直线的参数方程及其应用举例
直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用直线的参数方程及应用直线参数方程的标准式过点P(x,y)，倾斜角为α的直线l的参数方程是x = x + tcosαy = y + tsinα其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(x,y)为直线上的任意一点。
直线l上的点与对应的参数t是一一对应关系。
若P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、t2，则P1P2 = t2 - t1，|P1P2| = |t2 - t1|。
若P1、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t3，则P1P2中点P3的参数为t3 = (t1 + t2)/2，|PP3| = |(t1 + t2)/2|。
若P为P1P2的中点，则t1 + t2 = 0，t1·t2 < 0.直线参数方程的一般式过点P(xb,y)，斜率为k = a的直线的参数方程是x = x + aty = y + bt其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xb,y)为直线上的任意一点。
直线的参数方程给定点P(xl,y)，倾斜角为α，求经过该点的直线l的参数方程。
直线l的参数方程为x = x + tcosαy = y + tsinα其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xl,y)为直线上的任意一点。
特别地，若直线l的倾斜角α = 90°，直线l的参数方程为x = x + ty = y其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xl,y)为直线上的任意一点。
2、直线的参数方程与标准形式如果直线的方向已知，那么可以使用参数方程来表示直线。
对于倾斜角为 $\alpha$，过点 $M(x,y)$ 的直线 $l$，其参数方程一般式为：begin{cases}x=x_M+t\cos\alpha \\y=y_M+t\sin\alphaend{cases}其中 $t$ 是参数，表示从点 $M$ 沿着直线 $l$ 方向前进的距离。
如果要将参数方程转化为标准形式，可以通过以下步骤：1.消去参数 $t$，得到 $y-y_M=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(x-x_M)$。
直线的参数方程及应用word精品文档5页
直线的参数方程及应用一、直线的参数方程1.定义：若α为直线l 的倾斜角，则称(cos ,sin )e =rαα为直线l 的(一个)方向向量.2.求证：若,P Q 为直线l 上任意两点，(cos ,sin )e =rαα为l 的方向向量,则有//PQ e u u u r r .证明：3.设直线l 过点000(,)M x y 的倾斜角为α，求它的一个参数方程. 归纳小结二、弦长公式、线段中点参数值 例1 已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于,A B 两点，求线段AB 的长和点(1,2)M -到,A B 两点的距离之积.例2 经过点(2,1)M 作直线l ，交椭圆221164x y +=于,A B 两点.如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程.练习1.设直线l 经过点0(1,5)M ，倾斜角为π.（1）求直线l 的参数方程；（2）求直线l 和直线0x y --=的交点到点0M 的距离；（3）求直线l 和圆2216x y +=的两个交点到点0M 的距离的和与积.2.已知经过点(2,0)P ，斜率为43的直线l 和抛物线22y x =相交于,A B 两点，设线段AB 的中点为M .求点M 的坐标.3.经过点(2,1)M 作直线l 交双曲线221x y -=于,A B 两点，如果点M 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程.4.经过抛物线22(0)y px p =>外的一点(2,4)A --且倾斜角为45︒的直线l 与抛物线分别相交于12,M M .如果1||AM ，12||M M ，2||AM 成等比数列，求p 的值.5.已知曲线14cos ,:3sin .x t C y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数),曲线28cos ,:3sin .x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．（1）化1C 、2C 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线；（2）若1C 上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2.x t C y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）距离的最小值. 解：练习：1.直线l 的方程为12,2 3.x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），则l 上任一点到点(1,2)的距离是A .tB .||t C|t D|t2.直线sin 203,cos 20.x t y t =-+⎧⎨=⎩o o（t 为参数）的倾斜角是 A .20o B .70o C .110o D .160o 3.已知直线00cos ,sin .x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）上的点A 、B 所对应的参数分别为1t 、2t ，点P 分AB 所成的比为λ，则点所对应的参数是A .122t t + B .121t t λ++ C .121t t λλ++ D .211t t λλ++ 4.直线3490x y --=与圆2cos ,2sin .x y θθ=⎧⎨=⎩的位置关系是A .相交但直线不过圆心B .相交且直线过圆心C .相切D .相离5.下列参数方程都表示过点0(1,5)M ，斜率为2的直线，其中有一个方程的参数的绝对值表示动点M 和0M 的距离，这个参数方程是A .1,52.x t y t =+⎧⎨=+⎩ B.1,5.x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C.1,5x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩D .11,25.x t y t ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩6.直线3cos ,2sin .x a y a θθ=+⎧⎨=-+⎩（a 为参数）与直线2sin ,3cos .x b y b θθ=--⎧⎨=-⎩（b 是参数）的位置关系为 CA .关于y 轴对称B .关于原点对称C .关于直线y x =对称D .互相垂直 7.曲线C 的参数方程为2cos ,sin .x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，02θπ≤≤），则yx 的取值范围是A.[B.(,)-∞+∞U C.[D.(,)-∞+∞U 8. 参数方程2cos ,2sin .x y θθ=-⎧⎨=⎩（22ππθ-≤≤）所表示的曲线是 .9.直线2,3.x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）上到点(2,3)M -M 下方的点的坐标是 .10.点(1,5)-与两直线1,5x t y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t是参数）及0x y --=的交点的距离是 .11.两圆32cos ,42sin .x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ是参数）与3cos ,3sin .x y θθ=⎧⎨=⎩（θ是参数）的位置关系是 .12.已知直线l 经过点(1,0)P ，倾斜角为6πα=.（1）写出直线l 的参数方程；（2）设直线l 与椭圆2244x y +=相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积. B.化一般参数方程00,.x x at y y bt =+⎧⎨=+⎩为标准参数方程【巩固与应用】例 将下列直线的一般参数方程化成标准参数方程形式:(1) 42,3.x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数) (2)4,3.x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数) (3)00,.x x at y y bt =+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)结果(1) 43x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t '为参数) (2) 4,3.x y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩(2t t '=为参数) (3)令00cos ,sin x x t y y t =+⋅⎧⎨=+⋅⎩ϕλϕλ则cos ,sin .a b ⋅=⎧⎨⋅=⎩ϕλϕλ于是22222(cos )(sin )a b ⋅+⋅==+ϕλϕλλ,取λ则cos ϕ,sin ϕ,t ',于是得直线的标准参数方程为00x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t '为参数).例求直线14,:3.x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)与直线2:20l x y +-=的交点到定点(4,3)的距离 题型三：参数方程00,.x x at y y bt =+⎧⎨=+⎩中参数t 具有几何意义的条件【巩固与应用】例4 求直线l ：12,2.x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)被曲线cos ,.x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）所截得的弦长.编排本题意图：通过两种解法说明“非标准参数方程中，只要参数t 系数平方和为1，则参数t 就有几何意义”这个事实.解一：消参得直线与椭圆的普通方程分别为：y 2213y x +=，联立消元，整理得 20x x -=，于是两交点为(0,A ，(1,0)B ，故||2AB =.解二：椭圆的普通方程为：2213y x +=，将直线参数方程代入并整理得，2680t t -+=，解得12t =或24t =，故12|||||24|2AB t t =-=-=．。
直线的参数方程
直线的参数方程直线是平面上最简单的几何图形之一，在数学中直线可以用多种方式来表示，其中一种常用的表示方式是参数方程。
本文将介绍直线的参数方程及其相关概念和性质。
什么是参数方程？参数方程是用参数表示的方程，其中参数是一个变量，可以取不同的值。
对于直线来说，参数方程可以用来描述直线上各点的坐标。
直线的参数方程表示设直线上一点的坐标为(x, y)，参数方程可以表示为：x = x0 + aty = y0 + bt其中 (x0, y0) 是直线上一点的坐标，a 和 b 是常数，t 是参数。
直线的参数方程的意义直线的参数方程的意义在于，通过改变参数 t 的取值，我们可以得到直线上不同点的坐标。
参数方程使我们能够更加灵活地描述直线，并进行计算和分析。
值得注意的是，直线的参数方程在某些特殊情况下可能并不唯一。
例如，在平行于坐标轴的直线上，参数方程可以有多种不同的表示方式。
直线的参数方程的性质直线的参数方程具有以下性质：1.直线上的任意两点，都可以通过参数方程表示。
2.参数方程中的参数 t 是一个实数，可以取任意值，因此可以描述出直线上的每一个点。
3.相同的直线可以有不同的参数方程表示，但所有的参数方程都会描述出同一条直线。
直线参数方程的应用直线的参数方程在数学和物理中有广泛应用。
例如，在几何学中，我们可以利用参数方程求直线的长度、直线与其他几何图形的交点等问题。
在物理学中，直线的参数方程可以用来描述物体的运动轨迹。
通过改变参数的取值，我们可以得到物体在不同时刻的位置坐标，从而研究其运动规律。
直线的参数方程是一种常见的表示直线的方法。
通过参数方程，我们可以更加灵活地描述直线上的各个点，进行计算和分析。
直线的参数方程具有多种性质，可以在几何学和物理学等领域中得到广泛的应用。
希望通过本文的介绍，读者对直线的参数方程有了更加深入的理解，能够灵活应用于实际问题的解决中。
直线的标准参数方程
直线的标准参数方程直线是平面几何中的基本图形之一，它具有许多重要的性质和应用。
在直角坐标系中，直线的方程有多种表示形式，其中标准参数方程是一种常用的形式。
本文将介绍直线的标准参数方程的定义、推导方法和应用示例。
一、定义。
直线的标准参数方程是指用参数形式表示直线的方程。
设直线L上有一点P(x, y)，则点P到直线L上某一固定点A的距离与点P到直线L的方向垂直的距离成比例。
这里引入参数t，点P的坐标可以表示为x=x0+mt，y=y0+nt，其中m和n是常数，称为参数。
二、推导方法。
1. 已知直线上的两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，求直线的标准参数方程。
设直线上任一点P(x, y)，则向量AP=(x-x1, y-y1)，向量AB=(x2-x1, y2-y1)。
由于向量AP与向量AB垂直，根据向量的垂直条件可得(x-x1, y-y1)·(x2-x1, y2-y1)=0，展开得到(x-x1)(x2-x1)+(y-y1)(y2-y1)=0，整理可得直线的标准参数方程。
2. 已知直线的斜率k和截距b，求直线的标准参数方程。
直线的斜率k定义为k=(y2-y1)/(x2-x1)，截距b定义为y=kx+b。
将y=kx+b代入直线方程中，整理可得x=(x1-kt)/(1-k)，y=(y1-kt)/(1-k)，即为直线的标准参数方程。
三、应用示例。
1. 求直线通过两点A(1, 2)和B(3, 4)的标准参数方程。
根据推导方法1，代入已知点的坐标得到(x-1)(3-1)+(y-2)(4-2)=0，整理得到直线的标准参数方程。
2. 求直线的斜率为2，截距为3的标准参数方程。
根据推导方法2，代入已知斜率和截距得到x=(1-2t)/(1-2)，y=(2-2t)/(1-2)，即为直线的标准参数方程。
综上所述，直线的标准参数方程是一种常用的表示形式，通过已知直线上的点或斜率和截距可以求得直线的标准参数方程。
在实际问题中，标准参数方程可以方便地描述直线的性质和运动规律，具有重要的应用价值。
直线参数方程的应用
由题意得,离心率为 e 2 , 焦参数为 p 2
1050
Fx Q
建立如图所示的极坐标系，则双曲线的极坐标方程为
2
1 2 cos
故 | FP | | FQ |
2
2
1 2 cos1050 1 2 cos1050
4
1 2 cos2 1050
4 cos 2100
8 3 3
(7)(2007年重庆)过双曲线 x2 y 2 4的右焦点F作倾斜角
M始(x0 , y0 )
M 0 (x0 , y0 )
M终 (x, y) M (x, y)
x
二、直线参数方程的应用：
(t为参数)
1.求直线上某一个点的坐标：
2.求直线上某线段中点的坐标：
3.求直线上两点间的距离：
4.求直线的方程：
注：若l 上两点M1,M2对应的参数分别为t1,t2.则
① | M1 M2 || t1 t2 |
y x
求极坐标方程常用的方法
公式法 方程法
直接法 间接法
1.公式法：知型巧用公式法 建系设式求系数 2.方程法： 未知型状方程法 建系设需列方程 ①直接法：一般地，与正余弦定理有关 ②间接法：先求出普通方程，再转成为极坐标方程
特殊直线的极坐标方程
图
l
θ0
O
x
像
l
(a,0)
Ox
l
(a, )
Ox
l
(a, )
A.
30 3
B.6
C.12
法3：参数方程+设而不求
D.7 3
由题意得AB：x
3 4
y
t 2
3t 2 (t为参数)
F B
A
直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用x = x0 + aty = y0 + bt其中(x0,y0)是直线上的一个固定点，a和b是表示直线方向的参数。
参数t的取值范围根据实际问题的情况来确定，可以是实数、整数或者其他范围。
1.直线与平面的交点在三维空间中，直线与平面的交点可以通过参数方程求解。
假设平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，直线的参数方程为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct将直线的参数方程代入平面的方程，可以得到一个关于参数t的二次方程：A(x0+at) + B(y0+bt) + C(z0+ct) + D = 0通过求解这个二次方程，可以得到直线与平面的交点坐标。
2.直线的斜率直线的斜率是表示直线的倾斜程度的一个重要指标，可以通过直线的参数方程求得。
考虑直线上两个点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，它们对应的参数分别为t1和t2、直线的斜率可以表示为：m=(y2-y1)/(x2-x1)=(y0+b*t2-y0-b*t1)/(x0+a*t2-x0-a*t1)=b/a因此，直线的斜率可以通过参数a和b的比值得到。
当a=0时，直线是垂直于x轴的；当b=0时，直线是垂直于y轴的。
3.直线的长度直线的长度可以通过参数方程和积分来求解。
考虑直线上两个点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，它们对应的参数分别为t1和t2、直线的长度可以表示为：L = ∫√((dx/dt)²+(dy/dt)²) dt (t=t1到t2)其中 dx/dt 和 dy/dt 分别是直线参数方程关于 t 的导数。
将直线的参数方程代入到上式中，化简可得：L = ∫√(a²+b²) dt (t=t1到t2)=√(a²+b²)*(t2-t1)因此，直线的长度可以通过直线参数方程中的参数a和b计算得到。
4.直线的切线和法线y = y0 + (dy/dt) * (t-t0)其中 dy/dt 是直线参数方程关于 t 的导数。
直线的参数方程及其应用举例
直线的参数方程及其应用举例直线是平面几何中的基本概念，它是由一点和一条在同一平面上延伸的无限长的路径所组成。
直线有多种表示方法，其中最常用的是参数方程。
直线的参数方程是将直线上的每个点都表示为一个参数的函数形式。
在世界上各个领域中，直线的参数方程都有重要的应用。
x=x₀+t*ay=y₀+t*b其中(x₀,y₀)是直线上的一点，(a,b)是直线的方向向量，t是参数。
1.几何图形构造：参数方程可以方便地绘制直线图形。
通过给定直线上的一点和方向向量，可以确定直线上的所有点并将其绘制出来。
这在计算机图形学中特别有用，用于构造直线段、射线、线段平移等各种图形。
2.线性插值：参数方程在计算机图形学中还可以实现线性插值的功能。
给定直线上的两个点A和B，可以用参数方程插值得到该直线上任意一点P的坐标。
这在图形渲染中常用于平滑曲线的生成和运动轨迹的计算。
3.射影变换：参数方程也被广泛应用于计算机视觉和计算几何中的射影变换。
在相机成像过程中，直线在二维图像上可能不再是直线，而是一个曲线。
通过参数方程将直线的三维参数化表示映射到二维图像上，可以更好地理解和分析图像中的直线形状和位置。
4.道路规划：在交通规划和导航系统中，直线的参数方程可以用于模拟道路和路径。
给定起点和终点的坐标，可以使用参数方程计算出这条道路上的其中一点的坐标。
这对于路径规划、导航引导和交通仿真都是非常有用的。
5.物理运动：参数方程也广泛用于物理运动的描述和模拟。
例如，在物理学中，直线的参数方程可以用来描述自由落体运动、斜抛运动等。
在工程领域，直线的参数方程用于描述机械装置的运动轨迹、机器人的路径规划等。
除了上述应用外，直线的参数方程还在数学的数值计算、曲线拟合、信号处理、经济学的需求曲线分析等领域中发挥着重要作用。
总结起来，直线的参数方程是一个非常有用的数学工具，广泛应用于几何图形构造、线性插值、射影变换、道路规划、物理运动等众多领域中。
参数方程的使用能够简化问题的表述、计算和分析，为解决实际问题提供了便利。
参数方程直线
参数方程直线在数学中，直线是一种基本的几何图形，它是由无数个点组成的，这些点在同一条直线上。
直线可以用不同的方式表示，其中一种方式是使用参数方程。
参数方程是一种用参数表示函数的方式。
在直线的参数方程中，我们使用两个参数来表示直线上的点。
这两个参数通常被称为t和s。
t表示直线上的点在x轴上的位置，s表示直线上的点在y轴上的位置。
例如，如果我们想要表示一条直线，它从点(1,2)开始，向右倾斜45度，那么我们可以使用以下参数方程：x = 1 + ty = 2 + t在这个参数方程中，t表示直线上的点在x轴上的位置。
因此，当t=0时，我们得到的点是(1,2)。
当t=1时，我们得到的点是(2,3)。
当t=-1时，我们得到的点是(0,1)。
这个参数方程表示的直线是一条从点(1,2)开始，向右倾斜45度的直线。
参数方程直线的优点是它可以很容易地表示斜率。
斜率是直线上的两个点之间的垂直距离除以它们之间的水平距离。
在参数方程中，斜率可以表示为dy/dx。
因此，如果我们有以下参数方程：x = 1 + ty = 2 + 2t那么这条直线的斜率就是2。
这意味着这条直线向上倾斜，并且每向右移动一个单位，它向上移动两个单位。
在实际应用中，参数方程直线可以用于描述物体的运动轨迹。
例如，如果我们想要描述一个物体在空中飞行的轨迹，我们可以使用参数方程直线来表示它的位置。
这个参数方程可以包括物体的速度和加速度，从而更准确地描述物体的运动。
参数方程直线是一种非常有用的数学工具，它可以用于描述直线的位置、斜率和运动轨迹。
它在物理学、工程学和计算机图形学等领域中得到广泛应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
直线的参数方程及应用问题1:(直线由点与方向确定)求经过点P 0(00,y x ),倾斜角为α的直线l设点P(y x ,)就是直线l 上任意一点,(方向为直线L 的正方向)过点P 作y 轴的平行线,P 0作x 轴的平行线,两条直线相交于Q点、 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0与P 重合时,P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时,P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t,t 为参数,又∵P 0Q ＝0x x -, 0x x -＝tcos αQ P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x 就是所求的直线l 的参数方程∵P 0P ＝t,t 为参数,t 的几何意义就是:有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量,且|P 0P |＝|t|① 当t>0时,点P 在点P 0的上方;② 当t ＝0时,点P 与点P 0重合;③ 当t<0时,点P 在点P 0的下方;特别地,若直线l 的倾斜角α＝0时,直线l ⎧+=0t x x ④ 当t>0时,点P 在点P 0的右侧; ⑤ 当t ＝0时,点P 与点P 0重合;⑥ 当t<0时,点P 在点P 0的左侧; 问题2:直线l 上的点与对应的参数t 对应关系？我们把直线l 瞧作就是实数轴, 以直线l 向上的方向为正方向,以定点P 0 为原点,以原坐标系的单位长为单位长, 这样参数t 便与这条实数轴上的点P 一一对应关系、问题3:P 1、P 2为直线l 则P 1P 2＝？,∣P 1P 2∣=？P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1,∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣ xx问题4:若P 0为直线l 上两点P 1、P 2的中点,P 1、P 2参数分别为t 1、t 2 ,则t 1、t 2之间有何关系？ 根据直线l 参数方程t 的几何意义,P 1P ＝t 1,P 2P ＝t 2,∵P 0为直线l上两点P 1、P 2的中点,∴|P 1P |＝|P 2P |P 1P ＝－P 2P ,即t 1＝－t 2, t 1t 2<0一般地,若P 1、P 2、P 3就是直线l 上的点, 所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3,P 3为P 1、P 2 则t 3＝221t t + (∵P 1P 3＝－P 2P 3, 根据直线l 参数方程t 的几何意义,∴P 1P 3= t 3－t 1, P 2P 3= t 3－t 2, ∴t 3－t 1=－(t 3－t 2,) ) 总结:1、直线参数方程的标准式(1)过点P 0(00,y x ),倾斜角为α的直线l 的参数方程就是⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x (t 为参数)t 的几何意义:t 表示有向线段P P 0的数量,P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点、(2)若P 1、P 2就是直线上两点,所对应的参数分别为t 1、t 2,则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣(3) 若P 1、P 2、P 3就是直线上的点,所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=221t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点,则t 1＋t 2＝0,t 1·t 2<02、直线参数方程的一般式过点P 0(00,y x ),斜率为ab k =的直线的参数方程就是 ⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00 (t 为参数) 例题:1、参数方程与普通方程的互化例1:化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程,并说明参数的几何意 义,说明∣t ∣的几何意义、解:令y=0,得x ＝1,∴直线1l 过定点(1,0)、 k ＝－31=－33 设倾斜角为α,tg α=－33,α= π65, cos α =－23, sin α=21 x1l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 21231 (t 为参数)t 就是直线1l 上定点M 0(1,0)到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的数量、由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-(2) 21(1) 231t y t x (1)、(2)两式平方相加,得222)1(t y x =+-∣t ∣＝22)1(y x +-∣t ∣就是定点M 0(1,0)到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的长、点拨:求直线的参数方程先确定定点,再求倾斜角,注意参数的几何意义、例2:化直线2l 的参数方程⎩⎨⎧+=+-= t313y t x (t 为参数)为普通方程,并求倾斜角, 说明∣t ∣的几何意义、解:原方程组变形为⎩⎨⎧=-=+ (2) t 31(1) 3y t x (1)代入(2)消去参数t,得)3(31+=-x y (点斜式) 可见k=3, tg α=3,倾斜角α=3π 普通方程为 01333=++-y x(1)、(2)两式平方相加,得2224)1()3(t y x =-++∴∣t ∣=2)1()3(22-++y x ∣t ∣就是定点M 0(3,1)到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的长的一半、 点拨:注意在例1、例2中,参数t 的几何意义就是不同的,直线1l 的参数方程 为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 21231即⎪⎩⎪⎨⎧=+=ππ65sin 65cos 1t y t x 就是直线方程的标准形式,(-23)2+(21)2=1, t 的几何意义就是有向线段M M 0的数量、直线2l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-= t313y t x 就是非标准的形式,12＋(3)2=4≠1,此时t 的几何意义就是有向线段M M 0的数量的一半、您会区分直线参数方程的标准形式不？例3:已知直线l 过点M 0(1,3),倾斜角为3π,判断方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 233211(t 为参数)与方程⎩⎨⎧+=+= t331y t x (t 为参数)就是否为直线l 的参数方程？如果就是直线l 的参数方程,指出方程中的参数t 就是否具有标准形式中参数t 的几何意义、解:由于以上两个参数方程消去参数后,均可以得到直线l 的的普通方程 0333=+--y x ,所以,以上两个方程都就是直线l 的参数方程,其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 233211 cos α =21, sin α=23,就是标准形式,参数t 就是有向线段M M 0的数量、,而方程⎩⎨⎧+=+= t331y t x 就是非标准形式,参数t 不具有上述的几何意义、点拨:直线的参数方程不唯一,对于给定的参数方程能辨别其标准形式,会利用参数t 的几何意义解决有关问题、问题5:直线的参数方程⎩⎨⎧+=+= t331y t x 能否化为标准形式？就是可以的,只需作参数t 的代换、(构造勾股数,实现标准化)⎩⎨⎧+=+= t 331y t x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=))3(1()3(13 3))3(1()3(11122222222t y t x 令t '=t 22)3(1+ 得到直线l 参数方程的标准形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+='+=t 233211y t x t '的几何意义就是有向线段 M M 0的数量、2、直线非标准参数方程的标准化一般地,对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程的一般式为,、⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00 (t 为参数), 斜率为a b tg k ==α (1)当22b a +＝1时,则t 的几何意义就是有向线段M M 0的数量、(2) 当22b a +≠1时,则t 不具有上述的几何意义、⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=)()(2222022220t b a b a b y y t b a b a a x x 令t '=t b a 22+ 则可得到标准式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'++='++=t b a b y y t b a a x x 220220 t '的几何意义就是有向线段M M 0的数量、例4:写出经过点M 0(－2,3),倾斜角为43π的直线l 的标准参数方程,并且 求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标、 解:直线l 的标准参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=ππ43sin 343cos 2t y t x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 223222(t 为参数)(1) 设直线l 上与已知点M 0相距为2的点为M 点,且M 点对应的参数为t, 则| M 0M |＝|t| =2, ∴t=±2 将t 的值代入(1)式当t=2时,M 点在 M 0点的上方,其坐标为(－2－2,3＋2);当t=-2时,M 点在 M 0点的下方,其坐标为(－2＋2,3－2)、点拨:若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M 点的坐标较麻烦, 而使用直线的参数方程,充分利用参数t 的几何意义求M 点的坐标较 容易、例5:直线⎩⎨⎧-=+=οο20cos 420sin 3t y t x (t 为参数)的倾斜角 、 解法1:消参数t,的34--x y ＝－ctg20°=tg110°解法2:化为标准形式: ⎩⎨⎧-+=-+=οο110sin )(4110cos )(3t y t t x (－t 为参数) ∴此直线的倾斜角为110°基础知识测试1:1、 求过点(6,7),倾斜角的余弦值就是23的直线l 的标准参数方程、 2、 直线l 的方程:⎩⎨⎧+=-=οο25cos 225sin 1t y t x (t 为参数),那么直线l 的倾斜角( ) A 65° B 25° C 155° D 115°3、 直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=t y t x 521511(t 为参数)的斜率与倾斜角分别就是( ) A) －2与arctg(－2) B) －21与arctg(－21) C) －2与π－arctg2 D) －21与π－arctg 21 4、 已知直线⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x (t 为参数)上的点A 、B 所对应的参数分别为t 1,t 2,点P 分线段BA 所成的比为λ(λ≠－1),则P 所对应的参数就是 、5、直线l 的方程: ⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00 (t 为参数)A 、B 就是直线l 上的两个点,分别对应参数值t 1、t 2,那么|AB|等于( )A ∣t 1－t 2∣B 22b a +∣t 1－t 2∣ C2221b a t t +- D ∣t 1∣+∣t 2∣ 6、 已知直线l :⎩⎨⎧+-=+= t 351y t x (t 为参数)与直线m:032=--y x 交于P 点,求点M(1,－5)到点P 的距离、 例6:已知直线l 过点P(2,0),斜率为34,直线l 与抛物线x y 22=相交于A 、B 两点,设线段AB 的中点为M,求: (1)P 、M 两点间的距离(2)M 点的坐标 (3)线段AB 的长|AB|解:(1)∵直线l 过点P(2,0),斜率为34,3 cos α =53, sin α=54∴直线l 的标准参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=t y t x 54532(t 为参数)* ∵直线l 与抛物线相交,将直线的参数方程代入抛物线方程x y 22=中, 整理得 8t 2－15t －50＝0 Δ=152+4×8×50>0,设这个二次方程的两个根为t 1、t 2,由韦达定理得 t 1＋t 2＝815, t 1t 2＝425- ,由M 为线段AB 的中点,根据t 的几何意义,得| PM |＝221t t + ＝1615 ∵中点M 所对应的参数为t M =1615,将此值代入直线的标准参数方程*, M 点的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧=•==•+=4316155416411615532y x 即 M(1641,43) (3) |AB|＝∣t 2－t 1∣＝ 222114)(t t t t -+＝7385 点拨:利用直线l 的标准参数方程中参数t 的几何意义,在解决诸如直线l 上两点间的距离、直线l 上某两点的中点以及与此相关的一些问题时,比用直线l 的普通方程来解决显得比较灵活与简捷、例7:已知直线l 经过点P(1,－33),倾斜角为3π,(1)求直线l 与直线l ':32-=x y 的交点Q 与P 点的距离| PQ |;(2)求直线l 与圆22y x +＝16的两个交点A,B 与P 点的距离之积、 解:(1)∵直线l 经过点P(1,－33),倾斜角为3π,∴直线l 的标准参数方 程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=3sin 333cos 1ππt y t x ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 2333211(t 为参数)代入直线l ':32-=x y 得032)2333()211(=-+--+t t 整理,解得t=4+23 t=4+23即为直线l 与直线l '的交点Q 所对应的参数值,根据参数t 的几 何意义可知:|t |=| PQ |,∴| PQ |=4+23、(2) 把直线l 的标准参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 2333211(t 为参数)代入圆的方程22y x +＝16,得16)2333()211(22=+-++t t ,整理得:t 2－8t+12=0, Δ=82-4×12>0,设此二次方程的两个根为t 1、t 2 则t 1t 2=12根据参数t 的几何意义,t 1、t 2 分别为直线与圆22y x +＝16的两个交点A, B 所对应的参数值,则|t 1|=| PA |,|t 2|=| PB |,所以| PA |·| PB |=|t 1 t 2|=12点拨:利用直线标准参数方程中的参数t 的几何意义解决距离问题、距离的乘积(或商)的问题,比使用直线的普通方程,与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便、例8:设抛物线过两点A(－1,6)与B(－1,－2),对称轴与x 轴平行,开口向右, 直线y=2x +7被抛物线截得的线段长就是410,求抛物线方程、 解:由题意,得抛物线的对称轴方程为y=2、设抛物线顶点坐标为(a ,2) 方程为(y ―2)2=2P(x －a ) (P>0) ①∵点B (－1,－2)在抛物线上,∴(―2―2)2=2P(－1－a )a P=－8－P 代入① 得(y ―2)2=2P x ＋2P+16 ②将直线方程y=2x +7化为标准的参数方程tg α=2, α为锐角,cos α =51, sin α=52 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 525511(t 为参数) ③ ∵直线与抛物线相交于A,B, ∴将③代入②并化简得: 75212542--+t P t ＝0 ,由Δ=355)6(42+-P >0,可设方程的两根为t 1、t 2,又∵|AB|=∣t 2－t 1∣＝222114)(t t t t -+＝410 4354]4)212(5[2⨯+-P =(410)2 化简,得(6－P)2=100 ∴ P=16 或P=-4(舍去) 所求的抛物线方程为(y ―2)2=32x ＋48点拨:(1)(对称性) 由两点A(－1,6)与B(－1,－2)的对称性及抛物线的对称性质,设出抛物线的方程(含P 一个未知量,由弦长AB 的值求得P)、(2)利用直线标准参数方程解决弦长问题、此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后,求弦长。