公务员考试行测备考“多次相遇”解题技巧

公务员考试行测备考:“多次相遇”解题技巧“多次相遇”问题有直线型和环型两种类型。

相对来讲，直线型更加复杂。

环型只是单纯的周期问题。

现在我们分开一一进行讲解。

首先，来看直线型多次相遇问题。

一、直线型直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种。

“两岸型”是指甲、乙两人从路的两端同时出发相向而行;“单岸型”是指甲、乙两人从路的一端同时出发同向而行。

现在分开向大家一一介绍：(一)两岸型两岸型甲、乙两人相遇分两种情况，可以是迎面碰头相遇，也可以是背面追及相遇。

题干如果没有明确说明是哪种相遇，考生对两种情况均应做出思考。

1、迎面相遇：如下图，甲、乙两人从A、B两地同时相向而行，第一次迎面相遇在a处，(为清楚表示两人走的路程，将两人的路线分开画出)则共走了1个全程，到达对岸b后两人转向第二次迎面相遇在c处，共走了3个全程(把甲的bc挪到下边乙处)，则从第一次相遇到第二次相遇走过的路程是第一次相遇的2倍。

之后的每次相遇都多走了2个全程。

所以第三次相遇共走了5个全程，依次类推得出：第n次相遇两人走的路程和为(2n-1)s(s为全程，下同)。

※注：第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，分开看每个人都是2倍关系，经常可以用这个“2倍关系”解题。

即对于甲和乙而言从a到c走过的路程是从起点到a的2倍。

2、背面相遇与迎面相遇类似，背面相遇同样是甲、乙两人从A、B两地同时出发，如下图，此时可假设全程为4份，甲1分钟走1份，乙1分钟走5份。

则第一次背面相遇在a处。

第3分钟，甲走3份，乙走15份，两人在c处第二次背面相遇。

我们可以观察，第一次背面相遇时，两人的路程差是1个全程，第二次背面相遇时，两人的路程差为3个全程。

同样第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，单看每个人多走的路程也是第一次的2倍。

依次类推，得：第n次背面追及相遇两人的路程差为(2n-1)s。

(二)单岸型单岸型是两人同时从一端出发，与两岸型相似，单岸型也有迎面碰头相遇和背面追及相遇两种情况。

1、迎面相遇：如下图，甲、乙两人同时从A端出发，假设全程为3份，甲每分钟走2份，乙每分钟走4份，则甲乙第一次迎面相遇在a处，此时甲走了2份，乙走了4份，共走2个全程。

再过1分钟，甲共走了4份，乙共走了8份，在b处迎面第二次相遇，共走4个全程，则从a处相遇到b处两人共走了两个全程，与第一次相遇时的路程和相同，依次类推，每次迎面相遇多走2个全程，可得出：当第n次迎面相遇时，两人的路程和为2ns，每次相遇用的时间相同。

2、背面相遇与迎面相遇相似，假设全程为3份，甲每分钟走1份，乙每分钟走7份，则第一次背面相遇在a处，2分钟后甲走了2份，乙走了14份，两人在b处背面相遇。

由图，第一次相遇两人走的路程差为2S，第二次相遇两人走的路程差为4S，依次类推，每次相遇，两人多走的路程差均为2s，可以得出：当第n次背面相遇时，两人的路程差为2ns，每次相遇用的时间相同。

“直线型”总结(熟记)①两岸型：第n次迎面相遇，两人的路程和是(2n-1)S。

第n次背面相遇，两人的路程差是(2n-1)S。

②单岸型：第n次迎面相遇，两人的路程和为2ns，每次相遇用的时间相同。

第n次背面相遇，两人的路程差为2ns，每次相遇用的时间相同。

下面列出几种今后可能会考到的直线型多次相遇问题常见的类型：{类型一}：根据“2倍关系”求AB两地的距离。

【例1】甲、乙两人在A、B两地间往返散步，甲从A，乙从B同时出发，第一次相遇点距B60米，当乙从A处返回时走了10米第二次与甲相遇。

A、B相距多少米?A、150B、170C、180D、200【答案及解析】B。

如下图，第一次相遇在a处，第二次相遇在b处，aB的距离为60，Ab的距离为10。

以乙为研究对象，根据2倍关系，乙从a到A，再到b共走了第一次相遇的2倍，即为60×2=120米，Ab为10，则Aa的距离为120-10=110米，则AB距离为110+60=170米。

{类型二}：告诉两人的速度和给定时间，求相遇次数。

【例2】甲、乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5米，乙每分钟游52.5米。

两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返。

如果不计转向的时间，则从出发开始计算的1分50秒内两人共相遇多少次?A、2B、3C、4D、5【答案及解析】B。

题目没说是迎面还是背面，所以两种相遇的次数都应该计算。

法一：根据相遇全程数。

如果是迎面相遇，则走的全程的个数为个，根据迎面相遇n次，走的全程为2n-1=5，求得n=3;如果是背面相遇，则走的全程数为，故在1分50秒内，不能背面相遇。

所以共相遇3次。

法二：根据相遇时间。

第一次迎面相遇时间为秒走一个全程。

共110秒，共110÷20=5.5个，走的全程数为2n-1=5个，求得n=3;如果是背面相遇，则第一次相遇的时间为秒>110秒，故不能背面相遇。

{类型三}：告诉两人的速度和任意两次迎面相遇的距离，求AB两地的距离。

【例3】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行驶。

甲车每小时行45千米，乙车每小时行36千米，已知两车第2次与第3次迎面相遇的地点相距40千米，则A、B相距多少千米?A、90B、180C、270D、110【答案及解析】A。

法一：相同时间，甲、乙路程比为45：36=5：4，则将全程分成9份。

则一个全程时甲走5份，乙走4份。

以甲为研究对象，第2次相遇，走的全程数为2×2-1=3个，则甲走的份数为3×5=15份，一个全程为9份，则第2次相遇甲走的份数转化为全程的个数为15÷9=1…6份，1个全程后在乙端，则从乙端数6份。

第3次相遇走的份数为(2×3-1)×5=25份，转化为全程的个数为25÷9=2…7，2个全程后在甲端，则从甲端数7份。

如下图：由图第2次和第3次相遇之间共有4份为40千米，则AB相距=90千米。

法二：除了上述基础公式的利用，我们也可以引入“沙漏模型”。

利用沙漏模型解题的前提是题干中已知两人的速度。

将速度转化为相同路程的条件下两人的时间比，则以时间为刻度，画出两人到达对岸的路线图，两人走的路线图相交的点即为两人相遇的地点。

s-t图中的路线因像古代记时间的沙漏故称为“沙漏模型”。

本题中，甲、乙走到端点用的时间比为36：45=4：5。

如下图：根据路线图看出甲乙第2次相遇和第3次相遇的交点E和O，根据三角形相似，可得CE:EG=3:6=1:2，则求得第2次相遇距A地的比例为S/3，同理DO:ON=7：2，则第3次相遇距A地的比例为7S/9，则两次相遇比例为为40千米，则S=90千米。

w点评：考生如果能掌握“沙漏”模型，则在解决多次相遇问题时会更显直观。

用交点判断是迎面相遇还是背面相遇的技巧：看相交的两条线是由同一岸引出还是两岸，同一岸则说明是背面相遇，不同岸则说明是迎面相遇。

用时注意：一般题干涉及到的相遇次数较少时可画，相遇次数太多，则会花费大量时间，不利于提高速度;画时的单位刻度要看时间比，如果时间比中的数据较大可把刻度画大。

{类型四}：告诉两人的速度，相遇次数较少时，利用s-t图形成“沙漏”模型速解。

【例5】A、B两地相距950米。

甲、乙两人同时由A地出发往返锻炼半小时。

甲步行，每分钟走40米;乙跑步，每分钟行150米。

则甲、乙二人迎面相遇距B地最近时，最近距离是多少?A、150B、200C、250D、300【答案及解析】B。

利用“沙漏模型”。

甲乙走到端点用的时间比为150：40=15：4，半小时两人共走的全程数为个。

对于单岸型，相遇6个全程，则是迎面第三次相遇(由前边公式推出)画出s-t图：观察上图可知，在3次迎面相遇的过程中，甲乙有一次背面相遇(交点由同一点引出)。

而在三次迎面相遇中第2次相遇离B地最近，根据三角形相似AO:OF=AC:EF=16:3，则距B点的距离为米。

【例6】河道赛道长120米，水流速度为2米/秒，甲船静水速度为6米/秒，乙船静水速度为4米/秒。

比赛进行两次往返，甲、乙同时从起点出发，先顺水航行，问多少秒后甲、乙船第二次迎面相遇?A、48B、50C、52D、54【答案及解析】C。

由题知，得出如下关系：注：( )中为走完全程的时间。

假设A到B是顺流，由上表可知甲、乙两人第2次迎面相遇共有4个全程。

由于甲的速度快，则第2次相遇前甲已走了2个全程。

共15+30=45秒。

当第45秒时乙走了一个顺流全程20秒和25秒的逆流，走的路程为25×2=50米，则在剩余的70米内，甲乙分别以顺流和逆流相遇时间为t，则有70=(8+2)×t，求得t=7秒，则共用时间45+7=52秒。

本题同样可用“沙漏模型”解决。

根据上表中的速度关系，可得出一个全程时的时间关系如下：根据时间的关系，得出s-t图像，如下：观察上图，可看出第二次迎面相遇在P点，以甲为研究对象计算时间，此时甲走了一个顺流，一个逆流，另外EP段为顺流，根据三角形相似可求出走EP用的时间EP:PN=EF:MN=7:8，由上表，求出走EP用的时间为，则甲共走的时间为15+30+7=52。

二、环型环型主要分两种情况，一种是甲、乙两人同地同时反向迎面相遇(不可能背面相遇)，一种是甲、乙两人同地同时同向背面追及相遇(不可能迎面相遇)。

分开讨论如下：(一)甲、乙两人从A地同时反向出发：如下图，一个周长分成4份，假设甲是顺时针每分钟走1份到B，乙是逆时针每分钟走3份到B，则第一次相遇两人走了1个周长，第一次相遇后相当于又同时同地反向出发，所以第二次相遇时共走了2个周长，依次类推，可得出：第n次迎面相遇共走了n圈。

(二)甲、乙两人从A地同时同向出发：如下图，全程分成4份。

假设甲、乙两人都是顺时针同时出发，甲每分钟走1份，乙每分钟走5份，则1分钟后两人在B处第一次背面追及相遇，两人走的路程差为1个周长。

再过1分钟后，甲到C处，乙也到C处，两人第二次背面追及相遇，多走的路程差同样为一个周长，依次类推，可以得出：第n次背面追及相遇，路程差为n圈。

环型多次相遇问题相对比较简单，当甲、乙不在同一地点出发时相对具有难度。

比如在直径两端出发。

考生可通过下面的例题把握。

【例1】老张和老王两个人在周长为400米的圆形池塘边散步。

老张每分钟走9米，老王每分钟走16米。

现在两个人从同一点反方向行走，那么出发后多少分钟他们第三次相遇?A、33B、45C、48D、56【答案及解析】C。

第一次迎面相遇时间为400÷(9+16)=16，则第三次迎面相遇时间为16×3=48。

【例2】小明、小亮从400米环形跑道的同一点出发，背向而行。

当他们第一次相遇时，小明转身往回跑;再次相遇时，小亮转身往回跑;以后的每次相遇分别是小明和小亮两人交替调转方向，小明速度3米/秒，小亮速度5米/秒，则在两人第30次相遇时小明共跑了多少米?A、11250B、11350C、11420D、11480【答案及解析】A。