正弦型函数图像变换

王新敞
奎屯 新疆


3.已知函数y＝Asin(ωx＋ )，在同一周期内，当x＝ 9 时函数取得最大值2， 当x＝ 49 时函数取得最小值－2，则该函数的解析式为( ) A. y＝2sin(3x－6 ) B. y＝2sin(3x＋ 6 ) x x C. y＝2sin( 3 6 ) D. y＝2sin( 3 6 )
-
-1
o
-1 -
6


2
3
2 3
5 6

2
x
在函数 y sin x, x [0, 2 ] 的图象上，起关键作用的点有： 最高点：(

2
2
,1)
最低点： ( 3 ,1) 与x轴的交点： (0,0) ( ,0) (2 ,0) 在精度要求不高的情况下，我们可以利用这5个点画出函数 的简图，一般把这种画图方法叫“五点法”。
2
( >0且≠1)的图象可以看作是 把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短(当>1 1 时)或伸长(当0<<1时) 到原来的 倍(纵坐标 不变) 而得到的。
练习：作出下列函数的图像 ： （学生自己动手完成）
函数y=sinx
(1) y sin 4 x
1 (2) y sin x 3
(2)横坐标伸长到原来的3倍
纵坐标不变
(3)纵坐标伸长到原来的2倍
1 y sin( x )的图象 3 6 1 y 2 sin( x )的图象 3 6
横坐标不变
y
3
2
1
y=sin(x- )① 6

y=sinx
1 y 2 sin( x ) ③ 3 6
1 y sin( x ) ② 3 6
)
O 1

y sin( x
2

4 )
x
3
问题：函数y=sin(x+φ)图象与y=sinx的图像的关系？

4
1 O
y sin( x

3
)


3
2

4 )
x
1
y sin( x
函数y=sin(x+φ) 的图象可以看作是把 y=sinx 的
图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)
X x y
0

2
2

7 2
3 2
2
13 2
2
5
0
2
0
2
0
课堂练习
1.若将某函数的图象向右平移 2 以后所得到的图象的函数式是y＝sin(x＋4 )， 则原来的函数表达式为( ) 3 A. y＝sin(x＋ 4 ) B. y＝sin(x＋ 2 ) C. y＝sin(x－ 4 ) D. y＝sin(x＋ 4 )－ 4
正弦型函数：形如 y Asin( x ) 叫 正弦型函数
周期、频率、初相 2 T= 点p旋转一周所需时间 ，叫点p的转动周期， 1 f 叫点p转动的频率。 在一秒内，p转动的周数 T 2 叫初相。
新课讲解：（1）振幅变换
1 例1 作函数 y 2 sin x 及 y sin x 的图象。 2
2 y 2 x
y=
1 sinx 2
1
2
O
1 2

x
问题：函数y=Asinx(A>0)的图象 与y=sinx的图象有什么关系？
y
2
1
y=2sinx
2
O 1 2
1 2

x
y= sinx
(A >0且A≠1)的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标伸长 (当A>1时) 或缩短(当0<A<1时) 到原来的A倍(横坐标不变) 而得到的。 y=Asinx ，x∈R的值域为[-A,A]，最 大值 为A，最小值为-A. A反应了曲线波动大小， 因此A叫振幅
函 数 y=Asin(x+)的图象
青州六中 田立冰
学习目标：
1、熟练掌握五点作图法。 2、掌握正弦型函数的三种图像变换并能应 用。

知识回顾:做y=sinx在0, 2 上的图象采用哪五点? y
1-
y sin x x [0,2 ]
7 6 4 3 3 2 5 3 11 6
(3)
1 1 y sin x 的图象与y sin x的图象的关系： 2 2
图象上各点纵坐标
1 sin x 图象上各点横坐标 1 sin 1 x y y sin x 缩短为原来的一半 y 2 2 2 伸长为原来的2倍
1
y 1 sin x 2
2 O
3
4 x
1
y sin x

小结

y＝Asin(ωx＋φ)的三种图像变换
课后拓展: 课本
P49 练习A1(2)(4)
2(3)(4)
函数y=Asinx
练习：作下列函数在长度为一个周期的闭区间上的 简图（学生自己动手完成） （1） y
2sin x
1 （2）y sin x 4
1 （2）周期变换：例2 作函数 y sin 2 x 及 y sin x 的图象。 2
1. 列表：
x
2x sin 2 x
0
0 0

4
2
2 3 4 x
y=sinx
y 1 O 1
1 y=sin2
x
3 4 x
2
y=sinx
振幅相同
y=sin2x
问题：函数y=sinx(>0)的图象 与y=sinx的图象有什么关系？
y 1
y=sin x
2
O 3 4 x
1 2
1
y=sin2x
y=sinx
y=sin 1 x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上 2 所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）。 y=sin 2x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所 1 有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）。
2
7 2
o

-１
6
2
13 2
x
-2
-3
1 2 利用"五点法"画函数y 2sin( x )在一个周期(T 6 )内的图象. 1 3 6 3
1 令X x , 则x 3( X ). 3 6 6 3 当X取0, , , ,2时, 可求得相对应的x和y 2 2 . 然 后 将 简 图 再 "描 点 . , 的值, 得到"五点", 再描点作图.
将y=sinωx图象沿x轴平移 | y=sin(ωx+φ)的图象
| 个单位，得到
1 练习：画出y 2sin( x )的图像 3 6
1 思考 : 怎样由y sin x的图象得到 y 2 sin( x ) 3 6 的图象 ? (1)向右平移 6 y sin( x )的图象 函数y sin x 6
2.函数的图像 y 3sin(2 x ) ，可由y=sinx的图像经过哪种变化而得到 3 1 A. 向右平移 3 个单位，横坐标缩小到原来的 2倍，纵坐标扩大到原来的3倍 1 B. 向左平移 3个单位，横坐标缩小到原来的 2倍，纵坐标扩大到原来的3倍 1 C. 向右平移 6 个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的 3倍 1 1 D. 向左平移 6 个单位，横坐标缩小到原来的 2 倍，纵坐标缩小到原来的 3倍
解：1.列表
x
sin x 2 sin x
0 0 0 0
2

ห้องสมุดไป่ตู้3 2
2 0 0 0
1
0 0 0
1
2
2
1 sin x 2
1 2
1 2
2. 描点、作图：
y 2 1 O 1 2
y=2sinx y=sinx
2 x
y=
1 sinx 2
周期相同
y 2
1 O 1 2
y=2sinx y=sinx
y 1 O
y sin( 2 x ) 4 1


2
y sin(2 x ) 3

x
6
y=sin2x
问题：函数y=sin(ωx+φ)与y=sinωx图象的关系 是什么？
y 1 O 1
y sin( 2 x ) 4


2
y sin(2 x ) 3

x
6
y=sin2x

2

3 4
3 2

2 0
1
0
1
2 y 2. 描点：
y=sinx
2 3 x
连线:
1 O 1 2
y=sin2x
1. 列表：
x
1 x 2
sin 1 x 2
1 对于函数y sin x 2
0 0 0

2
2

3
3 2
4
2 0
1
0
－1
2. 描点 作图：
y
1 O
1
1 y=sin x 2
平移|φ|个单位而得到的。
1 练习：画出y sin( x )的图像 2 6
例4 作函数y sin( 2 x

) 及y sin( 2 x ) 的图象。 3 4
2 3 11 12 3 2
-1

x
2x


3
6
0
0
5 12 2
1
7 6