多值函数的单值域的确定

证：充分性：因为z沿r绕行一周后有∆r arg f(z) ≠ 2nπ，所以f(z)的初始值不 等于f(z)的终止值，从而有∆rf z ≠ 0，由定义 1.2 可知a是f(z)的一个支点。
必要性：因为∆rf z ≠ 0，又在相应点上f(z)的模相等，又引理 1.1 知，必有 ∆r arg f(z) ≠ 2nπ。
1g z + ∆C0 arg (1 − z)] = 3 2π + 0 = 3 π
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∆C1 arg f z = 3 [∆C1 arg z + ∆C1 arg (1 − z)] = 3 0 + 2π = 3 π
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多值函数的单值域的确定
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∆C arg f z = 3 [∆C arg z + ∆C arg (1 − z)] = 3 2π + 2π = 3 π
二、支割线的判定
定义 2.1 用来割破z平面，借以分出多值解析函数w = f(z)的单值解析分支 的割线，叫做f(z)的支割线。
根据定义易知割线L是支割线的必要条件是：L必是连接支点的割线。因为对 于用割线割破的区域，就完全避免了出线环绕单个支点的简单闭曲线，因而才有 可能在此区域内将多值函数分出单值解析分支。从定义分析可以得到：
定理 2.1 设L是连接w = f(z)的支点的割线，则L是w = f(z)的支割线的充分 必要条件是：对于在用此割线割破的z平面区域G内的任意简单闭曲线C，都有 ∆Cf z = 0。
证：充分性：因为L是连接w = f(z)各支点的割线，所以在G内不存在有绕单 个支点的简单闭曲线，又因G内任一简单闭曲线C，当z沿C正向运行一周后 ∆Cf z = 0，这说明G是f(z)的单值域，所以w = f(z)在G内能分出单值解析分支， 即L是f(z)的支割线。
证：设f(z)的初始函数值为ρ0eiφ0 ，当z绕r一周后的函数值为ρ1eiφ1，则 ρ1eiφ1 = ρ0eiφ1 = ρ0eiφ0 eiφ1 /eiφ0 = ρ0eiφ0 ei φ1−φ0 = ρ0eiφ0 ∙ e∆r arg f z i
定理 1.1 在a点的充分小邻域内，设r是包含a点的任意圆周，如果z绕r一周 后有f(z)在相应点上的模相等，则a是多值函数f(z)的支点的充分必要条件为：当 z绕r一周后∆r arg f(z) ≠ 2nπ (n 为整数)。
多值函数的单值域的确定
多值函数的单值域的确定
Kenskin 2800104001
摘要
本文针对初等多值函数单值域的确定，对于支点和支割线的判定方法进行 了归纳与总结，给出了支点和支割线的判定定理与方法，从而便于确定多值函数 的单值域。
关键词
多值函数 单值域 支点 支割线
引言
对于初等多值解析函数的单值域的确定问题可以归结为支点和支割线的确 定问题，即如能正确确定多值函数的支点与支割线，就能确定出其单值区域。
参考文献
钟玉泉 复变函数论(第三版). 北京：高等教育出版社，2004
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所以0，1，∞都是f(z)的支点。 对函数w = f z = n P(z)做类似的讨论，能够得到以下判定其支点的方法： (1) w = f z = n P(z)可能的支点是a1，a2，⋯，am 和∞； (2)当且仅当n不能整除αi时，ai是n P(z)的支点； (3)当且仅当n不能整除N时，∞是n P(z)的支点。
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∆C1 arg f z = 2 [∆C1 arg z + ∆C1 arg (1 − z)] = 2 0 + 2π = π
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∆C arg f z = 2 [∆C arg z + ∆C arg (1 − z)] = 2 2π + 2π = 2π
所以0，1是f(z)的支点，∞不是f(z)的支点。 (b) f z 可能的支点是0，1，∞，由于
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∆Cw = 3 [arg z + 1 + ∆C arg z − 1 + ∆C arg z − 2 − ∆C arg z] = 3 π ≠ 2nπ
所以z沿C从任何一点开始绕行一周后其
w(z)终止值 = w(z)初始值 ∙ e23πi ≠ w(z)初始值
这说明上述割线的做法不能将此多值解析函数分成单值支。对于根式函数
w= z z−1 z−2 z−3 z−4
就可将0与1，2与3分别用直线联结成割线，抱成两个团，再把余下的4与点∞联
结成一条割线。
又如对
w = 3 z z − 1 z − 2 z − 3 (z − 4)
就可将0，1，2用直线联结成一条割线，抱成一个团，再把余下的3，4与点∞联
结成一条割线。
三、小结
多值函数单值域的确定，对于简化研究多值函数的性质有着极其重要的意义， 在确定多值函数的支点和支割线的过程中，不应拘泥于上述判定定理和判定方法， 亦可从函数的定义出发进行研究，灵活采取适当的方法划分支点和支割线，才能 达到事半功倍的效果。
形做支割线的抱团法：
对于w = f z = n P(z)，如果n能整除α1，α2，⋯，αm 中若干个之和，则a1， a2，⋯，am 中对应的那几个就可以连结成割线抱成团，即变点z沿只包含它们在 其内部的简单闭曲线转一整周后，函数值不变。这种抱成的团可能不止一个，其
余不入团的点ai 则与点∞联结成一条割线。 例如，对
α1 + α2 + ⋯ αm = N 例 考查下列二函数有哪些支点：
(a) f z = z(1 − z) (b) f z = 3 z(1 − z) 解：(a) f z 可能的支点是0，1，∞，由于
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∆C0 arg f z = 2 [∆C0 arg z + ∆C0 arg (1 − z)] = 2 2π + 0 = π
正文
一、 支点的判定
定义 1.1 设w = f(z)是多值函数，a是z平面上一点，如果z在a点的充分小邻 域内绕a的任一简单闭曲线一周后，w = f(z)从一支进入另一支，则称a是w = f(z) 的一个支点。
从定义 1 的任一简单闭曲线分析，可以得到支点的等价定义如下： 定义 1.2 设w = f(z)是多值函数，a是z平面上一点，如果z在a点的充分小邻 域内绕a的任一圆周r一周后，有∆rf(z) ≠ 0，其中，∆rf(z)为z绕r一周后f(z)的改 变量，则称a是w = f(z)的一个支点。 可知，对于函数w = f(z)，当z在r上不论从哪一点z0开始绕r一周又回到z0时， 要使∆rf(z) ≠ 0的充分必要条件是在其对应点上wk ≠ wk+p，即对于不等式
对于根式函数w = n z和对数函数w = Ln z，它们的支点都是一个有限支点 z = 0和无穷远点z = ∞。定理 1.1 对于判定w = f z = n P(z)这类具有多个有限 支点的根式函数的支点十分有效，其中P(z)是任意的 N 次多项式，
P z = A(z − a1)α1 ⋯ (z − am )αm a1，a2，⋯，am 是P(z)的一切相异零点，α1，α2，⋯，αm 分别是它们的重数，合 于
必要性：因为此时G是f(z)的单值域，所以对此区域内的任一简单闭曲线C， 都有∆Cf z = 0。
从定理可以看出，支割线一定是连接支点的割线；反之不一定。 例 设w = 3 z−1 z + 1 z − 1 (z − 2)的支点易知为0，−1，1，2，∞。若连 接−1，∞与连接0，1，2所得割线，证明在用此割线所得的z平面区域内不能将 此根式函数分成三个单值解析分支。这是因为当z沿包含0，1，2，但不含−1，∞的 任一简单闭曲线C正向绕行一周后，w的辐角增量
|wk| ≠ |wk+p| arg wk ≠ arg wk+p + 2nπ (n为整数)
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多值函数的单值域的确定
至少有一个成立。
引理 1.1 当z绕r一周后，如果f(z)在其相应点上的模相等，则当z沿r绕行一 周后的函数值f(z)等于f(z)在开始时的函数值乘以e∆r arg f(z)i ，其中∆r arg f(z)是 f(z)的辐角改变量。
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多值函数的单值域的确定
w = n z和对数函数w = Ln z，它们的支点都是一个有限支点z = 0和无穷远点
z = ∞。它们的单值区域可用一条从0到∞的射线(如包含原点的负实轴)，这与限
制变点的辐角范围(如−π < arg z < ������)是一致的，从而，在z平面上以此割线为边 界的区域G内，它们都能分出单值解析分支。对具有多个有限支点的多值函数 w = f z = n P(z)做类似上例的讨论，可得出以下用于针对具有多个有限支点情