江苏省南通中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学试题(教师版)
2014-2015学年江苏省南通市如皋中学高二下学期期末文科数学试卷(带解析)
绝密★启用前2014-2015学年江苏省南通市如皋中学高二下学期期末文科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：139分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、下列命题中，正确命题的序号是 ． ①函数关于点（1，1）对称；②定义在R 上的奇函数中一定有；③函数满足； ④△ABC 中，，则存在．2、在△ABC 中，若，，则．第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）3、在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数n，连接原点与点，若用表示线段上除端点外的整点个数，．4、已知曲线，点及点，从点A观察点B，要使视线不被C 挡住，则实数a的取值范围是．5、定义在R上的偶函数在区间上单调递增，且；A为△ABC 的内角，且满足，则A的取值范围是．6、函数的部分图象如图所示，设O为坐标原点，P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，则．7、已知函数有三个不同零点，则实数a的取值范围为．8、函数在区间上的最大值是．9、在等比数列中，，，则．10、函数有极值的充要条件是．11、若，则．12、已知向量，若λ为实数，，则λ= ．13、若命题“，使”是假命题，则实数a 的取值范围为 ．14、设集合，，则．三、解答题（题型注释）15、已知函数.（1）若曲线在处的切线的方程为，求实数a 、b 的值；（2）若是函数的极值点，求实数a 的值；（3）若，且对任意，都有，求实数t 的取值范围．16、把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如图的三角形数表：设是位于这个三角形数表中从上往下数第m 行、从左往右数第n 个数．（1）求；（2）若，求m ，n 的值；（3）已知函数，若记三角形数表中从上往下数第n 行各数的和为b n ，求数列{f （b n ）}的前n 项和．17、现要设计一个如图所示的金属支架（图中实线所示），设计要求是：支架总高度AH 为6米，底座BCDEF 是以B 为顶点，以CDEF 为底面的正四棱锥，C ，D ，E ，F 在以半径为1米的圆上，支杆AB ⊥底面CDEF ．市场上，底座单价为每米10元，支杆AB 单价为每米20元．设侧棱BC 与底面所成的角为θ．（1）写出的取值范围；（2）当θ取何值时，支架总费用y （元）最少？18、已知二次函数：（1）若函数在区间上存在零点，求实数q 的取值范围；（2）问：是否存在常数t （），当时，的值域为区间D ，且D 的长度为．19、在锐角中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，为△ABC 的外心．（1）若，求的值；（2）已知，，，求的值．20、己知函数，且，, （Ⅰ）求的最大值与最小值；（Ⅱ）求的单调增区间．参考答案1、③2、3、8044、5、6、87、8、9、或310、11、12、13、14、15、（1），；（2）；（3）或.16、（1）47；（2）、；（3）.17、（1）；（2）当时，费用y最小.18、（1）；（2）存在t.19、（1）2；（2）.20、（Ⅰ）最大值为，最小值为；（Ⅱ）.【解析】1、试题分析：①在的图象上任取点，其关于（1，1）的对称点为（x，y）；则，即，；则，整理可得，，∴的图象关于对称的曲线方程不为，即函数图象的不关于点对称，故错误；②∵定义在R上的奇函数，∴，解得：，∴，解得：，整理可得：，故错误；③由，故正确；④若成立，∴，∴，即，整理可得：．∵，∴，，，，∴．矛盾，故错误．故答案为：③．考点：命题的真假判断与应用．2、试题分析：∵,∴,∴.故答案为：考点：向量在几何中的应用．3、试题分析：∵线段斜率，所在直线方程为，∴n为5的倍数，才能找出比n小的整数x，使得y也为整数．∴当n=5，10，15，20，…，2010时，线段OA n上有除端点外的2个整点．数列5，10，15，20，…，2010是首项为5，公差为5的等差数列，其通项公式为．由知，∴，故答案为：804考点：函数的值．4、试题分析：如图，要使视线不被C挡住，则直线AB和C没有公共点或相切；直线AB的方程为；∴方程组有唯一解或无解；∴有唯一解或无解；∴；解得；∴实数a的取值范围是．故答案为：．考点：二次函数的性质．5、试题分析：由题意定义在R上的偶函数在区间上单调递增，且f（）=0；函数在（﹣∞，0）上减，且，由得，由余弦函数的性质知，故答案为.考点：余弦函数的单调性；函数单调性的性质；偶函数．6、试题分析：过P作轴，如图所示：∵函数，且P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，∴，，即，，，∴，在中，，在中，，∴．故答案为：8考点：两角和与差的正切函数；正弦函数的图象．7、试题分析：画出图象如图所示，则当时，的图象与x轴只有一个交点，要使函数有三个不同零点，只有当时，函数的图象与x轴有两个交点即可，而是由上下平移而得到，因此．故答案为：．考点：函数零点的判定定理．8、试题分析：∵，∴，令，解得，又，∴，当时，，函数为增函数；当时，，函数为减函数，则当时，函数取最大值，最大值为．故答案为：考点：二倍角的余弦；余弦函数的定义域和值域．9、试题分析：在等比数列中，设公比为q，∵，又∵，∴，，或，，①当，时，则，②当，时，则，∴．综合①②可得，或3．故答案为：或3．考点：等比数列的通项公式．10、试题分析：求得导函数，若，三次函数有极值，则有不相等的两个解，∴，∴，若，导函数，令，则；令，则；∴函数在处取得极小值．综上得，故答案为：．考点：利用导数研究函数的极值．11、试题分析：由诱导公式可得：，∴，，∴．故答案为：.考点：运用诱导公式化简求值．12、试题分析：∵向量．∴，∵，∴，即，故答案为：.考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．13、试题分析：命题“，使”的否定是：““，使”即：，∴，故答案是.考点：命题的真假判断与应用；一元二次不等式的应用．14、试题分析：由集合，可得，由可得，∴，故答案为：．考点：交集及其运算．15、试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数研究曲线上某点处的切线方程、利用导数研究函数的极值和最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析解决问题的能力、转化能力、计算能力，属难题．第一问，求导数，利用曲线在处的切线的方程为，即可求实数a、b的值；第二问，若是函数的极值点，，即可求实数a的值；第三问，，，函数在上单调递增，不妨设，则，可上是减函数，进一步等价于在上恒成立，即可求实数t的取值范围．试题解析：（1）∵，∴，∵曲线在处的切线的方程为，∴，∴，，∴，；（2）∵是函数的极值点，∴，∴；（3），，函数在上单调递增不妨设，则，可化为，设，则在上是减函数．又，∴等价于在上恒成立设，则，∵，∴，∴或．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．16、试题分析：本题是一道关于数列的应用题，考查等差数列的前n项和、错位相减法求和、归纳推理等基础知识，主要考查学生的分析问题、解决问题的能力、转化能力、计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．第一问，利用前行共有数的个数为可确定每行第1个数的值，通过每行数构成公差为2的等差数列，进而计算即得结论；第二问，通过每行第1个数的值可确定，进而利用等差数列的知识计算即得结论；第三问，通过（1）可知第n行第1个数为、最后一个数为，进而，利用错位相减法计算即得结论．试题解析：（1）根据题意可知：前行共有个数，∴第t行第1个数为，∴；（2）由（1）可知：第45行第1个数为：，第46行第1个数为：，又∵，∴，∴，解得：，综上，当时，、；（3）由（1）可知：第n行第1个数为，最后一个数为：，∵函数，∴，∴，，两式相减得：，∴．考点：数列的求和；归纳推理．17、试题分析：本题给出实际应用问题，考查解三角形、数学上的换元思想和用基本不等式求函数最值等知识，解答的关键是利用三角函数得出总费用y的函数表达式．第一问，因支架总高度AH为6米，且C，D，E，F在以半径为1米的圆上，所以的最大值为6，从而得出的取值范围；第二问，先写出支架总费用y的函数表达式：，设，其中通过换元转化成积是定值；求和的最小值问题；再利用基本不等式解．试题解析：（1）因支架总高度AH为6米，且C，D，E，F在以半径为1米的圆上，∴的最大值为6．可得（3分）（2）（7分），（8分）设，其中（9分）则，..（11分）当时，；当时，；当时，；（13分）则当时，取得最小值，满足（14分）则当时，费用y最小（15分）考点：在实际问题中建立三角函数模型．18、试题分析：本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论的数学思想，训练了利用函数单调性求函数的最值，正确的分类是解答该题的关键，是中档题．第一问，求出二次函数的对称轴，得到函数在上为单调函数，要使函数在区间上存在零点，则，由此可解q的取值范围；第二问，分，最大值是；，最大值是；三种情况进行讨论，对于每一种情况，由区间长度是求出t的值，验证范围后即可得到答案．试题解析：（1）∵二次函数的对称轴是，∴函数在区间上单调递减∴要使函数在区间上存在零点，须满足．即，解得．所以使函数在区间上存在零点的实数q的取值范围是；（2）当时，即时，的值域为：，即．∴，∴．经检验不合题意，舍去．当时，即时，的值域为：，即．∴．∴，经检验不合题意，舍去．当时，的值域为：，即，∴，∴，∴或．经检验或满足题意，所以存在常数t（），当时，的值域为区间D，且D的长度为．考点：二次函数的性质；函数的零点．19、试题分析：本题主要考查平面向量的数量积运算，正弦、余弦定理，三角形的面积公式，圆周角定理，熟练掌握定理、公式及法则是解本题的关键．第一问，设外接圆半径为R，由题意和余弦定理求出，由向量的数量积运算求出的值；第二问，利用三角形的面积公式和条件求出，由为锐角三角形、特殊角的正弦值求出，由余弦、正弦定理求出a和R，由圆的性质和求出，由向量的数量积运算求出的值．试题解析：（1）设外接圆半径为R，在中，且，由余弦定理得，，∴；（2）∵，，，∴，解得，∵为锐角三角形，∴，则，根据余弦定理得：，解得，由正弦定理可得，，则，∵为的外心，∴，∴．考点：平面向量数量积的运算．20、试题分析：本题主要考查三角函数的化简求值，考查正弦函数的单调性与最值，突出辅助角公式的应用，考查学生的分析与应用能力、转化能力、计算能力，属于中档题．第一问，由，可得：，于是可得，从而可求的最大值与最小值；第二问，由第一问得，令，，即可求得其单调增区间．试题解析：（Ⅰ）由，可得：，∴，∴当（）时，f（x）取得最大值，为；当（）时，f（x）取得最小值，为；（Ⅱ）令，，则，，∴的单调增区间为，．考点：正弦函数的单调性；三角函数的化简求值；正弦函数的定义域和值域．。
2014-2015年江苏省常州市部分四星级高中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2014-2015学年江苏省常州市部分四星级高中高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．（5分）计算i+i2+…+i2015的值为．2．（5分）复数在复平面内对应的点的坐标是．3．（5分）设复数z满足：i（z+1）＝3+2i，则z的虚部是．4．（5分）设全集U＝{1，3，5，7，9}，A＝{1，|a﹣5|，9}，∁U A＝{5，7}，则a的值为．5．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是．6．（5分）设x是纯虚数，y是实数，且2x﹣1+i＝y﹣（3﹣y）i，则|x+y|＝．7．（5分）已知关于实数x的两个命题：p：＜0，q：x+a＜0，且命题p是q 的必要不充分条件，则实数a的取值范围是．8．（5分）若函数为奇函数，则a＝．9．（5分）将正奇数按如图所示的规律排列：则第n（n≥4）行从左向右的第3个数为．10．（5分）二维空间中，正方形的一维测度（周长）l＝4a（其中a为正方形的边长），二维测度（面积）S＝a2；三维空间中，正方体的二维测度（表面积）S＝6a2（其中a为正方形的边长），三维测度（体积）V＝a3；应用合情推理，若四维空间中，“超立方”的三维测度V＝4a3，则其四维测度W＝．11．（5分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在区间（﹣∞，0）上是减函数，则使f（lnx）＜f（1）的x的取值范围为．12．（5分）直线y＝t与函数f（x）＝的图象分别交于A，B两点，则线段AB的长度的最小值为．13．（5分）如果函数y＝a2x+2a x﹣1（a＞0，a≠1）在区间[﹣1，1]上的最大值是14，则实数a的值为．14．（5分）已知函数y＝f（x）是定义域为R偶函数，当x≥0时，f（x）＝，若函数f（x）在（t，t+2）上的值域是，则实数t的值的集合为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（14分）已知命题p：关于实数x的方程x2+mx+1＝0有两个不等的负根；命题q：关于实数x的方程4x2+4（m﹣2）x+1＝0无实根．命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围．16．（14分）已知z是复数，均为实数，（1）求复数z（2）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．17．（14分）已知集合A＝，C＝{x∈R|x2+bx+c ≥0}．（1）求A∪B；（2）若（A∪B）∩C为空集，（A∪B）∪C＝R，求b，c的值．18．（16分）将一个长宽分别为2米和2k米（0＜k＜1）的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，记切去的正方形边长为x（0＜x＜k），（1）若，求这个长方体盒子的容积的最大时的x的值；（2）若该长方体的盒子的对角线长有最小值，求k的范围．19．（16分）已知函数f（x）＝x2+|x﹣a|+1，x∈R，（1）当a＝0时，判断函数f（x）的奇偶性；（2）当时，求函数f（x）的单调区间；（3）当时，求函数f（x）的最小值．20．（16分）已知函数，g（x）＝ax．（1）若直线y＝g（x）是函数的图象的一条切线，求实数a的值；（2）若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x2＞2e2．（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）2014-2015学年江苏省常州市部分四星级高中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．（5分）计算i+i2+…+i2015的值为﹣1．【解答】解：∵i2015＝（i4）503•i3＝﹣i．∴i+i2+…+i2015＝＝＝＝﹣1．故答案为：﹣1．2．（5分）复数在复平面内对应的点的坐标是（0，﹣1）．【解答】解：∵＝，∴复数在复平面上对应的点的坐标是（0，﹣1）故答案为（0，﹣1）3．（5分）设复数z满足：i（z+1）＝3+2i，则z的虚部是﹣3．【解答】解：∵复数z满足：i（z+1）＝3+2i，∴z＝﹣1＝﹣1＝﹣1＝2﹣3i﹣1＝1﹣3i，∴复数的虚部为：﹣3，故答案为：﹣3．4．（5分）设全集U＝{1，3，5，7，9}，A＝{1，|a﹣5|，9}，∁U A＝{5，7}，则a的值为2或8．【解答】解：由于全集U＝{1，3，5，7，9}，∁U A＝{5，7}，依据补集的性质∁U （∁U A）＝A则有{1，3，9}＝{1，|a﹣5|，9}，即|a﹣5|＝3，解得：a＝2或8．故答案为：2或8．5．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是．【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”∵“任意”的否定为“存在”∴命题的否定为：，故答案为：6．（5分）设x是纯虚数，y是实数，且2x﹣1+i＝y﹣（3﹣y）i，则|x+y|＝．【解答】解：设x＝ai（a∈R，且a≠0）．∵2x﹣1+i＝y﹣（3﹣y）i，∴2ai﹣1+i＝y﹣（3﹣y）i，∴﹣1＝y，2a+1＝﹣（3﹣y），解得y＝﹣1，a＝﹣．x+y＝﹣i＝﹣．则|x+y|＝．故答案为：．7．（5分）已知关于实数x的两个命题：p：＜0，q：x+a＜0，且命题p是q 的必要不充分条件，则实数a的取值范围是a≥1．【解答】解：p：＜0⇔（x+1）（x﹣2）＞0，解得x＜﹣1，或x＞2，q：x+a＜0，解得x＜﹣a，∵命题p是q的必要不充分条件，∴﹣a≤﹣1，即a≥1故答案为：a≥1．8．（5分）若函数为奇函数，则a＝．【解答】解：∵函数为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x）即＝﹣，即（3x﹣1）（x+a）＝（3x+1）（x﹣a）则3x2+（3a﹣1）x﹣a＝3x2+（1﹣3a）x﹣a，则3a﹣1＝1﹣3a，即3a﹣1＝0，解得a＝；故答案为：；9．（5分）将正奇数按如图所示的规律排列：则第n（n≥4）行从左向右的第3个数为n2﹣n+5．【解答】解：观察三角形数阵，知第n行（n≥3）前共有1+2+3+…+（n﹣1）＝个连续奇数，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为2[+3]﹣1＝n2﹣n+5；故答案为：n2﹣n+5．10．（5分）二维空间中，正方形的一维测度（周长）l＝4a（其中a为正方形的边长），二维测度（面积）S＝a2；三维空间中，正方体的二维测度（表面积）S＝6a2（其中a为正方形的边长），三维测度（体积）V＝a3；应用合情推理，若四维空间中，“超立方”的三维测度V＝4a3，则其四维测度W＝．【解答】解：二维空间中，正方形的一维测度（周长）l＝4a（其中a为正方形的边长），二维测度（面积）S＝a2；三维空间中，正方体的二维测度（表面积）S＝6a2（其中a为正方形的边长），三维测度（体积）V＝a3；应用合情推理，若四维空间中，“超立方”的三维测度V＝4a3，则其四维测度W ＝，故答案为：．11．（5分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在区间（﹣∞，0）上是减函数，则使f（lnx）＜f（1）的x的取值范围为（，e）．【解答】解：∵函数f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是减函数，∴函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，∵f（lnx）＜f（1），即f（|lnx|）＜f（1），∴|lnx|＜1，∴﹣1＜lnx＜1，解得：＜x＜e∴实数a的取值范围是（，e），故答案为：．12．（5分）直线y＝t与函数f（x）＝的图象分别交于A，B两点，则线段AB的长度的最小值为．【解答】解：∵直线y＝t与函数f（x）＝的图象分别交于A，B两点，∴A（t2，t），B（lnt，t），其中t2＞lnt，且t＞0，∴|AB|＝t2﹣lnt设函数f（t）＝t2﹣lnt，f′（t）＝t﹣，t＞0，令f′（t）＝0，解得t＝1，当f′（t）＞0，即t＞1时，函数在（1，+∞）单调递增，当f′（t）＜0，即0＜t＜1时，函数在（0，1）单调递减，故t＝1时，函数有最小值，最小值为f（1）＝，故线段AB的长度的最小值为．故答案为：．13．（5分）如果函数y＝a2x+2a x﹣1（a＞0，a≠1）在区间[﹣1，1]上的最大值是14，则实数a的值为3或．【解答】解：设t＝a x，则函数等价为y＝f（t）＝t2+2t﹣1＝（t+1）2﹣2，对称轴为t＝﹣1，若a＞1，则0＜≤t≤a，此时函数的最大值为f（a）＝（a+1）2﹣2＝14，即（a+1）2＝16，即a+1＝4或a+1＝﹣4，即a＝3或a＝﹣5（舍），若0＜a＜1，则0＜a≤t≤，此时函数的最大值为f（）＝（+1）2﹣2＝14，即（+1）2＝16，即+1＝4或+1＝﹣4，即＝3或＝﹣5（舍），解得a＝，综上3或；故答案为：3或；14．（5分）已知函数y＝f（x）是定义域为R偶函数，当x≥0时，f（x）＝，若函数f（x）在（t，t+2）上的值域是，则实数t的值的集合为{﹣，﹣2}．【解答】解：∵函数y＝f（x）是定义域为R偶函数，∴若﹣2≤x≤0，则0≤﹣x≤2，则f（﹣x）＝＝f（x），即当﹣2≤x≤0，f（x）＝，若x＜﹣2，则﹣x＞2，则f（﹣x）＝＝f（x），即当x＜﹣2，f（x）＝，作出函数f（x）的图象如图：当x＝0时，f（x）＝0，当x＝2时，f（2）＝﹣2，由＝﹣得x2＝3，x＝±，由＝﹣得x＝3，由＝﹣得x＝﹣3，若函数的值域为，则t＜0＜t+2即﹣2＜t＜0，当t＝﹣时，f（t）＝﹣，此时t+2＝2﹣，∵0＜2﹣＜，∴满足函数的值域为，若t+2＝时，即f（t+2）＝﹣，此时t＝﹣2，∵﹣＜﹣2＜0，∴满足函数的值域为，综上t＝﹣或﹣2，故答案为：{﹣，﹣2}二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（14分）已知命题p：关于实数x的方程x2+mx+1＝0有两个不等的负根；命题q：关于实数x的方程4x2+4（m﹣2）x+1＝0无实根．命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围．【解答】解：若方程x2+mx+1＝0有两不等的负根，则，解得m＞2即命题p：m＞2，…（4分）若方程4x2+4（m﹣2）x+1＝0无实根，则△＝16（m﹣2）2﹣16＝16（m2﹣4m+3）＜0解得：1＜m＜3．即命题q：1＜m＜3．…（8分）由题意知，命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真．…（10分）∴或，解得：m≥3或1＜m≤2．…（14分）16．（14分）已知z是复数，均为实数，（1）求复数z（2）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）设z＝x+yi（x，y∈R），则z（1+2i）＝（x+yi）（1+2i）＝x﹣2y+（2x+y）i∈R，则2x+y＝0，①，则x+2y+2＝0，②由①②解得：，∴．（2），在复平面上对应的点在第一象限，当且仅当：，解得：．∴实数a的取值范围是．17．（14分）已知集合A＝，C＝{x∈R|x2+bx+c ≥0}．（1）求A∪B；（2）若（A∪B）∩C为空集，（A∪B）∪C＝R，求b，c的值．【解答】解：（1）∵A＝（﹣2，1），B＝[2﹣4，3），∵2﹣1＜1，∴A∪B＝（﹣2，3）；（2）由题意知，方程x2+bx+c＝0必有两个不等实根，记为x1，x2（x1＜x2），C ＝（﹣∞，x1]∪[x2，+∞），由（A∪B）∩C为空集，得到x1≤﹣2，x2≥3，由（A∪B）∪C＝R，得到x1≥﹣2，x2≤3，∴x1＝﹣2，x2＝3，解得：b＝﹣1，c＝﹣6．18．（16分）将一个长宽分别为2米和2k米（0＜k＜1）的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，记切去的正方形边长为x（0＜x＜k），（1）若，求这个长方体盒子的容积的最大时的x的值；（2）若该长方体的盒子的对角线长有最小值，求k的范围．【解答】解：（1）V＝4（1﹣x）（k﹣x）x＝4[x3﹣（1+k）x2+kx]，x∈（0，k），，；解得（舍去），；故函数V在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减；故这个长方体盒子的容积的最大时的x的值为．（2）记长方体的盒子的对角线长度为l米，则，∵l有最小值，∴，解得．故k的范围为（，1）．19．（16分）已知函数f（x）＝x2+|x﹣a|+1，x∈R，（1）当a＝0时，判断函数f（x）的奇偶性；（2）当时，求函数f（x）的单调区间；（3）当时，求函数f（x）的最小值．【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝x2+|x|+1，定义域为R，f（﹣x）＝（﹣x）2+|﹣x|+1＝x2+|x|+1＝f（x），则f（x）为偶函数；（2）当a＝时，f（x）＝，当x时，f（x）＝（x+）2+递增；当x＜时，f（x）＝（x﹣）2+，递减．则f（x）的单调减区间为，增区间为；（3）f（x）＝，（ⅰ）当时，f（x）在上递减，在上递增，；（ⅱ）当时，f（x）在（﹣∞，a）上递减，在（a，+∞）上递增，．20．（16分）已知函数，g（x）＝ax．（1）若直线y＝g（x）是函数的图象的一条切线，求实数a的值；（2）若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x2＞2e2．（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）【解答】（1）解：设切点（x0，lnx0），则切线方程为y﹣lnx0＝（x﹣x0），即y ＝+lnx0﹣1，∴＝a，lnx0﹣1＝0，∴a＝；（2）解：h（x）＝f（x）﹣g（x）＝lnx﹣﹣ax﹣b，则h′（x）＝﹣a，∵函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴x＞0时，h′（x）≥0，∴a≤，设＝t（t≥1），则u（t）＝t+t2，在（1，+∞）上单调递增，∴u（t）min＝u（1）＝2，∴a≤2；（3）证明：由题意知＝ax1，lnx2﹣＝ax2，两式相加得lnx1x2﹣＝a（x1+x2），两式相减得﹣＝a（x2﹣x1），即＝a，∴lnx1x2﹣＝（）（x1+x2），即lnx1x2﹣＝，不妨令0＜x1＜x2，记t＝＞1，令F（t）＝lnt﹣（t＞1），则F′（t）＝＞0，∴F（t）＝lnt﹣在（1，+∞）上单调递增，则F（t）＝lnt﹣＞F（1）＝0，∴lnt＞，则＞，∴lnx1x2﹣＝＞2，又lnx 1x2﹣＜lnx1x2﹣＝2ln﹣∴2ln﹣＞2，即ln﹣＞1令G（x）＝lnx﹣，则x＞0时，G′（x）＝+＞0，∴G（x）在（0，+∞）上单调递增，又ln e﹣＝ln2+1﹣≈0.85＜1，∴G（）＝ln﹣＞1＞ln e﹣，则＞e，即x 1x2＞2e2．。
2014-2015年江苏省宿迁市宿豫中学高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2014-2015学年江苏省宿迁市宿豫中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．）1．（5分）函数f（x）＝e x sin x的导数f′（x）＝．2．（5分）曲线y＝sin x在点（）处的切线方程为．3．（5分）已知向量与垂直，则实数k的值为．4．（5分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”时，假设部分的内容应为．5．（5分）若函数f（x）＝x3+x2+mx+2是R上的单调函数，则实数m的取值范围为．6．（5分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M 在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是．7．（5分）已知“凡是9的倍数的自然数都是3的倍数”和“自然数n是9的倍数”，根据三段论推理规则，我们可以得到的结论是．8．（5分）奇函数f（x）＝ax3+bx2+cx在x＝﹣1处有极值，则3a+b+c的值为．9．（5分）观察下列等式：，，，…，照此规律，计算1×2+2×3+…+n（n+1）＝（n∈N*）．10．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣3ax（a∈R），若直线x+y+m＝0对任意的m∈R 都不是曲线y＝f（x）的切线，则a的取值范围为．11．（5分）如图为函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的图象，f′（x）为函数f（x）的导函数，则不等式x•f′（x）＜0的解集为．12．（5分）利用数学归纳法证明“”，从n＝k推导n＝k+1时原等式的左边应增加的项数是项．13．（5分）已知可导函数f（x）（x∈R）的导函数f′（x）满足f′（x）＞f（x），则不等式ef（x）＞f（1）e x的解集是．14．（5分）已知函数，当x＞1时，不等式k（x﹣1）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，则整数k的最大值为．二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）若函数f（x）＝x3﹣px2+（m﹣1）x+2m2﹣m+1在区间（﹣2，0）内单调递减，且在（﹣∞，﹣2）及（0，+∞）内单调递增，求实数p、m的值．16．（14分）如图，在五面体ABCDEF中，F A⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB ⊥AD，M为EC的中点，（I）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（II）证明平面AMD⊥平面CDE．17．（14分）已知函数f（x）＝bx，g（x）＝lnx．（1）若f（x）的图象与g（x）的图象相切于点P（x0，y0），求x0及b的值；（2）f（x）＝g（x）在[1，m]上有解，求b的范围．18．（16分）如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点C、D在圆弧上，点A、B在两半径上，现将此矩形铝皮ABCD卷成一个以BC为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长BC＝xcm圆柱的体积为Vcm3．（1）写出体积V关于x的函数关系式；（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？19．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，通项公式为．（Ⅰ）计算f（1），f（2），f（3）的值；（Ⅱ）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．20．（16分）已知函数f（x）＝lnx+，其中a为大于零的常数．（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）内不是单调函数，求a的取值范围；（2）求函数f（x）在区间[e，e2]上的最小值．2014-2015学年江苏省宿迁市宿豫中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．）1．（5分）函数f（x）＝e x sin x的导数f′（x）＝e x sin x+e x cos x．【解答】解：f′（x）＝e x sin x+e x cos x．故答案为：e x sin x+e x cos x．2．（5分）曲线y＝sin x在点（）处的切线方程为．【解答】解：依题意得y′＝cos x，因此曲线y＝sin x在点（）处的切线的斜率等于，相应的切线方程是y﹣＝（x﹣），即，故答案为：．3．（5分）已知向量与垂直，则实数k的值为﹣5．【解答】解：因为与垂直，∴，所以﹣1+k+6＝0，∴k＝﹣5．故答案为﹣5．4．（5分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”时，假设部分的内容应为三角形的三个内角都大于60°．【解答】证明：用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”时，应假设命题的否定成立，而命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”的否定是：三角形的三个内角都大于60°，故答案为三角形的三个内角都大于60°．5．（5分）若函数f（x）＝x3+x2+mx+2是R上的单调函数，则实数m的取值范围为[，+∞）．【解答】解：f′（x）＝3x2+2x+m；∵f（x）在R上是单调函数；∴f′（x）≥0对于x∈R恒成立；∴△＝4﹣12m≤0；∴．∴实数m的取值范围为[，+∞）．故答案为：．6．（5分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M 在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是（0，﹣1，0）．【解答】解：设M（0，y，0）由12+y2+4＝1+（y+3）2+1可得y＝﹣1故M（0，﹣1，0）故答案为：（0，﹣1，0）．7．（5分）已知“凡是9的倍数的自然数都是3的倍数”和“自然数n是9的倍数”，根据三段论推理规则，我们可以得到的结论是自然数n是3的倍数．【解答】解：由演绎推理三段论可得“三段论”推理出一个结论，则这个结论是：“自然数n是3的倍数”．故答案为：自然数n是3的倍数．8．（5分）奇函数f（x）＝ax3+bx2+cx在x＝﹣1处有极值，则3a+b+c的值为0．【解答】解：∵f（x）＝ax3+bx2+cx，∴f′（x）＝3ax2+2bx+c，∵f（x）＝ax3+bx2+cx在x＝﹣1处有极值，∴f′（﹣1）＝0，∴3a﹣2b+c＝0，又f （x ）是奇函数，∴b ＝0，∴3a +b +c ＝0，故答案为：0．9．（5分）观察下列等式：，，，…，照此规律，计算1×2+2×3+…+n （n +1）＝ （n ∈N *）． 【解答】解：∵，，，…照此规律，1×2+2×3+…+n （n +1）＝故答案为： 10．（5分）已知函数f （x ）＝x 3﹣3ax （a ∈R ），若直线x +y +m ＝0对任意的m ∈R都不是曲线y ＝f （x ）的切线，则a 的取值范围为 ．【解答】解：f （x ）＝x 3﹣3ax （a ∈R ），则f ′（x ）＝3x 2﹣3a若直线x +y +m ＝0对任意的m ∈R 都不是曲线y ＝f （x ）的切线，直线的斜率为﹣1，f ′（x ）＝3x 2﹣3a ＝﹣1没有实数解，则3a ﹣1＜0，则a 的取值范围为即答案为． 11．（5分）如图为函数f （x ）＝ax 3+bx 2+cx +d 的图象，f ′（x ）为函数f （x ）的导函数，则不等式x •f ′（x ）＜0的解集为 ．【解答】解：由图可知：±是函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的两个极值点，且a＞0即±是导函数f′（x）的两个零点，导函数的图象如图，由图得：不等式x•f′（x）＜0的解集为：．故答案为：．12．（5分）利用数学归纳法证明“”，从n＝k推导n＝k+1时原等式的左边应增加的项数是2k项．【解答】解：由题意，n＝k时，最后一项为，n＝k+1时，最后一项为∴由n＝k变到n＝k+1时，左边增加了，增加2k项．故答案为：2k．13．（5分）已知可导函数f（x）（x∈R）的导函数f′（x）满足f′（x）＞f（x），则不等式ef（x）＞f（1）e x的解集是（1，+∞）．【解答】解：令g（x）＝，则＝，因为f'（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，所以，函数g（x）＝为（﹣∞，+∞）上的增函数，由ef（x）＞f（1）e x，得：，即g（x）＞g（1），因为函数g（x）＝为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以，x＞1．所以，不等式ef（x）＞f（1）e x的解集是（1，+∞）．故答案为（1，+∞）．14．（5分）已知函数，当x＞1时，不等式k（x﹣1）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，则整数k的最大值为4．【解答】解：因为当x＞1时，不等式k（x﹣1）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，即k（x﹣1）＜xlnx+2（x﹣2）+3对一切x∈（1，+∞）恒成立，亦即k＜＝对一切x∈（1，+∞）恒成立，所以不等式转化为k＜对任意x＞1恒成立．设p（x）＝，则p′（x）＝，令r（x）＝x﹣lnx﹣2（x＞1），则r′（x）＝1﹣＝＞0所以r（x）在（1，+∞）上单调递增．因为r（3）＝3﹣ln3﹣2＝1﹣ln3＜0，r（4）＝4﹣ln4﹣2＝2﹣2ln2＞0，所以r（x）＝0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4），当1＜x＜x0时，r（x）＜0，即p′（x）＜0；当x＞x0时，r（x）＞0，即p′（x）＞0．所以函数p（x）＝在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，又r（x0）＝x0﹣lnx0﹣2＝0，所以lnx0＝x0﹣2．所以[p（x）]min＝p（x0）＝＝＝x0﹣1+2∈（4，5），所以k＜[p（x）]min＝x0﹣1+2∈（4，5）故整数k的最大值是4．故答案为：4二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）若函数f（x）＝x3﹣px2+（m﹣1）x+2m2﹣m+1在区间（﹣2，0）内单调递减，且在（﹣∞，﹣2）及（0，+∞）内单调递增，求实数p、m的值．【解答】解：由f（x）＝x3﹣px2+（m﹣1）x+2m2﹣m+1，得f'（x）＝3x2﹣2px+m﹣1，因为f（x）在区间（﹣2，0）内单调递减，且在区间（﹣∞，﹣2）及（0，+∞）内单调递增，所以f'（x）＝3x2﹣2px+m﹣1＝0 的两个根是﹣2，0，所以，解得：．16．（14分）如图，在五面体ABCDEF中，F A⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB ⊥AD，M为EC的中点，（I）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（II）证明平面AMD⊥平面CDE．【解答】解：分别以AB、AD、AF为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示设AB＝1，依题意得B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0）E（0，1，1），F（0，0，1），M（，1，）（I）＝（﹣1，0，1），＝（0，﹣1，1）∴•＝﹣1×0+0×（﹣1）+1×1＝1||＝＝，||＝＝可得cos＜，＞＝＝＝∵＜，＞的范围是[0，π]，∴＜，＞＝所以异面直线BF与DE所成的角的大小为．（II）∵＝（，1，），＝（﹣1，0，1），∴•＝×（﹣1）+1×0+×1＝0，得⊥，同理可得：•＝0，得⊥∵AM、DM是平面AMD内的相交直线，∴CE⊥平面AMD又∵CE⊂平面CDE，∴平面AMD⊥平面CDE．17．（14分）已知函数f（x）＝bx，g（x）＝lnx．（1）若f（x）的图象与g（x）的图象相切于点P（x0，y0），求x0及b的值；（2）f（x）＝g（x）在[1，m]上有解，求b的范围．【解答】解：（1）f（x）＝bx，g（x）＝lnx的导数为，∴，∴；（2）∵，即y＝b与在[1，m]上有交点，∵，∴m≤e时h（x）在[1，m]上递增，；m＞e时h（x）在[1，e]上递增，在[e，m]上递减且h（x）＞0，，综上可得，m≤e时，；m＞e时，．18．（16分）如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点C、D在圆弧上，点A、B在两半径上，现将此矩形铝皮ABCD卷成一个以BC为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长BC＝xcm圆柱的体积为Vcm3．（1）写出体积V关于x的函数关系式；（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？【解答】解：（1）连结OC，因为BC＝x，所以，设圆柱底面半径为r，则，即π2r2＝900﹣x2，所以，其中0＜x＜30．…（7分）（2）由，得，又在上V′＞0，在上V′＜0，所以，在上是增函数，在上是减函数，所以，当时，V有最大值..…（16分）19．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，通项公式为．（Ⅰ）计算f（1），f（2），f（3）的值；（Ⅱ）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）由已知，，；（3分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（1）＞1，f（2）＞1；当n≥3时，猜想：f（n）＜1．（4分）下面用数学归纳法证明：（1）由（Ⅰ）当n＝3时，f（n）＜1；（5分）（2）假设n＝k（k≥3）时，f（n）＜1，即，那么＝＝＝，所以当n＝k+1时，f（n）＜1也成立．由（1）和（2）知，当n≥3时，f（n）＜1．（9分）所以当n＝1，和n＝2时，f（n）＞1；当n≥3时，f（n）＜1．（10分）20．（16分）已知函数f（x）＝lnx+，其中a为大于零的常数．（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）内不是单调函数，求a的取值范围；（2）求函数f（x）在区间[e，e2]上的最小值．【解答】解：f′（x）＝（x＞0）…（2分）（1）由已知，得f′（x）在[1，+∞）上有解，即a＝在（1，+∞）上有解，又∵当x∈（1，+∞）时，＜1，所以a＜1．又a＞0，所以a的取值范围是（0，1）…（6分）（2）①当a≥时，因为f′（x）＞0在（e，e2）上恒成立，这时f（x）在[e，e2]上为增函数，所以当x＝e时，f（x）min＝f（e）＝1+…（8分）②当0＜a≤时，因为f′（x）＜0在（e，e2）上恒成立，这时f（x）在[e，e2]上为减函数，所以，当x＝e2时，f（x）min＝f（e2）＝2+，…（10分）③当＜a＜时，令f′（x）＝0得，x＝∈（e，e2），又因为对于x∈（e，）有f′（x）＜0，对于x∈（，e2）有f′（x）＞0，所以当x＝时，f（x）min＝f（）＝ln+1﹣…（14分）综上，f（x）在[e，e2]上的最小值为f（x）min＝…（16分）。
2014-2015年江苏省淮海中学高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2014-2015学年江苏省淮海中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题（1-14题每题5分，共70分）1．（5分）设集合U＝{1，3，5，7，9}，A＝{1，|a+1|，9}，∁U A＝{5，7}，则实数a的值为．2．（5分）设函数f（x）＝x2+（a﹣2）x﹣1在区间[2，+∞）上是增函数，则实数a的最小值为．3．（5分）如果复数（1+i）（1+mi）是实数，则实数m＝．4．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，则满足f（2x﹣1）＞f（）的x的取值范围是．5．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（﹣2））的值为．6．（5分）若函数y＝f（x）的值域是[1，3]，则函数F（x）＝1﹣2f（x+3）的值域是．7．（5分）“m＜”是“一元二次方程x2+x+m＝0”有实数解的条件．（选填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中的一个）8．（5分）已知命题“∃x∈R，x2+2ax+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是．9．（5分）定义两种运算：a⊕b＝，a⊗b＝，则函数f（x）＝的图象关于对称．10．（5分）不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集为R，则实数m的取值范围是．11．（5分）已知a＞0，函数f（x）＝ax2+bx+c，若x0满足关于x的方程2ax+b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是（1）∃x∈R，f（x）≤f（x0）（2）∃x∈R，f（x）≥f（x0）（3）∀x∈R，f（x）≤f（x0）（4）∀x∈R，f（x）≥f（x0）12．（5分）边长为a的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，则这个定值为；推广到空间，棱长为a的正四面体内任一点到各面距离之和为．13．（5分）已知函数f（x）＝，在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是．14．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，下面关于f（x）的判断：（1）f（x）是周期函数；（2）f（5）＝0；（3）f（x）在[1，2]上是减函数；（4）f（x）在[﹣2，﹣1]上是减函数．其中正确的判断是（填序号）二、解答题（共6大题，共90分）15．（14分）已知复数z1＝m（m﹣1）+（m﹣1）i，z2＝（m+1）+（m2﹣1）i，（m∈R），在复平面内对应的点分别为Z1，Z2．（1）若z1是纯虚数，求m的值；（2）若z2在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围．16．（14分）已知p：﹣x2+6x+16≥0，q：x2﹣4x+4﹣m2≤0（m＞0）．（1）若p为真命题，求实数x的取值范围．（2）若p为q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．17．（15分）经市场调查，某商品在过去100天内销售量和价格均为时间t（天）的函数，且日销售量近似地满足g（t）＝﹣+（1≤t≤100，t∈N）．前40天的价格为f（t）＝t+22（1≤t≤40，t∈N），后60天价格为f（t）＝﹣t+52（41≤t≤100，t∈N），（1）试求该商品的日销售额S（t）解析式；（2）当t取何值时，日销售额S（t）取最大值和最小值并求出最大值和最小值．18．（15分）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，且f（0）＝1．（1）求f（x）的解析式；（2）在区间[﹣1，]上，函数y＝f（x）的图象恒在直线y＝2x+m的上方，试确定实数m的取值范围．19．（16分）设函数f（x）＝e x﹣e﹣x．（1）判断函数y＝f（x）奇偶性；（2）讨论f（x）的单调性并求函数y＝f（x）在区间[2，3]的最大值和最小值（结果用分式表示）（3）证明：f（x）的导数f′（x）≥2．20．（16分）已知a∈R，函数f（x）＝x|x﹣a|，（Ⅰ）当a＝2时，作出图形并写出函数y＝f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a＝﹣2时，求函数y＝f（x）在区间的值域；（Ⅲ）设a＞0，函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m、n的取值范围（用a表示）．2014-2015学年江苏省淮海中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（1-14题每题5分，共70分）1．（5分）设集合U＝{1，3，5，7，9}，A＝{1，|a+1|，9}，∁U A＝{5，7}，则实数a的值为2或﹣4．【解答】解：因为U＝{1，3，5，7，9}，A＝{1，|a+1|，9}，∁U A＝{5，7}，所以|a+1|＝3，即a＝2或﹣4．故答案为：2或﹣4．2．（5分）设函数f（x）＝x2+（a﹣2）x﹣1在区间[2，+∞）上是增函数，则实数a的最小值为﹣2．【解答】解：函数的对称轴为x＝，抛物线开口向上，∴要使函数f（x）＝x2+（a﹣2）x﹣1在区间[2，+∞）上是增函数，则对称轴x＝≤2，即2﹣a≤4，解得a≥﹣2，∴实数a的最小值为﹣2．故答案为：﹣2．3．（5分）如果复数（1+i）（1+mi）是实数，则实数m＝﹣1．【解答】解：（1+i）（1+mi）＝﹣m+1+（m+1）i∵该复数为实数，∴m+1＝0，解得m＝﹣1，故答案为：﹣1．4．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，则满足f（2x﹣1）＞f（）的x的取值范围是＜x＜．【解答】解：∵f（x）为偶函数，∴f（x）＝f（|x|），∴f（2x﹣1）＝f（|2x﹣1|），∴不等式f（2x﹣1）＞f（）转化为f（|2x﹣1|）＞f（），∵f（x）在区间[0，+∞）单调递减，∴|2x﹣1|＜，即﹣＜2x﹣1＜，解得＜x＜，∴满足f（2x﹣1）＞f（）的x的取值范围是＜x＜．故答案为：＜x＜．5．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（﹣2））的值为2．【解答】解：∵﹣2＜0，∴f（﹣2）＝﹣（﹣2）+2＝4∵4＞0，∴f（4）＝即f（f（﹣2））＝f（4）＝故答案为：26．（5分）若函数y＝f（x）的值域是[1，3]，则函数F（x）＝1﹣2f（x+3）的值域是[﹣5，﹣1]．【解答】解：∵1≤f（x）≤3，∴1≤f（x+3）≤3，∴﹣6≤﹣2f（x+3）≤﹣2，∴﹣5≤1﹣2f（x+3）≤﹣1，即F（x）的值域为[﹣5，﹣1]．故答案为：[﹣5，﹣1]7．（5分）“m＜”是“一元二次方程x2+x+m＝0”有实数解的充分不必要条件．（选填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中的一个）【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝1﹣4m≥0，解得：m≤，故“m＜”⇒“m≤”，反之不能．故“m＜”是“一元二次方程x2+x+m＝0”有实数解的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．8．（5分）已知命题“∃x∈R，x2+2ax+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【解答】解：∵“∃x∈R，x2+2ax+1＜0”为真命题，∴△＝4a2﹣4＞0，∴a＜﹣1或a＞1．则实数a的取值范围是：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）9．（5分）定义两种运算：a⊕b＝，a⊗b＝，则函数f（x）＝的图象关于原点对称．【解答】解：由定义得f（x）＝＝，由4﹣x2≥0得﹣2≤x≤2，则f（x）＝＝，又x≠0，则函数的定义域为[﹣2，0）∪（0，2]，定义域关于原点对称，则f（﹣x）＝﹣＝＝﹣f（x），即f（﹣x）＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，故f（x）的图象关于原点对称，故答案为：原点10．（5分）不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集为R，则实数m的取值范围是（﹣4，0]．【解答】解：当m＝0时，不等式可化为﹣1＜0，显然恒成立，当m≠0时，不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集为R，则对应的二次函数y＝mx2﹣2mx+4的图象应开口朝下，且与x轴没有交点，故，解得﹣4＜m＜0综上所述，实数m的取值范围是（﹣4，0]．故答案为：（﹣4，0]．11．（5分）已知a＞0，函数f（x）＝ax2+bx+c，若x0满足关于x的方程2ax+b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是（3）（1）∃x∈R，f（x）≤f（x0）（2）∃x∈R，f（x）≥f（x0）（3）∀x∈R，f（x）≤f（x0）（4）∀x∈R，f（x）≥f（x0）【解答】解：∵a＞0，∴f（x）＝ax2+bx+c所对应的抛物线开口向上，又∵x0满足关于x的方程2ax+b＝0，∴x0＝﹣为抛物线的对称轴，∴f（x0）为二次函数f（x）的最小值，（1）∃x∈R，f（x）≤f（x0）正确；（2）∃x∈R，f（x）≥f（x0）正确；（3）∀x∈R，f（x）≤f（x0）错误；（4）∀x∈R，f（x）≥f（x0）正确．故答案为：（3）．12．（5分）边长为a的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，则这个定值为；推广到空间，棱长为a的正四面体内任一点到各面距离之和为a．【解答】解：在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到BF＝，BO＝AO＝a﹣OE，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2＝BE2+OE2，把数据代入得到OE＝a，∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a＝a，故答案为：a13．（5分）已知函数f（x）＝，在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（0，]．【解答】解：由题意可得，解得0＜a≤，故答案为：（0，]．14．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，下面关于f（x）的判断：（1）f（x）是周期函数；（2）f（5）＝0；（3）f（x）在[1，2]上是减函数；（4）f（x）在[﹣2，﹣1]上是减函数．其中正确的判断是（1）（2）（3）（填序号）【解答】解：∵偶函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），∴f（x﹣2）＝﹣f（x），即f（x﹣4）＝﹣f（x﹣2）＝f（x），即函数是周期为4的周期函数，故（1）正确，当x＝1时，f（1）＝﹣f（1），解得f（1）＝0，则f（5）＝f（1）＝0，故（2）正确，∵f（2﹣x）＝﹣f（x），∴函数f（x）关于（1，0）成中心对称，∴函数f（x）在[1，2]上是减函数，故（3）正确，则f（x）在[2，3]上是增函数，即f（x）在[﹣2，﹣1]上是增函数，故（4）错误，故答案为：（1）（2）（3）二、解答题（共6大题，共90分）15．（14分）已知复数z1＝m（m﹣1）+（m﹣1）i，z2＝（m+1）+（m2﹣1）i，（m∈R），在复平面内对应的点分别为Z1，Z2．（1）若z1是纯虚数，求m的值；（2）若z2在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围．【解答】（1）因为复数z1＝m（m﹣1）+（m﹣1）i（m∈R）是纯虚数，所以m（m﹣1）＝0，且m﹣1≠0，解得m＝0；…（7分）（2）因为复数（m∈R）在复平面内对应的点位于第四象限，所以，解之得﹣1＜m＜1；…（14分）16．（14分）已知p：﹣x2+6x+16≥0，q：x2﹣4x+4﹣m2≤0（m＞0）．（1）若p为真命题，求实数x的取值范围．（2）若p为q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵P：﹣2≤x≤8，∴p为真命题时，实数x的取值范围[﹣2，8]．（2）Q：2﹣m≤x≤2+m∵P是Q的充分不必要条件，∴[﹣2，8]是[2﹣m，2+m]的真子集．∴∴m≥6．∴实数m的取值范围为m≥6．17．（15分）经市场调查，某商品在过去100天内销售量和价格均为时间t（天）的函数，且日销售量近似地满足g（t）＝﹣+（1≤t≤100，t∈N）．前40天的价格为f（t）＝t+22（1≤t≤40，t∈N），后60天价格为f（t）＝﹣t+52（41≤t≤100，t∈N），（1）试求该商品的日销售额S（t）解析式；（2）当t取何值时，日销售额S（t）取最大值和最小值并求出最大值和最小值．【解答】解：（1）S（t）＝g（t）f（t）；（7分）若化简也可，化简错扣（2分）．（2）当1≤t≤40，t∈N时：此时（10分）当41≤t≤100，t∈N时此时（13分）综上：当t＝12时S（t）取最大值为；当t＝100时最小值是：8．18．（15分）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，且f（0）＝1．（1）求f（x）的解析式；（2）在区间[﹣1，]上，函数y＝f（x）的图象恒在直线y＝2x+m的上方，试确定实数m的取值范围．【解答】解：（1）设二次函数f（x）＝ax2+bx+c，∵f（0）＝1，∴c＝1；又f（x+1）﹣f（x）＝2x，∴a（x+1）2+b（x+1）+1﹣ax2﹣bx﹣1＝2x，即，解得a＝1，b＝﹣1，∴f（x）＝x2﹣x+1；（2）∵f（x）＝x2﹣x+1＝+，在区间[﹣1，]上，f（x）有最小值f（）＝，即函数有最低点（，）；把x＝，y＝代入y＝2x+m中，解得m＝﹣，如图；∴当m＜时，y＝f（x）的图象恒在直线y＝2x+m的上方．19．（16分）设函数f（x）＝e x﹣e﹣x．（1）判断函数y＝f（x）奇偶性；（2）讨论f（x）的单调性并求函数y＝f（x）在区间[2，3]的最大值和最小值（结果用分式表示）（3）证明：f（x）的导数f′（x）≥2．【解答】解：（1）∵，e x＞0，函数y＝f（x）的定义域为实数R关于原点对称（2分）又∵f（﹣x）＝e﹣x﹣e x＝﹣（e x﹣e﹣x）＝﹣f（x）∴函数y＝f（x）为奇函数．（4分）（2）f（x）的导数＞0恒成立．所以函数y＝f（x）定义域上为单调增函数（也可用定义证明）（8分）所以函数y＝f（x）在区间[2，3]上也单调递增；函数y＝f（x）在x＝3处取得最大值，且最大值为在x＝2处取得最小值，且最小值为（12分）（3）由于f（x）的导数，故f′（x）≥2．（当且仅当x＝0时，等号成立）．（16分）20．（16分）已知a∈R，函数f（x）＝x|x﹣a|，（Ⅰ）当a＝2时，作出图形并写出函数y＝f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a＝﹣2时，求函数y＝f（x）在区间的值域；（Ⅲ）设a＞0，函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m、n的取值范围（用a表示）．【解答】（Ⅰ）解：当a＝2时，f（x）＝x|x﹣2|＝，作出图象…（2分）由图象可知，单调递增区间为（﹣∞，1]，[2，+∞）…（4分）（Ⅱ）∵是增函数，在（﹣2，﹣1）是减函数，在（﹣1，2）是减函数，…（6分）∴f（x）min＝f（﹣1）＝﹣1∴f（x）max＝8…（8分）∴f（x）的值域为[﹣1，8]…（10分）（Ⅲ）当a＞0时，图象如图所示由得…（12分）∴，…（16分）。
扬州中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学试题及答案 (文)
江苏省扬州中学2014-2015学年高二下学期期中考试 （文）（注：本试卷满分160分，考试时间120分钟，请将答案写在答题纸上） 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1.若全集,U R =集合{}20M x x x =-≥，则U C M = .2.已知幂函数()f x 过点，则(4)f 的值为 .3. 若函数2(1)21f x x x +=-+，则函数()f x 的解析式为 .4.已知函数221,1(),1x x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，若((0))4f f a =，则实数a = .5.函数221xx y =+的值域为 .6.观察下列等式：11111131111,11,1...,1...2,. (22323722315)>++>++++>++++>由此猜测第n 个等式为 .. 7. 设z ＝10i3＋i，则z 的共轭复数是 .8.函数22log 6y x x =+-的零点所在的区间是1(,)22k k +，则正整数k 的值为 .9.定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当3-1x -≤≤时，2()(2)f x x =-+；当 13x -≤<时，()f x x =，则(1)(2)(3)...(2014)f f f f ++++= .10.已知537log 10,log 6,log 14a b c ===，则,,a b c 按照由小到大的顺序排列为 . 11.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且2()4(0)f x x x x =->，则不等式()f x x >的解集是 .12.下列命题正确的序号是 ①命题“若a b >，则22a b >”的否命题是真命题； ②若命题1:01p x >-“”，则；1:01p x ⌝≤-“”； ③若p 是q 的充分不必要条件，则p ⌝是q ⌝的必要不充分条件；④方程20ax x a ++=有唯一解的充要条件是12a =±.13.已知函数43201234012340()(,,,,,0)f x a x a x a x a x a a a a a a R a =++++∈≠且的四个零点构成公差为d 的等差数列，则()f x '的所有零点中最大值与最小值之差为 .14.已知32()(0)x ax x ax a λ=+-≠，若存在实数1,2a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，使得函数()()()x x x μλλ'=+,[1,]x b ∈-在1x =-处取得最小值，则实数b 的最大值为 .二、解答题（本大题共6小题，计90分）15．（本小题14分）记函数()f x 的定义域为A ，函数[]()lg (1)(2)g x x a a x =---(1)a <的定义域为B(1)求A 、B ； (2)若B A ⊆，求实数a 的取值范围.16．(本小题14分)设命题p ：函数21()lg()16f x ax x a =-+的定义域为R ，命题q ：不等式 39x x a -<对一切实数均成立.(1)如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；(2)如果命题“p 或q ”为真命题，且“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围.17.(本小题14分)如图，在ABC ∆的区域内割出一块四边形绿化区域BCED ，其中090=∠=∠D C ，3==BD BC ，1CE DE ==，现准备经过DB 上一点P 和EC 上一点Q 铺设水管PQ ，且PQ 将四边形BCED 分成面积相等的两部分. 设x DP =，y EQ =．(1)求,x y 的等量关系式；(2)求水管PQ 长的最小值．18.(本小题16分)已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常数T ，使得对任意的实数x ，有()()f x T Tf x +=成立. (1)证明：2()f x x =不属于集合M ；(2)设()f x M ∈，且2T =.已知当12x <<时，()f x x lnx =+，求当32x -<<-时，()f x 的 解析式.19.(本小题16分)已知函数2()log (41)()x f x kx k R =++∈是偶函数. (1)求k 的值；(2)设函数24()log (2),3x g x a a =⋅-其中0a >.若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个交点，求a 的取值范围.20.(本小题16分)已知函数()ln f x x =，2()()(,)g x f x ax bx a b R =++∈.其中函数()y g x =的图象在点(1,g(1))处的切线平行于x 轴.(1)确定,a b 的等量关系式；(2)若0a ≥，试讨论函数()y g x =的单调性；(3)设斜率为k 的直线与函数()y f x =的图象交于点1122(,),(,)A x y B x y (12x x <)， 求证：2111k x x <<.答案1. {}01x x << 2.123. 2()(2)f x x =- 4.2 5. (0,1) 6. 1111 (23212)n n ++++>- 7. 13i - 8. 4 9. 33710. ,,c a b 11. (5,0)(5,)-+∞ 12.①③ 131415. 解：(1)由题意得：(1)(1)0x x +-≥,即(][),11,A =-∞-+∞………3分由(1)(2)0x a a x --⋅->, 得(1)(2)0x a x a --⋅-<.∵1a <,∴12a a +>, ∴(2,1)B a a =+. …………… 7分 (2)∵B A ⊆, ∴21a ≥或11a +≤-, …………… 10分 即a ≥21或2a ≤- .而1a <,∴211a ≤<或2a ≤-, 故当B A ⊆时, 实数a 的取值范围是1(,2],12⎡⎫-∞-⎪⎢⎣⎭……………14分 16. 解:(1)若命题p 为真命题，则20,16aax x x R -+>∈恒成立. 若0a =，则0x ->，0x ∴<，不符合题意…………..3分 若0a ≠，20021104a a a a >⎧>⎧⎪⇒⇒>⎨⎨<-<⎩⎪⎩则△0；………….7分(2)若命题q 为真命题，则1394x x a a -<⇒>……9分 “p 或q ”为真命题且“p 且q ”为假命题，∴ p ，q 一真一假…………10分 p 真q 假”，a 无解；②“p 假q 真”，1(,2]4a ∈. 综上1(,2]4a ∈………….14分17．解：（1）如图，AD=3，AE=2.则S △ADE = S △BDE = S △BCE∴S △APQ =3，即1(2)4x y +=∴(2)4x y +=3…………………………………7分（2）APQ ∆中，2222cos30PQ AP AQ AP AQ =+-⋅⋅︒ =223342)334()3(22≥⨯⨯-+++x x ·12381234-=- ………………………………10分当且仅当22)334()3(+=+x x ，即时3324-=x ，33221238min -=-=PQ …………………………………………14分18.(1) 证明：假设()M f x ∈，则()()f x T Tf x +=，即22()x T Tx +=对任意的x 恒成立，即22(1)20T x Tx T -++=对任意的x 恒成立. 210200T T T ⎧-=⎪∴=⎨⎪=⎩ ，T ∴无解. ………8分假设错误，所以2()f x x =不属于集合M . (2) 由题意，(2)2()f x f x += .32,142x x -<<-∴<+<.(4)4ln(4)f x x x ∴+=+++.114(4)()(2)(4)2444x ln x f x f x f x ++∴=+=+=+.…….16分19．解：(1)由题意()()f x f x -=对任意x R ∈恒成立，即22log (41)log (41)x x kx kx -+-=++恒成立，即22log (41)2log (41)x x x kx kx +--=++恒成立，即2(1)0k x +=对任意x R ∈恒成立，1k ∴=-………..7分(2)4203x a a ⋅->由，得定义域为24(log,)3+∞.因为函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个交点，∴方程224log (41)log (2)3x x x a a +-=⋅-在24(log,)3+∞上只有一解. 即方程414223x x x a a +=⋅-在24(log,)3+∞上只有一解. 令42(,)3x t =∈+∞，则方程24(1)103a t at ---=(*)在4(,)3+∞上只有一解……………..9分 记24()(1)13h t a t at =---，对称轴23(1)at a =-①当1a =时，34(,)43t =-∉+∞，不合题意；②当01a <<时，对称轴203(1)at a =<-，()h t 在(0,)+∞上递减，且(0)10h =-<，∴(*)在4(,)3+∞上无解；③当1a >时，对称轴t =203(1)a a >-，只需4161625()(1)103999h a a =---=-<，此恒成立,1a ∴>.综上1a >………………16分 （其它解法酌情给分） 20.解： 2()ln g x x ax bx =++，1()2g x ax b x'=++. (1)由题意，(1)210g a b '=++=，即210a b ++= ……….4分 (2)1(21)(1)()221(0)ax x g x ax a x x x--'=+--=>. …………6分 (i)当0a =时，(1)()(0)x g x x x --'=>.增区间为(0,1) ，减区间为(1,)+∞； (ii)当0a >时，12()(1)2()(0)a x x a g x x x--'=>.112122aa a--=,∴ ①当102a <<时，112a>.增区间是1(0,1)(,)2a +∞和，减区间是1(1,)2a ；②当12a >时，112a<.增区间是1(0,)(1,)2a +∞和，减区间是1(,1)2a . ③当12a =时，112a=.2(1)()0x g x x -'=≥，增区间是(0,)+∞，无减区间. 综上，当0a =时，增区间为(0,1) ，减区间为(1,)+∞；当102a <<时，增区间是1(0,1)(,)2a +∞和，减区间是1(1,)2a ；当12a =时，增区间是(0,)+∞，无减区间；当12a >时，增区间是1(0,)(1,)2a +∞和，减区间是1(,1)2a………………10分 (3)120x x <<,2111k x x ∴<<21212121221121ln ln 11ln ln x x x x x x x x x x x x x x ---⇔<<⇔<-<- 22211111ln 1x x x x x x ⇔-<<-…………………….12分 令()ln 1(1)h x x x x =-+>，11()1x h x x x-'=-=-，所以()h x 在(1,)+∞上是减函数.()(1)0h x h ∴<=.又211x x >，21()0x h x ∴<，即2211ln 1x xx x <-. 令1H()ln 1(1)x x x x =+->，22111H ()x x x x x-'=-=，所以H()x 在(1,)+∞上是增函数，H()H(1)0x ∴>=，又211x x >，21H()0x x ∴>，即22111ln 1x x x x >-.综上，22211111ln 1x x x x x x -<<-…………………………16分。
江苏省张家港高级中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(文)试题Word版含答案
2014～2015学年第二学期期中考试四校联考高二年级（文科）数学试卷命题学校：崇真中学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题纸相应的位置上）1．设集合{}5,3,2,1,0=S ，{}5,4,2,1=T ，则S T = ．2．已知复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z = .3．函数()lg(21)f x x =++的定义域为 ． 4．已知函数=⎩⎨⎧>+-≤+=)]25([,)1(3)1(1)(f f x x x x x f 则_____________．5．曲线2ln y x x =-在点(1,2)处的切线方程是 ．6．已知2log 0.3a =，3.02=b ，2.03.0=c ，则c b a ,,三者从小到大的关系是 ．7．若3484log 4log 8log log 16,m ⋅⋅=则m ＝ ．8. 函数y ＝12log (x 2－4x －12)的单调递减区间是 ．9.223y ()m m x m Z --=∈幂函数是偶函数，并且在第一象限单调递减，则m = ． 10．已知函数2()45f x x x =-+在区间[),a +∞上单调递增，则a 的取值范围是 ．11．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()21x f x =+，若()3f a =， 则实数a 的值为 ．12．已知()f x 是定义在[2,2]-上的函数，且对任意实数1212,()x x x x ≠，恒有1212()()0f x f x x x ->-，且()f x 的最大值为1，则不等式2(log )1f x <的解集为 ． 13.若方程 2201x x a x -+-=-有负数根，则实数a 的取值范围是 ．14. 观察下列等式1043216321321112222222222-=-+-=+--=-=照此规律，第n 个等式可为 ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分。
江苏省张家港高级中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(文)试题含答案
2014～2015学年第二学期期中考试四校联考高二年级（文科）数学试卷命题学校：崇真中学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题纸相应的位置上）1．设集合{}5,3,2,1,0=S ，{}5,4,2,1=T ，则S T = ．2．已知复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z = .3．函数()lg(21)f x x =++的定义域为 ． 4．已知函数=⎩⎨⎧>+-≤+=)]25([,)1(3)1(1)(f f x x x x x f 则_____________．5．曲线2ln y x x =-在点(1,2)处的切线方程是 ．6．已知2log 0.3a =，3.02=b ，2.03.0=c ，则c b a ,,三者从小到大的关系是 ．7．若3484log 4log 8log log 16,m ⋅⋅=则m ＝ ．8. 函数y ＝12log (x 2－4x －12)的单调递减区间是 ．9.223y ()m m x m Z --=∈幂函数是偶函数，并且在第一象限单调递减，则m = ． 10．已知函数2()45f x x x =-+在区间[),a +∞上单调递增，则a 的取值范围是 ．11．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()21x f x =+，若()3f a =， 则实数a 的值为 ．12．已知()f x 是定义在[2,2]-上的函数，且对任意实数1212,()x x x x ≠，恒有1212()()0f x f x x x ->-，且()f x 的最大值为1，则不等式2(log )1f x <的解集为 ． 13.若方程 2201x x a x -+-=-有负数根，则实数a 的取值范围是 ．14. 观察下列等式1043216321321112222222222-=-+-=+--=-=照此规律，第n 个等式可为 ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分。
启东中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学试题及答案(理)
江苏省启东中学2014-2015学年高二下学期期中考试（理）一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1. 设复数z 满足()i 432i z -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部为 . 2. 运行如图所示的流程图，如果输入1,2a b ==，则输出的a 的值为 .3. 命题“∃]3,0[∈x ，使022≤+-m x x ”是假命题,则实数m 的取值范围为 .4. 平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 .5. 函数ln y x x =的单调减区间 .6. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y x b =+是曲线ln y x =的切线，则实数b 的值是 ．7. 已知双曲线C :)0,(12222>=-b a by a x 的焦距是10，点P （3,4）在C 的渐近线上，则双曲线C 的标准方程是 .8. 设函数2()ln f x x x =-.则零点个数为 个.9. 过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点,若01260F PF ∠=,则离心率为 .10. 已知1122(,),(,)A x y B x y 是圆222x y +=上两点,O 为坐标原点,且0120AOB ∠=,则1212x x y y += .11. 设0a >,函数2(),()ln a f x x g x x x x=+=-,若对任意的12,[1,]x x e ∈,都有12()()f xg x ≥成立,则a 的取值范围为 .12. 已知圆C :222430x y x y ++-+=,设点(0,)(0)A a a>,若圆C 上存在点M ,使MA ,则a 的取值范围 .13．定义在[1,)+∞上的函数()f x 满足:①(2)()(f x mf x m =为正常数)②当24x ≤≤时,()13f x x =--,若函数的所有极大值点均落在同一条直线上,则m = .14．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点21F F 、在x 轴上，21,A A 为左右顶点，焦距为2，左准线l 与x 轴的交点为M ，2MA ∶11||A F = 6∶1．若点P 在直线l 上运动，且离心率1(0,)2e ∈，则12tan F PF ∠的最大值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． (本题满分14分)已知:p 实数x 满足22430x ax a -+<, 其中0a >；:q 实数x 满足：32≤<x .（1）若1,a = 且p q ∧为真, 求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件, 求实数a 的取值范围. 16. (本题满分14分)如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知AB 为直径，且2AB =km,O 为圆心， C 为圆周上靠近A 的一点，D 为圆周上靠近B 的一点，且CD ∥AB ．现在准备从A 经过C 到D 建造一条观光路线，其中A 到C 是圆弧AC ，C 到D 是线段CD .设rad AOC x ∠=，观光路线总长为km y .（1）求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）求观光路线总长的最大值.17. (本题满分14分)已知圆C 过点(1,1)P ，且与圆222:(2)(2)(0)M x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.(1)求圆C 的方程.(2) 过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于,A B ,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,求证:直线OP 与直线AB 平行.18. (本题满分16分) 已知函数x ax x x f +-=221ln )(，a R ∈． (1)若2a =，求函数()f x 的单调递减区间；(2)若关于x 的不等式()1f x ax -≤恒成立，求整数．．a 的最小值；19.(本题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，其焦点与椭圆上最近点的距离为2-（1）求椭圆的方程；（2）若,A B 分别是椭圆的左右顶点，动点M 满足0MB AB ⋅=，且MA 交椭圆于点P ．①求OP OM ⋅的值；②设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，求证:直线MQ 过定点．20. (本题满分16分)已知函数()x f x e =，()g x mx n =+. （1）设()()()h x f x g x =-.① 若函数()h x 在0x =处的切线过点(1,0)，求m n +的值；② 当0n =时，若函数()h x 在(1,)-+∞上没有零点，求m 的取值范围； （2）设函数1()()()nx r x f x g x =+，且4(0)n m m =>，求证：当0x ≥时，()1r x ≥.附加题(理科)1. （本小题满分10分，矩阵与变换） 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 20d ，且MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20－20，（Ⅰ）求实数a,b,c,d 的值；（Ⅱ）求直线3y x =在矩阵M 所对应的线性变换下的象的方程．2.（本小题满分10分，极坐标系与参数方程） 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2t y ＝1－t(t 为参数)，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1，试在椭圆C 上求一点P ，使得P 到直线l 的距离最小．3.（本小题满分10分，空间立体几何）如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，AB ＝BC ＝2，BB 1＝3，D 为A 1C 1的中点，F 在线段AA 1上．（1）AF 为何值时，CF ⊥平面B 1DF ？（2）设AF ＝1，求平面B 1CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.4.（本小题满分10分，曲线与方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)y px p =>的准线方程为14x =-，过点(0,2)M -作抛物线的切线MA ，切点为A (异于点O )，直线l 过点M 与抛物线交于两点B ,C ，与直线OA 交于点N ．（1）求抛物线的方程； （2）试问：MN MNMB MC的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．答案一.填空题1. 3-2. 93. 1m > 5. 1(0,)e 6. 1- 7. 221916x y -= 8. 0910. 1- 11. )+∞ 4a ≤13. 1或2 14. 15题:(本小题14分)所以实数x 的取值范围是23x <<. ………………………7分 (2) p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p ,且p ⇒/q ， 设A ={}()x p x , B ={}()x q x , 则A ⊃≠B ， ………………………10分又(2,3]B =，A =(,3)a a ； 所以有2,33,a a ≤⎧⎨<⎩解得12;a <≤所以实数a 的取值范围是12a <≤. ………………………14分16题: (本小题14分)解：(1)2cos y x x =+ ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭…………………………………………5分 (2)记()2cos f x x x =+,则()12sin f x x '=-， ………………………………7分 令()0f x '=，得6x π=， ………………………………………………9分 列表所以函数()f x 在6x =处取得极大值，这个极大值就是最大值，…………12分即()66f ππ=+ (13)答：观光路线总长的最大值为6π千米． ……………………………14分17题(本小题14分)解(1)设圆心C (a ，b )，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1.解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0.则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入，得r 2＝2.故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2…………………………………………….6分 (2)由题意知，直线P A 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设 P A ：y －1＝k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)．由⎩⎨⎧y －1＝k (x －1)，x 2＋y 2＝2，得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0. 因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，故可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2.同理，x B ＝k 2＋2k －11＋k 2...............................................................................10分所以k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k (x B －1)－k (x A －1)x B －x A＝2k －k (x B ＋x A )x B －x A＝1＝k OP .所以直线AB 和OP 平行．……………….14分18题(本小题16分)解（1）因为2()ln ,0f x x x x x =-+>，2121()21(0)x x f x x x x x-++'=-+=>…2分由()0f x '<，得2210x x -->，又0x >，所以1x >,所以()f x 的单调减区间为(1,)+∞． ………………………………………… 5分（2）方法一：令21()()1)ln (1)12g x f x ax x ax a x =-=-+-+-(，所以21(1)1()(1)ax a x g x ax a x x-+-+'=-+-=．当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>．所以()g x 在(0,)+∞上是增函数，又因为213(1)ln11(1)12022g a a a =-⨯+-+=-+>，所以关于x 的不等式()1f x ax -≤不能恒成立．……………………………………8分当0a >时，21()(1)(1)1()a x x ax a x a g x x x-+-+-+'==-，令()0g x '=，得1x a=． 所以当1(0,)x a ∈时，()0g x '>；当1(,)x a∈+∞时，()0g x '<，因此函数()g x 在1(0,)x a ∈上是增函数，在1(,)x a∈+∞上是减函数．故函数()g x 的最大值为2111111()ln()(1)1ln 22g a a a a a a a a=-⨯+-⨯+=-．…12分 令1()ln 2h a a a =-，因为1(1)02h =>，1(2)ln 204h =-<，又()h a 在(0,)a ∈+∞是减函数．故当2a ≥时，()0h a <．所以整数a 的最小值为2．………………15分 方法二：由()1f x ax -≤恒成立，得21ln 12x ax x ax -+-≤在(0,)+∞上恒成立， 问题等价于2ln 112x x a x x +++≥在(0,)+∞上恒成立． 令2ln 1()12x x g x x x ++=+，只要max ()a g x ≥．…………………………………………8分 因为221(1)(ln )2()1()2x x x g x x x +--'=+，令()0g x '=，得1ln 02x x --=．设1()ln 2h x x x =--，因为11()02h x x '=--<，所以()h x 在(0,)+∞上单调减，不妨设1ln 02x x --=的根为0x ．当0(0,)x x ∈时，()0g x '>；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '<，所以()g x 在0(0,)x x ∈上是增函数；在0(,)x x ∈+∞上是减函数．所以000max020000011ln 112()()(1)22x x x g x g x x x x x x +++====++．………………………12分 因为11()ln 2024h =->，1(1)02h =-<，所以0112x <<，此时0112x <<，即m a x ()(1,2)g x ∈．所以2a ≥，即整数a 的最小值为2．………………………… 15分 19题(本小题16分)解:（1）易得2c a a c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，解得2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ ---------2分所以，b =所以，椭圆方程为22142x y +=； ---------4分（2）由0MB AB ⋅=，所以，MB AB ⊥， --------5分可设(2,)M t ，00(,)P x y ， ①直线MA 的方程为：42t ty x =+， 代入椭圆22142x y +=得，2222(1)40822t t t x x +++-=，由2024(8)28t x t --=+得，2022(8)8t x t --=+，从而20288t y t =+， ---------8分所以22224(8)8488t t OP OM t t --⋅=+=++， ---------10分②依题意，228282828PBtt k t t t +==----+（）， 由MQ PB ⊥得，2MQt K =， 则MQ 的方程为：(2)2t y t x -=-，即2ty x =， ---------14分所以，直线MQ 恒过原点． ---------16分 20题(本小题16分)解：（1）由题意，得()(()())()x x h x f x g x e mx n e m '''=-=--=-，所以函数()h x 在0x =处的切线斜率1k m =-， …………2分又(0)1h n =-，所以函数()h x 在0x =处的切线方程(1)(1)y n m x --=-， 将点(1,0)代入，得2m n +=. ……………5分（2）当0n =，可得()()x x h x e mx e m ''=-=-，因为1x >-，所以1xe e>， ①当1m e≤时，()0x h x e m '=->，函数()h x 在(1,)-+∞上单调递增，而(0)1h =，所以只需1(1)0h m e -=+≥，解得1m e ≥-，从而11m e e-≤≤. ………7分②当1m e>时，由()0x h x e m '=-=，解得l n (1,)x m =∈-+∞，当(1,l n x m ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减；当(ln ,)x m ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增.所以函数()h x 在(1,)-+∞上有最小值为(ln )ln h m m m m =-，令ln 0m m m ->，解得m e <，所以1m e e <<综上所述，1[,)m e e∈-. ……………10分（3）由题意，1114()()()4x x nx nx xm r x n f x g x e e x x m=+=+=+++，而14()14x x r x e x =+≥+等价于(34)40x e x x -++≥，令()(34)4x F x e x x =-++， …………12分 则(0)0F =，且()(31)1x F x e x '=-+，(0)0F '=， 令()()G x F x '=，则()(32)x G x e x '=+，因0x ≥， 所以()0G x '>， ……………14分 所以导数()F x '在[0,)+∞上单调递增，于是()(0)0F x F ''≥=，从而函数()F x 在[0,)+∞上单调递增，即()(0)0F x F ≥=. ……………16分Ⅱ附加题(理科)1、解：（Ⅰ）由题设，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 20d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20－20得⎩⎨⎧c ＝22＋ad ＝0bc ＝－22b ＋d ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1b ＝－1c ＝2d ＝2；…5分 （Ⅱ）取直线y ＝3x 上的两点(0,0)、(1,3),由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－11⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－11⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22得：点(0,0)、(1,3)在矩阵M 所对应的线性变换下的像是(0，0)，(－2，2)，从而直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程为y ＝－x ．…………………………………………………………………………………………10分2、解：直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2ty ＝1－t(t 为参数)∴x ＋2y ＝4…………………2分设P (2cos θ,sin θ)∴P 到l 的距离为d ＝|2cos θ＋2sin θ－4|5＝|22sin(θ＋ π4)－4|5≥|22－4|5＝4－225…………………………………………………….6分 当且仅当sin(θ＋ π 4)＝1，即θ＝2kπ＋ π 4时等号成立．此时，sin θ＝cos θ＝22∴P (2,22) ……………………………………………………………………………………………………………………………………….10分 3、解：（1）因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥面ABC ，∠ABC ＝ π2．以B 点为原点，BA 、BC 、BB 1分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系. 因为AC ＝2，∠ABC ＝90º，所以AB ＝BC ＝2，(2,0,0)从而B (0，0，0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(0，0，3)，A 1 A (2,0,3)，C 1(0,2,3)，D (22,22,3)，E (0,22,32)．所以→CA 1＝(2,－2,3)，设AF ＝x ，则F (2，0，x )， →CF ＝(2,－2,x )，→B 1F ＝(2,0,x －3) ，→B 1D ＝(22,22,0) ∴→CF ·→B 1D ＝···＝0，所以→CF ⊥→B 1D 要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥B 1F .由→CF ·→B 1F ＝2＋x (x －3)＝0，得x ＝1或x ＝2，故当AF ＝1或2时，CF ⊥平面B 1DF ．……………………………………………………………………….5分 （2）由（1）知平面ABC 的法向量为m ＝(0,0,1). 设平面B 1CF 的法向量为n ＝(x ,y ,z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·→CF ＝0n ·→B 1F ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＋z ＝02x －2z ＝0令z ＝1得n ＝(2,322,1)，所以平面B 1CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值cos ＜m ,n ＞＝3015…………….10分4.（1）由题设知，124p -=-，12p =，所以抛物线的方程为2y x =． (2)分（2）因为函数y =-y ¢=-，设00(,)A x y ，则直线MA 的方程为00)y y x x -=--，………………………………4分 因为点(0,2)M -在直线MA 上，所以0012)2y x --=-?． 联立0200122.y y x ìïï=--?ïíïï=ïî 解得(16,4)A -．所以直线OA 的方程为14y x =-．… 6分 设直线BC 方程为2y kx =-，由2,2y x y kx ìï=ïíï=-ïî，得22(41)40k x k x -++=，所以22414,B C B Ck x x x x k k ++==．由1,42y x y kx ìïï=-ïíïï=-ïî，得841N x k =+．……… 8分 所以224188412441414N NB C N B C B Ck x x x x MN MN k k x MB MC x x x x k k k ++++=+=???++，故MN MNMB MC+为定值2．……………………………………………………………10分。
【数学】江苏省扬州中学2014-2015学年高二下学期期中考试(理).docx
江苏省扬州中学 2014-2015学年高二下学期期中考试（理）一、填空（本大共 14小，每小 5 分，共70 分．）1.若复数z i( 2 z)，z =.2. 用数学法明1+a a2a3a n 11a n 2(a 1,n N*)，在 n=1 成立1 a，等式左是.3．已知f1 ( x) sin x cosx ,且f2( x)f1' (x) , f3 (x) f2' ( x) ,⋯,f n( x) f n'1 ( x) ,⋯* ≥2),f1 ( ) f 2 ( ) f 2015 () =.(n N , n4444.已知三棱 O-ABC，点 G 是△ ABC的重心。
OA a ， OB b ， OC c ，那么向量 OG 用基底 { a ， b ， c }可以表示.5.将 3 名男生和 4 名女生排成一行，甲、乙两人必站在两，不同的排列方法共有种。
（用数字作答）6.某医院有内科医生 5 名，外科医生 6 名，要派 4 名医生参加灾医，如果要求内科医生和外科医生中都有人参加，有种法（用数字作答）．7 ．一种警器的可靠性90 ％，那么将两只的警器并后能将可靠性提高到．8．用数学法明“1111＜n (n N *，n＞1) ” ，由n k (k ＞232n11 )不等式成立，推n k1，左增加的数是．9．若| z i | 1， | z |最大__________．10.均正整数，且最大11 的三角形的个数. 11．(x1)(2x1)(3x1)(10x1)展开式中 x的一次系数．12．已知117m.m m10Cm， C8=C 5C6713. 已知关于数x, y的方程x3y 32没有数解，数k,d的取范y kx d.14.,是关于x的方程x22x m 0(m R) 的两个根，的.二、解答（本大共 6 道，共90 分）15． (本小分15 分 )222222*求： 1 － 2 ＋ 3 － 4 ＋⋯＋ (2 n－1) － (2 n) ＝－n(2 n＋1)( n∈ N ) ．z 是虚数，z 1是数，且1 2 . z（ 1）求 |z| 的；（ 2）求 z 的部的取范．17． (本小分15 分 )如，四形 ABCD 是正方形，△PAB与△PAD均是以A直角点的等腰直角三角形，点F 是 PB 的中点，点 E 是BC上的任意一点.（ 1）求：AF EF ；（ 2）求二面角A PC B 的平面角的正弦.18．(本小分16 分 )函数(, n)1nf x , n N ．x（ 1）求f ( x,6)的展开式中系数最大的；（ 2）若f (i,n)32i （i虚数位）,求 C n1C n3C n5C n7C n9．19．(本小分16 分 )子蛙跳游是 : 青蛙第一步从如所示的正方体ABCD A1 B1C1D1点 A 起跳，每步从一点跳到相的点．（1）直接写出跳两步跳到C的概率P；（2）求跳三步跳到C1的概率P1；（3）青蛙跳五步，用X表示跳到过C1的次数，求随机变量X的概率分布．20.( 本小题满分 16 分 )设 M是由满足下列条件的函数 f ( x) 构成的集合：“① f ( x) 的定义域为R；②方程f ( x) x 0 有实数根；③函数 f (x) 的导数 f ( x) 满足 0 f (x)1”.x sin x（ 1）判断函数 f ( x)是否是集合M中的元素，并说明理由；24（ 2）证明：方程 f ( x) x0 只有一个实数根；（ 3）证明：对于任意的x1, x2 , x3，当 | x2x1 | 1 且 | x3x1 | 1时，| f (x3 ) f ( x2 ) | 2 .答案一 .填空题：1. 1 i2. 1 a a23. 04. 1 a 1 b 1 c5. 2406. 3107. 99%3338.2k9.210.3611. 5512.2813. k1且 d2或 d 0 14.21m, (m 0)2,(0m1)2m,( m1)二．解答：15．明：① n＝1，左＝12－22＝－3，右＝－3，等式成立．16．解：（ 1） z＝ a＋bi （ a,b ∈ R 且 b≠0）ω a bi1 1 a biω a bia abi ba b b i.a 2b22b2a ab ab2a2b i.a20,2221,即| z| 1.ω 是实数，b a b（2）a2b21,即| z| 1.ω是实数，b 0,于是ω 2a,由1ω 2知1a 1.于是ω 2a,由 1ω2知121.2a17．（ 1）明：∵F是PB的中点，且PA AB ，∴AF PB .∵ △ PAB 与△ PAD 均是以 A 直角点的等腰直角三角形，∴PA AD ， PA AB .∵AD AB A ，AD平面 ABCD ，AB平面 ABCD ，∴PA 平面ABCD.∵BC平面ABCD，⋯⋯⋯6′⋯⋯⋯15′⋯⋯⋯8′⋯⋯⋯15′∴PA BC .∵四形 ABCD 是正方形，∴BC AB .∵PA AB A ，PA平面PAB，AB 平面 PAB ，∴BC 平面PAB.∵AF平面PAB，∴BC AF .∵PB BC B ，PB平面PBC，BC平面PBC，∴AF 平面PBC ∵EF 平面PBC ∴AF EF ..，⋯⋯⋯ 6′（）解法：作FH PC 于 H，接 AH ，21∵ AF ⊥平面PBC，PC平面 PBC∴AF PC .∵AF FH F ，AF平面AFH，FH平面AFH，∴PC ⊥平面AFH.∵AH 平面 AFH ，∴ PC AH .∴∠ AHF 二面角A PC B 的平面角.正方形 ABCD 的 2 ， PA AB 2 ，AC 2 2，在 Rt△PAB中，AF1PB12222 2 ，22在 Rt△PAC中，PC PA2AC2 2 3 ，AH PA AC 26，在 Rt △AFHPC3AF3中， sin AHF.AH2∴二面角 A PC B 的平面角的正弦 3 .⋯⋯⋯⋯ 15′22AD, AB, APx y建立空间直角坐标系A xyz ，设PA 1 ，则P 0,0,1 ， B 0,1,0 ， C 1,1,0 , D 1,0,0 .∴ PB 0,1, 1 ， BC 1,0,0 .设平面 PBC 的法向量为m（x, y，）z，由 m PB0,得yz 0,m BC0,x0.令 y 1，得z 1 ，∴ m0,1,1为平面 PBC 的一个法向量.∵ PA平面 ABCD ，PA平面 PAC ，∴平面 PAC平面 ABCD .连接 BD ，则BD AC .∵平面 PAC平面 ABCD AC ，BD平面 ABCD ，∴ BD平面 PAC .∴平面 PAC 的一个法向量为BD1, 1,0.设二面角 A PC B 的平面角为，则 cos cos m, BDm BD1m BD .2∴ sin1cos23.2∴二面角 A PC B 的平面角的正弦 3 .⋯⋯⋯⋯ 15′218．解：（1）展开式中系数最大的是第320x3 ；⋯⋯⋯ 6′4 ＝C63x（2）由已知，(1＋i )n32i ，两取模，得 (2) n32 ，所以n10.所以 C n1C n3 C n5C n7C n9= C101C103C105C107C109而 (1＋i )10C100C101i C102i 2C109i 9C1010i10C100－ C102C104－ C106C108－ C1010C101－ C103＋ C105－ C107C109i32i所以 C101C103C105C107C10932.⋯⋯⋯⋯ 16′19．解：将A示0，A1、 B、D 示 1，B1、 C、D1示2，C1示 3，从 A 跳到 B 01，从 B 跳到 B1再跳到 A1121，其余推 .从 0 到 1 与从 3 到 2 的概率 1，从 1到 0 与从 2 到 3 的概率1，从 1到 2 与从 2 到 1 的概率2. 33（1） P＝2；⋯⋯⋯ 4′9（2） P＝ P（ 0123）＝ 12 1 ＝ 2 ；⋯⋯⋯ 10′339（3） X＝ 0,1， 2. P（ X＝ 1）＝ P（010123 ）＋ P（ 012123）＋ P（ 012321 ）＝ 11121＋ 12221＋ 121123333333333＝ 26，P（X＝ 2）＝ P（ 012323）＝ 1211 1 ＝6，813338149P（ X＝ 0）＝ 1－ P（ X＝ 1）－ P（ X＝ 2）＝81或P（ X＝ 0）＝ P（010101）＋ P（ 010121 ）＋ P（ 012101）＋ P（012121 ）＝11111＋ 11122＋12211＋ 1222 2 ＝ 49 ，33333333333381 X012p49266818181⋯⋯⋯⋯16′20. 解：（ 1）易函数 f ( x)x sin x足条件①②③，因此 f (x)M⋯⋯⋯ 4′24（ 2）假 f (x)x0存在两个根, () ， f ()0 ， f ()0 不妨，∵f ( x)1∴函数f ( x) x减函数，∴f ( )>0f ( ), 矛盾 . 所以方程 f (x)x0 只有一个数根⋯⋯⋯ 10′（3）不妨x2x3，∵f ( x)0 ，∴ f ( x) 增函数，∴f (x2) f ( x3 ) ，又∵ f ( x)1∴函数 f ( x)x 减函数，∴ f ( x2 )x2 f (x3 ) x3，∴ 0 f ( x3 ) f (x2 )x3x2，即 | f ( x3 ) f ( x2 ) | | x3x2 | ，∴ |f ( x3 ) f ( x2 ) | |x3x2| | x3x1 ( x2 x1 ) | | x3 x1 || x2x1 | 2 ⋯⋯⋯⋯16′。
2014-2015年江苏省南通市启东中学高一(下)期中数学试卷和答案
二．计算题：本大题共 6 小题，共 90 分，解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤.
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15．设函数 f（x）=﹣4x+a，不等式|f（x）|＜6 的解集为（﹣1，2） （1）求 a 的值； （2）解不等式 ＞0（m∈R） ．
16．已知直线 m：2x﹣y﹣3=0，n：x+y﹣3=0． （1）求过两直线 m，n 交点且与直线 l：x+2y﹣1=0 平行的直线方程； （2）求过两直线 m，n 交点且与两坐标轴围成面积为 4 的直线方程． 17．设数列{an}的前 n 项和为 Sn=2n2，{bn}为等比数列，且 a1=b1，b2（a2﹣a1） =b1． （Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）设 cn= ，求数列{cn}的前 n 项和 Tn．
4． （5 分） 直线 ax+2y+6=0 与直线 x+ （a﹣1） y+ （a2﹣1） =0 平行， 则 a= 5． （5 分） 若函数 的定义域为 R， 则实数 a 的取值范围是 ．
6． （5 分）若等差数列{an}的前 5 项和 S5=25，且 a2=3，则 a7= 7． （5 分） （1﹣2n）= ．
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20．已知实数 q≠0，数列{an}的前 n 项和 Sn，a1≠0，对于任意正整数 m，n 且 n ＞m，Sn﹣Sm=qmSn﹣m 恒成立． （1）证明数列{an}是等比数列； （2）若正整数 i，j，k 成公差为 3 的等差数列，Si，Sj，Sk 按一定顺序排列成等差 数列，求 q 的值．
12 ． （ 5 分）数列 {an} 满足 a1=3 ， an ﹣ anan+1=1 ， An 表示 {an} 前 n 项之积，则 A2015= ．