高考数学高中数学知识点圆锥曲线中的定值k1k2
圆锥曲线中的定值k1k2=-b^2/a^2模型
1、数论是人类知识
最古
老的一个分支，然而他的一些最深奥的秘密与其最平凡的真理是密切相连的。
2、数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学。
3、我总是尽我的精力和才能来摆脱那种繁重而单调的计算。
4、一个数学家越超脱越好。
5、数学是各式各样的证明技巧。
6、数学是锻炼思想的体操。
7、整数的简单构成，若干世纪以来一直是使数学获得新生的源泉。
8、数学是研究抽象结构的理论。
9、历史使人贤明，诗造成气质高雅的人，数学使人高尚，自然哲学使人深沉，道德使人稳重，而伦理学和修辞学则使人善于争论。
10、数学方法渗透并支配着一切自然科学的理论分支。
它愈来愈成为衡量科学成就的主要标志了。
圆锥曲线中的定点、定值问题课件-2025届高三数学一轮复习
有lMN：x＝2＋1＝3，也过定点(3,0)， 故直线MN过定点，且该定点为(3,0)．
(2)设G为直线AE与直线BD的交点，求△GMN面积的最小值．
解：由A(x1，y1)，B(x2，y2)，E(x3，y3)，D(x4，y4)， 则 lAE：y＝yx33－ －yx11(x－x1)＋y1，由 y21＝4x1，y22＝4x2， 故 y＝yy4323－－yy4121x－y421＋y1＝y3＋4xy1－y3＋y21 y1＋y1＝y3＋4xy1＋y3y＋1y3y1， 同理可得 lBD：y＝y4＋4xy2＋y4y＋2y4y2，
(2)过点(－2,3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M， N，证明：线段MN的中点为定点．
解：证明：由题意可知：直线PQ的斜率存在， 设PQ：y＝k(x＋2)＋3， P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立方程
y＝k(x＋2)＋3， y92＋x42＝1， 消去y得(4k2＋9)x2＋8k(2k＋3)x＋16(k2＋3k)＝0， 则Δ＝64k2(2k＋3)2－64(4k2＋9)(k2＋3k)＝－1 728k>0，解得k<0，
[kx1＋(2k＋3)](x2＋2)＋[kx2＋(2k＋3)](x1＋2) (x1＋2)(x2＋2)
＝2kx1x2＋x(14xk2＋＋32)((xx11＋＋xx22))＋＋44(2k＋3)
＝32k4(kk22＋＋19364k(kk)－22＋＋893kk(4)－k4＋1k263＋4k)k((2292＋kk＋＋933))＋＋44(2k＋3)＝13068＝3， 所以线段MN的中点是定点(0,3)．
综合①②知，|MN|＝4 3，为定值．
规律方法
由特殊到一般法求定值问题的两个常用技巧
高考数学复习：圆锥曲线的定点、定值、定直线
高考数学复习：圆锥曲线的定点、定值、定直线【热点聚焦】纵观近几年的高考试题，圆锥曲线的定点、定值、定直线问题是热点之一.从命题的类型看，主要是大题.一般说来，考查直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系问题，综合性较强，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长、面积、参数、几何量为定值，或定点在某直线上、定直线过某点等.难度往往大些.【重点知识回眸】（一）定值问题1.定义：定值问题是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值.2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．3.常见定值问题的处理方法：（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.4.定值问题的处理技巧：（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢（3）巧妙利用变量间关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算（二）定点问题1.求解圆锥曲线中的定点问题的两种思路：(1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关.(2)直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组()0g()0f x y x y =⎧⎨=⎩，，；③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，则可以特殊解决.2.求解圆锥曲线中的定点问题的方法（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ）（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系，得到有关k 与,x y 的等式（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立.此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至易于找到00,x y .常见的变形方向如下：①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的项归在一组，变形为“()k ⋅”的形式，从而00,x y 只需要先让括号内的部分为零即可②若等式为含k 的分式，00,x y 的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去k 的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式）3.一些技巧与注意事项：（1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线）.然后再验证该点（或该直线）对一般情况是否符合.属于“先猜再证”.（2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件.所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线），从而观察这一类曲线是否过定点.尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件.例如：直线:1l y kx k =+-，就应该能够意识到()11y k x =+-，进而直线绕定点()1,1--旋转.（三）定直线问题探求圆锥曲线中的定直线问题的两种方法：方法一是参数法，即先利用题设条件探求出动点T 的坐标(包含参数)，再消去参数，即得动点T 在定直线上；方法二是相关点法，即先设出动点T 的坐标为(x，y)，根据题设条件得到已知曲线上的动点R 的坐标，再将动点R 的坐标代入已知的曲线方程，即得动点T 在定直线上．【典型考题解析】热点一定值问题【典例1】已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ= ，QN QO μ= ，求证：11λμ+为定值．【典例2】如图，已知抛物线2:4C x y =，过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）.(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y =相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221||MN MN -为定值，并求此定值.【典例3】已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为43的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，B 在x 轴的上方，且点B 的横坐标为4.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）设点P 为抛物线C 上异于A ，B 的点，直线PA 与PB 分别交抛物线C 的准线于E ，G 两点，x 轴与准线的交点为H ，求证：HG HE ⋅为定值，并求出定值.【典例4】已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH = ．证明：直线HN 过定点．【典例5】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【典例6】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【总结提升】动直线l 过定点问题的常见思路设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k(x ＋m)，故动直线过定点(－m,0)．【典例7】设椭圆的焦点在x 轴上（Ⅰ）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程；（Ⅱ）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内的点，直线交轴与点，并且，证明：当变化时，点在某定直线上.【典例8】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是()11,0F -，()21,0F ，点()0,A b ，若12AF F △的内切圆的半径与外接圆的半径的比是1:2．(1)求椭圆C 的方程；(2)过C 的左焦点1F 作弦DE ，MN ，这两条弦的中点分别为P ，Q ，若0DE MN ⋅= ，证明：直线PQ 过定点．【典例9】设12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右两个焦点，O 为坐标原点，若点P 在双曲线C 的右支上，且1122,OP OF PF F == 的面积为3.(1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)若双曲线C 的两顶点分别为()()12,0,,0A a A a -，过点2F 的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，试探究直线1A M 与直线2A N 的交点Q 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由.1．已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.2．在平面直角坐标系中，动点(),M x y 与定点()5,0F 的距离和M 到定直线16:5l x =的距离的比是常数54，设动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设()2,0P ，垂直于x 轴的直线与曲线C 相交于,A B 两点，直线AP 和曲线C 交于另一点D ，求证：直线BD 过定点.3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为32，右焦点F.(1)求双曲线C 的方程；(2)若12,A A 分别是C 的左､右顶点，过F 的直线与C 交于,M N 两点（不同于12,A A ）.记直线12,A M A N 的斜率分别为12,k k ，请问12k k 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.4．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为()11,0F -，上、下顶点分别为A ，B ，190AF B ∠=︒．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆上有三点P ，Q ，M 满足OM OP OQ =+uuu r uu u r uuu r ，证明：四边形OPMQ 的面积为定值．5．已知动圆M 过定点()2,0A ，且在y 轴上截得的弦长为4，圆心M 的轨迹为曲线L ．(1)求L 的方程；(2)已知点()3,2B --，()2,1C ，P 是L 上的一个动点，设直线PB ，PC 与L 的另一交点分别为E ，F ，求证：当P 点在L 上运动时，直线EF 恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．6．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，一个焦点1F 与抛物线2y =-的焦点重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线:l y kx m =+交C 于,A B 两点，直线1F A 与1F B 关于x 轴对称，证明：直线l 恒过一定点．7．在直角坐标系xOy 中，已知定点(0,1)F ，定直线:3l y =-，动点M 到直线l 的距离比动点M 到点F 的距离大2．记动点M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线？(2)设0(2,)P y 在C 上，不过点P 的动直线1l 与C 交于A ，B 两点，若90APB ∠=︒，证明：直线1l 恒过定点．8．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点，M 为直线3x =-上任意一点，过F 作MF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ．证明：OM 经过线段PQ 的中点N ．（其中O 为坐标原点）9．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，短轴长为2.(1)求E 的方程；(2)过点()4,0M -且斜率不为0的直线l 与E 自左向右依次交于点B ，C ，点N 在线段BC 上，且MB NBMC NC =，P 为线段BC 的中点，记直线OP ，ON 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值.10．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的右焦点为F ，过点F 作一条直线交C 于R ，S 两点，线段RS，C的离心率为2．(1)求C 的标准方程；(2)斜率不为0的直线l 与C 相交于A ，B 两点，(2,0)P ，且总存在实数R λ∈，使得PA PB PF PA PB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭ ，问：l 是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标11．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，圆O ：222x y a +=，过F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 和圆O.(1)求C 的方程；(2)过圆O 上一点P （不在坐标轴上）作C 的两条切线1l ，2l ，记1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，直线OP 的斜率为3k ，证明：()123k k k +为定值.12.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．。
高考数学一轮复习专题训练—圆锥曲线的定值问题
圆锥曲线的定值问题题型一 长度或距离为定值【例1】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点A 与左、右焦点F 1，F 2构成一个面积为1的直角三角形． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 与椭圆C 相切，求证：点F 1，F 2到直线l 的距离之积为定值．(1)解 ∵椭圆C 的上顶点A 与左、右焦点F 1，F 2构成一个面积为1的直角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，bc ＝1， ∴b ＝c ＝1， ∴a 2＝b 2＋c 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 ①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝±2， 点F 1，F 2到直线l 的距离之积为(2－1)(2＋1)＝1. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，Δ＝(4km )2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝－8(m 2－2k 2－1)＝0， ∴m 2＝1＋2k 2，点F 1到直线l ：y ＝kx ＋m 的距离d 1＝|－k ＋m |k 2＋1，点F 2到直线l ：y ＝kx ＋m 的距离d 2＝|k ＋m |k 2＋1.∴d 1d 2＝|－k ＋m |k 2＋1·|k ＋m |k 2＋1＝|m 2－k 2|k 2＋1＝|2k 2＋1－k 2|k 2＋1＝1.综上，可知当直线l 与椭圆C 相切时，点F 1，F 2到直线l 的距离之积为定值1.感悟升华 圆锥曲线中的定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的．定值问题同证明问题类似，在求定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现．【训练1】 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M ，N 分别是C 1，C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值． 证明 当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33， 当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝⎛⎭⎫显然|k |>22，则直线OM 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1，得⎩⎨⎧x 2＝14＋k 2，y 2＝k24＋k 2，所以|ON |2＝1＋k 24＋k 2，同理|OM |2＝1＋k 22k 2－1， 设O 到直线MN 的距离为d ，因为(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2， 所以1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33.综上，O 到直线MN 的距离是定值． 题型二 斜率或其表达式为定值【例2】 (2020·兰州诊断)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值．(1)解 由题设知c a ＝22，b ＝1，结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0， 由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2， 从而直线AP ，AQ 的斜率之和为k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2(即为定值)．【训练2】 (2021·大同模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，已知|AB |＝4，且点⎝⎛⎭⎫e ，345在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上异于A ，B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP ，BP 于点M ，N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值． (1)解 ∵|AB |＝4，∴2a ＝4，∴a ＝2， 又点⎝⎛⎭⎫e ，354在椭圆上，∴e 24＋4516b2＝1， 又b 2＋c 2＝a 2＝4，联立方程组解得b 2＝3， ∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 设点P 的坐标为(s ，t )，点M ，N 的横坐标为m (m ≠±2)， 则直线AP 的方程为y ＝t s ＋2(x ＋2)，故M ⎝⎛⎭⎫m ，ts ＋2(m ＋2)，故直线BM 的斜率k 1＝t (m ＋2)(s ＋2)(m －2)，同理可得直线AN 的斜率k 2＝t (m －2)(s －2)(m ＋2)，故k 1k 2＝t (m ＋2)(s ＋2)(m －2)×t (m －2)(s －2)(m ＋2)＝t 2s 2－4，又点P 在椭圆上，∴s 24＋t 23＝1，∴t 2＝－34(s 2－4)，∴k 1k 2＝－34(s 2－4)s 2－4＝－34.即直线AN 与直线BM 的斜率之积为定值．题型三 几何图形面积为定值【例3】 (2021·昆明诊断)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ，点(1，e )在椭圆E上，点A (a,0)，B (0，b )，△AOB 的面积为32，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，直线OM 的斜率为k 1，直线ON 的斜率为k 2，且k 1k 2＝－19，证明：△OMN 的面积是定值，并求此定值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋e 2b 2＝1，e ＝ca ，c 2＝a 2－b 2，得b ＝1.又S △AOB ＝12ab ＝32，得a ＝3.所以椭圆E 的标准方程为x 29＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率不存在时，设直线l ：x ＝t (－3<t <3且t ≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 2＝1，x ＝t ，得y 2＝1－t 29，则k 1k 2＝1－t 29t×－1－t 29t＝－1－t 29t 2＝－19，解得t 2＝92.所以S △OMN ＝12×2×1－t 29×|t |＝32.当直线l 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 29＋y 2＝1消去y 并整理，得(9k 2＋1)x 2＋18kmx ＋9m 2－9＝0. Δ＝(18km )2－4(9k 2＋1)(9m 2－9)＝36(9k 2－m 2＋1)>0， x 1＋x 2＝－18km9k 2＋1，x 1x 2＝9m 2－99k 2＋1，k 1k 2＝y 1x 1×y 2x 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )x 1x 2＝－9k 2＋m 29m 2－9＝－19， 化简得9k 2＋1＝2m 2，满足Δ>0.|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝⎛⎭⎫－18km 9k 2＋12－4·9m 2－99k 2＋1＝61＋k 2·9k 2－m 2＋19k 2＋1.又原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2， 所以S △OMN ＝12×|MN |×d＝31＋k 2·9k 2－m 2＋19k 2＋1×|m |1＋k 2＝3|m |2m 2－m 22m 2＝32.综上可知，△OMN 的面积为定值32.感悟升华 探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即可先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可．【训练3】 已知点F (0,2)，过点P (0，－2)且与y 轴垂直的直线为l 1，l 2⊥x 轴，交l 1于点N ，直线l 垂直平分FN ，交l 2于点M . (1)求点M 的轨迹方程；(2)记点M 的轨迹为曲线E ，直线AB 与曲线E 交于不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 2－1＝x 1＋m 2(m 为常数)，直线l ′与AB 平行，且与曲线E 相切，切点为C ，试问△ABC 的面积是否为定值．若为定值，求出△ABC 的面积；若不是定值，说明理由．解 (1)由题意得|FM |＝|MN |，即动点M 到点F (0,2)的距离和到直线y ＝－2的距离相等，所以点M 的轨迹是以F (0,2)为焦点，直线y ＝－2为准线的抛物线，根据抛物线定义可知点M 的轨迹方程为x 2＝8y .(2)由题意知，直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝8y 消去x 整理得x 2－8kx －8b ＝0.则x 1＋x 2＝8k ，x 1·x 2＝－8b .设AB 的中点为Q ，则点Q 的坐标为(4k,4k 2＋b )．由条件设切线方程为y ＝kx ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 2＝8y 消去y 整理得x 2－8kx －8t ＝0.∵直线与抛物线相切，∴Δ＝64k 2＋32t ＝0，∴t ＝－2k 2， ∴切点C 的横坐标为4k ，∴点C 的坐标为(4k,2k 2)． ∴CQ ⊥x 轴，∵x 2－x 1＝m 2＋1， ∴(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4(－8b ) ＝64k 2＋32b ＝(m 2＋1)2，∴b ＝(m 2＋1)2－64k 232.∴S △ABC ＝12|CQ |·|x 2－x 1|＝12·(2k 2＋b )·(x 2－x 1)＝(m 2＋1)364，∵m 为常数，∴△ABC 的面积为定值．1．(2021·洛阳高三统考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，其焦点为F ，O 为坐标原点，直线l 与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ，M 为AB 的中点． (1)若p ＝2，M 的坐标为(1,1)，求直线l 的方程．(2)若直线l 过焦点F ，AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求证：2|MN |2|FN |为定值．(1)解 由题意知直线l 的斜率存在且不为0， 故设直线l 的方程为x －1＝t (y －1) 即x ＝ty ＋1－t ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1－t ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4＋4t ＝0， ∴Δ＝16t 2＋16－16t ＝16(t 2－t ＋1)＞0，y 1＋y 2＝4t ， ∴4t ＝2，即t ＝12.∴直线l 的方程为2x －y －1＝0.(2)证明 ∵抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，∴焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0. 由题意知直线l 的斜率存在且不为0，∵直线l 过焦点F ，故设直线l 的方程为x ＝ty ＋p2(t ≠0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋p 2y 2＝2px，得y 2－2pty －p 2＝0， ∴y 1＋y 2＝2pt ，Δ＝4p 2t 2＋4p 2＞0. ∴x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋p ＝2pt 2＋p ， ∴M ⎝⎛⎭⎫pt 2＋p2，pt .∴MN 的方程为y －pt ＝－t ⎝⎛⎭⎫x －pt 2－p2. 令y ＝0，解得x ＝pt 2＋3p2，N ⎝⎛⎭⎫pt 2＋3p 2，0， ∴|MN |2＝p 2＋p 2t 2，|FN |＝pt 2＋3p 2－p2＝pt 2＋p ， ∴2|MN |2|FN |＝2(p 2＋p 2t 2)pt 2＋p＝2p ，为定值．2．(2020·新高考山东卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且过点A (2,1)．(1)求C 的方程；(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．(1)解 由题设得4a 2＋1b 2＝1, a 2－b 2a 2＝12，解得a 2＝6，b 2＝3. 所以C 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，代入x 26＋y 23＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 于是x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2.①由AM ⊥AN ，得AM →·AN →＝0， 故(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0. 将①代入上式，可得(k 2＋1)2m 2－61＋2k 2－(km －k －2)4km1＋2k 2＋(m －1)2＋4＝0， 整理得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0. 因为A (2,1)不在直线MN 上，所以2k ＋m －1≠0，所以2k ＋3m ＋1＝0，k ≠1. 所以直线MN 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －23－13(k ≠1)． 所以直线MN 过点P ⎝⎛⎭⎫23，－13. 若直线MN 与x 轴垂直，可得N (x 1，－y 1)．由AM →·AN →＝0，得(x 1－2)(x 1－2)＋(y 1－1)(－y 1－1)＝0.又x 216＋y 213＝1，所以3x 21－8x 1＋4＝0. 解得x 1＝2(舍去)，或x 1＝23.此时直线MN 过点P ⎝⎛⎭⎫23，－13. 令Q 为AP 的中点，即Q ⎝⎛⎭⎫43，13.若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边， 故|DQ |＝12|AP |＝223.若D 与P 重合，则|DQ |＝12|AP |.综上，存在点Q ⎝⎛⎭⎫43，13，使得|DQ |为定值．。
2023年高考数学(理科)一轮复习课件——圆锥曲线的综合问题 第二课时 定值问题
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(2)若直线 l 交椭圆 E 于 M，N 两点，直线 OM 的斜率为 k1，直线 ON 的斜率 为 k2，且 k1k2＝－19，证明：△OMN 的面积是定值，并求此定值.
证明 当直线l的斜率不存在时，
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答题模板
第一步 求圆锥曲线的方程 第二步 特殊情况分类讨论 第三步 联立直线和圆锥曲线的方程 第四步 应用根与系数的关系用参数表示点的坐标 第五步 根据相关条件计算推证 第六步 明确结论
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训练 2 (2021·大同调研)如图，在平面直角坐标系 xOy 中， 椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A，B，
已知|AB|＝4，且点e，345在椭圆上，其中 e 是椭圆的
离心率.
(1)求椭圆 C 的方程；
解 ∵|AB|＝4，∴2a＝4，即a＝2. 又点e，345在椭圆上，∴ae22＋1465b2＝1，即1c62 ＋1465b2＝1， 又b2＋c2＝a2＝4，联立方程解得b2＝3， ∴椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1.
(1)求动点 M 的轨迹 E 的方程；
[规范解答]
解 设M(x，y)，P(x0，y0)， 由(1－ 3)O→Q＝O→P－ 3O→M， 得O→Q－O→P＝ 3O→Q－ 3O→M， 即P→Q＝ 3M→Q，2 分
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∴xy00＝＝x，3y，又点 P(x0，y0)在圆 O：x2＋y2＝6 上， ∴x20＋y20＝6，∴x2＋3y2＝6， ∴轨迹 E 的方程为x62＋y22＝1.4 分
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感悟提升
解此类题的要点有两个：一是计算面积，二是恒等变形.如本题，要求△OMN 的面积，则需要计算弦长|MN|和原点 O 到直线 l 的距离 d，然后由面积公式 表达出 S△OMN(如果是其他凸多边形，一般需要分割成三角形分别求解)，再 将由已知得到的变量之间的等量关系代入面积关系式中，进行恒等变形， 即得 S△OMN 为定值23.
第11课_圆锥曲线中的定点、定值问题
x1
x2
x1x2
即 k m 2 代入 y kx m
那么 k(x 1) y 2x ，即直线 AB 过定点 (1,2)
另外，当直线垂直 x 轴时，设 A(x1, y1) ， B(x1, y1) ，代入 k1 k2 4 ， 易得 x1 1，即直线 AB 的方程为 x 1 ，也过定点 (1,2)
，直线过定点
(1,2)
f
(x,
y)
g(x,
y)
0
，则曲线以
f (x, g(x,
y) y)
0 0
的交点为定点。
【典例分析】
例 1．如图，过抛物线 y 2 x 上一点 A(4,2) 作倾斜角互补的两条直线 AB, AC 交 抛物线于 B, C 两点，求证：直线 BC 的斜率是定值。
证明：显然直线 AB, AC 的斜率都不是零，设 AB 的直线方程是 y k(x 4) 2 ，
k1
k1k 2 [ x
(
2
k
2 2
m)] ，
即 y k1k2 (x m) 2 ，
直线 MN 恒过定点 (m,2) .
【典例分析】
变式训练3. 已知椭圆方程 x2 y2 1 ，过点 P(0,2) 分别作直线 PA, PB 交椭圆于 A, B 两点，设直线 84
PA， PB的斜率分别为 k1 ， k2 ，且 k1 k2 4 ，求证：直线 AB 过定点
第11课 圆锥曲线中的定点、定值问题
【要点梳理】
1．解析几何中，定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是一个难点， 解决这类问题并没有常规方法，但基本思想是明确的，那就是定点、定值必 然是在变化中所表现出来的不变量，所以可运用函数的思想方法，结合等式 的恒成立求解，也就是说要与题中的可变量无关。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线中的“设而不求”(解析版)
圆锥曲线中的“设而不求”考情分析研究曲线方程及由方程研究曲线的有关性质问题,是圆锥曲线中的一个重要内容,其特点是代数的运算较为繁杂,许多学生会想而不善于运算,往往是列出式子后“望式兴叹”.在解决圆锥曲线问题时若能恰当使用“设而不求”的策略,可避免盲目推演造成的无效运算,从而达到准确、快速的解题效果.、解题秘籍(一)“设而不求”的实质及注意事项1.设而不求是解析几何解题的基本手段,是比较特殊的一种思想方法,其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少,通过设出相应的参数,利用题设条件加以巧妙转化,以参数为过渡,设而不求．2.在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时,需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的,都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参,而设参的原则是宜少不宜多．3. “设而不求”最常见的类型一是涉及动点问题，设出动点坐标，在运算过程中动点坐标通过四则运算消去，或利用根与系数的关系转化为关于其他参数的问题；二是涉及动直线问题，把斜率或截距作为参数，设出直线的方程，再通过运算消去.1(2023届山西省临汾市等联考高三上学期期中)已知椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1a >b >0 的长轴长为4，F 1，F 2为C 的左、右焦点，点P x 0,y 0 y 0≠0 在C 上运动，且cos ∠F 1PF 2的最小值为12.连接PF 1，PF 2并延长分别交椭圆C 于M ，N 两点.(1)求C 的方程；(2)证明：S △OPF 1S △OMF1+S△OPN S △OF 2N 为定值.2024年高考数学专项复习圆锥曲线中的“设而不求”（解析版）2(2023届江苏省连云港市高三上学期10月联考)已知椭圆中有两顶点为A -1,0 ，B 1,0 ，一个焦点为F 0,1 .(1)若直线l 过点F 且与椭圆交于C ，D 两点，当CD =322时，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点T 0,t t ≠0 且与椭圆交于C ，D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AD 与直线BC 交于点Q ，当点P 异A ，B 两点时，试问OP ⋅OQ是否是定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.(二)设点的坐标在涉及直线与圆锥曲线位置关系时,如何避免求交点,简化运算,是处理这类问题的关键,求解时常常设出点的坐标,设坐标方法即通过设一些辅助点的坐标,然后以坐标为参数,利用点的特性(条件)建立关系(方程).显然,这里的坐标只是为寻找关系而作为“搭桥”用的,在具体解题中是通过“设而不求”与“整体消元”解题策略进行的.3(2023届湖南省郴州市高三上学期质量监测)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的离心率为22，过坐标原点O 的直线交椭圆E 于P ,A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC .当C 为椭圆的右焦点时，△PAC 的面积为2.(1)求椭圆E 的方程；(2)若B 为AC 的延长线与椭圆E 的交点，试问：∠APB 是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.4(2023届江苏省南通市如皋市高三上学期期中)作斜率为32的直线l 与椭圆C :x 24+y 29=1交于A ,B 两点，且P 2,322在直线l 的左上方.(1)当直线l 与椭圆C 有两个公共点时，证明直线l 与椭圆C 截得的线段AB 的中点在一条直线上；(2)证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上.(三)设参数在求解与动直线有关的定点、定值或最值与范围问题时常设直线方程,因为动直线方程不确定,需要引入参数,这时常引入斜率、截距作为参数.5(2022届湖南省益阳市高三上学期月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1,F 2,其离心率为32,P 为椭圆C 上一动点,△F 1PF 2面积的最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)过右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,试问：在x 轴上是否存在定点Q ,使得QA ⋅QB为定值？若存在,求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由.(四)中点弦问题中的设而不求与中点弦有个的问题一般是设出弦端点坐标P x 1,y1,Q x2,y2代入圆锥曲线方程作差,得到关于y1-y2x1-x2,x1+x2,y1+y2的关系式,再结合题中条件求解.6中心在原点的双曲线E焦点在x轴上且焦距为4,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问题：①该曲线经过点A2,3；②该曲线的渐近线与圆x2-8x+y2+4=0相切；③点P在该双曲线上,F1、F2为该双曲线的焦点,当点P的纵坐标为32时,恰好PF1⊥PF2.(1)求双曲线E的标准方程；(2)过定点Q1,1能否作直线l,使l与此双曲线相交于Q1、Q2两点,且Q是弦Q1Q2的中点？若存在,求出l的方程；若不存在,说明理由.三、跟踪检测1(2023届河南省洛平许济高三上学期质量检测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点为F ，离心率为12，上顶点为0,3 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，与y 轴交于点M ，若MP =λPF ，MQ =μQF，判断λ+μ是否为定值？并说明理由．2(2023届江西省南昌市金太阳高三上学期10月联考)如图，长轴长为4的椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左顶点为A ，过原点O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 与y 轴分别交于M ，N 两点，当直线PQ 的斜率为22时，PQ =23.(1)求椭圆C 的方程.(2)试问是否存在定点T ，使得∠MTN =90°恒成立？若存在，求出定点T 的坐标；若不存在，说明理由.3(2023届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y22-x2=1的焦点重合，过点P4,0且不垂直于x轴的直线l与椭圆相交于A，B两点.(1)求椭圆C的方程；(2)若点B关于x轴的对称点为点E，证明：直线AE与x轴交于定点.4(2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1经过点2,-3，两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A,B两点.(1)求双曲线C的方程.(2)若动直线l经过双曲线的右焦点F2，是否存在x轴上的定点M m,0，使得以线段AB为直径的圆恒过M点？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由.5(2023届内蒙古自治区赤峰市高三上学期月考)平面内一动点P到定直线x=4的距离，是它与定点F1,0的距离的两倍.(1)求点P的轨迹方程C；(2)过F点作两条互相垂直的直线l1，l2(直线l1不与x轴垂直).其中，直线l1交曲线C于A，B两点，直线l2交曲线C于E，N两点，直线l2与直线x=m m>2交于点M，若直线MB，MF，MA的斜率k MB，k MF，k MA构成等差数列，求m的值.6(2023届福建省福州华侨中学高三上学期考试)在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0)，直线l:x=12，点M到l的距离为d，若点M满足|MF|=2d，记M的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)过点F(2,0)且斜率不为0的直线与C交于P，Q两点，设A(-1,0)，证明：以P，Q为直径的圆经过点A．7(2023届河南省安阳市高三上学期10月月考)已知椭圆M1:x2a2+y2b2=1a>b>0的左､右焦点分别为F1，F2，F1F2=2，面积为487的正方形ABCD的顶点都在M1上.(1)求M1的方程；(2)已知P为椭圆M2:x22a2+y22b2=1上一点，过点P作M1的两条切线l1和l2，若l1，l2的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值.8(2023届浙江省浙里卷天下高三上学期10月测试)已知F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1(-1,0)且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A,B两点，△ABF2的周长为8.(1)若△ABF2的面积为1227，求直线AB的方程；(2)过A,B两点分别作直线x=-4的垂线，垂足分别是E,F，证明：直线EB与AF交于定点.9(2023届江苏省南京市六校高三上学期10月联考)已知双曲线Γ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距为4，且过点P 2,33(1)求双曲线Γ的方程；(2)过双曲线Γ的左焦点F 分别作斜率为k 1,k 2的两直线l 1与l 2，直线l 1交双曲线Γ于A ,B 两点，直线l 2交双曲线Γ于C ,D 两点，设M ,N 分别为AB 与CD 的中点，若k 1⋅k 2=-1，试求△OMN 与△FMN 的面积之比.10(2022届北京市海淀区高三上学期期末)已知点A 0,-1 在椭圆C ：x 23+y 2b 2=1上.(1)求椭圆C 的方程和离心率；(2)设直线l ：y =k x -1 (其中k ≠1)与椭圆C 交于不同两点E ,F ,直线AE ,AF 分别交直线x =3于点M ,N .当△AMN 的面积为33时,求k 的值.11(2022届天津市第二中学高三上学期12月月考)已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长是4,且过点B0,1.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l：y=k x+2交椭圆于P,Q两点,若点B始终在以PQ为直径的圆内,求实数k的取值范围.12(2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期1月模拟)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点与抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点重合,椭圆C1的离心率为12,过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得弦的长度为42.(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程.(2)过点A(-4,0)的直线l与椭圆C1交于M,N两点,点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时,直线EN是否经过一定点?请判断并证明你的结论.13(2022届河北省高三上学期省级联测)已知椭圆P焦点分别是F1(0,-3)和F2(0,3),直线y= 3与椭圆P相交所得的弦长为1.(1)求椭圆P的标准方程；(2)将椭圆P绕原点逆时针旋转90°得到椭圆Q,在椭圆Q上存在A,B,C三点,且坐标原点为△ABC的重心,求△ABC的面积.14(2022届广东省佛山市高三上学期期末)已知双曲线C的渐近线方程为y=±33x,且过点P(3,2).(1)求C的方程；(2)设Q(1,0),直线x=t(t∈R)不经过P点且与C相交于A,B两点,若直线BQ与C交于另一点D,求证：直线AD过定点.15(2022届江苏省盐城市、南京市高三上学期1月模拟)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a,b>0)的右顶点为A,虚轴长为2,两准线间的距离为26 3.(1)求双曲线C的方程；(2)设动直线l与双曲线C交于P,Q两点,已知AP⊥AQ,设点A到动直线l的距离为d,求d的最大值.16(2022届浙江省普通高中强基联盟高三上学期统测)如图,已知椭圆C1:x24+y23=1,椭圆C2:y29+x24=1,A-2,0、B2,0.P为椭圆C2上动点且在第一象限,直线PA、PB分别交椭圆C1于E、F两点,连接EF交x轴于Q点.过B点作BH交椭圆C1于G,且BH⎳PA.(1)证明：k BF⋅k BG为定值；(2)证明直线GF过定点,并求出该定点；(3)若记P、Q两点的横坐标分别为x P、x Q,证明：x P x Q为定值.17(2022届湖北省新高考联考协作体高三上学期12月联考)已知圆O ：x 2+y 2=2,椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >2 的离心率为22,P 是C 上的一点,A 是圆O 上的一点,PA 的最大值为6+2.(1)求椭圆C 的方程；(2)点M 是C 上异于P 的一点,PM 与圆O 相切于点N ,证明：PO 2=PM ⋅PN .18已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的实轴长为8,离心率e =54.(1)求双曲线C 的方程；(2)直线l 与双曲线C 相交于P ,Q 两点,弦PQ 的中点坐标为A 8,3 ,求直线l 的方程.圆锥曲线中的“设而不求”考情分析研究曲线方程及由方程研究曲线的有关性质问题,是圆锥曲线中的一个重要内容,其特点是代数的运算较为繁杂,许多学生会想而不善于运算,往往是列出式子后“望式兴叹”.在解决圆锥曲线问题时若能恰当使用“设而不求”的策略,可避免盲目推演造成的无效运算,从而达到准确、快速的解题效果.、解题秘籍(一)“设而不求”的实质及注意事项1.设而不求是解析几何解题的基本手段,是比较特殊的一种思想方法,其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少,通过设出相应的参数,利用题设条件加以巧妙转化,以参数为过渡,设而不求．2.在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时,需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的,都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参,而设参的原则是宜少不宜多．3. “设而不求”最常见的类型一是涉及动点问题，设出动点坐标，在运算过程中动点坐标通过四则运算消去，或利用根与系数的关系转化为关于其他参数的问题；二是涉及动直线问题，把斜率或截距作为参数，设出直线的方程，再通过运算消去.1(2023届山西省临汾市等联考高三上学期期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的长轴长为4，F 1，F 2为C 的左、右焦点，点P x 0,y 0 y 0≠0 在C 上运动，且cos ∠F 1PF 2的最小值为12.连接PF 1，PF 2并延长分别交椭圆C 于M ，N 两点.(1)求C 的方程；(2)证明：S △OPF 1S △OMF 1+S △OPN S △OF 2N为定值.【解析】(1)由题意得a =2，设PF 1 ，PF 2 的长分别为m ，n ，m +n =2a =4则cos ∠F 1PF 2=m 2+n 2-4c 22mn =m +n 2-4c 2-2mn 2mn =2b 2mn-1≥2b 2m +n 22-1=2b 2a2-1，当且仅当m=n 时取等号，从而2b 2a 2-1=12，得b 2a 2=34，∴b 2=3，则椭圆的标准方程为x 24+y 23=1；(2)由(1)得F 1-1,0 ，F 21,0 ，设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，设直线PM 的方程为x =x 0+1y 0y -1，直线PN 的方程为x =x 0-1y 0y +1，由x =x 0+1y 0y -1x 24+y 23=1，得3x 0+1 2y 02+4 y 2-6x 0+1 y 0y -9=0，则y 0y 1=-93x 0+1 2y 02+4=-9y 023x 0+1 2+4y 02=-9y 023x 02+4y 02+6x 0+3=-3y 022x 0+5，∴y 1=-3y 02x 0+5，同理可得y 2=-3y 05-2x 0，所以S △OPF 1S △OMF 1+S △OPN S △OF 2N =12OF 1 y 0 12OF 1 y 1 +12OF 2y 0 +y 2 12OF 2 y 2 =-y 0y 1+y 0y 2+1=-y 0-3y 02x 0+5+y 0-3y 05-2x 0+1=133.所以S △OPF 1S △OMF 1+S △OPN S △OF 2N 为定值133.2(2023届江苏省连云港市高三上学期10月联考)已知椭圆中有两顶点为A -1,0 ，B 1,0 ，一个焦点为F 0,1 .(1)若直线l 过点F 且与椭圆交于C ，D 两点，当CD =322时，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点T 0,t t ≠0 且与椭圆交于C ，D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AD 与直线BC 交于点Q ，当点P 异A ，B 两点时，试问OP ⋅OQ是否是定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.【解析】(1)∵椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)，由已知得b =1，c =1，所以a =2，椭圆的方程为y 22+x 2=1，当直线l 与x 轴垂直时与题意不符，设直线l 的方程为y =kx +1，C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，将直线l 的方程代入椭圆的方程化简得k 2+2 x 2+2kx -1=0，则x 1+x 2=-2k k 2+2，x 1⋅x 2=-1k 2+2，∴CD =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1x 2=1+k 2⋅-2k k 2+22+4⋅1k 2+2=22(k 2+1)k 2+2=322，解得k =±2.∴直线l 的方程为y =±2x +1；(2)当l ⊥x 轴时，AC ⎳BD ，不符合题意，当l 与x 轴不垂直时，设l ：y =kx +t ，则P -tk ,0 ，设C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，联立方程组y =kx +tx 2+y 22=1 得2+k 2 x 2+2ktx +t 2-2=0，∴x 1+x 2=-2kt 2+k 2，x 1x 2=t 2-22+k 2，又直线AD ：y =y 2x 2+1(x +1)，直线BC ：y =y 1x 1-1(x -1)，由y =y2x 2+1(x +1)y =y 1x 1-1(x -1) 可得y 2x 2+1(x +1)=y 1x 1-1(x -1)，即kx 2+t x 2+1(x +1)=kx 1+t x 1-1(x -1)，kx 2+t x 1-1 (x +1)=kx 1+t x 2+1 (x -1)，kx 1x 2-kx 2+tx 1-t x +1 =kx 1x 2+kx 1+tx 2+t x -1 ，k x 1+x 2 +t x 2-x 1 +2t x =2kx 1x 2-k x 2-x 1 +t x 1+x 2 ，k ⋅-2kt 2+k 2+t x 2-x 1 +2t x =2k ⋅t 2-22+k 2-k x 2-x 1 +t ⋅-2kt 2+k 2，4t 2+k 2+t x 2-x 1 x =-4k 2+k 2-k x 2-x 1 ，即t 42+k 2+x 2-x 1 x =-k 42+k 2+x 2-x 1 ，得x =-k t，∴Q 点坐标为Q -kt,y Q ，∴OP ⋅OQ =-t k ,0 ⋅-k t ,y Q =-t k-kt +0⋅y Q =1，所以OP ⋅OQ=1为定值.(二)设点的坐标在涉及直线与圆锥曲线位置关系时,如何避免求交点,简化运算,是处理这类问题的关键,求解时常常设出点的坐标,设坐标方法即通过设一些辅助点的坐标,然后以坐标为参数,利用点的特性(条件)建立关系(方程).显然,这里的坐标只是为寻找关系而作为“搭桥”用的,在具体解题中是通过“设而不求”与“整体消元”解题策略进行的.3(2023届湖南省郴州市高三上学期质量监测)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的离心率为22，过坐标原点O 的直线交椭圆E 于P ,A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC .当C 为椭圆的右焦点时，△PAC 的面积为2.(1)求椭圆E 的方程；(2)若B 为AC 的延长线与椭圆E 的交点，试问：∠APB 是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.【解析】(1)∵椭圆离心率e =c a =22，∴c 2=12a 2，则b 2=a 2-c 2=12a 2，当C 为椭圆右焦点时，PC =b 2a =12a ；∵S △PAC =2S △POC =2×12c ⋅12a =12ac =24a 2=2，解得：a 2=4，∴b 2=2，∴椭圆E 的方程为：x 24+y 22=1.(2)由题意可设直线AP :y =kx k >0 ，P x 0,kx 0 ，B x 1,y 1 ，则A -x 0,-kx 0 ，C x 0,0 ，∴k AC =kx 0x 0+x0=k2，∴直线AC :y =k2x -x 0 ；由y =k 2x -x 0x24+y22=1得：k 2+2 x 2-2k 2x 0x +k 2x 20-8=0，∴-x 0+x 1=2k 2x 0k 2+2，则x 1=2k 2x 0k 2+2+x 0，∴y 1=k 2x 1-x 0 =k 22k 2x 0k 2+2+x 0-x 0=k 3x 0k 2+2，∴B 2k 2x 0k 2+2+x 0,k 3x 0k 2+2；∴PB =2k 2x 0k 2+2,-2kx 0k 2+2，又PA =-2x 0,-2kx 0 ，∴PA ⋅PB =-2x 0⋅2k 2x 0k 2+2+-2kx 0 ⋅-2kx 0k 2+2=0，则PA ⊥PB ，∴∠APB 为定值90°.4(2023届江苏省南通市如皋市高三上学期期中)作斜率为32的直线l 与椭圆C :x 24+y 29=1交于A ,B 两点，且P 2,322在直线l 的左上方.(1)当直线l 与椭圆C 有两个公共点时，证明直线l 与椭圆C 截得的线段AB 的中点在一条直线上；(2)证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上.【解析】(1)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，AB 中点坐标为x 0,y 0 ，AB :y =32x +m 所以有x 0=x 1+x 22y 0=y 1+y 22，联立x 24+y 29=1y =32x +m，得9x 2+6mx +2m 2-18=0，得Δ=6m 2-4×92m 2-18 >0，得m 2<18，由韦达定理可知x 1+x 2=-2m 3，x 1x 2=2m 2-189，所以y 1+y 2=32x 1+m +32x 2+m =32x 1+x 2 +2m =m ，所以x 0=-m 3y 0=m 2，化简得：y 0=-32x 0，所以线段AB 的中点在直线y =-32x 上.(2)由题可知PA ，PB 的斜率分别为k PA =y 1-322x 1-2，k PB =y 2-322x 2-2，所以k PA +k PB =y 1-322x 1-2+y 2-322x 2-2=y 1-322 x 2-2 +y 2-322 x 1-2x 1x 2-2x 1+x 1 +2，因为y 1=32x 1+m ,y 2=32x 2+m 得k PA +k PB =3x 1x 2+m -32 x 1+x 1 -22m +6x 1x 2-2x 1+x 1 +2由(1)可知x 1+x 2=-2m 3，x 1x 2=2m 2-189，所以k PA +k PB =32m 2-189 +m -32 -23m -22m +62m 2-189-2-23m+2=0，又因为P 2,322在直线l 的左上方，所以∠APB 的角平分线与y 轴平行，所以△PAB 的内切圆的圆心在x =2这条直线上.(三)设参数在求解与动直线有关的定点、定值或最值与范围问题时常设直线方程,因为动直线方程不确定,需要引入参数,这时常引入斜率、截距作为参数.5(2022届湖南省益阳市高三上学期月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1,F 2,其离心率为32,P 为椭圆C 上一动点,△F 1PF 2面积的最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)过右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,试问：在x 轴上是否存在定点Q ,使得QA ⋅QB为定值？若存在,求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由.【解析】(1)设椭圆C 的半焦距为c ,因离心率为32,则c a =32,由椭圆性质知,椭圆短轴的端点到直线F 1F 2的距离最大,则有S △F 1PF 2max =12⋅2c ⋅b =bc ,于是得bc =3,又a 2=b 2+c 2,联立解得a =2,b =1,c =3,所以椭圆C 的方程为：x 24+y 2=1.(2)由(1)知,点F 23,0 ,当直线斜率存在时,不妨设l :y =k (x -3),A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由y =k (x -3)x 2+4y 2=4消去y 并整理得,(1+4k 2)x 2-83k 2x +12k 2-4=0,x 1+x 2=83k 21+4k 2,x 1x 2=12k 2-41+4k2,假定在x 轴上存在定点Q 满足条件,设点Q (t ,0),则QA ⋅QB=(x 1-t )(x 2-t )+y 1y 2=x 1x 2-t (x 1+x 2)+t 2+k 2(x 1-3)(x 2-3)=(1+k 2)x 1x 2-(3k 2+t )(x 1+x 2)+t 2+3k 2=(1+k 2)⋅12k 2-41+4k 2-(3k 2+t )⋅83k 21+4k 2+t 2+3k2=(4t 2-83t +11)k 2+t 2-41+4k 2,当t 2-4=4t 2-83t +114,即t =938时,QA ⋅QB =t 2-4=-1364,当直线l 斜率不存在时,直线l ：x =-3与椭圆C 交于点A ,B ,由对称性不妨令A 3,12 ,B 3,-12,当点Q 坐标为938,0时,QA =-38,12 ,QB =-38,-12 ,QA ⋅QB =-38,12⋅-38,-12 =-1364,所以存在定点Q 938,0,使得QA ⋅QB 为定值-1364.(四)中点弦问题中的设而不求与中点弦有个的问题一般是设出弦端点坐标P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 代入圆锥曲线方程作差,得到关于y 1-y 2x 1-x 2,x 1+x 2,y 1+y 2的关系式,再结合题中条件求解.6中心在原点的双曲线E 焦点在x 轴上且焦距为4,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问题：①该曲线经过点A 2,3 ；②该曲线的渐近线与圆x 2-8x +y 2+4=0相切；③点P 在该双曲线上,F 1、F 2为该双曲线的焦点,当点P 的纵坐标为32时,恰好PF 1⊥PF 2.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)过定点Q 1,1 能否作直线l ,使l 与此双曲线相交于Q 1、Q 2两点,且Q 是弦Q 1Q 2的中点？若存在,求出l 的方程；若不存在,说明理由.【解析】(1)设双曲线E 的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1a >b >0 .选①：由题意可知,双曲线E 的两个焦点分别为F 1-2,0 、F 22,0 ,由双曲线的定义可得2a =AF 1 -AF 2 =42+32-3 =2,则a =1,故b =c 2-a 2=3,所以,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.选②：圆x 2-8x +y 2+4=0的标准方程为x -4 2+y 2=12,圆心为4,0 ,半径为23,双曲线E 的渐近线方程为y =±bax ,由题意可得4b a 1+b a2=23,解得ba=3,即b =3a ,因为c =a 2+b 2=2a =2,则a =1,b =3,因此,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.选③：由勾股定理可得PF 1 2+PF 2 2=4c 2=16=PF 1 -PF 2 2+2PF 1 ⋅PF 2 =4a 2+2PF 1 ⋅PF 2 ,所以,PF 1 ⋅PF 2 =2c 2-a 2 =2b 2,则S △F 1PF 2=12PF 1 ⋅PF 2 =b 2=12×32×4,则b =3,故a =c 2-b 2=1,所以,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.(2)假设满足条件的直线l 存在,设点Q 1x 1,y 1 、Q 2x 2,y 2 ,则x 1+x 2=2y 1+y 2=2,由题意可得x 21-y 213=1x 22-y 223=1,两式作差得x 1-x 2 x 1+x 2 =y 1-y 2 y 1+y 23,所以,直线l 的斜率为k =y 1-y 2x 1-x 2=3,所以,直线l 的方程为y -1=3x -1 ,即y =3x -2.联立y =3x -2x 2-y 23=1 ,整理可得6x 2-12x +7=0,Δ=122-4×6×7<0,因此,直线l 不存在.三、跟踪检测1(2023届河南省洛平许济高三上学期质量检测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点为F ，离心率为12，上顶点为0,3 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，与y 轴交于点M ，若MP =λPF ，MQ =μQF，判断λ+μ是否为定值？并说明理由．【解析】(1)由题意可得b =3e =c a =12a 2=b 2+c 2，解得a =2b =3c =1，故椭圆C 的方程x 24+y 23=1.(2)λ+μ为定值-83，理由如下：由(1)可得F 1,0 ，由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l ：y =k x -1 ,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，则M 0,-k ，联立方程y =k x -1x 24+y 23=1，消去y 得4k 2+3 x 2-8k 2x +4k 2-12=0，则Δ=-8k 2 2-44k 2+3 4k 2-12 =144k 2+1 >0,x 1+x 2=8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2-124k 2+3，MP =x 1,y 1+k ,PF =1-x 1,-y 1 ,MQ =x 2,y 2+k ,QF=1-x 2,-y 2 ，∵MP =λPF ，MQ =μQF ，则x 1=λ1-x 1 x 2=μ1-x 2 ，可得λ=x11-x 1μ=x 21-x2，λ+μ=x 11-x 1+x 21-x 2=x 1+x 2 -2x 1x 21-x 1+x 2 +x 1x 2=8k 24k 2+3-24k 2-12 4k 2+31-8k 24k 2+3+4k 2-124k 2+3=-83(定值).2(2023届江西省南昌市金太阳高三上学期10月联考)如图，长轴长为4的椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左顶点为A ，过原点O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 与y 轴分别交于M ，N 两点，当直线PQ 的斜率为22时，PQ =23.(1)求椭圆C 的方程.(2)试问是否存在定点T ，使得∠MTN =90°恒成立？若存在，求出定点T 的坐标；若不存在，说明理由.【解析】(1)由题意可知2a =4,a =2，则椭圆方程C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 即x 24+y 2b 2=1，当直线PQ 的斜率为22时，PQ =23，故设P x 0,22x 0 ，∴x 20+22x 0 2=3，解得x 20=2，将P x 0,22x 0 代入x 24+y 2b 2=1得x 024+x 022b 2=1，即24+22b2=1，故b 2=2，所以椭圆的标准方程为x 24+y 22=1；(2)设P (x 0,y 0),x 0∈[-2,2]，则Q (-x 0,-y 0)，则x 204+y 202=1,∴x 20+2y 20=4，由椭圆方程x 24+y 22=1可得A (-2，0)，∴直线PA 方程为︰y =y 0x 0+2(x +2)，令x =0可得M 0,2y 0x 0+2，直线QA 方程为：y =y 0x 0-2(x +2)，令x =0得N 0,2y 0x 0-2，假设存在定点T ，使得∠MTN =90°，则定点T 必在以MN 为直径的圆上，以MN 为直径的圆为x 2+y -2x 0y 0x 02-42=16y 02x 20-42,即x 2+y 2-4x 0y 0x 20-4y +4y 20x 20-4=0，∵x 20+2y 20=4，即x 20-4=-2y 20,∴x 2+y 2+2x 0y 0y -2=0，令y =0，则x 2-2=0，解得x =±2，∴以MN 为直径的圆过定点(±2,0)，即存在定点T (±2,0)，使得∠MTN =90°．3(2023届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y 22-x 2=1的焦点重合，过点P 4,0 且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)若点B 关于x 轴的对称点为点E ，证明：直线AE 与x 轴交于定点.【解析】(1)由双曲线y 22-x 2=1得焦点0,±3 ，得b =3，由题意可得b =3a 2=b 2+c 2e =c a =12 ，解得a =2，c =1，故椭圆C 的方程为；x 24+y 23=1.(2)设直线l :y =k x -4 ，点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则点E x 2,-y 2 .由y =k x -4x 24+y 23=1，得4k 2+3 x 2-32k 2x +64k 2-12=0，Δ=32k 2 2-44k 2+3 64k 2-12 >0，解得-12<k <12，从而x 1+x 2=32k 24k 2+3，x 1x 2=64k 2-124k 2+3，直线AE 的方程为y -y 1=y 1+y 2x 1-x 2x -x 1 ，令y =0得x =x 1y 2+x 2y 1y 1+y 2，又∵y 1=k x 1-4 ，y 2=k x 2-4 ，则x =kx 1x 2-4 +kx 2x 1-4 k x 1-4 +k x 2-4 =2x 1x 2-4x 1+x 2x 1+x 2-8，即x =2⋅64k 2-124k 2+3-4⋅32k 24k 2+332k 24k 2+3-8=1，故直线AE 与x 轴交于定点1,0 .4(2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1经过点2,-3 ，两条渐近线的夹角为60°，直线l 交双曲线于A ,B 两点.(1)求双曲线C 的方程.(2)若动直线l 经过双曲线的右焦点F 2，是否存在x 轴上的定点M m ,0 ，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点？若存在，求实数m 的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)∵两条渐近线的夹角为60°，∴渐近线的斜率±b a =±3或±33，即b =3a 或b =33a ；当b =3a 时，由4a 2-9b 2=1得：a 2=1，b 2=3，∴双曲线C 的方程为：x 2-y 23=1；当b =33a 时，方程4a 2-9b2=1无解；综上所述：∴双曲线C 的方程为：x 2-y 23=1.(2)由题意得：F 22,0 ，假设存在定点M m ,0 满足题意，则MA ⋅MB =0恒成立；方法一：①当直线l 斜率存在时，设l :y =k x -2 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由y =k x -2x 2-y 23=1得：3-k 2x 2+4k 2x -4k 2+3 =0，∴3-k 2≠0Δ=361+k 2 >0 ，∴x 1+x 2=4k 2k 2-3，x 1x 2=4k 2+3k 2-3，∴MA ⋅MB=x 1-m x 2-m +y 1y 2=x 1x 2-m x 1+x 2 +m 2+k 2x 1x 2-2x 1+x 2 +4 =1+k 2 x 1x 2-2k 2+m x 1+x 2 +4k 2=4k 2+3 1+k 2k 2-3-4k 22k 2+mk 2-3+m 2+4k 2=0，∴4k 2+3 1+k 2 -4k 22k 2+m +m 2+4k 2 k 2-3 =0，整理可得：k 2m 2-4m -5 +3-3m 2 =0，由m 2-4m -5=03-3m 2=0得：m =-1；∴当m =-1时，MA ⋅MB=0恒成立；②当直线l 斜率不存在时，l :x =2，则A 2,3 ，B 2,-3 ，当M -1,0 时，MA =3,3 ，MB =3,-3 ，∴MA ⋅MB=0成立；综上所述：存在M -1,0 ，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点.方法二：①当直线l 斜率为0时，l :y =0，则A -1,0 ，B 1,0 ，∵M m ,0 ，∴MA =-1-m ,0 ，MB=1-m ,0 ，∴MA ⋅MB=m 2-1=0，解得：m =±1；②当直线l 斜率不为0时，设l :x =ty +2，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由x =ty +2x 2-y 23=1得：3t 2-1 y 2+12ty +9=0，∴3t 2-1≠0Δ=123t 2+3 >0 ，∴y 1+y 2=-12t 3t 2-1，y 1y 2=93t 2-1，∴MA ⋅MB=x 1-m x 2-m +y 1y 2=x 1x 2-m x 1+x 2 +m 2+y 1y 2=ty 1+2 ty 2+2 -m ty 1+2+ty 2+2+m 2+y 1y 2=t 2+1 y 1y 2+2t -mt y 1+y 2 +4-4m +m 2=9t 2+1 3t 2-1-12t 2t -mt 3t 2-1+4-4m +m 2=12m -15 t2+93t 2-1+2-m 2=0；当12m -153=9-1，即m =-1时，MA ⋅MB =0成立；综上所述：存在M -1,0 ，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点.5(2023届内蒙古自治区赤峰市高三上学期月考)平面内一动点P 到定直线x =4的距离，是它与定点F 1,0 的距离的两倍.(1)求点P 的轨迹方程C ；(2)过F 点作两条互相垂直的直线l 1，l 2(直线l 1不与x 轴垂直).其中，直线l 1交曲线C 于A ，B 两点，直线l 2交曲线C 于E ，N 两点，直线l 2与直线x =m m >2 交于点M ，若直线MB ，MF ，MA 的斜率k MB ，k MF ，k MA 构成等差数列，求m 的值.【解析】(1)设点P x ,y ，由题，有PFx -4 =12，即x -1 2+y 2x -4=12，解得3x 2+4y 2=12，所以所求P 点轨迹方程为x 24+y 23=1(2)由题，直线l 1的斜率存在且不为0，设直线l 1的方程为y =k x -1 ，与曲线C 联立方程组得y =k x -1x 24+y 23=1，解得4k 2+3 x 2-8k 2x +4k 2-12=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则有x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2-124k 2+3依题意有直线l 2的斜率为-1k ，则直线l 2的方程为y =-1k x -1 ，令x =m ，则有M 点的坐标为m ,-m -1k，由题，k MF =m -1k 1-m =-1k ，k MA +k MB =y 1+m -1kx 1-m+y 2+m -1kx 2-m=y 1x 1-m +y 2x 2-m +1k m -1x 1-m+m -1x 2-m=k x 1-1 x 1-m +k x 2-1 x 2-m +1k m -1x 1-m+m -1x 2-m=k ×2x 1x 2-1+m x 1+x 2 +2m x 1x 2-x 1+x 2 m +m 2+1k ×m -1 x 1+x 2-2m x 1x 2-x 1+x 2 m +m 2=k ×6m -244k 2+34k 2-124k 2+3-m ×8k 24k 2+3+m2+1k×m -18k 24k 2+3-2m4k 2-124k 2+3-m ×8k 24k 2+3+m 2，因为2k MF =k MA +k MB ，所以k ×6m -244k 2+34k 2-124k 2+3-m ×8k 24k 2+3+m 2+1k×m -18k 24k 2+3-2m4k 2-124k 2+3-m ×8k 24k 2+3+m 2=-2k解得m -4 k 2+1 =0，则必有m -4=0，所以m =4.6(2023届福建省福州华侨中学高三上学期考试)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F (2,0)，直线l :x =12，点M 到l 的距离为d ，若点M 满足|MF |=2d ，记M 的轨迹为C ．(1)求C 的方程；(2)过点F (2,0)且斜率不为0的直线与C 交于P ，Q 两点，设A (-1,0)，证明：以P ，Q 为直径的圆经过点A ．【解析】(1)设点M x ,y ，则d =x -12,MF =(x -2)2+y 2，由MF =2d ，得(x -2)2+y 2=2x -12，两边平方整理得3x 2-y 2=3，则所求曲线C 的方程为x 2-y 23=1.(2)设直线m 的方程为x =ty +2,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程x =ty +2,3x 2-y 2=3，消去x 并整理得3t 2-1 y 2+12ty +9=0,，因为直线m 与C 交于两点，故t ≠±33，此时Δ=(12t )2-43t 2-1 ⋅9=36t 2+1 >0，所以y 1+y 2=-12t 3t 2-1,y 1y 2=93t 2-1，而x 1+x 2=t y 1+y 2 +4,x 1x 2=ty 1+2 ty 2+2 =t 2y 1y 2+2t y 1+y 2 +4.又AP =x 1+1,y 1 ,AQ=x 2+1,y 2 ，所以AP ⋅AQ=x 1+1 x 2+1 +y 1y 2=y 1y 2+x 1+x 2+x 1x 2+1=t 2+1 y 1y 2+3t y 1+y 2 +9=9t 2+93t 2-1-36t 23t 2-1+9=9-3t 2+1 3t 2-1+9=0.所以AP ⊥AQ ，即以P ，Q 为直径的圆经过点A .7(2023届河南省安阳市高三上学期10月月考)已知椭圆M 1:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左､右焦点分别为F 1，F 2，F 1F 2 =2，面积为487的正方形ABCD 的顶点都在M 1上.(1)求M 1的方程；(2)已知P 为椭圆M 2:x 22a 2+y 22b 2=1上一点，过点P 作M 1的两条切线l 1和l 2，若l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值.【解析】(1)根据对称性，不妨设正方形的一个顶点为A x ,x ，由x 2a 2+x 2b 2=1，得x 2=a 2b 2a 2+b 2，所以2a 2b 2a 2+b 2×2a 2b 2a 2+b2=487，整理得12a 2+b 2 =7a 2b 2.①又a 2-b 2=F 1F 222=1，②由①②解得a 2=4，b 2=3，故所求椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)由已知及(1)可得M 2:x 28+y 26=1，设点P x 0,y 0 ，则y 20=61-x 208.设过点P 与M 1相切的直线l 的方程为y -y 0=k x -x 0 ，与x 24+y 23=1联立消去y 整理可得4k 2+3 x 2+8k y 0-kx 0 x +4y 0-kx 0 2-3 =0，令Δ=8k y 0-kx 0 2-4×4k 2+3 ×4y 0-kx 0 2-3 =0，整理可得x 20-4 k 2-2kx 0y 0+y 20-3=0，③根据题意k 1和k 2为方程③的两个不等实根，所以k 1k 2=y 20-3x 20-4=61-x 28 -3x 20-4=-34x 20-4 x 20-4=-34，即k 1k 2为定值-34.8(2023届浙江省浙里卷天下高三上学期10月测试)已知F 1,F 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1(-1,0)且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ,B 两点，△ABF 2的周长为8.(1)若△ABF 2的面积为1227，求直线AB 的方程；(2)过A ,B 两点分别作直线x =-4的垂线，垂足分别是E ,F ，证明：直线EB 与AF 交于定点.【解析】(1)因△ABF 2的周长为8，由椭圆定义得4a =8，即a =2，而半焦距c =1，又a 2=b 2+c 2，则b 2=3，椭圆C 的方程为x 24+y 23=1，依题意，设直线AB 的方程为x =my -1，由x =my -13x 2+4y 2=12消去x 并整理得3m 2+4 y 2-6my -9=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4，|y 1-y 2|=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=6m 3m 2+42+363m 2+4=12m 2+13m 2+4，因此S △F 2AB =12F 1F 2 ⋅y 1-y 2 =12×2×12m 2+13m 2+4=1227，解得m =±1，所以直线AB 的方程为x -y +1=0或x +y +1=0.(2)由(1)知A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则E -4,y 1 ，F -4,y 2 ，设直线EB 与AF 交点为M (x ,y )，则FA =(x 1+4,y 1-y 2),FM =(x +4,y -y 2)，EB =(x 2+4,y 2-y 1),EM =(x +4,y -y 1)，而FA ⎳FM ，EB ⎳EM ，则(x +4)(y 1-y 2)=(y -y 2)(x 1+4)，(x +4)(y 2-y 1)=(y -y 1)(x 2+4)，两式相加得：y (x 1+x 2+8)-y 2(my 1+3)-y 1(my 2+3)=0，而x 1+x 2+8>0，则y (x 1+x 2+8)=2my 1y 2+3(y 1+y 2)=2m ⋅-93m 2+4+3⋅6m3m 2+4=0，因此y =0，两式相减得：2(x +4)(y 1-y 2)=-y 2(x 1+4)+y 1(x 2+4)=-y 2(my 1+3)+y 1(my 2+3)=3(y 1-y 2)，而y 1-y 2≠0，则x =-52，即M -52,0 ，所以直线EB 与AF 交于定点M -52,0 .9(2023届江苏省南京市六校高三上学期10月联考)已知双曲线Γ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距为4，且过点P 2,33(1)求双曲线Γ的方程；(2)过双曲线Γ的左焦点F 分别作斜率为k 1,k 2的两直线l 1与l 2，直线l 1交双曲线Γ于A ,B 两点，直线l 2交双曲线Γ于C ,D 两点，设M ,N 分别为AB 与CD 的中点，若k 1⋅k 2=-1，试求△OMN 与△FMN 的面积之比.【解析】(1)由题意得2c =4，得c =2，所以a 2+b 2=4，因为点P 2,33在双曲线上，所以4a 2-13b 2=1，解得a 2=3,b 2=1，所以双曲线方程为x 23-y 2=1，(2)F (-2,0)，设直线l 1方程为y =k 1(x +2)，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由y =k 1(x +2)x 23-y 2=1，得(1-3k 12)x 2-12k 12x -12k 12-3=0则x 1+x 2=12k 121-3k 12,x 1x 2=-12k 12-31-3k 12，所以x 1+x 22=6k 121-3k 12，所以AB 的中点M 6k 121-3k 12,2k 11-3k 12，因为k 1⋅k 2=-1，所以用-1k 1代换k 1，得N 6k 12-3,-2k 1k 12-3，当6k 121-3k 12=61-3k 12，即k 1=±1时，直线MN 的方程为x =-3，过点E (-3,0)，当k 1≠±1时，k MN =2k 11-3k 12--2k 1k 12-36k121-3k 12-6k 12-3=-2k 13(k 12-1)，直线MN 的方程为y -2k 11-3k 12=-2k 13(k 12-1)x -6k 121-3k 12，令y =0，得x =3(k 12-1)1-3k 12+6k 121-3k 12=-3，所以直线MN 也过定点E (-3,0)，所以S △OMN S △FMN =12y N-y M OE 12y M-y N FE =OE FE =310(2022届北京市海淀区高三上学期期末)已知点A 0,-1 在椭圆C ：x 23+y 2b 2=1上.(1)求椭圆C 的方程和离心率；(2)设直线l ：y =k x -1 (其中k ≠1)与椭圆C 交于不同两点E ,F ,直线AE ,AF 分别交直线x =3于点M ,N .当△AMN 的面积为33时,求k 的值.【解析】(1)将点A 0,-1 代入x 23+y 2b 2=1,解得b 2=1,所以椭圆C 的方程为x 23+y 2=1又c 2=a 2-b 2=3-1=2,离心率e =c 2a 2=23=63(2)联立y =k x -1x 23+y 2=1,整理得(1+3k 2)x 2-6k 2x +3k 2-3=0设点E ,F 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)由韦达定理得：x 1+x 2=6k 21+3k 2,x 1x 2=3k 2-31+3k 2直线AE 的方程为y +1=y 1+1x 1x ,令x =3,得y =3y 1+3x 1-1,即M 3,3y 1+3x 1-1直线AF 的方程为y +1=y 2+1x 2x ,令x =3,得y =3y 2+3x 2-1,即N 3,3y 2+3x 2-1MN =3y 2+3x 2-1-3y 1+3x 1-1=3×x 1y 2-x 2y 1+x 1-x 2x 1x 2 =3×k -1 x 1-x2x 1x 2=3×k -1x 1+x 22-4x 1x 2x 1x 22=3×k -1 ×232k 2+1k 2-1 =23×2k 2+1k +1 所以△AMN 的面积S =12×MN ×3=32×MN =33×2k 2+1k +1 =33即2k 2+1k +1 =1⇒2k 2+1=k +1 ,解得k =0或k =2所以k 的值为0或211(2022届天津市第二中学高三上学期12月月考)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的长轴长是4,且过点B 0,1 .(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l ：y =k x +2 交椭圆于P ,Q 两点,若点B 始终在以PQ 为直径的圆内,求实数k 的取值范围.【解析】(1)由题意,得2a =4,b =1,所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1；(2)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),联立y =k (x +2)x 24+y 2=1,得x 2+4k 2(x +2)2-4=0,即(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2-4=0,则x 1+x 2=-16k 21+4k 2,因为直线y =k x +2 恒过椭圆的左顶点(-2,0),所以x 1=-2,y 1=0,则x 2=-16k 21+4k 2+2=2-8k 21+4k 2,y 2=k (x 2+2)=4k1+4k 2,因为点B 始终在以PQ 为直径的圆内,所以π2<∠PBQ ≤π,即BP ·BQ <0,又BP =-2,-1 ,BQ=(x 2,y 2-1),则BP ·BQ=-2x 2-y 2+1<0,即4-16k 21+4k 2+4k 1+4k 2-1>0,即20k 2-4k -3<0,解得-310<k<12,所以实数k的取值范围为-310<k<12.12(2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期1月模拟)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点与抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点重合,椭圆C1的离心率为12,过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得弦的长度为42.(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程.(2)过点A(-4,0)的直线l与椭圆C1交于M,N两点,点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时,直线EN是否经过一定点?请判断并证明你的结论.【解析】(1)设椭圆C1的半焦距为c.依题意,可得a=p2,则C2:y2=4ax,代入x=c,得y2=4ac,即y=±2ac,所以4ac=42,则有ac=2ca=12a2=b2+c2,所以a=2,b=3,所以椭圆C1的方程为x24+y23=1,抛物线C2的方程为y2=8x.(2)依题意,当直线l的斜率不为0时,设其方程为x=ty-4,由x=ty-43x2+4y2=12,得(3t2+4)y2-24ty+36=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则E(x1,-y1).由Δ>0,得t<-2或t>2,且y1+y2=24t3t2+4,y1y2=363t2+4.根据椭圆的对称性可知,若直线EN过定点,此定点必在x轴上,设此定点为Q(m,0).因为k NQ=k EQ,所以y2x2-m=-y1x1-m,(x1-m)y2+(x2-m)y1=0,即(ty1-4-m)y2+(ty2-4-m)y1=0,2ty1y2-(m+4)(y1+y2)=0,即2t·363t2+4-(m+4)·24t3t2+4=0,得(3-m-4)t=(-m-1)t=0,由t是大于2或小于-2的任意实数知m=-1,所以直线EN过定点Q(-1,0).当直线l的斜率为0时,直线EN的方程为y=0,也经过点Q(-1,0),所以当直线l绕点A旋转时,直线EN恒过一定点Q(-1,0).13(2022届河北省高三上学期省级联测)已知椭圆P焦点分别是F1(0,-3)和F2(0,3),直线y= 3与椭圆P相交所得的弦长为1.(1)求椭圆P的标准方程；(2)将椭圆P绕原点逆时针旋转90°得到椭圆Q,在椭圆Q上存在A,B,C三点,且坐标原点为△ABC的重心,求△ABC的面积.。
圆锥曲线中的定点、定值问题-高中数学总复习课件
3，0）.
综上，直线 PQ 过定点（－3，0）.
高中总复习·数学
参数法求定值
【例3】 已知 O 为坐标原点，过点 M （1，0）的直线 l 与抛物线 C ：
y 2＝2 px （ p ＞0）交于 A ， B 两点，且 · ＝－3.
程为 y ＝±（ x －1），
2
联立 x 2－ ＝1求解可得 x ＝－3，直线 PQ 过点（－3，0）.
2
当直线 PQ 斜率存在时，设直线 PQ 的方程为 y ＝ kx ＋ m ， P （ x
1， y 1）， Q （ x 2， y 2），
高中总复习·数学
2
代入 x 2－ ＝1，整理得（ k 2－2） x 2＋2 kmx ＋ m 2＋2＝0，易知Δ
2
2
2
3
2
2
代入 ＋ ＝1，得（3＋4 k ） x ＋4 k （3－2 k ） x ＋4（ －
4
3
2
k ）2－12＝0.
3
设 E （ xE ， yE ）， F （ xF ， yF ），∵点 A （1， ）在椭圆上，
2
∴ xE ＝
3
−
2
4（
）2 −12
3+4 2
，
高中总复习·数学
3
yE ＝ kxE ＋ － k .
圆锥曲线中的定点、定值问题
处理圆锥曲线中定点问题的方法：（1）探索直线过定点时，可
设出直线方程为 y ＝ kx ＋ m ，然后利用条件建立关于 k ， m 的等量关
系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；（2）从特殊情况入
圆锥曲线中的定点、定值问题(含解析)
圆锥曲线中的定点、定值问题一、题型选讲题型一 、 圆锥曲线中过定点问题圆锥曲线中过定点问题常见有两种解法：（1）、求出圆锥曲线或直线的方程解析式，研究解析式，求出定点·（2）、从特殊位置入手，找出定点，在证明该点符合题意（运用斜率相等或者三点共线）。
例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.例2、（2020届山东省临沂市高三上期末）如图，已知点F 为抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，过点F 的动直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，且当直线l 的倾斜角为45°时，16MN =.（1）求抛物线C 的方程.（2）试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.例3、【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．题型二、圆锥曲线中定值问题圆锥曲线中常见的定值问题，属于难题．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值例4、【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．例5、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率e 满足2220e -+=，右顶点为A ，上顶点为B ，点C (0，－2)，过点C 作一条与y 轴不重合的直线l ，直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，直线BP ，BQ 分别交x 轴于点M ，N ；当直线l 经过点A 时，l ．(1)求椭圆E 的方程；(2)证明：BOM BCN S S ∆∆⋅为定值．例6、(2019苏州三市、苏北四市二调）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，C 2与C 1的长轴长之比为2∶1，离心率相同．(1) 求椭圆C 2的标准方程； (2) 设点P 为椭圆C 2上的一点．①射线PO 与椭圆C 1依次交于点A ，B ，求证：PAPB 为定值；②过点P 作两条斜率分别为k 1，k 2的直线l 1，l 2，且直线l 1，l 2与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证k 1·k 2为定值．二、达标训练1、（2020届浙江省温州市高三4月二模）如图，已知椭圆22:14x C y +=，F 为其右焦点，直线()0:k y x m l m k +<=与椭圆交于1122(,),(,)P x y Q x y 两点，点,A B 在l 上，且满足,,PA PF QB QF OA OB ===.(点,,,A P Q B 从上到下依次排列)(I )试用1x 表示PF ：(II )证明：原点O 到直线l 的距离为定值.2、【2018年高考北京卷理数】已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．3、(2019苏锡常镇调研）已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，焦点到相应准线的距离为33.(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 已知P(t ，0)为椭圆E 外一动点，过点P 分别作直线l 1和l 2，直线l 1和l 2分别交椭圆E 于点A ，B 和点C ，D ，且l 1和l 2的斜率分别为定值k 1和k 2，求证：PA ·PBPC ·PD 为定值．4、(2018苏州暑假测试）如图，已知椭圆O ：x 24＋y 2＝1的右焦点为F ，点B ，C 分别是椭圆O 的上、下顶点，点P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点(与y 轴的交点除外)，直线PC 交椭圆于另一个点M.(1) 当直线PM 经过椭圆的右焦点F 时，求ⅠFBM 的面积；(2) Ⅰ记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1•k 2为定值；5、(2016泰州期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于B ，C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中D (－65，0).设直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2.(1) 求k 1k 2的值；(2) 记直线PQ ，BC 的斜率分别为k PQ ，k BC ，是否存在常数λ，使得k PQ ＝λk BC ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由；(3) 求证：直线AC 必过点Q .一、题型选讲题型一 、 圆锥曲线中过定点问题圆锥曲线中过定点问题常见有两种解法：（1）、求出圆锥曲线或直线的方程解析式，研究解析式，求出定点·（2）、从特殊位置入手，找出定点，在证明该点符合题意（运用斜率相等或者三点共线）。
专题01 圆锥曲线中的定点、定值问题
高中数学 ︵ 圆锥曲线 ︶培优篇定点、定值问题曲线过定点某个量为定值用参数表示曲线方程 用参数表示该量令参数系数为0或某值，解出相应的x 、y 的值 令参数系数为0或某值化简使该量为定值选参、用参、消参，求出定点或定值高中数学 ︵ 圆锥曲线 ︶培优篇高中数学 ︵ 圆锥曲线 ︶培优篇高中数学 ︵ 圆锥曲线 ︶培优篇高中数学 ︵ 圆锥曲线 ︶培优篇高中数学 ︵ 圆锥曲线 ︶培优篇高中数学︵ 圆锥曲线 ︶培优篇 2|||1AF .高中数学 ︵ 圆锥曲线 ︶培优篇 方法联立，第一种，假设直线AB 的方程，第二种假设直线P 2A 和P 2B . 满分解答(1) 根据椭圆对称性可得，P 1（1,1），P 4（1，）不可能同时在椭圆上，P 3（–1，），P 4（1，）一定同时在椭圆上，因此可得椭圆经过P 2（0,1），P 3（–1，），P 4（1，）. 把P 2，P 3坐标代入椭圆方程得2221=13141b a b，，解得224,1a b ，故椭圆C 的方程为2214x y ；（2）解1 ①当直线l 的斜率不存在时，设:l x m ，(,),(,)A A A m y B m y ，此时221121A A P A P B y y k k m m m，解得2m ，此时直线l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足.②当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y kx t t ，1122(,),(,)A x y B x y ，则2214y kx t x y ，，消去y 得 222(14)8440k x tkx t ， 2216(41)k t ，2121222841,1414tk t x x x x k k，此时 22121211P A P B y y k k x x21212112()()x kx t x x kx t x x x21212(1)()(1)(8)224(1)t x x t kt k k x x t. 由于1t ，所以22222111P A P B kt kk k k t t ，即21t k ，此时32(1)t ，存在1t ，使得0 成立，22222高中数学 ︵ 圆锥曲线 ︶培优篇所以直线l 的方程为(2)1y k x ，直线l 必过定点(2,1) .解2 由题意可得直线2P A 与直线2P B 的斜率一定存在，不妨设直线2P A 为1y kx , 则直线2P B 为 11y k x .由22114y kx x y ，，得224180k x kx ，设 11,A x y ， 22,B x y 此时可得：222814,4141k k A k k，同理可得 22281141,411411k k B k k.此时可求得直线l 的斜率为：2222212122141144141181841411ABk k k k y y k k x x k k k ，化简可得2112AB k k，此时满足12k .当12k 时，,A B 两点重合，不合题意.当12k 时，直线方程为： 22221814414112k k y x k k k， 即2244112k k x y k，当2x 时，1y ，因此直线恒过定点 2,1 .思路点拨第（1）题只需证明0AC BC.第（2）题要先求圆的方程，令y=0即可求出在y 轴上弦长.求圆方程可以用标准式方程，也可以用一般式方程.当然，本题还可以利用相交弦定理来解.高中数学 ︵ 圆锥曲线 ︶培优篇 满分解答(1)设 12,0,,0A x B x ，则12,x x 是方程220x mx 的根，所以1212,2x x m x x ，则 1212,1,112110AC BC x x x x.所以不会能否出现AC ⊥BC 的情况.（2）解1 由于过A ，B ，C 三点的圆的圆心必在线段AB 垂直平分线上，设圆心 00,E x y ，则12022x x mx. 由EA EC得 22221212100+122x x x x x y y，化简得 1201122x x y ，所以圆E 的方程为22221112222m m x y.令0x 得121,2y y ，所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为 123 .所以,过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值解2 由于BC 的中点坐标为21(.22x ，可得BC 的中垂线方程为221()22xy x x . 由（1）可得12x x m ，所以AB 的中垂线方程为2mx .联立2221(22m x x y x x ，，又22220x mx ， 可得212m x y ，，所以过,,A B C 三点的圆的圆心坐标为1(,)22m，半径2r ，故圆在y 轴上截得的弦长为3 ，即过A B C ，，三点的圆在y 轴上的截得的弦长为定值.解3 设圆的方程为220x y Dx Ey F ， 令0y ，得20x Dx F ，由题意,2D m F ，把0,1x y 代入圆的方程，得10E F ，即1E .故圆的方程为：2220x y mx y .高中数学 ︵ 圆锥曲线 ︶培优篇 11令0x ，得220y y ，所以121,2y y ，故12|||1(2)|3y y .所以过,,A B C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值3.解4设过A ，B ，C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D ，由122x x 可知原点O 在圆内，由相交弦定理可得122OD OC OA OB x x ，又1OC ，所以2OD ，所以，过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为3OC OD ，为定值.思路点拨第（1）题可以直接求出a、b；第（2）题用参数表示AN BM ，可以设 00,P x y ，用00x y 、做参数，也可以设 2cos ,sin P ， 用做参数. 满分解答(1)由已知，1,122c ab a ，又222a b c ，解得2,1,a b c 所以椭圆的方程为2214x y .（2）解1 设椭圆上一点 00,P x y ，则220014x y .由于直线PA 的方程： 0022y y x x ,令0x ，得0022M y y x， 所以00212y BM x； 直线PB 的方程：0011y y x x ,令0y ，得001N x x y， 所以0021x AN y. 因为220014x y ，所以220044x y ，从而高中数学 ︵ 圆锥曲线 ︶培优篇 120000002200000000002222214448422x y x y x y x y x y x y x y x y2200000000004444484=422y y x y x y x y x y .故AN BM 为定值.解2 设椭圆 上一点 2cos ,sin P ，则直线P A 的方程: sin 22cos 2y x,令0x ，得sin 1cos M y， 所以sin cos 11cos BM；直线PB 的方程:sin 112cos y x,令 0y ，得2cos 1sin N x， 所以2sin 2cos 21sin AN.2sin 2cos 2sin cos 11sin 1cos 22sin 2cos 2sin cos 21sin cos sin cos 4AN BM。
专题14 圆锥曲线中的定值定点问题(解析版)
专题14 圆锥曲线中的定值定点问题1．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【答案】(1)22143y x +=(2)(0,2)- 【解析】 【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆C 的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解. (1)解：设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.(2)3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得(1,M，N ，代入AB 方程223y x =-，可得(3,T ，由MT TH =得到(5,H -.求得HN 方程：(22y x =+-，过点(0,2)-. ①若过点(1,2)P -的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y --+=.联立22(2)0,134kx y k x y --+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +-+++=， 可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34k y y k k k y y k -+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x y k -+=+联立1,223y y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++- 可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x --=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +-+++--=， 将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k +++---+--= 显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,2).-2．（2021·全国·高考真题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ，．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）由离心率公式可得a =2b ，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN 充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<，由直线与圆相切得221b k =+，联立直线与椭圆方程结合弦长公=1k =±，即可得解. 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =c e a ==a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ， 必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y -=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以121234x x x x +=⋅=，所以MN所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=， 所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++，所以MN化简得()22310k -=，所以1k =±，所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x=y x =-所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知椭圆M ：22221x y a b +=（a >b>0AB为过椭圆右焦点的一条弦，且AB 长度的最小值为2. (1)求椭圆M 的方程；(2)若直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点，点()2,0P ，记直线PC 的斜率为1k ，直线PD 的斜率为2k ，当12111k k +=时，是否存在直线l 恒过一定点？若存在，请求出这个定点；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22142x y += (2)存在，()2,4-- 【解析】 【分析】（1）由题意求出,,a b c ，即可求出椭圆M 的方程.（2）设直线l 的方程为m (x －2)+ny ＝1，()11,C x y ，()22,D x y ，联立直线l 的方程与椭圆方程()()222242x y x -+=--，得()22214420x x m n y y ⎛⎫--+++= ⎪⎝⎭，则12114114n k k m +=-=+，化简得14m n +=-，即可求出直线l 恒过的定点. (1)因为22221x y a b +=（a >b >0222b a =， 所以a ＝2，c =b M 的方程为22142x y +=.(2)设直线l 的方程为m (x －2)+ny ＝1，()11,C x y ，()22,D x y ， 由椭圆的方程2224x y +=，得()()222242x y x -+=--.联立直线l 的方程与椭圆方程，得()()()2222422x y x m x ny ⎡⎤⎣⎦-+=---+，即()()()221424220m x n x y y +-+-+=，()22214420x x m n y y ⎛⎫--+++= ⎪⎝⎭， 所以12121222114114x x nk k y y m--+=+=-=+， 化简得14m n +=-，代入直线l 的方程得()1214m x m y ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭， 即()1214m x y y ---=，解得x ＝－2，y ＝－4，即直线l 恒过定点()2,4--. 4．（2022·上海松江·二模）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的右顶点坐标为(2,0)A ，左、右焦点分别为1F 、2F ，且122F F =，直线l 交椭圆Γ于不同的两点M 和N ． (1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线l 的斜率为1，且以MN 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程； (3)若直线l 与椭圆Γ相切，求证：点1F 、2F 到直线l 的距离之积为定值．【答案】(1)22143x y +=；(2)2y x =-或27y x =-； (3)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据焦距及椭圆的顶点求出,a b 即可得出；（2）设直线l 的方程为 y x b =+，联立方程，由根与系数的关系及0AM AN ⋅=求解即可；（3）分直线斜率存在与不存在讨论，当斜率不存在时直接计算可得，当斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+，根据相切求出,b k 关系，再由点到直线的距离直接计算即可得解.(1)①1222F F c == ①1c =，①2a =，由222a b c =+ 得241=+b ，①22=34=b a ，所以椭圆Γ的方程：22143x y +=；(2)①直线l 的斜率为1，故可设直线l 的方程为 y x b =+， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y由22143y x bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得22784120x bx b ++-=， 则1287b x x +=-，2124127b x x -=，①以MN 为直径的圆过右顶点A ，①0AM AN ⋅=，①1212(2)(2)0x x y y --+= ①21212122211))2()4((2(2)()4b b x x x x x x x x b x x b -+++=+-+++++2241282(2)4077b bb b -=⋅--⋅++=，整理可得271640b b ++=，①2b =-或27b =-，①2226447(412)16(213)b b b ∆=-⋅⋅-=⋅-， 当2b =-或27b =-时，均有0∆>所以直线l 的方程为2y x =-或27y x =-． (3)椭圆Γ左、右焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F①当直线l 平行于y 轴时，①直线l 与椭圆Γ相切，①直线l 的方程为2x =±， 此时点1F 、2F 到直线l 的到距离分别为121,3d d ==，①123d d ⋅=． ①直线l 不平行于y 轴时，设直线l 的方程为 y kx b =+，联立2234120y kx b x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得222(34)84120k x kbx b +++-=， 222222644(34)(412)16(9123)k b k b k b ∆=-+-=⋅+-，①直线l 与椭圆Γ相切，①0∆=，①2234b k =+ ①1(1,0)F -到直线l的距离为1d ，2(1,0)F -到直线l的距离为2=d①2222212222(34)33111k bk k k d d k k k --++⋅=====+++， ①点1F 、2F 到直线l 的距离之积为定值由3．5．（2022·上海浦东新·二模）已知12F F 、分别为椭圆E ：22143x y+=的左、右焦点， 过1F 的直线l 交椭圆E于,A B 两点．(1)当直线l 垂直于x 轴时，求弦长AB ； (2)当2OA OB ⋅=-时，求直线l 的方程；(3)记椭圆的右顶点为T ，直线AT 、BT 分别交直线6x =于C 、D 两点，求证：以CD 为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1)3(2))1y x =+(3)证明见解析；定点()()4080，，，【解析】 【分析】（1）将1x =-代入椭圆方程求解即可；（2）由（1）知当直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：()1y k x =+，联立直线与椭圆的方程，得出()22223484120k xk x k +++-=，设()()1122A x y B x y ，，，可得韦达定理，代入2OA OB ⋅=-计算可得斜率；（3）分析当直线l 的斜率不存在时，由椭圆的对称性知若以CD 为直径的圆恒过定点则定点在x 轴上，再以CD 为直径的圆的方程，令0y =，代入韦达定理化简可得定点 (1)由题知()110F -，，将1x =-代入椭圆方程得332y AB =±∴=， (2)由（1）知当直线l 的斜率不存在时，331122A B ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，此时14OA OB =，不符合题意，舍去∴直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：()1y k x =+，联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()22223484120k x k x k +++-=，设()()1122A x y B x y ，，，，则2122212283441234k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 由()()()()2222222221212121212122224128512111()1343434k k k OA OB x x y y x x k x k x k x xk x x k kk k k k k ----=+=+++=++++=+++=+++，解得22k k ==，∴直线l 的方程为)1y x =+．．(3)①当直线l 的斜率不存在时，()33112022A B T ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，直线AT 的方程为112y x =-+，C 点坐标为()62-，， 直线BT 的方程为112y x =-，D 点坐标为()62，，以CD 为直径的圆方程为()2264x y -+=，由椭圆的对称性知若以CD 为直径的圆恒过定点则定点在x 轴上，令0y =，得48x x ==，．即圆过点()()4080，，，． ①当直线l 的斜率存在时，同（2）联立，直线AT 的方程为()1122y y x x =--， C 点坐标为11462y x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，，同理D 点坐标为22462y x ⎛⎫⎪-⎝⎭，，以CD 为直径的圆的方程为()()12124466022y y x x y y x x ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，令0y =，得()2121212161236024y y x x x x x x -++=-++，由()()()()22222121222121212122241281611611343416441282424243434k k k k x k x k k y y k k x x x x x x x x k k ⎛⎫--++ ⎪++++⎝⎭===----++-++-+++， 得212320x x -+=，解得48x x ==，，即圆过点()()4080，，，． 综上可得，以CD 为直径的圆恒过定点()()4080，，，． 6．（2022·上海长宁·二模）已知,A B 分别为椭圆222Γ:1(1)x y a a+=>的上、下顶点，F 是椭圆Γ的右焦点，M 是椭圆Γ上异于,A B 的点．(1)若π3AFB ∠=，求椭圆Γ的标准方程 (2)设直线:2l y =与y 轴交于点P ，与直线MA 交于点Q ，与直线MB 交于点R ，求证：PQ PR ⋅的值仅与a 有关(3)如图，在四边形MADB 中，MA AD ⊥，MB BD ⊥，若四边形MADB 面积S 的最大值为52，求a 的值．【答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析 (3)2a = 【解析】 【分析】（1）根据已知判断AFB △形状，然后可得；（2）设()11,M x y ，表示出直线AM 、BM 的方程，然后求Q 、R 的坐标，直接表示出所求可证； （3）设()11,M x y ，()44,D x y ，根据已知列方程求解可得14,x x 之间关系，表示出面积，结合已知可得. (1)因为AF BF =，π3AFB ∠=，所以AFB △是等边三角形， 因为2AB =，AF a =，所以2a =，得椭圆的标准方程为2214x y +=．(2)设()11,M x y ，()2,2R x ，()3,2Q x ， 因为()0,1A ，()0,1B -所以直线AM 、BM 的方程分别为 111:1AM y l y x x -=+， 111:1BM y l y x x +=-， 所以12131x x y =+，1311x x y =-， 又221121x y a-=所以2211221331x PQ PR x x a y ⋅===-，所以PQ PR ⋅的值仅与a 有关． (3)设()11,M x y ，()44,D x y ， 因为MA DA ⊥，MB DB ⊥，所以()()1414110x x y y +--=，()()1414110x x y y +++= 两式相减得41y y =-，带回原式得214110x x y +-=，因为221121x y a+=，所以142x x a =-， 1412111MAB DABS SSx x x a a a ⎛⎫=+=+=+≤+ ⎪⎝⎭因为S 的最大值为52 ，所以152a a += ，得2a =．7．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）圆O ：224x y +=与x 轴的两个交点分别为()12,0A -，()22,0A ，点M 为圆O 上一动点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点R 满足12NR NM = (1)求点R 的轨迹方程；(2)设点R 的轨迹为曲线C ，直线1x my =+交C 于P ，Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S ，试问：是否存在一个定点T ，当m 变化时，2A TS 为等腰三角形【答案】(1)2214x y +=(2)存在，证明见解析 【解析】 【分析】（1）设点()00,M x y 在圆224x y +=上，故有22004x y +=，设(),R x y ，根据题意得0x x =，012y y =，再代入圆224x y +=即可求解；（2）先判断斜率不存在的情况；再在斜率存在时，设直线l 的方程为1x my =+，与椭圆联立得：()224230m y my ++-=，12224m y y m -+=+，12234y y m -=+，再根据题意求解判断即可. (1)设点()00,M x y 在圆224x y +=上，故有22004x y +=，设(),R x y ，又12NR NM =，可得0x x =，012y y =， 即0x x =，02y y =代入22004x y +=可得()2224x y +=，化简得：2214x y +=，故点R 的轨迹方程为：2214x y +=.(2)根据题意，可设直线l 的方程为1x my =+， 取0m =，可得P ⎛ ⎝⎭，1,Q ⎛ ⎝⎭， 可得直线1A P的方程为y x =+，直线2A Q的方程为y x =-联立方程组，可得交点为(1S ；若1,P ⎛ ⎝⎭，Q ⎛ ⎝⎭，由对称性可知交点(24,S ， 若点S 在同一直线上，则直线只能为l ：4x =上，以下证明：对任意的m ，直线1A P 与直线2A Q 的交点S 均在直线l ：4x =上. 由22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()224230m y my ++-= 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则12224m y y m -+=+，12234y y m -=+ 设1A P 与l 交于点()004,S y ，由011422y y x =++，可得10162y y x =+ 设2A Q 与l 交于点()004,S y '，由022422y y x '=--，可得20222y y x '=-，因为()()()()122112102126123622222y my y my y y y y x x x x --+'-=-=+-+- ()()()()()22121211121212464402222m mmy y y y m m x x x x ----+++===+-+-， 因为00y y '=，即0S 与0S '重合， 所以当m 变化时，点S 均在直线l ：4x =上，因为()22,0A ，()4,S y ，所以要使2A TS 恒为等腰三角形，只需要4x =为线段2A T 的垂直平分线即可，根据对称性知，点()6,0T . 故存在定点()6,0T 满足条件.8．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，椭圆C 的左､右顶点分别为A ，B ，上顶点为D ，1AD BD ⋅=-. (1)求椭圆C 的方程；(2)斜率为12的动直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，是否存在定点P （直线l 不经过点P ），使得直线PM 与直线PN 的倾斜角互补，若存在这样的点P ，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22143x y +=(2)存在，点P 的坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用数量积公式及离心率可得a ,b ,c 从而得到椭圆方程; （2）设直线l 的方程为12y x m =+，与椭圆方程联立，写出韦达定理，由题意可得直线PM 与直线PN 的斜率之和为零，利用韦达定理化简可得结果. (1)设椭圆C 的焦距为2c ，由题意知(),0A a -，(),0B a ，()0,D b ，所以(),AD a b =，(),BD a b =-，所以2221AD BD a b c ⋅=-+=-=-，解得1c =. 又椭圆C 的离心率为12，所以22a c ==，b故椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)假设存在这样的点P ，设点P 的坐标为()00,x y ，点M ，N 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，设直线l 的方程为12y x m =+. 联立方程221,4312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 后整理得2230x mx m ++-=.()222431230m m m ∆=--=->，得22m -<<， 有12212,3.x x m x x m +=-⎧⎨=-⎩ 若直线PM 与直线PN 的倾斜角互补，则直线PM 与直线PN 的斜率之和为零，所以01020102010201021122y x m y x m y y y y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+=+---- ()()()()()()()()()()010*********0102010222222222222y m x x x y m x x x y m x y m x x x x x x x x x ---+---⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦=+=----()()()()()()()()()()20000012121200102010222223222222y m x m m mx y m x x x x x x x x x x x x x x x x -++-+--++-+⎡⎤⎣⎦==----()()()()()()()()0000000001020102462322323022x y y x m x y y x mx x x x x x x x -+--+-===----.所以0000230,230,x y y x -=⎧⎨-=⎩解得001,32x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或001,3.2x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩故存在点P 符合条件，点P 的坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.9．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为1F 和2F ，椭圆C 上一点到1F 和2F 的距离之和为4，且椭圆C(1)求椭圆C 的方程；(2)过左焦点1F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点D （不与1F 重合），是否存在实数λ，使1AB DF λ=恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说出理由.【答案】(1)2214x y +=(2)存在，λ=【解析】 【分析】（1）由椭圆的定义可求得a 的值，根据椭圆的离心率求得c 的值，再求出b 的值，即可得出椭圆C 的方程； （2）分析可知，直线l 不与x 轴垂直，分两种情况讨论，一是直线l 与x 轴重合，二是直线l 的斜率存在且不为零，设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，求出AB 、1DF ，即可求得λ的值. (1)解：由椭圆的定义可得24a =，则2a =，因为c ea ==c∴=1b ==， 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)解：若直线l 与x 轴垂直，此时，线段AB 的垂直平分线为x 轴，不合乎题意； 若直线l 与x 轴重合，此时，线段AB 的垂直平分线为y 轴，则点D 与坐标原点重合，此时，143AB DF λ==若直线l 的斜率存在且不为零时，设直线l 的方程为)0x my m =≠，设点()11,A x y 、()22,B x y ， 联立2244x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩()22410m y +--=，()()22212441610m m m ∆=++=+>，由韦达定理可得12y y +=，12214y y m =-+， 则()121222m y y x x ++= 所以，线段AB的中点为M ⎛ ⎝⎭， 所以，线段AB的垂直平分线所在直线的方程为y m x ⎛=- ⎝⎭，在直线方程y m x ⎛=- ⎝⎭中，令0y =可得x =，故点D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以，)21214m DF m +==+，由弦长公式可得()22414m AB m +==+，因此，()2221414m ABDF m λ+===+综上所述，存在λ=1AB DF λ=恒成立. 10．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=上一个动点N 到椭圆焦点(0,)F c 的距离的最小值是2，且长轴的两个端点12,A A 与短轴的一个端点B 构成的12A A B △的面积为2．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过点4(0,)M -且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点．证明：直线1A P 与直线2A Q 的交点T 在定直线上．【答案】(1)2214y x +=(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意得到22221222a c ab a b c ⎧-=⎪⎪⨯=⎨⎪=+⎪⎩，再解方程组即可.（2）首先设直线:4l y kx =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，与椭圆联立，利用韦达定理得到12284kx x k +=+，122124x x k =+.1112:2PA y l y x x ++=，2222:2QA y l y xx --=，根据2123y y +=--，即可得到1y =-，从而得到直线1A P 与直线2A Q 的交点T 在定直线1y =-上. (1)由题知：22221222a c ab a b c⎧-=⎪⎪⨯=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪⎩，即：椭圆22:14+=y C x(2)设直线:4l y kx =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，()10,2A -，()20,2A ，()222214812044y x k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+-+=⎨⎪=-⎩. 12284k x x k +=+，122124x x k =+. 则1112:2PA y l y x x ++=，2222:2QA y l y x x --=， 则()()()()1212122212112122222266y x kx x kx x x y y y x kx x kx x x +--+===----， 因为()1212212342k kx x x x k ==++， 所以()()12212121213232123293362x x x x x y y x x x x x +--+===---++-，解得1y =-. 所以直线1A P 与直线2A Q 的交点T 在定直线1y =-上.11．（2022·安徽省舒城中学三模（理））已知椭圆22:184x y Γ+=，过原点O 的直线交该椭圆Γ于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），点()4,0E ，直线AE 与椭圆的另一交点为C ，直线BE 与椭圆的另一交点为D ．(1)若AB 是Γ短轴，求点C 坐标；(2)是否存在定点T ，使得直线CD 恒过点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)82(,)33；(2)存在，8(,0)3T .【解析】 【分析】（1）两点式写出直线AE ，联立椭圆方程并结合韦达定理求出C 坐标； （2）设00(,)A x y 有00:(4)4=--y AE y x x ，联立椭圆求C 坐标，同理求D 坐标，讨论00x ≠、00x =，判断直线CD 恒过定点即可. (1)由题设，(0,2)A ，而()4,0E ，故直线AE 为240x y +-=，联立22:184x y Γ+=并整理得：23840y y -+=，故83A C y y +=，而2A y =，所以23C y =，代入直线AE 可得284233C x =-⨯=，故C 坐标为82(,)33.(2)设00(,)A x y ，则00:(4)4=--y AE y x x ， 由()00224428y y x x x y ⎧=-⎪-⎨⎪+=⎩，故2220202(4)8(4)+-=-y x x x ， 由韦达定理有20222222000000002220000020328(4)328(4)16(8)8(4)64242(4)22482481(4)C y x y x x x x x x x y x y x x x --------====-+--+-， 所以00833C x x x -=-，故003C y y x =-，同理得：00833D x x x +=+，003D y y x -=+，当00x ≠时，取8(,0)3T ，则0000003383833TCy x yk x x x -==----，同理003TD y k x =-， 故,,T C D 共线，此时CD 过定点8(,0)3T .当00x =时，83C D x x ==，此时CD 过定点8(,0)3T .综上，CD 过定点8(,0)3T .12．（2022·广东茂名·二模）已知圆O ：x 2+y 2＝4与x 轴交于点(2,0)A -，过圆上一动点M 作x 轴的垂线，垂足为H ，N 是MH 的中点，记N 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)过6(,0)5-作与x 轴不重合的直线l 交曲线C 于P ，Q 两点，设直线AP ，AS 的斜率分别为k 1，k 2.证明：k 1＝4k 2．【答案】(1)2212x y +=；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）运用相关点法即可求曲线C 的方程；( 2)首先对直线l 的斜率是否存在进行讨论,再根据几何关系分别求出P 、Q 、S 三点的坐标，进而表示出直线AP ， AS 的斜率12,k k ，再根据斜率的表达式进行化简运算,得出结论. (1)设N （x 0，y 0），则H （x 0，0）， ①N 是MH 的中点，①M （x 0，2y 0），又①M 在圆O 上，2200(2)4y x +=∴，即220014x y +=； ①曲线C 的方程为：2214x y +=；(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为：65x =-，若点P 在轴上方，则点Q 在x 轴下方，则6464(,),(,)5555P Q ---，直线OQ 与曲线C 的另一交点为S ，则S 与Q 关于原点对称，①64(,)55S ，1244001551,,6642255APAS k k k k --======-++124k k ∴=；若点P 在x 轴下方，则点Q 在x 轴上方， 同理得：646464(,),(,),(,)555555P Q S ----，1244001551,6642255APAS k k k k ----===-∴===--++，①k 1＝4k 2；①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：6,5x my =-，由6,5x my =-与2214x y +=联立可得221264(4)0525m m y y +--=， 其中22144644(4)02525m m ∆=+⨯+⨯>，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则22(,)S x y --，则1212221264525,44m y y y y m m -+==++，①112212112200,,2222AP AS k y y y y k k k x x x x ---======++-+- 则121122121216()2542()5y my k y x k x y my y --=⋅=++121112212121112226464161616252554545444641216()4445525525454545my y y y y m m my y y y y m m y y m m m -----++====++---+⋅--+++，①k 1＝4k 2. 13．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C 的焦点在y 轴上，中心在坐标原点，从下焦点1F 射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点2F ，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角e < (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若从椭圆C 中心O 出发的两束光线OM 、ON ，分别穿过椭圆上的A 、B 点后射到直线4y =上的M 、N两点，若AB 连线过椭圆的上焦点2F ，试问，直线BM 与直线AN 能交于一定点吗？若能，求出此定点：若不能，请说明理由.【答案】(1)22143y x +=(2)能，定点为（0，85）【解析】 【分析】（1）由条件列方程求,,a b c 可得椭圆方程； （2）联立方程组，利用设而不求法结论完成证明. (1)由已知可设椭圆方程为22221(0)y x a b a b+=>>，则24a =，122c b ⨯⨯222a b c =+又e <所以21a b c ===，，故椭圆C 的标准方程为22143y x +=(2)设AB 方程为1y kx =+，由221431y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(34)690k x kx ++-=， 222(6)36(34)1441440k k k ∆=++=+>设()()1122A x y B x y ，，，，则121222693434k x x x x k k --+==++，.. 由对称性知，若定点存在，则直线BM 与直线AN 交于y 轴上的定点，由114y y x x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩得1144x M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则直线BM 方程为211121444()4y x y x x y x y --=--， 令0x =，则 122114(4)44x y y x y x -=+-()()112211414114x x kx x kx x ⎡⎤-+=+⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦112211234(1)4x kx x x x kx x -=+-+2121124()4x x x x kx x -=-+又12123()2x x kx x +=， 则21212112214()4()83554()()22x x x x y x x x x x x --===-++-，所以，直线BM 过定点（0，85），同理直线AN 也过定点8(0,)5.则点（0，85）即为所求点.14．（2022·全国·模拟预测）设椭圆()222:10416x y C b b+=<<的右焦点为F ，左顶点为A ．M 是C 上异于A的动点，过F 且与直线AM 平行的直线与C 交于P ，Q 两点（Q 在x 轴下方），且当M 为椭圆的下顶点时，2AM FQ =．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设点S ，T 满足PS SQ =，FS ST =，证明：平面上存在两个定点，使得T 到这两定点距离之和为定值． 【答案】(1)22116x = (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）由向量的坐标运算用,b c 表示出Q 点坐标，代入椭圆方程求得参数b ，得椭圆方程； （2）设(), 0F c ，直线PQ 的斜率不为0，设其方程为 x m y c =+，设1122(,),(,)P x y Q x y ．直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得12y y +，利用向量相等的坐标表示求得T 点坐标，得出T 点坐标满足一个椭圆方程，然后再由椭圆定义得两定点坐标． (1)当M 为椭圆的下顶点时，(4,)AM b =-，则12,22b FQ AM ⎛⎫==- ⎪⎝⎭． 设C 的焦距为2c ，则2,2b Q c ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，即2,2b Q ⎫-⎪⎭．因为Q 在C上，故)2211164+=，解得()22162b =-=则椭圆C的标准方程为22116x =． (2)设(), 0F c ，直线PQ 的斜率不为0，设其方程为 x m y c =+，设1122(,),(,)P x y Q x y ．联立直线PQ 和C 的方程，消x得()22220y +-．12y y +=1212()2x x m y y c +=++= 由PS SQ =得S 为弦PQ的中点，故S ⎛．由FS ST =得S 是线段FT的中点，故T ．设T 的坐标为(), x y，则x c =，y c =，故2211x y c c ⎛⎫⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2221x c =， 这表明T 在中心为原点，(,0)c ±为长轴端点，0,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为短轴端点的椭圆上运动，故T到两焦点,0⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭的距离之和为定值．代入得两焦点坐标为(()4,0±-．综上所述，平面上存在两定点()4-，()4-+，使得T 到这两定点距离之和为定值．15．（2022·上海交大附中模拟预测）已知椭圆221214x y F F Γ+=：，，是左、右焦点．设M 是直线()2l x t t =>：上的一个动点，连结1MF ，交椭圆Γ于()0N N y ≥．直线l 与x 轴的交点为P ，且M 不与P 重合．(1)若M 的坐标为58⎫⎪⎪⎝⎭，，求四边形2PMNF 的面积； (2)若PN 与椭圆Γ相切于N 且1214NF NF ⋅=，求2tan PNF ∠的值； (3)作N 关于原点的对称点N '，是否存在直线2F N ，使得1F N '上的任一点到2F N求出直线2F N 的方程和N 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(3)存在；y x =；126N ⎫⎪⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据点斜式方程可得1:MF l y x =，再联立椭圆方程得到12N ⎫⎪⎭，再根据2112PMNF PF M NF F S S S =-△△求解即可；（2）设:()PN l y k x t =-，根据相切可知，直线与椭圆方程联立后判别式为0，得到2214k t =-，再根据1214NF NF ⋅=，化简可得t =12N ⎫⎪⎭，再根据直角三角形中的关系求解2tan PNF ∠的值即可；（3）设()00,N x y ，表达出2NF l，再根据22O NF d -=列式化简可得2148k =，结合k =程即可求得N 和直线2F N 的方程 (1)由题意，()1F，故15MF k ==，所以1:MF l y x =与椭圆方程联立2214x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得：213450x +-=，即(130x x +=，又由题意N x >，故解得x =12N ⎫⎪⎭，故121122NF F S =⋅=△且11528PF M S ==△则2112PMNF PF M NF F S S S =-=△△(2)由于直线PN 的斜率必存在，则设:()PN l y k x t =-与椭圆方程联立2214()x y y k x t ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可得：()22222148440k x k tx k t +-+-=由相切，()22216140k k t∆=+-=，则2214kt =-同时有韦达定理21228214N k t x x x k +==+，代入2214k t =-有2244414Nt t x t -=+-，化简得4N x t =，故2222414N Nx t y t-=-=而222122122134N Nt NF NF x y t -⋅=+-==，解得2t =>则12N ⎫⎪⎭，所以2NF x ⊥轴，故在直角三角形2PNF中，2223tan 12PF PNF NF ∠===(3)由于N 与N '，1F 与2F 是两组关于原点的对称点，由对称性知 四边形12F NF N '是平行四边形，则2NF 与1N F '是平行的， 故1F N '上的任一点到2F N 的距离均为两条平行线间的距离d ．设()00,N x y，其中0(x ∈，易验证，当0x 时，2NF 与1N F '之间的距离为k =2(:NF y l k x =，即0kx y -=，发现当0x22O NF d d -==221914k k =+，整理得2148k =代入k =(220048y x =，代入220014x y =-整理得20013450x --=，即(00130x x -=由于0(x ∈，所以0x =126N ⎫⎪⎪⎝⎭，故1k =， 则2F N l的直线方程为y x =16．（2022·全国·模拟预测（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，直线AB的斜率为O 到直线AB(1)求C 的方程；(2)直线l 交C 于M ，N 两点，90MBN ∠=︒，证明：l 恒过定点.【答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析【解析】 【分析】（1）题意得(,0),(0,)A a B b ，根据AB斜率，可得b a =AB 的方程，根据点到直线距离公式，可求得a 值，进而可得b 值，即可得答案.（2）分析得直线l 的斜率存在，设1122,(,),(,)y kx m M x y N x y =+，与椭圆联立，可得关于x 的一元二次方程，根据韦达定理，可得1212,x x x x +表达式，进而可得12y y 、12y y +的表达式，根据90MBN ∠=︒，可得0MB NB ⋅=，根据数量积公式，化简计算，可得m 值，分析即可得证(1)由题意得(,0),(0,)A a B b ， 所以直线AB的斜率为b a =-b a = 又直线AB的方程为)y x a =-20y +=， 所以原点O 到直线AB的距离d ==，解得2a =，所以b =22143x y +=.(2)由椭圆的对称性可得，直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为1122,(,),(,)y kx m M x y N x y =+，联立方程22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得222(34)84120k x kmx m +++-=， 所以21212228412,3434km m x x x x k k --+==++， 所以22221212122312()34m k y y k x x km x x m k -=+++=+，121226()234m y y k x x m k +=++=+， 因为90MBN ∠=︒，所以MB BN ⊥，因为B，所以1122(,3),()MB x yNB x y =--=-，所以22212121222241263123)30343434m m m k MB NB x x y y y y k k k --⋅=+++=++=+++， 整理得2730m --=，解得m =或7m =-，因为B ，所以m舍去， 所以直线l 的方程为y kx =0,⎛ ⎝⎭，得证17．（2022·全国·模拟预测（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，1A ，2A 分别为左、右顶点，1B ，2B 分别为上、下顶点．若四边形1122B F B F212F F ，212B B ，212A A 成等差数列．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆外一点P (P 不在坐标轴上)连接1PA ，2PA ，分别与椭圆C 交于M ，N 两点，直线MN 交x 轴于点Q ．试问：P ，Q 两点横坐标之积是否为定值？若为定值，求出定值；若不是，说明理由． 【答案】(1)22132x y +=；(2)32P Q x x =为定值，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）应用菱形面积公式、等差中项的性质及椭圆参数关系求椭圆参数，写出椭圆标准方程.（2）由题意分析知1PA ，2PA 所在直线斜率均存在且不为0、斜率和差均不为0，设直线1PA ，2PA 联立椭圆求M ，N 的坐标及P 点横坐标，应用点斜式写出直线MN ，令0y =求Q 横坐标，即可得结论. (1)由题设知：2222222844bc b a c a b c ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=+⎪⎩，可得22321a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以椭圆标准方程为22132x y +=. (2)由题意，1PA ，2PA 所在直线斜率均存在且不为0、斜率和差均不为0，设1PA为(y k x =，联立椭圆方程整理得：22229(23)302k k x x +++-=，所以1M A x x +=1A x =M x == 设2PA为(y m x =，联立椭圆方程整理得：22229(23)302m m x x +-+-=，所以2N A x x +=2A x =N x ==所以M y k =⋅=Ny m =⋅=， 联立直线1PA 、2PA可得：P x =，直线MN为2()[23m k y x km +=⋅-，令0y =，则Q x =，所以32P Q x x ==为定值.18．（2022·山西·太原五中二模（文））已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于A B ､和C D ､，记得到的平行四边形ACBD 的面积为S ．(1)设()()1122,,,A x y C x y ，用A C ､的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12212S x y x y =-； (2)请从①①两个问题中任选一个作答 ①设1l 与2l 的斜率之积12-，求面积S 的值．①设1l 与2l 的斜率之积为m ．求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变． 【答案】(1)(2)见解析 【解析】 【分析】（1）讨论10x ≠和10x =，分别写出直线1l 的方程，由距离公式即可求得点C 到直线1l 的距离，由面积公式即可证明12212S x y x y =-；（2）若选①，设出直线1l 和2l 的方程，联立椭圆求出A C ､的坐标，结合（1）中面积公式求解即可；若选①，设出直线1l 和2l 的方程，联立椭圆求出A C ､的坐标，结合（1）中面积公式得到S 的表达式，平方整理，由含42,k k 的项系数为0即可求解. (1)当10x ≠时，直线1l 的方程为：11y y x x =，则点C 到直线1l的距离为d ==当10x =时，直线1l 的方程为：0x =，则点C 到直线1l 的距离为2d x =，也满足d则点C 到直线1l2AB AO ==则1212112222S AB d x y x x x y y y =⋅==--=；(2)若选①，设1122121:,:,2l y k x l y k x k k ===-，设()()1122,,,A x y C x y ，直线1l 与椭圆联立12221y k x x y =⎧⎨+=⎩可得()221121k x+=，同理直线2l 与椭圆联立可得()222121k x +=，不妨令120,0x x >>，则11x y =，22x y ===，则12212S x y x y ==-== 若选①，设12:,:m l y kx l y x k ==，设()()1122,,,A x y C x y ，直线1l 与椭圆联立2221y kx x y =⎧⎨+=⎩可得()22121k x +=，则212112x k =+，同理可得2222221212k x k m m k ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则1221121221222m m x x x kx k x k S y x x k x y =-=-=-⋅⋅⋅1222m m k x x k k k ==-=-⋅，两边平方整理得()24222222224(48)240Sk S S m m k m S m -++++-=，由面积S 与k 无关，可得2222240480S S S m m ⎧-=⎨++=⎩，解得12S m ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，故12m =-时，无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变．19．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知A ，B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点和上顶点，||AB =AB 的斜率为12-.(1)求椭圆的方程；(2)直线//l AB ，与x ，y 轴分别交于点M ，N ，与椭圆相交于点C ，D ．证明： （i ）OCM 的面积等于ODN △的面积；（ii ）22||||CM MD +为定值．【答案】(1)2214x y +=(2)（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据(,0)A a ，(0,)B b，由||AB =AB 的斜率为12-求解；（2）设直线l 的方程为12y x m =-+，得到(2,0)M m ，(0,)N m ，与椭圆方程联立，根据11|2|||2=OCM S m y ，21||||2=ODN S m x ，2222221122||||(2)(2)CM MD x m y x m y ∴+=-++-+利用韦达定理求解. (1) 解：A 、B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个顶点，且||AB =AB 的斜率为12-，由(,0)A a ，(0,)B b，得||AB == 又0102b b k a a -==-=--，解得2a =，1b =， ∴椭圆的方程为2214x y +=； (2)设直线l 的方程为12y x m =-+，则(2,0)M m ，(0,)N m ，联立方程221214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，整理得222220x mx m -+-=．22248(4)3240m m m ∆=--=->， 得28m <设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ． 122x x m ∴+=，21222x x m =-．所以11|2|||2=OCM S m y ，21||||2=ODN S m x 则有112222|2||2|||1||||||-====OCMODNS y m x x Sx x x OCM ∴的面积等于ODN 的面积；2222221122||||(2)(2)CM MD x m y x m y ∴+=-++-+，2222221112221144()44()22x mx m x m x mx m x m =-++-++-++-+，()()221212125551042x x x x m x x m =+--++， ()2222552210102m m m m =---+5=. 20．（2022·北京市第十二中学三模）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>过点(2,0)A(1)求椭圆M 的方程；(2)已知直线(3)y k x =+在x 轴上方交椭圆M 于B ，C （异于点A ）两个不同的点，直线AB ，AC 分别与y 轴交于点P ､Q ，O 为坐标原点，求()k OP OQ +的值.【答案】(1)22142x y +=(2)45【解析】 【分析】（1）直接由A 点坐标及离心率求得椭圆方程即可；（2）联立直线与椭圆求得2212122212184,2121k k x x x x k k --+==++，再表示出直线AB ，AC 的方程，求得P ､Q 坐标，再计算()k OP OQ +即可. (1)由题意知：2,c a a ==c =2222b a c =-=，则椭圆M 的方程为22142x y +=；(2)联立直线与椭圆22(3)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222221121840k x k x k +++-=，()()422214442118440160k k k k ∆=-+-=-+>，即k <<(3)y k x =+在x 轴上方交椭圆M 于B ，C （异于点A）两点，则0k << 设1122(,),(,)B x y C x y ，则1222,22x x -<<-<<，2212122212184,2121k k x x x x k k --+==++，1122(3),(3)y k x y k x =+=+， 易得直线AB ，AC 斜率必然存在，则11:(2)2y AB y x x =--，令0x =，得11202y y x =>-，则112(0,)2y P x -，同理可得222(0,)2y Q x -，且22202y x >-， 则()()()()()112121212223222222()(32)22k x x y y x x x k x k x OP x OQ k k -++⎛⎫+==⋅ ⎪⎝⎭+-+----222212122212122218412422442()242121184122()4242121k k k k k kx x k x x k k k k k k k x x x x k k ---⋅-⋅+--++++=⋅=⋅---++-⋅+++45=.。