直线的参数方程及其应用举例

直线的参数方程及其应 用举例
1986UT
Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-
直线的参数方程及应用
问题 1：（直线由点和方向确定）
求经过点 P0( x0 , y0 )，倾斜角为 的直线 l 的参数方程.
设点 P( x , y )是直线 l 上任意一点，（规定向上的
P( x , y )的有向线段的数量，且|P0P|＝|t|
① 当 t>0 时，点 P 在点 P0 的上方； ② 当 t＝0 时，点 P 与点 P0 重合； ③ 当 t<0 时，点 P 在点 P0 的下方；
特别地，若直线
l
的倾斜角
＝0
时，直线
l
的参数方程为 y
x
y
x0 y0
t
④ 当 t>0 时，点 P 在点 P0 的右侧； ⑤ 当 t＝0 时，点 P 与点 P0 重合；
(1) (2)
(1)、(2)两式平方相加,得 (x 1)2 y 2 t 2
∣t∣＝ (x 1)2 y 2 ∣t∣是定点 M0（1，0）到 t 对应的点 M( x , y )的有向
线段 M0M 的长.
点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.
例
2：化直线
l2
的参数方程
x 3
总结：
1、直线参数方程的标准式
(1)过点 P0( x0 , y0 )，倾斜角为 的直线 l 的参数方程是
x y
x0 y0
t cos t sin
（t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段 P0 P 的数量，
P( x , y )
P0P=t ∣P0P∣=t
为直线上任意一点.
(2)若 P1、P2 是直线上两点，所对应的参数分别为 t1、t2，
1 =－
3
3 3
设倾斜角为 ，tg =－ 3 , = 5 , cos =－ 3 , sin = 1
3
6
2
2
l1
的参数方程为
x
1 y1
2
3 2 t
t
（t 为参数）
t 是直线 l1 上定点 M0（1，0）到 t 对应的点 M( x , y )的有向线段 M0M 的数量.
由
x
1
y
1 2
t
3t 2
0 h
问题 3：P1、P2 为直线 l 上两点所对应的参数分别为 t1、t2 ，
则 P1P2＝，∣P1P2∣=
P1P2＝P1P0＋P0P2＝－t1＋t2＝t2－t1，∣P1P2∣=∣ t2－t1∣
问题 4：若 P0 为直线 l 上两点 P1、P2 的中点，P1、P2 所对应的
参数分别为 t1、t2 ，则 t1、t2 之间有何关系 根据直线 l 参数方程 t 的几何意义， P1P＝t1，P2P＝t2，∵P0 为直线 l 上两点 P1、P2 的中点，∴|P1P|＝|P2P|
P1P＝－P2P，即 t1＝－t2, t1t2<0
y
l
P2
h
P0
h P1
x
一般地，若 P1、P2、P3 是直线 l 上的点，
0
所对应的参数分别为 t1、t2、t3，P3 为 P1、P2 的中点 h
则 t3＝ t1 t2 （∵P1P3＝－P2P3, 根据直线 l 参数方程 t 的几何意义，
2
∴P1P3= t3－t1, P2P3= t3－t2, ∴t3－t1=－(t3－t2,) ）
y
h
方向为直线 L 的正方向）过点 P 作 y 轴的平行线，过 P0 作 x 轴的平行线，两条直线相交于 Q 点.
P0 h
1)当 P0 P 与直线 l 同方向或 P0 和 P 重合时，
0
P0P＝|P0P|
则 P0Q＝P0Pcos Q P＝P0Psin h
l
P( x , y )
Q x
2P)0当P＝P－0 P|与P0直P|线Pl0反Q＝方P向0P时co，sP0PQ、PP＝0QP、0PQsinP同仍时成改立变符号yh
2
∣t∣是定点 M0（3，1）到 t 对应的点 M( x , y )的有向线段 M0M 的长的一半.
点拨：注意在例 1、例 2 中，参数 t 的几何意义是不同的，直线 l1 的参数方程
为
x
1 y1
2
3 2 t
t
即
x
y
1 t
t cos5 6
sin 5 6
是直线方程的标准形式，(-
3 )2+( 1 )2=1, t 的几何
y
1
t 3
t
（t
为参数）为普通方程，并求倾斜
角，
说明∣t∣的几何意义.
解：原方程组变形为
x3 y 1
t 3
t
(1) (2)
得 y 1 3(x 3) (点斜式)
普通方程为 3x y 3 3 1 0
(1)代入(2)消去参数 t， 可见 k= 3 , tg = 3 ,倾斜角 =
3
(1)、(2)两式平方相加,得 (x 3)2 ( y 1)2 4t 2 ∴∣t∣= (x 3)2 ( y 1)2
则 P1P2=t2－t1 ∣P1P2∣=∣t 2－t 1∣
(3) 若 P1、P2、P3 是直线上的点，所对应的参数分别为 t1、t2、t3
则 P1P2 中点 P3 的参数为 t3＝ t1 t2 ,∣P0P3∣= t1 t2
2
2
(4)若 P0 为 P1P2 的中点，则 t1＋t2＝0，t1·t2<0 2、直线参数方程的一般式
l P0
h
设 P0P＝t，t 为参数，
又∵P0Q＝ x x0 ， x x0 ＝tcos
Q P＝ y y0 ∴
y y0 =t sin
P( x , y )
Q
0
x
即
x
y
x0 y0
t t
cos s in
是所求的直线
l
的参数方程
h
∵P0P＝t，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线 l 上从已知点 P0( x0 , y0 )到点
过点
P0(
x0 ,
y0 )，斜率为
k
b a
的直线的参数方程是
x x0 at y y0 bt
（t 为参数）
例题：
1、参数方程与普，并说明参数的几何意
义,说明∣t∣的几何意义.
解：令 y=0,得 x ＝1，∴直线 l1 过定点(1,0). k＝－
h
l P0
h
P( x , y )
⑥ 当 t<0 时，点 P 在点 P0 的左侧；
0
x
问题 2：直线 l 上的点与对应的参数 t 是不是一 h 对应关系
y
l
我们把直线 l 看作是实数轴，
h
以直线 l 向上的方向为正方向，以定点 P0
P0 h
为原点，以原坐标系的单位长为单位长，
P
x
这样参数 t 便和这条实数轴上的点 P 建立了 一一对应关系.