立体几何高考真题大题

立体几何高考真题大题1．（2016高考新课标1卷）如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD, 90AFD ∠=,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60．（Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）19-【解析】试题分析：（Ⅰ）先证明F A ⊥平面FDC E ,结合F A ⊂平面F ABE ,可得平面F ABE ⊥平面FDC E ．（Ⅱ）建立空间坐标系,分别求出平面C B E 的法向量m 及平面C B E 的法向量n ,再利用cos ,n mn m n m⋅=求二面角． 试题解析：（Ⅰ）由已知可得F DF A ⊥,F F A ⊥E ,所以F A ⊥平面FDC E ． 又F A ⊂平面F ABE ,故平面F ABE ⊥平面FDC E ．（Ⅱ）过D 作DG F ⊥E ,垂足为G ,由（Ⅰ）知DG ⊥平面F ABE ．以G 为坐标原点,GF 的方向为x 轴正方向,GF 为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．由（Ⅰ）知DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角,故DF 60∠E =,则DF 2=,DG 3=,可得()1,4,0A ,()3,4,0B -,()3,0,0E -,(D ．由已知,//F AB E ,所以//AB 平面FDC E ． 又平面CDAB 平面FDC DC E =,故//CD AB ,CD//F E ．由//F BE A ,可得BE ⊥平面FDC E ,所以C F ∠E 为二面角C F -BE -的平面角,C F 60∠E =．从而可得()C 2,0,3-．所以()C 1,0,3E =,()0,4,0EB =,()C 3,4,3A =--,()4,0,0AB =-． 设(),,n x y z =是平面C B E 的法向量,则C 0n n ⎧⋅E =⎪⎨⋅EB =⎪⎩,即3040x z y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩, 所以可取()3,0,3n =-．设m 是平面CD AB 的法向量,则C 0m m ⎧⋅A =⎪⎨⋅AB =⎪⎩,同理可取()0,3,4m =．则219cos ,n m n m n m ⋅==-． 故二面角C E-B -A 的余弦值为219-．考点：垂直问题的证明及空间向量的应用【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主．第二问一般考查角度问题,多用空间向量解决．2．（2016高考新课标2理数）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆位置，10OD '=．（Ⅰ）证明：D H'⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）29525． 【解析】试题分析：（Ⅰ）证//AC EF ，再证'D H OH ⊥，最后证'D H ABCD ⊥平面；（Ⅱ）用向量法求解．试题解析：（Ⅰ）由已知得AC BD ⊥，AD CD =，又由AE CF =得AE CFAD CD=，故//AC EF ．因此EF HD ⊥，从而EF D H'⊥．由5AB =,6AC =得2204DO B AB AO =-=．由//EF AC 得14OH AE DO AD ==．所以1OH =，3D H DH '==． 于是1OH =，22223110D H OH D O ''+=+==， 故D H OH '⊥． 又D HEF '⊥，而OH EF H ⋂=，所以D H ABCD '⊥平面．By（Ⅱ）如图，以H 为坐标原点，HF 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H xyz -，则()0,0,0H ，()3,2,0A --，()0,5,0B -，()3,1,0C -，()0,0,3D '，(3,4,0)AB =-，()6,0,0AC =，()3,1,3AD '=．设()111,,m x y z =是平面ABD '的法向量，则m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即11111340330x y x y z -=⎧⎨++=⎩， 所以可以取()4,3,5m =-．设()222,,n x y z =是平面'ACD 的法向量，则0n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即222260330x x y z =⎧⎨++=⎩，所以可以取()0,3,1n =-．于是cos ,||||50m n m n m n ⋅<>===⋅，295sin ,m n <>=因此二面角B D A C '--的正弦值是25． 考点：线面垂直的判定、二面角．【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；③α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；④面面垂直的性质．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直． 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．3．（2016高考理数）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线．（Ⅰ）已知G,H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ； （Ⅱ）已知EF=FB=12AC=23，AB=BC ．求二面角F BC A --的余弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）77【解析】试题分析：（Ⅰ）根据线线、面面平行可得与直线GH 与平面ABC 平行；（Ⅱ）立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，其中解法立空间直角坐标系求解；解法二则是找到FNM ∠为二面角F BC A --的平面角直接求解． 试题解析：（Ⅰ）证明：设FC 的中点为I ,连接,GI HI ,在CEF △,因为G 是CE 的中点，所以,GI F //E又,F E //OB 所以,GI //OB在CFB △中，因为H 是FB 的中点，所以//HI BC ， 又HI GI I ⋂=,所以平面//GHI 平面ABC ， 因为GH ⊂平面GHI ，所以//GH 平面ABC ． （Ⅱ）解法一：连接'OO ,则'OO ⊥平面ABC ，又,AB BC =且AC 是圆O 的直径，所以.BO AC ⊥以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，由题意得(0,3,0)B ，(3,0,0)C -，过点F 作FM OB 垂直于点M ，所以223,FM FB BM -=可得3,3)F故(23,23,0),(0,3,3)BC BF =--=-．设(,,)m x y z =是平面BCF 的一个法向量．由0,0m BC m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得2330,330x z ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩ 可得平面BCF 的一个法向量3(m =-因为平面ABC 的一个法向量(0,0,1),n =所以7cos ,7||||m n m n m n ⋅<>==． 所以二面角F BC A --的余弦值为7．解法二：连接'OO ，过点F 作FM OB ⊥于点M ， 则有//'FM OO , 又'OO ⊥平面ABC ， 所以FM ⊥平面ABC, 可得223,FM FB BM -=过点M 作MN BC 垂直于点N ，连接FN ， 可得FN BC ⊥,从而FNM ∠为二面角F BC A --的平面角． 又AB BC =,AC 是圆O 的直径，所以6sin 45MN BM ==从而422FN =，可得7cos FNM ∠=所以二面角F BC A --的余弦值为77． 考点：1．平行关系；2．异面直线所成角的计算．【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题．解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，给出规的证明．立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法．本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力\转化与化归思想及基本运算能力等．4．（2016高考理数）如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB=BE=2．（Ⅰ）求证：EG ∥平面ADF ； （Ⅱ）求二面角O-EF-C 的正弦值； （Ⅲ）设H 为线段AF 上的点，且AH=23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）33（Ⅲ）721【解析】试题分析：（Ⅰ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证（Ⅱ）利用空间向量求二面角，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值（Ⅲ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值试题解析：依题意，OF ABCD ⊥平面，如图，以O 为点，分别以,,AD BA OF 的方向为x 轴，y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)O ，()1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0)A B C D E F G -------，．（Ⅰ）证明：依题意，()(2,0,0),1,1,2AD AF ==-．设()1,,n x y z =为平面ADF 的法向量，则1100n AD n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x x y z =⎧⎨-+=⎩ ．不妨设1z =，可得()10,2,1n =，又()0,1,2EG =-，可得10EG n ⋅=，又因为直线EG ADF ⊄平面，所以//EG ADF 平面．（Ⅱ）解：易证，()1,1,0OA =-为平面OEF 的一个法向量．依题意，()()1,1,0,1,1,2EF CF ==-．设()2,,n x y z =为平面CEF 的法向量，则220n EF n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩ ．不妨设1x =，可得()21,1,1n =-． 因此有2226cos ,OA n OA n OA n ⋅<>==-⋅，于是23sin ,3OA n <>=，所以，二面角O EF C --的正弦值为33． （Ⅲ）解：由23AH HF =，得25AH AF =．因为()1,1,2AF =-，所以2224,,5555AH AF ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，进而有334,,555H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而284,,555BH ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此2227cos ,21BH n BH n BH n ⋅<>==-⋅．所以，直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为7． 考点：利用空间向量解决立体几何问题5．（2016年高考理数）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，5AC CD ==．（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）33；（3）存在，14AM AP = 【解析】试题分析：（1）由面面垂直性质定理知AB⊥平面PAD ；根据线面垂直性质定理可知PD AB ⊥，再由线面垂直判定定理可知⊥PD 平面PAB ；（2）取AD 的中点O ，连结PO ，CO ，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系O xyz -，利用向量法可求出直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）假设存在，根据A ，P ，M 三点共线，设λ=，根据//BM 平面PCD ，即0=⋅BM ，求λ的值，即可求出AMAP的值．试题解析：（1）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以⊥AB 平面PAD ，所以PD AB ⊥，又因为PD PA ⊥，所以⊥PD 平面PAB ；（2）取AD 的中点O ，连结PO ，CO ，因为PA PD =，所以AD PO ⊥．又因为⊂PO 平面PAD ，平面⊥PAD 平面ABCD ，所以⊥PO 平面ABCD ．因为⊂CO 平面ABCD ，所以⊥PO CO ．因为CD AC =，所以AD CO ⊥．如图建立空间直角坐标系xyz O -，由题意得，)1,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,1,0(P D C B A -．设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则0,0,n PD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即⎩⎨⎧=-=--,02,0z x z y 令2=z ，则2,1-==y x ． 所以)2,2,1(-=． 又)1,1,1(-=，所以33,cos -=>=<PB n ． 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33．（3）设M 是棱PA 上一点，则存在]1,0[∈λ使得AM λ=． 因此点),,1(),,1,0(λλλλ--=-BM M ．因为⊄BM 平面PCD ，所以∥BM 平面PCD 当且仅当0=⋅n BM ，即0)2,2,1(),,1(=-⋅--λλ，解得41=λ． 所以在棱PA 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ，此时41=AP AM ． 考点：1．空间垂直判定与性质；2．异面直线所成角的计算；3．空间向量的运用．【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直（必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系），构造（寻找）二面角的平面角或得到点到面的距离等．6．（2016高考新课标3理数）如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥地面ABCD ，AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（Ⅰ）证明MN 平面PAB ；（Ⅱ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；85． 【解析】试题分析：（Ⅰ）取PB 的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MN AT ，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）以A 为坐标原点，以,AD AP 所在直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，然后通过求直线AN 的方向向量与平面PMN 法向量的夹角来处理AN 与平面PMN 所成角．试题解析：（Ⅰ）由已知得232==AD AM ，取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知BC TN //，221==BC TN ． 又BC AD //，故TN AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //． 因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB ．（Ⅱ）取BC 的中点E ，连结AE ，由AC AB =得BC AE ⊥，从而AD AE ⊥，且5)2(2222=-=-=BC AB BE AB AE ． 以A 为坐标原点，AE 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -， 由题意知，)4,0,0(P ，)0,2,0(M ，)0,2,5(C ，)2,1,25(N ，(0,2,4)PM =-，)2,1,25(-=PN，)2,1,25(=AN ． 设(,,)n x y z =为平面PMN 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PN n PM n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-0225042z y x z x ，可取(0,2,1)n =，于是||85|cos ,|25||||n AN n AN n AN ⋅<>==．考点：1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积．【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理．7．（2016高考理数）如图,在三棱台ABC DEF -中,平面BCFE ⊥平面ABC ,=90ACB ∠,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3．（Ⅰ）求证：EF ⊥平面ACFD ；（Ⅱ）求二面角B-AD-F 的平面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）34． 【解析】试题分析：（Ⅰ）先证F C B ⊥A ，再证F C B ⊥K ，进而可证F B ⊥平面CFD A ；（Ⅱ）方法一：先找二面角D F B-A -的平面角，再在Rt QF ∆B 中计算，即可得二面角D F B-A -的平面角的余弦值；方法二：先建立空间直角坐标系，再计算平面C A K 和平面ABK 的法向量，进而可得二面角D F B-A -的平面角的余弦值．试题解析：（Ⅰ）延长D A ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示．因为平面CF B E ⊥平面C AB ，且C C A ⊥B ，所以，C A ⊥平面C B K ，因此，F C B ⊥A ．又因为F//C E B ，F FC 1BE =E ==，C 2B =，所以C ∆B K 为等边三角形，且F 为C K 的中点，则F C B ⊥K ．所以F B ⊥平面CFD A ．（Ⅱ）方法一：过点F 作FQ ⊥AK ，连结Q B ．因为F B ⊥平面C A K ，所以F B ⊥AK ，则AK ⊥平面QF B ，所以Q B ⊥AK ． 所以，QF ∠B 是二面角D F B-A -的平面角．在Rt C ∆A K 中，C 3A =，C 2K =，得313FQ 13=． 在Rt QF ∆B 中，313FQ =，F 3B =，得3cos QF ∠B =． 所以，二面角D F B-A -3．方法二：如图，延长D A ，BE ，CF 相交于一点K ，则C ∆B K 为等边三角形．取C B 的中点O ，则C KO ⊥B ，又平面CF B E ⊥平面C AB ，所以，KO ⊥平面C AB ． 以点O 为原点，分别以射线OB ，OK 的方向为x ，z 的正方向，建立空间直角坐标系xyz O ．由题意得()1,0,0B ，()C 1,0,0-，()0,0,3K ， ()1,3,0A --，13,0,2⎛⎫E ⎪ ⎪⎝⎭，13F ,0,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 因此，()C 0,3,0A =，()1,3,3AK =，()2,3,0AB =．设平面C A K 的法向量为()111,,m x y z =，平面ABK 的法向量为()222,,n x y z =． 由C 00m m ⎧A ⋅=⎪⎨AK ⋅=⎪⎩，得111130330y x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，取()3,0,1m =-； 由00n n ⎧AB⋅=⎪⎨AK ⋅=⎪⎩，得22222230330x y x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，取()3,2,3n =-． 于是，3cos ,4m n m n m n ⋅==⋅． 所以，二面角D F B-A -的平面角的余弦值为34．考点：1、线面垂直；2、二面角．【方法点睛】解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．8．（2016年高考理数）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD，E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．E DCBPA（Ⅰ）在平面PAB找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）13．【解析】试题分析：（Ⅰ）探索线面平行，根据是线面平行的判定定理，先证明线线平行，再得线面平行，而这可以利用已知的平行，易得CD∥EB；从而知M为DC和AB的交点；（Ⅱ）求线面角，可以先找到这个角，即作出直线在平面的射影，再在三角形中解出，也可以利用已知图形中的垂直建立空间直角坐标系，用向量法求出线面角（通过平面的法向量与直线的方向向量的夹角来求得）．试题解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行．延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点．理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED．所以四边形BCDE是平行四边形．，所以CD∥EB从而CM∥EB．又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE．（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）（Ⅱ）方法一：由已知，CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，PA ⋂AD=A ，所以CD ⊥平面PAD ．从而CD ⊥PD ．所以∠PDA 是二面角P-CD-A 的平面角．所以∠PDA=45°．设BC=1，则在Rt △PAD 中，PA=AD=2．过点A 作AH ⊥CE ，交CE 的延长线于点H ，连接PH ．易知PA ⊥平面ABCD ，从而PA ⊥CE ．于是CE ⊥平面PAH ．所以平面PCE ⊥平面PAH ．过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE ．所以∠APH 是PA 与平面PCE 所成的角．在Rt △AEH 中，∠AEH=45°，AE=1，所以AH=22． 在Rt △PAH 中，PH=22PA AH +=322 ， 所以sin ∠APH=AH PH =13．方法二：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA⋂AD=A，所以CD⊥平面PAD．于是CD⊥PD．从而∠PDA是二面角P-CD-A的平面角．所以∠PDA=45°．由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD．设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2．作Ay⊥AD，以A为原点，以AD ,AP的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0,0,0），P（0,0,2），C（2,1,0），E（1,0,0），所以PE=（1,0,-2），EC=（1,1,0），AP=（0,0,2）设平面PCE的法向量为n=（x,y,z），由0,0,PEEC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn得20,0,x zx y-=⎧⎨+=⎩设x=2，解得n=（2,-2,1）．设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα=||||||n APn AP⋅⋅=13=．所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为13．P考点：线线平行、线面平行、向量法．【名师点睛】本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力．证明线面平行时，可根据判定定理的条件在平面找一条平行线，而这条平行线一般是由过面外的直线的一个平面与此平面相交而得，证明时注意定理的另外两个条件（线在面，线在面外）要写全，否则会被扣分，求线面角（以及其他角），一种方法可根据定义作出这个角（注意还要证明），然后通过解三角形求出这个角．另一种方法建立空间直角坐标系，用向量法求角，这种方法主要是计算，不需要“作角、证明”，关键是记住相应公式即可．9．（2016高考理数）将边长为1的正方形11AAO O （及其部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。