数系的扩充ppt课件
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数系的扩充与复数的概念 课件
复数的分类 m 取何实数时，复数 z＝m2m－＋m3－6＋(m2－2m－
15)i. (1)是实数？ (2)是虚数？ (3)是纯虚数？ [分析] 在本题是复数的标准形式下，即 z＝a＋bi(a，b∈
R)，根据复数的概念，只要对实部和虚部分别计算，总体整合 即可．
[解析] (1)由条件得mm＋2－32≠m0－，15＝0， ∴mm＝ ≠5－或3m. ＝－3， ∴当 m＝5 时，z 是实数． (2)由条件得mm＋2－32≠m0－. 15≠0， ∴mm≠ ≠5－且3m. ≠－3， ， ∴当 m≠5 且 m≠－3 时，z 是虚数．
3．复数的定义：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中 i叫做虚数单位，满足i2＝___－__1___.
这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的 __复__数_集___与__虚_部_____．全体复数构成的集合叫做 实部
复数的相等与复数的分类
4．复数相等的充要条件
设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋ di⇔a_＝__c且__b_＝_d_______.
数系的扩充与复数的概念
数系的扩充与复数的概念
我们认识数的过程是先认识了自然数，又扩充到整数集，再扩充到有 理数(分数、有限小数和无限循环小数)，再扩充无理数到实数集，但 在实数集中，我们已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当Δ＝ b2－4ac<0时无实数解，我们能否设想一种方法使得Δ<0时方程也有 解呢？
1．数系扩充的原因、脉络、原则
脉 络 ： 自 然 数 系 → 整 数 系 → 有 理 数 系 → 实 数 系 → _ _ _ _复_ _数_系_
原因：数系的每一次扩充都与实际需求密切相关，实际需求与 数学内部的矛盾在数系扩充中起了主导作用．
( 人教A版)数系的扩充和复数的概念课件 (共29张PPT)
(3)要使 z 为纯虚数，必须有 m2－4≠0， m2－3m＋2＝0. 所以mm≠ ＝－1或2m且＝m≠ 2，2， 所以 m＝1，即 m＝1 时，z 为纯虚数．
探究三 复数相等
[典例 3] 根据下列条件，分别求实数 x，y 的值． (1)x2－y2＋2xyi＝2i； (2)(2x－1)＋i＝y－(3－y)i. [解析] (1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，x，y∈R， ∴2xx2－y＝y22＝，0， 解得xy＝＝11，， 或xy＝＝－－11.， (2)∵(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，且 x，y∈R，
－2i. 答案：A
3．下列命题： ①若 a∈R，则(a＋1)i 是纯虚数； ②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则 x＝±1； ③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________． 解析：当 a＝－1 时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对； 若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i 是纯虚数，则xx22－ ＋13＝ x＋0， 2≠0， 即 x＝1，故②错． 答案：③
解析：复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为 b，故选 B.
答案：B
2．下列复数中，和复数－1＋i 相等的复数为( )
A．－1－i
B．1－i
C．1＋i
D．i2＋i
解析：∵i2＝－1，∴i2＋i＝－1＋i，故选 D.
答案：D
3．z＝(m2－1)＋(m－1)i(m∈R)是纯虚数，则有( )
A．m＝±1
A．0
B．1
C．
D．3
解析：27i，(1－ 3)i 是纯虚数，2＋ 7，0,0.618 是实数，8＋5i 是虚数． 答案：C
2．以－ 5＋2i 的虚部为实部，以 5i＋2i2 的实部为虚部的复数是( )
数系的扩充和复数的概念课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
实数a与数i相加记为：a+i 实数b与数i相乘记为：bi ，并规定0• i =0 实数a与 bi相加记为：a+bi （3）实数与i进行四则运算时，原有的加法、乘法运算 律仍然成立。
新知研学 2、复数的概念
我们把形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数。 通常用字母 z 表示。
全体复数组成的集合叫做复数集，记作C。
z= a + bi（a∈R，b∈R）
实部 虚部 其中 i 为虚数单位。
Байду номын сангаас
新知研学
即学即练 说出下列复数的实部和虚部：
1 3i 2
2 3i
5i - 2
2 i - 3i 0 2
虚部为0
实数
虚部不为0
虚数
纯虚数 虚部不为0，实部为0
新知研学
思考:复数集C和实数集R之间有什么关系？ 实数集R是复数集C的真子集
若在复数集中任取两个数a bi, c di(a,b,c, d R)
a bi c di
注意：一般对两个虚数只能说相等或不相等； 不能比较大小。
学以致用
例1. 实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1)i
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 1 0，即 m 1时，复数z是实数； （2）当 m 1 0 ，即 m 1时，复数z是虚数；
虚数集
纯虚数集
实数集
新知研学
即学即练 说出下列各数中，哪些是实数，哪些是
虚数，哪些是纯虚数：
2 7
实数
0.618
2i
实数 纯虚7 数
0
i
实数 纯虚数
i2 5i+8 3 9 2i i 1 3
新知研学 2、复数的概念
我们把形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数。 通常用字母 z 表示。
全体复数组成的集合叫做复数集，记作C。
z= a + bi（a∈R，b∈R）
实部 虚部 其中 i 为虚数单位。
Байду номын сангаас
新知研学
即学即练 说出下列复数的实部和虚部：
1 3i 2
2 3i
5i - 2
2 i - 3i 0 2
虚部为0
实数
虚部不为0
虚数
纯虚数 虚部不为0，实部为0
新知研学
思考:复数集C和实数集R之间有什么关系？ 实数集R是复数集C的真子集
若在复数集中任取两个数a bi, c di(a,b,c, d R)
a bi c di
注意：一般对两个虚数只能说相等或不相等； 不能比较大小。
学以致用
例1. 实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1)i
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 1 0，即 m 1时，复数z是实数； （2）当 m 1 0 ，即 m 1时，复数z是虚数；
虚数集
纯虚数集
实数集
新知研学
即学即练 说出下列各数中，哪些是实数，哪些是
虚数，哪些是纯虚数：
2 7
实数
0.618
2i
实数 纯虚7 数
0
i
实数 纯虚数
i2 5i+8 3 9 2i i 1 3
7.1.1数系的扩充和复数的概念课件(人教版)
A.2，3
B.2，-3
C.-2，3
( B )
D.-2，-3
分析：两个复数相等，即这两个复数的实部和虚部分别对应相等，
得到等式求解.
解析：由2+bi与a-3i相等，得a=2，b=-3.故
实数a，b的值分别为2，-3.
五、举例应用 掌握定义
【例6】若关于x的方程3x²- x-1=(10-x-2x²)i有实根，求实
问题2：两个复数有大小关系吗？探究5：复数z=a+bi在什么条件下是实数、虚数？
四、定义辨析 强化理解
辨析1：若a，b为实数，则z=a+bi为虚数.( × )
提示：只有当b不等于零时z=a+bi为虚数.
辨析2：复数z1=3i，z2=2i，则z1>z2. ( × )
提示：复数不能比较大小，只有相等和不相等之分.
辨析3：复数z=bi(b∈R)是纯虚数.
( × )
提示：只有当b不等于零时z=bi才为纯虚数.
辨析4：实数集与复数集的交集是实数集.( √ )
提示：因为实数和虚数统称为复数，故实数集与复数
集的交集是实数集.
五、举例应用 掌握定义
【例1】复数3-i的实部和虚部分别是( C )
A.3和1
B.3和i
C.3和-1
所以ቊ
≠ 0.
解得y=3.
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
²−−6
+(m²-2m-15)i.当m为何值时，
+3
(1)z是虚数；(2)z是纯虚数.
分析：解决复数分类问题的关键是找出等价条件，
列出方程(组).
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
B.2，-3
C.-2，3
( B )
D.-2，-3
分析：两个复数相等，即这两个复数的实部和虚部分别对应相等，
得到等式求解.
解析：由2+bi与a-3i相等，得a=2，b=-3.故
实数a，b的值分别为2，-3.
五、举例应用 掌握定义
【例6】若关于x的方程3x²- x-1=(10-x-2x²)i有实根，求实
问题2：两个复数有大小关系吗？探究5：复数z=a+bi在什么条件下是实数、虚数？
四、定义辨析 强化理解
辨析1：若a，b为实数，则z=a+bi为虚数.( × )
提示：只有当b不等于零时z=a+bi为虚数.
辨析2：复数z1=3i，z2=2i，则z1>z2. ( × )
提示：复数不能比较大小，只有相等和不相等之分.
辨析3：复数z=bi(b∈R)是纯虚数.
( × )
提示：只有当b不等于零时z=bi才为纯虚数.
辨析4：实数集与复数集的交集是实数集.( √ )
提示：因为实数和虚数统称为复数，故实数集与复数
集的交集是实数集.
五、举例应用 掌握定义
【例1】复数3-i的实部和虚部分别是( C )
A.3和1
B.3和i
C.3和-1
所以ቊ
≠ 0.
解得y=3.
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
²−−6
+(m²-2m-15)i.当m为何值时，
+3
(1)z是虚数；(2)z是纯虚数.
分析：解决复数分类问题的关键是找出等价条件，
列出方程(组).
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
7.1.1 数系的扩充和复数的概念 课件高一下学期数学 人教A版(2019)必修第二册
例4，下列命题中
1.复数 (1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫 做 虚数单位，a叫做复数的 实部，b叫做复数的 虚部. (2)表示方法：复数通常用 字母z 表示， 即 z＝a＋bi(a，b∈R) ，这一表示形式叫做复数的代数形式. 2.复数集 (1)定义：全体复数 所成的集合叫做复数集. (2)表示方法：通常用 C 表示.
7.1.1 数系的扩充与复数的概念
引入：
数系的发展史
自然数
整数
负数
有理数
分数
实数
无理数
?
?
可以看到，数系的每一次扩充都与实际需求密切相关。
我们知道，在实数集内，像x2+1=0这样的 方程是没有根的。因此在研究代数方程的过程 中，如果仅限于实数系，有些问题就无法解决。 一个自然的想法是，能否像引进无理数而把有 理数系扩充到实数系那样，通过引进新的数而 使实数系得到进一步扩充，从而使问题变得可 以解决呢？复数概念的引入与这种想法直接相 关。
复数的定义
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R,b R)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
思考 复数集C和实数集R之间有什么关系呢？
复数z a bi(a, b R)
解 （1）当m -1 = 0,即m = 1时,复数z是实数; （2）当m -1≠ 0,即m ≠1时,复数z是虚数; （3）当m +1 = 0 ,且m -1≠ 0 ,即m = -1时,复数 z 是纯虚数 .
例2 已知（x+y）+（x-2y）i=（2x-5）+（3x+y）i， 求实数x,y的值.
数系的扩充和复数的概念公开课ppt课件
abi
RQZ N
扩
b0虚数
集
特别地，a0 纯虚数
复数集C和实数集R之间有什么关系？
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7
数
系 充
的
虚数 复？数
无理数 实数
扩
分数 有理数
负数
整数
自然数
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8
练习：说明下列数是否是虚数，
并说明各数的实部与虚部.
1 3i
1i
1 3
7
(1)i 5i 8
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9
在复数集 C a b|a i,b R 任
求实x数 , y的值 .
固题
巩 变：已知 x2 y2 2xyi00,
求 实x数 , y的 值 .
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13
1.若复数(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i
(mR) 表示纯虚数的充要条件是_____
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14
2.以2i－5的虚部为实部，以 5 2i
的实部为虚部的复数是______
等 复 取两个数 a b与 ic d（ a i,b ,c,d R )
数 a b c i d ia c,b d
相 特别地，abi0 a0,b0
作用
1.判断两个复数是否相等； 2.求复数值的依据.
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10
例 例1 实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1 )i
固 题 是（1）实数？
的i
引 （1）i2 1
入
（2）可以和实数一起进行的四 则运算,原有的加法乘法运算律
仍成立
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5
念复 数 的 概
定义：把形如a+bi的数叫做复数 （a,b 是实数）
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• 康托尔的超限数
超限数是大于所有有限数（但不必为绝对无限）的基数 或序数，分别叫做超穷基数和超穷序数。
• 罗宾逊的非标准实数系
是罗宾逊推出的超实数R * ，即非标准实数系，他的基本
思青想是将“无限小”和“无限大” 作为R 以外的超实
数衣。
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16
总结中学中涉及到的数系的扩充
• 自然数中减法产生了（
12
实数系R 复数系C
观察方程 x，2 它在1 R中没有解，为此，并i 定义： i2 1
为了让符号 能i 像普通的实数那样进行加、乘，我
们造出形如 a b这i样的符号，这里的 a是, 任b
意两个实数， 称a 为 复bi数， 称为虚数i 单位。
系是具备这样的性质的。
青 衣
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6
数系扩充的原则
• 原则三：旧数系是新数系的一部分，而且把旧数 系的元素看成新数系时，服从同样的运算规律， 及构成一种“嵌入”。
• 例如：自然数系N扩充到整数系Z，旧数系N是新数系Z中 的一部分，而且N中的元素还是符合Z中的运算规律的。
青
衣
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• 例如：自然数系N扩充到整数系Z，整数系Z失去了自然数
系N中任何子集都有最小元素的良序性质，但是获得对减
法封闭的特性。
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5
数系扩充的原则
原则二:用旧数系为材料构成一个对 象，称之为新数，定义并验证这些
新数符合扩张的要求，或者具有新
数应具备的性质。
例如：将自然数系扩充到整数系，扩张的 要求是满足减法运算的需要，所以整数
7
自然数系N 整数系Z
青
衣
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数系的扩充PPT优秀课件
数系的扩充___复数
章
4.3 数系的扩充
二新课－数系的扩 1. 数的发展充过程(经历):
计数的需要 自然数(正整数和零)
—表—示相—反—意—义—的—量负数 —测量—、—分—配—中—的—等分—分数
解方程x+3=1
解方程3 x=5
(分数集有理数集 循环小数集 )
度量
__循_环__小__数___
的虚数根，x=
-b±
4ac - b2i .
2a
在有两个虚数根的情况下，韦达定理仍
然成立，即 x1+x2=
-
b a
；
x1x2=
c a
.
二新课－例题剖 例1:设方析程x2-2x+2=0的两根为x1,x2,求
x14+x24的值.
解: x1,21i,
x 4 x 4 ( 1 i)4 ( 1 i)4 12
对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a, b, c∈R)，
当△=b2－4ac>0时, 方程有两个不同的实根，
x=
-b± b2 ；- 4当a△c =b2－4ac=0时, 方程
2a
有两个相同的实根，x1=x2=
；- b 2a
二新课－数系的扩 4.实系数充一元二次方程的根
当△=b2－4ac<0时, 方程有两个共轭
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
章
4.3 数系的扩充
二新课－数系的扩 1. 数的发展充过程(经历):
计数的需要 自然数(正整数和零)
—表—示相—反—意—义—的—量负数 —测量—、—分—配—中—的—等分—分数
解方程x+3=1
解方程3 x=5
(分数集有理数集 循环小数集 )
度量
__循_环__小__数___
的虚数根，x=
-b±
4ac - b2i .
2a
在有两个虚数根的情况下，韦达定理仍
然成立，即 x1+x2=
-
b a
；
x1x2=
c a
.
二新课－例题剖 例1:设方析程x2-2x+2=0的两根为x1,x2,求
x14+x24的值.
解: x1,21i,
x 4 x 4 ( 1 i)4 ( 1 i)4 12
对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a, b, c∈R)，
当△=b2－4ac>0时, 方程有两个不同的实根，
x=
-b± b2 ；- 4当a△c =b2－4ac=0时, 方程
2a
有两个相同的实根，x1=x2=
；- b 2a
二新课－数系的扩 4.实系数充一元二次方程的根
当△=b2－4ac<0时, 方程有两个共轭
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
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复数集
复数集，虚数集，实数集， 虚数集 纯虚数集之间的关系？
纯虚数集
实数集
精品ppt
16
数系的扩充
复数的概念
1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数， 哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。
2 7 0.618 2 i 0
7
i 2 i1 3 5 i+8， 39 2i
2、判断下列命题是否正确：
（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数
复数的概念
------数系的扩充 洩湖中学：王艳
精品ppt
1
3.1 数系的扩充
❖ 从社会生活来看为了满足生活和生产实 践的需要，数的概念在不断地发展.
❖ 从数学内部来看，数集是在按某种 “规 则”不断扩充的.
精品ppt
2
自然数
❖ 自然数是“数”出来的，其历史最早可以追 溯到五万年前.
精品ppt
3
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，
并且规定：
（1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运
算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结 合率和分配率)仍然成立。
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集，
一般用字母C表示 . 精品ppt
（3）当 m 1 0
m
1
0
即m1时，复数z 是
纯虚数．
练习:当m为何实数时，复数
Zm 2m 2(m 21 )i
是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
精品ppt
18
数系的扩充
复数的概念
B
nZ*
i4n 1 i4n1 i
i iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn2 -1 i4n3
精品ppt
19
数系的扩充
复数的概念
1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念：
笛卡尔
(R.Descartes,1596--
精品ppt
12
1661)
数系的扩充
复数的概念
知识引入
我们已知知道：
对于一元二次方程 x2 10没有实数根．
x2 1
思考？
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数 集中，该问题能得到圆满解决呢？
i 引入一个新数：
满足
精品ppt
i2 1 13
数系的扩充
复数的概念
9
数集扩充到实数集
精品ppt
10
正数与负数， 有理数与无理数， 都是具有“实际意义的量”， 称之为“实数”，构成实数系统. 实数系统是一个没有缝隙的连续系统.
实数集能否继续扩充呢?
精品ppt
11
虚数
虚数是“算”出来
的. 1637年，法国数学
家笛卡尔把这样的
数叫做“虚数”
（“想象中
(imaginary)的数”）.
（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数
（3）若a为实数，则Z= 精a品一ppt 定不是虚数
17
数系的扩充
复数的概念
例1 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1 )i
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 10，即 m1时，复数z 是实数．
（2）当 m 10，即 m1时，复数z 是虚数．
负数
负数是“欠”出来
的.它是由于借贷关
系中量的不同意义
而产生的.我国三国
时期数学家刘徽
（公元250年前后）
首先给出了负数的
定义、记法和加减
刘徽（公元250年前后）
运算法则.
精品ppt
4
数集扩充到整数集
精品ppt
5
分数（有理数）
❖ 分数（有理数）是 “分”出来的.早在 古希腊时期，人类已 经对有理数有了非常 清楚的认识，而且他 们认为有理数就是所 有的数.
14
数系的扩充
复数的概念
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
zabi(aR,bR)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
讨 论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数 b0
R C
复数a+bi虚数 b0精品p非 纯 pt 纯 虚a虚 数 a0数 ， 0b，b1500
数系的扩充
复数的概念
思 考？
复数的代数形式 复数的实部 、虚部
虚数、纯虚数
精品ppt
20
数系的扩充
数集再次扩充
复数的概念
精品ppt
21
数系的扩充
复数的概念
数系扩充的科学道理
从数学内部来看，数集是在按某种 “规则”不断扩充的。
自然数中减法产生 负数 ；
， 整数系统
整数中除法产生 分数 ， 有理数系统；
自然数中开方产生 无理数 ， 实数系统；
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6
数集扩充到有理数集
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7
边长为1的正方形的对角线长 度为多少？
1
？
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8
无理数
无理数是“推”出来
的.公元前六世纪，古
希腊毕达哥拉斯学派
利用毕达哥拉斯定理，
发现了“无理数”.
“无理数”的承认
（公元前4世纪）是数
学发展史上的一个里
程碑.
毕达哥拉斯(约公元前
精品ppt 560——480年）
负数中开方产生 虚数 ， 新的系统.
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22
数系的扩充
复数的概念
数系扩充的科学道理
逆运算在数系的扩充中扮演着极为 重要的角色；
逆运算的运算法则来源于正运算， 因此比正运算困难，以致可能出现 无法进行的现象，从而必须引进新 东西，使数系得以扩展.
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23
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