函数图象变换的四种方式
高中数学函数图象的4种简单变换知识点总结(平移、对称、翻折、伸缩)
高中数学函数图象的简单变换知识点总结高中阶段，函数图象的简单变换有：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换。
一、函数图象的平移变换①左右平移变换：()y f x =与()y f x a =+()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向左平移个单位时，向右平移个单位如：1y x =+的图象可由y x =的图象向右平移一个单位得到；1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。
②上下平移变换()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向上平移个单位时，向下平移个单位如：1y x =+的图象可由y x =的图象向上平移一个单位得到。
1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。
【注】变换的口诀为：“上加下减，左加右减”。
二、函数图象的对称变换①()()y y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象②()()x y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象③()()y f x y f x =−−−−−−−−−→=--作关于原点对称的图象如：（i）()sin sin y x y x ϕ=→=+①0ϕ>时，把sin y x =的图象向左平移ϕ个单位得到；②0ϕ<时，把sin y x =的图象向右平移ϕ个单位得到；（ii）已知()2f x x x =-，则()()2g x f x x x =-=+的图象可由()2f x x x =-的图象做关于y 轴对称的图象得到；函数()h x ()2f x x x =-=-+的图象可由()2f x x x =-的图象作关于x 轴对称后的图象得到；函数()()u x f x =--=2x x --的图象可由()2f x x x =-的图象做关于坐标系原点对称的图象得到。
函数图象的四大变换
你会利用图象的直观性来解决问题吗？
函数图象的四大变换
平移
翻折
对称 伸缩
一、知识点及基本方法
1、画函数图象的依据：⑴解析式及定义域；⑵图象变换
2、图象变换类型：常用变换方法有四种，即平移变换、 伸缩变换、对称变换 和翻折变换
(1)平移变换：分为水平平移与竖直平移
y=f(x)
x
x－h ( h > 0 )
练习2：
已知 f(x)=log2|x|, g(x)=－x2+2，则f(x)g(x)的图象
只能是下图中的( )
y
y
y
y
x
x
x
x
A
B
C
D
解析：由f(x)g(x)是偶函数否定A、D，
当x→±∞时，f(x)g(x) →－∞，故选C.
2、画函数图象，由图象求解析式
例2 已知函数y=f (x)是在R上以2为周期的奇函数，在区 间［0,1）上的图象如下图所示，并已知该区间上图象是 一个二次函数的图象的一部分，点(1,1)是其顶点.试作出 y=f (x)在区间［－2,2］上的图象，并求该区间上的解析式.
(3)伸缩变换：
y=f(x)
x
ωx (ω>1)
纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 1 倍 ω
y=f(x)
x
ωx ( 0 < ω < 1)
纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 1倍 ω
y=f(x)
纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1) 到原来的A倍，横坐标不变
y=f(ω x) y=f(ω x)
y= A f( x)
y
y
y
O
1x -1
-1 O
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换①平移变换：(h>0)Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x)h 左移→y=f(x+h)；2）y=f(x) h 右移→y=f(x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x) h 上移→y=f(x)+h ；2）y=f(x) h下移→y=f(x)-h 。
②对称变换：Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； y=f(x) 轴y →y=f(-x)Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y=f(x) 轴x →y= -f(x)Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y=f(x) 原点→y= -f(-x)Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。
y=f(x) x y =→直线x=f(y)Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x)。
③翻折变换：Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到④伸缩变换：Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y=f(x)ay ⨯→y=af(x)Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标压缩(1)a >或伸长（01a <<）为原来的1a倍得到。
函数图像的变换法则
（ 0,1 ）和（ 0,1 ） （ 2,0 ）和（ 2， 2 ）
三﹑对称变换
y
(-x,y) .
(-x,-y) .
(y,x) . .(x,y)
x
.(x,-y)
函数图象对称变换的规律:
1. y f ( x) y f ( x)
关于x轴对称
2. y f ( x) y f ( x)
函数图象变换的应用:
①作图﹑② 识图﹑ ③用图
(2)方程 f(x)－a＝x 的根的个数等价于 y＝f(x)与 y＝x－a 的交点的个数，所以可以借助图像进行分析．
规范解答 解
2 x－2 －1， x∈－∞，1]∪[3，＋∞ f(x)＝ 2 －x－2 ＋1， x∈1，3
作出图像如图所示．
[2 分]
(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)， 递减区间为(－∞，1]，[2,3]． [4 分] (2)原方程变形为 |x2－4x＋3|＝x＋a， 于是，设 y＝x＋a，在同一坐标系下再作出 y＝x＋a 的图 像．如图． 则当直线 y＝x＋a 过点(1,0)时，a＝－1； [6 分]
a a
1 x
a
a ax a a a
x
ax a ax
1 y 1
a a a
x
a
x
x
a a
f (1 x)
所以，函数y=f(x)的图象关于点（1/2,1/2）对称
（2）由对称性知f(1-x)+f(x)=1,所以 f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)=3。
对称变换是指两个函数图象之间的对称关系,而”满足 f(x)= f(2a-x)或f(a+x)= f(a-x)有y=f(x)关于直线x=a对称”是 指一个函数自身的性质属性,两者不可混为一谈.
三角函数图像变换顺序详解(全面)
《图象变换的顺序寻根》题根研究一、图象变换的四种类型从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m，其间经过4种变换：1.纵向平移——m 变换2.纵向伸缩——A变换3.横向平移——变换4.横向伸缩——变换一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样.以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例，讨论4种变换的顺序问题.【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？【解法1】第1步，横向平移：将y = sin x向右平移，得第2步，横向伸缩：将的横坐标缩短倍，得第3步：纵向伸缩：将的纵坐标扩大3倍，得第4步：纵向平移：将向上平移1，得【解法2】第1步，横向伸缩：将y = sin x的横坐标缩短倍，得y = sin 2x第2步，横向平移：将y = sin 2x向右平移，得第3步，纵向平移：将向上平移，得第4步，纵向伸缩：将的纵坐标扩大3倍，得【说明】解法1的“变换量”（如右移）与参数值（）对应，而解法2中有的变换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法1的“可靠性”大，而解法2的“风险性”大.【质疑】对以上变换，提出如下疑问：（1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变？（2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反——如当<0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向）？（3）在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反——如|| > 1时对应着“缩”，而| A | >1时，对应着“扩”？【答疑】对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f()+m 中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式(y+) = f ()，则x、y在形式上就“地位平等”了.如将例1中的变成它们的变换“方向”就“统一”了.对于疑问（1）：在不同的变换顺序中，为什么“伸缩量不变”，而“平移量有变”？这是因为在“一次”替代：x→中，平移是对x进行的.故先平移（x→）对后伸缩（→）没有影响；但先收缩（x→）对后平移（→）却存在着“平移”相关. 这就是为什么（在例1的解法2中）后平移时，有的原因.【说明】为了使得4种变换量与4个参数（A，，，m）对应，降低“解题风险”，在由sin x变到A sin () (> 0) 的途中，采用如下顺序：（1）横向平移：x→（2）横向伸缩：x+→（3）纵向伸缩：sin () →A sin ()（4）纵向平移：A sin () →A sin () + m这正是例1中解法1的顺序.二、正向变换与逆向变换如果把由sin x 到A sin ()+m的变换称作正向变换，那么反过来，由A sin ()+m到sin x变换则称逆向变换.显然，逆向变换的“顺序”是正向变换的“逆”.因为正向变换的一般顺序是：（1）横向平移，（2）横向伸缩，（3）纵向伸缩，（4）纵向平移.所以逆向变换的一般顺序则是：（1）纵向平移，（2）纵向伸缩，（3）横向伸缩，（4）横向平移.如将函数y= 2sin (2－) +1的图像下移1个单位得y=2sin (2x－)，再将纵坐标缩小一半得y=sin(2 x－),再将横坐标扩大2倍得y=sin(x－),最后将图象左移得函数y= sin x.【例2】将y= f (x)·cos x的图象向右平移, 再向上平移1, 所得的函数为y=2sin2 x. 试求f (x)的表达式.【分析】这是图象变换的逆变换问题：已知函数的变换结果，求“原函数”. 我们考虑将“正向变换”的过程倒逆回去而得“逆向变换”的顺序.【解析】将y = 2sin2 x下移1个单位（与正向变换上移1个单位相反），得y = 2sin2 x－1，再将 2sin2x－1左移（与正向变换右移相反）得令f (x)·cos x = 2sin x cos x 得f (x) = 2sin x【说明】由此得原函数为y=f(x)cos x=2sin x cos x=sin2x. 正向变换为sin 2x→2sin2x,其逆变换为2sin2x→sin2x.因为2sin2x=1+sin(2 x－),所以下移1个单位得sin(2 x－),左移得sin2x.三、翻折变换使> 0平移变换x→是“对x而言”，由于x过于简单而易被忽略.强调一下，这里x的系数是+1. 千万不要误以为是由sin(- x)左移而得.其实，x或y的系数变 -1，也对应着两种不同的图象变换：由x→ - x对应着关于y 轴的对称变换,即沿y轴的翻折变换；由f (x) → - f (x)对应着关于x轴的对称变换,即沿x轴的翻折变换.【例3】求函数的单调减区间.【分析】先变换 -3x→3x,即沿y轴的翻折变换.【解析1】，转化为求g(x)=sin(3x－)的增区间令≤≤≤x ≤（f(x)减区间主解）又函数的f(x)周期为，故函数f(x)减区间的通解为≤x ≤【解析2】的减区间为≤≤即是≤x ≤【说明】从图象变换的角度看问题,比较解析1和解析2可知,求f(x)的减区间,实际上分两步进行:(1)先求得f(x)减区间的主解≤x ≤(2)再利用主解进行横向平移(的整数倍)即得f(x)减区间的通解.【思考】本解先将“正数化”，使>0是本解成功的关键. 否则，如果去解不等式组将会使你陷入歧途，不防试试！Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。
函数图像的变换(周期,平移,对称)
函数的变换（平移，对称，翻折，周期）【自主梳理】1．() (0)y f x a a =+>的图象可由()y f x =的图象向 平移单位而得到．() (0)y f x a a =->的图象可由()y f x =的图象向 平移单位而得到． 2．() (0)y f x b b =+>的图象可由()y f x =的图象向 平移单位而得到．() (0)y f x b b =->的图象可由()y f x =的图象向 平移单位而得到． 3．() (0)y Af x A =>的图象可由()y f x =图象上所有点的纵坐标变为 ，不变而得到．4．() (0)y f ax a =>的图象可由()y f x =图象上所有点的横坐标变为 ，不变而得到． 【自我检测】1．若()f x 的图象过(0,1)点，则(1)f x +的图象过点 ． 2．函数2xy =的图象向右平移2个单位所得函数解析式为 ． 3．将函数lg()y x =-的图象 可得函数lg(1)y x =-+的图象．4．函数xy x a =-+的图象的对称中心为(1,1)--，则a = ． 5．将函数1cos 2y x =图象的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标扩大为原来的2倍，所得函数解析式为 ． 6．为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点向左平移 个单位长度，再向 平移个单位长度． 二、课堂活动： 【例1】填空题：（1）设函数()y f x =图象进行平移变换得到曲线C ，这时()y f x =图象上一点(2,1)A -变为曲线C 上点(3,3)A '-，则曲线C 的函数解析式为．（2）如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是．（3）要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需将函数cos2y x =的图象． （4）若函数()2sin y x θ=+的图象按向量(,2)6π平移后，它的一条对称轴是4x π=，则θ的一个可能的值是．【例2】作出下列函数的图象．（1）12x y -= （2）211x y x +=-【例3】（1）函数()24log 12y x x =-+的图象经过怎样的变换可得到函数2log y x =的图象？（2）函数21cos cos 12y x x x =+⋅+的图象可由sin y x =的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【自主梳理】1．（1）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于 对称； （2）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于对称；（3）函数()y f x =--与()y f x =的图像关于 对称． 2．奇函数的图像关于对称，偶函数图像关于对称．3．若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()()f a x f b x +=-，则()y f x =的图像关于直线 对称． 4．对0a >且1a ≠，函数xy a =和函数log a y x =的图象关于直线对称．5．要得到()y f x =的图像，可将()y f x =的图像在x 轴下方的部分以为轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．6．要得到()y f x =的图像，可将()y f x =，[)0,x ∈+∞的部分作出，再利用偶函数的图像关于的对称性，作出(),0x ∈-∞时的图像．3．函数y e =-的图象与函数 的图象关于坐标原点对称．4．将函数1()2x f x +=的图象向右平移一个单位得曲线C ，曲线C '与曲线C 关于直线y x =对称，则C '的解析式为 ．5．设函数()y f x =的定义域为R ，则函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图像的关系为关 于 对称． 6．若函数()f x 对一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，且方程()0f x =恰好有四个不同实根，求这些实根之和为 ． 二、课堂活动：（1（2）对于定义在R 上的函数()f x ，有下列命题，其中正确的序号为．①若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；②若对x R ∈，有(1)(1)f x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线1x =对称；③若函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，则函数()f x 是偶函数；④函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称．（3）将曲线lg y x =向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到曲线C ．如果曲线C '与C 关于原点对称，则曲线C '所对应的函数式是．【例2】作出下列函数的图象：（1）12log ()y x =-；（2）12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（3）2log y x =；（4）21y x =-．【例3】（1）将函数12log y x =的图象沿x 轴向右平移1个单位，得图象C ，图象C '与C 关于原点对称，图象C ''与C '关于直线y x =对称，求C ''对应的函数解析式； （2）已知函数()y f x =的定义域为R ，并且满足(2)(2)f x f x +=-．①证明函数()y f x =的图象关于直线2x =对称；②若()f x 又是偶函数，且[]0,2x ∈时，()21f x x =-,求[]4,0x ∈-时()f x 的表达式．一.周期函数的定义：设函数y=f(x)的定义域为D ，若存在常数T ≠0，使得对一切x ∈D ，且x+T ∈D 时都有f(x+T)=f(x)，则称y=f(x)为D 上的周期函数，非零常数T 叫这个函数的周期。
函数图象的平移,对称,翻折,伸缩变换..
－ ＋ ， 0 ≤ x ≤ 1 即：y＝ 2 4 1 1 x－ － ，x＞1或x＜0 即：y＝ 2 14 1 2
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(2)作出y＝log2x的图象，将此图象向左平移1个单位，得 到y＝log2(x＋1)的图象，再保留其y≥0部分，加上其y<0的部 分关于x轴的对称部分，即得y＝|log(x＋1)|的图象(如上图 右)．
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函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如下图：则函数y＝ f(x)· g(x)的图象可能是( )
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解法二： (1)作出函数y＝2x的图象关于y轴的对称图象，得到 y＝2－x的图象； (2)把函数y＝2－x的图象向左平移3个单位，得到y＝2－x－3 的图象； (3)把函数y＝2－x－3的图象向上平移1个单位，得到函数y ＝2－x－3＋1的图象．
从而可以作出x>0时f(x)的图象，
又∵x>0时，f(x)≥2，
∴x＝1时，f(x)的最小值为2，图象最低点为(1,2)，
又∵f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上是增函数，
1 同时f(x)＝x＋ x (x>0)即以y＝x为渐近线，
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于是x>0时，函数f(x)的图象应为图①，进而得y＝f(x)的 整个图象为图②.
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变式探究 3．函数y ＝ a| x | (a > 1)的图象是( B )
函数图象的变换
函数图象的变换
好象学过
例1. 画出函数
y 3x 7 的图象。
x2
怎y …么1 办的呢图？象！
x
解：y
3x
7
3x
6
1
3
1
x2 x2
x2
y
y1 x
平移变换
o
x
y 3 1 x2
因此：我们可将函数y 1 的图象先沿x轴向左平移2个单位，再 沿y轴向上平移3个单x位得到函数y 3 1 的图象。
x2
纵坐标取相反数 纵坐标不变
同时取相反数
图象关于x轴对称 图象关于y轴对称 图象关于原点对称
例3、 求y x2 2x的图象.
y=(x-1)2-1
例 1：已知f x x2 1 x4 8x2 16, 作出函数图
象并求出函数的值域，判别奇偶性和单调区间。
解: 因为f x x2 1 x2 4 2
函数图象的变换
复习：函数 y (x 1)2 1和 y (x 1)2 2 的图象分别是由 y x 2的图
象经过如何变化得到的？
y y=(x-1)2+1
y=x2
平
y=(x+1)2-2
移
变
o1
x
换
解：（1）将y=x2的图象沿x轴向右平移一个单位，再沿y轴方向向上平 移一个单位得y=(x-1)2+1的图象。
（2）将y=x2的图象沿x轴向左平移一个单位，再沿y轴方向向下平 移两个单位得y=(x+1)2-2的图象。
函数图象的变换
小结（平移变换）：
1. 将函数y=f(x)的图象向左（或向右）平移|k|个单位 （k>0时向左，k<0向右）得y=f(x+k)的图象。
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函数图象变换的四种方
式
集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
函数图象变换的四种方式
一，平移变换。
（1）水平平移：
要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x+a)的图象，只要将f(x)的图象向左平移a个单位。
要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x-a)的图象，只要将f(x)的图象向右平移a个单位。
（简记：左加右减，这里的a>0。
）
（2）上下平移：
要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)+a的图象，只要将f(x)的图象向上平移a个单位。
要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)-a的图象，只要将f(x)的图象向下平移a个单位。
（简记：上加下减，这里的a>0）
二，对称变换。
（1）y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称。
所以由f(x)的图象得到f(-x)的图象，只需将f(x)的图象以y轴为对称轴左右翻折就可得到f(-x)的图象。
(简记：左右翻折)
（2）y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 x轴对称。
所以由f(x)的图象得到-f(x)的图象，只需将f(x)的图象以x轴为对称轴上下翻折就可得到-f(x)的图象。
(简记：上下翻折)
（3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称。
所以由f(x)的图象得到-f-(x)的图象，只需将f(x)的图象以原点为对称中心旋转180度就可得到-f(-x)的图象。
(简记：旋转180度)
三，翻折变换。
（1）如何由y=f(x)的图象得到y=f(|x|)的图象？
先画出函数y=f(x) y轴右侧的图象，再作出关于y轴对称的图形
（简记：右不动，左对称）
（2）如何由y=f(x)的图象得到y=|f(x)|的图象？
先画出函数y=f(x)的图象，再将x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方去。
（简记：上不动，下上翻）
四，伸缩变换。
(1)如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=af(x)的图象？（a>0）
可将函数f(x)的图象上每个点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不改变，就可得到函数af(x)的图象。
（2）如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(ax)的图象？（a>0）
可将函数f(x)的图象上每个点的横坐标变为原来的1/a倍，纵坐标不改变，就可得到函数f(ax)的图象。