《变分法》课程教学大纲
数学物理方法课程教学大纲
4. Be familiar with the calculus of variations;
5. Apply the method of conformal mapping to solve related physics problems;
数学物理方法（2）
Mathematical Physics (2)
*课程性质
（Course Type）
培养计划课程
Required Course
授课对象
（Target Audience）
*授课语言
(Language of Instruction)
中英文双语
Chinese and English
*开课院系
（School）
物理与天文学院
School of Physics and Astronomy
先修课程
（Prerequisite）
高等数学（1），高等数学（2），物理学引论（1），物理学引论（2）
Calculus I, Calculus II, Introduction to Physics I, Introduction to Physics II
《数学物理方法（2）》课程教学大纲
Mathematical Physics (2)Course Outline
课程基本信息（Course Information）
课程代码
（Course Code）
PH239
*学时
（Credit Hours）
64
*学分
（Credits）
《一阶变分变分法》课件
control theory.
1st Order Variations
1
Euler-Lagrange equation for
2
1st order variations
The Euler-Lagrange equation provides
necessary conditions for extrema of
Conclusion
1 Recap of key
principles
Summarize the key concepts and principles of variation calculus.
2 Limitations and
future developments
Discuss the limitations of
1 What is variation
calculus?
Variation calculus is a mathematical discipline that deals with functional variations and optimization.
2 Use of variation
calculus
First order variations are used to analyze the motion of particles and systems.
Calculus of variations in economics
Variational principles help optimize economic processes and models.
Optimal Control Theory
Definition of optimal control theory
变分法与有限元—教学大纲
变分法与有限元—教学大纲课程名称：变分法与有限元课程编号：08100200英文名称：V ariational Principles and Finite Element Method学时：56学时学分：3.5学分开课学期：第六学期适用专业：工程力学课程类别：理论课课程性质：专业方向限选课先修课程：高等数学、材料力学、弹性力学、数值分析教材：暂无，拟自编一、课程的性质及任务变分法与有限元为力学专业课，在工程问题数值分析与设计方面具有重要地位。
通过本课程的学习，要求学生掌握基本的变分原理及其相关分析方法、有限元法的基本理论、常用单元的构造方法与应用、有限元分析的基本过程等，培养学生工程问题数值分析能力。
二、课程内容及学习方法1、变分原理变分原理的基本概念；位移变分原理（包括虚位移原理、最小势能原理）、应力变分原理（包括虚应力原理、最小余能原理）、广义变分原理（三类变量的广义变分原理和二类变量的广义变分原理）的基本理论；Ritz法和Galerkin法基本思路和应用。
2、平面问题有限元法有限元法的基本概念；平面问题三角形单元、矩形双线性单元，有限元求解的整体过程；轴对称问题三角形单元。
平面问题等参数单元法（平面8节点等参元、4节点等参元和12节点等参元简介）。
3、空间问题有限元法空间杆系结构有限元法；空间问题的等参数单元（空间8节点和12节点等参元）。
4、工程问题的有限元分析方法工程结构有限元模型的建立，有限元建模过程常见问题的处理方法，以及有限元分析结果的整理。
三、课程的教学要求（1）、能基本掌握变分原理和有限元的概念与应用方法。
（2）、能够应用变分原理求解简单问题，如梁的弯曲问题、简单的平面问题等。
（3）、能够熟练推导常用单元的基本公式，熟悉求解问题的基本过程。
（4）、对于简单工程结构，能够建立有限元分析模型和确定边界条件。
四、课程学时分配五、课程习题要求变分原理部分以应用题为主，题量为10个题左右；有限元部分以概念题和基本应用题为主，题量为15个左右。
变分法和积分方程教学大纲
教学内容安排(其中学时数不包括习题课时间)：
第一部分，预备知识（9小时）
Holder连续空间；L^p空间；Sobolev空间；凸分析。
第二部分，经典方法(12小时)
Euler-Largrange方程；Hamilton公式；Hamilton-Jiacobi方程。
第三部分，直接方法（9小时）
Dirichlet积分；一般的存在性定理。
课程基本内容简介：
第一部分，预备知识
Holder连续空间；L^p空间；Sobolev空间；凸分析。
第二部分，经典方法
Euler-Largrange方程；Hamilton公式；Hamilton-Jiacobi方程。
第三部分，直接方法
Dirichlet积分；一般的存在性定理。
第四部分，极小曲面
极小曲面的描述；Douglas-Courant-Tonelli方法；非参数极小曲面。
第五部分，等周不等式
两维的情形；高维的情形。
教学方式:
课堂授课
教材和教学参考资料
作者
教材名称
出版社
出版年月
教材
自编讲义
参考资料
Dacorogna
B.
Introduction to the calculus of variations
World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd
变分法和积分方程教学大纲(课代码318.027.1
编写时间
课程名称
变分法
英文名称
Calculus of Variations
学分数
3
周学时
3
任课教师*
刘宪高
开课院系**
数学学院
第二章变分法
第二章 变分法第一节 动态优化简介一、静态优化问题如果一个企业要确定一个最优产出水平x *以最大利润()F x ：0m ax ()x F x ≥（1）这样的问题的解通常将是一数，即确定选择变量的单个最优值。
最优值常可由一阶条件()0F x *'=确定。
动态问题是多期（multiperiod ）的，但是．．并不是有多期的时间就是动态问题．．．．．．．．．．．．．．．。
考虑企业的多期决策问题：1m ax (,)Tt t F t x =∑（2）(0,1)t x t T = 描述的是每阶段的产出组成的序列，即给出了一个产出的时间路径。
显而易见，总利润不是由单期的产出决定，而是由整个的产出的时间路径确定，所以要使利润最大化，实质上是要找到一条最优的路径（而不是单个期的t x ）。
但由于t 期利润只与t 期的产出有关，所以要在整个时间序列内最大化利润，就只要分别在每一期最大化利润即可，即这一个问题的解是一个有T 个数的集合，1{,}T x x ** 。
所以由于任一产量只影响该期利润，问题（2）实际上是一系列的．．．．静态问题，即在每一期选择当前产量使该期利润最大化。
问题（2）有类似的T 个一阶条件，各期的一阶条件之间没有联系。
在Ramsey 模型的竞争性均衡结构中，生产者问题就具有这样的性质。
二、动态问题具有动态性质的问题是，当前的产出不但影响到当前的利润，还影响到未．．．．．来．的利润。
更为一般地来说，当前决策影响未来决策。
11m ax(,,).. 0,1Ttt t t F t x xs t x t T-=≥=∑0x 给定或0(0)x x = （3）在问题（3）中，每一期的利润不但取决于当前产量，还与过去的产量有关；换句话说，t 期选择的产量t x 不但影响t 期的利润，还会影响到以后的利润。
注意，上述问题中已指定了0x 。
0x 影响到了以后各期的利润（从而也影响到总利润）。
问题（3）与问题（2）不同，它的最优解的T 个一阶条件不能分别确定，而是要同时确定，也就是我们实际上要“一次性”确定一条最优路径．．．．．．．．．．．．．。
变分法求基态能量的步骤课件
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对非线性问题处理困难 对于非线性问题，变分法往往难以找到合适的变分形式来 逼近真实解，这使得变分法在处理非线性问题时具有一定 的局限性。
变分法的未来发展
结合其他方法
为了克服变分法的局限性，未来研究可以将变分法与其他方法（如有限元方法、有限差分 方法等）相结合，形成一种混合方法，以提高算法的稳定性和精度。
变分法求基态能量的 步骤课 件
目录
CONTENTS
• 变分法的基本概念
01
引言
变分法的定义
定义
变分法是数学的一个分支，主要研究泛函的极值问题，即寻找函数集合中使特 定泛函取得极值的函数。在量子力学中，变分法用于求解粒子在给定势能下的 基态能量。
公式表示
假设粒子在势能函数V(x)下运动，基态能量E0可以通过变分法求解的公式为： E0 = ∫ (dV/dx²) dx。
氢原子的基态能量求解
氢原子是原子物理中的基本模型，其基态能量的求解可以 通过变分法实现。
首先，我们需要确定氢原子的运动方程，即薛定谔方程。 然后，我们构造一个变分函数来近似描述氢原子的波函数。 接下来，将变分函数代入薛定谔方程，并求解得到基态能 量。最后，我们需要验证求解结果的正确性。
谐振子的基态能量求解
泛函的极值与变分法
泛函的极 值
泛函在给定约束条件下的最大值或最 小值。
变分法
通过求解泛函的极值问题，得到满足 约束条件的函数，从而得到系统的最 优解或基态解。
03
变分法在物理中的
应用
基态能量的定义
基态能量
系统最低的能量状态，即系统处于稳定平衡时的能量。
基态能量的物理意义
描述系统的基本性质和行为，是研究系统稳定性和相变等问题的关 键参数。
北京大学物理学院量子力学系列教学大纲
北京大学物理学院量子力学系列教学大纲课程号： 00432214新课号： PHY-1-044课程名称：量子力学开课学期：春、秋季学分： 3先修课程：普通物理（PHY-0-04*以上）、理论力学（PHY-1-051）、电动力学（PHY-1-043）基本目的：使得同学掌握量子力学的基本原理和初步的计算方法，适合于非物理类专业的同学选修。
内容提要：1．量子力学基本原理：实验基础、Hilbert空间、波函数、薛定谔方程、算符、表象变换、对称性与守恒律2．一维定态问题：一般讨论、自由粒子、一维方势阱、谐振子、一维势垒3．轨道角动量与中心势场定态问题：角动量对易关系、本征函数、中心势、三维方势阱、三维谐振子、氢原子4. 量子力学中的近似方法：定态微扰论、跃迁、散射。
5．全同粒子与自旋：全同性原理、自旋的表述、自旋与统计的关系、两个自旋的耦合、磁场与自旋的相互作用教学方式：课堂讲授教材与参考书：曾谨言，《量子力学教程》，北京大学出版社, 1999.学生成绩评定方法：作业10％、笔试90％课程号： 00432214新课号： PHY-1-054课程名称：量子力学I开课学期：春、秋季学分： 4先修课程：普通物理（PHY-0-04*以上）、高等数学、数学物理方法（PHY-1-011或以上）基本目的：使得同学掌握量子力学的基本理论框架和计算方法。
适合物理学院各类型同学以及非物理类的相关专业同学选修。
内容提要：1．量子力学基本原理：实验基础、Hilbert空间、波函数、薛定谔方程、算符、表象变换、对称性与守恒律2．一维定态问题：一般讨论、自由粒子、一维方势阱、谐振子、一维势垒3．轨道角动量与中心势场定态问题：角动量对易关系、本征函数、中心势、三维方势阱、三维谐振子、氢原子4．全同粒子与自旋：全同性原理、自旋的表述、自旋与统计的关系、两个自旋的耦合、磁场与自旋的相互作用；5．定态微扰论与变分法：定态微扰论、简并的情形、变分法6．跃迁与散射：跃迁几率、散射、Born近似、分波法教学方式：课堂讲授教材与参考书：●《量子力学导论》曾谨言, 北京大学出版社。
变分法PPT教学课件
起的中国。中国的崛起不会妨碍任何人，也不会威胁 任何人；中国的和平崛起有利于亚洲和世界。
（1）你认为中国扶贫成就取得的根本原因是什么？ （2）中国的“和平崛起”是由什么决定的？ （3）结合材料一运用所学知识谈谈对材料二的理解。
2003年3月20日，美国绕过安理会发动了 对伊拉克战争， 2003年5月1日美国总统布什 就宣布对伊战争取得胜利。
国家谴责和反对恐怖活动的态度表明 ( B )
A全世界人人都反对战争
B要和平是当今时代的主流
C世界和平的主流已发生改变
D当前国际形势总体上已趋向战争和动乱
2．2003年3月20日，美英等国绕开联合国对伊拉
克进行军事打击，伊拉克战争爆发。此举遭到世
界许多国家的谴责，纽约、华盛顿、伦敦等数以
百计的城市爆发了反战示威游行。这说明
①发展问A题是指世界经济的发展，特别是发展中
国家的经济发展问题；②世界经济总体在发展， 但整体的经济形势依然严峻；③全球发展的最突 出的问题是南北发展不均衡；④谋求社会的发展 和繁荣是人类永恒的课题；⑤发展中国家对世界 经济发展的贡献非常小
5-3 变分法
不好分割 整体近似 总能做
变分原理
薛氏方程的变分表达
H (, Hˆ)
H (, ) 0
H E (, ) 1
选择定理
H i Ei i
E0 E1 E2 E3 ....
( i , j ) ij i i 1
The min imum of ( , Hˆ ) /( , ) is (1)E0 ,if can be any state; (2)E1,if can be any state that satisf ies condition ( , 0 ) 0;
数学物理方法课程教学大纲
《数学物理方法》课程教学大纲（供物理专业试用）课程编码：140612090学时：64学分：4开课学期：第五学期课程类型：专业必修课先修课程：《力学》、《热学》、《电磁学》、《光学》、《高等数学》教学手段：（板演）一、课程性质、任务1．《数学物理方法》是物理教育专业本科的一门重要的基础课，它是前期课程《高等数学》的延伸，为后继开设的《电动力学》、《量子力学》和《电子技术》等课程提供必需的数学理论知识和计算工具。
本课程在本科物理教育专业中占有重要的地位，本专业学生必须掌握它们的基本内容，否则对后继课的学习将会带来很大困难。
在物理教育专业的所有课程中，本课程是相对难学的一门课，学生应以认真的态度来学好本课程。
2．本课程的主要内容包括复变函数、傅立叶级数、数学物理方程、特殊函数等。
理论力学中常用的变分法，量子力学中用到的群论以及现代物理中用到的非线性微分方程理论等，虽然也属于《数学物理方法》的内容，但在本大纲中不作要求。
可以在后续的选修课中加以介绍。
3．《数学物理方法》既是一门数学课程，又是一门物理课程。
注重逻辑推理和具有一定的系统性和严谨性。
但是，它与其它的数学课有所不同。
本课程内容有很深广的物理背景，实用性很强。
因此，在这门课的教学过程中，不能单纯地追求理论上的完美、严谨，而忽视其应用。
学生在学习时，不必过分地追求一些定理的严格证明、复杂公式的精确推导，更不能死记硬背，而应重视其应用技巧和处理方法。
4．本课程的内容是几代数学家与物理学家进行长期创造性研究的成果，几乎处处都闪耀创新精神的光芒。
教师应当提示学生注意在概念建立、定理提出的过程中所用的创新思维方法，在课堂教学中应尽可能地体现历史上的创造过程，提高学生的创造性思维能力。
二、课程基本内容及课时分配第一篇复数函数论第一章复变函数（10）教学内容：§1.1．复数与复数运算。
复平面，复数的表示式，共轭复数，无穷远点，复数的四则运算，复数的幂和根式运算，复数的极限运算。
变分法基础及其在固体力学中的应用课程设计
变分法基础及其在固体力学中的应用课程设计一. 课程背景与意义在工程设计和科学研究中，往往需要利用数学方法求解一些复杂的物理问题。
其中，计算力学是工程设计中的一个重要领域。
而在计算力学中，固体力学是一种非常重要的分支，它帮助我们设计和仿真一些复杂的机械结构和材料。
变分法是计算力学中常用的一种方法，它被广泛应用于固体力学的数值计算中。
本课程将介绍变分法的理论基础、具体实现以及在固体力学中的应用，帮助学生更好地掌握这一方法，提高计算力学的理论水平和实际应用能力。
二. 课程设计目标1.了解变分法的基本理论和数学基础；2.掌握利用变分法解决固体力学问题的具体方法；3.了解和掌握固体力学中的一些常见问题，并能够运用变分法进行求解；4.掌握相关软件工具，能够基于变分法实现一些实际工程问题的数值计算。
三. 课程内容第一章变分法概述1.变分法概念和基本定义2.变分法的解决问题方式3.变分法在物理学和工程学中的应用第二章欧拉－拉格朗日方程1.欧拉－拉格朗日方程的基本原理和推导过程2.欧拉－拉格朗日方程在固体力学中的应用举例3.欧拉－拉格朗日方程求解的数值方法和技巧第三章有限元方法1.有限元方法基本原理和步骤2.有限元分析在固体力学中的应用示例3.可实践的有限元软件和算法实现第四章变分法的应用实践1.固体力学中常见问题的数学模型和求解方法2.将理论应用到实际的固体力学问题中3.实现有限元模拟并分析仿真结果四. 课程实施本课程采用讲授和实践相结合的方式。
讲授部分通过在线视频、文章、教材等多种形式提供，以确保学生掌握基本的变分法原理和固体力学知识。
实践部分主要以软件应用为主，鼓励学生通过独立学习和实践掌握相关工具的使用，提高实际应用能力。
五. 课程评估1.作业编写与提交2.期中和期末考试3.实践综合评估六. 参考书目1.《实用有限元分析》2.《应用力学基础》3.《固体力学基础》4.《计算力学基础》5.《工科数学思路与方法》七. 结语本课程致力于让学生从一个全新的角度认识固体力学，启发和培养学生的数学建模思维和实际实验操作技能，帮助大家具备更广阔的知识和实践技能的发展目标。
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《变分法》课程教学大纲
课程名称：变分法学分：2学时：32 实验学时：0
适用（学科）专业：应用数学执笔人：王杰
学科负责人签字：单位负责人签字：
一、课程目的
本课程主要是系统学习变分法的基本理论和方法，用广泛的变分方法来解决弹性力学的边值问题，建立弹性力学的几个变分原理，从这些变分原理出发，用一致的方法导出各种类型弹性力学的平衡方程。
二、课程学习要求
了解变分方法在工程实际问题中的应用，建立弹性力学的边值问题的数学模型。
为进一步学习有限元理论，塑性力学等奠定必要的理论基础
三、教学内容与学时分配
第一章绪论（2学时）
第一章变分问题与泛函极值（6学时）
第三章变分极值问题解答（2学时）
第四章含有多个未知数的变分问题（4学时）
第五章依赖于多元函数的泛函（4学时）
第六章弹力的变分方法（4学时）
第七章虚功原理综述（2学时）
第八章位移、应力变分法（8学时）
四、教材及主要参考资料
教材:自编讲义。
参考书: 《弹性力学》徐芝纶编著高等教育出版社
《弹性和塑性力学的变分法》鹫津久一郎著《广义变分原理》钱伟长著。