概率论要点及部分问题
概率初步例题和知识点总结
概率初步例题和知识点总结一、概率的定义在一定条件下，重复进行试验，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率稳定在某个常数 p 附近，那么这个常数 p 就叫做事件 A 的概率，记作 P(A) ＝ p。
概率是对随机事件发生可能性大小的度量。
例如，抛一枚均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的概率都是 05。
二、概率的基本性质1、0 ≤ P(A) ≤ 1：任何事件的概率都在 0 到 1 之间，0 表示不可能发生，1 表示必然发生。
2、P(Ω) ＝ 1：必然事件的概率为 1，其中Ω 表示样本空间，即所有可能结果的集合。
3、 P(∅）＝ 0：不可能事件的概率为 0，∅表示空集。
4、如果事件 A 与事件 B 互斥（即 A 和 B 不能同时发生），那么P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B)。
三、古典概型古典概型是一种最简单的概率模型，具有以下两个特点：1、试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。
2、每个基本事件出现的可能性相等。
古典概型的概率计算公式为：P(A) ＝ A 包含的基本事件个数／基本事件的总数。
例如，一个盒子里有 3 个红球和 2 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。
基本事件的总数为 5（3 个红球＋ 2 个白球），取出红球包含的基本事件个数为 3，所以取出红球的概率为 3/5。
四、例题解析例 1：掷一枚质地均匀的骰子，求点数为奇数的概率。
解：掷一枚骰子，出现的点数有 1、2、3、4、5、6 共 6 种可能，其中奇数有 1、3、5 共 3 种。
所以点数为奇数的概率为 3/6 ＝ 1/2。
例 2：从 1、2、3、4 这 4 个数字中，任意取出两个数字，求取出的两个数字都是奇数的概率。
解：从4 个数字中任意取出两个数字，共有6 种可能的结果：（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，3）、（2，4）、（3，4）。
其中两个数字都是奇数的结果有（1，3），共 1 种。
所以取出的两个数字都是奇数的概率为 1/6。
概率论期末知识要点及书写规范例题
1 −1 e 3 fX (x) = 3 0
x>0 el se
2 y fY ( y ) = 0
0 ≤ y ≤1 其他
求 ： E ( XY ) 和 E ( X + Y )
ˆ x = −46.1557, ˆ =y − b a
经验回归直线方程为： 经验回归直线方程为：
∧ ∧
(3分)
Xi p
0 1/2
1 1/2
∑ P{ X
k=0
3
= k }P { A X = k }
k = 0,1, 2, 3,
…7分
∑
k=0
3
k P{X = k}⋅ 6
3
k 3− k P{ X = k } = C 3 C3 / C 63 ,
1 6
∑ kP { X
k=0
= k} =
1 1 3 1 EX = ⋅ = 6 6 2 4
解法1: (1) X的可能取值为0，1，2，3，X 的 k 3− k 3 概率分布为 P{ X = k } = C3 C3 / C6 , k = 0,1, 2, 3, 即 因此, EX=0×1/20+1×9/20+2×9/20+3×1/20=3/2 5分
已知甲、 已知甲、乙两箱中装有同种产品, 其中甲箱 装有3件合格品和3件次品, 乙箱中装有3件合格 品, 从甲箱中任取3件放入乙箱后, 求: (1) 乙箱中次品件数X的数学期望； 的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率. (2)设A表示事件“从乙箱中任意取出的一 件产品是次品”, 根据全概率公式, 有
(3分) (2分）
3 × 0.6 P ( B1 A) P ( B1 ) P ( A | B1 ) 5 = 0.517(4分） P ( B1 | A) = = = 0.696 P ( A) P ( A)
初中概率知识要点及习题
概率初步一、有关概念1.必然事件和不可能事件：在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件.相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件. 必然事件与不可能事件统称为确定性事件.2.随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件. 随机事件属于不确定性事件，即事先无法确定.注意：定义中“在一定条件下”说明当条件改变时，事件发生的可能性也会相应地发生改变。
练习1：下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？说明理由。
（1）篮球运动员在罚球线上投篮一次，未投中；（2）掷一次六面体骰子，向上的一面是6点；（3）度量三角形的内角和，结果是360°；（4）放学回家路上在每一个路口都遇上绿灯；（5）将豆油滴在水中，豆油浮在水面上；（6）今晚打开电视发现在播广告；二、随机事件发生的可能性：一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
验证概念举例：袋子中有4个彩球和2个白球，这些球的形状、大小、质地完全相同。
在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球。
⒈这个球是彩色还是白色？⒉摸出彩球和摸出白球的可能性一样大吗？怎样来描述一个随机事件的可能性的大小呢？三、概率概率：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P（A）。
在大量重复试验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A的概率。
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）= m n由0≤m≤n可以推出0≤P(A)≤1特别地：当A为必然事件时，P(A) ＝1当A为不可能事件时，P(A) ＝0事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近0.可以发现，正面向上的频率在0.5附近波动。
考研数学备考：概率论各章节知识点梳理
考研数学备考：概率论各章节知识点梳理1500字概率论作为考研数学中的一部分，是考生备考的重点之一。
下面将对概率论的各章节知识点进行梳理，帮助考生进行复习备考。
1. 随机事件与概率概率论的基本概念是随机事件和概率。
随机事件是随机现象的结果，概率是事件发生的可能性大小。
在这一章节中，主要涉及到随机事件的定义、事件的性质、事件间的关系等内容。
2. 随机变量及其分布随机变量是随机现象的数值描述，它分为离散随机变量和连续随机变量。
这一章节主要涉及随机变量的定义、分布函数、概率密度函数等内容。
同时还包括常见的离散随机变量和连续随机变量的概率分布，如二项分布、泊松分布、正态分布等。
3. 随机事件的数学描述随机事件可以用随机变量的取值区间来表示，也可以用事件的概率来描述。
这一章节主要包括随机事件的和、差、积等概念，以及离散随机变量和连续随机变量的概率函数之间的关系。
4. 多维随机变量及其分布多维随机变量是指由多个随机变量组成的向量。
这一章节主要包括多维随机变量的定义、联合分布、边缘分布等内容。
同时还包括多维随机变量的独立性、相关性等概念。
5. 随机变量的数字特征随机变量的数字特征包括数学期望、方差、协方差等。
这一章节主要涉及到随机变量的数学期望、方差和协方差的定义、性质以及计算方法。
6. 大数定律和中心极限定理大数定律是指随着试验次数的增加，随机事件的频率趋向于事件的概率。
中心极限定理是指当随机事件的样本量足够大时，其均值的分布接近于正态分布。
这一章节主要涉及到大数定律和中心极限定理的数学表达和推导。
7. 参数估计与假设检验参数估计是根据样本数据对总体参数进行估计，假设检验是根据样本数据对总体参数是否符合某个假设进行检验。
这一章节主要包括点估计、区间估计和假设检验的概念、方法和步骤。
8. 有序与无序排列的计数问题有序排列是指考虑元素的排列顺序，无序排列是指不考虑元素的排列顺序。
这一章节主要涉及到有序与无序排列的计数问题，如排列、组合、多重集合等。
概率论笔记1
概率复习重点归纳 一、随机事件与概率 重点难点： 重点：概率的定义与性质，条件概率与概率的乘法公式，事件之间的关系与运算，全概率公式与贝叶斯公式 难点：随机事件的概率，乘法公式、全概率公式、Bayes 公式以及对贝努利概型的事件的概率的计算 常考题型： （1）事件关系与概率的性质 （2）古典概型与几何概型 （3）乘法公式和条件概率公式 （4）全概率公式和Bayes 公式 （5）事件的独立性 （6）贝努利概型 概念辨析1，互不相容（互斥）事件同逆（对立）事件互不相容事件：AB =Φ 逆事件：,A B AB ⋃=Ω=Φ事件互逆指的是非此即彼，即事件之一必定发生；而不相容仅指不能同时发生，但是是可以同时不发生的。
2，独立与互不相容（互斥）对事件A 及B ，若P(A)P(B)>0，且P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A 及B 互相独立；事件独立同事件互斥是两套不同的概念，不能进行比较；须知独立性针对的是事件概率存在上面的等式关系；而互斥是指事件的不可同时发生，两者之间不存在必然关系。
3、条件概率同乘积概率P(AB)是在样本空间Ω内，事件AB 的概率，而P(A | B)是在试验中增加了新条件B 发生 后的缩减的样本空间B Ω中计算事件A 的概率。
虽然A 、B 都发生，但两者是不同的，一般说来，当A 、B 同时发生时，常用P(AB)，而在有包含关系或明确的主从关系时，用P(A | B) .例：袋中有9 个白球1 个红球，作不放回抽样，每次任取一球，取2 次，求：（1）第二次才取到白球的概率；（ 2）第一次取到的是白球的条件下，第二次取到白球的概率.问题（1）求的就是一个乘积事件概率的问题，而问题（2）求的就是一个条件概率的问题.4、全概率公式同贝叶斯公式 全概率公式：要求事件A 的概率（通常直接不太好求），将其分成几个比较容易计算的概率之和。
在分析问题的过程中，A 可视为B1∪B2∪B3∪…∪Bn 的子事件，或者把Bi 看成A 发生的原因，A 是结果，而及较易求出，从而可由“因”求出“果”。
概率论复习知识点总结
? P( Ai B) ?
P(Ai )P( B Ai ) ?
n
P(Ai )P( B Ai )
P(Ai )P( B Ai ) ? P(B)
,i
? 1,2,?
,n
i?1
?例1.16，1.17，作业：三、14，15
第1章要点
七、事件的相互独立性
P(AB)= P(A)P(B)
?注意几对概念的区别： ?互不相容与互逆 ?互不相容与相互独立 ?相互独立与两两相互独立 ?作业：一、8；二、8，9； 三、17，19
P(A∪B) = P(A) + P(B)–P(AB)．
例1.4；作业: 一、4，11 ； 二、3，5，6
第1章要点
四、古典概型与几何概型 ?古典概型概率计算公式：
P( A) ? 事件A中所包含样本点的个数 ? k
? 中所有样本点的个数 n
作业：三、6，8
第1章要点
五、条件概率与乘法公式 ?若P(A)>0
p
p(1? p)
np
np(1 ? p)
?
?
( a ? b) 2 (b ? a )2 12
θ
θ2
μ
σ2
第4章要点
四、协方差及相关系数 ?定义式：Cov( X,Y) ? E[(X ? EX)(Y ? EY)]
? XY ?
Cov( X ,Y) ( D( X ) ? 0, D(Y ) ? 0) D( X ) D(Y)
第1章要点
二、事件运算满足的定律 ?事件的运算性质和集合的运算性质相同，设 A，B，C为 事件，则有 ?交换律：A? B ? B ? A, AB ? BA ?结合律：( A ? B ) ? C ? A ? (B ? C ), ( AB)C ? A(BC ) ?分配律：( A ? B)C ? ( AC) ? (BC ),
大学概率论知识点总结
大学概率论知识点总结概率论是研究随机现象数量规律的数学分支，在大学数学中占据着重要的地位。
以下是对大学概率论中一些重要知识点的总结。
一、随机事件与概率1、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
例如，抛一枚硬币，正面朝上就是一个随机事件。
2、样本空间样本空间是随机试验的所有可能结果组成的集合。
3、事件的关系与运算包括包含、相等、并、交、差、互斥（互不相容）和对立等关系。
4、概率的定义概率是对随机事件发生可能性大小的度量。
古典概型中，概率等于有利事件的个数除以总事件的个数；几何概型中，概率等于几何度量（如长度、面积、体积等）的比值。
5、概率的性质包括非负性、规范性和可加性等。
二、条件概率与乘法公式1、条件概率在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率称为条件概率，记作 P(B|A)。
2、乘法公式P(AB) ＝ P(A)P(B|A)三、全概率公式与贝叶斯公式1、全概率公式如果事件组 B1，B2，，Bn 是样本空间的一个划分，且 P(Bi) ＞ 0（i ＝ 1, 2,， n），则对任意事件 A 有 P(A) ＝ΣP(Bi)P(A|Bi)2、贝叶斯公式在全概率公式的基础上，如果已知 P(A)，P(Bi) 和 P(A|Bi)，可以计算在事件 A 发生的条件下，事件 Bi 发生的概率 P(Bi|A)四、随机变量及其分布1、随机变量是定义在样本空间上的实值函数。
2、离散型随机变量其取值为有限个或可列个。
常见的离散型随机变量分布有：二项分布、泊松分布等。
3、连续型随机变量其取值可以是某个区间内的任意实数。
常见的连续型随机变量分布有：均匀分布、正态分布、指数分布等。
4、随机变量的分布函数F(x) ＝ P(X ＜＝ x)，具有单调不减、右连续等性质。
五、多维随机变量及其分布1、二维随机变量由两个随机变量组成。
2、联合分布函数F(x, y) ＝ P(X ＜＝ x, Y ＜＝ y)3、边缘分布包括边缘分布函数和边缘概率密度（离散型为边缘概率分布）。
概率论知识点整理及习题答案
概率论知识点整理及习题答案概率论知识点整理及习题答案第一章随机事件与概率1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？它们的联系与区别是：（1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。
（2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。
（3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。
而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。
特别地，=A、AU= 、AI=φ。
2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。
我们所说的两个事件A、B相互独立，其实质是事件A是否发生不影响事件B发生的概率。
而说两个事件A、B互不相容，则是指事件A发生必然导致事件B不发生，或事件B发生必然导致事件A不发生，即AB=φ，这就是说事件A是否发生对事件B发生的概率有影响。
3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。
其中基本事件也称为样本点。
而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。
通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。
在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。
而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作φ。
为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。
这是由于事件的性质随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。
条件发生变化，事件的性质也发生变化。
例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于33点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。
而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。
例如：（1）={3，4，5，L，18}。
（2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ={0，1，2，3}。
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一．概念
1、极差(Range)为数据中的最大值减去最小值。
2、代表的是数据的“分散程度”的量还有：IQR，PIQR。
分别称为四分位间距，和百分比的四分位间距。
IQR=Q3-Q1. 这里：Q3和Q1分别是最大值、最小值和中位数之间的中位数。
PIQR=IQR / Range
3、数据深度定义：样本中一个数据值的深度，是它的升秩和降秩两者中的最小值。
4、我们用深度的概念，可以规定怎样从样本中提炼出各种探索性总括值。
中位数的深度是（n+1）/2。
如果n是偶数，我们看到（n+1）/2有分数部分1/2；按常规，只要深度不是整数，我们就作内插。
5、四分位数的深度 = （[中位数的深度]+1）/ 2，0.25和0.75分位数，又分别称为下四分位数和上四分位数。
6、盒图的做法（1）：算出五数总括（有时也计算均值）(2)画一条水平线（也可以画竖线），两个端点的值 a, b(使之包含min, Max既可) , 在[a,b]中等分画出分点，标出单位。
(3)：在水平线上方，在Q1 , Q3之间画一个矩形，长度为IQR, 在Md处画一条线，把矩形分成两部分。
(4)：将min, Max与上述矩形相连。
（在适当的位置用 + 标出均值。
）
7、判断异常值：当数据超出Q1 -1.5IQR或 Q3+1.5IQR时，常判作异常值，以 * 标出。
（或者○标出。
）若超出3IQR，称“太极端”（too extreme）。
二．例题
1、路遥先生的三卷本“平凡的世界”是我最喜欢的小说之一。
按照任意的次序放在书架上，请问各卷自左至右，或者自右至左排成1，2，3卷的顺序的概率是多少？
2、出黑球的概率？（1）相同颜色的球可分辨（2）相同颜色的球不可分辨
3、袋子中有a个白球，b个黑球，等可能的不放回摸球。
每个人摸出后藏好了。
问第k个人摸
n个球等可能的放入N个盒子里，问至少两个球在同一个盒子里的概率？(N>n)注：N=365,不考虑闰年（生日），n=人数。
4、王蒙游戏 20张牌每个花色5张，从中等可能的抽10张，计数每个花色的张数。
结果对应如下奖惩：5500（奖摄像机），5410（进口香烟一条），5311（机器人玩具）， 4411,4330 （进口烟一盒），4222（小海螺）以上分别为5个奖励等级，4321 （罚款2元）3331（罚款2元），3322 （罚款5元）以上两个罚款等级，其它：（不奖不罚）
5、彩票问题先从01～36个号码球中一个一个的摇出7个基本号，再从剩下的29个号码球中摇出一个特别号码，中奖等级如下：(1)特等奖：选中7个正选号 (2)一等奖：选中6个正选号+特选号（3）二等奖：选中6个正选号 (4)三等奖：选中5个正选号+特选号 (5)四：选中5个正选号，或： 4个正选号+特选号 (6)五：选中4个正选号，或： 3个正选号+特选号
6、标准的52张扑克牌取5张（不计牌的顺序）。
1）牌的点数不重复；2）恰有一个对子；3）恰有两个对子；4）三带二；5）顺子；6）同花顺；7）四个花色都出现。
7、匹配问题：n个人等可能的取自己的帽子，问没有一个人取到自己帽子的概率？恰有k个人取到自己帽子的概率？
8、有一个由Monty主持的电视游戏栏目是这样的：Monty让参与人Volia在3扇完全一样的大门A,B,C中任选一扇，这3扇门中有两扇门后面分别有一个一分钱硬币，另一扇门后面有一个大咸鸭蛋，每扇门后有什么东西,主持人Monty事先已经知道,游戏开始了， Volia选定一扇门（如A门）后， Monty打开一扇放有硬币的门（如B门），接着告诉Volia可以再选择， Volia 想要咸鸭蛋，问题是Volia是保持原选择不动，还是换呢？
9、甲乙两人射击各一次。
甲击中的概率为0.9，乙为0.8，而两人同时击中的概率是0.72，问击中目标的概率？
10、掷一颗骰子6次，至少得到一个6点；掷两颗骰子24次，至少得到一个双6点。
问：上述两个概率拿个大？
11、数学家巴拿赫的左右衣袋里各装有一盒火柴，每次使用时任取两盒中的一盒，假设每盒各有n根，求他首次发现一盒空时，另一盒恰有r根的概率（r=1,2,…,n）.
12、某人在掷两枚硬币时，若能同时出现正面，则可得1分；反之则失0.25分。
若有一人玩此游戏100回，问此人不胜不负（得0分）的概率多大？
提示：得0分意味着掷出反面的次数为掷出正面次数的4倍，即100次游戏中，掷出正面20次，反面80次。
13、某工厂由甲,乙,丙三台机器生产同一型号的产品,它们的产量各占30%,35%,35%,废品率分别为5%,4%,3%.产品混在一起. (1)从该厂的产品任取一件,求它是废品的概率.
(2)若取出产品是废品,求它是由甲,乙,丙三台机器生产的概率各是多少?
14、对以往的数据分析结果表明,当机器调整良好时,产品的合格率为90%,而机器未调整良好时,其合格率为30%.每天机器开动时,机器调整良好的概率为75%. 试求已知某日生产的第一件产品是合格品,机器调整良好的概率是多少?
15、假设我们掷两次骰子,并定义事件 A={第一次掷得偶数}, B={第二次掷得奇数}, C={两次都掷得奇数或偶数}, 证明A,B,C两两独立, 但A,B,C不相互独立.
16、Simpson 悖论1 两个家庭，第一个家庭丈夫、妻子的收入都比第二家的高。
为了一个公共事业，第二家的丈夫、妻子各拿出收入的50%，第一家的丈夫、妻子各拿出收入的5%，95%。
为什么第二个家庭出的钱可能多？。