选修44极坐标系

4，π 4
+2kπ
思考1：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角.
思考2：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相 同。也就是说它们是终边相同的角。
三、点的极坐标的表达式
关于极径
在一般情况下，极径都是取 正值。但在某些必要的情况
下，也允许取负值(<0)
当<0时，点M(, )的位置规定：
O
X
这样就建立了一个极坐标系.
二、极坐标系的建立
表示线段OM的长度，叫做点M的极径; 表示以OX为始边，射线OM为终边的 角,叫做点M的极角; 有序数对(,)就叫做点M的极坐标.
M.
O
X
强调：不做特殊说明时,≥0,∈R 当
=0时，表示极点(0,) 。
例1： 如图，写 出二七广场、武 警河南总队医院 、银基商贸城的 极坐标
➢都是用有序实数对来表示平面上的点. ➢其中坐标的意义不同. ➢直角系的坐标与平面上点是一一对应的;
极坐标系的坐标与平面上点多对一的;
问题2：有没有办法使极坐标与点之间一一对应？
0, 且0 2（或 ）（除极点外）
四、极坐标与直角坐标的互化
y
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的
原点重合;
O1
x
2. 极轴与直角坐标系的
x轴的正半轴重合;
3. 两种坐标系的单位长 度相同.
四、极坐标与直角坐标的互化
y
P(x,y)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O1
x
极坐标化为直角坐标：
x cos, y sin
直角坐标化为极坐标：
2 x2 y2 , tan y (x 0)
x
例3：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 极坐标 直角坐标 极坐标
一、情境引入
问题：视频中 是如何确定目 标位置的？
问题：视频中是如何确定目 标位置的？
十二点方向，距离270米
出发点、方位、距离
请大家描述 二七广场相 对于郑州站 的位置？
二、极坐标系的建立
在平面内取一个定点O，叫做极点.
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位和计算角度的正方向
（通常取逆时针方向）.
(2 3,2)
(4, ) 6
(0,1)
(1, )
2
(3, 3) ( 3,1)
(2 3, 5 ) (2, 7 )
6
6
(3,0)
(3, )
(5,0)
(5,0)
小结：
• 建立一个极坐标系需要哪些要素 • 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正 方向
• 极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ • 无数，极角有无数个
关于负极径的思考
负极径就是将极角终边反向延长， 用“负”表示“反向 ”。而反向 延长也可以看成是旋转
° O
x
•
M (, )
极径变为负，极角增加
例2：说出下图中当极径取负值时各点
的极坐标
2C
11
6
12
DE
A
O
5
4
3
2
X
B
23
12
思考：与直角坐标系的联系与区别
问题1：极坐标系与直角坐标系的异同是什么？
4
O
x
7
11
6
6
练一练：如图，写出各点的极坐标：
5 6D
•
E
•
2
4
•C B•
O1
•A
x
A(4,0)
B(3, )
4
C(2,
2
)
5 D(5, 6 )
E(4.5, )
F
4 •
3
G
• 5
3
F(6, 4) 3
G(7, 5) 3
三、点的极坐标的表达式
关于极角
如图：OM的长度为4，
M
4
O X
请说出点M的极坐标的表达式？
• 一点的极坐标有否统一的表达式？
• 有，(ρ，2kπ+θ)
• 极坐标与直角坐标的互化
极坐标化直角坐标： 直角坐标化极坐标：
x cos , y sin 2 x2 y2,tan y ( x 0)
x