2.2.1直线的参数方程
2.2.1平面向量基本定理概述.
张喜林制2.2.1 平面向量基本定理考点知识清单1．平面向量基本定理如果21e e 、是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数,21a a 、使不共线的向量21e e 、叫做表示这一平面内所有向量的一组 记为 . 叫做向量a 关于基底,{1e }2e 的分解式． 2．直线l 的向量参数方程式A 、B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点，则对于l 上任意一点P ，存在实数t ，使=OP 3．线段中点的向量表达式A 、B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点，M 是线段AB 的中点，则=要点核心解读1．平面向量基本定理平面向量基本定理如果1e 和2e 是同一平面内的两个不平行的向量，那么对该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数,,21a a 使⋅+=2211e a e a a我们把不共线向量21e e 、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为221121},{e a e a e e +⋅叫做向量a 关于基底,{1e }2e 的分解式．2．直线l 的向量参数方程式及线段的中点的向量表达式已知A 、B 是直线L 上任意两点，O 是l 外一点（如图2 -2 -1-1所示），求证：对直线L 上任一点P ，存在实数t ，使关于基底},{的分解式为（﹡）并且，满足（﹡）式的点P 一定在L 上．(1)证明如下：证明：设点P 在直线L 上，则由平行向量基本定理知，存在实数t ，使).(t t -==所以AP OA OP +=t t -+=.)1(OB t OA t +-=设点P 满足等式,)1(t t +-=则=-),t -得到,t =即P 在L 上． (2)由上面证明可知，对直线L 上任意一点P ，一定存在唯一的实数t 满足向量等式（﹡）；反之，对每一个数值t ，在直线L 上都有唯一的一个点P 与之对应，向量等式（﹡）叫做直线L 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数．(3)在（﹡）中，令,21=t 点M 是AB 的中点，则这是线段AB 的中点的向量表达式，典例分类抛析考点1概念辨析问题[例2] 如图2-2-1-2，设O 是平行四边形ABCD 两对角的交点，下列向量组：;与①;与②;与③,与④其中可作为这个平行四边形所在平面内表示它的所有向量的基底的是( )．①②.A ①③.B ①④.C ③④.D[试解] （做后再看答案，发挥母题功能） [解析] 与①不共线，与②,//,-=共线， DC CA 与③不共线．OB OD OB OD OB OD 与④,//,-=共线，由平面向量基底的概念知①③可构成平面内所有向量的基底 [答案] B[点拨] 关键是看向量组中向量是否共线．1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（其中i ，j 是不共线的一组向量）( )．;75,221j i e j i e +=+-=① ;10,5321j e j i e +=+=α② ⋅-=-=j i e j i e 4321,3221③ .A ① .B ①③ .C ②③ .D ①②③考点2 向量的基底表示问题[例2] 在平行四边形ABCD 中，设,,b BD a AC ==试用a 、b 表示. [解析] 可以用转化法，也可用方程的思想求解， 解法一：设相交于点0，则有,2121,21b a ==== ∴ ,2121b a -=-=+=.2121b a BO OC OC BO BC +=+=+=解法二：设,,y x ==则有⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,,AC BC AB 且,y ==即⎩⎨⎧=-=+,,b x y a y x ),(21),(21b a x b a y -=+=∴ 即 .2121,2121b a b a +=-=[点拨] 本题事实上是平面向量基本定理的应用，由于.BD AC 、不共线．所以平面内的所有向量都可以用它们表示．以上两种解法，思想方法有所不同，解法一通过观察图形，直接寻求向量之间的关系；解法二则采用了方程思想，即直接用BC AB 、表示a 、b ，然后将BC AB 、看做是未知量，利用方程思想，解得、,BC 为使问题表达简单，采用了代换⋅==y BC x AB 、2．(1)如图2-2 -1 -3，已知梯形ABCD 中，//AB N M CD CD 、且,2AB .=分别是DC 、AB 的中点，设,,b a ==试以b a 、为基底表示.、、(2)设M 、N 、P 是△ABC 三边上的点，它们使,31,31,31BM ===若==a , ,b 试用a ，b 将表示出来．考点3 直线的向量参数方程应用[例3] 如图2 -2 -1-4，设一直线上三点A 、B 、P 满足O ),1(-=/=λλ是平面上任一点，则( )．λλ++=10.A λλ-+=10.B λλ+-=1.C λλ--=10.D[试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能）[解析] 本题可直接运用直线l 的向量参数方程式判断，由直线的向量参数方程式，若P 在直线AB 上（或P 、A 、B 共线），则一定存在实数t ，使得,)1(OB t OA t OP +-=注意（1-,1)=+t t 本题也可直接利用向量减法的几何意义，构造向量方程．从而解出.解法一：∵ A 、B 、P 三点共线,∴ 一定存在实数t ，使得=,)1(t t +-而t 满足,1)1(=+-t t 选项中只有++λ11:A 1111=++=+λλλλ符合， 解法二：由,λ=得),.(-=-λ⋅-=/++=∴)1(10λλλOBA[答案] A[点拨] 本题实质上是直线向量参数方程的变式．3．设OB OA 、不共线， P 点在AB 上，求证：OB OA OP μλ+=且⋅∈=+),(1R μλμλ 考点4证明几何问题[例4] 平面内有一个△ABC 和一点o(如图2-2 -1-5)，线段OA 、OB 、OC 的中点分别为E 、F 、G ，BC 、CA 、AB 的中点分别为L 、M 、N ，设.,,c b a ===(1)试用a 、b 、c 表示向量;、⋅(2)证明线段GN FM EL 、、交于-点且互相平分．[解析] (1)结合图形，利用向量的加、减法容易表示出向量.GN FM EL 、(2)要证三条线段交于一点且互相平分，可考虑证明P 点到三条线段中点的向量相等．(1)如图2-2 -1-5．),(21,21c b a +==⋅-+=-=∴)(21a cb 同理⋅-+=-+=)(21),(21c b a b c a FM(2)证明：设线段EL 的中点为,1P 则).(41)0(211C b a L OE OP ++=+=设FM 、GN 的中点分别为,P 32、P 同理可求得).(41),(4132C b a OP C b a OP ++=++=,321OP OP OP ==∴即GN FM EL 、、交于一点，且互相平分． [点拨] 用向量法证明三线相交于一点且互相平分常用的方法是：在平面上找一点，证明这点到三条线段中点的向量相等，找点时，要考虑运算的简便性．4．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。
数学人教B版教材目录(必修选修)
数学人教B版教材目录（必修选修）人教B版-----------------------------------必修1-----------------------------------第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系1.2.2集合的运算第二章函数2.1函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数的图形（选学）2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象2.2.2二次函数的性质与图象2.2.3待定系数法2.3函数的应用（Ⅰ）2.4函数与方程2.4.1函数的零点求函数零点2.4.2近似解的一种方法----二分法第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（Ⅱ）-----------------------------------必修2-----------------------------------第一章立体几何初步1．1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱、棱锥、棱台的结构特征1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1．2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系1.2.3空间中的垂直关系第二章平面解析几何初步2．1平面真角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式2．2直线方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的几种形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2．3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2．4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点的距离公式-----------------------------------必修3-----------------------------------第一章算法初步1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示1．2基本算法语句1.2.1赋值、输入、输出语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1．3中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1随机抽样2.1.1简单随机抽样2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.1.4数据的收集2．2用样本估计总体2.2.1用样本的频率估计总体的分布2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2．3变量的相关性2.3.1变量间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关第三章概率3．1随机现象3.1.1随机事件3.1.2时间与基本事件空间3.1.3频率与概率3.1.4概率的加法公式3．2古典概型3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式（选学）3．3随机数的含义与应用3.3.1几何概型3.3.2随机数的含义与应用3．4概率的应用-----------------------------------必修4-----------------------------------第一章基本初等函(Ⅱ)1．1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念推广1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算1．2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义1.2.2单位圆与三角函数线1.2.3同角三角函数的基本关系1.2.4诱导公式1．3三角函数的图像与性质1.3.1正弦函数的图象与性质1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3已知三角函数值求角第二章平面向量2．1向量的线性运算2.1.1向量的概念2.1.2向量的加法2.1.3向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5向量共线的条件与向量坐标运算2．2向量的分解与向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3用平面向量坐标表示向量共线的条件2．3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式2．4向量的应用2.4.1向量在集合中的应用2.4.2向量在物理中的应用第三章三角恒等变换3．1和角公式3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3．2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式3.2.2半角的正弦、余弦和正切3．3三角函数的积化和差与和差化积-----------------------------------必修5-----------------------------------第一章解直角三角形1．1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1．2应用举例第二章数列2．1数列2.1.1数列2.1.2数列的递推公式（选学）2．2等差数列2.2.1等差数列2.2.2等差数列的前n项和2．3等比数列2.3.1等比数列2.3.2等比数列的前n项和第三章不等式3．1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质3．2均值不等式3．3一元二次不等式及其解法3．4不等式的实际应用3．5二元一次不等式（组）与简单线性规划问题3.5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2简单线性规划-----------------------------------选修1-1-----------------------------------第一章常用逻辑用语1．1命题与量词1．2基本逻辑联结词1．3充分条件、必要条件与命题的.第二章圆锥曲线与方程2．1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程2.1.2椭圆的几何性质2．2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程2.2.2双曲线的几何性质2．3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程2.3.2抛物线的几何性质第三章导数及其应用3．1导数3.1.1函数的平均变化率3.1.2瞬时速度与导数3.1.3导数的几何含义3．2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表3.2.3导数的四则运算法则3．3导数的应用3.3.1利用导数判断函数的单调性3.3.2利用导数研究函数的极值3.3.3导数的实际应用-----------------------------------选修1-2-----------------------------------第一章统计案例1.1独立性检验1.2回归分析第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的引入3.1.1实数系3.1.2复数的引入3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法与除法第四章框图,4.1流程图4.2结构图-----------------------------------选修2-1-----------------------------------第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.2基本逻辑联结词1.3充分条件、必要条件与命题的.第二章锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程的概念2.1.2由曲线求它的方程，由方程研究曲线的性质2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算3.1.2空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离-----------------------------------选修2-2-----------------------------------第一章导数及其应用1.1导数1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数1.1.3导数的几何意义1.2导数的运算1.2.1常用函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用1.2.3导数的四则运算法则1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性1.3.2利用导数研究函数的极值1.3.3导数的实际应用1.4定积分与微积分基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分1.4.2微积分基本定理第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1实数系3.1.2复数的概念3.1.3复数的几何意义3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法-----------------------------------选修2-3-----------------------------------第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3.1二项式定理1.3.2杨辉三角第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与事件的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数学特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析-----------------------------------选修4-1-----------------------------------第一章相似三角形定理与圆幂定理1.1相似三角形1.1.1相似三角形判定定理1.1.2相似三角形的性质1.1.3平行切割定理1.1.4锐角三角函数与射影定理1.2圆周角与弦切角1.2.1圆的切线1.2.2圆周角定理1.2.3弦切角定理1.3圆幂定理与圆内接四边形1.3.1圆幂定理1.3.2圆内接四边形的性质与判定第二章圆锥、圆锥与圆锥曲线2.1平行投影与圆柱面的平面截线2.1.1平行投影的性质2.1.2圆柱面的平面截线2.2用内切球探索圆锥曲线的性质2.2.1球的切线与切平面2.2.2圆柱面的内切球与圆柱面的平面截线2.2.3圆锥面及其内切球2.2.4圆锥曲线的统一定义-----------------------------------选修4-2-----------------------------------第一章二阶矩阵与平面图形的变换1.1二阶矩阵1.2二阶矩阵与平面向量的乘法1.2.1二阶矩阵与平面向量的乘法1.2.2矩阵变换1.2.3几类特殊的矩阵变换1.3二阶方阵的乘法1.3.1二阶方阵的乘法1.3.2矩阵乘法的运算律第二章逆矩阵及其应用2.1逆矩阵2.1.1逆矩阵的定义2.1.2逆矩阵的性质2.1.3用二阶行列式求逆矩阵2.2二元一次方程组的矩阵解法2.2.1二元一次方程组解的含义2.2.2二元一次方程组的矩阵解法2.2.3解的存在性与唯一性第三章变换的不变量3.1平面变换的不变量3.1.1特征值与特征向量3.1.2特征值与特征向量的求法3.1.3特征值的不变性n3.2A?的简单表示-----------------------------------选修4-4-----------------------------------第一章坐标系1.1直角坐标系，平面上的伸缩变换1.1.1直角坐标系1.1.2平面的伸缩变换1.2极坐标系1.2.1平面上点的极坐标1.2.2极坐标与直角坐标的关系1.3曲线的极坐标方程1.4圆的极坐标方程1.4.1圆心在极轴上且过极点的圆a,?1.4.2圆心在点?2?处且过极点的圆1.5柱坐标系和球坐标系1.5.1柱坐标系1.5.2球坐标系第二章参数方程2.1曲线的参数方程2.1.1抛射体的运动2.1.2曲线的参数方程2.2直线和圆的参数方程2.2.1直线的参数方程2.2.2圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程2.3.1椭圆的参数方程2.3.2抛物线的参数方程2.3.3双曲线的参数方程2.4一些常见曲线的参数方程2.4.1摆线的参数方程2.4.2圆的渐开线的参数方程-----------------------------------选修4-5-----------------------------------第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.1.1不等式的基本性质1.1.2一元一次不等式和一元二次不等式的解法1.2基本不等式1.3绝对值不等式的解法1.3.1，a某?b，≤c,，a某?b，≥c型不等式的解法1.3.2，某?a，+，某?b，≤c,，某?a，+，某?b，≥c型不等式的解法1.4绝对值的三角不等式1.5不等式证明的基本方法1.5.1比较法1.5.2综合法和分析法1.5.3反证法和放缩法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.1柯西不等式2.1.1平面上的柯西不等式的代数和向量形式2.1.2柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明2.2排序不等式2.3平均值不等式（选学）2.4最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法原理3.1.1数学归纳法原理3.1.2数学归纳法应用举例3.2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式3.2.1用数学归纳法证明不等式3.2.2用数学归纳法证明内努利不等式。
2.2.1直线的参数方程
②号。当
当
o 时，M为内分点； o且 1时，M为外分点；
y PM l
所求直线的参数方程为：
O
x
t
x= y=
x y
0 0
+tcos +tsin
(t为参数)
M(x,y)是直线上的任意一点.其中参数t的几何意义是 丛点P到M的位移,可以用有向线段PM的数量表示。
⑵如果已知直线L经过两个定点Q(x1,y1),P(x2,y2)的
直线的参数方程为：
设直线上的任意一点M(x,y)
设直线上的任意一点M(x,y) PM=t
y PM l
Q
所求直线的参数方程为：
O
x
t
x=2+tcos300
y=
3+tsin
30
0
(t为参数)
M(x,y)是直线上的任意一点.其中参数t的几何意义是 丛点P到M的位移,可以用有向线段PM=t的数量表示。
3、教师引导学生推导直线的参数方程：
⑵如果已知直线L经过两个定点Q(1，1),P(4，3),
( 2 ) 如 何 用 e 和 M 0 的 坐 标 表 示 直 线 上 任 意 一 点 M 的 坐 标 ？
(1) e(co,ssin )
( 2 )M 0 M ( x ,y ) ( x 0 ,y 0 ) ( x x 0 ,y y 0 ) 又M0M//e 存在惟 t 一 R， 实 使 数 M 0 得 Mte
那么又如何描述直线L上任意点的位置呢？
设直线上uur的任意一点M(x,y
，
MP
所求直线的参数方程为：
y Q MP
l
N
AB
O
x
x=
1+4λ 1+λ
三维空间中直线的方程式
三维空间中直线的方程式在三维空间中，直线的方程可以用参数方程和一般方程两种形式表示。
参数方程是将直线上的每一个点都表示为一个参数所确定的向量，而一般方程则是通过直线上两个点的坐标来表示的。
1.参数方程：直线的参数方程可以表示为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中(x0,y0,z0)为直线上的已知点，而(a,b,c)为直线的方向向量，t为参数。
2.一般方程：首先，我们需要确定直线的方向向量。
假设直线上的两个点分别为P(x1,y1,z1)和Q(x2,y2,z2)，则直线的方向向量可以表示为V=PQ=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)。
然后，我们可以通过点P的坐标和方向向量V来推导直线的一般方程。
2.1.点向式：直线的一般方程可以表示为：(x-x1)/a=(y-y1)/b=(z-z1)/c其中(a,b,c)为方向向量V的分量。
2.2.对称式：直线的一般方程也可以表示为：(x-x1)/a=(y-y1)/b=(z-z1)/c=t这里的t为参数。
2.3.常法式：直线的一般方程还可以表示为：Ax+By+Cz+D=0其中A,B,C为方向向量V的分量，而D为常数。
对于两个不平行的直线，我们可以通过将它们的方向向量进行叉乘来求得它们的交点。
除了参数方程和一般方程，还有其他表示直线的方法，比如点法式、斜截式等。
这些方法都根据直线上已知点和方向向量的不同形式而有所不同。
需要注意的是，在使用直线的方程时，我们需要根据实际情况选择最适合的表达形式。
有时候参数方程更方便，可以直接通过改变参数t来表示直线上的任意一点；而一般方程则适合于求直线与其他平面或直线的交点等问题。
【课堂设计】高二数学北师大版选修4-4课件2.2.1 直线的参数方程
为参数)
做一做3
经过点Q(1,2),P(3,7)的直线的参数方程为( )
A.
������ = ������
2+3������ , 1+������ 1+7������ (λ = 1+������
为参数,λ≠-1)
B.
������ = ������
1+3������ , 1+������ 2+7������ (λ = 1+������ 1−3������ , 1+������ 2−7������ (λ 1+������
1+3������ , 1+������ 2+7������ (λ 1+������
������������ ,则直线 ������������
为参数,λ≠-1).
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究一直线的参数方程与参数的几何意义
对于一般的参数方程 ,其中的参数可能不具有一定的几何意义 ,但是 直线参数方程中的参数有一定的几何意义.过定点 M0(x0,y0)、 倾斜角 ������ = ������0 + ������cos������, 为 α 的直线 l 的参数方程都可以写成 ������ = ������ + ������sin������ (t 为参数),其 0 中直线上的动点 M(x,y)到定点 M0 的距离等于参数 t 的绝对值.当点 M 在点 M0 的上方时,t>0;当点 M 在点 M0 的下方时,t<0;当点 M 与点 M0 重合时,t=0.很多与线段长度有关的问题,我们可以考虑应用直线 参数方程中 t 的几何意义去求解.
§2
直线和圆锥曲线的参数方程
3 3 4 倾斜角为 α，则 tan α＝4，sin α＝5，cos α＝5.又点 P(1，1)在直线 4 x＝1＋5t， l 上，所以直线 l 的参数方程为 (t 为参数). 3 y＝1＋ t 5 因为 3×5－4×4＋1＝0，所以点 M 在直线 l 上. 4 由 1＋5t＝5，得 t＝5，即点 P 到点 M 的距离为 5. 因为点 N 不在直线 l 上，故根据两点之间的距离公式，可得|PN| ＝ （1＋2）2＋（1－6）2＝ 34.
QM → 动点 M 分有向线段QP的数量比 MP
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2.圆的参数方程 (1)圆心在原点、 半径为 r 为参数).
x＝rcos α， y＝rsin α 的圆的参数方程_____________( α
OP与x轴正方向的夹角 参数 α 的几何意义是_________________________.
x＝t， 得到参数方程 y＝2t＋1
t (t 为参数)；如果令 x＝2，可得到
t x＝ ， 参数方程 2 (t 为参数) y＝t＋1
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这样的参数方程中的 t 不具有一定的几何意义，但是在 实际应用中有时能够简化某些运算.例如，动点 M 做匀 速直线运动，它在 x 轴和 y 轴方向的分速度分别为 9 和 12，点 M 从 A 点(1，1)开始运动，求点 M 的轨迹的参数 方程.点 M (t 为参数).
【思维导图】
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【知能要点】
1.直线的参数方程.
2.直线的参数方程的应用.
3.圆的参数方程及应用.
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高中数学《参数方程-直线的参数方程》课件
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2.1
直线的参数方程
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首 页
课程目标
1.掌握直线参数方程的标准形
式,理解参数 t 的几何意义.
2.能依据直线的几何性质,写出
它的两种形式的参数方程,体会
参数的几何意义.
3.能利用直线的参数方程解决
简单的实际问题.
学习脉络
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
3π
4
3π
= -1 + cos ,
4
3π (t
= 2 + sin
4
解:因为 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ,
所以它的参数方程是
即
2
t,
2
(t
2
+ t
2
= -1=2
为参数).
为参数).①
把①代入抛物线方程,得 t2+ 2t-2=0.
解得 t1=
- 2+ 10
- 2- 10
,t2=
5
= 1 + t,
=
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上.
4
5
由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
因为 3×(-2)-4×6+1≠0,所以点 N 不在直线 l 上.
由两点间距离公式得|PN|= (1 + 2)2 + (1-6)2 = 34.
π
6
即 α= 或
5π
3
时,|PA||PB|最小,其最小值为
1
6
2 1+4
6
2.2.1直线的参数方程
直线参数方程的应用学习目标：1． 掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2． 熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化；3． 利用直线的参数方程求线段的长，求距离与中点有关等问题； 教学重点1．分析直线的几何条件，选择恰当的参数写出直线的参数方程； 2．直线的参数方程中参数t 的几何意义． 教学难点1．直线的参数方程中参数t 的几何意义；2．直线参数方程中参数t 的几何意义的初步应用． 课前检测：1.直线的参数方程：过点()000,y x M ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为 。
2.参数的几何意义：直线的参数方程中参数t 的几何意义是： 。
3.设直线l 经过点()5,10M ，倾斜角为（1）求直线l 的参数方程；（2）求直线l 和直线 的交点与点0M 的距离。
例题讲解：例1：已知直线l 经过点()1,1P ，倾斜角为6πα=（1）写出直线l 的参数方程（2）设l 与圆422=+y x 相交于B A ,两点，求点P 到B A ,两点的距离之积；（3）求直线l 被圆422=+y x 所截得的弦长例题小结：数轴上任意两点1x ，2x之间的距离是12x x -点间的距离刚好等于A ，B两点对应的参数之差的绝对值12AB t t =-=练习：已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若曲线C 1和C 2相交于A ，B 两点，求|AB|.例2：在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=22226，现以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐表系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 6=.（1）求直线l 和曲线C 的普通方程；（2）求过点()0,1-M 且与直线l 平行的直线1l 交曲线C 交于B A ,两点，求||AB 及|||M |MB A +.例3．已知直线l 过点(1,2)M -，斜率为1-，且与抛物线2y x =交于A ，B 两点．求线段AB 中点Q 的坐标．练习：经过点(2,1)M 作直线l ，交椭圆22+1164x y =于A ，B 两点．如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程．方法总结：利用直线l 的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数），给研究直线与圆锥曲线C ：F(y x ,)=0的位置关系提供了简便的方法.一般地，把l 的参数方程代入圆锥曲线C ：F(y x ,)=0后，可得一个关于t 的一元二次方程，)(t f =0,1、(1)当Δ<0时，l 与C 相离；(2) 当Δ＝0时，l 与C 相切；(3) 当Δ>0时，l 与C 相交有两个交点；2、 当Δ>0时，方程)(t f =0的两个根分别记为t 1、t 2，把t 1、t 2分别代入l 的参数方程即可求的l 与C 的两个交点A 和B 的坐标.3、 定点P 0(00,y x )是弦AB 中点⇔ t 1+t 2=04、 l 被C 截得的弦AB 的长|AB|＝|t 1－t 2|；|P 0A|·|P 0B|= |t 1·t 2|；弦AB 中点M 点对应的参数为221t t +；| P 0M |=221t t +基础知识测试： 1.直线⎩⎨⎧+-=+=t21y t x (t 为参数)与椭圆8222=+y x 交于A 、B 两点，则|AB|等于( )A 22 B334 C 2 D 362.直线⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）与二次曲线A 、B 两点，则|AB|等于( )A |t 1+t 2|B |t 1|＋|t 2|C |t 1－t 2| D221t t +3.直线⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=t211212y t x (t 为参数)与圆122=+y x 有两个交点A 、B ，若P 点的坐 标为(2,-1),则|PA|·|PB|=4.过点P(6, 27)的直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t2726y tx (t 为参数)与抛物线y 2=2x 相交于A 、B 两点， 则点P 到A,B 距离之积为 .5.已知直线l 过点P （2，0），斜率为34，直线l 和抛物线x y 22=相交于A 、B 两点，设线段AB 的中点为M,求：(1)P 、M 两点间的距离|PM|；(2)M 点的坐标； (3)线段AB 的长|AB|x。
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泰来县第三中学 张胜男
[学习目标] 1、掌握直线参数方程的标准形式，明确参数的几何意义 (重点)． 2、能运用直线的参数方程解决某些相关的应用问题(重 点、难点)．
[知识提炼·梳理]
1．直线的参数方程
经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线 l 的参数方程为
x＝x0＋tcos α， ___y_＝_y_0_＋__ts_in__α___ (t 为参数)．
5 .
故直线被圆截得的弦长为125
5 .
(2018 年全国二 22) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程
为
x y
2 c os 4 s in
,
(为参数），直线
l
的参数方程为
x
y
1 t cos 2 t sin
,
(t为参数）
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；
（2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为（1，2），求 l 的斜率。
(1)求弦BC的长； (2)当A恰为BC的中点时，求直线BC的方程； (3)当|BC|＝8时，求直线BC的方程； (4)当α变化时，求动弦BC的中点M的轨迹方程.
1．经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方 程一般写为xy＝＝yx00＋＋ttscionsαα，(t 是参数)．
其中参数 t 具有明确的意义，在解题中注意应用． 2．直线的参数方程的形式有多种，其中参数 t 不都 具有明确的几何意义．
3
3
＝35，sin α＝45，
x＝2＋35t， ∴直线 l 的参数方程的标准形式为 y＝4t
5
(t 为参数)．(*)
∵直线 l 和抛物线相交，
∴将直线 l 的参数方程(*)代入抛物线方程 y2＝2x 中，
整理得 8t2－15t－50＝0，Δ＝152＋4×8×50>0.
设这个一元二次方程的两个根为 t1，t2，
x＝2＋4t， (1)y＝－1＋3t； (t 为参数)
x＝12＋ 22t，
(2)
y＝
23＋
2 2 t.
(t 为参数)
解析：(1)xy＝＝－2＋1＋4t，3t 不是直线参数方程的标准形式，参数方程即xy＝＝－2＋1＋45535t5，t. 令 t′＝5t， 得到标准形式的参数方程为xy＝＝－2＋1＋45t′35t′， (t′为参数)．
由根与系数的关系得 t1＋t2＝185，t1t2＝－245.
由 M 为线段 AB 的中点，根据 t 的几何意义，得
| | |PM|＝
t1＋t2 2
＝1156.
(2)|AB|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2＝58 73.
深度探究
1．下列参数方程中，哪些是直线的参数方程的标准形式？若是，求出直线经过的定点 坐标和倾斜角，若不是，转化为标准形式.
例题、如图所示，已知直线 l 过点 P(2，0)，斜率为4的直线 l 3
和抛物线 y2＝2x 相交于 A，B 两点，设线段 AB 的中点为 M， 求： (1)P，M 间的距离|PM|； (2)线段 AB 的长|AB|.
[解析] ∵直线 l 过点 P(2,0)，斜率为4，设直线 l 的倾斜角为α，则 tan α＝4，cos α
a2＋b2·t)．
已知直线的参数方程为
x＝1＋2t， y＝2＋t
(t 为参数)，
则该直线被圆 x2＋y2＝9 截得的弦长是多少？
【自主解答】
将参数方程
x＝1＋2t， y＝2＋t
(t为参数)转化为直线参数方程的
标准形式为
x＝1＋
2 5
t′，
y＝2＋
1 5
t′
(t′为参数)，
代入圆方程x2＋y2＝9，
得1＋
2 5
t′2＋2＋
1 5
t′2＝9，
整理，有 5t′2＋8t′－4 5＝0.
由 82 4 5 (4 5) 0 可知，设方程的两个根为 t1, t2
由根与系数的关系，t′1＋t′2＝－ 85，
t′1·t′2＝－4.
根据参数 t′的几何意义．
|t′1－t2′|＝
t′1＋t′22－4t′1t′2＝125
x＝1＋ 2t， 22
(2) y＝
3＋
2t
22
是直线参数方程的标准形式，
其中，起点坐标为
1， 2
3 2
，cos
α＝
22，sin
α＝
2， 2
倾斜角α＝π4.
归纳升华
把直线的参数方程
x＝x0＋at， y＝y0＋bt (t
为参数，a，b
为常
数且 a2 b2 1)化为标准形式：
x＝x0＋ a2a＋b2t′， y＝y0＋ a2b＋b2t′ ( 其 中 t′ 是 参 数 ， 且 t′ ＝
2．参数 t 的几何意义
t 表示直线 l 上以定点 M0 为起点，任意一点 M(x，y)为终点 的有向线段M→0M的长度，即|t|＝|M→0M|. ①当 t＞0 时，M→0M的方向向上；②当 t＜0 时，M→0M的方向 向下；③当 t＝0 时，点 M 与点 M0 重合.
x＝1－12t， 例 1．以 t 为参数的方程 y＝－2＋ 23t 表示( ) A．过点(1，－2)且倾斜角为π的直线
3 B．过点(－1,2)且倾斜角为π的直线
3 C．过点(1，－2)且倾斜角为23π的直线 D．过点(－1,2)且倾斜角为23π的直线
归纳升华
在直线参数方程的标准形式下，根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何 意义，有如下常用结论：
(1)直线上两点之间的距离可用 M1M2 |t1－t2|． (2)设弦 M1M2 中点为 M，则点 M 对应的参数值 tM＝t1＋2 t2(由此可求|M1M2| 及中点坐标) (3)定点 M0 是弦 M1M2 的中点⇒t1＋t2＝0；
因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点（1，2）在 C 内，所以①有两个解，设
为 t1, t2 ，则 t1 t2 0 。又由①得：
t1
t2
4(2 cos sin ) 1 3cos2
，故
2cos
sin
0
，
于是直线 l 的斜率 k tan 2
经过点 A－3，－32，倾斜角为 α 的直线 l 与圆 x2＋y2＝25 相 交于 B、C 两点.
【解析】
（1）曲线 C 的直角坐标方程为
xห้องสมุดไป่ตู้ 4
y2 16
1。
当 cos 0 时， l 的直角坐标方程为 y tan x 2 tan ，
当 cos 0 时， l 的直角坐标方程为 x 1
（2）将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得
(1 3cos2 )t 2 4(2 cos sin )t 8 0 ①