1.5三角函数图像变换
三角函数的图像与变化规律
三角函数的图像与变化规律三角函数是数学中的重要概念，它们在几何、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
而三角函数的图像与变化规律是我们理解和应用三角函数的关键。
本文将从正弦函数、余弦函数和正切函数三个方面来探讨三角函数的图像与变化规律。
一、正弦函数的图像与变化规律正弦函数是最常见的三角函数之一，它的图像呈现出周期性的波动。
我们先来看一下正弦函数的图像。
在坐标系中，将x轴分成等分的小段，然后计算每个小段上的正弦函数值，再将这些值在坐标系中表示出来，就得到了正弦函数的图像。
正弦函数的图像是一条连续的波浪线，它在x轴上的取值范围是无穷大，而在y轴上的取值范围是[-1,1]。
正弦函数的图像以原点为对称中心，左右两侧的波浪形状完全相同。
当x=0时，正弦函数的值为0，这是正弦函数的一个特殊点，称为零点。
正弦函数的周期是2π，即在一个周期内，正弦函数的图像会重复出现。
正弦函数的变化规律可以总结为以下几点：1. 周期性：正弦函数的图像在一个周期内重复出现，即在x轴上每增加2π，y轴上的值会再次回到原来的位置。
2. 对称性：正弦函数的图像以原点为对称中心，左右两侧的波浪形状完全相同。
3. 最大值和最小值：正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
4. 零点：正弦函数在x=0时取得零值，这是正弦函数的一个特殊点。
二、余弦函数的图像与变化规律余弦函数也是一种常见的三角函数，它与正弦函数在图像上非常相似，但有一些细微的差别。
我们来看一下余弦函数的图像。
余弦函数的图像同样是一条连续的波浪线，它在x轴上的取值范围是无穷大，而在y轴上的取值范围也是[-1,1]。
余弦函数的图像以原点为对称中心，左右两侧的波浪形状完全相同。
当x=0时，余弦函数的值为1，这也是余弦函数的一个特殊点。
余弦函数的变化规律与正弦函数非常相似，但也有一些不同之处：1. 周期性：余弦函数的图像在一个周期内重复出现，即在x轴上每增加2π，y轴上的值会再次回到原来的位置。
数学公式知识：三角函数图像的平移与缩放
数学公式知识：三角函数图像的平移与缩放三角函数图像的平移与缩放是数学中常见的一个话题，也是高中数学课程中的重要内容。
三角函数是数学中的基本概念之一，在大学数学中被广泛应用到各种领域。
三角函数具有一定的规律性和对称性，三角函数图像的平移和缩放是基于这些规律性和对称性而实现的，因此掌握三角函数图像的平移和缩放是理解三角函数及其应用的前提。
一、三角函数图像的基本概念三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数三种函数的统称，它们都是以角度或弧度为自变量的函数，其中正弦函数的函数值为对边与斜边之比，余弦函数的函数值为邻边与斜边之比，正切函数的函数值为对边与邻边之比。
三角函数关系着三角形中的几何关系，因此在三角形几何中也十分重要。
三角函数图像是把三角函数的函数值和自变量进行映射后得到的图像，它可以帮助我们更好的理解三角函数的性质和应用。
二、三角函数图像的平移平移是指在坐标系中把图形沿着固定的方向移动一定的距离，平移前后图形形状不会改变，只是位置改变了。
对于三角函数图像的平移，其实就是在自变量上加或减一个常数，或在函数值上加或减一个常数，使得图像整体向左、向右、向上或向下平移。
这样可以使得图像的位置在坐标系上发生变化，但是形状不会发生变化。
三角函数图像的平移可以用下列公式来描述：1、正弦函数图像的平移设f(x)为正弦函数，a为常数。
当a>0时, y=f(x- a)图像向右平移a个单位。
当a<0时, y=f(x+ a)图像向左平移a个单位。
2、余弦函数图像的平移设f(x)为余弦函数，a为常数。
当a>0时, y=f(x- a)图像向右平移a个单位。
当a<0时, y=f(x+ a)图像向左平移a个单位。
3、正切函数图像的平移设f(x)为正切函数，a为常数。
当a>0时, y=f(x- a)图像向右平移a个单位。
当a<0时, y=f(x+ a)图像向左平移a个单位。
三、三角函数图像的缩放缩放是指把图形沿着某个方向缩小或放大一定的比例，缩放后图形的形状和位置都会发生变化。
三角函数的图像变换
cosθ = 邻边/斜边，在单位圆中表示为x坐标。
正切函数（tangent）
三角函数的周期性
tanθ = 对边/邻边，表示为正弦与余弦之比。
正弦、余弦函数周期为2π，正切函数周期为 π。
三角函数在各象限表现
第一象限
所有三角函数值均为正。
第三象限
正弦、余弦函数值为负，正切函数值为正。
第二象限
正弦函数值为正，余弦、正切函数值为负。
伸缩变换对正弦函数影响
横向伸缩
改变正弦函数图像的周期长度。缩小周期使得函数图像更加紧密，扩大周期则 使得函数图像更加稀疏。
纵向伸缩
改变正弦函数图像的振幅大小。增大振幅使得函数图像波动范围更大，减小振 幅则使得函数图像波动范围更小。
周期性与相位调整方法
周期性调整
通过改变正弦函数的周期来调整图像的疏密程度。可以通过调整函数中的系数来 实现周期的变化。
相位调整
通过改变正弦函数的相位来调整图像出现的位置。可以通过在函数中添加常数项 来实现相位的调整。同时，利用三角函数的和差化积公式，也可以实现相位的调 整。
03 余弦函数图像变换分析
余弦函数基本图像特征
波形图像
余弦函数图像呈现周期性波动，具有典型的波形 特征。
振幅和周期
余弦函数的振幅和周期是确定其图像形状和尺寸 的关键参数。
拓展：其他类型周期函数图像变换
锯齿波和方波
除了正弦波和余弦波外，还有其 他类型的周期函数如锯齿波和方 波等，它们的图像变换同样具有 实际应用价值。
周期函数的合成与分解
通过三角函数的线性组合可以合 成其他类型的周期函数；反之， 其他类型的周期函数也可以通过 傅里叶级数展开成三角函数的线 性组合。
三角函数图像变换ppt
( 2 )此图为y A sin( x ) b的图像,求出各个参数即可 .
图中从6时到 时是半个周期的图像 14
2 T 16 , 16 8
又由图意知A 30 10 30 10 10 ,b 20 2 2
与x轴两相邻交点之间的距离为:___________________; 2
π ⑥两相邻最大值之间的距离是:___________________;
最小值与相邻x轴交点之间的距离为:___________________。 4
例1、 已知函数y 2 sin x cosx 2 3 cos2 x 3 ,填空：
①振幅是: 频率是: 初相是: ② 定义域是:
2
1
周期是: 相位是:
π
2x 3
3
x k ( k Z ) 2 ③当x __________ 时 ； 12 _____ ,y max _______
［k
R
值域是: [-2，2]
7 ,k ］( k Z ) 12 12 ④ 递减区间是:_________________ k x (kZ) 12 2 ⑤图像的对称轴方程为:__________________; k （ ,0）（k Z） 图像的对称中心为:__________________; 6 2
（ 1） 当函数y取最大值时， 求自变量x的集合； （ 2） 该函数的图像可由 y sin x( x R )的图像经过怎样平移和 伸缩变换得到？ 1 3 2 解 : ( 1 )y cos x sin x cos x 1 2 2
1 cos 2x 1 3 sin 2x 1 2 2 4
三角函数的图像及其变换
振幅变换
振幅变换
通过将三角函数中的系数乘以一 个常数，可以改变函数图像的形 状和大小。例如，将正弦函数 y=sin(x)变为y=2sin(x)，图像的 高度变为原来的两倍。
总结词
振幅变换可以改变函数图像的大 小和形状，但不影响位置。
详细描述
振幅变换通常通过乘以一个常数来实 现。例如，对于正弦函数y=sin(x)，乘 以2得到y=2sin(x)，图像的高度变为 原来的两倍。同样地，对于余弦函数 y=cos(x)，乘以2得到y=2cos(x)，图 像的高度也变为原来的两倍。
与复数的联系
三角函数与复数之间有着密切的联系。例如，复数的三角形式就是由三角函数来表示的，这使得复数 的一些性质和运算可以通过三角函数来理解和实现。
此外，在复分析中，三角函数也起着重要的作用，如在求解某些复数域上的微分方程时，经常需要用 到三角函数。
谢谢
THANKS
应用
正切函数在解决实际问题和数学 问题中也有应用，例如在几何学 和三角学中的角度和长度计算。
02 三角函数的图像
CHAPTER
正弦函数的图像
01
正弦函数图像是周期函数，其基本周期为$2pi$，在$[0, 2pi]$ 区间内呈现波形。
02
正弦函数图像在$x$轴上的交点是$(frac{pi}{2} + kpi, 0)$，其
周期变换
总结词
详细描述
通过改变三角函数的周期，可以改变
函数图像的形状和位置。例如，将正 弦函数和余弦函数的周期从2π变为4π， 图像将变为原来的两倍长，但形状和
周期变换可以改变函数图像的长度， 但不影响形状和位置。
位置保持不变。
周期变换通常通过乘以一个常数来实现。例 如，将函数y=sin(x)变为y=sin(2x)，周期 从2π变为π，图像长度减半。同样地，对于 余弦函数，将y=cos(x)变为y=cos(2x)，周 期从2π变为π，图像长度也减半。
1.5三角函数图像变换修改版
6
)的图象; 再把后者所有点的横坐 标
1 伸长到原来的 倍(纵坐标不变), 得到y sin( x ) 3 3 6 图象; 再把所得图象上所有点 的纵坐标伸长到原来的 倍 2 1 (横坐标不变)而得到函数y 2 sin( x )的图象. 3 6
1.5函数 y=Asin(x+) 的图象
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
教学目标
知识与技能 1、理解掌握、、A对y A sin( x )的影响。
2、能够由y=sinx的图像变换到y A sin( x )的图像。 3、会用五点法画y A sin( x )的图像。 4、了解y A sin( x )振幅、周期、频率、相位、初相。
X x y
0
2
2
7 2
3 2
2
13 2
2
2
5
0
2
0
2
0
O -2
(2)描点 : 7 13 ( ,0), (2 ,2), ( ,0), (5 ,2), ( ,0) 2 2 2 (3)连线:
2
2
7 2
5
13 2
x
应用举例
例1 画出函数y 2 sin(1 x )的简图. 3 6 画法二： “图象变换法”
一、复习回顾
1、函数的图像的平移：左加右减，上加下减。 2、五点法画三角函数图象。 3、正余弦函数的性质： （1）定义域、值域（最值） （2）周期性，奇偶性
三角函数图像变换讲解ppt
练习3
1、将函数y cos x的图象上每一个点的 横 坐标不变，
纵
2 缩短到原来的 倍 2 坐标 3 ，可得到函数y cos x的图象.
3
2 2、将函数y sin x图象上每一个点的横 坐标不变， 5 5 纵 坐标 伸长到原来的2 倍 ，可得到函数y sin x的图象.
例3、 要得到函数y cos( 2x
② ③
例5 : 图中曲线是函数y A sin( x )的图像的一部分 ， 求这个函数的解析式 。
Y 2
解析： 显然A Байду номын сангаас 2
2 2 T
5 T 2( ) 6 3
A
3
5 6
1
O x0
x0 3 4 12
X
. 3 所求函数的解析式为 ： y 2 sin（ 2x ) 3 取k 0 , 得
6
)的图象 .
练习2
1、将函数y sin x的图象上每一个点的 纵 坐标不变，
横 坐标
3 伸长到原来的 倍 2
2 ，可得到函数y sin x的图象 3
2 2、将函数y sin( x)图象上每一个点的 纵 坐标不变， 5 2 缩短到原来的 横 坐标 ，可得到函数y sin x的图象. 5
步骤5
得到y A sin( x )在R上的图象
一般函数图象变换
平 移 变 换 基 本 变 换 上下 平移
向上(b>0)或向下(b<0)移︱b︱单位
y=f(x)+b图象
y=f(x+φ) 图象
伸 缩 变 换
左右 平移 y=f(x) 图 象 上下 伸缩
三角函数图形的变换
三角函数图形的变换1、正弦与余弦函数图象的变换2、由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换):先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换:先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
作y =sin x （长度为2π的某闭区间）的图象 得y =sin(x +φ) 的图象得y =sin ωx 的图象 得y =sin(ωx +φ) 的图象 得y =sin(ωx +φ) 的图象 得y =Asin(ωx +φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R 上沿x 轴平 移|φ|个单位 横坐标 伸长或缩短 横坐标伸 长或缩短沿x 轴平 移|ωϕ|个单位 纵坐标伸 长或缩短纵坐标伸 长或缩短【经典例题】图像变换一：左右平移1、把函数R x x y ∈=,sin 图像上所有的点向左平移4π个单位，所得函数的解析式为 _________2、把函数R x x y ∈=,cos 图像上所有的点向右平移5π个单位，所得函数的解析式为 _________图像变换二：纵向伸缩3、对于函数R x x y ∈=,s i n 3的图像是将R x x y ∈=,sin 的图像上所有点的______(“横”或”纵”)坐标______（伸长或缩短）为原来的______而得到的图像。
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O
2 6 2 3
y sin(x ) 6
3 5 2 3
x 2 13
6
-1
引入思考：
• 活动： 学生阅读教科书并思考、回答问题。 • 问题： 你认为可怎样讨论参数φ、ω、A对y＝ Asin(ωx+φ)的图象的影响？
y
y sin(x
3
)
1
o
yysinsinsinxx yysinsinsinxx yysinxsinxx yysinxxsin ysinxx x ysinsin yysinx y x y
点的纵坐标缩短到原来的
y 2 1 O
2
2
倍。
比较这两个函数与函 数y=sinx的图象的形 状和位置，你有什么 发现？
-1 -2
3 2
2
x
1 y sin x 2
y 2 sin x
函数y=Asinx (A >0且A≠1)的图象可以 看作是把 y=sinx 的图象上所有点的纵坐 标伸长 (当A>1时)或缩短(当0<A<1时) 到 原来的A倍(横坐标不变) 而得到的。 y=Asinx ，x∈R的值域为[-A,A]，最大值 为A，最小值为-A.这种变换称为振幅变换 。
6
6
3
D. 向左平移
3
小结：
作正弦型函数y=Asin(x+) 的图象的方法：
（1）利用变换关系作图; （2）用“五点法”作图。
作业：
课后练习： 3), (4) 2.(
把y=sinx的图象经过怎样的变换就得到 y=sin(2x )的图象? 3
函数 y=sinωx与y=sinx的图象的联系
对函数 y=sinx 图象的影响
1 对于函数y sin x 2 1. 列表：
x
1 x 2
sin 1 x 2
0 0 0
2
2
3
3 2
4
2 0
1
0
－1
2. 描点：
横坐标缩短(当>1时)或伸长(当0<<1时)
1 倍(纵坐标不变) 而得到的。 到原来的
这种变换称为周期变换
为了得到y=3sin(2x+π/5)的图象,只需将函数 y=3sin(x+π/5)的图象上各点的 ( B)而得到.
A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 . B.横坐标缩短到原来的1/2倍,纵坐标不变. C.纵坐标伸长到原来的1/2倍,横坐标不变 . D.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变 .
比较这两个函数与 函数y=sinx的图象 的形状和位置，你 有什么发现？
y sin(x ) 6
6 2 2 3
2
3
3 5 2 3
2
13 6
x
-1
函数 y sin(x ) y sin(x ) 的图象可以看作是把y=sinx的图象上 3 移动 和 向右平行 移动 个单位而得到的。 6 所有的点向左平行
y sin x 变换得 y 3 sin(2 x )的图象？ 3 方法1：
例1、如何由
（1）向左平移 3 函数 y=sinx
1 2
y=sin(x+ ) 的图象 3 y=sin(2x+ ) 的图象 3
（2）横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 （3）横坐标不变
倍
纵坐标伸长到原来的3倍
1
y
步骤1
-1
o
2
3 2
2
x
(沿x轴平行移动)
y
步骤2
1
3 2
2
o
-1
2
x (横坐标伸长或缩短)
1
y o
2
步骤3
-1
3 2
2
x
(纵坐标伸长或缩短)
1
y o
步骤4
-1
2
思 考 : 有 否 别 的 变 换
3 2
2
x
方法2(选讲)：
（1）横坐标缩短到原来的 函数 y=Sinx 纵坐标不变 （2）向左平移 6
y
1
2
O
1
3
4 x
对于函数y=sin 2 x
1. 列表：
x
2x sin 2 x
1
0 0 0
4
2
2
0
3 4
3 2
2 0
1
1
2. 描点： 2 y
2 O 1 2
3 x
y 1
比较这两个函数与函 数y=sinx的图象的形 状和位置，你有什么 发现？
2
O
3
2
0
2
O
2
2
(2)描点 :
-2
7 2
5
13 2
x
7 13 ( ,0), (2 ,2), ( ,0), (5 ,2), ( ,0) 2 2 2
(3)连线 :
用两种方法画出函数y 2 sin( 2 x )在长度 4 为一个周期的闭区间上的简图.
y
2
3 8
8
3 2
2
x
1 y sin x 2
y sin x
y 2 sin x
1 y=2sinx的图象可以看作是把 与y sin x 的图象 函数 y 2 sin x 、 sin xy=sinx的图象上所有点 y 的纵坐标伸长到原来的2倍。 2 1 y= 2 sinx的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所有 间的变化关系. 1
4 x
1
y=sin 1 x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所有 2 点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）。 y=sin 2x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所有 1 点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）。 2
函数y=sinx ( >0且≠1)的图象
可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的
练习：函数y = 3cos(x+ 4 )图象向左平移 3 个单位所得图象的函数表达式为 _____
5 思考：函数y = sin2x图象向右平移 12 个
7 答案：y 3cos( x ) 12
单位所得图象的函数表达式为______ 5
答案：y sin(2 x 6 )
想一想?
3
6
1.探索y=sin(x+ )与y=sinx的图象关系
1
o
-1
2
3 2
2
x
一、函数y=sin(x+ ) 图象
函数y=sin(x+ )（ ≠0）的图象可以看
作是把y=sinx的图象上所有的点向左（当 ＞ 0时 ）或向右（当 ＜0时 ）平行移动 个单位而得到的。
平移变换：（左加右减）
0
7 6
3 2
5 3
2
0
sin(x
)
0
1
-1
y 1
O 3 1
6
2
2 3
7 6
3 2
5 3
2
x
y sin x y sin(x ) y sin(x ) 函数图象 6 3
y y sin(x ) 1
3
y sin x
2 3
***复习回顾***
y sin x, x [0,2 ]的图象
3 关键点: (0,0), ( ,1), ( ,0), ( ,1), ( 2 ,0) 2 2 y 1
O 1
2
3 2
2
x
y sin(x ) 3
x
x
的图象 五点法作图
6
2
3
3
0
3
2 3
-3
例2
1 画出函数y 2 sin( x )的简图. 3 6
解 : (画法一)先把正弦曲线上所有点向右平移 个 6 单位长度, 得到y sin( x )的图象; 再把后者所有 6 点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变), 得到 1 y sin( x )的图象; 再把所得图象上所有的纵坐标 3 6 1 伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函数y 2 sin( x ) 3 6 的图象.
1 2
倍
y=Sin2x的图象
y=Sin(2x+ ) 的图象 3 y=3Sin(2x+ )的图象 3
（3）横坐标不变
纵坐标伸长到原来的3倍
方法2：(按 , , A顺序变换 )
y
3
2
y=3sin(2x+ )
3
5 6
3
5 3
2
x
-2
y=sin2x y=sin(2x+ ) 3
2.把y sin( 2 x )的图象向右平移 个单位, 3 6 这时图象所表示的函数为 D A. y sin( 2 x ) 2 B. y sin( 2 x ) 6 3 C. y sin( 2 x ) 2 D. y sin 2 x
x x 3.要得到函数y sin( )的图象, 可由y sin 2 6 2 的图象 C A. 向右平移 B. 向左平移 C. 向右平移
O
8
3 8
5 8
x
-2
变式题 : 画出函数y 2 sin 2( x )在长度为一个周期的 4 闭区间上的简图.