自动控制原理-第七章
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精品文档-自动控制原理(第二版)(薛安克)-第7章
N
{ f [(n 1)T ] f (nT )} f (0) f [( N 1)T ]
第七章 数字控制系统分析基础 7.3.2 Z变换性质
Z变换有一些基本定理, 可以使Z变换的应用变得简单和 方便, 其内容在许多方面与拉氏变换基本定理有相似之处。
1.
设ci为常数, 如果有
n
f (t) ciFi (z) c1F1(z) c2F2 (z) cnFn (z) , 则
i 1
n
F (z) ciFi (z) c1F1(z) c2F2 (z) cnFn (z)
即式(7.18)成立。
第七章 数字控制系统分析基础
4. 初值定理 设lim F(z)存在,则
z
f (0) lim F(z) z
(7.19)
证明 根据Z变换定义有
F (z) f (nT )zn f (0) f (T )z1 f (2T )z2
n0
当z→∞时, 上式右边除第一项外, 其余各项均趋于0, 因此,
上式中e-Ts是s的超越函数, 为便于应用, 令变量
z eTs
将上式代入式(7.10), 则采样信号f*(t)的Z变换定义为
F (z) Z[ f *(t)] Z[ f (t)] f (nT )zn
(7.12)
n0
严格来说, Z变换只适合于离散函数。这就是说, Z变换
式只能表征连续函数在采样时刻的特性, 而不能反映在采样时刻
i 1
(7.15)
第七章 数字控制系统分析基础 2.
实数位移定理又称平移定理。实数位移的含义,是指整个 采样序列在时间轴上左右平移若干个采样周期, 其中向左平移为 超前, 向右平移为滞后。
Z[ f (t kT)] zk F (z)
自动控制原理第七章
作用后，运动仍然保持原来的频率和振幅，即这种周期运动 具有稳定性，这种现象称为自持振荡，这是非线性系统独有 的现象。
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
9
4、非线性系统不适用叠加原理
在线性系统中，若干个信号作用于系统上，我们可以分 别求单独信号作用的响应，然后再叠加就可以求出总的响应。
这给分析综合线性系统带来了很大方便。通常在典型输入函
<<自动控制原理>>第七章
22
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
23Leabharlann 二、相平面图的分析 1．线性系统奇点的类型 假设奇点在相平面的原点上， f ( x, x) 是解析函数，可用泰勒 级数将其在原点附近展开：
f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) x 0 x 0 x x 0 x g ( x, x ) x x x 0 x 0 x 0 其中，g ( x, x) 是包含 x, x 二次以上的项，在原点附近，x, x 都很小，g ( x, x) 可以忽略。注意到在奇点处有
即
dx d ( x) dx dx
表示在 ( x, x) 点和 ( x, x) 点相轨迹曲线的斜率大小相等，符 号相反，故关于 x 轴对称。
2013-12-13 <<自动控制原理>>第七章 14
若 f ( x, x)是 x 的奇函数，即 f ( x, x) f ( x, x)
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
17
c.系统的状态沿相轨迹曲线转移的方向
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
9
4、非线性系统不适用叠加原理
在线性系统中，若干个信号作用于系统上，我们可以分 别求单独信号作用的响应，然后再叠加就可以求出总的响应。
这给分析综合线性系统带来了很大方便。通常在典型输入函
<<自动控制原理>>第七章
22
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
23Leabharlann 二、相平面图的分析 1．线性系统奇点的类型 假设奇点在相平面的原点上， f ( x, x) 是解析函数，可用泰勒 级数将其在原点附近展开：
f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) x 0 x 0 x x 0 x g ( x, x ) x x x 0 x 0 x 0 其中，g ( x, x) 是包含 x, x 二次以上的项，在原点附近，x, x 都很小，g ( x, x) 可以忽略。注意到在奇点处有
即
dx d ( x) dx dx
表示在 ( x, x) 点和 ( x, x) 点相轨迹曲线的斜率大小相等，符 号相反，故关于 x 轴对称。
2013-12-13 <<自动控制原理>>第七章 14
若 f ( x, x)是 x 的奇函数，即 f ( x, x) f ( x, x)
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
17
c.系统的状态沿相轨迹曲线转移的方向
自动控制原理第七章采样控制系统
第三节 信号复现与零阶保持器
一. 信号保持 把离散信号转换为连续信号，称为信号保持，该装置称
保持器。 保持器：用离散时刻信号复现连续时刻信号。
二. 零阶保持器
1. 作用：把采样信号e*(t) 每一个采样瞬时值e(kT)一直保持到下一个采 样瞬间e[(k+1)T], 从而使采样信号 e*(t)变成 阶梯信号eh(t)。
一阶保持器比零阶保持器信号恢复更
0 T 2T 3T 4T 5T 6T t
精确, 但相位滞后增加, 对稳定性不利.
图7-11 一阶保持器输出特性
第四节 Z变换理论
同拉氏变换一样, 是一种数学变换. 离散信号e*(t)的 拉氏变换为:
E*(s) e(nT )enTs n0
各项均含有 esT 因子，为S的超越函数。为便于应用，对 离散系统的分析一般采用Z变换.
G 0 ( s ) 1 s [ 1 e s] T 1 s 1 e 1 s T 1 s 1 1 s 1 T 1 T sT
零阶保持器的频率特性
信号e(t)在t = nT 及t = (n+1)T 之间的数值可以用一个级数来描述
单位脉冲响应
G h(s)L [gh(t) ]S 1S 1e TS 1 Se TS
G 0(j
)1ejT2sin T/(2 )ejT2 j
幅频特性： G 0(j)Tsi( n/ / ( s)s)2 s si( n/ / ( s)s)
上式是 eTs 的有理函数. 但 eTs是含变量S的超越函数，不便进行分析和运算， 因此常用Z变换代替拉氏变换。
三. 采样定理
从理论上指明了从采样信号中不失真的复现原连续信号 所必需的理论上的最小采样周期T.
自动控制原理第7章离散控制系统
差分方程描述了系统在离散时间点的行为，通过求解差分方程可 以预测系统未来的输出。
Z变换
01
Z变换是分析离散时间信号和系统 的有力工具，它将离散时间信号 或系统转化为复平面上的函数或 传递函数。
02
Z变换的基本思想是通过将离散时 间信号或系统进行无限次加权和 ，将其转化为一个复数域上的函 数或传递函数。
离散状态方程
离散状态方程是描述离散控制系统动 态行为的数学模型，它的一般形式为 $mathbf{dot{x}}(k) = Amathbf{x}(k) + Bu(k)$，其中 $mathbf{x}(k)$表示在时刻$k$的系 统状态向量，$u(k)$表示在时刻$k$ 的输入向量，$A$和$B$是系统的系 数矩阵。
稳态误差主要来源于系统本身的结构 和参数，以及外部干扰和测量噪声。
离散控制系统的动态响应分析
动态响应定义
动态响应是指系统在输入信号作 用下，系统输出信号随时间变化 的特性。
动态响应的描述方
式
动态响应可以通过系统的传递函 数、频率特性、根轨迹图等方式 进行描述。
优化动态响应的方
法
通过调整系统参数、改变系统结 构、引入反馈控制等方法，可以 优化系统的动态响应。
离散控制系统的仿真工具与实例
仿真工具介绍
离散控制系统的仿真工具用于模拟和测试系统的性能和稳定性。常见的仿真工具包括MATLAB/Simulink、 LabVIEW等。这些工具提供了丰富的数学函数库和图形化界面，方便用户进行系统建模和仿真。
仿真实例分析
通过具体的仿真实例，可以深入了解离散控制系统的性能和特点。例如，可以设计一个温度控制系统，通过调整 系统参数和控制算法，观察系统在不同工况下的响应特性和稳定性。通过对比不同方案，可以评估各种参数和控 制策略对系统性能的影响，为实际应用提供参考和依据。
Z变换
01
Z变换是分析离散时间信号和系统 的有力工具，它将离散时间信号 或系统转化为复平面上的函数或 传递函数。
02
Z变换的基本思想是通过将离散时 间信号或系统进行无限次加权和 ，将其转化为一个复数域上的函 数或传递函数。
离散状态方程
离散状态方程是描述离散控制系统动 态行为的数学模型，它的一般形式为 $mathbf{dot{x}}(k) = Amathbf{x}(k) + Bu(k)$，其中 $mathbf{x}(k)$表示在时刻$k$的系 统状态向量，$u(k)$表示在时刻$k$ 的输入向量，$A$和$B$是系统的系 数矩阵。
稳态误差主要来源于系统本身的结构 和参数，以及外部干扰和测量噪声。
离散控制系统的动态响应分析
动态响应定义
动态响应是指系统在输入信号作 用下，系统输出信号随时间变化 的特性。
动态响应的描述方
式
动态响应可以通过系统的传递函 数、频率特性、根轨迹图等方式 进行描述。
优化动态响应的方
法
通过调整系统参数、改变系统结 构、引入反馈控制等方法，可以 优化系统的动态响应。
离散控制系统的仿真工具与实例
仿真工具介绍
离散控制系统的仿真工具用于模拟和测试系统的性能和稳定性。常见的仿真工具包括MATLAB/Simulink、 LabVIEW等。这些工具提供了丰富的数学函数库和图形化界面，方便用户进行系统建模和仿真。
仿真实例分析
通过具体的仿真实例，可以深入了解离散控制系统的性能和特点。例如，可以设计一个温度控制系统，通过调整 系统参数和控制算法，观察系统在不同工况下的响应特性和稳定性。通过对比不同方案，可以评估各种参数和控 制策略对系统性能的影响，为实际应用提供参考和依据。
自动控制原理第七章采样系统
n>m
pi— 极点
Ai— 待定系数
第二节 采样控制系统的数学基础
例 求F(s)的z变换F(z)。
F (s)=
1 S(S+1)
解：
F (s)=
1 S(S+1)
=
1 S
–
1 S+1
F (z)=
z z–1
–
z z–e –T
=
z(1–e –T ) (z–1)(z–e–T
)
第二节 采样控制系统的数学基础
例 求F(s)的z变换F(z)。
+
=Σ k=0
8
f
(kT)∫0∞δ(t
–
kT
)e–stdt
+
=Σ f(kT)e –kTS k=0
第二节 采样控制系统的数学基础
二、求Z变换的方法
1．级数求和法
根据定义式展开
+
F (z)= Σ f (kT) k=0
= f (0)z0 + f (T)z-1 + f (2T)z-2 + f (3T)z-3 + ··· 利用级数求和法可求得常用函数
+(S+2)
S+3 (S+1)(S+2)
z z–eST S=-2
F (z)=
2z z–e –T
–
z–e
z
–2T
=
z2+z(e-T -2e-2T z2-(e-T +e-2T )z+e
)
-3T
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第二节 采样控制系统的数学基础
三、Z变换的基本定理
例 z变求换Z[的t –基T 本] 定理为z变换的运算 提供了方便。
自动控制原理 第七章 非线性
x x x 0 , x(t0 ) x0 , x (t0 ) x0
将它写成微分方程组：
dx
.
x
dt.
dx
x
.
x
dt
容易求出奇点为（0，0）。
图 例7-2的根轨迹
ABCDO对应.初始条件为
x(0) 2, x(0) 7
EFO对应初.始条件为：
x(0) 0, x(0) 10
从相轨迹图可以直观地看到： 所有的相轨迹都最终收敛到 奇点（0，0），这说明系统 是渐近稳定的；可以证明， 每一条相轨迹都是向心螺旋 线，这说明系统的运动过程 是衰减振荡的。
3）相轨迹图形特征
如果微分方程满足解的存在性和唯一性条件， 那么，相轨迹（场）图一定有如下基本特征：
1)任一普通点有且只有一条相轨迹通过（解 的存在性和唯一性）；
2)相轨迹必垂直通过轴； 3)轴上方的相轨迹从左向右运动，轴下方的 相轨迹从右向左运动。
Байду номын сангаас
例7-2 作出下列二阶系统的相轨迹
.. .
..
线性系统如果某系统在某初始条件下的响应 过程为衰减振荡，则其在任何输入信号及初始条 件下该系统的暂态响应均为衰减振荡形式。例：
x& x x2 x(0) x0
（1）当初始条件xo ＜1时,1－xo＞0,上式 x(t) 具有负的特征根,其暂 态过程按指数规律衰 减,该系统稳定。
（ 2 ） 当 xo=1 时 ,1xo=0,上式的特征根为 o 零,其暂态过程为一常 量。
x a xa x a
此处： x 输入 y 输出 k 比例系数
y
ym
a
k
x
0a
ym
饱和非线性对系统的影响：
自动控制原理第七章
条件下的时间响应曲线如图所示。
四、非线性控制系统的特点
3.稳定性 3.稳定性 从曲线及方程中可以看出， 系统有两个平衡状态，即 x=0和 x=1 。 按稳定性的定义对平衡状 态 x=1来说，系统只要有一 个很小的偏离，就再也不会 回到这一平衡状态上来。 因此，x=1的平衡状态是一个不稳定的平衡状态。
第七章 非线性系统的分析
§7
非线性系统的分析
教学内容：
§7-1 非线性控制系统概述 §7-2 描述函数法 §7-3 相平面法
§7-1 非线性控制系统概述
一、引言 二、研究非线性系统的一般方法 三、典型非线性特性 四、非线性控制系统的特点
一、引言
包含一个或一个以上非线性元件或环节的系统为非线性系 统。 实际上自动控制系统的各个环节不可避免的带有某种程度 的非线性，线性系统只是非线性系统的近似。 非线性系统程度不严重时，在一定范围内或特定条件下， 可采用微偏法进行线性化，这种非线性称为非本质非线性。 如果系统的非线性具有间断点、折断点，称为本质非线性。 这时采用线性系统分析方法去研究会引起很大的误差甚至导 致错误的结论。
四、非线性控制系统的特点
3.稳定性 3.稳定性
线性系统的稳定性取决于系统的结构与参数，与起始 状态无关。 非线性系统的稳定性不仅仅和系统的结构与参数有关， 还和起始状态有直接关系。 一个非线性系统，他的某些平衡状态可能是稳定的， 某些平衡状态可能是不稳定的。因此对于非线性系统， 不存在系统是否稳定的笼统概念，要研究的是非线性系 统平衡状态的稳定性。
2 n
A +B
2 n
An ϕn = arctan Bn
一 描述函数的基本概念
非线性特性为奇对称，则直流分量 A0= 0； 同时，各谐波分量的幅值与基波相比一般都比较小； 因此，可以忽略式中的高次谐波分量，只考虑基波分量， 这种近似也称为谐波线性化。则
《自动控制原理》第七章 离散控制系统
k 0
式中， ( z ) 称为离散信号e* (t ) 的z变换，记为 E( z) Z[e* (t )] E
7.3.2 z变换的方法
常用的求取离散函数的z变换方法有级数求和法、部分分式法和留数计算法。
1.级数求和法
根据z变换的定义，将连续信号 e(t ) 按周期 T 进行采样，级数展开可得
教学难点
离散时间函数的数学表达式及采样定理， 线性常系数差分方程与脉冲传递函数，采 样控制系统的时域分析，采样控制系统的 频域分析。
概述：
近年来，随着脉冲技术、数字式元器件、数字计算机，特别是微处理器
的迅速发展，数字控制器在许多场合取代了模拟控制器，比如微型数字 计算机在控制系统中得到了广泛的应用。离散系统理论的发展是非常迅 速的。 因此，深入研究离散系统理论，掌握分析与综合数字控制系统的基 础理论与基本方法，从控制工程特别是从计算机控制工程角度来看，是 迫切需要的。
图7-3 信号复现过程
7.1.2 数字控制系统
数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的 被控对象的闭环控制系统。 其原理方框图如图7-4所示。
图7-4 数字控制系统方框图
过程分析：A/D转换器将连续信号转换成数字序列，经数字控制器处理后生 成离散控制信号，再通过D/A转换器转换成连续控制信号作用于 被控对象。
第7章 离散控制系统
教学重点
了解线性离散系统的基本概念和基本定理，把握 线性连续系统与线性离散系统的区别与联系； 熟练掌握Z变换的方法、Z变换的性质和Z反变换； 了解差分方程的定义，掌握差分方程的解法； 了解脉冲传递函数的定义，熟练掌握开环与闭环 系统脉冲传递函数的计算方法； 与线性连续系统相对应，掌握线性离散系统的时 域和频域分析方法和原则。
式中， ( z ) 称为离散信号e* (t ) 的z变换，记为 E( z) Z[e* (t )] E
7.3.2 z变换的方法
常用的求取离散函数的z变换方法有级数求和法、部分分式法和留数计算法。
1.级数求和法
根据z变换的定义，将连续信号 e(t ) 按周期 T 进行采样，级数展开可得
教学难点
离散时间函数的数学表达式及采样定理， 线性常系数差分方程与脉冲传递函数，采 样控制系统的时域分析，采样控制系统的 频域分析。
概述：
近年来，随着脉冲技术、数字式元器件、数字计算机，特别是微处理器
的迅速发展，数字控制器在许多场合取代了模拟控制器，比如微型数字 计算机在控制系统中得到了广泛的应用。离散系统理论的发展是非常迅 速的。 因此，深入研究离散系统理论，掌握分析与综合数字控制系统的基 础理论与基本方法，从控制工程特别是从计算机控制工程角度来看，是 迫切需要的。
图7-3 信号复现过程
7.1.2 数字控制系统
数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的 被控对象的闭环控制系统。 其原理方框图如图7-4所示。
图7-4 数字控制系统方框图
过程分析：A/D转换器将连续信号转换成数字序列，经数字控制器处理后生 成离散控制信号，再通过D/A转换器转换成连续控制信号作用于 被控对象。
第7章 离散控制系统
教学重点
了解线性离散系统的基本概念和基本定理，把握 线性连续系统与线性离散系统的区别与联系； 熟练掌握Z变换的方法、Z变换的性质和Z反变换； 了解差分方程的定义，掌握差分方程的解法； 了解脉冲传递函数的定义，熟练掌握开环与闭环 系统脉冲传递函数的计算方法； 与线性连续系统相对应，掌握线性离散系统的时 域和频域分析方法和原则。
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u（t）
采样器
u*（t）
保持器
u h（t）
0
t
连续信号
0
t
脉冲序列信号
当采样频率 f 足够大时：u*（t） 3、计算机控制系统
1）一种典型的计算机控制系统
u h（t）
0
t
阶梯信号
u（t）
A/D
微机
D/A
对象
测量装置
Automatic Control Theory
§6.线性离散系统分析与校正
2）计算机控制系统中必须具备的两个重要环节
§6.线性离散系统分析与校正
4、采样信号的频谱分析
设连续信号的傅氏变换为，则采样信号的傅氏变换为：
E * (
j)
1 T
E[
n
j(
nS
)]
由于连续信号 e(t)的频谱 E( j) 是单一的连续频谱，其最大角频率
为 h ，如图（a）所示。而采样信号的频谱则是以采样角频率为s周 期的无穷多个频谱之和，当 s >2 h 时,则采样频谱如图（b）所示。
Automatic Control Theory
§6.线性离散系统分析与校正
二、信号恢复（保持） 1、信号的输出形式 直接输出数字信号； 输出连续信号（需要保持器将数字信号恢复成连续信号）。
2、保持器的类型 （1）、零阶保持器
a、工作原理
b、输出表达式： eh nT enT n 0,1,2,
2
（3）、信号保持器的特性 a、低通滤波特性；b、相角迟后特性；c、时间迟后特性。
Automatic Control Theory
§6.线性离散系统分析与校正
7.3 z变换理论 一、z变换定义 1、直接定义
对于离散信号序列：
e*t enT t nT enT e0, e1,
n0
定义它的z变换为：
三、本章考点 1. 系统的脉冲传递函数； 2. 输出信号的z变换; 3. 判定离散系统稳定性、求其稳态误差。
Automatic Control Theory
§6.线性离散系统分析与校正
7.1 离散系统的基本概念
一、离散/采样系统
线性连续系统 1、线性系统
线性离散系统
采样 / 脉冲控制系统 （信号为脉冲序列）
那么，信号e（t）就可以完全不失真地从采样信号e*（t）中恢复
过来。
采样周期T 的选取：根据Shannon定理，T应该越小（ωs 越 高），信息丢失的内容就越少，控制效果越好。但是，T 太小 会增大计算量。
所以，在工程设计中 时域中，取： T= ts /40， 或 T= tr /10； 频域中，取： ωs=10ωc， 即 T=π/5ωc
数字系统 / 计算机控制系统 （信号为数字序列）
2、离散系统的特点（P289）
采样系统中一处或多处的信号是脉冲序列或数字序列。因此， 离散系统中必须具备的两个特殊环节。
采样器（采样开关）：连续信号 采样
保持器：
脉冲序列 恢复
脉冲序列 连续信号
Automatic Control Theory
§6.线性离散系统分析与校正
由此可见，要想使连续信号不失真地从采样信号中恢复过来， 则必须满足条件：
s 2h
Automatic Control Theory
§6.线性离散系统分析与校正
5、采样定理（Shannon定理）
Shannon定理：如果采样器的输入信号e（t）的频谱具有有限带宽，
并且有T 直 到22ωhh的频率分量即，则s只≥要2采样h 周期T满足：
Ez enT z n e0 e1T z 1 e2T z 2 n0
其中，z为复变量，且上式为无穷级数收敛，即|z-1|<1。
c、传递函数：
Gh
s
1
e Ts s
d、频率特性
Automatic Theory
§6.线性离散系统分析与校正
（2）、一阶保持器
a、工作原理
b、输出表达式：
eh
nT
t
enT
enT
en
T
1T
t
n 0,1,2, , nT t n 1T
c、传递函数： d、频率特性
Gh s
T Ts
1
1
eTs Ts
A/D转换器（相当于采样器）：采样
编码（数字量）
D/A转换器（相当于保持器）：解码
复现
4、研究方法： z 变换方法建立离散系统数学模型。
7.2 信号采样与保持
一、采样过程及其数学描述
1、采样过程：连续信号经过采样器采样后变换成离散信号的过程。 采样器是把连续信号变为脉冲序列的装置，也称为采样开关。
2、周期为T的理想单位脉冲序列δT（t）定义为：
n
n0
习惯上认为e(t)只有在开始采样以后才有意义，因此， t < 0时的信号 为零，即 ：
0
enT t nT 0
n
故经过采样器出来的离散信号为 ：
e*t enT t nT
n0
Automatic Control Theory
§6.线性离散系统分析与校正
3、采样信号的拉变换
根据拉氏变换的定义：
E*S L e*(t) Ln0 enT t nT
而：L t nT enTS t estdt enTS 0
因为：
0
t
e
st
dt
1
所以：E *
S
Ln0
enT
t
nT
n0
enT
L
t
nT
enT enTS
n0
故
E*S enT enTS
n0
Automatic Control Theory
Automatic Control Theory
§6.线性离散系统分析与校正
第七章 离散控制系统
一、本章重点 1. z变换的概念、公式、定理及z变换方法； 2. 系统的脉冲传递函数、系统输出信号的z变换; 3. 离散系统稳定性及其稳态误差。
二、本章难点 1. 复杂系统z变换方法； 2. 模拟化设计与离散化设计方法;
T t t nT
n
其中：
t
nT
0
t nT ;
t nT
t
nT
dt
1
Automatic Control Theory
§6.线性离散系统分析与校正
而连续信号e（t）经过采样器出来的离散信号可以描述为：
e*t et T t
即： e*t et t nT enT t nT
n
n
0
enT t nT enT t nT
图(a) 连续信号频谱
图(b) 采样信号频谱s >2 h
Automatic Control Theory
§6.线性离散系统分析与校正
当s<2 h 时,则采样频谱如下图（c）所示。此时, 采样频
谱中的补充分量相互交叠在一起,采样器的输出信号将发生畸变,
无法再恢复到原来的连续信号的频谱。
图(c) 采样信号频谱 s< 2 h