三角函数图像变换经典
三角函数图象变换(1)PPT课件
一般地，函数y=sinωx（ω＞0且ω≠1）的图象可以看作是 把y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时 ）或伸长 （当0＜ω＜1时 ）到原来的 1倍（纵坐标不变）而得到的。
练（（习12））一将将：yy==ssiinn2( x12的x+图3象)的向图右象平经移过6向，右则平移所23得个图单象位 解变析换式可为得y=ys=isnin12 （x的2x图- 象3）
4.9 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象
1.作三角函数的图象的方法一般有： (1) 描点法；（2）几何法；
2. 作三角函数的简图：
主要先找出在确定图象性质时起 关键作用的五个点: (1)最大值点 (2) 最小值点 (3)与x轴的交点
引:
函数y=Asin(ωx+φ)表示一个振动量时
A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫
2、周期变换：y=sinωx与y=sinx图象的关系
例2、作函数y=sin2x及
y
sin
1 2
x
解：函数y＝sin2x，x∈R的周期T＝
的简图
2 ＝π
2
我们先画在［0，π］上的简图,在[0, ]上作图, 列表
结论:
x
0
3
π
2x
0
42
π
4 3
2π
2
2
(1)函数y＝sin2x ， x∈R的图象可看作 把y＝sinx，x∈R上
(2)函数y＝sin 1 ，x x∈R的图象， 2
1x
2
0
2
π
3 2π 2
sin
1 2
x
0
1
三角函数图像变换
三角函数y A x =+sin()ωϕ的图像变换1结合具体实例，理解y=Asin ）（ϕω+x 的实际意义，会用“五点法”画出函数y=Asin ）（ϕω+x 的简图。
会用计算机画图，观察并研究参数ϕω,,A ，进一步明确ϕω,,A 对函数图象的影响。
2能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到y=Asin ）（ϕω+x 的图象。
3教学过程中体现由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。
1、函数图象的左右平移变换如在同一坐标系下，作出函数)3sin(π+=x y 和)4sin(π-=x y 的简图，并指出它们与y x =sin 图象之间的关系。
解析：函数)3sin(π+=x y 的周期为2π，我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图。
设Z x =+3π，那么Z x sin )3sin(=+π，3π-=Z x当Z 取0、ππππ2232，，，时，x 取-πππππ36237653、、、、。
所对应的五点是函数)3sin(π+=x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈35,3ππx 图象上起关键作用的点。
列表：x-π3π623π76π53π x +π3π2π32π2πsin()x +π31－1类似地，对于函数)4sin(π-=x y ，可列出下表：xπ434π54π74π94π x -π4π2π32π2πsin()x -π41－1描点作图（如下）利用这类函数的周期性，可把所得到的简图向左、右扩展，得出)3sin(π+=x y ，x R ∈及)4sin(π-=x y ，x R ∈的简图（图略）。
由图可以看出，)3sin(π+=x y 的图象可以看作是把y x =sin 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位而得到的，)4sin(π-=x y 的图象可以看作是把y x =sin 的图象上所有的点向右平行移动π4个单位得到的。
注意：一般地，函数y x =+≠sin()()ϕϕ0的图象，可以看作是把y x =sin 的图象上所有的点向左（当ϕ>0时）或向右（当ϕ<0时）平行移动||ϕ个单位而得到的。
三角函数的图像和变换以及经典习题和答案
3.4函数sin()y A x ωϕ=+的图象与变换【知识网络】1．函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义；２．函数sin()y A x ωϕ=+图象的变换（平移平换与伸缩变换） 【典型例题】 ［例1］(1)函数3sin()226x y π=+的振幅是 ；周期是 ；频率是 ；相位是 ；初相是 ．（１）32； 14π；26x π+；6π （2）函数2sin(2)3y x π=-的对称中心是 ；对称轴方程是；单调增区间是 ． （２）(,0),26k k Z ππ+∈；5,212k x k Z ππ=+∈； ()5,1212k k k z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(3) 将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=- C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=- （３）C 提示：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+，由图象知，73()1262πππω+=，所以2ω=． (4) 为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点 （ ）（A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） （B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）（C ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（D ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （４）C 先将R x x y ∈=,sin 2的图象向左平移6π个单位长度，得到函数2sin(),6y x x R π=+∈的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像(5)将函数x x f y sin )(= 的图象向右平移4π个单位后再作关于x 轴对称的曲线，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 的表达式是 （ ）（A ）x cos （B ）x cos 2 （C ）x sin （D ）x sin 2 （５）B 提示: 212sin cos 2y x x =-=的图象关于x 轴对称的曲线是cos 2y x =-,向左平移4π得cos 2()sin 24y x x π=-+=2sin cos x x =［例2］已知函数2()2cos 2,(01)f x x x ωωω=+<<其中，若直线3x π=为其一条对称轴。
三角函数的图像变换
cosθ = 邻边/斜边，在单位圆中表示为x坐标。
正切函数（tangent）
三角函数的周期性
tanθ = 对边/邻边，表示为正弦与余弦之比。
正弦、余弦函数周期为2π，正切函数周期为 π。
三角函数在各象限表现
第一象限
所有三角函数值均为正。
第三象限
正弦、余弦函数值为负，正切函数值为正。
第二象限
正弦函数值为正，余弦、正切函数值为负。
伸缩变换对正弦函数影响
横向伸缩
改变正弦函数图像的周期长度。缩小周期使得函数图像更加紧密，扩大周期则 使得函数图像更加稀疏。
纵向伸缩
改变正弦函数图像的振幅大小。增大振幅使得函数图像波动范围更大，减小振 幅则使得函数图像波动范围更小。
周期性与相位调整方法
周期性调整
通过改变正弦函数的周期来调整图像的疏密程度。可以通过调整函数中的系数来 实现周期的变化。
相位调整
通过改变正弦函数的相位来调整图像出现的位置。可以通过在函数中添加常数项 来实现相位的调整。同时，利用三角函数的和差化积公式，也可以实现相位的调 整。
03 余弦函数图像变换分析
余弦函数基本图像特征
波形图像
余弦函数图像呈现周期性波动，具有典型的波形 特征。
振幅和周期
余弦函数的振幅和周期是确定其图像形状和尺寸 的关键参数。
拓展：其他类型周期函数图像变换
锯齿波和方波
除了正弦波和余弦波外，还有其 他类型的周期函数如锯齿波和方 波等，它们的图像变换同样具有 实际应用价值。
周期函数的合成与分解
通过三角函数的线性组合可以合 成其他类型的周期函数；反之， 其他类型的周期函数也可以通过 傅里叶级数展开成三角函数的线 性组合。
高考数学《图像变换在三角函数中的应用》基础知识与典型例题分析
高考数学《图像变换在三角函数中的应用》基础知识与典型例题分析在高考中涉及到的三角函数图像变换主要指的是形如()sin y A x ωϕ=+的函数，通过横纵坐标的平移与放缩，得到另一个三角函数解析式的过程。
要求学生熟练掌握函数图像变换，尤其是多次变换时，图像变化与解析式变化之间的对应联系。
一、基础知识：（一）图像变换规律：设函数为()y f x =（所涉及参数均为正数） 1、函数图像的平移变换：（1）()f x a +：()f x 的图像向左平移a 个单位 （2）()f x a −：()f x 的图像向右平移a 个单位 （3）()f x b +：()f x 的图像向上平移b 个单位 （4）()f x b −：()f x 的图像向下平移b 个单位 2、函数图像的放缩变换：（1）()f kx ：()f x 的图像横坐标变为原来的1k（图像表现为横向的伸缩） （2）()kf x ：()f x 的图像纵坐标变为原来的k 倍（图像表现为纵向的伸缩） 3、函数图象的翻折变换： （1）()fx ：()f x 在x 轴正半轴的图像不变，负半轴的图像替换为与正半轴图像关于y 轴对称的图像（2）()f x ：()f x 在x 轴上方的图像不变，x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折即可（与原x 轴下方图像关于x 轴对称）（二）图像变换中要注意的几点：1、如何判定是纵坐标变换还是横坐标变换？在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下： ① 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换 ② 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换例如：()31y f x =+：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤()2y f x =−+：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换2、解析式变化与图像变换之间存在怎样的对应？由前面总结的规律不难发现： （1）加“常数”⇔ 平移变换（2）添“系数”⇔放缩变换 （3）加“绝对值”⇔翻折变换3、多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：① 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求 ② 横坐标的多次变换中，每次变换只有x 发生相应变化 例如：()()21y f x y f x =→=+可有两种方案方案一：先平移（向左平移1个单位），此时()()1f x f x →+。
三角函数的图像及其变换
振幅变换
振幅变换
通过将三角函数中的系数乘以一 个常数，可以改变函数图像的形 状和大小。例如，将正弦函数 y=sin(x)变为y=2sin(x)，图像的 高度变为原来的两倍。
总结词
振幅变换可以改变函数图像的大 小和形状，但不影响位置。
详细描述
振幅变换通常通过乘以一个常数来实 现。例如，对于正弦函数y=sin(x)，乘 以2得到y=2sin(x)，图像的高度变为 原来的两倍。同样地，对于余弦函数 y=cos(x)，乘以2得到y=2cos(x)，图 像的高度也变为原来的两倍。
与复数的联系
三角函数与复数之间有着密切的联系。例如，复数的三角形式就是由三角函数来表示的，这使得复数 的一些性质和运算可以通过三角函数来理解和实现。
此外，在复分析中，三角函数也起着重要的作用，如在求解某些复数域上的微分方程时，经常需要用 到三角函数。
谢谢
THANKS
应用
正切函数在解决实际问题和数学 问题中也有应用，例如在几何学 和三角学中的角度和长度计算。
02 三角函数的图像
CHAPTER
正弦函数的图像
01
正弦函数图像是周期函数，其基本周期为$2pi$，在$[0, 2pi]$ 区间内呈现波形。
02
正弦函数图像在$x$轴上的交点是$(frac{pi}{2} + kpi, 0)$，其
周期变换
总结词
详细描述
通过改变三角函数的周期，可以改变
函数图像的形状和位置。例如，将正 弦函数和余弦函数的周期从2π变为4π， 图像将变为原来的两倍长，但形状和
周期变换可以改变函数图像的长度， 但不影响形状和位置。
位置保持不变。
周期变换通常通过乘以一个常数来实现。例 如，将函数y=sin(x)变为y=sin(2x)，周期 从2π变为π，图像长度减半。同样地，对于 余弦函数，将y=cos(x)变为y=cos(2x)，周 期从2π变为π，图像长度也减半。
三角函数图形的变换
三角函数图形的变换1、正弦与余弦函数图象的变换2、由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换):先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换:先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
作y =sin x （长度为2π的某闭区间）的图象 得y =sin(x +φ) 的图象得y =sin ωx 的图象 得y =sin(ωx +φ) 的图象 得y =sin(ωx +φ) 的图象 得y =Asin(ωx +φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R 上沿x 轴平 移|φ|个单位 横坐标 伸长或缩短 横坐标伸 长或缩短沿x 轴平 移|ωϕ|个单位 纵坐标伸 长或缩短纵坐标伸 长或缩短【经典例题】图像变换一：左右平移1、把函数R x x y ∈=,sin 图像上所有的点向左平移4π个单位，所得函数的解析式为 _________2、把函数R x x y ∈=,cos 图像上所有的点向右平移5π个单位，所得函数的解析式为 _________图像变换二：纵向伸缩3、对于函数R x x y ∈=,s i n 3的图像是将R x x y ∈=,sin 的图像上所有点的______(“横”或”纵”)坐标______（伸长或缩短）为原来的______而得到的图像。
利用三角函数图像的变换求解析式及由三角函数图像求解析式
探究三 如何确定 的值
问题3 .如图是函数
y = 2 sin( 2 x + )(
<
p
)
2
的部分图像 , 求 的值。
y
y
2
7p
2
12
x
o
p o
6
x -2
-2
例题讲解
【例 1】 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图①，则其一个函 数解析式为________．
①
[思路探索] 可由最高、最低点确定 A，再由周期确定 ω，然后 由图象过三点确定 φ，或由点的坐标代入解析式求解． 解析 (1)法一 由图象知 A＝2，T＝78π－－π8＝π. ∴ω＝2ππ＝2. 又过点－π8，0，令－π8×2＋φ＝0. 得 φ＝π4，∴y＝2sin2x＋π4.
练习 1．将函数 y＝sinx＋π3的图象向右平移π6个单位，再 向上平移 2 个单位所得图象对应的函数解析式是 y_＝__s_in__x_＋__π6__＋__2___．
解析 y＝sinx＋π3向右平移π6个单位得： y＝sinx－π6＋π3＝sinx＋π6，再向上平移 2 个单 位得 y＝sinx＋π6＋2.
原来的12，得到函数 y＝sin10x－74π的图象．
4．将函数 y＝sin x 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π)
个单位后，得到函数 y＝sinx－π6的图象，
则 φ 等于( D )
π
5π
7π
11π
A.6 B. 6 C. 6 D. 6
解 析 将函 数 y＝ sin x 的 图 象 向 左平 移
φ(0≤φ<2π)个单位得到函数 y＝sin(x＋φ)，在 A、B、C、D 四项中，只有 φ＝161π 时有 y ＝sinx＋161π＝sinx－6π.
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1
y=sin2x 1 y=sinx y sin x
2
o
-1
3 2
3
2
4
2
x
y
y=sin2x
1
y=sinx
o
1 y sin x 2
பைடு நூலகம்
2
3 2
3
4
2
x
-1
y
y=sin2x
1
y=sinx
o
1 y sin x 2
2
3 2
3
4
2
x
-1
观察上图发现：
函数y=sinωx, xR (ω>0且ω1)的图象，可看作把正
横坐标缩短>1 (伸长0<<1)到原来的1/倍
y=sinx
纵坐标不变
y=sinx
向左>0 (向右<0) 平移||/个单位
y sin ( x ) sin( x )
y=Asin(x+)
横坐标不变
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍
x
sinx 2sinx
1 sin x 2
0
0 0 0
2
0 0 0
3 2
2 0 0 0
1 2
1 2
-1 -2
1 2
y
2
y=2sinx
1
1 2
1 2
o
2
3 1 y sin x 2 2
2
y=sinx
x
-1 -2
y
2
1
y=2sinx
1 y sin x 3 2
o
-１
2
则x= Z 从而 1 sinZ= 1 sin2x
1
1 2
-1
1 2
y
1 2
1 y sin 2 x 2 3 4 2
o
1 2
4
x
方法二:变换法
y=sinx
纵坐标不变 1 横坐标缩短为 倍
2
y sin 2 x
横坐标不变 纵坐标缩短为
1 2
1 y sin 2 x 2
y
y=sinx
∴在[0, ]上作图令Z=2x
∴在[0,4]上作图令Z= 1 x 2
则x=2Z 从而sinZ=sin 1x
2
则x= Z 从而sinZ=sin2x
2
x
0
4
2
2
Z 0 sinZ 0 y
1
0
2 -1 0
3 2
3 4
x
0
2
2
3
3 2
4
Z 0 sinZ 0
1
0
2 -1 0
三角函数的图像变换
y
x
上蔡一高高一（15）班
2017.04.17
教学目的：掌握用“五点法”画函数y=Asinx和y=Asinωx的图
象，明确A与ω对函数图象的影响作用；并会由 y=sinx的图象通过变换得出y=Asinωx的图象。 教学重点： “用五点法”作函数y=Asinx和y=sinωx的简图及振 幅、周期对正弦函数图象的影响。 教学难点：在直角坐标中会寻找“五点”的位置及由y=sinx的 图象变为y=Asinωx的图象规律。
3
o
-1
6
6
3
2 5 7 12 3 6
5 3
2
x
-2 -3
y sin x y sin( 2 x ) sin 2( x ) 3 6
y sin 2 x
y=Asin(x+) 总结: y=sinx 方法1:(按 , ω, A 顺序变换)
2
3
sin(2 x / 3)
0 0
1 3
0 0
3 2
7 12
5 6
2
-1
0 0
3sin(2x+π/3)
-3
y 3
5 6
2 1
3
oπ 6 12 -1
2
3 2
2
x
-2 -3
方法1:(按 , ω, A 顺序变换)
y 3 2 1
y 3 sin( 2 x ) 3 y sin( 2 x ) 3
3 2
3
9 2
6
2
0 0
3 2
2
0 0
1
2
-1
2
y
2
1 y 2 sin x 39 3 2
6
o
2
3 2
x
三 、 函 数y sin x 与 y sin( x )的 关 系
实际上，我们在前面已 经学过知道有 y sin x y sin( x )
0向左平移 0向右平移
对函数图象的影响 探究一：
试研究
y sin( x ), y sin( x ) 与 y 3 3
sin x 的图象关系.
y y sin( x ) 1 3
y sin x
y sin( x ) 3
3 5 2 13 x 2 3 6
弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到 1 原来的 倍（纵坐标不变）而得到的，实际上我们 知道ω的变化影响函数周期，所以这个变换也称为周 期变换。
1所有点的横坐标缩短 0 1所有点的横坐标伸长
y sin x y sin x 2 T : 周期
课时小结
通过本节学习，掌握y=Asinωx的“五点法”作图及 振幅和周期变换。
课后作业
1、指出函数y=2/5sin3x的振幅、周期，并画出其图象。
2、作出y=2sin1/2x的简图。
谢谢莅临指导！ 再见！
8
o
-1
4
3 8
2
x
例三：作出 y
方法一 : “五点法”作图 1 解：∵函数y= sin2x的周期T= 2 ∴在[0, ]上作图令Z=2x
2 2
2
1 sin 2 x的 简 图 2
x 2x
sin2x
1 sin 2 x 2
0
2
0
0 0
4
2
0 0
3 2
3 4
2 0 0
6
3
2 5 7 12 3 6
3
o
-1
6
7 6
5 3
2
x
-2
-3
y sin( x ) 3
y sin x
方法2:(按 ω, , A 顺序变换)
y 3 2 1
y 3 sin( 2 x ) 3
y sin( 2 x ) 3
7 6
2
y
o
2
1 2sin x 3 x
x
3 2
二 、 函 数y sin x与 y sinx 的 图 象 关 系
1 例 二 : 用" 五 点 法" 画 出 函 数 y sin 2 x与 y sin x的 简 图 1 2T=4 解：∵函数y=sin2x的周期T= ∵函数y=sin 2x的周期
1 练 习3： 画 出 函 数 y 2 sin x , x R 的 简 图 。 3
1 解：∵函数y=2sin x的周期T=6 3 ∴在[0,6]上作图令Z= 1 x 31 则x=3Z ,从而2sinZ=2sin x 3
x
1 x 3 1 sin x 3 1 2 sin x 3
0 0 0 0
导入课题：
物理实例：1．简谐振动中，位移与时间的关系
2．交流电中电流与时间的关系
都可以表示成形如：y=Asin(ωx+φ)的解析式
探索研究
一、函数y=Asinx与y=sinx的图象关系
1 例 一 : 用" 五 点 法" 画 出 函 数 y 2 sin x与 y sin x的 简 图 2 解：由于周期T=2 ∴不妨先在[0,2]上作图，列表：
y=sinx
向左>0 (向右<0)
平移||个单位
y=sin(x+)
横坐标缩短>1 (伸长0<<1)到原来的1/倍 纵坐标不变
y=sin(x+)
横坐标不变
y=Asin(x+)
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍
y=Asin(x+) 总结: y=sinx 方法2:(按 ω, , A 顺序变换)
o
1 y sin 2 x 2
x
y=sin2x
方法二:变换法
y=sinx
y
纵坐标不变 1 横坐标缩短为 倍
2
y sin 2 x
横坐标不变
纵坐标缩短为
1 2
1 y sin 2 x 2
y=sinx
o
1 y sin 2 x 2
x
y=sin2x
点评：函数y A sin x的图象既可用“五点法 ”完成 也可由y sin x的图象通过振幅和周期 的变换而得到。
3 sin x , x R 2
2
( 2) y