(整理)微分方程练习题
微分方程习题
例6 解
1 求解方程 y′′ − 2 y′ + y = ( x + cos 2x). 2 特征方程 r 2 + 4 = 0,
特征根
r1, 2 = ±2i ,
对应的齐方的通解为 Y = C1 cos 2 x + C 2 sin 2 x .
则 ( y * )′ = [ax 3 + ( 3a + b ) x 2 + 2bx ]e x , ( y * )′′ = [ax 3 + (6a + b ) x 2 + (6a + 4b ) x + 2b]e x ,
将 y * , ( y * )′, ( y * )′′ 代入原方程比较系数得
1 1 a= , b=− , 6 2
1 y = C1 + C 2 x + . x
2
二、练习自测
1 求下列微分方程通解或特解 求下列微分方程通解或特解:
(1) (2) (3)
ydy + e
y2 +3 x
dx = 0;
dy 2 2 = 1 + x + y + xy ; dx
( y sin x − 1)dx − cos xdy = 0;
dy 1 cos y − sin y = e x sin 2 y; (4) dx x
dy = 1 + x + y 2 + xy 2 dx
原方程变为
dy = (1 + x )(1 + y 2 ), dx
微分方程练习题
第7章微分方程练习题习题7 .11 •选择题 (1)()是微分方程((A )) d = (4x -1)d .( (B ) ) y =2x 1 . ((C ) )y 2一 3y 2 = 0 . ((D ) ) sin xdx = 0.(2)()不是微分方程((A )) y 3y =0 .((B))亠4 = 3X + Sin X . dx((C ))3y 2一 2x y = 0 .2 2 2 2((D) ) (x y )dx (x - y )dy 二 0(3)微分方程(y )23xy =4sinx 的阶数为() ((A ) ) 2 . ( (B ) ) 3. ( (C ) 1.((D ) ) 0 • 2 •判断函数是否为所给微分方程的解(填“是”或“否”)⑵ (x _2y)y =2x2-y, x -x y⑶ dx . - sin y =0, dyy 二 arccosxC ⑷井 2丄2y =X y ,1 y - x习题7.21. 解微分方程2二C( )(1)(1) xy =2y, y =5x .dy 1dx xdy dxi-y 2 1 -x 2(5) x 2y xy y x =1_ 二4-2 •解微分方程（1）（x y ）y（一八。
• ⑵y2X 2/y =e 2x_y ⑷ y(l _x 2)dy x(1 y 2)dx =0.dy xy - • dx3 .解微分方程(1) y y =e (2) y cosx y sin x =1.选择题(1)( )是微分方程((A)) = (4x -1)d .(B) ) y =2x 1 .((C))(D) ) sinxdx =0 .(2)() 不是微分方程((A)) y，+ 3y =0 . ((B)) =3x si nx .((C) ) 3y2-2x y = 0 ((D))dx2(x2y2 )dx (x2- y2)dy =0 .(3)微分方程(y )2 3xy =4sinx的阶数为(((A) ) 2 . ( (B) ) 3.((C) ) 1. (D) ).2 •判断函数是否为所给微分方程的解(填“是”或“否”(1)xy =2y, y =5x2.(X _2y)y =2X _ y, x2 _ X鱼siny=0, dy y二arccosx C解微分方程dx x 习题7.2dydx1-y21 -x2⑷ y(1 — x 2)dy x(1y 2)dx =0 .2⑸ x y xy 二 y, y xj =4 •22 •解微分方程(1) (x y)y (x - y) =0 .⑶ y =e 27 y 2 x 2鱼二 xy 屯dx dx⑸ y = ------- 1i 2xcosy +sin 2y习题7.31 .解卜列微分方程2（1）y x .（2）y 二3* 、归=23 .解微分方程 (1) y y = e (2) y cosx y sin x =1.dy y _ x 1 dxy x 厂3.dy _ y dx x y 22 .解下列微分方程 (1) y y -2y =0 .⑸ yy -(y)_y ".⑹ yy'y, V x^=1，yxJ .⑵ y -9y=0 .⑸ 4yF4y + y=0, \f x^=2, y 」=0.3 .解下列微分方程 (1) y -2y -3y=3x 1 .2x6 33⑶ y -10y 9y =e ,」=7 y x=0~ •⑷ y _4y 3y = 0, 丫乂』八2, g-0 .⑵ 2y "-3y - y = 2e x.⑷ y1；：：:卜y _2y =(5) y y = sin x . 8sin 2x .⑹ y y si n2x = °, y x 二「T yU.习题7.42 1•一条曲线通过点P(0,1)，且该曲线上任一点M(x,y)处的切线斜率为3x ,求这曲线的方程.2.生物活体含有少量固定比的放射性14C ,其死亡时存在的14C量按与瞬时存量成比例的速率减少，其半衰期约为5730年，在1972年初长沙马王堆一号墓发掘时，若测得墓中木炭14C含量为原来的77.2%，试断定马王堆一号墓主人辛追的死亡时间.3.作直线运动物体的速度与物体到原点的距离成正比, 在已知物体在10s时与原点相距100m, 20s时与原点相距200m，求物体的运动规律.4•设Q是体积为V的某湖泊在t时的污染物总量，若污染源已排除.当采取某治污措施后，污染物的减少率以与污染总量成正比与湖泊体积成反比化，设k为比例系数，且Q(0)=Q0，求k该湖泊的污染物的化规律，当--0.38时，求99%污染物被清除的时间.V5•—质量为m的质点从水面由静止状态开始下降，所受阻力与下降速度成正比，求质点下降深度与时间t的函数关系.6 •一弹簧挂有质量为2kg的物体时，弹簧伸长了0.098m，阻力与速度成正比，阻力系数丄=24N/(m⑸•当弹簧受到强迫力f -100sin10t (N )的作用后，物体产生了振动.求振动规律，设物体的初始位置在它的平衡位置，初速度为零.复习题七一、选择题1 •微分方程f . yy 3. 乂丫4=0阶数是() (A ) 1；( B ) 2；(C ) 3;(D ) 4.2•下列函数中，可以是微分方程y” • y = 0的解的函数是()3.下列方程中是一阶线性方程的是()4 .方程y*_4y"+3y=0满足初始条件y x _^ = 6, (A ) y = 3e x e3x； (B ) y = 2e x 3e 3x ； (C ) y = 4e x 2e 3x ； (D ) y = C 1e x C 2e 3x .5 .在下列微分方程中，其通解为 y = C 1 cosx - C 2 sin x 的是()(A) y _y J 0 ; ( B ) y 八0 ; (C ) y y =0 ; ( D ) y _y =0 .6•求微分方程 < 3/ 2^x 2的一个特解时，应设特解的形式为()(A ) ax 2；(B ) ax 2bx c ;(C ) x(ax 2bx c) ；(D ) x 2 (ax2bx c).7 .求微分方程 y "-3y '2y =si nx 的一个特解时，应设特解的形式为()(A ) bsinx ； (B ) acosx ； (C ) acosx bsinx ； (D ) x(acosx bsin x).二、填空题 9 .微分方程 x-dy= y x 2 sin x 的通解是 __________________ dx10.微分方程y ” • 3y =0的通解是 _________________ 11 .微分方程y ” • 4y ' 5y = 0的通解是 ____________(A) y =cosx ；(B )y =x ；(C ) y =si nx ；( D )y = e x.(A ) (y_3)lnxdx_xdy=0 ；(B)dy _ y 2 dx 1 -2xy- 2 2 ・(C ) xy 二 y x sin x ；(D) y y-2y=0 .y x=0 =10特解是(12•以y=C !xexC 2e x 为通解的二阶常数线性齐次分方程为13. 微分方程4y ：4y ：y=0满足初始条件y x=0=2, y x ^ = 0的特解 是 ______________ .14. ________________________________________________ 微分方程 <-4< 5y =0的特征根是 ________________________________________________________ .215. 求微分方程y ：2y ”』2x -1的一个特解时，应设特解的形式为 _______________________通解为 _______________________________三、计算题17.求下列微分方程的通解2 216.已知y 1 =e x及y 2 = xe x都是微分方程2y”_4xy：(4x -2)y=0的解，则此方程的(1)dy _ xy dx " 1 x 2(2) y y = cosx .2 2(3) sec xtan ydx sec y tan xdy 二(4) y y 二 sin x .(6) y 5y 4y = 3 - 2x .18•求下列微分方程满足所给初始条件的特解 (1) cos ysin xdx - cosxsin ydy= 0,⑵ y“-5y*6y=0, y *卫=1,八±=2 •4y 16y 15y = 4e⑷ 2y“+5y' = 29cosx, y *占=0』v" •19•求一曲线方程，这曲线通过原点，并且它在点(x, y)处的切线斜率等于 2x ・y .y x 卫11220.当一人被杀害后，尸体的温度从原来的37 C按牛顿冷却律开始变凉，设3小时后尸体温度为31 C，且周围气温保持20 C不变.(1)求尸体温度H与时间t(h)的函数关系，并作函数草图.(2 )最终尸体温度将如何？(3)若发现尸体时其温度是25 C，时间为下午4时，死者是何时被害的？21.设有一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致. 大小与时间成正比(比例系数为k1)的力作用于它，此外还受一与速度成正比(比例系数为k2)的阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系.⑶ d y .1=2L^dx x x1xcosy sin 2y习题7.31 .解卜列微分方程⑴ y =x2.⑵ S 、y^o =1,、心=2⑶ y -y =x.dy _ y dx x y 22 .解下列微分方程 (1) y y -2y =0 .⑸4才+47*=°, y x 出=Z y 仁=0 .⑸ yy _(y )2 一 y =0 .⑹ yy =y ，V x^1,—=1.⑶ y 4y 4y =0 .⑷ y -4y 3y =0,科y x 异0.⑵ y -9y=0 .3 .解下列微分方程(1) y - 2y -3y = 3x 1 .⑷ y y -2y 二 8sin 2x .⑶ y -10y 9y = e 2x,33 7⑵ 2y "-3y - y = 2e x .(5) y y = sin x .⑹ y y si n2x = °, yxi-T y =1-习题7.41•一条曲线通过点P(0,1)，且该曲线上任一点M(x,y)处的切线斜率为3x2，求这曲线的方程.2 .生物活体含有少量固定比的放射性14C ,其死亡时存在的14C量按与瞬时存量成比例的速率减少，其半衰期约为5730年，在1972年初长沙马王堆一号墓发掘时，若测得墓中木炭14C含量为原来的77.2%，试断定马王堆一号墓主人辛追的死亡时间.3.作直线运动物体的速度与物体到原点的距离成正比, 在已知物体在10s时与原点相距100m, 20s时与原点相距200m，求物体的运动规律.4•设Q是体积为V的某湖泊在t时的污染物总量，若污染源已排除.当采取某治污措施后，污染物的减少率以与污染总量成正比与湖泊体积成反比化，设k为比例系数，且Q(0)=Q0，求k该湖泊的污染物的化规律，当--0.38时，求99%污染物被清除的时间.V5•—质量为m 的质点从水面由静止状态开始下降，所受阻力与下降速度成正比，求质点下 降深度与时间t 的函数关系.规律，设物体的初始位置在它的平衡位置，初速度为零.复习题七、选择题 1 .微分方程y 2■ yy ”3 ' xy 4 =0阶数是() (A ) 1；( B ) 2；(C ) 3;(D ) 4.2•下列函数中，可以是微分方程y” • y = 0的解的函数是()(A) y = cosx ; (B ) y =x ;(C ) y = sin x ;(D ) y =e x.3 .下列方程中是一阶线性方程的是()(A ) (y-3)lnxdx-xdy=0 ；(B)鱼=丄dx 1 -2xy6 •一弹簧挂有质量为2kg 的物体时，弹簧伸长了 0.098m ，阻力与速度成正比，阻力系数亠-24 N/(m ⑸•当弹簧受到强迫力f =100si n10t (N )的作用后，物体产生了振动.求振动(C) xy = y x sin x ；4.方程y"-4y"+3y = 0满足初始条件yx4=6, y x^ = 10特解是( )(A) y 二3e x e3x； (B) y 二2e x 3e3x； (C) y 二4e x 2e3x； (D) y 二C® C2e3x.5.在下列微分方程中，其通解为y = C! cosx C2 sin x的是( )(A) y _y =0 ； ( B) y y =0 ； ( C) y y=0 ； ( D) y—y=0 .26.求微分方程y ” • 3y ' 2y二x的一个特解时，应设特解的形式为( )(A) ax ；( B) ax bx c ；(C) x(ax bx c) ；( D) x (ax bx c).7 .求微分方程y"-3y'2y=si nx的一个特解时，应设特解的形式为()(A) bsinx ；(B) acosx ；(C) acosx bsinx ；(D) x(acosx bsin x).二、填空题9 .微分方程x-d^ = y x2 sin x的通解是_________________ .dx10. __________________________________________ 微分方程y ： 3y = 0的通解是.11. ______________________________________________ 微分方程y” • 4y： 5y =0的通解是_______________________________________________________ .12.以y=C1xe x・C2e x为通解的二阶常数线性齐次分方程为____________________________13.微分方程4y ' 4y ： y = 0满足初始条件y x=0= 2, / = 0的特解是_______________ .14.微分方程y ” - 4y ' 5y =0的特征根是______________15.求微分方程y：2y'2x -1的一个特解时，应设特解的形式为____________________________16.已知y1 =e x及y2二xe x都是微分方程y"-4xy ' (4x2 -2)y =0的解，则此方程的通解为_______________________________三、计算题17.求下列微分方程的通解dy dx xy(2) y y = cosx .2 2(3) sec xtan ydx sec y tan xdy 二(4)y y 二sin x . (5) y - y -2y = 0 . ⑹ y 5y 4y = 3 - 2x . 18•求下列微分方程满足所给初始条件的特解(1) cos ysin xdx 「cosxsin ydy 二 0,⑵ y“-5y*6y=0, y *卫=1,y 」=2 .4y 16y 15y = 4e⑷ 2y“+5y‘= 29cosx, y x 占=0，y"x 占=1 •19•求一曲线方程，这曲线通过原点，并且它在点（x,y ）处的切线斜率等于1122x y •20.当一人被杀害后，尸体的温度从原来的37 C按牛顿冷却律开始变凉，设3小时后尸体温度为31 C，且周围气温保持20 C不变.（1）求尸体温度H与时间t（h）的函数关系，并作函数草图.（2 ）最终尸体温度将如何？（3）若发现尸体时其温度是25 C，时间为下午4时，死者是何时被害的？21.设有一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致. 大小与时间成正比（比例系数为）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比例系数为k2）的阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系.。
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常微分方程一、填空题1．微分方程的阶数是____________0(22=+-+x y dxdy dx dy n 答：12．若和在矩形区域内是的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则),(y x M ),(y x N R ),(y x 方程有只与有关的积分因子的充要条件是 0),(),(=+dy y x N dx y x M y _________________________答：)()1(y Mx N y M φ=-∂∂-∂∂3．_________________________________________ 称为齐次方程.答：形如的方程(xy g dx dy =4．如果 ___________________________________________ ,则存在),(y x f ),(y x f dx dy =唯一的解,定义于区间 上,连续且满足初始条件 ,其中)(x y ϕ=h x x ≤-0)(00x y ϕ=_______________________ .=h 答：在上连续且关于满足利普希兹条件 R y ),min(mb a h =5．对于任意的 , (为某一矩形区域),若存在常数使 ),(1y x ),(2y x R ∈R )0(>N N ______________________ ,则称在上关于满足利普希兹条件.),(y x f R y 答： 2121),(),(y y N y x f y x f -≤-6．方程定义在矩形区域:上 ,则经过点 的解的22y x dxdy +=R 22,22≤≤-≤≤-y x )0,0(存在区间是 ___________________ 答：4141≤≤-x 7．若是齐次线性方程的个解,为其伏朗斯基行列式,则满足),.....2,1)((n i t x i =n )(t w )(t w 一阶线性方程 ___________________________________答：0)(1'=+w t a w 8．若为齐次线性方程的一个基本解组，为非齐次线性方程的一个),.....2,1)((n i t x i =)(t x 特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_____________________答：xx c x ni i i +=∑=19．若为毕卡逼近序列的极限，则有 __________________)(x ϕ{})(x n ϕ≤-)()(x x n ϕϕ答：1)!1(++n n h n ML 10．______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解 ，则经过变换 )(x y ___________________ ，可化为伯努利方程．答：形如的方程 )()()(2x r y x q y x p dx dy ++=y z y +=11．一个不可延展解的存在区间一定是区间．答：开12．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．1d d +=y x y 答：，（或不含x 轴的上半平面）}0),{(2>∈=y R y x D 13．方程的所有常数解是 ．y x x y sin d d 2=答：,2,1,0,±±==k k y π14．函数组在区间I 上线性无关的 条件是它们的)(,),(),(21x x x n ϕϕϕ 朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零．答：充分15．二阶线性齐次微分方程的两个解为方程的基本解组充分必要条件)(),(21x y x y 是． 答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）16．方程的基本解组是．02=+'-''y y y 答：xx x e ,e17．若在上连续，则方程的任一非零解 )(x y ϕ=),(∞+-∞y x xy )(d d ϕ=与轴相交．x 答：不能18．在方程中，如果，在上连续，那么它的0)()(=+'+''y x q y x p y )(x p )(x q ),(∞+-∞任一非零解在平面上 与轴相切．xoy x 答：不能19．若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共)(),(21x y x y ϕϕ==同零点．答：没有20．方程的常数解是 ．21d d y x y -=答：1±=y 21．向量函数组在其定义区间上线性相关的 条件是)(,),(),(21x x x n Y Y Y I 它们的朗斯基行列式，．0)(=x W I x ∈答：必要22．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．22d d y x x y +=答： 平面xoy 23．方程所有常数解是 ．0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 答：1,1±=±=x y 24．方程的基本解组是．04=+''y y 答：xx 2cos ,2sin 25．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线． 答：2二、单项选择题1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A ）个．n（A ） （B ）-1 （C ）+1 （D ）+2n n n n 2．如果，都在平面上连续，那么方程的任一解的存在),(y x f y y x f ∂∂),(xoy ),(d d y x f x y =区间（ D ）．（A ）必为 （B ）必为),(∞+-∞),0(∞+ （C ）必为（D ）将因解而定)0,(-∞3．方程满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ D ）．y x xy +=-31d d （A ）上半平面 （B ）xoy 平面（C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面4．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ C ）．（A ）不是其对应齐次微分方程组的解 （B ）是非齐次微分方程组的解 （C ）是其对应齐次微分方程组的解 （D ）是非齐次微分方程组的通解5. 方程过点共有（ B ）个解．21d d y x y -=)1,2(π （A ）一（B ）无数 （C ）两 （D ）三6. 方程（ B ）奇解．2d d +-=y x xy （A ）有三个 （B ）无 （C ）有一个 （D ） 有两个7．阶线性齐次方程的所有解构成一个（ A ）线性空间．n （A ）维 （B ）维 （C ）维 （D ）维n 1+n 1-n 2+n 8．方程过点（ A ）．323d d y x y = （A ）有无数个解 （B ）只有三个解 （C ）只有解 （D ）只有两个解0=y 9. 连续是保证对满足李普希兹条件的（ B ）条件．),(y x f y '),(y x f y （A ）充分 （B ）充分必要 （C ）必要 （D ）必要非充分10．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ C ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间11．方程的奇解是（ D ）．y x y =d d （A ） （B ） （C ） （D ）x y =1=y 1-=y 0=y 12．若，是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的)(1x y ϕ=)(2x y ϕ=通解可用这两个解表示为（ C ）．（A ） （B ）)()(21x x ϕϕ-)()(21x x ϕϕ+（C ） （D ）)())()((121x x x C ϕϕϕ+-)()(21x x C ϕϕ+13．连续是方程初值解唯一的（ D ）条件．),(y x f y '),(d d y x f xy =（A ）必要 （B ）必要非充分 （C ）充分必要 （D ）充分14. 方程（ C ）奇解．1d d +=y x y （A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个15．方程过点(0, 0)有（ A ）．323d d y x y = (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、求下列方程的通解或通积分1．3y x y dx dy +=解： ，则 所以 23y y x y y x dy dx +=+=)(121⎰+⎰⎰=-c dy e y e x dy y dy y cy y x +=23另外 也是方程的解 0=y 2．求方程经过的第三次近似解2y x dxdy +=)0,0(解：0)(0=x ϕ[]2020121)()(x dx x x x x =+=⎰ϕϕ[]52021220121)()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕϕ[]81152022316014400120121)()(x x x x dx x x x x +++=+=⎰ϕϕ3．讨论方程 ，的解的存在区间 2y dx dy =1)1(=y 解：dx y dy =2两边积分 c x y+=-1所以 方程的通解为 cx y +-=1故 过的解为 1)1(=y 21--=x y 通过点 的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到 ２，)1,1(∞-所以解的存在区间为 )2,(-∞4． 求方程的奇解01(22=-+y dxdy 解: 利用判别曲线得p 消去得 即 ⎩⎨⎧==-+020122p y p p 12=y 1±=y 所以方程的通解为 , 所以 是方程的奇解)sin(c x y +=1±=y 5．0)1()1(cos 2=-++dy yx y dx y x 解: =, = , = , 所以方程是恰当方程.y M ∂∂2--y xN ∂∂2--y y M ∂∂x N ∂∂ 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+=∂∂211cos yx y y v y x x u )(sin y y x x u ϕ++= 所以)('2y xy yu ϕ+-=∂∂-y y ln )(=ϕ故原方程的解为 c y yx x =++ln sin6． xx x y y y 22'sin cos sin 2-=-+解: 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为x x x y y y 22'sin cos sin 2-++-= ,令 , 则方程可化为, x y sin =x z y sin +=2z dx dz -=cx z +=1即 , 故 c x x y +=-1sin c x x y ++=1sin 7．0)37()32(232=-+-dy xy dx y xy 解: 两边同除以得2y 037322=-+-xdy dy y ydx xdx 0732=--yd xy d dx 所以 , 另外 也是方程的解c y xy x =--7320=y 8．21d d x xy x y +=解 当时，分离变量得0≠y x x x y y d 1d 2+=等式两端积分得C x y ln )1ln(21ln 2++= 即通解为 21x C y +=9. xy xy 2e 3d d =+ 解 齐次方程的通解为x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为xx C y 3e )(-=代入原方程，确定出 C x C x +=5e 51)( 原方程的通解为+ x C y 3e -=x 2e 5110. 5d d xy y xy +=解 方程两端同乘以，得5-yx y x y y +=--45d d 令 ，则，代入上式，得z y =-4xz x y y d d d d 45=-- x z x z =--d d 41 通解为 41e 4+-=-x C z x 原方程通解为41e 44+-=--x C y x 11．0)d (d 222=-+y y x x xy 解 因为，所以原方程是全微分方程． x N x y M ∂∂==∂∂2 取，原方程的通积分为)0,0(),(00=y xC y y x xy y x =-⎰⎰020d d 2 即C y y x =-323112．y y x y ln d d =解：当，时，分离变量取不定积分，得0≠y 1≠y通积分为C x y y y +=⎰⎰d ln d x C y e ln =13．03)(22=+'+''x y y y解 原方程可化为0)(2='+'x y y 于是 12d d C x xy y =+ 积分得通积分为23123121C x x C y +-=14．xy x y x y +-=2)(1d d 解：令，则，代入原方程，得xu y =x u x u x y d d d d +=21d d u xu x -= 分离变量，取不定积分，得（） C x x u uln d 1d 2+=-⎰⎰0≠C 通积分为： Cx xy ln arcsin=15． xy x y x y tan d d +=解 令，则，代入原方程，得u x y =xu x u x y d d d d += ， u u x u x u tan d d +=+u x u x tan d d = 当时，分离变量，再积分，得0tan ≠u C x x u u ln d tan d +=⎰⎰ Cx u ln ln sin ln +=即通积分为：Cx x y =sin 16． 1d d +=xy x y 解：齐次方程的通解为Cx y = 令非齐次方程的特解为x x C y )(=代入原方程，确定出 C x x C +=ln )( 原方程的通解为+Cx y =x x ln 17. 0d d )e (2=+-y x x y x y 解 积分因子为21)(x x =μ 原方程的通积分为1012d d (e C y x x y y x x =+-⎰⎰ 即 1e ,e C C C xy x +==+18．0)(2='+''y y y 解：原方程为恰当导数方程，可改写为0)(=''y y 即1C y y =' 分离变量得x C y y d d 1= 积分得通积分21221C x C y +=19．1)ln (='-'y x y 解 令，则原方程的参数形式为p y ='⎪⎩⎪⎨⎧='+=p y p p x ln 1 由基本关系式 ，有y xy '=d dp p pp x y y )d 11(d d 2+-⋅='= p p )d 11(-=积分得 C p p y +-=ln 得原方程参数形式通解为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=C p p y p p x ln ln 120．022=+'+''x y y y 解 原方程可化为0)(2='+'x y y 于是 12d d C x xy y =+ 积分得通积分为 23123121C x x C y +-=21． 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 解：由于，所以原方程是全微分方程． x N xy y M ∂∂==∂∂2 取，原方程的通积分为)0,0(),(00=y x103023d d )(C y y x xy x y x =++⎰⎰即C y y x x =++42242四、计算题1．求方程的通解．x y y e 21=-''解 对应的齐次方程的特征方程为：12=-λ特征根为：1,121-==λλ故齐次方程的通解为： x x C C y -+=e e 21 因为是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为1=αx Ax x y e )(1=代入原方程，有 ， 可解出 ． x x x x Ax Ax A e 21e e e 2=-+41=A 故原方程的通解为 x xx x C C y e 41e e 21++=-2．求下列方程组的通解． ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x t y y x t x 43d d 2d d 解 方程组的特征方程为04321=----=-λλλE A 即 0232=+-λλ特征根为 ，11=λ22=λ 对应的解为11=λt b a y x e 1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡其中是对应的特征向量的分量，满足11,b a 11=λ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----0014321111b a 可解得．1,111-==b a 同样可算出对应的特征向量分量为 ．22=λ3,212-==b a 所以，原方程组的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t t t C C y x 2221e 32e e e 3．求方程的通解．x y y 5sin 5='-''解：方程的特征根为，01=λ52=λ齐次方程的通解为 x C C y 521e += 因为不是特征根。
(完整版)微分方程试题及部分应用题答案整理版
第十章 微分方程习题一.填空题：（33）1-1-40、 微分方程4233''4''')'(x y x y y =++的阶数是 . 1-2-41、 微分方程0'2'2=+-xy yy xy 的阶数是 . 1-3-42、 微分方程0d d d d 22=++s x sx s 的阶数是 .1-4-43、x y y y y sin 5''10'''4)()4(=-+-的阶数是 . 1-5-44、微分方程xy x y2d d =满足条件1|'0==x y 的特解是 . 1-6-45、微分方程0d d =+y x y的通解是 .1-7-46、方程y e y x='的通解是 . 1-8-47、 方程y y y ln '=的通解是 . 1-9-48、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-10-49、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-11-50、方程013'4''=+-y y y 的通解是 .1-12-51、已知特征方程的两个特征根,3,221-==r r 则二阶常系数齐次微分方程为1-13-52、微分方程xe y =''的通解为 . 1-14-53、微分方程x e y x sin ''2-=的通解为 . 1-15-54、若0d ),(dx ),(=+y y x Q y x P 是全微分方程, 则Q P ,应满足 . 1-16-55、与积分方程xy x f y x x d ),(0⎰=等价的微分方程初值问题是 .1-17-56、方程0d )2(d )(22=-++y xy x x y xy 化为齐次方程是 . 1-18-57、通解为21221,(C C e C e C y xx +=为任意常数)的微分方程为 .1-19-58、方程yx e y -=2'满足条件00==x y 的特解是 .1-19-59、方程0dy 1dx 2=-+x xy 化为可分离变量方程是1-20-60、方程xy y 2'=的通解是1-21-61、 方程x y xy x y x y d d d d 22=+化为齐次方程是1-22-62、 若t y ωcos =是微分方程09''=+y y 的解, 则=ω .1-23-63、若ktCe Q =满足Qdt dQ03.0-=, 则=k .1-24-64、y y 2'=的解是1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数x (万)和x -1000的积成正比, 则该城市人口)(t x 所满足的微分方程为1-26-66、 圆222r y x =+满足的微分方程是1-27-67、 axae y =满足的微分方程是1-28-68、一阶线性微分方程)()(d dyx Q y x P x =+的通解是 .1-29-69、已知特征方程的两个根3,221-==r r , 则二阶常系数线性齐次微分方程为 .1-30-70、方程25x y =是微分方程y xy 2'=的 解.1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与 之和. 1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程0'''=++qy py y 对应的特征方程有两个不等实根，则其通解为 .1-33-73、将微分方程0)2()(22=---dy xy x dx y xy 写成齐次微分方程的标准形式为二.选择题：（29）2-1-56、微分方程yx2dx dy=的通解是 ( )A.2x y = B. 25x y = C. 2Cx y = D.Cx y =2-2-57、 微分方程0dy 1dx 2=-+x xy 的通解是 ( ) A.21x ey -= B.21x Cey -= C.x C y arcsin = D. 21x C y -=2-3-58、下列方程中是全微分方程的是 ( )A.0dy dx )(2=--x y x B. 0dy dx =-x y C. 0dy )(1dx )1(=-++xy y xy D.0dy dx )(22=++xy y x 2-4-59、下列函数组中,线性无关的是 ( )A.x x e e 32,B.x x 2sin ,2cosC. x x x sin cos ,2sinD.2ln ,ln x x2-5-60、方程03'2''=--y y y 的通解是 ( )A.x x e C e C y 321--+=B. x x e C e C y 321+=C. x x e C e C y 321-+=D. x x e C e C y 321+=-2-6-61、方程0''=+y y 的通解是 ( ) A.x C y sin = B.x C y cos = C.x C x y cos sin += D.x C x C y cos sin 21+=2-7-62、 下列方程中是可分离变量的方程是 ( )A. xy y x -=33dx dyB.0dy 2dx )3(2=++xy y e x C. 234dx dy xy y x += D.y x xy y 321dx dy ++= 2-8-63、 微分方程0cot '=-x y y 的通解是 ( ) A. x C y cos = B. x C y sin = C. x C y tan = D. x C y csc =2-9-64、已知微分方程0''=+-p y y 的通解为)(212x C C e y x +=,则p 的值是 ( )A.1B.0C.21D.412-10-65、微分方程02'=-y y 的通解是 ( )A.C x y +=2sinB.C e y x +=24C.x Ce y 2=D. xCe y =2-11-66、方程xy 2dx dy=的通解是 ( )A.C e x +2B.Cxe+2C. 2Cx eD. 2)(C x e +2-12-67、 xe y -=''的通解为=y ( )A.x e --B. xe - C. 21C x C ex++- D. 21C x C e x ++--2-13-68、微分方程xe 21dx dy -=满足10-==x y 的特解为 ( )A.1221+-=-x ey B. 3221-=-x ey C. C ey x +-=-212 D.212121--=-xe y2-14-69、微分方程0ydy -dx 3=x 的通解是 ( )A.C y x =-2422B. C y x =+2422C. 02422=-y xD. 12422=+y x2-15-70、 微分方程0ydy -dx 3=x 的通解是 ( )A.222=+y xB. 933=+y xC. 133=+y x D. 13333=+y x2-16-71、 过点,0()2-的曲线,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的曲线方程是( )A.32-=x yB. 52+=x yC.53-=x e yD.5-=x Ce y 2-17-72、齐次方程x yxy tandx dy =化为可分离变量的方程, 应作变换 ( ) A. 2ux y = B. 22x u y = C. ux y = D.33x u y =2-18-73、 设方程)()('x Q y x P y =+有两个不同的解21,y y ,若21y y βα+也是方程的解,则( )A.βα=B. 0=+βαC. 1=+βαD. βα,为任意常数2-19-74、 方程dx 2dx dy y x x =+的通解是 ( )A.x Cx y +=2B. x x C y +=2sinC. C x y +=2cosD.C x y +=22-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( )A.x y xy =+2' B .x xy y sin '=+ C .x yy =' D .xy y -=2'2-21-76、曲线上任一点P 的切线均与OP 垂直的曲线方程是 ( )A.y x y -=' B. y x y =' C. x y y -=' D. x y y ='2-22-77、方程2)3(,0'==+y y y 的解是 ( )A.x e y -=32B. x e y --=32C. 32-=x e yD. 32--=x e y2-23-78、 微分方程x y y ln '=的通解是 ( )A.x x e y ln =B. x x Ce y ln =C. x x x e y -=lnD. x x x Ce y -=ln2-24-79、下列哪个不是方程y y 4''=的解 ( )A. x e y 22=B. x e y 2=C. x e y 2-=D. x e y 2=2-25-80、方程0sin '''653)4(=-+++y y y y x xy y 的阶是 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 32-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于y x2-，则这条曲线是( )A. 椭圆B. 抛物线C. 双曲线D. 圆2-27-82、下列可分离变量的方程是 ( )A. xy y x dx dy-=33 B.02)3(2=++xydy dx y e x C. xy yx dx dy += D.y x xy y dx dy 321++= 2-28-83、微分方程0cot '=-x y y 的通解是 ( ) A. x C y cos = B. x C y sin = C. x C y tan = D. x C y csc = 2-29-84、 已知微分方程0''=+-p y y 的通解为)(212x C C e y x +=,则p 的值( )A. 1B. 0C. 21D. 41三.计算题：（59）3-1-52、0d tan sec d tan sec 22=+y x y x y x 3-2-53、 0ln '=-y y xy3-3-54、0d sec )2(d tan 32=-+y y e x y e x x 3-4-55、y x y y x x y 22222')1(=-+- 3-5-56、 y xe y e x dx dy +-=- 3-6-57、 0)1()1(=-++xdy y ydx x3-7-58、 x x y y y x d sin cos d sin cos =,4|0π==x y3-8-59、0)0(,02')1(22==+-y xy y x 3-9-60、 1)(,ln 2'==e y x y y3-10-61、 x x y y y x d sin cos d sin cos =,4|0π==x y3-11-62、 0y)dx -(x dy )(=++y x3-12-63、 )ln (ln dx d x y y yx-=3-13-64、0)2(22=+-dy x dx xy y 3-14-65、x yx y xy tan'=-3-15-66、x yx y x y xy ++=-ln)('3-16-67、dx dy xy dx dy x y =+223-17-68、x y y x y +=', 2|1==x y3-18-69、x y x y y +=', e y e x ==|3-19-70、2|,'122=-=-=x y y x y xy3-20-71、x x y x y sin 1'=+, 1|==πx y 3-21-72、x e x y x y 43'=-3-22-73、 342'x xy y =-3-23-74、x y x y ln 11'=-3-24-75、x e y x x y x 21'=-+ 3-25-76、 x x y y sec tan '=-,|0==x y3-26-77、x x y x y sin 1'=+, 1|==πx y 3-27-78、22112'x y x xy +=+-, 0|0==x y3-28-79、x xy xy ln '=-, e y e x ==|3-29-80、 22d dyxxe xy x -+=3-30-81、)sin (cos d dy2x x y y x -=+ 3-31-82、5d dyxy y x =- 3-32-83、02d dy4=++xy xy x3-33-84、4)21(3131d dy y x y x -=+3-34-85、xy xy x 2d dy 2-= 3-35-86、x y y +='''3-36-87、01)'(''2=++y yy 3-37-88、01''3=+y y3-38-89、y y 3''=, 1|0==x y , 2|'0==x y3-39-90、223''yy =, 1|3==x y , 1|'3==x y3-40-91、02''=+y y 3-41-92、013'4''=++y y y 3-42-93、0'2''=+-y y y 3-43-94、04'5''=+-y y y 3-44-95、04'3''=--y y y ,|0==x y ,5|'0-==x y 3-45-96、029'4''=++y y y , 0|0==x y ,15|'0==x y3-46-97、0'4''4=++y y y , 2|0==x y , 0|'0==x y 3-47-98、0'4''4=++y y y ,2|0==x y ,|'0==x y 3-48-99、013'4''=+-y y y , 0|0==x y , 3|'0==x y3-49-100、04'4''=+-y y y ,|0==x y ,1|'0==x y3-50-101、xe y y y 2'''2=-+3-51-102、x e y y x cos ''+=+ 3-52-103、x e x y y y 3)1(9'6''+=+-3-53-104、'''22xy y y e --=3-54-105、123'2''+=--x y y y 3-55-106、''sin 20y y x ++=, 1|==πx y , 1|==πx y3-56-107、52'3''=+-y y y ,1|0==x y ,2|'0==x y3-57-108、xe y y y 29'10''=+-,76|0==x y ,733|'0==x y 3-58-109、xxe y y 4''=-, 0|0==x y , 1|'0==x y 3-59-110、xxe y y y 26'5''=+-四.应用解答题：（14）4-1-9、一曲线通过点)3,2(, 它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分, 求这曲线方程.4-2-10、已知⎰--=+xx x y t t y t t 03231d )(12, 求函数)(x y4-3-13、求一曲线, 这曲线通过原点, 并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x =2.4-4-14、试求x y =''的经过点)1;0(M 且在此点与直线12+=xy 相切的积分曲线.4-5-15、设某曲线,它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等于2,求这条曲线的方程所满足的微分方程. 4-6-16、已知某曲线经过点)1,1(, 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.4-7-17、设可导函数)(x ϕ满足⎰+=+xx t t t x x 01d sin )(2cos )(ϕϕ, 求)(x ϕ.4-8-10、已知某商品需求量Q 对价格p 的弹性为22p Ep EQ-=, 最大需求量为1000=Q , 求需求函数)(p f Q =.4-9-11、设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系 4-10-12、在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE E ωsin 0=, 在时刻0=t 时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E , ω为常数).4-11-13、如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰,又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.4-12-14、根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(ddL L A k x -=，（其中0,0>>A k ）, 若不做广告, 即0=x 时纯利润为L , 且AL <<00, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.4-13-15、在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy 的31. 设0=t 时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.五.证明题：（2）5-1-18、设),(1x y )(2x y 是二阶齐次线性方程0)(')(''=++y x q y x p y 的两个解,令)()(')(')()(')(')()()(21212121x y x y x y x y x y x y x y x y x w -==证明: )(x w 满足方程0)('=+w x p w5-2-19、设1y , 2y , 3y 是线性方程)()(d dyx Q y x P x =+的3个相异特解,证明 1213y y y y --为一常数.部分应用题答案487．在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE E ωsin 0=, 在时刻0=t 时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E , ω为常数).解. 设)(t i i =, 由回路电压定律tE dt diLRi ωsin 0=+, 即t L E L R dt di ωsin 0=+∴⎰+⎰⎰=-]sin [)(0C dt te L E e t i t dt LR L Rω=⎰+-]sin [0C dt te L E ett L R LR ω=)cos sin (2220t L t R L R E Cet LR ωωωω-++-将|0==t i 代入通解得2220L R LE C ωω+=∴)cos sin ()(2220t L t R Le L R E t i t LR ωωωωω-++=-488. 设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系 解：.物体重力为mg w =, 阻力为kv R -=, 其中g 是重力加速度, k 是比例系数.由牛顿第二定律得kvmg dt dv m-=,从而得线性方程g v m kdt dv =+, 0|0==t v∴ ⎰--+=+⎰⎰=t m kdt dt Ce g k m C dt ge e v km m k ][, 将0|0==t v 代入通解得 g k m C -=∴ )1(tm k e g k m v --=, 再积分得122C ge k m gt k m S t m k++=-,将0|0==t S 代入求得g k m C 221-=∴ )1(22-+=-t m ke g k m gt k m S489. 如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.解：设鱼雷的航行曲线方程为)(x y y =, 在时刻t , 鱼雷的坐标巍巍),(y x P , 敌舰的坐标为),1(0t v Q .因鱼雷始终对准敌舰, 故x y t v y --=1'0, 又弧OP 的长度为⎰=-xtv dx y 0022'1,从以上两式消去tv 0得''121''')1(2y y y y x -+=--, 即2'121'')1(y y x +=-根据题意, 初始条件为0)0(=y , 0)0('=y令p y =', 原方程化为2121')1(p p x +=-, 它是可分离变量得方程,解得21)1(112--=++x C p p , 即21)1('1'12--=++x C y y 将0)0('=y 代入上式得11=C , 故21)1('1'2--=++x y y而21)1(''1'1'122--=-+=++x y y y y , 得2121)1()1(21'x x y -+-=-积分得22321)1(31)1(C x x y +-+--=, 将0)0(=y 代入上式得322=C , 所以鱼雷的航行曲线为32)1(31)1(2321+-+--=x x y490．根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系 )(ddL L A k x -=，（其中0,0>>A k ）, 若不做广告, 即0=x 时纯利润为0L , 且A L <<00, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.解：依题意得)(L A k dx dL-=,00|LL x ==, 解可分离变量得微分方程, 得通解 kx Ce A L -+=, 将00|L L x ==代入通解, 得A L C -=0, 所以纯利润L 与广告费x 之间的函数关系为kxe A L A x L --+=)()(.491．在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I 均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy 的31.设0=t 时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.解：依题意:y S 101=, dt dy I ⋅=31, 解之得通解t Ce y 103=, 将5|0==t y 代入通解得5=C , 所以国民收入函数为te y 1035=492．试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型. 解：设在某一时刻t , 商品的价格为)(t p , 因供需差价, 促使价格变动. 对新的价格,又有新的供需差, 如此不断地调节价格, 就构成了市场价格形成的动态过程.假设价格)(t p 的变化率dt dp与需求和供给之差成正比. 记需求函数为),(r p f , 供给函数为)(p g , 其中r 为参数. 于是得微分方程)](),([p g r p f k dt dp-=,0)0(pp =, 其中p 为0=t 时商品的价格, k 为正常数.若需求供给函数均为线性函数, b kp r p f +-=),(, d cp p g +=)(, 则方程为)()(d b k p c k k dt dp-++=,0)0(pp =, 其中d c b k ,,,均为正常数, 其解为c k db ec kd b p t p t c k k +-++--=+-)(0)()(下面对所得结果进行讨论:(1) 设p 为静态均衡价格, 则应满足0)(),(=-p g r p f , 即d p c b p k +=+-,则c k db p +-=, 从而价格函数p e p p t p c k k +-=+-)(0)()(,取极限: p t p t =∞→)(lim .它表明: 市场价格逐步趋于均衡价格. 若初始价格p p =0 , 则动态价格就维持在均衡价格p 上, 整个动态过程就变为静态过程.(2) 由于t c k k e c k k p p dt dp )(0)()(+-+-=, 所以当p p >0时, 0<dt dp, )(t p 单调下降向p靠拢, 这说明: 初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低, 逐渐接近均衡价格; 而当初始价格低于均衡价格时, 动态价格会逐渐增高, 逐渐接近均衡价格.。
微分方程试题
第十二章 微分方程考试内容 常微分方程的概念 微分方程的解、通解、初始条件和特解 变量可分离的方程 齐次方程 一阶线性方程 伯努利（Bernoulli ）方程 全微分方程 可用简单的变量代换求解的某些微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 欧拉（Euler ）方程 包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组 微分方程的幂级数解法 微分方程（或方程组）的简单应用问题。
练习题与答案[练习题] 1、填空题（1）微分方程x 2dy+(3xy-y)dx=0的通解为 。
（2）微分方程（x 2-1）dy+(2xy-cosx)dx=0,y|x=0=1的特解为 。
（3）一曲线过点（e,1），且在此曲线上任一点M(x,y)的法线斜率为xy x x x ln ln +-，则此曲线方程为 。
（4）通解为y=C 1e x +C 2e -2x 的微分方程是 。
2、选择题（1）满足方程⎰=1)()1)(()(）为（的可导函数的自然数为大于x f n x nf dt tx f 。
nx C D nx C C C C B n nCxA cos sin )()(1）（）（为常数）（-（2）微分方程)(sin 3)4(=+=-n x y x e y y 的特解可设为。
)sin cos ()(sin cos )(sin cos )(sin )(x C x B Ae x D xC x B Axe C xC x B Ae B xB Ae A xxx x +++++++（3）已知的解，则为的解，为xx e y y e y x y y x y =+==+=''21''21微分方程x e x y y +=+''的通解为y ＝（ ）。
（A ）x e x 21+（B ）x e x C x C x +++21sin cos 21 （C ）x x C x C ++sin cos 21 （D ）x C x C sin cos 21+（4）已知x y xy 4'''=+的一个特解为x 2，又对应的齐次方程0'''=+y xy 有一个特解lnx ，则原方程的通解y=( )。
微分方程习题和答案
微分方程习题和答案(总42页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22（2）⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。
（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。
（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。
（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。
§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；（3）23xy xy dxdy =-； （4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='xy y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x .4. 求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y y x xy dx dy ；（2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+'（3）11+-='yx y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a .7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了染色，30分钟后剩下，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐§3 一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）2x xy y =-'； （2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ；（4）)(ln 2x y y y -='； （5）1sin 4-=-x e dxdy y 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ； (2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3．一 曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程.4．设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ. 5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系.6．求下列贝努利方程的通解(1) 62y x xy y =+' （2）x y x y y tan cos 4+='（3）0ln 2=-+y x x dydx y （4）2121xy x xy y +-='§4 可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。
微分方程习题(附答案)
微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22（2）⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。
（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。
（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。
（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。
§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；（3）23xy xy dxdy =-； （4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='xy y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x .4. 求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y yx xy dx dy ； （2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+'（3）11+-='yx y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等27. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？§3 一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）2x xy y =-'； （2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ；（4）)(ln 2x y y y -='； （5）1sin 4-=-x e dxdy y 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ； (2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3．一 曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程.4．设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ. 5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系.6．求下列贝努利方程的通解(1) 62y x xy y =+' （2）x y x y y tan cos 4+='（3）0ln 2=-+y x x dydx y（4）2121xy x xy y +-='§4 可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。
微分方程题库（学生用）
微分方程题库（学生用）微分方程习题一、选择题1. 微分方程（x+y ）dy-(x-y)dx=0是（）A.可分离变量的微分方程 B.齐次微分方程 C.一阶线性齐次微分方程 D.一阶线性非齐次微分方程2．微分方程y ＇- y=x 2+1是（） A ．一阶线性微分方程 B ．二阶线性微分方程 C ．齐次微分方程 D ．可分离变量的微分方程 3. 微分方程xy ′+y =x +3是（） A. 可分离变量的微分方程 B. 齐次微分方程C. 一阶线性齐次微分方程D. 一阶线性非齐次微分方程4．下列微分方程中，是可分离变量的微分方程为（）A ．（e x+y -e x ）dx+(e y -e x+y )dy=0 B ．)(ln xy dxdy= C ．xdy-(y+x 3)dx=0D ．(x+y)dy-(x-y)dx=05. 下列微分方程中为线性微分方程的是( )A.y x ydx dy sin += B.x e x xy dxy d )1(222+=- C.y x dx dycos =D.x dx dy x dx y d 1)(222=+ 6. 微分方程y ″+y=0的解是（）A ．y=1B ．y=xC ．y=sinxD ．y=e x 7．下列函数中哪个不是微分方程y ″-4y ′+3y=0的解（） A ．e xB ．e 2xC ．e 3xD ．e x+1 8. 微分方程y y '=''的通解是y=（） A.Ce xB.C 1e x +C 2C. C 1e x +C 2xD.Ce x +x 9．微分方程y ″-5y ′+6y=0的通解y=（） A ．C 1e -2x +C 2e -3x B ．C 1e 2x +C 2e 3x C ．C 1e 2x +C 1e 3x D ．C 1e -2x +C 1e -3x10. 微分方程x sin y =''的通解为y=（）A.sinx+C 1x+C 2B.sinx+C 1+C 2C.-sinx+C 1x+C 2D.-sinx+C 1+C 2 11. 微分方程1y y =-'的通解是（）A.y=Ce xB.y=Ce x +1C.y=(C+1)e xD.y=Ce x -1 12．微分方程xy ″=y ′的通解为（） A ．y=C 1x+C2 B ．y=x 2+C C ．y=C 1x 2+C 2 D ．y=C x 212+ 13．微分方程032=+'+''y y y 的通解为（） A ．)22sin 22cos (212x C x C e y x +=-B ．)2sin 2cos (21xC x C e y x +=-C ．)2sin 2cos (21x C x C e y x +=D ．)22sin 22cos (212x C x C e y x +=14. 微分方程y '=2y 的通解是（）A.y=Ce x B.y=e 2x +CC.y=2e CxD.y=Ce 2x二、填空题 15．（1）方程x e y dxdydx y d =++2)(222的阶数____.（2）方程y ″+3（y ′）4-3x +1=0的阶数是_______. 16．（1）微分方程xdy-ydx=0的通解为________ （2）微分方程1x 3dxdy=-的通解为_________. （3）. 求微分方程xy dxdy2=的通解________. 17. 微分方程y ''=cosx 的通解y=___________.三、计算题18．求下列可分离变量的微分方程的通解或特解．（1）x0y ln y dx dy=-，（2）01122=+-+dx )y (x dy )x (y . （3）221xy y x dx dy +++= （4）方程xydx dy =满足初始条件y(1)=2的特解. 19．求下列一阶线性微分方程的通解或特解．（1）、2.x dy y e dx += （2）dx dy +x x y n 1=x x n 12 ；（3）xy ′+y =xe x （4）211x y dxdy x +=+ （5）微分方程xy ＇- y = 2x 3满足初始条件y (1)=1的特解．20．求下列二阶线性微分方程的通解或特解．（1）、〃y - 4y ＇+ 4y =0，（2）、y ″+ y ′-12y =0，（3）y ″-2y '-3y =0，（4）x e y 7y 4y =+'-'' （5）. 求方程y ″+2y '+y =0满足初始条件y |x =0=4、y '| x =0=-2的特解. （6）. 求方程034=+'-''y y y 满足初始条件()8)0(,40='=y y 的特解. （7）. 设函数f (x)满足6)x (f 6)x (f 5)x (f =+'+''，求函数f (x). （精品班用）（8）. 已知y *=811-21x 是微分方程y ″+5y ′+4y =3-2x 的一个特解，求该方程满足初始条件y (0)=83，y ′(0)=27的特解.（精品班用） 21. 已知微分方程)()(x Q y x P y =+'的两个特解为y 1=2x 和y 2=cos x ,则该微分方程的通解是y =( )（精品班用）A.2C 1x +C 2cos xB.2Cx +cos xC.cos x +C (2x -cos x )D.C (2x -cos x ) 22．已知二阶常系数线性齐次微分方程0=+'+''qy y p y 的通解为)2cos 2sin (21x C x C e y x +=，则常数p 和q 分别为（）（精品班） A ．-2和5 B ．2和-5 C ．2和3D ．-2和-323．微分方程y ″-2y ′+3y=5e 2x 的一个特解为（）（精品班用）A ．x 2e 95B ．x 2e 35C ．x 2e 2D ．x 2e 2524．微分方程y ''-5y '+6y =x 2e 3x 的一个特解y *可设为（）（精品班用） A ．（b 0x 2+b 1x ）e 3xB ．(b 0x 2+b 1x )xe 3xC ．(b 0x 2+b 1x +b 2)e 3xD ．(b 0x 2+b 1x +b 2)xe 3x 25. 微分方程y ″-y ′-6y=3e x 的一个特解y 应具有的形式为（）（精品班用） A. y =ae x B. y =(ax+b)e x C. y =axe x D. y =ax 2e x26．已知二阶常系数线性齐次微分方程010=+'+''y y p y 的通解为y =e 3x （C 1cos x +C 2sin x ），则常数p =__________.（精品班用）。
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第７章 微分方程练习题习题７.11．选择题 （1）（ ）是微分方程（（A ））dx x dy )14(-=． (（B ）) 12+=x y ． (（C ）) 0232=+-y y ． (（D ）)⎰=0sin xdx ． （2）( )不是微分方程（（A ））03=+'y y ． (（B ）) x x dxyd sin 322+=． (（C ）) 0232=+-y x y ． (（D ）) 0)()(2222=-++dy y x dx y x ．（3）微分方程x xy y sin 43)(2=+'的阶数为（ ）(（A ）) 2． (（B ）) 3． (（C ）) 1． (（D ）) 0． 2．判断函数是否为所给微分方程的解（填“是”或“否”） （1）25,2x y y y x =='． （ ）(2) C y x x y x y y x =+--='-22,2)2(. ( )(3)C x y y dydx+==+arccos ,0sin . ( )(4) xy y x y 1,22=+=''. ( ) 习题7.21．解微分方程(1) x dx dy 1=． (2) 2211xy dx dy --=．(3) yx e y -='2． (4)0)1()1(22=++-dx y x dy x y ．(5) 4,212==+'=x y y xy y x ．2．解微分方程(1) 0)()(=-+'+y x y y x ． (2) dxdyxydx dy x y =+22． (3) xyx y y tan +='．3．解微分方程 (1) xey y -=+'． (2) 1sin cos =+'x y x y ．1．选择题 （1）（ ）是微分方程（（A ））dx x dy )14(-=． (（B ）) 12+=x y ． (（C ）) 0232=+-y y ． (（D ）)⎰=0sin xdx ． （2）( )不是微分方程（（A ））03=+'y y ． (（B ）) x x dxyd sin 322+=． (（C ）) 0232=+-y x y ． (（D ）) 0)()(2222=-++dy y x dx y x ．（3）微分方程x xy y sin 43)(2=+'的阶数为（ ）(（A ）) 2． (（B ）) 3． (（C ）) 1． (（D ）) 0． 2．判断函数是否为所给微分方程的解（填“是”或“否”） （1）25,2x y y y x =='． （ ）(2) C y x x y x y y x =+--='-22,2)2(. ( )(3)C x y y dydx+==+arccos ,0sin . ( )(4) xy y x y 1,22=+=''. ( ) 习题7.21．解微分方程(1) x dx dy 1=． (2) 2211xy dx dy --=．(3) yx e y -='2． (4)0)1()1(22=++-dx y x dy x y ．(5) 4,212==+'=x y y xy y x ．2．解微分方程(1) 0)()(=-+'+y x y y x ． (2) dxdyxydx dy x y =+22． (3) xyx y y tan +='．3．解微分方程 (1) xe y y -=+'． (2) 1sin cos =+'x y x y ．(3)3,12=+=+=x y xx x y dx dy ．(4) 2y x y dx dy +=． (5) yy x y 2sin cos 1+='．习题7.31．解下列微分方程(1) 2x y =''． (2) 2,1,300='==''==x x y y y y ．(3) x y y ='-''． (4) 0='+''y y x ．(5) 0)(2='-'-''y y y y ． (6) 1,1,00='=''='==x x y y y y y ．2．解下列微分方程（1）02=-'+''y y y ． (2) 09=-''y y ．(3) 044=+'+''y y y ． (4) 0,2,03400='-==+'-''==x x y y y y y ．(5) 0,2,04400='==+'+''==x x y y y y y ．3．解下列微分方程(1) 1332+=-'-''x y y y ． (2) xe y y y 232=-'-''．(3) 733,76,910002='==+'-''==x x xy y e y y y ．(4) x y y y 2sin 82=-'+''． (5) x y y sin =+''．(6) 1,1,02sin ='==++''==ππx x y y x y y ．习题7.41．一条曲线通过点)1,0(P ,且该曲线上任一点),(y x M 处的切线斜率为23x ，求这曲线的方程．2．生物活体含有少量固定比的放射性C 14，其死亡时存在的C 14量按与瞬时存量成比例的速率减少，其半衰期约为5730年，在1972年初长沙马王堆一号墓发掘时，若测得墓中木炭C 14含量为原来的77.2％，试断定马王堆一号墓主人辛追的死亡时间．3．作直线运动物体的速度与物体到原点的距离成正比，已知物体在10s 时与原点相距100m ，在20s 时与原点相距200m ，求物体的运动规律．4．设Q 是体积为V 的某湖泊在t 时的污染物总量，若污染源已排除．当采取某治污措施后，污染物的减少率以与污染总量成正比与湖泊体积成反比化，设k 为比例系数，且0)0(Q Q =，求该湖泊的污染物的化规律，当38.0=Vk时，求99％污染物被清除的时间．5．一质量为m 的质点从水面由静止状态开始下降，所受阻力与下降速度成正比，求质点下降深度与时间t 的函数关系．6．一弹簧挂有质量为2kg 的物体时，弹簧伸长了0.098m ，阻力与速度成正比，阻力系数24=μN/(m/s)．当弹簧受到强迫力t f 10sin 100=（N ）的作用后，物体产生了振动．求振动规律，设物体的初始位置在它的平衡位置，初速度为零．复习题七一、选择题1．微分方程0432=+'''+'xy y y y 阶数是（ ） （A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ）4．2．下列函数中，可以是微分方程0=+''y y 的解的函数是（ ）（A ）x y cos =； （B ）x y =； （C ）x y sin =； （D ）xe y =． 3．下列方程中是一阶线性方程的是（ ）（A ）0ln )3(=--xdy xdx y ； （B ）xyy dx dy 212-=；（C ）x x y y x sin 22+='； （D ）02=-'+''y y y ． 4．方程034=+'-''y y y 满足初始条件10,600='===x x y y 特解是（ ）（A ）xxe e y 33+=； （B ）xxe e y 332+=； （C ）xxe e y 324+=；（D ）xxe C e C y 321+=． 5．在下列微分方程中，其通解为x C x C y sin cos 21+=的是（ ）（A ）0='-''y y ； （B ）0='+''y y ； （C ）0=+''y y ； （D ）0=-''y y ． 6．求微分方程223x y y y =+'+''的一个特解时，应设特解的形式为（ ）（A ）2ax ； （B ）c bx ax ++2； （C ）)(2c bx ax x ++； （D ）)(22c bx ax x ++．7．求微分方程 x y y y sin 23=+'-''的一个特解时，应设特解的形式为（ ） （A ）x b sin ； （B ）x a cos ； （C ）x b x a sin cos +； （D ）)sin cos (x b x a x +． 二、填空题 9．微分方程x x y dxdyxsin 2+=的通解是 ． 10．微分方程03=+''y y 的通解是 ． 11．微分方程054=+'+''y y y 的通解是 ．12．以 xx e C xe C y 21+=为通解的二阶常数线性齐次分方程为 ． 13．微分方程044=+'+''y y y 满足初始条件0,200='===x x y y 的特解是 ．14．微分方程054=+'-''y y y 的特征根是 ．15．求微分方程1222-='+''x y y 的一个特解时，应设特解的形式为 ． 16．已知21x e y =及22x xe y =都是微分方程0)24(42=-+'-''y x y x y 的解，则此方程的通解为 ．三、计算题17．求下列微分方程的通解(1) 21xxy dx dy +=． (2) x y y cos =+'．(3) 0tan sec tan sec 22=+xdy y ydx x ． (4) x y y sin =+''．(5) 02=-'-''y y y ． (6) x y y y 2345-=+'+''．18．求下列微分方程满足所给初始条件的特解 (1)4,0sin cos sin cos 0π==-=x y ydy x xdx y ．(2) 2,1,06500='==+'-''==x x y y y y y ．(3) 211,3,4151640023-='==+'+''==-x x x y y e y y y ．(4) 1,0,cos 295200='=='+''==x x y y x y y ．19．求一曲线方程，这曲线通过原点，并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2．20．当一人被杀害后，尸体的温度从原来的C ︒37按牛顿冷却律开始变凉，设3小时后尸体温度为C ︒31 ，且周围气温保持C ︒20不变．（1）求尸体温度H 与时间t(h)的函数关系，并作函数草图． （2）最终尸体温度将如何？（3）若发现尸体时其温度是C ︒25，时间为下午4时，死者是何时被害的？21.设有一质量为m 的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致．大小与时间成正比（比例系数为k 1）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比例系数为k 2）的阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系．(3)3,12=+=+=x y xx x y dx dy ．(4) 2y x y dx dy +=． (5) yy x y 2sin cos 1+='．习题7.31．解下列微分方程(1) 2x y =''． (2) 2,1,300='==''==x x y y y y ．(3) x y y ='-''． (4) 0='+''y y x ．(5) 0)(2='-'-''y y y y ． (6) 1,1,00='=''='==x x y y y y y ．2．解下列微分方程（1）02=-'+''y y y ． (2) 09=-''y y ．(3) 044=+'+''y y y ． (4) 0,2,03400='-==+'-''==x x y y y y y ．(5) 0,2,04400='==+'+''==x x y y y y y ．3．解下列微分方程(1) 1332+=-'-''x y y y ． (2) xe y y y 232=-'-''．(3) 733,76,910002='==+'-''==x x xy y e y y y ．(4) x y y y 2sin 82=-'+''． (5) x y y sin =+''．(6) 1,1,02sin ='==++''==ππx x y y x y y ．习题7.41．一条曲线通过点)1,0(P ,且该曲线上任一点),(y x M 处的切线斜率为23x ，求这曲线的方程．2．生物活体含有少量固定比的放射性C 14，其死亡时存在的C 14量按与瞬时存量成比例的速率减少，其半衰期约为5730年，在1972年初长沙马王堆一号墓发掘时，若测得墓中木炭C 14含量为原来的77.2％，试断定马王堆一号墓主人辛追的死亡时间．3．作直线运动物体的速度与物体到原点的距离成正比，已知物体在10s 时与原点相距100m ，在20s 时与原点相距200m ，求物体的运动规律．4．设Q 是体积为V 的某湖泊在t 时的污染物总量，若污染源已排除．当采取某治污措施后，污染物的减少率以与污染总量成正比与湖泊体积成反比化，设k 为比例系数，且0)0(Q Q =，求该湖泊的污染物的化规律，当38.0=Vk时，求99％污染物被清除的时间．5．一质量为m 的质点从水面由静止状态开始下降，所受阻力与下降速度成正比，求质点下降深度与时间t 的函数关系．6．一弹簧挂有质量为2kg 的物体时，弹簧伸长了0.098m ，阻力与速度成正比，阻力系数24=μN/(m/s)．当弹簧受到强迫力t f 10sin 100=（N ）的作用后，物体产生了振动．求振动规律，设物体的初始位置在它的平衡位置，初速度为零．复习题七一、选择题1．微分方程0432=+'''+'xy y y y 阶数是（ ） （A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ）4．2．下列函数中，可以是微分方程0=+''y y 的解的函数是（ ）（A ）x y cos =； （B ）x y =； （C ）x y sin =； （D ）xe y =． 3．下列方程中是一阶线性方程的是（ ）（A ）0ln )3(=--xdy xdx y ； （B ）xyy dx dy 212-=； （C ）x x y y x sin 22+='； （D ）02=-'+''y y y ．4．方程034=+'-''y y y 满足初始条件10,600='===x x y y 特解是（ ）（A ）xxe e y 33+=； （B ）xxe e y 332+=； （C ）xxe e y 324+=；（D ）xxe C e C y 321+=． 5．在下列微分方程中，其通解为x C x C y sin cos 21+=的是（ ）（A ）0='-''y y ； （B ）0='+''y y ； （C ）0=+''y y ； （D ）0=-''y y ． 6．求微分方程223x y y y =+'+''的一个特解时，应设特解的形式为（ ）（A ）2ax ； （B ）c bx ax ++2； （C ）)(2c bx ax x ++； （D ）)(22c bx ax x ++．7．求微分方程 x y y y sin 23=+'-''的一个特解时，应设特解的形式为（ ） （A ）x b sin ； （B ）x a cos ； （C ）x b x a sin cos +； （D ）)sin cos (x b x a x +． 二、填空题 9．微分方程x x y dxdyxsin 2+=的通解是 ． 10．微分方程03=+''y y 的通解是 ． 11．微分方程054=+'+''y y y 的通解是 ．12．以 xxe C xe C y 21+=为通解的二阶常数线性齐次分方程为 ． 13．微分方程044=+'+''y y y 满足初始条件0,200='===x x y y 的特解是 ．14．微分方程054=+'-''y y y 的特征根是 ．15．求微分方程1222-='+''x y y 的一个特解时，应设特解的形式为 ．16．已知21x e y =及22x xe y =都是微分方程0)24(42=-+'-''y x y x y 的解，则此方程的通解为 ．三、计算题17．求下列微分方程的通解 (1) 21xxy dx dy +=． (2) x y y cos =+'．(3) 0tan sec tan sec 22=+xdy y ydx x ．(4) x y y sin =+''．(5) 02=-'-''y y y ．(6) x y y y 2345-=+'+''．18．求下列微分方程满足所给初始条件的特解 (1)4,0sin cos sin cos 0π==-=x y ydy x xdx y ．(2) 2,1,06500='==+'-''==x x y y y y y ．(3) 211,3,4151640023-='==+'+''==-x x x y y ey y y ．(4) 1,0,cos 295200='=='+''==x x y y x y y ．19．求一曲线方程，这曲线通过原点，并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2．20．当一人被杀害后，尸体的温度从原来的C ︒37按牛顿冷却律开始变凉，设3小时后尸体温度为C ︒31 ，且周围气温保持C ︒20不变．（1）求尸体温度H 与时间t(h)的函数关系，并作函数草图．（2）最终尸体温度将如何？（3）若发现尸体时其温度是C ︒25，时间为下午4时，死者是何时被害的？21.设有一质量为m 的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致．大小与时间成正比（比例系数为k 1）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比例系数为k 2）的阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系．。