人教版八年级上册第十一章三角形知识点总结归纳
人教版八年级上册数学知识点归纳总结
八年级上册大纲第十一章三角形一、知识框架:二、知识概念:1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
5。
角平分线:三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
6.三角形的稳定性:三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
7。
多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
10。
多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11。
正多边形:在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,叫做用多边形覆盖平面，13。
公式与性质：⑴三角形的内角和:三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式:n 边形的内角和等于(2)n -·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角线,把多边形分成(2)n -个三角形。
②n 边形共有(3)2n n -条对角线。
第十二章 全等三角形一、知识框架：二、知识概念:1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了,这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性。
人教版八年级数学上册 第十一章 三角形知识归纳与题型突破(10类题型清单)
第十一章三角形知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图02知识速记一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.推论：三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．三、三角形的分类1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.四、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言过点A 作AD ⊥BC 于点D ．取BC 边的中点D ，连接AD ．作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于点D ．标示图形符号语言1．AD 是△ABC 的高．2．AD 是△ABC 中BC 边上的高．3．AD ⊥BC 于点D ．4．∠ADC ＝90°，∠ADB ＝90°．1．AD 是△ABC 的中线．2．AD 是△ABC 中BC 边上的中线．3．BD ＝DC ＝12BC 4．点D 是BC 边的中点．1．AD 是△ABC 的角平分线．2．AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ．3．∠1＝∠2＝12∠BAC ．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝12BC．因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝12∠BAC．用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．五、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．六、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．七、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．八、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；(2)过n 边形的一个顶点可以引(n -3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n -；(3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n -2)个三角形．九、多边形内角和n 边形的内角和为(n -2)·180°(n ≥3)．要点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180n n- °；十、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．凸多边形凹多边形03题型归纳题型一三角形的稳定性例题：（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的（）A．全等性B．对称性C．稳定性D．灵活性巩固训练1．（23-24八年级上·云南昆明·期末）我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥的斜拉索，它能拉住桥面，并将桥面向下的力通过钢索传给索塔，确保桥面的稳定性和安全性．那么港珠澳大桥斜拉索建设运用的数学原理是（）A．三角形的不稳定性B．三角形的稳定性C．四边形的不稳定性D．四边形的稳定性3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，这其中运用的数学道理是.4．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是因为三角形具有．题型二判断三边是否能构成三角形例题：（23-24七年级下·江苏盐城·期末）下列每组数分别表示3根小木棒的长度(单位：cm)，其中能搭成三角形的是（）A．4，5，10B．5，5，10C．5，8，10D．5，10，15巩固训练1．（23-24七年级下·海南儋州·期末）下列长度的三条线段中，能构成三角形的是（）A．1，3，5B．2，4，6C．1，2，3D．3，4，52．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）甲同学对下列三角形的边长分别进行标注，那么他标注错误的是（）A．B．C．D．3．（2024·河北邯郸·二模）将一根吸管按如图所示的位置摆放在单位长度为1的数轴（不完整）上，吸管左-”处，右端对应数轴上的“5”处．若将该吸管剪成三段围成三角形，第一刀剪在数轴上的端对应数轴上的“8“5-”处，则第二刀可以剪在（）A．“4-”处B．“3-”处C．“1-”处D．“2”处题型三已知三角形的两边长，求第三边的取值范围两边长分别为4与5，第三边的长为奇数，则第三边的长的例题：（23-24七年级下·重庆·期末）已知ABC最大值为．巩固训练1．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）已知三角形的两边长为3和4，则第三条边长可以为．（请写出一个符合条件的答案）2．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）一个三角形的两边长为2和6，第三边为奇数，则这个三角形的周长为．3．（23-24七年级下·内蒙古包头·期中）一个三角形的两边长分别为5和7，若x 为最长边且为整数，则此三角形的周长为．题型四判断是否三角形的高线例题：下列各图中，正确画出AC 边上的高的是（）A ．B ．C ．D ．巩固训练1．下面四个图形中，线段BD 是ABC 的高的图形是（）A ．B ．C ．D ．2．（2023秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）如图，在ABC 中，A ∠是钝角，下列图中作BC 边上的高线，正确的是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，AD BC ⊥，EC BC ⊥，CF AB ⊥，点D ，C ，F 是垂足，下列说法错误的是（）A ．ABD △中，AD 是BD 边上的高B ．ABD △中，EC 是BD 边上的高C ．CEB 中，EC 是BC 边上的高D ．CEB 中，FC 是BE 边上的高题型五根据三角形的中线求面积例题：（2023春·广东茂名·七年级校考阶段练习）如图，ABC 的面积为20，点D ，E ，F 分别为BC AD CE，，的中点，则阴影部分BFC △的面积为（）A ．4B ．5C ．6D ．10巩固训练1．（2023春·山西太原·七年级山西大附中校考期中）如图，AD BE 、是ABC 的中线，则下列结论中，正确的个数有（）（1）AOE COE S S = ；（2）AOB EODC S S = 四边形；（3）2BOC COE S S = ；（4）4ABC BOC S S = ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图，BD 是ABC 的中线，点E 、F 分别为BD CE 、的中点，若AEF △的面积为22cm ，则ABC 的面积是________2cm ．3．（2023春·江苏南京·七年级校考阶段练习）如图，且满足13AE AD =，13AF AC =题型六与平行线有关的三角形内角和问题例题：（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知AB ED ∥，80EDC ∠=︒，53ECD ∠=︒，105B ∠=︒，那么ACB =∠．巩固训练1．（23-24七年级下·陕西渭南·期中）如图，在三角形ABC 中，点D ，H ，E 分别是边AB ，BC ，CA 上的点，连接DE ，DH ，F 为DH 上一点，连接EF ，若12180∠+∠=︒，365B ∠=∠=︒，52C ∠=︒．则FEC ∠的度数为︒．2．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）如图，AN 平分BAM ∠，BM 平分ABN ∠，AN BM ⊥于点C ，25MBN ∠=︒，则下列说法：①90BCN ∠=︒；②AM BN ；③50DAM ∠=︒；④60MAN ∠=︒，其中正确的是．（填序号）3．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB 上，其中3045OMN OCD ∠=︒∠=︒，．将三角尺OCD 绕点O 以每秒10︒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t 秒．在旋转的过程中，边CD 恰好与边MN 平行，t 的值为．题型七与角平分线有关的三角形内角和问题例题：（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，过点A 作EF BC ∥．若40EAB ∠=︒，80C ∠=︒，则ADC ∠=．巩固训练1．（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，在ABC 中，125BDC ∠=︒，如果ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点D ，那么A ∠=度．2．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）如图，在ABC 中，BD CD 、分别平分,ABC ACB BG CG ∠∠、、分别平分三角形的两个外角,48EBC FCB G ∠∠∠=︒、，则D ∠=︒．3．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在ABC 中，30B ∠=︒，70C ∠=︒，AE 平分BAC ∠，AD BC ⊥于点D ．(1)求BAE ∠的度数．(2)求EAD ∠的度数．题型八三角形的外角的定义及性质例题：（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，在ABC 中，点D 在BC 的延长线上，70A ∠=︒，120ACD ∠=︒，则B ∠=︒．巩固训练1．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，已知直线12l l ∥，154∠=︒，2100∠=︒，则A ∠=度．2．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，ABC 的两个外角的平分线交于点P ．若64BPC ∠=︒，则A ∠=．3．（23-24七年级下·江西南昌·期末）已知直线12l l ∥，将含30︒角的直角三角板按如图所示摆放．若2140∠=︒，则1∠=．题型九多边形的内角和与外角和例题：（23-24七年级下·江苏镇江·期末）足球的表面是由12个正五边形和20个正六边形组成的.如图，将足球上的一个正六边形和它相邻的一个正五边形展开放平，则图中的ABC ∠=．巩固训练1．（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，3∠和4∠是四边形ABCD 的外角，若1120∠=︒，275∠=︒，则34∠+∠=．2．（23-24八年级下·江西萍乡·期末）一个多边形的内角和是它的外角和的1.5倍，则这个多边形的边数为．3．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，已知59MON ∠=︒，正五边形ABCDE 的顶点A 、B 在射线OM 上，顶点E 在射线ON 上，则NED ∠的度数为．题型十在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积例题：（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）下图为79⨯的网格，每一小格均为正方形，已知ABC ．(1)画出ABC 中BC 边上的中线AD ；(2)画出ABC 中AB 边上的高CE ．(3)直接写出ABC 的面积为_________．巩固训练1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A ，点B ，点C 在小正方形的顶点上．(1)画出ABC 中边BC 上的高AD ；(2)画出ABC 中边AB 上的中线CE ；(3)直接写出ACE △的面积为______．2.（23-24七年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在方格纸内将ABC 水平向右平移4个单位得到A B C ''' ．(1)画出A B C ''' ；(2)若连接AA '，BB '，则这两条线段之间的关系是_________；(3)画出AB 边上的中线CD ；（利用网格点和直尺画图）(4)图中能使ABC PBC S S ＝△△的格点P 有_________个（点P 异于点A ）．3．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形边长均为1，在方格纸内将ABC 的点C 平移至点C '得到A B C ''' ．(1)画出A B C ''' ；(2)线段AC 和A C ''的关系是_______．(3)借助方格画出AB 边上的中线CD 和高CE ；(4)四边形ACC A ''面积为_______．第十一章三角形知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图02知识速记一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.推论：三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．三、三角形的分类1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.四、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言过点A 作AD ⊥BC 于点D ．取BC 边的中点D ，连接AD ．作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于点D ．标示图形符号语言1．AD 是△ABC 的高．2．AD 是△ABC 中BC 边上的高．3．AD ⊥BC 于点D ．4．∠ADC ＝90°，∠ADB ＝90°．1．AD 是△ABC 的中线．2．AD 是△ABC 中BC 边上的中线．3．BD ＝DC ＝12BC 4．点D 是BC 边的中点．1．AD 是△ABC 的角平分线．2．AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ．3．∠1＝∠2＝12∠BAC ．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝12BC．因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝12∠BAC．用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．五、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．六、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．七、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．八、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；(2)过n 边形的一个顶点可以引(n -3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n -；(3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n -2)个三角形．九、多边形内角和n 边形的内角和为(n -2)·180°(n ≥3)．要点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180n n- °；十、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．凸多边形凹多边形03题型归纳题型一三角形的稳定性例题：（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的（）A．全等性B．对称性C．稳定性D．灵活性【答案】C【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性，根据三角形具有稳定性，即可进行解答．【详解】解：墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的稳定性，故选；C．巩固训练1．（23-24八年级上·云南昆明·期末）我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥的斜拉索，它能拉住桥面，并将桥面向下的力通过钢索传给索塔，确保桥面的稳定性和安全性．那么港珠澳大桥斜拉索建设运用的数学原理是（）A．三角形的不稳定性B．三角形的稳定性C．四边形的不稳定性D．四边形的稳定性【答案】B【分析】本题主要考查了三角形的特性，解题的关键是熟练掌握三角形的稳定性；根据三角形的稳定性进行解答即可．。
八上数学第十一章三角形知识点总结
八上数学第十一章三角形知识点总结第一节三角形的定义和分类1. 三角形是由三条线段所围成的图形，其中每条线段都是三角形的边。
2. 三角形的分类：按边长分类（等边三角形、等腰三角形、普通三角形）、按角度分类（直角三角形、锐角三角形、钝角三角形）。
第二节三角形的性质1. 三角形的内角和等于180°：任意三角形的三个内角相加等于180°。
2. 三角形的外角和等于360°：三角形的一个内角对应的外角与其他两个内角的外角和等于360°。
3. 三角形的任意两边之和大于第三边：三角形的两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
第三节三角形的中线和中位线1. 三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
2. 三角形的中位线：连接三角形的两个顶点与对边中点的线段。
第四节三角形的角平分线和高线1. 三角形的角平分线：从一个三角形内角的顶点出发，把这个内角平分成两个相等的角的线段。
2. 三角形的高线：从一个三角形的顶点引垂线，与对边垂直相交的线段。
第五节三角形的重心、外心和内心1. 三角形的重心：三角形三条中线的交点。
2. 三角形的外心：三角形外接圆的圆心。
3. 三角形的内心：三角形内切圆的圆心。
第六节相似三角形1. 相似三角形的定义：两个三角形的对应角相等，对应边成比例。
2. 相似三角形的性质：相似三角形的对应边比相等，对应角相等。
3. 相似三角形的判定：AAA判定、AA判定、SAS判定。
第七节三角形的面积1. 三角形面积的计算公式：面积 = 底边长度× 高 / 2。
2. 三角形面积的性质：三角形面积与底边长度成正比，与高成正比。
3. 三角形面积的计算方法：根据已知条件，利用相似三角形、三角形的高、角平分线等求解。
第八节勾股定理1. 勾股定理的表述：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。
2. 勾股定理的应用：用于求解直角三角形的边长和判断三条边长度是否能构成直角三角形。
人教版八年级上册第十一章三角形知识点归纳
三角形几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）1．三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（如图）AB CD几何表达式举例：(1) ∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD(2) ∵∠BAD=∠CAD∴AD是角平分线2．三角形的中线定义：在三角形中，连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线.（如图）AB CD几何表达式举例：(1) ∵AD是三角形的中线∴BD = CD(2) ∵BD = CD∴AD是三角形的中线3．三角形的高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.（如图）AB CD几何表达式举例：(1) ∵AD是ΔABC的高∴∠ADB=90°(2) ∵∠ADB=90°∴AD是ΔABC的高※4．三角形的三边关系定理：几何表达式举例：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边.（如图）AB C(1) ∵AB+BC＞AC∴……………(2) ∵AB-BC＜AC∴……………5．等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. （如图）AB C几何表达式举例：(1) ∵ΔABC是等腰三角形∴AB = AC(2) ∵AB = AC∴ΔABC是等腰三角形6．等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形. （如图）AB C几何表达式举例：(1)∵ΔABC是等边三角形∴AB=BC=AC(2) ∵AB=BC=AC∴ΔABC是等边三角形7．三角形的内角和定理及推论：（1）三角形的内角和180°；（如图）（2）直角三角形的两个锐角互余；（如图）（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（如图）几何表达式举例：(1) ∵∠A+∠B+∠C=180°∴…………………※（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.（1） （2） （3）（4）(2) ∵∠C=90° ∴∠A+∠B=90°(3) ∵∠ACD=∠A+∠B ∴………………… (4) ∵∠ACD ＞∠A ∴…………………8．直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫直角三角形.（如图）ABC几何表达式举例： (1) ∵∠C=90° ∴ΔABC 是直角三角形 (2) ∵ΔABC 是直角三角形 ∴∠C=90°9．等腰直角三角形的定义： 两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形.（如图）ABC几何表达式举例： (1) ∵∠C=90° CA=CB∴ΔABC 是等腰直角三角形(2) ∵ΔABC 是等腰直角三角形∴∠C=90° CA=CB10．全等三角形的性质： 几何表达式举例：DAB CABCABC（1）全等三角形的对应边相等；（如图） （2）全等三角形的对应角相等.（如图）(1) ∵ΔABC ≌ΔEFG ∴ AB = EF ……… (2) ∵ΔABC ≌ΔEFG∴∠A=∠E ……… 11．全等三角形的判定：“SAS ”“ASA ”“AAS ”“SSS ”“HL ”. （如图）（1）（2）（3）几何表达式举例： (1) ∵ AB = EF ∵ ∠B=∠F又∵ BC = FG ∴ΔABC ≌ΔEFG (2) ………………(3)在Rt ΔABC 和Rt ΔEFG 中∵ AB=EF 又∵ AC = EG ∴Rt ΔABC ≌Rt ΔEFG12．角平分线的性质定理及逆定理： （1）在角平分线上的点到角的两边距离相等；（如图）（2）到角的两边距离相等的点在角A O BCDE几何表达式举例： (1)∵OC 平分∠AOB 又∵CD ⊥OA CE ⊥OB ∴ CD = CEABCGEFABCGEFA BCEFG平分线上.（如图）(2) ∵CD⊥OA CE⊥OB又∵CD = CE∴OC是角平分线13．线段垂直平分线的定义：垂直于一条线段且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.（如图）A BEFO几何表达式举例：(1) ∵EF垂直平分AB∴EF⊥AB OA=OB(2) ∵EF⊥AB OA=OB∴EF是AB的垂直平分线14．线段垂直平分线的性质定理及逆定理：（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（如图）（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（如图）A BCMNP几何表达式举例：(1) ∵MN是线段AB的垂直平分线∴PA = PB(2) ∵PA = PB∴点P在线段AB的垂直平分线上15．等腰三角形的性质定理及推论：（1）等腰三角形的两个底角相等；（即等边对等角）（如图）（2）等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高”几何表达式举例：(1) ∵AB = AC ∴∠B=∠C三线合一；（如图）（3）等边三角形的各角都相等，并且都是60°.（如图）AB C（1）AB CD （2）ABC（3）(2) ∵AB = AC 又∵∠BAD=∠CAD ∴BD = CDAD ⊥BC ………………(3) ∵ΔABC 是等边三角形 ∴∠A=∠B=∠C =60°16．等腰三角形的判定定理及推论： （1）如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所对边也相等；（即等角对等边）（如图）（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（如图）（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；（如图） （4）在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半.（如图）AB C（1）ABC（2）（3）ABC（4）几何表达式举例：(1) ∵∠B=∠C ∴ AB = AC (2) ∵∠A=∠B=∠C∴ΔABC 是等边三角形 (3) ∵∠A=60° 又∵AB = AC∴ΔABC 是等边三角形 (4) ∵∠C=90°∠B=30°∴AC =21AB17．关于轴对称的定理几何表达式举例：EFMO ABCNG（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（如图）（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.（如图）(1) ∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称∴ΔABC≌ΔEGF(2) ∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称∴OA=OE MN⊥AE18．勾股定理及逆定理：（1）直角三角形的两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2；（如图）（2）如果三角形的三边长有下面关系: a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.（如图）ABC几何表达式举例：(1) ∵ΔABC是直角三角形∴a2+b2=c2(2) ∵a2+b2=c2∴ΔABC是直角三角形19．RtΔ斜边中线定理及逆定理：（1）直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半；（如图）（2）如果三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角DABC几何表达式举例：∵ΔABC是直角三角形∵D是AB的中点∴CD = 21AB(2) ∵CD=AD=BD三角形.（如图） ∴ΔABC 是直角三角形几何B 级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题） 一 基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数. 二 常识：1．三角形中，第三边长的判断： 另两边之差＜第三边＜另两边之和.2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若CD ⊥AB ，BE ⊥CA ，则CD ·AB=BE ·CA.4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和.5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和. 6．分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形. 7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：A BCEDA BCD 12（1）AC·CB=CD·AB ；（2）∠1=∠B ，∠2=∠A .8．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.10．等边三角形是特殊的等腰三角形.11．几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明.12．符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等.13．几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.14．几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.15．会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.16．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.17．几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图.※18．几何重要图形和辅助线：（1）选取和作辅助线的原则： ① 构造特殊图形，使可用的定理增加； ② 一举多得；③ 聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角； ④ 作辅助线必须符合几何基本作图. （2）已知角平分线.（若BD 是角平分线）① 在BA 上截取BE=BC 构造全等，转移线段和角；② 过D 点作DE ∥BC 交AB 于E ，构造等腰三角形 .（3）已知三角形中线（若AD 是BC 的中线）① 过D 点作DE ∥AC 交AB 于E ，构造中位线 ；② 延长AD 到E ，使DE=AD 连结CE 构造全等，转移线段和角；③ ∵AD 是中线 ∴S ΔABD= S ΔADC （等底等高的三角形等面积）(4) 已知等腰三角形ABC 中，AB=AC① 作等腰三角形ABC 底边的中线AD （顶角的平分线或底边的高）构造全 等三角形；② 作等腰三角形ABC 一边的平行线DE ，构造新的等腰三角形.BCD AE BCD AEADECBADECBADCBADCB（5）其它 作等边三角形ABC 一边 的平行线DE ，构造新的等边三角形；② 作CE ∥AB ，转移角；③ 延长BD 与AC 交于E ，不规则图形转化为规则图形；④ 多边形转化为三角形；⑤ 延长BC 到D ，使CD=BC ，连结AD ，直角三角形转化为等腰三角形； ⑥ 若a ∥b,AC,BC 是角平 分线,则∠C=90°.EA DCBE ADCBDA CBECBADECEBDAADOBCEBCDABACab。
人教版初中八年级上册数学第十一章三角形知识归纳
第十一章三角形
11.1 与三角形有关的线段【高、中线（重心）、角平分线】
两边之差＜第三边＜两边之和。
按边分类、三角形的稳定性。
11.2 与三角形有关的角
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180º。
直角三角形的两个锐角互余。
有两个角互余的三角形是直角三角形。
推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
备注：推论和定理一样，可以作为进一步推理的依据。
11.3 多边形及其内角和
多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭式图形。
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。
正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形。
n边形内角和等于（n-2）×180º。
多边形的外角和等于360º。
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良好的学习态度能够更好的提高学习能力。
良好的学习态度应该包括：
1、主动维持学习的兴趣，不断提升学习能力。
2、合理安排学习的时间。
3、诚挚尊重学习的对象，整合知识点。
4、信任自己的学习能力，制定学习复习计划。
5、做题的时候要学会反思、归类、整理出对应的解题思路。
因此，良好的学习态度的养成，应该从养成良好的学习习惯开始。
无论是初学者，还是学有所成者，都应该有一个良好的学习态度，都应该有一个良好的学习习惯。
八年级数学上册“第十一章三角形”必背知识点
八年级数学上册“第十一章三角形”必背知识点一、三角形的定义与基本性质1. 三角形的定义：不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
三角形有三条边、三个内角和三个顶点。
2. 三角形的分类：按边分：不等边三角形、等腰三角形 （包括等边三角形，即三边都相等的特殊等腰三角形）。
按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
3. 三角形的主要线段：高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。
中线：连接三角形的一个顶点和它所对边的中点的线段。
三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分。
角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。
三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于一点（内心）。
4. 三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，具有稳定性。
这一性质在生产生活中应用广泛。
二、三角形的三边关系基本定理：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
推论：根据三边关系可以判断三条线段是否能组成三角形，或已知两边时确定第三边的取值范围。
三、三角形的内角与外角1. 内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°。
推论：直角三角形的两个锐角互余。
2. 外角的定义与性质：定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
外角和定理：三角形的外角和为360°。
四、与三角形有关的角的其他性质等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等 （等边对等角）。
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且均为60°。
五、多边形的基本概念与性质多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
多边形的内角与外角：内角：多边形相邻两边组成的角。
外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角。
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。
人教版八年级上册数学各单元知识点归纳总结
第十一章三角形一、知识框架：二、知识概念：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.n-·180°⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2)⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.n-条对角⑸多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引(3)线，把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2n n -条对角线. 第十二章 全等三角形一、知识框架：二、知识概念：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS ）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.第十三章 轴对称一、知识框架：二、知识概念：1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②对称的图形都全等.⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质①点P (,)x y 关于x 轴对称的点的坐标为'P (,)x y -.②点P (,)x y 关于y 轴对称的点的坐标为"P (,)x y -.⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等.②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等.②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一.④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形.②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形.②三个角都相等的三角形是等边三角形.③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.第十四章 整式的乘除与分解因式一、知识框架:二、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a+⨯= ⑵幂的乘方：()n m mn a a =⑶积的乘方：()nn n ab a b = 2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+ 4.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷多项式：用竖式.5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式 子因式分解.6.因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式.⑵公式法：①平方差公式：()()22a b a b a b -=+- ②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=± ③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++ ⑷拆项法⑸添项法第十五章分式一、知识框架：二、知识概念：1.分式：形如AB，A B、是整式，B中含有字母且B不等于0的整式叫做分式.其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c±±=⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：a c ad cbb d bd±±=⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c acb d bd ⨯=⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d adb d bc bc ÷=⨯=⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：n nna ab b ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.整数指数幂：⑴m n m n a a a+⨯=（m n 、是正整数） ⑵()n m mn a a =（m n 、是正整数）⑶()n n n ab a b =（n 是正整数）⑷m n m n a a a-÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >） ⑸n n n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数） ⑹1n n a a-=（0a ≠，n 是正整数） 9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).。
第十一章 三角形 最新人教版初二数学八年级上册考点知识点精讲
第十一章三角形第十一章11.1.1三角形的边知识点1：三角形的概念(1)定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.在此定义中,要特别注意“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”这三个条件,缺一不可. 如图,在线段AB上取一点(除端点)C,三条线段AC、CB和AB是首尾顺次相接的,但它们却没有构成三角形.(2)组成:如图,三条边,即边AB、边BC、边CA;三个内角,即∠A、∠B、∠C;三个顶点,即点A、点B、点C. 三角形有三个顶点,三个角,三条边.(3)表示法:“三角形”用符号“△”表示,如上图,顶点是A、B、C 的三角形,记作“△ABC”,读作“三角形ABC”.另外,△ABC的三边,有时也用a,b,c来表示,一般地,∠A对边a,∠B 对边b,∠C对边c.如图上,顶点A所对的边BC用a表示,边AC、边AB 分别用b、c来表示.归纳整理:我们通常数三角形的方法有:(1)按图形的形成过程(即重新画一遍图形,按照三角形形成的先后顺序去数).(2)按照三角形的大小去数.(3)可以从图中的某一条线段开始沿着一定的方向去数.(4)先固定一个顶点,变化另两个顶点来数.注意:通过三角形的定义可知,三角形的特征有:①三条线段;②不在同一条直线上;③首尾顺次相接.这是判断是否是三角形的标准.知识点2：三角形的分类(1)三角形按边分类:三角形(2)三角形按角的大小分类:三角形(3)按边分类中各种三角形的关系:归纳整理:(1)三边都不相等的三角形是不等边三角形,不等边三角形应该是指“三边都不相等”的三角形;有两边相等的三角形叫做等腰三角形,相等的两边叫做等腰三角形的腰;三边都相等的三角形叫做等边三角形.(2)等边三角形是特殊的等腰三角形,即底边和腰相等的等腰三角形.知识点3：三角形的三边关系(1) 三角形任意两边之和大于第三边.(2)三角形任意两边之差小于第三边.归纳整理:(1)三边关系的应用:判断三条线段能否组成三角形,若两条较短的线段长之和大于最长线段的长,则这三条线段可以组成三角形;反之,则不能组成三角形.当已知三角形两边长,可以求出第三边的取值范围.并且对于三角形三边关系通常要与等腰三角形的知识连用,结合分类讨论思想求解.(2)三角形三边关系是“两点之间,线段最短”的具体应用.考点1：三角形的数法【例1】如图,图中有几个三角形,哪几个三角形?解:有6个三角形.它们分别是△ABE、△ABD、△ABC、△AED、△AEC、△ADC.点拨：只要符合有不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接,就是一个三角形.在数三角形的个数的问题上,要注意不重不漏的问题.形如例1这样的三角形的个数也可以根据点E、D把BC分成了三段,所以三角形的个数为3+2+1=6(个).考点2：三角形的分类【例2】设M表示直角三角形,N表示等腰三角形,P表示等边三角形,Q表示等腰直角三角形,则下列四个选项中,能表示它们之间关系的是( ).解:A.点拨:本题主要考查了三角形的分类以及不同三角形之间的关系,只要正确地理顺三角形之间的关系即可.等腰三角形与直角三角形的公共部分是等腰直角三角形,等腰三角形包括等边三角形和等腰直角三角形,只有选项A符合题意.考点3：三角形边的求法【例3】已知等腰三角形的周长是600px.(1)腰长是底边长的2倍,求腰长;(2)已知其中一边长为150px,求其他两边长.解:(1)设底边长为xcm,则腰长为2xcm.根据题意,得x+2x+2x=24.解得x=4.8.故腰长=2x=2×4.8=9.6(cm).(2)因为长为150px的边可能是腰,也可能是底,所以要分两种情况计算.当长为150px的边为腰时,则底边为24-6×2=12.由6+6=12,两边之和等于第三边,所以150px长为腰不能组成三角形,舍去.当长为150px的边为底边时,则腰长为(24-6)÷2=9.∵150px,225px,225px可以组成三角形,∴三角形其他两边长均为225px.点拨:计算(1)可以通过设未知数来进行计算,得出方程,通过求方程的解从而求出答案,其中体现了方程思想.计算(2)要注意分两种情况考虑,因为题目中没有说明这条边究竟是腰还是底边,所以通过其中一边长为150px,求其他两边的长应该分成两种情况考虑:一种是150px长的边为腰,另一种是150px长的边为底,体现了数学中的分类讨论思想.并且计算结果还要注意检查是否符合两边之和大于第三边.考点4：三角形的三边关系【例4】用7根火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形,能摆成不同的三角形的个数为.解:能摆成不同形状的三角形的个数为2.点拨:设一根火柴棒的长度为单位1,最短边不能大于2,若最短边大于2,则周长至少是9,不合题意.①当最短边长为1时,另两边长可能为1,5;2,4;3,3;其中当边长为1,1,5;1,2,4时不能构成三角形,只有1,3,3能构成三角形;②当最短边长为2时,另两边长可能为2,3;3,2;边长为2,2,3和2,3,2能构成三角形,但这两种三角形的形状相同.第十一章11.1.2三角形的高、中线与角平分线知识点1：三角形的中线三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线,如图.表示法:1.AD是△ABC的边BC上的中线.2. BD=DC=BC.注意:①三角形的中线是线段;②三角形三条中线全在三角形的内部,并且三条中线相交于三角形内部一点;③三角形三条中线的交点叫做三角形的重心;④三角形的任一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形.知识点2：三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线,如图.表示法:1. AD是△ABC的∠BAC的平分线.2. ∠1=∠2=∠BAC.注意:①三角形的角平分线是线段;②三角形三条角平分线全在三角形的内部;③三角形三条角平分线交于三角形内部一点;④由三角形的角平分线可以得到角之间的相等关系和2倍关系. 知识点3：三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,如图.表示法:1. AD是△ABC的边BC上的高线.2. AD⊥BC于点D.3. ∠ADB=∠ADC=90°.注意:①三角形的高是线段;②锐角三角形的三条高都在三角形的内部,三条高的交点也在三角形内部;钝角三角形有两条高落在三角形的外部,一条在三角形内部,三条高所在的直线交于三角形外一点;直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边,另一条在三角形内部,它们交点是直角顶点;③三角形的三条高或其所在的直线相交于一点;④当已知三角形三条高的交点在三角形的内部时,则说明三角形一定是锐角三角形;三条高的交点在三角形的一个顶点处时,则说明三角形一定是直角三角形;当三角形三条高的交点在三角形的外部时,则该三角形一定是钝角三角形.考点1：三角形的高、中线与角平分线的判定【例1】如图,在△ABC中,∠BAD=∠CAD,AE=CE,AG⊥BC,垂足为点G,AD与BE相交于点F,试指出AD、AF分别是哪个三角形的角平分线?BE、DE分别是哪个三角形的中线?AG是哪些三角形的高？解:AD、AF分别是△ABC、△ABE的角平分线;BE、DE分别是△ABC、△ADC的中线;AG是△ABC、△ABD、△ACD、△ABG、△ACG、△ADG的高.点拨:首先要抓住特殊线段的数量关系,因为∠BAD=∠CAD,所以AD是∠BAC的平分线,AF是∠BAE的平分线等.其次要抓住特殊线段的位置关系,即它们都过三角形的一个顶点,以及它对边上的一点,这样就能确定是哪个三角形的特殊线段了.考点2：三角形中线的应用【例2】有一块三角形优良品种试验基地,如图所示,由于引进四个优良品种进行对比试验,需将这块土地分成面积相等的四块,请你制定出两种以上的划分方案供选择.(画图说明)解:方案1:如答图(1),在BC上取D、E、F,使BD=ED=EF=FC,连接AE、AD、AF.(1) (2) (3)方案2:如答图(2),分别取AB、BC、CA的中点D、E、F,连接DE、EF、DF.方案3:如答图(3),分别取BC的中点D,CD的中点E,AB的中点F,连接AD、AE、DF.点拨:可根据中线所分的两个三角形的面积相等以及三角形的面积公式的特征,先分为两个面积相等的三角形,然后再依次等分.第十一章11.1.3三角形的稳定性知识点：三角形的稳定性三角形三条边确定后,三角形的形状和大小就确定不变了,这个性质叫做三角形的稳定性.三角形的稳定性在生产和生活中有着广泛的应用.比如,房屋的人字梁具有三角形的结构,它坚固稳定;大桥钢架、输电线支架、索道支架等都采用三角形结构.这都是三角形的稳定性的应用.四边形没有稳定性,也就是说四边形的四条边长确定后,不能确定它的形状,它的各个角的大小也可以改变,四边形的不稳定性也有广泛的应用,如活动衣架、伸缩尺等.有时为了克服四边形的不稳定性,如在门框未安好之前,先在门框上斜着钉一根木条,使它不变形,如图.考点：三角形稳定性的应用【例】如图所示,建高楼时常需要用塔吊来吊建筑材料,而塔吊的上部都是三角形结构,这是应用了三角形的哪个性质?答: .解:三角形的稳定性.点拨:因为塔吊的上部是三角形结构,所以这是运用了三角形的稳定性.故填三角形的稳定性.第十一章11.2.1三角形的内角知识点1：三角形的内角和定理(1)三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.(2)几何语言表述:如图.在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和是180°).(3)推理过程:①如图(1),作CM∥AB,则∠4=∠1,而∠2+∠3+∠4=180°,即∠A+∠B+∠AC B=180°.(1) (2)②如图(2),作MN∥BC,则∠2=∠B,∠3=∠C,而∠1+∠2+∠3= 180°,即∠BAC+∠B+∠C=180°.知识点2：直角三角形角的关系(1)直角三角形的两锐角互余.如图所示,直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC.几何语言表示:在Rt△ABC中,若∠C=90°,则∠A+∠B=90°.(2)有两个角互余的三角形是直角三角形.如图所示,若∠A+∠B=90°,则△ABC是直角三角形.注意:如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形有两个角互余.反过来,有两个角互余的三角形是直角三角形.这两个命题的结论和题设是相反的.前者是直角三角形的性质,而后者则是直角三角形的判定方法.归纳总结:(1)证明三角形内角和定理的思路很多,其基本思想都是将分散的三个角全部或适当地集中起来,利用平角概念或两直线平行,同旁内角互补来证明.(2)应用内角和定理可解决已知两个角求第三个角的问题,或已知三个角的关系,求三个角的问题.考点1：求直角三角形中角的度数【例1】如图,直线a∥b,EF⊥CD于点F,∠2=65°,则∠1的度数是 .答案:25°点拨:因为a∥b,所以∠FDE=∠2.在直角三角形DEF中,∠1=90°-∠FDE=90°-65°=25°.考点2：三角形内角和的实际应用【例2】一块模板如图所示,按规定AB、CD的延长线应相交成85°的角,因为交点不在模板上,不便测量,所以工人师傅连接AC,测量出∠BAC的度数为32°,∠DCA的度数为64°,这时工人师傅就判定,AB、CD的延长线相交所成的角不符合规定,你认为工人师傅的判断正确吗?为什么?解:工人师傅的判断正确. 说明如下:作AB、CD的延长线,两线相交于点M.在△ACM中,因为∠MAC+∠MCA+∠M=180°,所以∠M=180°-∠MAC-∠MCA=180°-32°-64°=84°≠85°.所以此模板不合格,工人师傅的判断是正确的.点拨:要判断是否合格,关键在于利用三角形的内角和求解AB、CD 的延长线相交的角度.第十一章11.2.2三角形的外角知识点1：三角形的外角(1)三角形外角的定义:三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图,∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角,且∠ACD=∠BCE.所以说一个三角形有六个外角,但我们每个一个顶点处只选一个外角,这样三角形的外角就只有三个了.(2)三角形的外角有三个特征:①顶点在三角形的一个顶点上;②一条边是三角形的一边;③另一边是三角形另一条边的延长线.注意：三角形每个顶点处有两个外角,它们是对顶角,所以三角形共有六个外角,通常每个顶点处取一个外角.因为三角形的每个外角与相邻的内角是邻补角,由三角形的内角和是180°,可以推出三角形的三个外角的和是360°.知识点2：三角形的外角性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.几何语言表述:如图所示,∵∠ACD是△ABC的外角,∴∠ACD=∠A+∠B(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和).归纳整理:(1)三角形的外角性质反映的是外角与它不相邻的内角之间的关系,在应用三角形外角的性质及内角和定理时,一定要注意外角与和它相邻的内角是互补关系.(2)三角形的外角性质的应用:可以用来计算角的大小,也可以用来判断相关角的不等关系.(3)三角形的外角和是360°.(4)三角形的外角与相邻的内角之间的关系:①当三角形的外角大于与它相邻的内角时,则该三角形可能锐角三角形、直角三角形或钝角三角形;②当三角形的外角等于与它相邻的内角时,则该三角形一定是直角三角形;③当三角形的外角小于与它相邻的内角时,则该三角形一定是钝角三角形.考点1：三角形外角的应用【例1】已知某零件的形状如图所示,按规定∠BAC=90°,∠B=18°,∠C=25°,检测工人测得∠BDC=135°,就断定此零件不合格.你能说明理由吗?解:如图,连接AD并延长到点E,由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,得∠CDE=∠C+∠CAE,∠BDE=∠B+∠BAE.所以∠BDC=∠C+∠B+∠CAB.若零件合格,则有∠BDC=90°+18°+25°=133°,而量得∠B DC=135°,所以这个零件不合格.点拨:这是一个有关三角形知识在实际问题中的应用的题目,其关键是如何将实际问题转化为相应的有关三角形的角的知识来解决. 考点2：三角形内角和外角的综合应用【例2】如图(1),在△ABC中,∠1=∠2,∠C>∠B,E为AD上一点,且EF⊥BC,垂足为F.(1)试探索∠DEF与∠B、∠C的大小关系;(2)如图(2),当点E在AD的延长线上时,其他条件都不变,你在(1)中探索得到的结论是否还成立?并说明理由.(1) (2)解:(1)∵∠1=∠2,∴∠1=∠BAC.∵∠BAC=180°-(∠B+∠C),∴∠1=[180°-(∠B+∠C)]=90°- (∠B+∠C).∴∠EDF=∠B+∠1=∠B+90°-(∠B+∠C)=90°+(∠B-∠C).又EF⊥BC,∴∠EFD=90°.∴∠DEF=90°-∠EDF=90°-=(∠C-∠B).(2)当点E在AD的延长线上时,其余条件都不变,(1)中探索所得的结论仍成立,理由同(1).点拨:本题的关键是寻找∠DEF与∠B、∠C之间的联系,由三角形的内角和定理及外角性质,可通过∠1(或∠2)、∠EDF搭桥解决.第十一章11.3.1多边形知识点1：多边形(1)多边形的定义:在同一平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形.(2)多边形的分类:多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……如果一个多边形由n条线段组成,那么这个多边形就叫做n边形. 其中,三角形是最简单的多边形.如图所示的多边形记作五边形ABCDE.(3)多边形的边:所连接的线段叫做多边形的边. 如图中的AB、BC、CD、DE、EA都是五边形ABCDE的边.(4)多边形的角:①内角:多边形相邻的两边所组成的角叫做多边形的内角,如图中的∠EAB、∠ABC、∠BCD、∠CDE、∠DEA都是五边形ABCDE的内角;n边形共有n个内角.②外角:多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角,如图中的∠D CF是五边形ABCDE的一个外角.n边形共有2n个外角,其中每个顶点处有两个相等的外角,这两个外角是对顶角.(5)多边形的对角线:多边形不相邻的两个顶点的连线组成的线段叫做多边形的对角线. 如图中,AC、AD是五边形A BCDE的两条对角线.n边形从一个顶点可以引(n-3)条对角线,把n边形分成(n-2)个三角形,n边形内对角线的条数为.(6)凸多边形:画出多边形的任何一条边所在的直线,整个多边形都在这条直线的同一侧,这样的多边形叫做凸多边形.归纳整理:1. 理解多边形的定义时要注意两点:(1)若干条不在同一直线上的线段;(2)首尾相连形成封闭图形.两者缺一不可.2. 多边形分为凸多边形和凹多边形,画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线,整个图形都在这条直线的同一侧,这样的四边形叫做凸四边形,如图(1)所示.(1) (2)画出图形所在的直线CD,整个图形不都在这条直线的同一侧,我们称它为凹多边形,如图(2)所示.3. 多边形的外角和是指n个外角的和,即一个顶点处只有一个外角. 知识点2：正多边形的概念各边都相等,各角都相等的多边形叫做正多边形.如图所示:正三角形、正方形、正五边形、正六边形等都是正多边形.正n边形有n个内角,并且这n个角都相等;正n边形有2n个外角,并且这2n个外角也相等.注意：判断一个多边形是否是正多边形时,关键要抓住两点:(1)各个角都相等;(2)各条边都相等.这两个条件缺一不可.如长方形就不是正多边形,由于长方形的四个角虽相等,但长方形的四条边不相等,故长方形不是正多边形.考点1：凹、凸多边形的判定【例1】如图,是凸多边形的是( ).A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④答案:C.点拨:根据凸多边形与凹多边形的判定方法,①②是凹多边形,③④是凸多边形.考点2：多边形对角线的求法【例2】若过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形,求这个多边形所有对角线的条数.解:设多边形的边数为n,则有n-2=8,所以n=10.再由n边形的所有对角线的条数为得对角线的总数为35条.点拨:若求这个多边形的所有对角线的条数,只需求出多边形的边数.由于过多边形一个顶点可以把多边形分成n-2个三角形,因此可以求出边数,进而由求出多边形所有对角线的条数.考点3：多边形的判定【例3】下列说法错误的是( ).A. 正多边形的各条边都相等B. 正多边形的各个角都相等C. 各个角都相等的多边形不一定是正多边形D. 各条边都相等的多边形一定是正多边形答案:D.点拨:正多边形必须具备“各个角都相等,各条边都相等”,故D错误,如菱形的四条边都相等,但菱形不是正多边形.第十一章11.3.2多边形的内角和知识点1：多边形的内角和(1)多边形的内角和:n边形内角和等于(n-2)×180°.(2)多边形的内角和的推导方法有很多,但都是将多边形问题转化为三角形问题来解决的,即利用多边形对角线或对角线的一部分,可以把多边形分割成若干个小三角形,再通过三角形的内角和推导出多边形的内角和. 这种转化是化归思想的体现,也是解决多边形问题的基本思想.下面提供三种方法:(1) (2) (3)方法一:教材中所提供的方法如图(1)所示,以多边形的某一个顶点为端点,与其他顶点相连接构成多边形的对角线,把多边形分割成(n-2)个小三角形.方法二:如图(2)所示,在n边形中,取某边上一点(非顶点)为端点,与其他顶点相连,把多边形分割成(n-1)个小三角形.方法三:如图(3)所示,在n边形的内部任取一点,与多边形的各顶点相连,把多边形分割成n个小三角形.关键提醒:多边形的内角和与边数有关,边数每增加一条,则内角和就增加180°.知识点2：多边形的外角和(1)多边形的外角和:任意多边形的外角和都等于360°.(2)多边形外角和定理的证明:多边形每个内角与它相邻的外角都是邻补角,所以n边形的内角和加外角和为n·180°,外角和等于n·180°-(n-2)180°=360°.归纳整理:1. 多边形外角和都等于360°,与边数多少无关.2. 外角和定理的作用:(1)已知各相等外角度数求多边形边数;(2)已知多边形边数求各相等的外角度数.(3)通常与正多边形的知识连用求其内角度数或者外角的度数. 正n边形其外角和为360°,所以正n边形外角度数都相等且为,与外角相邻的内角的度数为180°- .考点1：多边形内角和的计算【例1】两个正多边形的边数之比为1∶2,内角和之比为3∶8,求这两个多边形的边数、内角和.解:设这两个正多边形的边数分别为n和2n条.根据多边形的内角和公式,得两多边形的内角和分别为(n-2)·180°和(2n-2)·180°.由于两内角和度数之比为3∶8,因此=,解得n=5.(n-2)·180°=540°,(2n-2)·180°=1440°.因此这两个多边形分别是五边形和十边形,内角和分别为540°和1440°.点拨:由于正多边形的每一个内角都相等,从而可建立方程.考点2：多边形内角和的应用【例2】小华想:2010年世博会在上海举行,设计一个内角和是2010°的多边形图案多有意义,她的想法能实现吗?说说理由.解:小华的想法不能实现.因为多边形的内角和为(n-2)·180°,一定是180°的整数倍,而2010不能被180整除,所以不可能有内角和为2010°的多边形,因此她的想法是不能实现的.点拨:观察多边形的内角和公式(n-2)·180°,发现多边形的内角和一定是180°的整数倍.考点3：多边形外角和的应用【例2】正多边形的一个外角等于30°,则这个多边形的边数为( ).A. 6B. 9C. 12D. 15答案:C.点拨:根据多边形的外角和为360°,正多边形的每一外角都相等,用360÷30即可求出边数﹒。
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三角形
几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）
几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）
一基本概念：
三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.
二常识：
1．三角形中，第三边长的判断：另两边之差＜第三边＜另两边之和.
2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.
3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若CD⊥AB，BE⊥CA，则CD·AB=BE·CA.
4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和.
5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和. 6．分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.
A
B C
E
D
7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即： （1） AC ·CB=CD ·AB ； （2）∠1=∠B ，∠2=∠A .
8．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.
9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.
10．等边三角形是特殊的等腰三角形.
11．几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明. 12．符合“AAA ”“SSA ”条件的三角形不能判定全等.
13．几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.
14．几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.
15．会用尺规完成“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”、“HL ”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.
16．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.
17．几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图. ※18．几何重要图形和辅助线： （1）选取和作辅助线的原则：
① 构造特殊图形，使可用的定理增加； ② 一举多得；
③ 聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角； ④ 作辅助线必须符合几何基本作图.
A B
C
D 12
（2）已知角平分线.（若BD是角平分线）
BC的中线）
（3）已知三角形中线（若AD是
（5）其它。