高联班几何测试
高联班几何测试题23
从而，∠OBF=∠ABE-∠OBA=∠A-(90°-∠C)= 90°-∠B=∠BCH.
同理∠DCF=∠CBH.
∠OBH=∠OBC-∠HBC=90°-∠A-(90°-∠C)= ∠C-∠A=∠BCF.
同理∠OCH=∠CBF.
故式○1 成立，证毕.
23-5 锐角△ABC 内接于☉O，点 E、D 分别在边 BC 的延长线上及其反向延 长线上，使得 CE=BD.作 DF⊥BC,EK⊥BC，点 F、K 与 A 直线 BC 的同侧,且∠BAF= ∠CAK.AM 为☉O 的直径.求证: ∠DFM=∠AMK.
则点 M、T 在以 BD 为直径的圆☉O1 上，点 N、L 在以 CE 为直径的圆☉O2 上.
因 B、C、N、M 四点共圆. 则 H1M·H1B=H1N·H1C， 即 H1 对圆☉O1、☉O2 的幂相等，H1 在☉O1、 ☉O2 的根轴上. 又 D、E、L、T 四点共圆. 则 H2T·H2D=H2L·H2E， 即 H2 对圆☉O1、☉O2 的幂相等，H2 在☉O1、 ☉O2 的根轴上. 因 BO1=CO2,∠O1BK=O2CK,BK=CK, 则△BO1K≌△CO2K,KO1=KO2.
证明 如图，设直线 MB 交 AF、FD 分别于 X、N, MC 与 AK 交于点 Y，点 X、A、 O、M、Y 在直线 BC 上的投影分别为 U、H、P、G、V.
因 XU∥FD∥AH,则 㐶 = ,
因 XU∥MG, Rt△BMG∽Rt△AMC,
则= = .
t
t
所以， 㐶 = t ,
同理，Biblioteka =㤲 t.
高联班几何测试题（23）
时间：150 分钟
命题人：万喜人
23-1 在△ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 上，且 BD=CE，BE 与 CD 交于点 F.
高联班几何测试题
高联班几何测试题（11）时间：180分钟 命题人：万喜人11-1 在△ABC中，点D、E均在边BC上，BD=CE，点F、G，分别在AB、AC上，直线FE与GD交于点K.FD与GE交于点V，直线AK、AV分别与BC交于点L、T.求证：BL=CT.11-2 已知△ABC的外接圆⨀O，∠BAC的平分线交⨀O于点D(D≠A)，过B、C两点的圆与边CA、AB的第二个交点分别为E、F，BE与CF交于点P，过A、E、F三点的圆与⨀O交于点A、K，DK与BC交于点T.求证：PT//AD.11-3 △ABC的外接圆为⨀O，点D在⨀O上，点E、F分别在AB、AC上，⨀O中的弦MN使得AD//EF//MN//BC.直线AM与EF交于点P，直线DP与⨀O的第二个交点为K.求证：E、F、N、K四点共圆.11-4 圆Γ为△ABC 的外接圆，点D 为BAC 的中点，点E 、F 在直线AD 上，使得DE=DF ，点E 、B 在线段BC 的中垂线的同侧，ET ⊥AB 于点T ，点P 是点T 关于AB 的中点的对称点，FV ⊥AC 于点V ，点K 是点V 关于AC 的中点的对称点，EK 与FP 交于点N ，直线DN 与圆Γ的第二个交点为M.求证：P 、N 、K 、M 四点共圆.11-5 △ABC内接于⨀O，点P是BC的中点，点D、E分别在射线PB、PC上，使得PD=PE，⨀O的弦MN//BC，点M、B在线段BC的中垂线的同侧，点F、G分别在直线AM、AN上，且FD⊥BC，GE⊥BC，作FL⊥AC于点L，GT⊥AB于点T，DL与ET交于点K，求证：AK⊥BC.GF高联班几何测试题（12）时间：180分钟 命题人：万喜人12-1 在△ABC中，AB+AC=2BC，P为∠BAC的角平分线上一点，PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点 E，PF⊥AB于点 F，直线 DP与 EF交于点 K.求证：EK∙FK= 3PK3.12-2 已知△ABC ，直线d 、t 分别平分∠BAC 及其外角，点D 在直线d 上，直线DB 与t 交于点E ，直线DC 与t 交于点F ，作MN//BC 交AB 、AC 分别于点M 、N.直线EM 与FN 相交于点K ，DK 与BC 相交于点P .求证：BP=PC.t12-3 锐角△ABC 中，H 为垂心，过点B 、C 的⨀P 交CA 、AB 分别于点D 、E ，BD 与CE 交于点F ，点P 关于BC 的对称点为K.求证：FP//HK.B12-4 △ABC 内接于⨀O ，点P 是BC 的中点，点D 、E 分别在射线PB 、PC 上，使得PD=PE.⨀O 的弦MN//BC ，点M 、B 在线段BC 的中垂线的同侧，点F 、G 分别在直线AM 、AN 上，且FD ⊥BC ，GE ⊥BC.作FT ⊥AB 于点T ，GL ⊥AC 于点L ，直线DT 、EL 交于点K.求证：AK ⊥BC.G12-5 点P 、Q 是△ABC 内部的等角共轭点，延长AP 交△ABC 的外接圆圆Γ于点D ，过点P 、D 的一个圆交BC 于点E 、F ，直线DE 、DF 与圆Γ的第二个交点分别为M 、N.求证：M 、Q 、N 三点共线.。
高联班几何测试题63
高联平面几何测试（63）
时间：120分钟命题人：万喜人
63-1已知△ABC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=BC=CE,T 为△ABC的∠A内的旁心，直线AT交△ABC的外接圆φ于点F(F≠A),交△ADE的外接圆ε于点K(K≠A).求证：TF=TK.
63-2已知△ABC，垂心H,外心O,H关于O的对称点K,直线AK与BC交于D,DE⊥AC于点E,DF⊥AB于点F.求证：AD、BE、CF三线共点或互相平行.
63-3锐角△ABC中，AB≠AC,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE与CF交于点H.取点B关于AC的对称点T,点C关于AB的对称点V,M、N分别为BC、TV 的中点.MN与AH交于点K.求证：AK=KH.
63-4在△ABC中，P为BC的中点，点M、N分别在射线PB、PC上，PM=PN,点E、F满足∠BAE=∠CAF,EM⊥BC,FN⊥BC,作EU⊥AB于点U,FV⊥AC于点V,直线UM与VN交于点K.求证：AK⊥BC.
63-5在△ABC中，AB≠AC,点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，AE=AF,AD、BE、CF三线共点于P,DT⊥EF于点T,TP与BC交于点N.△ABC的外接圆φ与△AEF 的外接圆ε交于点A、K,M为BC的中点.求证：直线AM与KN的交点在圆φ上.。
高联班几何测试6图片调整打印了
高联班几何测试题（6）时间：150 分钟命题人：万喜人6-1 圆ε与圆δ相交于点 A、B,直线 CD 交圆ε于点 C、D,交圆δ于点 E、F,点C、E、F、D 在直线 CD 上顺次排列，直线 AE 与BD 交于点 G,BF 与AC 交于点 H.求证：HG∥CD.证明如图，联结AB、AD、AF、BE、BC.因为∠DAF=180°-∠ADF-∠AFD=180°-（180°-∠ABC）-∠ABE=∠CBE,又∠FAE =∠FBE, ∠DAC = ∠DBC,所以，∠GAH =∠GBH,从而，A、B、H、G 四点共圆.所以，∠AHG =∠ABG =∠ACD,故HG∥CD.6-2. 已知△ABC,点D、E 分别在 AB、AC 上，∠AED=∠ABC,圆（BD）（表示以 BD 为直径的圆）与圆（ABC）(表示过 A、B、C 三点的圆)交于点 B、F, 圆（CE）与圆（ABC）交于点 C、T,圆（ADE）与圆（BD）交于点 D、P, 圆（ADE）与圆（CE）交于点 E、K.求证：P、K、T、F 四点共圆.证明联结线段如图所示.因∠FPK=360°-∠FPD-∠DPK= 360°-∠FBD-(180°-∠DEK)=180°-(∠FBC-∠ABC)+∠AEK-∠AED=180°-(180°-∠FTC)+180°-∠CEK(因∠AED=∠ABC)=180°-(∠CTK-∠FTC)=180°-∠FTK,即∠FPK+∠FTK=180°,所以，P、K、T、F 四点共圆.D 㠳6-3. 在△ABC 中，∠BAC 为锐角，P 为△ABC 的外接圆☉O 上一点（不与 A 、B 、C 重合），直线 AB 与 CP 交于 E,AC 与 BP 交于 F,线段 BC 的中垂线交 BC 、B ˆC (不含点 A)、EF 分别交于点 M 、D 、N.求证：D 䘐 D 㠳 =cos ²BtC .证明 设☉O 过点 B 、C 的切线交于点 N /，联结 BD 、CD.对圆内接六边形 ABBPCC,由帕斯卡定理知：E 、N /、F 三点共线，即点 N /在直线 EF 上.又 N /B=N /C,点 N /在 BC 中垂线上，所以，点 N /与 N 重合，因∠NCD=∠DBC=∠DCM,则 D 䘐= C 䘐 = cos ²㠳C 䘐 = cos ²BtCD 㠳 C 㠳 注：若∠BAC 为钝角，则D 䘐 =− cos ²BtC.6-4. 四边形 ABCD 外切于圆 I,AC 与BD 交于点 E,P 为IE 的中点，过点 I 作FK⊥AC交AB、AD 分别于点 F、K,过点 P 作GH⊥AC交AB、AD 分别于点 G、H.求证：BG·DH=FG·KH.证明设AB、BC、CD、DA 与圆I 分别切于点M、N、L、T,IB、ID 分别与GH交于点U、V.设直线MT 与BD 交点X1(可能X1是无穷远点)，NL 与BD 交点X2.由梅涅劳斯定理得BX1 ·DT ·t䘐 = 1 = BX2 ·DL ·C㠳,X1D Tt 䘐 B X2D LC 㠳 B因 DT=DL,TA=AM,LC=CN,MB=NB，则BX1 = BX2 .X1D X2D从而，X1 与 X2重合，统一记为 X.因 X 在点 A 关于圆 I 的极线 MT 上，由配极原理知点 A 在点X 的极线上.同理，点 C 在点X 的极线上.所以，直线 AC 是点X 关于圆 I 的极线.故IX⊥AC.又过 I 的直线FK⊥AC,所以，F、K、X 三点共线.因AB、AC、AD、AX 是调和线束，则B、E、D、X 是调和点列，从而 IB、IE、ID、IX 是调和线束，因为GH∥IX(都与 AC 垂直)所以，PU=PV.又 PI=PE,则四边形 IUEV 是平行四边形，从而，UE∥ID,EV∥BI.故B= Bt = BE = I‴ = KѸ ,F It DE D‴DѸ所以，BG·DH=FG·KH.sin α+þ sin α+y IT· cot α+þ IT· cot α+y cos α+þ sin α+þ sin α+y cos α+y sin α+þ · sin þ sin α+y sin y sin α+y sin þ sin α+þ sin yIT· sin α cos 2α+2y sin α+þ sin y 6-5. 在△ABC 中，AB=AC,点 D 、E 不在直线 BC 上，使得 BD=AB,CE=AC, ∠DBC 和∠ECB 两角的平分线交于点 I,过点 I 作 IF⊥AD 交直线 DB 于点 F,过点 I 作 IK⊥AE 交直线 EC 于点 F.直线 BK 与 CF 交于点 P.求证：IP⊥BC.证法 1 如图，点 D 、E 和 A 均在直线 BC 的同侧（若点 D 、E 均和 A 在直线 BC 的异侧，或点 D 、E 位于直线 BC 的两侧，证明类似. ）可设∠ABC=∠ACB=2α，∠ABD=2β，∠ACE=2γ.因 BD=AB,IF⊥AD,则∠BFI=β，∠BIF=∠DBI -∠BFI=α，同理，∠CKI=γ，∠CIK=α. 由正弦定理得 IC = CK , IB = BF ,IC = ，sin y sin α sin þ sin α IB 所以，CK= sin α+þ · sin þ.BF sin α+y · sin y 作 IT⊥BC 于点 T,IT 交 BK 、CF 分别于点 P 1、P 2,作 FM⊥BC 于点 M,KN⊥BC 于点 N.只要证明 P 1 与 P 2 重合即可， 这只要证明TP 1=TP 2.因 TP 1∥KN, TP 2∥FM,所以，TP 1 =BT·K 㠳 B 㠳 ,TP 2 =CT·F 䘐 . C 䘐TP =TPBT·K 㠳 = CT·F 䘐 1 2 B 㠳 C 䘐B T·K 㠳= B 㠳 ○1 CT·F 䘐C 䘐 BT·K 㠳= · CT·F 䘐= · · ·= ○2 因 CN=CK cos 2α + 2y =IC· sin α· c os 2α + 2y sin y=，则 CT+CN=IT·cos α+y sin α+y+ IT· CK· sin 2α+2y BF· sin 2α+2þsin 2α+2y sin 2α+2þ sin α cos 2α+2ysin α+y sin ycos α+þsin α+þsin α+y sin þsin α+þ sin y=IT·cos α+y sin y+sin α cos 2α+2ysin α+y sin y=IT·sin α+2y −sin α+sin 3α+2y −sin α+2y2 sin α+y sin y=IT·cos 2α+y.sin y从而，BN=BT+CT+CN=IT·+=IT·sin α+þ+y −sin α+þ−y +sin 3α+þ+y −sin α−þ+y，2 sin α+þ sin y同理，CM=IT·sin α+þ+y −sin α−þ+y +sin 3α+þ+y −sin α+þ−y2 sin α+y sin þ所以，B㠳= ○3C䘐由式○2 、○3 知式○1 成立.证毕.证法2 如图，点D、E 和A 均在直线BC 的同侧（若点D、E 均和A 在直线BC 的异侧，或点 D、E 位于直线 BC 的两侧，证明类似）可设∠ABC=∠ACB=2α，∠ABD=2β，∠ACE=2γ.因BD=AB,IF⊥AD,则∠BFI=β，∠BIF=∠DBI-∠BFI=α，同理，∠CIK=α.设直线 BD 与CE 交于点 Q(Q 可能是无穷远点).点 S 在直线 IQ 上，且在∠BIC 内部.对四边形 IBQC,由∠BIF=∠CIK（都=α）知，IP、IQ 是∠BIC 的等角共轭线，即∠BIP=∠CIS=90°-（α + β）（注意 I 为△QBC的旁心或内心）又∠IBC=α + β,所以，∠BIP=∠IBC=90°.故IP⊥BC.cos 2α+ysin y。
高联班几何测试54-5 题
高联班几何测试题（54）
时间：120分钟命题人：万喜人
54-1在四边形ABCD中，△ABC、△ADC的垂心分别为H
1、H
2
,直线BH
1
与AD
交于点M,直线DH
2与CB于点N,MN与AC交于点P.求证：H
1
、P、H
2
三点共线.
54-2I为△ABC的内心，过B、C两点的圆交AB、AC分别于点D、E.F为AD的中点，J为△ADE的内心，直线FJ与DE交于点K,KP∥AB交直线AJ于点P.求证：I、P、C、E四点共圆.
54-3锐角△ABC内接于圆φ，点D、E、F、分别在边BC、CA、AB上，满足BF=DF,CE=DE,点M在圆φ上，满足AM⊥BC，直线MD交圆φ于点M、K，求证A、F、E、K四点共圆.
54-4延长☉O的直径AB至点P，过点P作一直线交☉O于点C、D（PC<PD）.作PE⊥AB于点E，PF⊥AB于点F，CF、DE与☉O的第二个交点分别于点M、N.求证：M、N、P三点共线.
54-5△ABC内接于圆Γ，P为△ABC内一点，P在边BC、CA、AB上的射影
、BAC 分别于点M、N,AM交直线EP、FP分别于T、分别为D、E、F.直线DP交BC
K.☉(ANT)与AB交于点A、U.☉（ANK）与AC交于点A、V.求证：UV∥BC。
高联班几何测试20 (2)
高联班几何测试（20）
时间：150 分钟命题人：万喜人
20-1在锐角△ABC的外接圆φ中，弦DE∥BC,直线 BD 与CE 交于点 F,BE 与CD 交于点 K.求证：∠BAK=∠CAF.
20-2定☉O的定弦 AB,动点 C 在☉O上（不与点 A、B 重合），BD⊥AC于点D,E 为BD 的中点，直线 CE 交☉O于C、F.求证：点
F 为定点.
20-3已知△ABC 中，过点 B、C 的圆与 AB、AC 还分别交于点 D、E,过 A 作直线交D⌃t、B⌃㴘分别于点 F、K,任意直线 X Y∥AC,交 CK、CF、EK、EF、BC、D E 分别于点 X、Y、U、V、M、N.求证：MX = NV.
MY NU
20-4等腰△ABC中，AB=AC,过点 B、C 的一个圆φ还与 AB、AC 相交于点 D、E.点 F 在D⌃t上，作 DN∥CF，交直线 AF、AC 分别于点 M、N.作 BV∥EF,交直线AF、AC 分别于点 U、V.DN 与BV 相交于点 P.求证：
BU·DM=PV·PN.
20-5四边形 ABCD 内接于圆φ，且AD∥BC,AC与BD 交于点 P,E 为A⌃D（不含点B、C）的中点，F 在BA 的延长线上，直线 FE 与DC 交于点 K,直线 FC 与BK 交
于点 N.求证：直线 PN 与 FK 的交点在圆φ上.。
高联班几何测试题
KE A
F
C B
M
D
2
长沙万喜教育
5. 如图，凸四边形 ABCD 内接于圆，AC 与 BD 交于点 P，作 PE∥DA，PF∥CB， PE、PF 交不含点 C 的弧������������分别于点 E、F，直线 EF 交 DA、CB 分别于点 M、N.
求证：������������ = ������������
D
lA
F
lA
F
D
E
E
B
C
B
C
1
长沙万喜教育
3. 在△ABC 中，∠BAC= 600 ，D 是△ABC 外接圆弧 AB （不含点 C）的中点. 延长 CB 至 E，使 BE=AB. 求∠BED 的度数.
A
D
E
B
C
4. 从⊙O 外一点 P 作⊙O 的两条切线，A、B 为切点，再过 P 作⊙O 的一条 割线，交⊙O 于点 C、D（PC﹤PD）. K 是 AC 上一点， KB 交 AC 于点 E，作 EF ∥CD，交 KD 于点 F. 直线 AF 与 CD 交于点 M. 求证：CM=MD.
������������ ������������
.
M
A
E D
F P
N
B
C
6. 已知△ABC，内切圆☉I 与 BC 切于点 T，D 为边 BC 上一点，△ABD 和△ACD 的内切圆☉I1 和圆☉I2 不同于 BC 的外公切线 PQ 与☉I1、☉I2 分别切于点 P、Q, 直线 BP 与 CQ 交于点 K. 求证：TK、PQ、AD 三线共点.
A
K
P
Q I
I1
I2
B
TD
C
高联班几何测试题1811
高联班几何测试题（18）时间：120分钟命题人：万喜人的中点，点D关于BC的对称点为K,延18-1点D为△ABC的外接圆的弧 th长AB至E,使BE=AC,延长AC至点F,使CF=AB.求证：E、F、K三点共线.证明当AB=AC时，易知结论成立.当AB≠AC时，不妨设AB＜AC.如图，作平行四边形BACP.因BP=AC=BE,∠EBP=∠A,则∠BPE=90°- ∠A.同理，∠CPF=90°- ∠A.又∠BPC=∠A,所以，∠BPE+∠BPC+∠CPF=∠180°点P在直线EF上.且∠BPE=∠CPF,EF是∠BPC的外角平分线.作△BCP的外接圆交EF于点P、K/,联结BK/、CK/、BD、CD.则∠K/BC=∠CPF=90°- ∠A=∠BPE=∠K/CB.又∠DBC=∠DCB=90°- ∠A，所以，△K/BC≌△DBC.从而，点K/、D关于BC对称.故点K/与K重合.于是，E、F、K三点共线.注：类似命题在△ABC中，AB＜AC,延长AB至E,使BE=AC,在AC上取点F,（不含A）的中点，点使CF=AB,点D为△ABC的外接圆的弧 hD关于BC的对称点为K.求证：E、F、K三点共线.18-2已知△ABC，AB≠AC,∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于D（D不同于A），点D关于BC的对称点K.点E、F分别在AB、AC上，使得BE=CF,BF与CE交于点P.求证：PK∥AD.证明如图，可设DK与BC互相垂直平分于点T,联结AT并延长至点S,使TS=TA,联结KS、PS、SC、SB.延长SB、CE使之交于点V.因TD=TK,TA=TS,则SK∥AD.因为四边形ABSC是平行四边形，则 h ㌰= 〸 ㌰=h뵸 ㌰=ht t㌰SP平分∠CSB.又因AD平分∠BAC由平行四边形ABSC的性质得SP∥AD.所以，S、P、K三点共线，且PK∥AD.18-3已知△ABC，AB≠AC,AD⊥BC于点D,作DE∥AC交AB于点E,EF∥BC交AD于点F,DK⊥BF于点K,M、N分别为BC、AD的中点.求证：D、M、K、N四点共圆.证明如图AB＞AC,联结KM、KN.因M、N分别为BC、AD的中点，则2DM=BD-CD,2FN=DF-AF.因DE∥AC,EF∥BC,则 体h体= 〸t〸=体뵸t뵸 体体뵸=h体t뵸= 体㔮h体体뵸㔮t뵸=体t뵸賀又因Rt△BDK≌Rt△DFK,则体㘹뵸㘹= 体体뵸=体t뵸賀.结合∠MDK=∠NFK得△DKM∽△FKN.∠DKM=∠FKN∠MKN=∠DKF=90°=∠NDC,故D、M、K、N四点共圆.18-4在△ABC中,O为外心,点D在边B C上，过点A作直线d⊥AD,作BE ⊥BC交d于点E,作CF⊥BC交d于点F,作EP⊥AB,FP⊥AC,EP与FP相交于点P.求证：点O为线段PD的中点.证明如图，设直线AD、d与△ABC的外接圆☉O的第二个交点分别为M、N.因d⊥AD,则MN为☉O的直径.设BE、CF与☉O的第二个交点分别为T、L,则四边形BCLT为矩形，BL为☉O的直径.=賀 .所以， t作NP/⊥EF交TL于点P/,联结TN、EP/.则E、T、P/、N四点共圆.故∠P/EN=∠P/TN=∠BAM.结合EA⊥AM知EP/⊥AB.同理FP/⊥AC,所以，点P/与P重合.联结BM、CN,作MK⊥BC于点K,KV∥BC交BE于点V.因∠PEF=∠BAM=∠MCB,同理∠PFE=∠MBC,所以，△PEF∽△MCB,PN、MK是对应边上的高，从而，t賀t㘹=〸뵸 h.因MD⊥EF由MK⊥BC,BC∥FV知MK⊥FV，则∠EFV=∠DMK.所以，Rt△FVE∽Rt△MKD,从而，t体t㘹=〸뵸뵸㌰=〸뵸 h.故PN=MD,且PN∥MD.注意到O为MN的中点得P、O、D三点共线，且点O为线段PD的中点.、 th 的中点，D为直线BC一点，18-5△ABC内接于☉O，M、N分别为 hDE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F,ND与☉O的第二个交点为K,联结EF、AK,作KP⊥AK交AM于点P.求证：PD⊥EF.证明如图，不妨设AB＜AC(当AB=AC时，证明更容易).作△AKP的外接圆☉T,AB、AC的第二个交点分别为V、U,VU与BC交于点D/,AD与EF交于点X,联结线段如图所示.因∠AKP=90°，则T是AP的中点.的中点，则∠VAP=∠UAP,AV=AU.因M为 h考虑△ABC被直线VD/U所截，由梅涅劳斯定理得体 体 h·h t·t賀㌰ = ，体体 h=㌰ h .的中点，则KD平分∠BKC.因N为 th体体h=BK h㘹.因∠KVB=∠KUC，∠VBK=∠UCK,则△KVB∽△KUC.㌰ h = 㘹h㘹.故 体 体 h= 体体h D/与D重合，即V、D、U三点共线.所以，∠FDU=∠AVU=∠FUD.又四边形AEDF是平行四边形，于是，AE=DF=UF.又AT=UT,∠EAT=∠TAU=∠FUT.所以，△TAE≌△TUF TE=TF.注意X为EF的中点，得TX⊥EF.又TX为△APD的中位线，TX∥PD,所以，PD⊥EF.。
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则 A⟶ E,B⟶ F,C⟶ G,D⟶ H,L⟶ T,U⟶ V. 于是 UL∥VT. 由熟知结论得点 K 关于☉O2 的极线为 UL,从而，UL⊥KO2. 故 VT⊥KO2.
高联班几何测试题（52）
时间：120 分钟
命题人：万喜人
52-1 在△ABC 中，AB≠AC,点 D、E、F 分别在边 BC、CA、AB 上，AE=AF,AD、 BE、CF 三线共点于 P,DT⊥EF 于 T,△ABC 的外接圆φ与△AEF 的外接圆ε相交于点 A、K,直线 AT 交圆φ交于点 A、V, 圆φ的过 BC 的切线相交于点 X.求证：K、V、X 三点共线.
证明 如图，作 BL⊥EF 于点 L, CJ⊥EF 于 点 J,联结线段如图所示.
对△ABC 及点 P,由塞瓦定理得 Ⰸ · tt
Ⰸt t
又 AF=EA
所以，tt tⰈ .
t
又因 BL∥DT∥CJ,
由 AE=AF 得∠BFL=∠CEJ
⟹ Rt△BFL∽Rt△CEJ.
所以， t tt tⰈ Ⰸ
t㔠Ⰸ
tt
52-3 ☉O1 与☉O2 外切于点 P,点 K 在☉O1 上，过点 K 任作一直线交☉O2 于 点 A、B,直线 AP、BP 与☉O1 的第二个交点分别为 E、F. 过点 K 作另一直线交☉ O2 于点 C、D,直线 CP、DP 与☉O1 的第二个交点分别为 G、H,直线 EH 与 FG 交于点 T, 直线 EG 与 FH 交于点 H.求证：VT⊥KO2.
证明 如图，设直线 BE、CF 分别交直线 AD 于点 T、K，设直线 FE 交 AD 于点 P,AM 交 BC 于点 N.
因 AE⊥BM,AF⊥CM,AD⊥AM. 则 A、E、M、F 四点共圆.AD 为其 切线. 因∠PET=∠MEF=∠MAF=∠K, 则 E、F、K、T 四点共圆. 于是，AP2=PE·PF=PT·PK. 因(B,C;N,D）为调和点列， 则 M(B,C;N,D）为调和线束. 从而，(T,K;A,D）为调和点列， 于是，P 为 AD 的中点，即直线 FE 平分线段 AD.
证明 （1）如图，过点 P 作☉O 的另一切线（ 上一点.联结线段如图所示.
因 OK⊥PK,OA⊥PA,OE⊥PE,则 P、A、O、K、E 五点共圆. 所以，∠PEA=∠PKA=∠KBA, 又∠PAB=∠T, 则∠APE=180°-∠PAB=180°-∠T=∠AKB 从而△APE∽△AKB, 故∠EKP=∠EAP=∠BAK. 又因∠MKC=∠CAK, 所以，∠EKC=∠CAB=∠EDC.
52-5 PA 与☉O 相切于点 A,AB 是☉O 的弦，PB 交☉O 于点 B、C,PD∥AB 交 AC 的延长线于点 D,作 OE⊥PD 于点 E, ☉(CDE) (表示过 C、D、E 三点的圆)与☉ O 点 C、F,PF 交☉(CDE) 于点 F、M，点 N 为 PA 的中点.求证：（1） PF 是☉O 的 切线；（2） D、M、N 三点共线.
52-4 在△ABC 中，点 E、F 均在形内，且∠ABE=∠CBF, ∠ACF=∠BCE,点 A 在直线 BE、CE、BF、CF 上的射影分别 为 M、N、U、V,直线 MN 与 UV 交于点 P,AP 与 BC 交于点 K.求证：（1） AK⊥EF,( 2) AP=PK.
证明 （陕西省西安市铁一中杨运新解答） （1）因 AM⊥BE,AN⊥CE,则 A、M、E、N 四点共圆，此圆圆心为 AE 的中点 S, 简记☉S. 因 AU⊥BF,AN⊥CF, 则 A、F、U、V 四点共圆，此圆圆心为 AF 的中点 T,简记 ☉T. 因 E、F 为△ABC 内的等角共轭点，则可设∠BAE=∠CAF=α,∠ABE=∠CBF=β， ∠ACF=∠BCE=γ,△ABC 的三内角简记为∠A、∠B、∠C. 因 A、M、E、N,A、B、U、M 分别为四点共圆， 则∠PMU=∠NME+∠BMU=∠NAE+∠BAU=90°-∠CAE-∠ACE+90°-∠ABF = 90°-（∠A-α）-（∠C-γ）+90°-（∠B-β）=α + β + γ . 类似地，∠PUM、∠PVN、∠PNV 都等于α + β + γ .
于是，四边形 MVNU 是等腰梯形或矩形. 从而，M、V、N、U 四点共圆⟹ PM·PN =PV·PU, 即点 P 对☉S 与☉T 的幂 相等，P 在☉S 与☉T 的根轴上. 又点 A 是☉S 与☉T 的公共点，点 A 在☉S 与☉T 的根轴上. 所以，直线 AK 是☉S 与☉T 的根轴，AK⊥ST. 又因 ST 是△AEF 的中位线，ST∥EF. 故 AK⊥EF.
(2)设 AB、AC 的中点分别为 J、L. 因四边形 MVNU 是等腰梯形或矩形，则 MU 与 VN 有公共的中垂线 g,点 P 在直 线 g 上.
因 JM= AB=JU,则点 J 在直线 g 上.
同理，点 L 在直线 g 上. 从而，g 是△ABC 中平行于 BC 的中位线所在的直线. 所以，AP=PK.
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Ⰸt sin Ⰸ t t .
t sin t
因∠ABK=∠ACK, ∠AFK=∠AEK⟹∠BFK=∠CEK, 则△BFK∽△CEK
故tt tⰈ t .
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因为 XB、XC 为圆φ的切线. 所以，K、V、X 三点共线.
52-2 在△ABC 中，AB＞AC,∠BAC 的外角平分线交 BC 于点 D,点 M 在∠BAC 的平分线上，AE⊥BM 于点 E,AF⊥CM 于点 F.求证：直线 FE 平分线段 AD.
点 K 在☉(CDE)上. 于是，点 K 是☉(CDE)与☉O 除点 C 外的第 二个交点，点 K 与 F 重合. 所以，PF 是☉O 的切线. （2）因∠DPC=∠ABC=∠PAC, 则 DP2=DC· DA,即点 D 对点圆 P 与☉O 的幂相等，点 D 在点圆 P 与☉O 的根 轴上. 又∠MDC=∠MFC=∠FAC,则 DM∥AF. 因点圆 P 与☉O 的根轴是过 PA、PF 中点的直线，平行于 AF,也就是说，过点 圆 P 与☉O 根轴上一个点且平行于 AF 的直线就是根轴. 所以，D、M、N 三点共线，此直线为点圆 P 与☉O 的根轴.