函数图像的三种变换

函数图像的三种变换
函数在中学数学及大学数学中都是极其重要的内容，函数思想是解决函数问题的理论源泉; 函数的性质是解决函数问题的基础，而函数的图象则是函数性质的具体的直观的反应。

在高中阶段函数图象的变化方式主要有以下三种：
一 、平移变换
函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种：
1、 沿水平方向左右平行移动
比如函数)(x f y =与函数)0)((>-=a a x f y ，由于两函数的对应法则相同，x a x 与-取值范围一
样，函数的值域一样。

以上三条决定了函数的形状相同，只是函数的图象在水平方向的相对位置不同，如何将函数)(x f y =的图象水平移动才能得到函数)0)((>-=a a x f y 的图象呢？因为对于函数)(x f y =上的任意一点（11,y x ），在)(a x f y -=上对应的点为),(11y a x +，因此若将)(x f y =沿水平方向向右平移a 个单位即可得到)0)((>-=a a x f y 的图象。

同样，将)(x f y =沿水平方向向左平移a 个单位即可得到
)0)((>+=a a x f y 的图象。

2、沿竖直方向上下平行移动
比如函数)(x f y =与函数)0()(>+=b b x f y ，由于函数)(x f y =函数)0)((>=-b x f b y 中函数
y 与b y -的对应法则相同，定义域和值域一样，因此两函数形状相同，如何将函数)(x f y =的图象上下
移动得到函数)(x f b y =-的图象呢？因为对于函数)(x f y =上的任意一点（11,y x ），在)0)((>=-b x f b y 上对应的点为),(11b y x +，因此若将)(x f y =沿竖直方向向上平移a 个单位即可得到)0)((>=-b x f b y 的图象。

同样，将)(x f y =沿竖直方向向下平移a 个单位即可得到)0)((>=+b x f b y 的图象。

函数图象的平移变化可以概括地总结为：
（1）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>-=-b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图
象沿水平方向向右平移a 个单位，然后再沿竖直方向向上平移b 个单位即可。

（2）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>+=+b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向左平移a 个单位，然后再沿竖直方向向下平移b 个单位即可。

（3）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>+=-b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向左平移a 个单位，然后再沿竖直方向向上平移b 个单位即可。

（4）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>-=+b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向右平移a 个单位，然后再沿竖直方向向下平移b 个单位即可。

函数图象的平移的实质是有变量本身变化情况所决定的。

3、例题讲解
例1. 为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象上所有的点（ ）
A. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
分析 把函数x y 2=的图象向右平移3个单位，然后再向下平移1个单位，就得到函数123-=-x y 的图象。

故，本题选A 例2 把函数的图象向右平移1单位，再向下平移1个单位后，所得图象对应的函数
解析式是（ ）．
（A ） （B ） （C ）
（D ）
分析 把已知函数图象向右平移1个单位，
即把其中自变量
换成
，得
.
再向下平移1个单位，即得，
故本题选C ．
二、对称变换
图象的对称性是函数在对称区间上值域具有不同特点的直观反应，函数图象的对称性反应在两个方面，一是两个函数图象间的对称情况，二是一个函数图象本身的对称情况。

两个函数图象间的对称情况有两种形式：一是两图关于某条直线对称，二是两图象关于某点呈中心对称。

1、一般地，函数)(x a f y +=与)(x b f y -=的图象关于直线2
a b x -=对称。

证明：在函数)(x a f y +=的图象上任取一点M （00,y x ），则M 关于支线2
a b x -=的对称点为'M
（00,y x a b --）。

∵M(00,y x )在直线)(x a f y +=上，∴00)(y x a f =+，∴
)]([0x a b b f ---=)(0x a f +=0y ，'
M （00,y x a b --）在函数)(x b f y -=上，同理，在函
数)(x b f y -=上任意取一点M ，关于直线2
a b x -=的对称点也在函数
)(x a f y +=的图象上。

上
述结论得证。

2、两个函数图象间的常见的轴对称情况有以下几种情况：对于函数)(x f ：
（1） 关于
y 轴对称的函数解析式为)(x f y -=；
（2） 关于x 轴对称的函数解析式为
)(x f y -=；
（3） 关于x y =轴对称的函数解析式为)()(1y f x x f y ==-或；
（4） 关于
x y -=轴对称的函数解析式为)()(1y f x x f y -=---=-或。

一般地，函数)(x f y =的图象关与点),(b a P 对称的函数图象的解析式为)2(2x a f b y --=对
称。

证明：不妨设),('''
y x M
为)(x f y =的图象上任一点，则)(''x f y =，此点关于点),(b a P 的
对称点为)2,2(''
y b x a M --，满足)2(2x a f b y --=，∴)(x f y =的图象关于点),(b a P 对
称的函数解析式为
)2(2x a f b y --=。

例如：关于原点对称的函数解析式为)(x f y --=。

3、一个函数图象自身的对称情况有两种表现形式：一是轴对称图象；一是中心对称图象。

4、如果一个函数满足
x R a x a f x a f ,),()(∈+=-取到定义域内任一数，则此函数的图象关于
a x = 是轴对称图形。

5、一般地，对于函数)(x f y =在定义域内满足),()(x b f x a f -=+则函数)(x f y =的图象
关于直线2
b
a x
+=
对称。

证明：在函数
)(x f y =上任取一点)
,(00y x M ，则
M
关于直线
2
b a x +=
的对称点为
),(00'y x b a M -+，且)(00x f y =。

∵
00000)()(()]([)(y x f x b b f x b a f x b a f ==--=-+=-+
∴点'
M 在)(x f y =的图象上，
∴函数
)(x f y =的图象关于直线2
b
a x +=
对称。

函数图象呈中心对称图形的函数都是奇函数或由奇函数经过平移后的函数，其对称中心有两种情况，一是对称中心在函数图象上，如函数
R x x y ∈=,3；二是对称中心不在函数图象上，如函数,
1x
y =如
何确定一个函数的对称中心，可以通过为上面的两种形式，如求函数2
3
-+=x x y 的对称中心，可以把函
数转化为2
51-=
-x y 的形式，可以发现它是由函数x y 5=右平移两个单位，然后向上平移1个单位得
到的，因此所求函数的对称中心为（2，1）点。

函数本身的对称性与函数的其他性质有密切的联系。

若一个函数的图象关于
y
轴对称，则其定义域与值域之间存在多对一的映射关系，其对称点为
),(),(y x y x -→；图象关于原点对称的函数其定义域与值域之间存在一一对应的关系，其点的对称特点
为),(),(y x y x --→。

图象关于y 轴对称的函数单调性一般具有双重性，图象关于原点对称的函数单调性一般具有单一性。

图象关于y 轴对称的函数为偶函数，图象关于原点对称的函数为奇函数。

6.例题讲解 例3 作函数
1
1
+=
x y 的图象． 分析 已知函数的定义域为R ，且显然为偶函数．又当0≥x 时，11+=
x y ，它的图象可由x
y 1
=
1的图象向左平移个单位，并截取所得图象在的部分，最后再作所得图形关于轴对称的图形，
即将所要求的函数图象（如图）．
三、伸缩变换
在中学阶段伸缩变换的实质是函数图象的周期及振幅的改变，其主要内容集中在三角函数部分。

在
一些抽象的函数中也存在这种变换，如：已知直线1=x
是函数)2(x f y =图象的一条对称轴，求函数
)3(x f -图象的一条对称轴。