x+2 3 sinxcosx-cos4x =(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+ 3 sin2x = 3 sin2x-cos2x 故该函数的最小正周期是 π, 最小值是 -2. =2sin(2x- π ) -6
一、三角函数图象的作法
作图步骤: 1.几何法 y=sinx 作图步骤 几何法 (1)等分单位圆作出特殊角的三角函数线 等分单位圆作出特殊角的三角函数线; 等分单位圆作出特殊角的三角函数线 (2)平移三角函数线 平移三角函数线; 平移三角函数线 (3)用光滑的曲线连结各点. (3)用光滑的曲线连结各点. 用光滑的曲线连结各点 y 1 o1 Ao -1 y=sinx 3π 2 P M o y
高中数学：131《三角函数图像的变换》课件必修
这些操作包括平移、伸缩、翻折和旋转等，可以单独或组合使用。
变换的目的是为了更好地理解三角函数的性质，解决实际问题，以及进行图像处理 等。
变换的种类和特点
01
02
03
04
平移变换
将图像沿x轴或y轴方向移动 ，保持图像形状不变。
伸缩变换
通过改变x轴和y轴的比例来 改变图像的大小，可以横向或
纵向伸缩。
翻折变换
利用伸缩变换的性质求解函数的极值
例如，利用正弦函数的伸缩性质，可以求解y=sin(3x)在x=π/9处的极小值为1。
利用对称变换的性质求解函数的对称轴或对称中心
例如，利用正弦函数的对称性质，可以求解y=sin(x)的对称轴为x=kπ+π/2，k∈Z。
变换在实际问题中的应用
物理学中的应用
三角函数图像的综合变换在物理学中有广泛的应用，如振 动和波动现象、交流电等。通过变换可以更好地理解物理 现象和解决实际问题。
x轴缩短为原来的1/2，则图像的 周期变为原来的2倍。
01
03
02 04
总结词：影响相位
详细描述：沿x轴伸缩不仅改变 了图像的周期，还会影响函数的 相位。例如，将x轴缩短为原来 的1/2，相当于将相位滞后了π。
沿y轴伸缩
总结词：改变振幅
详细描述：沿y轴伸缩是 指保持x轴不变，通过改 变y轴的长度来改变整个 图像的振幅。例如，将y 轴放大为原来的2倍，则 图像的振幅变为原来的2 倍。
翻折变换
旋转变换
$y = -f(-x)$ 或 $y = f(x)$，前者表示沿x 轴翻折，后者表示沿y轴翻折。
$x = xcostheta - ysintheta$ 和 $y = xsintheta + ycostheta$，其中$theta$为 旋转角度。
变换的目的是为了更好地理解三角函数的性质，解决实际问题，以及进行图像处理 等。
变换的种类和特点
01
02
03
04
平移变换
将图像沿x轴或y轴方向移动 ，保持图像形状不变。
伸缩变换
通过改变x轴和y轴的比例来 改变图像的大小，可以横向或
纵向伸缩。
翻折变换
利用伸缩变换的性质求解函数的极值
例如，利用正弦函数的伸缩性质，可以求解y=sin(3x)在x=π/9处的极小值为1。
利用对称变换的性质求解函数的对称轴或对称中心
例如，利用正弦函数的对称性质，可以求解y=sin(x)的对称轴为x=kπ+π/2，k∈Z。
变换在实际问题中的应用
物理学中的应用
三角函数图像的综合变换在物理学中有广泛的应用，如振 动和波动现象、交流电等。通过变换可以更好地理解物理 现象和解决实际问题。
x轴缩短为原来的1/2，则图像的 周期变为原来的2倍。
01
03
02 04
总结词：影响相位
详细描述：沿x轴伸缩不仅改变 了图像的周期，还会影响函数的 相位。例如，将x轴缩短为原来 的1/2，相当于将相位滞后了π。
沿y轴伸缩
总结词：改变振幅
详细描述：沿y轴伸缩是 指保持x轴不变，通过改 变y轴的长度来改变整个 图像的振幅。例如，将y 轴放大为原来的2倍，则 图像的振幅变为原来的2 倍。
翻折变换
旋转变换
$y = -f(-x)$ 或 $y = f(x)$，前者表示沿x 轴翻折，后者表示沿y轴翻折。
$x = xcostheta - ysintheta$ 和 $y = xsintheta + ycostheta$，其中$theta$为 旋转角度。
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练习3
1、将函数y cos x的图象上每一个点的 横 坐标不变，
纵
2 缩短到原来的 倍 2 坐标 3 ，可得到函数y cos x的图象.
3
2 2、将函数y sin x图象上每一个点的横 坐标不变， 5 5 纵 坐标 伸长到原来的2 倍 ，可得到函数y sin x的图象.
例3、 要得到函数y cos( 2x
② ③
例5 : 图中曲线是函数y A sin( x )的图像的一部分 ， 求这个函数的解析式 。
Y 2
解析： 显然A Байду номын сангаас 2
2 2 T
5 T 2( ) 6 3
A
3
5 6
1
O x0
x0 3 4 12
X
. 3 所求函数的解析式为 ： y 2 sin（ 2x ) 3 取k 0 , 得
6
)的图象 .
练习2
1、将函数y sin x的图象上每一个点的 纵 坐标不变，
横 坐标
3 伸长到原来的 倍 2
2 ，可得到函数y sin x的图象 3
2 2、将函数y sin( x)图象上每一个点的 纵 坐标不变， 5 2 缩短到原来的 横 坐标 ，可得到函数y sin x的图象. 5
步骤5
得到y A sin( x )在R上的图象
一般函数图象变换
平 移 变 换 基 本 变 换 上下 平移
向上(b>0)或向下(b<0)移︱b︱单位
y=f(x)+b图象
y=f(x+φ) 图象
伸 缩 变 换
左右 平移 y=f(x) 图 象 上下 伸缩
向左(φ>0)或向右(φ<0)移︱φ︱单位
y=sin(ωx)图象
注: y=sin(ωx)图 象
单位
y=sin(ωx+φ)图 象
练习1
1、将函数y sin( x
)的图象向 右 平移
6 可得到函数y sin x的图象 .
6
个单位，
6
个单位，
2、将函数y sin( x
3
)的图象向左 平移
可得到函数y sin( x
A、向左平移 个单位 8 C、向左平移 4 个单位
)的图像， 只须将 y sin 2x的图像（ 4
B、向右平移 8 个单位 D、向右平移 4 个单位
A
）
例4、 关于函数f ( x ) 4 sin( 2x )( x R ), 有下列命题： 3
①由f ( x1 ) f ( x 2 ) 0可得，x 1 x 2必是的整数倍； ② y f ( x )的表达式可改写为y 4 cos( 2x ); 6 ③ y f ( x )的图像关于( ,0 )对称; 6 ④ y f ( x )的图像关于直线x 对称； 6 其中正确的例题是：— — — — — —.
B. y 2sin(4 x ) 1 3
（A）
D. y 2sin(4 x ) 1 3
3
个单位 个单位
6 6
个单位 个单位 （D ）
3
, 上既是增函数，又是奇函数的是
B. y sin( x ) 4 3 x D. y cos 2
A. y sin 2( x) x C. y sin( ) 2 2
3、函数 f ( x) cos(3x ) 的图象关于原点中心对称的充要 条件是 （B）
步骤1 步骤2
画出y sin x在0， 2 上的简图
沿x轴 平行移动
得到y sin( x )在某周期内的简图
横坐标 伸长或缩短
步骤3
得到y sin( x )在某周期内的简图
纵坐标 伸长或缩短
步骤4
得到y A sin( x )在某周期内的简图
沿x轴 扩展
y=sin(x)+b图象
y=sin(x+φ) 图 象
伸 缩 变 换
左右 平移 y=sin(x) 图 象 上下 伸缩
向左(φ>0)或向右(φ<0)移︱φ︱单位
点的纵坐标变为原来的A倍 横坐标不变
y=Asin(x)图象
左右 伸缩
点的横坐标变为原来的1/ω倍 纵坐标不变 向左(φ>0)或向右 (φ<0)平移
点的纵坐标变为原来的A倍 横坐标不变
y=Af(x)图象
左右 伸缩
点的横坐标变为原来的1/ω倍 纵坐标不变 向左(φ>0)或向右 (φ<0)平移
y=f(ωx)图象
注: y=f(ωx)图象
单位
y=f(ωx+φ)图象
三角函数图象变换
平 移 变 换 基 本 变 换 上下 平移
向上(b>0)或向下(b<0)移︱b︱单位
函数 y A sin( x ) 的图象和性质
我们的目标
1、掌握函数图象的平移、对称和伸缩变换 的规律 2、掌握正弦函数图象的相位、周期和振幅 变换的规律 3. 掌握由图像写出三角函数表达式的一般 方法，体会转化的思想方法
由y sin x到y A sin( x )的图象变换步骤
3
5 6
X
解后反思：由y=Asin(ωx+φ)的图像求其解析式φ较为难 求，通常取函数最值点确定φ的值不易出错，因函数的零点 有两种情况，容易出错，尽量避免。
1、函数 y 3sin(2 x
3
) 的图象可以由函数 y 3sin 2的 x
（B ） Ｂ.向右平移 Ｄ.向左平移
图象经过下列哪种变换得到 Ａ.向右平移 Ｃ.向左平移 ２、在
A.
2
B.
k
2
k Z
C.
k k Z
D.
2k
4、正弦函数 y f ( x) 的定义域为R，周期为
值域为
2
k Z
，初相为
1,3 ，则其函数式的最简形式为
2
3
，
A. y 2sin(4 x ) 1 3 C. y 2sin(4 x ) 1 3
2k ,k Z 6 2
即A( ,2 )代入y A sin( x ),得 12 2 2 sin( ) 6
3
例5 : 图中曲线是函数y A sin( x )的图像的一部分 ，
Y
求这个函数的解析式 。
2 1 O x0 A