直线的参数方程及其应用(不错哦,放心用)
直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用直线的参数方程及应用直线参数方程的标准式过点P(x,y)，倾斜角为α的直线l的参数方程是x = x + tcosαy = y + tsinα其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(x,y)为直线上的任意一点。
直线l上的点与对应的参数t是一一对应关系。
若P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、t2，则P1P2 = t2 - t1，|P1P2| = |t2 - t1|。
若P1、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t3，则P1P2中点P3的参数为t3 = (t1 + t2)/2，|PP3| = |(t1 + t2)/2|。
若P为P1P2的中点，则t1 + t2 = 0，t1·t2 < 0.直线参数方程的一般式过点P(xb,y)，斜率为k = a的直线的参数方程是x = x + aty = y + bt其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xb,y)为直线上的任意一点。
直线的参数方程给定点P(xl,y)，倾斜角为α，求经过该点的直线l的参数方程。
直线l的参数方程为x = x + tcosαy = y + tsinα其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xl,y)为直线上的任意一点。
特别地，若直线l的倾斜角α = 90°，直线l的参数方程为x = x + ty = y其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xl,y)为直线上的任意一点。
2、直线的参数方程与标准形式如果直线的方向已知，那么可以使用参数方程来表示直线。
对于倾斜角为 $\alpha$，过点 $M(x,y)$ 的直线 $l$，其参数方程一般式为：begin{cases}x=x_M+t\cos\alpha \\y=y_M+t\sin\alphaend{cases}其中 $t$ 是参数，表示从点 $M$ 沿着直线 $l$ 方向前进的距离。
如果要将参数方程转化为标准形式，可以通过以下步骤：1.消去参数 $t$，得到 $y-y_M=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(x-x_M)$。
直线的参数方程及应用word精品文档5页
直线的参数方程及应用一、直线的参数方程1.定义：若α为直线l 的倾斜角，则称(cos ,sin )e =rαα为直线l 的(一个)方向向量.2.求证：若,P Q 为直线l 上任意两点，(cos ,sin )e =rαα为l 的方向向量,则有//PQ e u u u r r .证明：3.设直线l 过点000(,)M x y 的倾斜角为α，求它的一个参数方程. 归纳小结二、弦长公式、线段中点参数值 例1 已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于,A B 两点，求线段AB 的长和点(1,2)M -到,A B 两点的距离之积.例2 经过点(2,1)M 作直线l ，交椭圆221164x y +=于,A B 两点.如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程.练习1.设直线l 经过点0(1,5)M ，倾斜角为π.（1）求直线l 的参数方程；（2）求直线l 和直线0x y --=的交点到点0M 的距离；（3）求直线l 和圆2216x y +=的两个交点到点0M 的距离的和与积.2.已知经过点(2,0)P ，斜率为43的直线l 和抛物线22y x =相交于,A B 两点，设线段AB 的中点为M .求点M 的坐标.3.经过点(2,1)M 作直线l 交双曲线221x y -=于,A B 两点，如果点M 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程.4.经过抛物线22(0)y px p =>外的一点(2,4)A --且倾斜角为45︒的直线l 与抛物线分别相交于12,M M .如果1||AM ，12||M M ，2||AM 成等比数列，求p 的值.5.已知曲线14cos ,:3sin .x t C y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数),曲线28cos ,:3sin .x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．（1）化1C 、2C 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线；（2）若1C 上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2.x t C y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）距离的最小值. 解：练习：1.直线l 的方程为12,2 3.x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），则l 上任一点到点(1,2)的距离是A .tB .||t C|t D|t2.直线sin 203,cos 20.x t y t =-+⎧⎨=⎩o o（t 为参数）的倾斜角是 A .20o B .70o C .110o D .160o 3.已知直线00cos ,sin .x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）上的点A 、B 所对应的参数分别为1t 、2t ，点P 分AB 所成的比为λ，则点所对应的参数是A .122t t + B .121t t λ++ C .121t t λλ++ D .211t t λλ++ 4.直线3490x y --=与圆2cos ,2sin .x y θθ=⎧⎨=⎩的位置关系是A .相交但直线不过圆心B .相交且直线过圆心C .相切D .相离5.下列参数方程都表示过点0(1,5)M ，斜率为2的直线，其中有一个方程的参数的绝对值表示动点M 和0M 的距离，这个参数方程是A .1,52.x t y t =+⎧⎨=+⎩ B.1,5.x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C.1,5x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩D .11,25.x t y t ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩6.直线3cos ,2sin .x a y a θθ=+⎧⎨=-+⎩（a 为参数）与直线2sin ,3cos .x b y b θθ=--⎧⎨=-⎩（b 是参数）的位置关系为 CA .关于y 轴对称B .关于原点对称C .关于直线y x =对称D .互相垂直 7.曲线C 的参数方程为2cos ,sin .x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，02θπ≤≤），则yx 的取值范围是A.[B.(,)-∞+∞U C.[D.(,)-∞+∞U 8. 参数方程2cos ,2sin .x y θθ=-⎧⎨=⎩（22ππθ-≤≤）所表示的曲线是 .9.直线2,3.x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）上到点(2,3)M -M 下方的点的坐标是 .10.点(1,5)-与两直线1,5x t y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t是参数）及0x y --=的交点的距离是 .11.两圆32cos ,42sin .x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ是参数）与3cos ,3sin .x y θθ=⎧⎨=⎩（θ是参数）的位置关系是 .12.已知直线l 经过点(1,0)P ，倾斜角为6πα=.（1）写出直线l 的参数方程；（2）设直线l 与椭圆2244x y +=相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积. B.化一般参数方程00,.x x at y y bt =+⎧⎨=+⎩为标准参数方程【巩固与应用】例 将下列直线的一般参数方程化成标准参数方程形式:(1) 42,3.x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数) (2)4,3.x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数) (3)00,.x x at y y bt =+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)结果(1) 43x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t '为参数) (2) 4,3.x y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩(2t t '=为参数) (3)令00cos ,sin x x t y y t =+⋅⎧⎨=+⋅⎩ϕλϕλ则cos ,sin .a b ⋅=⎧⎨⋅=⎩ϕλϕλ于是22222(cos )(sin )a b ⋅+⋅==+ϕλϕλλ,取λ则cos ϕ,sin ϕ,t ',于是得直线的标准参数方程为00x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t '为参数).例求直线14,:3.x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)与直线2:20l x y +-=的交点到定点(4,3)的距离 题型三：参数方程00,.x x at y y bt =+⎧⎨=+⎩中参数t 具有几何意义的条件【巩固与应用】例4 求直线l ：12,2.x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)被曲线cos ,.x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）所截得的弦长.编排本题意图：通过两种解法说明“非标准参数方程中，只要参数t 系数平方和为1，则参数t 就有几何意义”这个事实.解一：消参得直线与椭圆的普通方程分别为：y 2213y x +=，联立消元，整理得 20x x -=，于是两交点为(0,A ，(1,0)B ，故||2AB =.解二：椭圆的普通方程为：2213y x +=，将直线参数方程代入并整理得，2680t t -+=，解得12t =或24t =，故12|||||24|2AB t t =-=-=．。
直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用1、 直线参数方程的标准式(1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααs i n c o s00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,)为直线上任意一点.P 0P=t ∣P 0P ∣=t(2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2，则P 1P 2=t 2－t 1,∣P 1P 2∣=∣t 2(3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=221t t +2.直线参数方程的一般式过点P 0(00,y x )，斜率为ab k =的直线的参数方程是:⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00 （t 为参数） 例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意 义,例2：化直线2l 的参数方程⎩⎨⎧+=+-= t313y t x （t 为参数）为普通方程，并求倾斜角， 说明∣t ∣的几何意义.例3：已知直线l 过点M 0（1，3），倾斜角为3π，判断方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y tx 233211（t 为参数）和方程⎩⎨⎧+=+= t331y t x （t 为参数）是否为直线l 的参数方程？如果是直线l 的参数方程，指出方程中的参数t 是否具有标准形式中参数t 的几何意义.例4：写出经过点M 0（－2，3），倾斜角为43π的直线l 的标准参数方程，并且求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标.例5：已知直线l 过点P （2，0），斜率为34，直线l 和抛物线x y 22=相交于A 、B 两点， 设线段AB 的中点为M,求：(1)P 、M 两点间的距离|PM|;(2)M 点的坐标； (3)线段AB 的长|AB|例6：已知直线l 经过点P （1,－33）,倾斜角为3π， (1)求直线l 与直线l '：32-=x y 的交点Q 与P 点的距离| PQ |； (2)求直线l 和圆22y x +＝16的两个交点A ，B 与P 点的距离之积.例7：设抛物线过两点A(－1,6)和B(－1,－2)，对称轴与x 轴平行，开口向右，直线y=2x +7被抛物线截得的线段长是410，求抛物线方程.xy ,)例8：已知椭圆134)1(22=+-y x ，AB 是通过左焦点F 1的弦，F 2为右焦点， 求| F 2A |·| F 2B |的最大值.方法总结：利用直线l 的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数），给研究直线与圆锥曲线C ：F(y x ,)=0的位置关系提供了简便的方法.一般地，把l 的参数方程代入圆锥曲线C ：F(y x ,)=0后，可得一个关于t 的一元二次方程，)(t f =0, 1、(1)当Δ<0时，l 与C 相离；(2) 当Δ＝0时，l 与C 相切；(3) 当Δ>0时，l 与C 相交有两个交点；2、 当Δ>0时，方程)(t f =0的两个根分别记为t 1、t 2，把t 1、t 2分别代入l 的参数方程即可求的l 与C 的两个交点A和B 的坐标.3、 l 被C 截得的弦AB 的长|AB|＝|t 1－t 2|；P 0A ·P 0B= t 1·t 2；弦AB 中点M 点对应的参数为221t t +；| P 0M |=221t t +基础知识测试1、 求过点(6,7),倾斜角的余弦值是23的直线l 的标准参数方程.2、 直线l 的方程：⎩⎨⎧+=-= 25cos 225sin 1t y t x （t 为参数），那么直线l 的倾斜角( ) A 65° B 25° C 155° D 115°3、 直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=ty t x 521511（t 为参数）的斜率和倾斜角分别是( )A) －2和arctg(－2) B) －21和arctg(－21) C) －2和π－arctg2 D) －21和π－arctg 214、 已知直线⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）上的点A 、B 所对应的参数分别为t 1,t 2，点P 分线段BA 所成的比为λ（λ≠－1），则P 所对应的参数是 .5、直线l ：⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00 （t 为参数）A 、B 是直线l 上的两个点，分别对应参数值t 1、t 2，那么|AB|等于( )A ∣t 1－t 2∣B 22b a +∣t 1－t 2∣C 2221b a t t +- D ∣t 1∣+∣t 2∣6、 已知直线l ：⎩⎨⎧+-=+= t351y tx (t 为参数)与直线m ：032=--y x 交于P 点，求点M(1,－5)到点P 的距离.7、 直线⎩⎨⎧+-=+=t21y t x (t 为参数)与椭圆8222=+y x 交于A 、B 两点，则|AB|等于( ) 8、直线⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）与二次曲线A 、B 两点，则|AB|等于( )A |t 1+t 2|B |t 1|＋|t 2|C |t 1－t 2| D221t t +9、 直线⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=t211212y t x (t 为参数)与圆122=+y x 有两个交点A 、B ，若P 点的坐标为(2,-1),则|PA|·|PB|=10、过点P(6, 27)的直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t 2726y t x 与抛物线y 2=2x 相交于A 、B 两点，则点P 到A,B 距离之积为 11.直线⎩⎨⎧-=+=20cos 420sin 3t y t x （t 为参数）的倾斜角 .。
直线的参数方程的应用
直线的参数方程的应用一、几何学应用1.直线的参数方程的可视化表示直线参数方程可以帮助我们直观地理解直线的特点和性质，例如直线在平面上的位置、方向、长度等。
通过改变参数的取值，可以观察到直线的移动、旋转、延长等变化，进而更直观地了解几何图形的特征。
2.直线的交点设有两条直线的参数方程分别为：L1:x=x1+a1t,y=y1+b1t,z=z1+c1tL2:x=x2+a2s,y=y2+b2s,z=z2+c2s我们可以通过求解参数方程的参数，找到这两条直线的交点。
通过求解方程组，可以得到唯一的交点坐标。
3.直线的方位角和倾斜角直线参数方程中的参数可以用来表示直线的方位角和倾斜角。
方位角是指直线与坐标轴的夹角，可以通过直线的参数方程中的系数进行计算。
倾斜角是指直线与xy平面的夹角，可以通过直线的参数方程中的系数进行计算。
二、物理学应用1.运动学中的直线运动在物理学中，直线运动是指质点或物体在直线上的运动轨迹。
直线的参数方程可以用来描述其中一时刻的位置。
例如，设有直线运动的质点在t时刻的位置为(x(t),y(t),z(t))，则可以表示成参数方程形式：x(t) = x0 + vxty(t) = y0 + vytz(t) = z0 + vzt其中，(x0, y0, z0)表示质点的初始位置，(vx, vy, vz)表示质点在x、y、z方向上的速度分量。
2.力学中的直线运动在力学中，直线运动还涉及质点或物体在直线上的加速度、力和运动的规律。
通过直线的参数方程，可以计算质点或物体在不同时刻的速度和加速度，并进一步得出运动的规律。
例如，设有质点在t时刻的位置为(x(t),y(t),z(t))，则可以通过参数方程求导得到速度和加速度：vx(t) = dx/dtvy(t) = dy/dtvz(t) = dz/dt3.光学中的直线传播在光学中，直线传播是指光线沿着直线路径传播的现象。
直线的参数方程可以用于描述光线在空间中的传播路径。
直线的参数方程及其应用
则 16 ≤ S ≤ 2 ， 9
即当 α
=
π 4
时， Smin
= 16 9
，
纵坐标大于零，（1）求向量 AB 的坐标；（2）圆 x2 − 6x + y2 + 2 y = 0 的关于直线 OB 对称的圆的方 程；（3）是否存在实数 a 使抛物线 y = ax2 −1 上总有
2021 年第 6 期
福建中学数学
故弦 AB 中点 P 的轨迹方程为：
x = 2 + 2scionsα2 α− 4−csoins2αα ⋅ cosα ，
且
y
= 1+ sinα − 4 cosα 2 cos2 α − sin2 α
⋅
sin α
(tan2 α
≠ 2) ，
由于 y −1 = tanα ， x−2
代入上两个式子并消去α ，
得 2x2 − y2 − 4x + y =0 ，
且 ∆ =4a4 + 8a2 (1− a2 ) > 0 ，
解得 0 < a < 2 且 a ≠ 1 ，
又 e= c= a
1 1+
a2
，
易得 e > 6 且 e ≠ 2 ； 2
（Ⅱ）将直线 x + y =1转化为参数式，
即
x
= − 2 2
t， （
t
为参数），
y
=
1+
2 t， 2
代入双曲线方程
x2 a2
的两种运算策略： （1）直接推理、计算，在推理计算过程中尽
量减少参数从而消去变量，最终得到定值． （2）借助特殊与一般思想，先猜出定值，再
证明该定值与变化的量无关，证明时利用分析法， 把待证的目标式进行等价化简变形后再证明，以达 到降低运算量及运算难度的作用．
直线参数方程34911
d1d2
a2b2
a2b2
a 2b 2
= a2 b2
问题1 上题中,若AP 、BP分 别与 渐近线平行 ，问 OA OB 为定值吗？
A P
ＯB
问题2 四边形PAOB 的面积为定值
Ｙ
A
O
P
Ｘ
B
小结1 圆锥曲线参数方程一用来
证明定值问题、定点问题 及 有关等式问题，避免复杂的消 参过程
例３ 点P在椭圆 x 2 y 2 1 上运动， 4
直线x+2y-2=0交椭圆于点A、B，问P处 于何处时，P到直线的距离最大？
y
A P
B
O
x
分析：设P( x1, y1),
d= x1 2y1 2
5
又
x12 y 2 1
4
1
得
y1
1 x12 4
设P 2co,sin 02
P
Ax
引伸3 点P在椭圆 x2 y2 1上运
动，点Q在圆
4
y
32
x2
1
2
4
上运动，求PQ的最大值
Y
Q A
P
O
X
PQPAAQ
PA 1
2
所以只要求
Y
PA
Q 的最大值
A
P
O
X
小结 恰当应用圆锥曲线参数 方程解题的优点：
1 容易建立函数 2 变量少，参数范围易得 3 简化消参过程
参数方程的应用 1 直线参数方程 2 曲线参数方程
例1： 已知直线y=mx与抛物线y=x2-2x+2 交于A、B两点，在线段AB上有 动点P，满足OA、OP、OB的倒数 成等差数列，求P点轨迹
直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用x = x0 + aty = y0 + bt其中(x0,y0)是直线上的一个固定点，a和b是表示直线方向的参数。
参数t的取值范围根据实际问题的情况来确定，可以是实数、整数或者其他范围。
1.直线与平面的交点在三维空间中，直线与平面的交点可以通过参数方程求解。
假设平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，直线的参数方程为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct将直线的参数方程代入平面的方程，可以得到一个关于参数t的二次方程：A(x0+at) + B(y0+bt) + C(z0+ct) + D = 0通过求解这个二次方程，可以得到直线与平面的交点坐标。
2.直线的斜率直线的斜率是表示直线的倾斜程度的一个重要指标，可以通过直线的参数方程求得。
考虑直线上两个点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，它们对应的参数分别为t1和t2、直线的斜率可以表示为：m=(y2-y1)/(x2-x1)=(y0+b*t2-y0-b*t1)/(x0+a*t2-x0-a*t1)=b/a因此，直线的斜率可以通过参数a和b的比值得到。
当a=0时，直线是垂直于x轴的；当b=0时，直线是垂直于y轴的。
3.直线的长度直线的长度可以通过参数方程和积分来求解。
考虑直线上两个点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，它们对应的参数分别为t1和t2、直线的长度可以表示为：L = ∫√((dx/dt)²+(dy/dt)²) dt (t=t1到t2)其中 dx/dt 和 dy/dt 分别是直线参数方程关于 t 的导数。
将直线的参数方程代入到上式中，化简可得：L = ∫√(a²+b²) dt (t=t1到t2)=√(a²+b²)*(t2-t1)因此，直线的长度可以通过直线参数方程中的参数a和b计算得到。
4.直线的切线和法线y = y0 + (dy/dt) * (t-t0)其中 dy/dt 是直线参数方程关于 t 的导数。
直线的参数方程及其应用举例
直线的参数方程及其应用举例直线是平面几何中的基本概念，它是由一点和一条在同一平面上延伸的无限长的路径所组成。
直线有多种表示方法，其中最常用的是参数方程。
直线的参数方程是将直线上的每个点都表示为一个参数的函数形式。
在世界上各个领域中，直线的参数方程都有重要的应用。
x=x₀+t*ay=y₀+t*b其中(x₀,y₀)是直线上的一点，(a,b)是直线的方向向量，t是参数。
1.几何图形构造：参数方程可以方便地绘制直线图形。
通过给定直线上的一点和方向向量，可以确定直线上的所有点并将其绘制出来。
这在计算机图形学中特别有用，用于构造直线段、射线、线段平移等各种图形。
2.线性插值：参数方程在计算机图形学中还可以实现线性插值的功能。
给定直线上的两个点A和B，可以用参数方程插值得到该直线上任意一点P的坐标。
这在图形渲染中常用于平滑曲线的生成和运动轨迹的计算。
3.射影变换：参数方程也被广泛应用于计算机视觉和计算几何中的射影变换。
在相机成像过程中，直线在二维图像上可能不再是直线，而是一个曲线。
通过参数方程将直线的三维参数化表示映射到二维图像上，可以更好地理解和分析图像中的直线形状和位置。
4.道路规划：在交通规划和导航系统中，直线的参数方程可以用于模拟道路和路径。
给定起点和终点的坐标，可以使用参数方程计算出这条道路上的其中一点的坐标。
这对于路径规划、导航引导和交通仿真都是非常有用的。
5.物理运动：参数方程也广泛用于物理运动的描述和模拟。
例如，在物理学中，直线的参数方程可以用来描述自由落体运动、斜抛运动等。
在工程领域，直线的参数方程用于描述机械装置的运动轨迹、机器人的路径规划等。
除了上述应用外，直线的参数方程还在数学的数值计算、曲线拟合、信号处理、经济学的需求曲线分析等领域中发挥着重要作用。
总结起来，直线的参数方程是一个非常有用的数学工具，广泛应用于几何图形构造、线性插值、射影变换、道路规划、物理运动等众多领域中。
参数方程的使用能够简化问题的表述、计算和分析，为解决实际问题提供了便利。
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直线的参数方程及应用目标点击：1．掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2．熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化；3．利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题；基础知识点击：1、直线参数方程的标准式(1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,)P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣(3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221tt +,∣P 0P 3∣=221t t +(4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<02、直线参数方程的一般式过点P 0(00,y x )，斜率为abk =的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00 （t 为参数）点击直线参数方程：一、直线的参数方程问题1：（直线由点和方向确定）求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时，P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数，又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos αxQ P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α即⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t|① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方；特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线⎧+=0tx x ④当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合；⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一对应关系？我们把直线l 看作是实数轴，以直线l 向上的方向为正方向，以定点 这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系.问题3：P 1、P 2为直线l 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1，∣P 1P 2问题4：若P 0为直线l 上两点P 1、P 2的中点，P 1、P 2 参数分别为t 1、t 2 ，则t 1、t 2之间有何关系？ 根据直线l 参数方程t 的几何意义， P 1P ＝t 1，P 2P ＝t 2，∵P 0为直线l 上两点P 1、P 2的中点，∴|P 1P |＝|P 2P |P 1P ＝－P 2P ，即t 1＝－t 2, t 1t 2<0一般地，若P 1、P 2、P 3是直线l 上的点， 所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3，P 3为P 1、P 2 则t 3＝221t t + （∵P 1P 3＝－P 2P 3, 根据直线l 参数方程t 的几何意义，∴P 1P 3= t 3－t 1, P 2P 3= t 3－t 2, ∴t 3－t 1=－(t 3－t 2,) ） 基础知识点拨：1、参数方程与普通方程的互化xx义,说明∣t ∣的几何意义.解：令y=0,得x ＝1，∴直线1l 过定点(1,0). k ＝－31=－33设倾斜角为α，tg α=－33,α= π65, cos α =－23, sin α=211l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 21231 （t 为参数）t 是直线1l 上定点M 0（1，0）到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的数量.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-(2) 21(1)231t y t x (1)、(2)两式平方相加,得222)1(t y x =+-∣t ∣＝22)1(y x +-∣t ∣是定点M 0（1，0）到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的长.点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.例2：化直线2l 的参数方程⎩⎨⎧+=+-= t313y tx （t 为参数）为普通方程，并求倾斜角，说明∣t ∣的几何意义. 解：原方程组变形为⎩⎨⎧=-=+ (2) t31 (1) 3y t x (1)代入(2)消去参数t ，得)3(31+=-x y (点斜式) 可见k=3, tg α=3,倾斜角α=3π普通方程为01333=++-y x(1)、(2)两式平方相加,得2224)1()3(t y x =-++∴∣t ∣=2)1()3(22-++y x∣t ∣是定点M 0（3，1）到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的长的一半.点拨：注意在例1、例2中，参数t 的几何意义是不同的，直线1l 的参数方程 为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=ty t x 21231即⎪⎩⎪⎨⎧=+=ππ65sin 65cos 1t y t x 是直线方程的标准形式，(-23)2+(21)2=1, t 的几何意义是有向线段M M 0的数量.直线2l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-= t 313y tx 是非标准的形式，12＋(3)2=4≠1，此时t 的几何意义是有向线段M M 0的数量的一半.你会区分直线参数方程的标准形式？例3：已知直线l 过点M 0（1，3），倾斜角为3π，判断方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 233211（t 为参数）和方程⎩⎨⎧+=+= t331y tx （t 为参数）是否为直线l 的参数方程？如果是直线l 的参数方程，指出方程中的参数t 是否具有标准形式中参数t 的几何意义.解：由于以上两个参数方程消去参数后，均可以得到直线l 的的普通方程 0333=+--y x ，所以，以上两个方程都是直线l 的参数方程，其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 233211 cos α =21, sin α=23，是标准形式，参数t 是有向线段M M 0的数量.，而方程⎩⎨⎧+=+= t 331y t x 是非标准形式，参数t 不具有上述的几何意义.点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利用参数t 的几何意义解决有关问题.问题5：直线的参数方程⎩⎨⎧+=+= t 331y tx 能否化为标准形式？是可以的，只需作参数t 的代换.(构造勾股数，实现标准化)⎩⎨⎧+=+= t 331y t x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=))3(1()3(13 3))3(1()3(11122222222t y t x 令t '=t 22)3(1+ 得到直线l 参数方程的标准形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+='+=t 233211y t x t '的几何意义是有向线段 M M 0的数量.2、直线非标准参数方程的标准化一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程的一般式为，.⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00 （t 为参数）， 斜率为a b tg k ==α (1) 当22b a +＝1时，则t 的几何意义是有向线段M M 0的数量. (2)当22b a +≠1时，则t 不具有上述的几何意义.⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=)()(2222022220t b a b a b y y t b a b a a x x 令t '=t b a 22+则可得到标准式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'++='++=t b a by y t b a a x x 220220 t '的几何意义是有向线段M M 0的数量. 例4：写出经过点M 0（－2，3），倾斜角为43π的直线l 的标准参数方程，并且 求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标.解：直线l 的标准参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=ππ43sin 343cos 2t y t x即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 223222（t 为参数）（1） 设直线l 上与已知点M 0相距为2的点为M 点，且M 点对应的参数为t,则| M 0M |＝|t| =2, ∴t=±2 将t 的值代入(1)式当t=2时，M 点在 M 0点的上方，其坐标为（－2－2，3＋2）； 当t=-2时，M 点在 M 0点的下方，其坐标为（－2＋2，3－2）.点拨：若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M 点的坐标较麻烦， 而使用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求M 点的坐标较 容易.例5：直线⎩⎨⎧-=+=20cos 420sin 3t y t x （t 为参数）的倾斜角 . 解法1：消参数t,的34--x y ＝－ctg20°=tg110°解法2：化为标准形式： ⎩⎨⎧-+=-+=110sin )(4110cos )(3t y t t x （－t 为参数） ∴此直线的倾斜角为110°基础知识测试1：1、 求过点(6,7),倾斜角的余弦值是23的直线l 的标准参数方程.2、 直线l 的方程：⎩⎨⎧+=-=25cos 225sin 1t y t x （t 为参数），那么直线l 的倾斜角( ) A 65° B 25° C 155° D 115°3、 直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=t y t x 521511（t 为参数）的斜率和倾斜角分别是( ) A) －2和arctg(－2) B) －21和arctg(－21)C) －2和π－arctg2 D) －21和π－arctg 214、 已知直线⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）上的点A 、B 所对应的参数分别为t 1,t 2，点P分线段BA 所成的比为λ（λ≠－1），则P 所对应的参数是 . 5、直线l 的方程： ⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00 （t 为参数）A 、B 是直线l 上的两个点，分别对应参数值t 1、t 2，那么|AB|等于( )A ∣t 1－t 2∣B 22b a +∣t 1－t 2∣ C 2221ba t t +- D ∣t 1∣+∣t 2∣6、 已知直线l ：⎩⎨⎧+-=+= t351y tx (t 为参数)与直线m ：032=--y x 交于P 点，求点M(1,－5)到点P 的距离.二、直线参数方程的应用 例6：已知直线l 过点P （2，0），斜率为34和抛物线x y 22=相交于A 、B 两点， 设线段AB 的中点为M,求： (1)P 、M 两点间的距离|PM|； (2)M 点的坐标； (3)线段AB 的长|AB| 解：(1)∵直线l 过点P （2，0），斜率为34,3cos α =53, sin α=54∴直线l 的标准参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=ty t x 54532（t 为参数）*∵直线l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程x y 22=中，整理得 8t 2－15t －50＝0 Δ=152+4×8×50>0,设这个二次方程的两个根为t 1、t 2,由韦达定理得 t 1＋t 2＝815, t 1t 2＝425- ，由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得| PM |＝221t t + ＝1615∵中点M 所对应的参数为t M =1615,将此值代入直线的标准参数方程*，M 点的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧=•==•+=4316155416411615532y x 即 M （1641，43）(3) |AB|＝∣t 2－t 1∣＝222114)(t t t t -+＝7385点拨：利用直线l 的标准参数方程中参数t 的几何意义，在解决诸如直线l 上两点间的距离、直线l 上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线l 的普通方程来解决显得比较灵活和简捷.例7：已知直线l 经过点P （1,－33）,倾斜角为3π，(1)求直线l 与直线l '：32-=x y 的交点Q 与P 点的距离| PQ |； (2)求直线l 和圆22y x +＝16的两个交点A ，B 与P 点的距离之积. 解：(1)∵直线l 经过点P （1,－33）,倾斜角为3π,∴直线l 的标准参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=3sin 333cos 1ππt y t x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=ty t x 2333211（t 为参数）代入直线l '：32-=x y 得032)2333()211(=-+--+t t 整理，解得t=4+23 t=4+23即为直线l 与直线l '的交点Q 所对应的参数值，根据参数t 的几何意义可知：|t |=| PQ |,∴| PQ |=4+23. (2) 把直线l 的标准参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y tx 2333211（t 为参数）代入圆的方程22y x +＝16，得16)2333()211(22=+-++t t ,整理得：t 2－8t+12=0， Δ=82-4×12>0,设此二次方程的两个根为t 1、t 2 则t 1t 2=12根据参数t 的几何意义，t 1、t 2 分别为直线和圆22y x +＝16的两个交点A, B 所对应的参数值，则|t 1|=| PA |,|t 2|=| PB |, 所以| PA |·| PB |=|t 1 t 2|=12点拨：利用直线标准参数方程中的参数t 的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便.例8：设抛物线过两点A(－1,6)和B(－1,－2)，对称轴与x 轴平行，开口向右， 直线y=2x +7被抛物线截得的线段长是410，求抛物线方程.解：由题意，得抛物线的对称轴方程为y=2.设抛物线顶点坐标为（a ，2） 方程为(y ―2)2=2P(x －a ) (P>0) ①∵点B (－1,－2)在抛物线上，∴(―2―2)2=2P(－1－a ) a P=－8－P 代入① 得(y ―2)2=2P x ＋2P+16 ②将直线方程y=2x +7化为标准的参数方程tg α=2, α为锐角，cos α =51, sin α=52 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=ty t x 525511（t 为参数） ③ ∵直线与抛物线相交于A ，B, ∴将③代入②并化简得：75212542--+t Pt ＝0 ，由Δ=355)6(42+-P >0,可设方程的两根为t 1、t 2， 又∵|AB|=∣t 2－t 1∣＝ 222114)(t t t t -+＝4104354]4)212(5[2⨯+-P =(410)2 化简，得(6－P)2=100 ∴ P=16 或P=-4(舍去) 所求的抛物线方程为(y ―2)2=32x ＋48点拨：(1)（对称性） 由两点A(－1,6)和B(－1,－2)的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程（含P 一个未知量，由弦长AB 的值求得P ）.(2)利用直线标准参数方程解决弦长问题.此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。