概率论与数理统计总复习-概率论部分
概率论与数理统计总复习知识点归纳
概率论与数理统计总复习知识点归纳1.概率论的基础概念-随机事件、样本空间和事件的关系。
-频率和概率的关系，概率的基本性质。
-古典概型和几何概型的概念。
-条件概率和乘法定理。
-全概率公式和贝叶斯公式。
-随机变量和概率分布函数的概念。
-离散型随机变量和连续型随机变量的定义、概率质量函数和概率密度函数的性质。
2.随机变量的数字特征-随机变量的数学期望、方差、标准差和切比雪夫不等式。
-协方差、相关系数和线性变换的数学期望和方差公式。
-两个随机变量的和、差、积的数学期望和方差公式。
3.大数定律和中心极限定理-大数定律的概念和三级强大数定律。
-中心极限定理的概念和中心极限定理的两种形式。
4.数理统计的基本概念和方法-总体、样本和抽样方法的概念。
-样本统计量和抽样分布的概念。
-点估计和区间估计的概念。
-假设检验的基本思想和步骤。
-正态总体的参数的假设检验和区间估计。
5.参数估计和假设检验的方法和推广-极大似然估计的原理和方法。
-矩估计的原理和方法。
-最小二乘估计的原理和方法。
-一般参数的假设检验和区间估计。
6.相关分析和回归分析-相关系数和线性相关的概念和性质。
-回归分析的一般原理。
-简单线性回归的估计和检验。
7.非参数统计方法-秩和检验和符号检验的基本思想和应用。
-秩相关系数的计算和检验。
8.分布拟合检验和贝叶斯统计-卡方拟合检验的原理和方法。
-正态总体参数的拟合优度检验。
-贝叶斯估计的基本思想和方法。
9.时间序列分析和质量控制-时间序列的基本性质和分析方法。
-时间序列预测的方法和模型。
-质量控制的基本概念和控制图的应用。
以上是概率论与数理统计总复习知识点的归纳，希望对你的复习有所帮助。
概率论与数理统计总复习
概率论与数理统计总复习1、研究和揭示随机现象 统计规律性的科学。
随机现象：是在个别试验中结果呈现不确定性，但在大量重复试验中结果又具有统计规律性的现象。
2、互斥的或互不相容的事件：A B φ⋂=3、逆事件或对立事件：φ=⋂=⋃B A S B A 且4、德∙摩根律：B A B A ⋂=⋃，B A B A ⋃=⋂5、在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值/A n n 称为事件A 发生的频率，并记为()n f A 。
6、概率的性质（1）非负性：(A)0P ≥； （2）规范性：(S)1P =；（3）有限可加性：设A 1，A 2，…，A n ，是n 个两两互不相容的事件，即A i A j ＝φ，(i ≠j), i , j ＝1, 2, …, n , 则有∑==ni i n A P A A P 11)()...(（4）()0P φ=；（5）单调不减性：若事件A ⊂B ，则P(B)≥P(A) （6）对于任一事件A ，P(A)≤1 （7）差事件概率：对于任意两事件A 和B ，()()()P B A P B P AB -=-（8）互补性（逆事件的概率）：对于任一事件A ，有 P(A )=1-P(A) （9）加法公式：P(A ⋃B)＝P(A)＋P(B)－P(AB))()()()()()()()(321323121321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P +---++=⋃⋃7、古典概型中的概率: ()()()N A P A N S =①乘法原理：设完成一件事需分两步， 第一步有n 1种方法，第二步有n 2种方法， 则完成这件事共有n 1n 2种方法。
例：从甲、乙两班各选一个代表。
②加法原理：设完成一件事可有两类方法，第一类有n 1种方法，第二类有n 2种方法，则完成这件事共有n 1+n 2种方法。
概率论与数理统计总复习参考
定义7 （概率的统计定义） 定义8 （概率的公理化定义） 设试验E的样本
空间为Ω，对任意事件A，赋予一实数 P(A)，若
它满足
非负性公理：0≤P(A) ≤1;
规范性公理：P(Ω)=1;
可列可加性公理：若A1, A2, …两两互斥, 则
P ( Ai ) P ( Ai ).
二、随机事件的关系与运算
1. 事件的关系
(1) 包含关系 若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A包含于B，
记为 A B.
(2) 互斥（互不相容）： 若两个事件A、B不可能同时发生，则称事件A与B互斥 （互不相容）. 必然事件与不可能事件互斥; 基本事件之间是互斥的.
2. 事件的运算
(1) 事件的并（和） 若C表示“事件A与事件B至少有一个发生”这一事件，
fY
(
y)
f
X
[h(
y)] | 0,
h(
y)
|,
y ,
其他.
第三章 二维随机变量及其分布
1. 二维随机变量
(X, Y )：X, Y 是定义在同一样本空间 上的两个随机变量.
2. 联合分布函数、性质 F(x, y) =P{X x, Y y}, (任意实数x, y).
3. 边缘分布函数 FX (x) = F(x, +), FY (y) = F(+, y).
P p1
p2 … pn …
注 ：如果 g( xk ) 中有些项相同，则需将它们 作适当并项.
(2) 连续型随机变量函数的分布 (i) 定义法
FY ( y) P{Y y} P{g( X ) y}
{ x|g( x) y} f X ( x)dx.
大学概率论与数理统计复习资料
知识点：概率的性质事件运算古典概率常用公式(2)P(A BP P(A) P(B)- P(AB)(加法定理)nnP(U A) Y p(A)i d innP(U A)=l-n [1-P(A)]i di d(3) P(B/A)二 P(AB)/P(A) (4)P(AB)二 P(A)P(B/A)二P(B)P(A/B) P(AB)二 P(A)P(B) (A 与B 独立时)P(AB)二0(A,B 互不相容时)(5) P (A- Bp P(ABp P(A)- P(AB)P(A- B)二 P(AB)二 P(A) - P(B)(当B A 时)n(6) P (B)八 P(A i )P(B/A i )(全概率公式)i=1(其中A ,,A 2 A n 为"的一个划分,且P(A i 0)) (7) P (A /B) = nP(A)P(B/A)(逆概率公式)迟 P(A i )P(B/A)事件的独立性条件概率全概率与贝叶斯公式(1)P(Ap r/nP(AP L(A)/L(S)（设A,4…A 两两互斥,有限可加性）（A ，4, A 相互独立时）i =1应用举例1、已知事件A, B 满足P(AB) = P(AB),且P(A) = 0.6 ,贝卩P(B)=()。
2、已知事件A,B 相互独立，P(A) =k, P(B) =0.2, P(0 B)=0.6，贝k - ()。
3、已知事件A,B 互不相容，P(A) =0.3, P(B) = 0.5,则 P(A B)=()。
4、若P(A) =0.3, P(B)=0.4 ,P(AB) = 0.5, P(BA B)=( )。
5、A, B,C是三个随机事件，C B，事件AUC - B与A的关系是6、5张数字卡片上分别写着1, 2, 3, 4, 5,从中任取3张，某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车。
(1 )试求他在5:40〜5:50到家的概率；(2)结果他是5:47到家的。
试求他是乘地铁回家的概率。
概率论与数理统计总复习-
一. 二维离散型r.v.
概率统计-总复习-13
1. 联合分布律（2个性质）
P(Xxi,Yyj)pij,
2.联合分布函数（5个性质）
F ( x , y ) P X x , Y y
3.联合分布律与联合分布函数关系
F(x,y)pij, xixyjy
4. 边缘分布律与边缘分布函数
n
Xi
n
E( Xi )
i1 i1
D
n
Xi
n
D( Xi )
i1 i1
X1,,Xn 相互独立
常见离散r.v.的期望与方差
概率统计-总复习-27
分布 概率分布
期望 方差
参数p的 0-1分布
P (X 1 )p ,P (X 0) q
2. 联合分布函数（5个性质）
xy
F(x,y) p(u,v)dvdu
3.联合密度与联合分布函数关系 2F( x,y) p( x,y)
xy
4.边缘密度与边缘分布函数
p (x) p( x,y)dy p ( y) p( x,y)dx
X
Y
FX( x) F(x, ) FY ( y ) F(, y)
5.全概率公式：分解 P(B) P(Ai)P(B|Ai),B
i1
6.贝叶斯公式
P(Aj |B)
P(Aj )P(B| Aj )
,j
P(Ai )P(B|Ai )
i1
四. 概率模型
概率统计-总复习-6
1.古典概型： 摸球、放球、随机取数、配对
2. n重伯努利概型：
概率论与数理统计总复习知识点归纳
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二 用Bayes公式：
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x)，求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。
y<0 时，FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为：
f
( x,
y)
《概率论与数理统计》知识点整理
《概率论与数理统计》知识点整理概率论与数理统计是数学中的一个重要分支，它研究随机现象发生的规律以及对这些规律的推断和决策问题。
在现代科学、金融、医学、工程等领域中都有广泛的应用。
下面是《概率论与数理统计》的一些重要知识点：一、概率论：1.概率的基本概念：随机试验、样本空间、事件、概率公理化定义等。
2.条件概率与概率的乘法定理：条件概率的定义、条件概率的乘法定理、独立事件的定义与性质等。
3.全概率公式与贝叶斯公式：全概率公式的推导与应用、贝叶斯公式的推导与应用等。
4.随机变量与概率分布：随机变量的定义与分类、概率分布的基本性质、离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布等。
5.两随机变量函数的概率分布：随机变量的函数、数学期望的定义与性质、方差的定义与性质等。
6.多维随机变量及其分布：二维随机变量的概率分布、联合分布函数与边缘分布、条件分布等。
二、数理统计：1.统计数据的描述：数据的集中趋势度量（均值、中位数、众数）、数据的离散程度度量（极差、方差、标准差）、数据的分布形态度量（偏度、峰度）等。
2.参数估计：点估计的概念与方法、矩估计法、极大似然估计法、最小二乘估计法等。
3.假设检验：假设检验的基本概念、显著性水平与拒绝域、假设检验的步骤、单侧检验与双侧检验等。
4.统计分布：正态分布的性质与应用、t分布与χ²分布的概念与性质、F分布的概念与性质等。
5.方差分析与回归分析：方差分析的基本原理与应用、单因素方差分析、回归分析的基本原理与应用、简单线性回归分析等。
三、随机过程：1.随机过程的基本概念与性质：随机过程的定义、状态与状态转移概率、齐次性与非齐次性等。
2.马尔可夫链：马尔可夫链的定义与性质、状态空间的分类、平稳分布与极限等。
3.随机过程的描述：概率密度函数、概率生成函数、随机过程的矩、协方差函数等。
4.随机过程的分类：齐次与非齐次、连续与间断、宽离散与窄离散等。
概率论与数理统计总结
3、分布函数与概率的关系 ∞<<∞-≤=x x X P x F ),()()()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<4、离散型随机变量的分布函数 (1) 0 – 1 分布 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P kk(2) 二项分布 ),(p n B n k p p C k X P k n kk n ,,1,0,)1()( =-==-泊松定理 0lim >=∞→λn n np 有,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k ep p C kkn n k nkn n λλ(3) 泊松分布 )(λP = ,2,1,0,!)(===-k k e k X P kλλ〔5〕几何分布 p q k p qk X P k -====-1,2,1}{1dt t f x F x ⎰∞-=)()(则称X 为连续型随机变量，其中函数f(x)称为随机变量X 的概率密度函数， 2、分布函数的性质：〔1〕连续型随机变量的分布函数F(x )是连续函数。
〔2〕对于连续型随机变量X 来说，它取任一指定实数a 的概率均为零，即P{X=a }=0。
3、常见随机变量的分布函数 (1) 均匀分布 ),(b a U⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a ab x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b a x x F (2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F xλ (3) 正态分布 N (μ , σ 2 )+∞<<∞-=--x e x f x 222)(21)(σμσπ ⎰∞---=xt t ex F d 21)(222)(σμσπN (0,1) — 标准正态分布+∞<<∞-=-x e x x 2221)(πϕ +∞<<∞-=Φ⎰∞--x t ex x t d 21)(22π2、连续型随机变量函数的分布： 〔1〕分布函数法；(){}⎰⎰<==∈=yx g X l X y Y dx x f dx x f l X P y F y)()()(〔2〕设随机变量X 具有概率密度f X (x )，又设函数g(x )处处可导且恒有g '(x )>0 (或恒有g '(x )<0) ，则Y=g(X )的概率密度为()()[]()⎩⎨⎧<<'=其他βαy y h y h f y f X Y 其中x =h(y )为y =g(x )的反函数，()()()()()()∞+∞-=∞+∞-=g g g g ,max ,,min βα 3、 二维连续型随机变量 〔1〕联合分布函数为dudv v u f y x F y x ⎰⎰∞-∞-=),(),(函数 f (x ,y )称为二维向量(X ,Y )的(联合)概率密度. 其中： 0),(≥y x f ，⎰⎰∞∞-∞∞-=1),(dxdy y x f〔2〕基本二维连续型随机向量分布均匀分布：⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他),(1),(G y x Ay x f二维正态分布：+∞<<-∞+∞<<∞--=-+------y x ey x f y y x x ,121),(])())((2)([)1(212212222212121212σμσσμμρσμρρσπσ3、离散型边缘分布律：4、 连续型边缘概率密度,),()(dy y x f x f X ⎰∞+∞-= dx y x f y f Y ⎰∞+∞-=),()(F (x ，y )=F x (x )F Y (y ) 则称随机变量X 和Y 是相互独立的3、连续型随机变量独立的等价条件 设(X ，Y )是连续型随机变量，f (x ，y )，f x (x )，f Y (y )分别为(X ，Y )的概率密度和边缘概率密度，则X 和Y 相互独立的充要条件是等式 f (x ，y ) = f x (x )f Y (y ) 对f (x ，y )，f x (x )，f Y (y )的所有连续点成立. 五、条件分布1、离散型随机变量的条件分布律： 〔3〕条件分布函数：2、连续型随机变量的条件分布 〔1〕条件分布函数⎰⎰∞-∞-==x Y Y X Y x Y X du y f y u f y x F y f du y u f y x F )(),()|()(),()|(||或写成， 〔2〕条件概率密度在Y=y 条件下X 的条件概率密度)(),()|(|y f y x f y x f Y Y X =同理 X=x 条件下X 的条件概率密度)(),()|(|x f y x f x y f X X Y =六、多维随机函数的分布1、离散型随机变量函数分布：二项分布：设X 和Y 独立,分别服从二项分布b (n 1,p ), 和b (n 2,p )，则 Z=X+Y 的分布律：Z ～b (n 1+n 2,p ).泊松分布：假设X 和Y 相互独立,它们分别服从参数为21,λλ的泊松分布,则Z=X+Y 服从参数为21λλ+的泊松分布。
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(A) 2 f (x) 1 (B) 2 f ( x 1) 2
(C) 1 f ( x 1) (D) 1 f (x) 1
22
2
7．设随机事件X、Y 的联合分布律为
已知事件{X 0}与{X Y 1} 相互独立，则（ ） a ?,b ?
8．设随机变量X、Y相互独立，且均服从标准正态分布
则（）
(A) PX Y 0 1 (B) PX Y 0 1
红球的概率？
随机变量及其分布
随机变量的分布： 1、离散型 （1） (0—1)分布 （2）二项分布 X~b（n，p）
(3) 泊松分布
以取值点为临界点讨论 ⑷离散型求分布函数的原则：
区间左开右闭
2、分布函数的性质：
3、概率密度的性质： f (x) x
均匀分布： X ～ U [a, b]
几种常用的分布 指数分布： 正态分布： 30 13 e1
0.30
13
e1
0.45
3! 43 e4
0.25
53
e5
3!
3!
P(
A
B)
P(
A)
P(B)
P(
AB)
一般情况
AB
利用事件独立 pA B 1 p A B 1 p AB
化事件的积
P(AB) PP((AA))PP((BB|)A)
一般情况 A,B相互独立
例1、
0.6
例2、 0.3
例3、
例4 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级 射手分别为2、6、9、3名．又若选一、二、三、 四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概 率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选 一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标 的概率．
概率试题
一、填空题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．已知P A 0.2, PB 0.1, P A B 0.2, 求
PA B
2．设随机事件A、B相互独立,已知A发生且B不发生的
概率与B发生且A不发生的概率相等，均为0.25,则P(A)。
3．设随机变量 X ~ N(2, 2),且 P{2 X 4} 0.3,
随机变量函数的分布：（1）分布函数法 （2）公式法（注意使用条件）
例1
设随机变量 X 服从参数为λ的Poisson分布，且已知
PX 1 PX 2
试求 PX 4．
解： 随机变量 X 的分布律为
PX k k e k 0， 1， 2，
k!
由已知 PX 1 PX 2
得
1 e 2 e
4
4
(C) Pmax(X ,Y ) 0 1 (D) Pmin(X ,Y ) 0 1
4
4
9．设随机事件X、Y 的分布函数为 F(x, y), FX (x), FY ( y)
则PX a,Y b _____
(A) F(a,b) (B) 1 F(a,b)
(C)
1 FX (a)1 FY (b)
(D)
1
F X
(a)
FY
(b)
F
(a,
b)
10．设 X1, X2,
,
X
是来自总体
25
N
(,
2
)
的样本,其中
两个参数都未知，对于参数μ的置信度为1-α的置信
区间，如果增加α，则区间长度会（）
概率论的基本概念
事件及关系和运算 概率的定义和性质
样本空间，事件的定义
事件之间的关系（和、积、差、 互不相容、对立）
解：设 B 该小组在比赛中射中目 标
Ai 选i级射手参加比赛 i 1， 2， 3 4
由全概率公式，有
例4 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级 射手分别为2、6、9、3名．又若选一、二、三、 四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概 率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选 一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标 的概率．
P{X 0} ______.
4．已知 X ~ b(4,0.5), Y ~ (1), 且XY 0.25 求
D(3X 4Y ) _______.
5．设 X1, X2, , X n1与Y1,Y2, ,Yn2 分别是来自总体
N(1, 2 )与 N(2, 2)的样本,并且两个样本是独立的,记
X
1!
2!
2 2 0
2．
另一个解 0不合题意，舍去
所以，
PX 4 2 4 e2 2 e2
4!
3
0.09022
例2
设一个人在一年内的感冒次数服从参数 5的
Poisson分布，现有一种预防感冒的药，它对
30%的人来讲，可将上述参数 降为 （1 疗效 显著）；对另45%的人来讲，可将参数 降为 （4 疗效一般）；而对其余25%的人来讲，则
是无效的．现某人服用此药一年，在这一年中， 他得了3次感冒，试求此药对他“疗效显著”的 概率．
例 2（续）
解：设 B={ 此人在一年中得3次感冒 }
A1 该药疗效显著 A2 该药疗效一般
A3 该药无效 则由Bayes公式，得
PA1
B
P A1 PB
A1
P A1 PB PA2 PB
A1 A2
运算律：交换，结合，分配， 德*摩根律
统计定义：频率稳定值 定义
公理化定义：三条
性质：可加性、单调性、和的概率
等可能概型：
条件概率：
概 率
乘法公式：
的
计
算
全概率公式：
注意排列组合要一致！
贝叶斯公式：
独立性： 利用独立性计算和事件的概率
化事件的和
P(
A
B)
P(A B) P(A) P(B)
1 n1
n1 i1
Xi, Y
1 n2
n2
Yi , S12
i1
1 n1 n1 1 i1
Xi X
2
S22
1 n2 1
n2 i1
Yi Y
2
,
Sw2
(n1
1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
则统计量
S2
n1
n2
2
2
Sw2
~
____________ .
6．设随机变量X的概率密度为f(x),则随机变量 Y=2X-1 的概率密度为_______
4
PB
P
n1
An
P B An
2 0.85 6 0.64 9 0.45 3 0.32
20
20
20
20
0.5275
例5、假设有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球2个红球，乙 袋中有2个白球3个红球，今从甲中任意取一只放入乙中， 再从乙中任取一球，问取到白球的概率为多少？
例6、假设有甲、乙两袋，甲袋中有3个红球2个白球，乙 袋中有4个红球1个白球，从两袋中任取一袋（等可能）， 再从选中的一袋中取球， （1）第一次取到红球的概率为多少？ （2）连取两次，已知第一次取红球，求第二次也取出