2019-2020学年高中数学选修4-4人教版练习：第一讲二极坐标系Word版含解析
四川省2019春人教版数学选修4-4课后练 1.2 极坐标系 课后 Word版含答案
第一讲 1.2一、选择题1．(2015·湖南大学附中期末)在极坐标系中与点A ⎝⎛⎭⎫6，4π3重合的点是( C ) A ．⎝⎛⎭⎫6，π3 B ．⎝⎛⎭⎫6，7π3 C ．⎝⎛⎭⎫6，－2π3D ．⎝⎛⎭⎫6，2π3 解析：在极坐标系中与点A ⎝⎛⎭⎫6，43π重合的点是⎝⎛⎭⎫6，－2π3，故选C ． 2．(2015·北京东城一模)已知点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫5，2π3，那么将点M 的极坐标化成直角坐标为( D )A ．⎝⎛⎭⎫－532，－52B ．⎝⎛⎭⎫－532，52C ．⎝⎛⎭⎫52，532D ．⎝⎛⎭⎫－52，532解析：由点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫5，2π3，得x M ＝5cos 23π＝－52，y M ＝5sin 2π3＝532，∴M 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－52，532.3．(2015·福建泉州一中期末)点M 的直角坐标是(3，－1)，在ρ≥0,0≤θ<2π的条件下，它的极坐标是( A )A ．⎝⎛⎭⎫2，11π6 B ．⎝⎛⎭⎫2，5π6 C ．⎝⎛⎭⎫3，π6D ．⎝⎛⎭⎫2，11π6 解析：∵点M 的直角坐标是(3，－1)， ∴在ρ≥0,0≤θ<2π的条件下，ρ＝(3)2＋(－1)2＝2，tan θ＝－13＝－33，又点M 是第四象限的点，∴θ＝116π，∴其极坐标为⎝⎛⎭⎫2，116π，选A ． 4．点M (2，3)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y后所得点的极坐标为( C )A ．⎝⎛⎭⎫2，π6B ．⎝⎛⎭⎫1，π3 C ．⎝⎛⎭⎫2，π3D ．⎝⎛⎭⎫1，π4 解析：点M (2，3)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y 后所得点的直角坐标为(1，3)，因为ρ＝12＋(3)2＝2，tan θ＝31＝3，又因为(1，3)在第一象限，所以θ＝π3，故选C ． 5．在极坐标系中，点(ρ，θ)与点(ρ，π－θ)的位置关系是( D ) A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合D ．关于过极点且垂直于极轴的直线对称解析：两点的极径相等，且极径所在射线关于过极点且垂直于极轴的直线对称，故选D ． 6．(2016·北京高三模拟)在极坐标下，圆C ：ρ2＋4ρsin θ＋3＝0的圆心坐标为( D ) A ．(2,0) B ．⎝⎛⎭⎫2，π2 C ．(2，π)D ．⎝⎛⎭⎫2，－π2 解析：圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＋4y ＋3＝0， 圆心坐标为(0，－2)，圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，－π2. 二、填空题7．(2016·广东汕头二模)在极坐标系中，定点A ⎝⎛⎭⎫2，32π，点B 在直线ρcos θ＋3ρsin θ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，116π. 解析：直线ρcos θ＋3ρsin θ＝0的直角坐标方程 为x ＋3y ＝0①，定点A ⎝⎛⎭⎫2，3π2的直角坐标为(0，－2)， 动点B 在直线x ＋3y ＝0上运动，当线段AB 最短时，直线AB 垂直于直线x ＋3y ＝0， 则直线AB ：y ＝3x －2②联立①②可得B ⎝⎛⎭⎫32，－12，化成极坐标为⎝⎛⎭⎫1，116π. 8．(2016·广东惠州中学期末)在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫3，π3，⎝⎛⎭⎫4，π6，则△AOB (其中O 为极点)的面积为3.解析：A ，B 的直角坐标分别为⎝⎛⎭⎫32，323，(23，2)，则S △AOB ＝3. 9．将点M 的直角坐标⎝⎛⎭⎫－π2，π2化为极坐标(ρ>0，θ∈[0,2π))为⎝⎛⎭⎫22π，34π. 解析：ρ＝⎝⎛⎭⎫－π22＋⎝⎛⎭⎫π22＝22π，又∵tan θ＝y x ＝－1，θ∈[0,2π)且点⎝⎛⎭⎫－π2，π2在第二象限，∴θ＝34π，∴极坐标为⎝⎛⎭⎫22π，34π. 三、解答题10．在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝⎛⎭⎫2，53π. (1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．解析：(1)由极坐标系中两点间的距离公式得到||AB ＝||AC ＝||BC ＝23，故△ABC 是等边三角形．(2) 由(1)得S △ABC ＝34×(23)2＝3 3. 11．在极坐标系中，如果A ⎝⎛⎭⎫2，π4，B ⎝⎛⎭⎫2，54π为等腰直角三角形ABC 的两个顶点，求直角顶点C 的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．解析：设直角顶点C 的极坐标为(ρ，θ)， 由题意可知||AC ＝||BC ＝22||AB ， 故22＋ρ2－2×2×ρ×cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4 ＝22＋ρ2－2×2×ρ×cos ⎝⎛⎭⎫θ－5π4＝22||AB ＝2 2. 所以θ＝74π或θ＝34π，ρ＝2.所以直角顶点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，34π或⎝⎛⎭⎫2，74π. 12．(2016·湖北团风中学高二月考)在极坐标系中，已知三点M ⎝⎛⎭⎫2，－π3，N (2,0)，P ⎝⎛⎭⎫23，π6.(1)将M ，N ，P 三点的极坐标化为直角坐标； (2)判断M ，N ，P 三点是否在一条直线上．解析：(1)由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得M 的直角坐标为(1，－3)；N 的直角坐标为(2,0)；P 的直角坐标为(3，3)． (2)∵k MN ＝32－1＝3，k NP ＝3－03－2＝3，∴k MN ＝k NP ，∴M ，N ，P 三点在一条直线上．。
高中数学人教A版选修4-4学案：第一讲二极坐标系 Word版含解析
二极坐标系1．理解极坐标系的概念．2．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．3．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式，能进行极坐标和直角坐标的互化．1．极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做________；自极点O引一条射线Ox，叫做______；再选定一个__________、一个角度单位(通常取弧度)及其________(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M，用ρ表示______，用θ表示________，ρ叫做点M的______，θ叫做点M的______，有序数对________就叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(1)极点的极坐标：极点的极径ρ＝0，极角θ可以是任何实数．所以极点的极坐标为(0，θ)(θ∈R )，也就是说极点有无数个极坐标．(2)点的极坐标的多样性：平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐标．根据点的极坐标(ρ，θ)的定义，对于给定的点的无数个极坐标，可分为两类：一类为(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )；另一类为(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z )．【做一做1－1】 关于极坐标系的下列叙述： ①极轴是一条射线； ②极点的极坐标是(0,0)； ③点(0,0)表示极点；④点M (4，π4)与点N (4，5π4)表示同一个点；⑤动点M (5，θ)(θ∈R )的轨迹是以极点为圆心，以5为半径的圆．其中，叙述正确的序号是________．【做一做1－2】 若ρ1＋ρ2＝0(ρ1≠0，ρ2≠0)，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( )．A ．关于极轴所在的直线对称B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合 2．极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件：①极坐标系中的______与直角坐标系中的______重合；②极轴与____________重合；③两种坐标系取相同的__________．(2)互化公式①直角坐标化为极坐标__________ ②极坐标化为直角坐标____________(1)极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还经常用到同乘(或除以)ρ等技巧．(2)通常情况下，由tan θ确定角θ时，应根据点P 所在象限取最小正角．在这里要注意：当x ≠0时，角θ才能由tan θ＝yx 按上述方法确定．当x ＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：①当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；②当x ＝0，y ＞0时，可取θ＝π2；③当x ＝0，y ＜0时，可取θ＝3π2.【做一做2－1】 点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可以是( )． A ．(2，π4) B ．(2，3π4) C ．(2，5π4) D ．(2，7π4)【做一做2－2】 将极坐标(2，3π2)化为直角坐标为( )．A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(2,0)D ．(－2,0)答案：1．(1)极点 极轴 长度单位 正方向 (2)|OM | 角xOM 极径 极角 (ρ，θ)【做一做1－1】 ①③⑤ 设极点为O ，极轴就是射线Ox ，①正确；极点O 的极径ρ＝0，极角θ是任意实数，极点的极坐标应为(0，θ)，②错误；给定极坐标(0,0)，可以在极坐标平面内确定惟一的一点，即极点，③正确；点M 与点N 的极角分别是θ1＝π4，θ2＝5π4，二者的终边互为反向延长线，④错误；由于动点M (5，θ)(θ∈R )的极径ρ＝5，极角是任意角，故点M 的轨迹是以极点O 为圆心，以5为半径的圆，⑤正确．【做一做1－2】 A2．(1)极点 原点 x 轴的正半轴 长度单位(2)①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ； ②⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0).【做一做2－1】 B【做一做2－2】 B极坐标和直角坐标的相同点和不同点剖析：极坐标系是用距离和角度来表示平面上点的位置的坐标系，它由极点O与极轴Ox组成．对于平面内任意一点P，若|OP|＝ρ(ρ≥0)，以Ox为始边，OP为终边的角为θ，则点P可用有序数对(ρ，θ)表示．直角坐标系是在数轴的基础上发展起来的，首先定义原点，接着用两条互相垂直的直线分别构成x轴和y轴，点的坐标用有序数对(x，y)来表示．在平面直角坐标系内，点与有序实数对即坐标(x，y)是一一对应的，但在极坐标系内，显然一个有序数对(ρ，θ)只能与一个点对应，但一个点P却可以与无数多个有序数对(ρ，θ)对应，也就是说平面上一点的极坐标是不惟一的，极坐标系中的点与有序数对(ρ，θ)不是一一对应的．题型一由点的位置确定极坐标【例1】写出图中各点的极坐标，其中θ∈[0,2π)．分析：欲确定点的位置，需先确定ρ和θ的值．反思：(1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序颠倒了． (2)点的极坐标是不惟一的，但若限制ρ＞0，0≤θ＜2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的．题型二 对称问题【例2】 点M 的极坐标是(－2，－π6)，它关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是( )．A ．(2，11π6)B ．(－2，7π6)C ．(2，－π6)D ．(－2，－11π6)反思：极坐标系中的(ρ，θ)关于极轴所在的直线的对称点的极坐标为(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )．题型三 极坐标与直角坐标的互化【例3】 (1)将下列各点的极坐标化为直角坐标： ①(2，π4)； ②(6，－π3)；③(5，π)．(2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．①(3，3)；②(－1，－1)；③(－3,0)．答案：【例1】 解：由点A 在极坐标系中的位置知，它的极径为4，极角为0，所以它的极坐标为A (4,0)，同理，得B (2，π4)，C (3，π2)，D (1，5π6)，E (4，π)，F (6，4π3)，G (5，5π3)，而极点O 的坐标为(0，θ)，θ∈[0,2π)．【例2】 B 当ρ＜0时，我们找它的极角应在反向延长线上去找．如图描点(－2，－π6)时，先找到角－π6的终边，又因为ρ＝－2＜0，所以再在反向延长线上找到离极点2个单位的点即是点(－2，－π6)．直线θ＝π2，就是极角为π2的那些点的集合．故M (－2，－π6)关于直线θ＝π2的对称点为M ′(2，π6)，但是选项没有这样的坐标．又因为M ′(2，π6)的坐标还可以写成M ′(－2，7π6)，故选B.【例3】 解：(1)①x ＝2·cos π4＝1，y ＝2·sin π4＝1，所以点(2，π4)的直角坐标为(1,1)．②x ＝6·cos(－π3)＝3，y ＝6·sin(－π3)＝－3 3.所以点(6，－π3)的直角坐标为(3，－33)．③x ＝5·cos π＝－5， y ＝5·sin π＝0，所以点(5，π)的直角坐标为(－5,0)．(2)①ρ＝(3)2＋32＝23，tan θ＝33＝ 3.又因为点在第一象限，所以θ＝π3.所以点(3，3)的极坐标为(23，π3)．②ρ＝(－1)2＋(－1)2＝2， tan θ＝1.又因为点在第三象限，所以θ＝5π4.所以点(－1，－1)的极坐标为(2，5π4)．③ρ＝(－3)2＋02＝3，极角为π，所以点(－3,0)的极坐标为(3，π)．1下列各点中与极坐标(5，7π)表示同一个点的是( )． A ．(5，67π) B ．(5，157π)C ．(5，67π-)D ．(5，7π-)2在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系．若点P 的直角坐标与其极坐标在数值上相同，则点P 在( )．A ．x 轴上B ．y 轴上C ．射线Ox 上D ．射线Oy 上3在极坐标系中，已知A (2，6π)，B (6，6π-)，则OA ，OB 的夹角为( )．A.6π B ．0 C.3πD.56π4点M (6，56π)到极轴所在直线的距离为________．5已知极坐标系中，极点为O,0≤θ＜2π，M (3，3π)，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________．6(1)已知点的极坐标分别为A (3，4π-)，B (2，23π)，C π)，D (－4，2π)，求它们的直角坐标．(2)已知点的直角坐标分别为A (3，B (0，3-，C (－2，-，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．答案：1．B 2.C3．C 如图所示，夹角为3π.4．3 依题意，点M (6，56π)到极轴所在的直线的距离为d ＝6×sin 56π＝3. 5．(7，3π)或(1，43π) 如图，|OM |＝3，∠xOM ＝3π，在直线OM 上取点P ，Q ，使|OP |＝7，|OQ |＝1，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4， |QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4. 点P ，Q 都满足条件，且∠xOP ＝3π，∠xOQ ＝43π.6．解：(1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得A (22-，B (－1)，C (2-，0)，D (0，－4)(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx得A (6π)，B 3)6π，C (4，43π)．。
数学选修4-4课后训练：4-1-2 极坐标系 含解析 精品
极坐标系练习1．点M的极坐标为25,π3⎛⎫⎪⎝⎭，化成直角坐标形式是__________．2．点A的极坐标为π2,3⎛⎫--⎪⎝⎭，化成直角坐标形式是__________．3．点P的直角坐标为，化成极径是正值，极角在0到2π之间的极坐标为__________．4．已知两点的极坐标π3,2A⎛⎫⎪⎝⎭，π3,6B⎛⎫⎪⎝⎭，则|AB|＝________，直线AB的倾斜角为________．5．直线l过点π7,3A⎛⎫⎪⎝⎭，π7,6B⎛⎫⎪⎝⎭，则直线l与极轴所在直线的夹角等于________．6．在极坐标系中，若π3,3A⎛⎫⎪⎝⎭，7π4,6B⎛⎫⎪⎝⎭，则△ABO的面积为__________．7．点π5,3A⎛⎫⎪⎝⎭在条件：(1)ρ＞0，θ∈(－2π，0)下的极坐标是__________；(2)ρ＜0，θ∈(2π，4π)下的极坐标是__________．8．已知极点在点(2，－2)处，极轴方向与x轴正方向相同的极坐标系中，点M的极坐标为π4,6⎛⎫⎪⎝⎭，求点M在直角坐标系中的坐标．9．在极坐标系中，(1)求7π5,36A⎛⎫⎪⎝⎭，43π12,36B⎛⎫⎪⎝⎭两点间的距离；(2)已知点P的极坐标为(ρ，θ)，其中ρ＝1，θ∈R，求满足上述条件的点P的位置．10．将下列极坐标化成直角坐标．(1)π4⎫⎪⎭；(2)π6,3⎛⎫-⎪⎝⎭；(3)(5，π)．参考答案1. 答案：5,22⎛- ⎝⎭解析：255cosπ32x ==-，25sin π3y ==所以点M 的直角坐标为52⎛- ⎝⎭.2. 答案：(－1解析：因为点A 的极坐标又可以写成2π2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以2π1cos 2cos 2132x ρθ⎛⎫===⨯-=- ⎪⎝⎭，2πsin 2sin23y ρθ====.所以点A 的直角坐标为(－1．3. 答案：⎛ ⎝解析：ρ==tan θ==， 又点P 在第一象限，得π6θ=，因此点P 的极坐标是π6⎛⎫ ⎪⎝⎭. 4. 答案：3 5π6 解析：根据极坐标的定义可得|AO |＝|BO |＝3，∠AOB ＝π3， 即△AOB 为等边三角形，所以|AB |＝|AO |＝|BO |＝3，5π6ACx ∠=(O 为极点，C 为直线AB 与极轴的交点)． 5. 答案：π4 解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝7，πππ366AOB ∠=-=， 所以ππ5π6.212OAB -∠== 所以π5πππ3124ACO ∠=--=. 6. 答案：3解析：由题意可知，在△AOB 中，|OA |＝3，|OB |＝4，7ππ5π636AOB ∠=-=， 所以△ABO 的面积为 12|OA |·|OB |·sin ∠AOB 15π34sin 261134322⨯⨯⨯⨯⨯⨯＝＝＝ 3. 7. 答案：(1) 55,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭ (2)105,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭解析：(1)当ρ＞0时，点A 的极坐标形式为⎝⎛⎭⎫5，2k π＋π3(k ∈Z )， ∵θ∈(－2π，0)，令k ＝－1，点A 的极坐标为55,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭，符合题意．(2)当ρ＜0时，π5,3⎛⎫ ⎪⎝⎭的极坐标的一般形式是π5,(21)π3k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭(k ∈Z )． ∵θ∈(2π，4π)，当k ＝1时，点A 的极坐标为105,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭，符合题意． 8. 解：设M (x ，y )，则π2cos 4cos 6x ρθ-===∴2x ＝＋y －(－2)＝ρsin θ＝π4sin 6＝2. ∴y ＝2－2＝0.∴点M 的直角坐标为(2＋0)．9. 解：(1)A ，B 在过极点且与极轴夹角为7π36的直线上，它们位于极点的两侧，∴|AB |＝5＋12＝17.(2)由于点P 的极径恒为ρ＝1，且θ∈R ，因此，点P 在以1为半径，极点为圆心的圆上．10. 解：(1)πcos 14x ==，πsin 14y ==，所以点π4⎫⎪⎭，的直角坐标为(1,1)．(2)π6cos33x⎛⎫=⋅-=⎪⎝⎭，π6sin3y⎛⎫=⋅-=-⎪⎝⎭所以点π6,3⎛⎫-⎪⎝⎭的直角坐标为(3，-．(3)x＝5·cos π＝－5，y＝5·sin π＝0，所以点(5，π)的直角坐标为(－5,0)．。
2020版人教A版数学选修4-4同步配套练习：第一讲 坐标系 1.2 Word版含解析
姓名，年级：时间：二极坐标系课时过关·能力提升基础巩固1将点的极坐标（π，—2π）化为直角坐标为(）A.（π，0)B.(π,2π)C。
（—π,0)D.（—2π，0)x=πcos（—2π)=π,y=πsin(-2π)=0,所以点的极坐标(π,-2π)化为直角坐标为(π,0).2下列各点中与极坐标(5,π7)表示同一个点的是()A.(5,6π7)B.(5,15π7)C.(5,-6π7)D.(5,-π7)3在平面直角坐标系xOy中,点P的直角坐标为(1，−√3).若以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P的极坐标可以是()A.(2,π3)B.(2,4π3)C.(2,-π3)D.(2,-4π3)ρ=√x2+y2=2,tan θ=−√3,且在平面直角坐标系中,点P位于第四象限，所以点P的极坐标可以是(2,-π3).故选C。
4在极坐标系中，已知A(2,π6),B(6,-π6),则OA,OB的夹角为()A.π6B.0C.π3D.5π6,OA，OB的夹角为π3.5在极坐标系中，点A的极坐标是(3,π6),则（1）点A关于极轴的对称点的极坐标是；（2)点A关于极点的对称点的极坐标是;（3)点A关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是.(本题中规定ρ〉0,θ∈［0,2π))1)(3,11π6)(2)(3,7π6)(3)(3,5π6)6已知点A(3,4π3),则适合ρ>0,−π<θ≤π的点A的极坐标为。
ρ>0，-π<θ≤π时,根据4π3与−2π3是终边相同的角，可得满足题意的点A的极坐标为(3,-2π3).7点M(6,5π6)到极轴所在直线的距离为.点M(6,5π6)到极轴所在直线的距离为d=6×sin5π6=3.8已知在极坐标系中，极点为O,0≤θ<2π,M(3,π3),在直线OM上与点M距离为4的点的极坐标为.如图,｜OM|=3，∠xOM=π3.在直线OM上取点P，Q,使|OP|=7,｜OQ|=1。
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二 极坐标系练习1若ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( )．A ．关于极轴所在的直线对称B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．重合2下列的点在极轴上方的是( )．A ．(3,0)B ．(3，76π) C ．(4，74π) D ．(4，174π) 3已知点M 的极坐标为(－5，3π)，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是( )．A ．(5，3π-)B ．(5，43π)C ．(5，23π-)D ．(－5，53π-) 4点P 的直角坐标为(2,2-)，那么它的极坐标可表示为( )．A ．(2，4π) B ．(2，34π) C ．(2，54π) D ．(2，74π) 5已知两点的极坐标A (3，2π)，B (3，6π)，则|AB |＝________，直线AB 的倾斜角为________．6若A (3，3π)，B (4，6π-)，则|AB |＝__________，S △AOB ＝________.(其中O 是极点) 7极坐标系中，点A 的极坐标是(3，6π)，则 (1)点A 关于极轴的对称点的极坐标是________；(2)点A 关于极点的对称点的极坐标是________；(3)点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是________．(本题中规定ρ＞0，θ∈[0,2π))8已知边长为2的正方形ABCD 的中心在极点，且一组对边与极轴Ox 平行，求正方形的顶点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ＜2π)．9某大学校园的部分平面示意图如图用点O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB |＝|BC |，|OC |＝600 m ．建立适当的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ＜2π且极点为(0,0))．10在极坐标系中，若A (3，3π)，B (4，76π)，求△ABO (O 为极点)的面积． 参考答案1. 答案：B2. 答案：D 建立极坐标系，由极坐标的定义可得点(3,0)在极轴上，点(3，76π)，(4，74π)在极轴下方，点(4，174π)在极轴上方，故选D.3．答案：A 化为直角坐标可知，点M 在第三象限，而选项A 中的点在直角坐标系中的第四象限．4. 答案：D ∵ρ＝22(2)(2)-+＝2，tan θ＝22-＝－1，点P 在第四象限， ∴θ＝74π.∴点P 的极坐标为(2，74π)． 5. 答案：356π根据极坐标的定义可得|AO |＝|BO |＝3，∠AOB ＝60°，即△AOB 为等边三角形，所以|AB |＝|AO |＝|BO |＝3，∠ACx ＝56π(O 为极点，C 为直线AB 与极轴的交点)． 6. 答案：5 67. 答案：(1)(3，116π) (2)(3，76π) (3)(3，56π) 8. 答案：解：由题意知，|OA |＝|OB |＝|OC |＝|OD |＝2，∠xOA ＝4π，∠xOB ＝34π，∠xOC ＝54π，∠xOD ＝74π. ∴正方形的顶点的极坐标分别为A (2，4π)，B (2，34π)，C (2，54π)，D (2，74π)．9. 答案：解：以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系，由|OC |＝600 m ，∠AOC ＝6π，∠OAC ＝2π，得|AC |＝300 m ，|OA |＝3003m ，又|AB |＝|BC |，所以|AB |＝150 m. 同理，得|OE |＝2|OG |＝3002m ，所以各点的极坐标分别为O (0,0)，A (3003，0)，C (600，6π)，D (300，2π)，E (3002，34π)，F (300，π)，G (1502，34π)． 10. 答案：解：在△ABO 中，|OA |＝3，|OB |＝4，∠AOB ＝75636πππ-=，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝12×3×4×sin 56π＝3.。
2019-2020学年人教B版数学选修4-4讲义：第1章 1.2 极坐标系 Word版含答案
姓名，年级：时间：1.2 极坐标系1。
2。
1 平面上点的极坐标1.2。
2 极坐标与直角坐标的关系学习目标：1.了解极坐标系的意义，能用极坐标系刻画点的位置．（难点）2。
了解极坐标系与直角坐标系的联系,能进行极坐标与直角坐标的互化．（重点）1．平面上点的极坐标（1)极坐标系：在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox,一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系,O点称为极点,Ox 称为极轴．（2）极坐标:平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画．这两个数组成的有序数对（ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为极径，θ称为极角．2．点与极坐标的关系（ρ,θ)和(ρ,θ＋2kπ)代表同一个点，其中k为整数．特别地，极点O的坐标为(0,θ)（θ∈R)．如果限定ρ≥0,0≤θ<2π,则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应关系．3．极坐标与直角坐标的关系(1）互化背景：设在平面上取定了一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的x轴的正半轴，以θ＝π2的射线作为y 轴的正半轴,以极点为坐标原点，长度单位不变，建立一个直角坐标系（如图1。
2。
1所示)．（2）互化公式：设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是（x ，y )，极坐标是(ρ,θ），于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点M 直角坐标（x ，y )极坐标(ρ，θ）互化公式错误!ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝错误!(x ≠0)［提示］ 极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可．但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系,用来刻画平面内点的位置．思考2：极坐标系所在平面内的点与极坐标是否能建立一一对应关系?［提示］ 建立极坐标系后，给定数对（ρ，θ），就可以在平面内惟一确定一点M ；反过来，给定平面内一点M ,它的极坐标却不是惟一的．所以极坐标系所在平面内的点与极坐标不能建立一一对应关系．思考3：联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什么？［提示] 任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带．事实上，若ρ〉0,则sin θ＝错误!，cos θ＝错误!， 所以x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝错误!.1．极坐标系中,点M （1,0)关于极点的对称点为( ) A ．（1,0) B ．(－1，π) C ．（1，π)D ．(1,2π）［解析] ∵（ρ，θ)关于极点的对称点为(ρ，π＋θ)，∴M (1，0)关于极点的对称点为(1，π）．[答案] C2．极坐标系中,到极点的距离等于到极轴的距离的点可以是( ）A．(1,0） B．（2,错误!) C．（3，错误!) D．(4，π)[答案］C3．点A的极坐标是（2，错误!)，则点A的直角坐标为( )A．(－1，－错误!）B．(－错误!，1)C．（－3，－1）D．(错误!，－1)[解析] x＝ρcos θ＝2cos错误!π＝－错误!，y＝ρsin θ＝2sin错误!π＝－1.［答案] C4．点M的直角坐标为(0，错误!)，则点M的极坐标可以为( ）A．（错误!，0） B．(0,错误!) C．（错误!，错误!） D．（错误!，－错误!)［解析] ∵ρ＝x2＋y2＝错误!，且θ＝错误!，∴M的极坐标为（错误!，错误!)．［答案] C确定极坐标系中点的坐标），直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 【例1】设点A（2，3关于极轴,直线l，极点的对称点的极坐标(限定ρ〉0，－π<θ≤π）．［思路探究］欲写出点的极坐标,首先应确定ρ和θ的值．［解] 如图所示，关于极轴的对称点为B(2，－错误!）．关于直线l 的对称点为C （2，23π)．关于极点O 的对称点为D (2，－错误!π）．四个点A ，B ，C ，D 都在以极点为圆心,2为半径的圆上．1．点的极坐标不是惟一的，但若限制ρ〉0,0≤θ〈2π，则除极点外,点的极坐标是惟一确定的．2．写点的极坐标要注意顺序:极径ρ在前,极角θ在后．1．在极坐标系中,B (3，错误!），D (3，错误!π）,试判断点B ，D 的位置是否具有对称性，并求出B ，D 关于极点的对称点的极坐标（限定ρ>0，θ∈［0,2π))．[解] 由B （3，错误!)，D （3,错误!)，知｜OB ｜＝|OD |＝3，极角π4与错误!的终边关于极轴对称．所以点B ，D 关于极轴对称．设点B （3，错误!）,D (3，错误!）关于极点的对称点分别为E (ρ1，θ1）,F （ρ2，θ2)，且ρ1＝ρ2＝3。
2019-2020学年人教A版高中数学选修4-4练习：第1讲坐标系二极坐标系 Word版含答案
二 极坐标系一、基础达标1.点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，74π，则点P 的直角坐标为( ) A.(2，2) B.(2，－2) C.(2，2)D.(－2，2)解析 x ＝ρcos θ＝2，y ＝ρsin θ＝－ 2. 答案 B2.点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则点M 的极坐标可以为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0B.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π2 D.⎝⎛⎭⎪⎫π2，－π2解析 ∵ρ＝x 2＋y 2＝π2，且θ＝π2，∴M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π2.答案 C3.下列各点与⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3表示极坐标系中同一点的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3B.(2，π)C.⎝⎛⎭⎪⎫2，7π3 D.(2，2π)解析 与极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3相同的点可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3＋2k π(k ∈Z )，只有⎝⎛⎭⎪⎫2，7π3适合.答案 C4.在极坐标系中，已知点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π4、P 2⎝⎛⎭⎪⎫8，3π4，则|P 1P 2|等于( )A.9B.10C.14D.2解析 ∠P 1OP 2＝3π4－π4＝π2，∴△P 1OP 2为直角三角形，由勾股定理可得|P 1P 2|＝10.答案 B5.在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34π，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，则A 、B 两点间的距离为________.解析 由公式|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）， 得|AB |＝1＋4－2×1×2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝1＋4－0＝ 5.答案56.平面直角坐标系中，若点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝13y 后的点为Q ，则极坐标系中，极坐标为Q 的点到极轴所在直线的距离等于________.解析 ∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y 后的点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π6，则极坐标系中，极坐标为Q 的点到极轴所在直线的距离等于6⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 7π6＝3.答案 37.在极轴上求与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4距离为5的点M 的坐标.解 设M (r ，0)，∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，∴（42）2＋r 2－82r cos π4＝5，即r 2－8r ＋7＝0，解得r ＝1或r ＝7. ∴点M 的坐标为(1，0)或(7，0). 二、能力提升8.下列的点在极轴上方的是( ) A.(3，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6C.⎝⎛⎭⎪⎫4，7π4D.⎝⎛⎭⎪⎫4，17π4解析 建立极坐标系，由极坐标的定义可得点(3，0)在极轴上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，7π4在极轴下方，点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，17π4在极轴上方，故选D.答案 D9.点M ⎝⎛⎭⎪⎫6，5π6到极轴所在直线的距离为________.解析 依题意，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，5π6到极轴所在的直线的距离为d ＝6×sin 5π6＝3.答案 310.已知极坐标系中，极点为O ，0≤θ<2π，M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________.解析 如图，|OM |＝3，∠xOM ＝π3，在直线OM 上取点P ，Q ，使|OP |＝7，|OQ |＝1，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4，|QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4.点P ，Q 都满足条件，且∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫7，π3或⎝⎛⎭⎪⎫1，4π311.(1)已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－3π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，11π6，求它们的直角坐标.(2)已知点的直角坐标分别为A (3，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－53，C (－1，－3)，求它们的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π).解 (1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，532，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C (－2，－2)，D (23，－2).(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3π2，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3.12.在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3.(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积.解 (1)如图所示，由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3得|OA |＝|OB |＝|OC |＝2，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝2π3.∴△AOB ≌△BOC ≌△AOC ，∴AB ＝BC ＝CA ， 故△ABC 为等边三角形. (2)由上述可知，AC ＝2OA sin π3＝2×2×32＝2 3. ∴S △ABC ＝34×(23)2＝33(面积单位). 三、探究与创新13.某大学校园的部分平面示意图如图：用点O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB |＝|BC |，|OC |＝600 m.建立适当的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标(限定ρ≥0，0≤θ<2π且极点为(0，0)).解 以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系. 由|OC |＝600 m ，∠AOC ＝π6，∠OAC ＝π2，得|AC |＝300 m ，|OA |＝300 3 m ，又|AB |＝|BC |，所以|AB |＝150 m.同理，得|OE |＝2|OG |＝3002m ，所以各点的极坐标分别为O (0，0)，A (3003，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫600，π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫300，π2，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3002，3π4，F (300，π)，G ⎝⎛⎭⎪⎫1502，34π.。
人教版数学选修4-4课后练 1.2 极坐标系 课末 Word版含答案
第一讲 1.2
1．已知M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5，π3，下列所给出的能表示该点的坐标的是( D ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－π3B ．⎝
⎛⎭⎪⎫5，4π3 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－2π3D ．⎝
⎛⎭⎪⎫5，－5π3 解析：M (ρ，θ)也可以表示为(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )，M (5，π3)也可以表示为(5，π3
＋2k π)(k ∈Z )，故选D ． 2．在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点是( B )
A ．(ρ，θ)
B ．(ρ，－θ)
C ．(ρ，θ＋π)
D ．(ρ，π－θ)
解析：在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点的极径不变，极角关于极轴对称．故选B ．
3．点M 的直角坐标是(－1，3)，则点M 的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫2，2π3. 解析：ρ＝x2＋y2＝错误!＝2，tan θ＝错误!＝－错误!，因为点M 在第二象限，所以取θ＝错误!，
故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3. 4．(2016·湖北黄冈检测)在极坐标系中，点A 和点B 的极坐标分别为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，π3，(3,0)，O 为极点，求： (1)|AB |；(2)求△AOB 的面积．
解析：(1)△AOB 中，|OA |＝2，|OB |＝3，∠AOB ＝π3
由余弦定理得 |AB |＝
|OA|2＋|OB|2－2|OA|·|OB|cos π3＝ 22＋32－2×2×3×12＝7.
(2)S △AOB ＝12
|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝
1
2×2×3×
3
2＝
33
2.。
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第一讲坐标系
二、极坐标
高效演练知能提升
A级基础巩固
一、选择题
1点P的直角坐标为(1,- 3),则它的极坐标是()
A.Q
B.(2,
C.^T)
D.(2'-竽)
解析：p= 2, tan B=—叮3,因为点P(1,- 3)在第四象限’
/ n
故取e=- 3,所以点P的极坐标为2,- n
答案：C
2. 将点的极坐标(n , —2n )化为直角坐标为()
A. ( n , 0)
B. ( n , 2 n )
C. (— n , 0)
D. (—2n , 0)
解析：x=兀cos(— 2 兀)=n , y=兀sin(— 2 兀)=0,
所以点的极坐标(n,—2兀)化为直角坐标为(n, 0).
答案：A
3. 设点P对应的复数为一3+ 3i，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为()
A. 3 2,条
B. —3 2,右
解析：点P 的直角坐标是（一3, 3）,极坐标是3 2, 一卜 '4 丿
答案：A
4. 若 p = pH 0, & — 02= n,则点 M （ p ,①）与点 N （ p, 02）的位
置关系是（
）
A .关于极轴所在直线对称
B .关于极点对称
C .关于过极点与极轴垂直的直线对称
D .重合
解析：因为p = p M0, 01— 0= n,故点M , N 位于过极点的直 线上，且到极点的距离相等，即关于极点对称.
答案：B 二、填空题
广 3 、 （ \
5. 在极坐标系中，已知点 A1, 4n J, B2, -4 J,贝“ A 、B 两点 间的距离为 _______ .
解析：由公式 |AB| = pl + p — 2 p i P2COS （ 01 — 02）,得 |AB| =
答案：5
6.已知A , B 两点的极坐标为6, n j, 8, fj,则线段AB 中 点的直角坐标为 ________ .
C. 3, 5 4n
D.r 3
,4n
3
n
所以A , B 两点的直角坐标是(3, 3 3), (— 4,— 4 3), (n (
7 n
7.在极坐标系中，0为极点，若A3, 3 J, B — 4,石J ，则厶AOB 的面积等于 ________ .
解析：点B 的极坐标可表示为g, n ，
n n n
则/AOB = 3—
6= 6 ,
1
1
兀
故 Sg AB = 2|0A| ・|OB|sinZAOB = q x 3X 4 s in 石=3. 答案：3
(7 n
「八2x ,
8.平面直角坐标系中，若点 P 3, 7经过伸缩变换＜ ,1
i 2， [y = 后的点为Q ,则极坐标系中，极坐标与 Q 的直角坐标相同的点到极 轴所在直线的距离等于 _____________ .
(7n X=x ,
解析：因为点P 3, 经过伸缩变换彳 1 后的点为
'2〉 ”=y Q6,则极坐标系中，极坐标与Q 的直角坐标相同的点到极轴所
(n
解析：因为A , B 两点的极坐标为6, 3)
8
, 4n 3，
所以线段AB 中点的直角坐标是
答案:
1 2’
1 2,
sin 7n=3. 在直线的距离等于6
答案：3 三、解答题
( 冗、 (
5n ' 9.在极坐标系中，如果A 2, z , B 2, n 为等边三角形ABC < 4
丿 < 4
丿
的两个顶点，求顶点 C 的极坐标(p> 0, 0< 0 < 2n ).
/ 、
n
n n □—
解：对于点 A 2 一 有 p= 2, 0= T ，所以 x =2cos "j = J 2,
i ' 4丿
4
4
n
y = 2sin 4 = 2,则 A( 2,
2).
x= p 6, 解得
ly= — 7
6
所以点C 的坐标为(6,— 6)或(—6, 6).
当x = 6, y =— 6,即点C 在第四象限时，
对于B 2,
5 n
有 p=
2, 0
=~4,
5 n 厂 所以 x = 2cos 4 =— 2, y = 2sin 5n 4 =— 2・ 所以 B( — 2，— 2).
设点C 的坐标为(x , y),由于△ABC 为等边三角形,
故 |AB| = |Bq = |AC|= 4.
所以
(x - 2) 2+(y - 2)
(x + 2) 2+(y + 2) 16, 16.
x =— 6,
或
y = 6.
有p= 2 3, tan 0= —1,所以尸2』3, 0 = 4n.
3
当x =— 6, y = 6,即点C 在第二象限时，有尸2 3, 0=厶兀.
( 7n 〔
3n
故点C 的极坐标为2民-4-或 2\3,〒.
<
4
丿i
4丿
10•如果对称点的极坐标定义如下：
当已知M( p, 0 )( p> 0, 0€ R)时，点M 关于极点0的对称点 M '
— p, 0 ).
例如，M 3, n 关于极点 0的对称点 M ，— 3, n ],就是说 I 3丿 I
3丿
r n 、 r n 、一
一
3, n +n 与—3, "3表示的就是同一点.已知
A 点的极坐标是
「 5n 、 一 6, 5^，分别在下列给定条件下，写出 A 点的极坐标： < 3丿
(1) P> 0,— n < 0< n ・ (2) p<0, 0< 0<2 n ・ (3) p<0,— 2n < 0<0・
即点A 与A‘关于极点O 对称. 由极坐标的定义知
解：如图所示, |OA =|OA '=6,/xOA ‘
2 n 5 n =
3 ,/x0A = 3 ,
p>0,— nVBWn 时，A 6,
直线AB 的倾斜角为
则 |OA| = |OB|= 3,
n n
ZAOx = 2 , ZBOx = 6,
n
所以Z AOB = 3・
所以△AOB 为正三角形，从而|AB| = 3,直线AB 的倾斜角为n-
答案：3 P 在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为 2,
[0, 2n ）时，点P 的极坐标为 .
⑵当 pV 0, 0< 0<2n 时，A
-6,
⑶当 p<0,- 2n< 0< 0 时,
[B 级 1.已知两点的极坐标为 A3,
2n A — 6,-
能力提升]
，B3,
，则 |AB| =
解析：在极坐标系Ox 中作出点A 3, I 和 B n
3,石J ，如图所示,
2.已知点 则当p>0, 0 €
解析：因为点P （X , y ）在第三象限角的平分线上，且到横轴的距 离为2,
所以 x = — 2,且 y = — 2, 所以 p= x 2 + y 2= 2 2,
所以△ AOB ^^ BOC ^^ AOC ，所以 AB = BC = CA ,
又tan e=y = i ,且 0€ [0,
5 n
2兀），所以0= 4 .
因此点 P 的极坐标为2^2 答案: 厂5n
2迄，
Tj
3 .在极坐标系中，已知△
ABC 的三个顶点的极坐标分别为
A
2 訂 B
（2
' n
）
，C 2,
3 丿
（1）判断△ ABC 的形状;
兀）,C
2,
ZAOB =/ BOC =Z AOC = 3 ,
故厶ABC为等边三角形.
(2)由(1)可知，
|AC|= 2|0A|sin； = 2X 2X 2 3. 所以S^ABC = 4 X (2 3)2= 3 3.。