Brouwer不动点定理的几种证明
数学分析 Brouwer 不动点定理
数学分析(二):多元微积分梅加强副教授南京大学数学系内容提要:内容提要:Brouwer不动点定理;内容提要:Brouwer不动点定理; 鼓包函数与光滑化.数学中的很多问题经常转化为解方程,解方程往往又转化为求不动点.数学中的很多问题经常转化为解方程,解方程往往又转化为求不动点.在多元函数的微分学中,我们用了压缩映像原理找不动点的方法证明了反函数定理.数学中的很多问题经常转化为解方程,解方程往往又转化为求不动点.在多元函数的微分学中,我们用了压缩映像原理找不动点的方法证明了反函数定理.下面我们介绍另一种常用的证明不动点的存在性的结果,它对映射的要求没有压缩映射那么高.数学中的很多问题经常转化为解方程,解方程往往又转化为求不动点.在多元函数的微分学中,我们用了压缩映像原理找不动点的方法证明了反函数定理.下面我们介绍另一种常用的证明不动点的存在性的结果,它对映射的要求没有压缩映射那么高.这儿我们要用鼓包函数进行光滑的技巧,以及Gauss-Green公式.数学中的很多问题经常转化为解方程,解方程往往又转化为求不动点.在多元函数的微分学中,我们用了压缩映像原理找不动点的方法证明了反函数定理.下面我们介绍另一种常用的证明不动点的存在性的结果,它对映射的要求没有压缩映射那么高.这儿我们要用鼓包函数进行光滑的技巧,以及Gauss-Green公式.定理1(Brouwer不动点定理)设D为R n中的闭球,ϕ:D→D为连续映射,则ϕ必有不动点.函数的光滑化不失一般性,我们设D是以原点为中心的单位闭球.不失一般性,我们设D是以原点为中心的单位闭球.在证明定理之前先做一点准备工作.首先,为了利用微分学的手段,我们要对连续函数进行所谓的光滑化.不失一般性,我们设D是以原点为中心的单位闭球.在证明定理之前先做一点准备工作.首先,为了利用微分学的手段,我们要对连续函数进行所谓的光滑化.引理1设ψ:D→R n为连续的向量值函数,且当x∈S n−1=∂D时ψ(x)=x,则任给ε>0,存在光滑向量值函数ρ:D→R n,使得ρ(x)=x,∀x∈S n−1; ρ(x)−ψ(x) <ε,∀x∈D.不失一般性,我们设D是以原点为中心的单位闭球.在证明定理之前先做一点准备工作.首先,为了利用微分学的手段,我们要对连续函数进行所谓的光滑化.引理1设ψ:D→R n为连续的向量值函数,且当x∈S n−1=∂D时ψ(x)=x,则任给ε>0,存在光滑向量值函数ρ:D→R n,使得ρ(x)=x,∀x∈S n−1; ρ(x)−ψ(x) <ε,∀x∈D.证明.记f(x)=ψ(x)−x,则fS n−1≡0.我们先对f做光滑化.因为有界闭集上的连续函数具有一致连续性,任给ε>0,存在δ>0,使得当 x−y ≤δ时 f(x)−f(y) <ε/2.证明(续).取η=δ1+δ,令g (x )= f x 1−η , x ≤1−η,0, x >1−η,则g 连续,且当x ∈D 时 g (x )−f (x ) <ε/2.设φ是我们之前构造的一元鼓包函数,记φη(x )=c −1η−n φ(η−1 x ),其中c 是φ( x )在R n 中的积分.此时φη在R n 的积分为1,且其支集含于B η(0).令h (x )= R n g (y )φη(x −y )d y = R ng (x −y )φη(y )d y ,根据函数参变量积分的性质可知h 是光滑函数,再根据鼓包函数的性质可知h S n −1=0, h (x )−g (x ) ≤ε/2.记ρ(x )=x +h (x ),则ρ是满足要求的光滑函数.引理2设ρ:D→R n为C2的向量值函数,如果当x∈S n−1时ρ(x)=x,则ρ必有零点.引理2设ρ:D→R n为C2的向量值函数,如果当x∈S n−1时ρ(x)=x,则ρ必有零点.证明.(反证法)设ρ没有零点.在R n\{0}中记ω0=ni=1(−1)i−1 x −n x i d x1∧···∧d x i−1∧d x i+1∧···∧d x n,直接的计算表明dω0=0.同理,记ω=ρ∗ω0=ni=1(−1)i−1 ρ −nρi dρ1∧···∧dρi−1∧dρi+1∧···∧dρn其中ρi是ρ的分量,则仍有dω=0.证明(续).利用Gauss-Green公式以及ρ(x)=x(x∈S n−1)可得0=D dω=S n−1ω=S n−1ω0=S n−1ni=1(−1)i−1x i d x1∧···∧d x i−1∧d x i+1∧···∧d x n =Dn dx1···dx n=nν(D)>0,这就得出了矛盾.Brouwer不动点定理的证明.(反证法)设ϕ没有不动点.用直线段连接ϕ(x)和x,其延长线交球面于ψ(x).容易看出ψ:D→S n−1连续,且当x∈S n−1时ψ(x)=x.根据引理1,存在光滑映射ρ:D→R n,使得ρ(x)=x,∀x∈S n−1; ρ(x)−ψ(x) <1,∀x∈D.根据引理2,ρ有零点,但这与上面的不等式以及 ψ ≡1相矛盾.Brouwer不动点定理的证明.(反证法)设ϕ没有不动点.用直线段连接ϕ(x)和x,其延长线交球面于ψ(x).容易看出ψ:D→S n−1连续,且当x∈S n−1时ψ(x)=x.根据引理1,存在光滑映射ρ:D→R n,使得ρ(x)=x,∀x∈S n−1; ρ(x)−ψ(x) <1,∀x∈D.根据引理2,ρ有零点,但这与上面的不等式以及 ψ ≡1相矛盾.例1设A=a ijn×n为n阶方阵,如果它的每一元素a ij都大于零,则称A为正矩阵.证明:正矩阵必有正特征值.证明.当x=(x1,···x n)∈R n时,记|x|= ni=1|x i|.考虑n−1维单形∆n={x∈R n||x|=1,x i≥0,i=1,···,n}.显然,当x∈∆n时|Ax|>0.考虑连续映射ϕ:∆n→∆n,x→Ax/|Ax|.因为∆n同胚于n−1维单位闭球,可以应用Brouwer不动点定理得到ϕ的不动点,不动点记为ξ,则|Aξ|就是A的正特征值.。
泛函分析中的不动点定理证明
泛函分析中的不动点定理证明泛函分析是函数空间上研究函数性质的数学分支，它主要关注函数空间中的映射和变换。
不动点定理是泛函分析中的基本概念之一，它在许多数学领域中有着重要的应用。
本文将探讨泛函分析中的不动点定理及其证明过程。
不动点定理是指对于某个函数空间中的映射，如果存在某个点在映射下不发生变化，即映射的输出等于输入，那么这个点被称为不动点。
不动点定理主要讨论在特定条件下，映射总能找到一个不动点。
以下我们将介绍泛函分析中的两个不动点定理：Banach不动点定理和Brouwer不动点定理。
一、Banach不动点定理的证明Banach不动点定理是泛函分析中最基本、最重要的不动点定理之一。
它表明，对于完备度量空间中的某个收缩映射，总能找到一个唯一的不动点。
假设我们有一个完备度量空间X，并且有一个映射T：X→X，满足以下条件：1. 存在一个常数0≤k<1，使得对于任意两点x和y，都有d(Tx, Ty)≤ k · d(x, y)，其中d表示度量空间X中的距离。
2. 映射T是连续的，即对于任意序列{xn}收敛于x，都有{T(xn)}收敛于T(x)。
现在我们需要证明存在一个唯一的不动点y ∈ X，使得Ty = y。
证明过程如下：首先，我们选取一个起始点x0 ∈ X，并定义一个序列{xn}，其中xn = T(xn-1)，即递归地将映射T作用在前一个点上。
根据条件1，我们可以证明序列{xn}是一个柯西序列。
事实上，对于任意给定的正整数n和m，我们有d(xn, xm) = d(T(xn-1), T(xm-1)) ≤ k · d(xn-1, xm-1) ≤ k^2 · d(xn-2, xm-2) ≤ ... ≤ k^n · d(x0, xm-n)由于0≤k<1，当n趋向于无穷大时，k^n趋近于0。
因此，序列{xn}是一个柯西序列。
根据完备性的定义，我们知道柯西序列在完备度量空间中必定收敛。
brower定理证明
brower定理证明在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石。
布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（英语：L. E. J. Brouwer）。
布劳威尔不动点定理说明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数f，存在一个点x0，使得f(x0) = x0。
布劳威尔不动点定理最简单的形式是对一个从某个圆盘D射到它自身的函数f。
而更为广义的定理则对于所有的从某个欧几里得空间的凸紧子集射到它自身的函数都成立。
●定理表述不动点定理（fixed-point theorem）：对应于一个定义于集合到其自身上的映射而言，所谓不动点，是指经过该映射保持“不变的”点。
不动点定理是用于判断一个函数是否存在不动点的定理。
常用的不动点定理有：(1)布劳威尔不动点定理(1910年)：若A⊂R(N维实数集合)且A为非空、紧凸集，f：A→A是一个从A到A的连续函数，则该函数f(·)有一个不动点，即存在x∈A，x=f(x)。
该定理常被用于证明竞争性均衡的存在性。
(2)角谷(kakutani)不动点定理(1941年)：若A⊂R且A为非空、紧凸集，f ：A→A是从A到A的一个上半连续对应，且f(x)⊂A对于任意x∈A是一个非空的凸集，则f(·)存在一个不动点。
不动点定理一般只给出解的存在性判断，至于如何求解，则需要用到20世纪60年代末斯卡夫(H.E.Scarf)提出的不动点算法。
因此，不动点定理常被用于解决经济模型中出现的存在性问题，例如多人非合作对策中均衡点的存在性等。
数学定义设(A，d)为完备的度量空间，f为从A到其自身中的李普希茨映射。
如果李普希茨比的级数λ(fn)收敛，则存在A的唯一的点a，在f下该点不动。
其次，对A的任一元素x0，由递推关系：定义的级数(xn)必收敛于a。
这一定理尤其适用于f为压缩映射的情况。
不动点定理
不动点定理
（Fixed-point theorem ）
举例：头皮的旋儿，指纹，地球表面无风处等，搅动杯中咖啡，两张报纸
三维空间中的情况：如果我们用一个密封的锅子煮水，那么总有一个水分子在煮开前的某一刻和煮开后的某一刻处于同样的位置。
地球绕着它的自转轴自转。
自转轴在自转过程中的不变的，也就是自转运动的不动点。
布劳威尔不动点定理
1. 区间[0,1]到[0,1]的连续映射f . 存在0[0,1]x ∈,使得00()f x x =.
2. 矩形[0,1]⨯[0,1]到自身的连续映射F . 存在00(,)x y ∈[0,1]⨯[0,1]，使得0000(,)(,)F x y x y =。
3. 推广到多维情况: Brouwer 不动点定理断言：从有限维欧氏空间中的紧凸集到自身的任意连续映射具有不动点。
据调查统计90%以上的数学家都能叙述这个定理，但只有不到10%的数学家能够给出证明.
由于价格均衡原理Deberu 获得诺贝尔经济学奖（1983）
Nash 在普林斯顿的博士论文中，证明多人博弈平衡点的存在性时用的正是他重新发现的―Brouwer 不动点原理
巴拿赫压缩映像原理
先介绍压缩的含义
一维情况举例
二维情况举例，地图与真实地域关系。
三位情况举例，占满容器的海绵再压缩。
描述高维情况
庞卡莱-伯克豪夫扭转定理
(Poincare-Birkhoff Twist Theorem)
莫泽扭转定理
(Moser Twist Theorem)。
Brouwer不动点定理的几种证明
Brouwer不动点定理的几种证明学院名称：专业名称：学生姓名：指导教师：二○一一年五月摘要Brouwer不动点定理是很著名的定理.其中，关于它的证明很多有：代数拓扑的证明、组合拓扑的证明、微分拓扑的证明等.都涉及拓扑学上许多复杂的概念和结果.关于该定理，也可以用图论的方法证明，用离散离散理论解决连续系统中问题.本文试图在总结其他证明方法的基础上，对图论的方法证明Brouwer不动点定理进行详细的介绍来体现这一思想.关键词：Brouwer；不动点.ABSTRACTBrouwer fixed point theorem is very famous theorem . Among them , about its proof many : algebra topologies, proof of the proof, differential combined topology etc. The proof of topological Involves many complex on the concept of limited and results.About this theorem, also can use graph method to prove, in a discrete discrete theory in solving continuous system. This article tries to summarize the other proof method based on the method of graph theory prove Brouwer fixed point theorem for detailed introduction to reflect this thought.Keywords: Brouwer; Fixed point.目录第一章引言 (1)1.1 研究背景 (1)1.2 本课题的研究内容 (1)第二章 Brouwer不动点定理的证明 (2)2.1 Brouwer不动点定理的图论证明 (2)引理2.1.1（sperner，1982） (3)定理2.1.2 (Brouwer) (3)2.2 Brouwer不动点定理的初等证明 (5)2.2.1 基本概念与引理 (5)定理2.2.2.1(Banach不动点定理) (5)定理2.2.2.2(KKM定理) (5)2.2.3 Brouwer不动点定理的证明 (7)定理2.2.3.2 (FKKM定理) (7)定理2.2.3.5(Brouwer不动点定理) (8)2.3 Brouwer不动点定理的nor分析证明 (9)2.3.6 Brouwer不动点定理 (18)参考文献 (19)致谢 (20)第一章引言1.1 研究背景Brouwer不动点定理是非线性分析和拓扑学中的重要基本定理，它的叙述简洁，应用广泛，但证明却很不简单.不论是代数拓扑的证明[1]，还是组合拓扑的证明[2]，以及微分拓扑的证明[3]，都涉及拓扑学上许多复杂的概念和结果.1978年著名的微分拓扑学家nor给出了一中新证明[4]，只用到多变量微分学的知识和某些基本分析定理.关于该定理，也可以用图论的方法证明，这种离散理论解决连续系统中问题的思想，对我们也给了很大的启示.本文试图在总结其他证明方法的基础上，对图论的方法证明Brouwer不动点定理进行详细的介绍.1.2 本课题的研究内容整理Brouwer不动点定理的初等、图论方面的证明和nor给出的用多变量微分学和某些基本分析定理的新证明.详细介绍Brouwer不动点定理的图论方法证明，体现离散理论解决连续系统中问题的思想.12第二章 Brouwer 不动点定理的证明2.1 Brouwer 不动点定理的图论证明Brouwer 不动点定理：若2∆表示平面上一个三角形区域围成的闭区域，f 是2∆到自身的连续映射，则f 至少有一个不动点，即存在一点20p ∈∆，使得00()f p p =.首先把2∆剖分成若干小三角形区域，即221m i i δ=∆=，221,n ij i ji j mδδ≠≤≤的面积为零.把2∆的三个顶点分别标志位0,1,2.每个2i δ的顶也用{0,1,2}中的数标志.若2i δ的顶i p 在2∆上的边上，且2∆的这条边端点之标号为k 与m ，2i δ的顶也标成k 与m ，称这些标志位正常标志，在正常标志中小三角形2i δ的三顶分别标志0,1,2时，称2i δ为正常三角形，见图a.2∆的这种标志的剖分称为三角剖分.1图 2.1v v 1v 59v 10v 11图 2.23引理2.1.1（sperner ，1982）在2∆的三角剖分中，正常三角形为奇数个.证：记20δ为2∆的外部区域，22212,,...,m δδδ是2∆进行三角剖分得到三角形子区域.以{}22212,,...,m δδδ为顶集造一个图G ，对于i 与j 接非零的情形，仅当2i δ与2j δ有公共边具此边端点标志为0与1时，才在此二顶间连一边，对20δ与2(0)i i δ≠的情形，仅当2i δ的0-1标志的边落在2∆的0-1标志的边上时，在顶20δ与2i δ间连一边，见图b.由于上述图G 中奇次项的个数是偶数，如果20()d δ是奇数，则22212(),(),...,()m d d d δδδ中奇数个奇次项，又2()3,1,2,...,i d i m δ<=.故22212,,...,m δδδ中的奇次项是一次项.而仅当2i δ是正常三角形时，2()1i d δ=，所以正常三角形有奇数个.下证20()d δ是奇数.事实上，20()d δ是2∆上0-1边上以0与1为端点的小区间的个数.当的这条0-1边之内点为任何小三角形之顶时，，是奇数.当的这条边内有小三角形之顶时，由于标志是正常的，的则这种小三角形在的这条0-1边上之端点标志位0或1.这时又有两种情况，（i ）在这条0-1边上的小三角形顶皆标志0或皆标志1，则，（ii ）在2∆这条0-1边上的小三角形之顶点标0与标1都有时，我们把端点标号一样的小区间收缩成一点，标号不变，则f 的这条0-1边上的标号序列为0-1交错列010101…01，这里出现奇数个以0，1为端点的小区间，故20()d δ为奇数.证毕. 定理2.1.2 (Brouwer)f 是2∆到自己的连续映射，则存在'20p ∈∆，使''00()f p p =. 证：012,,p p p 是2∆的三个顶点，则对任意2p ∈∆，可以写成001122p a p a p a p =++，则0i a ≥，201i i a ==∑，其中的012,,,p p p p 是二维向量，且012(,,)p a a a =，'''012()(,,)f p a a a =.令{}2'012012(,,)|(,,),,0,1,2i i i S a a a a a a a a i =∈∆≥=. 如果能证出 012S S S φ≠，则存在012012(,,)a a a S S S ∈，且',0,1,2ii a a i ≤=；又22'01i i i i a a ====∑∑，故必有'''001122,,a a a a a a ===，即f 有不动点. 下证2i i S φ=≠.事实上，考虑2∆的正常标志的三角形剖分，使得标志i 的每个顶点属于,0,1,2i S i =.2∆上任意一点'''012012(,,),()(,,)p a a a f p a a a ==时，存在一个i S ，使i p S ∈，且0i a >；否则当每个0i a >时，'ii a a >.于是22'00ii i i a a ==>∑∑，矛盾.若一个三4角形顶点i p S ∈且0i a >时，p 标志以i ，这种标志是正常标志，例如2∆的顶点(0,1,2)i p i =有1i a =，故i i p S ∈，标成i ；在2∆的01p p 边上各点的20a =，我们只能把这边上的点标以0或1；02p p 边上的点同理只能标志0或2；12p p 上的点只能标志1或2，故正常标志.由引理知，至少有一个正常三角形，其中顶点分别属于012,,S S S .我们是剖分无限变密，且小三角形中的最大直径足够小，则有分别在012,,S S S 中的三个点，两两相距可以任意小，又f 是连续的，故012,,S S S 是闭集.于是，012S S S φ≠.证毕.52.2 Brouwer 不动点定理的初等证明2.2.1 基本概念与引理定义2.2.1.1 设E 是一线性空间，其一切子集构成的集族记为2E .子集A E ⊂称为有限闭的，若它与每一有限维平面L E ⊂的交按L 上的Eucild 拓扑是闭的；一个集族{}A λλσ∈称为有限交性质，如果它的每一有限子集的交不空.定义2.2.1.2 设E 是一线性空间，X 是E 上的任意子集，称:2E G X →是一个KKM 映像，如果对任何有限子集{}12,,...mx x xX ⊂，有：{}121,,...()m mi i x x x G x =∞⊂引理2.2.1.3 设集合n X R ⊂非空，则距离函数()inf y Xd x x y ∈=-是Lipschitz的，即有：()()d x d y x y -≤- ,n x y R ∀∈2.2.2 利用Banach 不动点定理证明KKM 定理 定理2.2.2.1(Banach 不动点定理)有限维空间中有界闭凸集上的连续自映射必有不动点． 定理2.2.2.2(KKM 定理)设E 是一线性空间，X 是E 的子集，:2E G X →是一KKM 映像.如果对于任何x X ∈，()G x 是有限闭的，则集族{}()|G x x X ∈具有有限交性质.证: 反证法.假设存在{}12,,...mx x xX ⊂使得1()m i i G x φ==.设L 是由{}12,,...mx x x 张成的有限维平面，d 是上的Eucild 的度量.令{}12,,...mD co x x x =，则D L ⊂.由假定每个1,2,...,()i i m L G x =在L 中闭，故(,())0i d x L G x =的充分必要条件是()i x LG x ∈.定义函数： 1()(,())mi i x d x L G x λ==∑由于1()mii G x φ==，故对于每一x D ∈，()0x λ>.由引理1知：6()()x y n x y λλ-≤- ,x y D ∀∈不妨设D 包含原点，否则用11m ii D x m =-∑代替D 即可.令：11()(,())()mi i i f x d x L G x x t x λ==∑ x D ∀∈ 式中，1t >是待定参数.则:f D D →连续，且对任意,x y D ∈，有：1111()()(,())(,())()()mmiii i i i f y f x d y L G x x d x L G x x t y t x λλ==-≤-∑∑1111(,())(,())()()m miii i i i d y LG x x d x LG x x t y t y λλ==≤-∑∑1111(,())(,())()()mmiii i i i d x L G x x d x L G x x t y t x λλ==+-∑∑下面对式(3)右端两项分别进行估计.首先由引理1．对任意,x y D ∈，有：1111(,())(,())()()mmiii i i i d y L G x x d x LG x x t y t y λλ==-∑∑11()()mi i x x y t y λ=≤-∑ 其次根据式(2)，对任意,x y D ∈，有：1111(,())(,())()()mmiii i i i d x L G x x d x L G x x t y t x λλ==-∑∑11(,())()()()()mi i i d x L G x x x y t x y λλλλ=≤-∑1((,()))()()mi i i n d x L G x x x y t x y λλ=≤-∑综合式(3)、(4)、(5)知：(,)()()h x y f y f x x y t-≤-7式中，111(,)(,())()()()m mi i i i i nh x y x d x L G x x y x y λλλ===+∑∑.在有界闭集D D⨯上连续，因此有最大值M .取足够大的{}max ,1t M ≥，则，f 构成D 上的一个压缩映射.由Banach 不动点定理知道，，有一不动点x D ∈.令{}{}|(,())0,1,2,...i I i d x LG x i m -=>∈则()ii Ix G x -∈∉.另外:11()(,())()mi i i x f x d x L G x x t x λ---===∑{}1(,())|()()i i i i i Ii Id x LG x x x i I G x t x λ--∈∈=∈∞∈⊂∑导致了矛盾.故定理2成立.2.2.3 Brouwer 不动点定理的证明引理2.2.3.1 设集族{}A λλσ∈是n R 中的非空闭集合，其中一个有界，具有有限交性质，则该集族看非空交.证明:反证法.假设A λλσφ∈=，则它的余集为全空间，即()n CA C A R λλλσλσ∈∈==即开集CA λ.的并覆盖全空间，当然也覆盖集族中的有界闭集.由有限覆盖定理知，存在有限个开集12,,...,m CA CA CA .覆盖住0A ，即：012m A CA CA CA ⊂从而：012m CA A A A ⊃，即：012()m A A A A φ= 这与假设相矛盾，从而引理2成立.定理2.2.3.2 (FKKM 定理)设X 是n R 中的非空紧凸集，:n G X R →是闭值的KKM 映射，且存在一点0x 使0()G x 有界，则集族{}()|G x x X ∈有非空交.证明 ：根据定理2知集族{}()|G x x X ∈具有有限交性质，于是根据引理2知定理3成立.引理2.2.3.3. 设X 是n R 中的非空紧凸集，映射:n G X R →连续，则至少存8在一点y X -∈使得：()inf ()x Xy G y x G y ---∈-=-引理2.2.3.4. 设X 是n R 中的非空紧凸集，映射:n G X R →连续.若对于X 中每一满足()x G x ≠的点x ，连结x 和()G x 的线段[],()x G x 至少包含X 中2点.则G 在X 中有不动点.定理2.2.3.5(Brouwer 不动点定理)设:n n G D R R ⊂→是闭集D 上的压缩映像，()G D D ⊂，则对任意0x D ∈，迭代序列：1()k k x G x += 0,1,...k =存在唯一的极限点.证明:由引理2.2.3.3，2.2.3.4可知Brouwer 不动点定理2.2.3.5成立.92.3 Brouwer 不动点定理的nor 分析证明2.3.1 考虑所有实数n 元组的集合1{{,...,}|(1)}n n i E x x x x i n ==≤≤是实数，在n E 上引进三种线性运算之后,{,,,,}n n R E =+⋅<>就称为n 维欧式空间，其中1(,...,)n x x x =称为n R 的点或向量，诸i x 称为点x 的坐标或向量x 的分量；向量(,...,)i n x x x =和(,...,)i n y y y =相加，结果是一个向量，定义为11(,...,)n n x y x y x y +=++ 实数α和向量x 相乘，结果是一个向量，定义为1,...,)(n x x x ααα=向量x 和y 的内积是一个实数，定义为 1,ni ii x y x y =〈〉=∑于是，向量的长度定义为x ==向量x 和y 的之间的距离就是x y -=由于对任何α有2,,2,,0x y x y x x x y y y αααα〈++〉=〈〉+〈〉+〈〉≥ 所以判别式2,,,0x y x x y y 〈〉-〈〉〈〉≤ 即是对任何x 和y n R ∈有Canchy By -∏不等式 |,|x y x y 〈〉≤⋅10等式成立的充要条件是：相差一个常数因子.因此我们可以定义的夹角,x y 〈〉︿的余弦为cos ,x y 〈〉︿,x y x y〈〉⋅＝显然，,cos x y 〈〉≤︿１｜｜；x 和y 相差正数因子时，,cos x y 〈〉≤︿１｜；相差负数因子时，,cos x y 〈〉=-︿１｜｜；此外由于222,x y x y x y -=+-〈〉２22,cos x y x y x y +-〈〉⋅︿＝２与通常的余弦定律一致，所以,cos x y 〈〉︿的定义是合理的.从而，向量x 和y 正交定义为， ,x y 〈〉︿＝０.向量x 可以用从原点到点x 的有向线段来表示，也可以平行移动到任何位置，只依赖于方向和长度.因此，在图示中，两个向量相加可以用平行四边形法则，也可以用三角形法则.图 2.3(a) 图 2.3(b)2.3.2 命*I 是n R 中的一个区域.如果对任何向量*x I ∈，都相应的地有一个向量()n y x R ∈，就说y 是把*I 映入n R 的一个映像（变换）.如果()y x 的诸分量1(,...,)(1)i n y x x i n ≤≤是1(,...,)n x x 的连续函数，就说y 是连续向量场.注意，在说到连续可微时，总是指函数对各个变元的一阶偏导数在包含*I 的一个n 维开领域中处处存在且连续.引理2.3.2.1 命*I 是有界闭域，v 是*I 上的连续可微向量场.于是存在Lipchitz 常数c ，使得*()(),,v x v y c x y x y I -≤-∈证明，由于v 是*I 上的连续，所以对任何*I ξ∈，存在()0δξ>，使得v 在方体 (,()){|||()(1)}n i i I x R x i n ξδξξδξ=∈-<≤≤11处处连续可微，命 *(,())sup ||iij x I jI v c x ξδξξ∈∈∂=∂ 于是，根据微分中值定理，对任何,(,())x y I ξδξ∈有22()()|(,...,)(,...,)|i n i n iv x v y v x x v y y -≤-∑1222{|(,...,)(,,...,)|i n i n iv x x x v y x x ≤-+∑1212|(,...,)(,,...,)|i n i n v y x x v y y x -+ .........1212|(,...,)(,,...,)|}i n i n v y y x v y x x -,,||ij i i ij i ji jc x y c x y ≤-≤-∑∑今证存在0δ>，不依赖于*I ξ∈，使得对任何,(,())x y I ξδξ∈，上述吧不等式成立.否则，对任何正整数p ，存在*p I ξ∈以及1,(,)p p p x y I pξ∈，使得()()p p ij p p ijx x v y c x y -≤-∑由于*I 是有界闭集，根据Bolzano-Weierstrass 定理，可设*p I ξξ→∈，从而，,p p x y ξ→.于是，当p 充分大时，,(,())p p x y I ξδξ∈，所以，()()p p ij p p ijv x v y c x y -≤-∑矛盾.这样一来，如果命 *,()()sup x y I M v x v y ∈=- ,max{,}ij i jMc c δ=∑则对任何*,x y I ∈有()()v x v y c x y -≤-引理2.3.2.2 命*I 是有界闭域，v 是*I 上的连续可微向量场.命u ：*n I R →是一个变换，定义为*()(),u x x t v x x I =+⋅∈ 于是，当||t 充分小时，u 是把*I 变成区域*()u I 的一一变换，区域*()u I 的体积可以表示为t 的多项式.证明：据引理1，设是的Lipschitz 常数.于是，当1||t c<时，变换u 是一一的.因为，若x y ≠而()()v x u y =，则由(()())x y t v y v x -=- 推出||x y t c x y x y -≤-<-，矛盾. 其次，由于所以的Jacobi 行列式是12,,()[]1,0,ii j ji jv J u tx i j i jδδ∂=+∂=⎧=⎨≠⎩因而可以表为的多项式：1()1()()n n J u a x t a x t =+++其中诸()i a x t 显然是的连续函数.注意，当0t =时，这个行列式之值为1，所以只要||t 充分小，则()J u 恒为正.于是，则反函数定理，当||t 充分小时，u 是把区域*I 变成区域*()u I 的一一连续可微变换，它的逆变换也是连续可微的.因此，按照体积的积分定义以及n 重积分的换元法则，区域的体积可以表示为**1()(())n u I vol u I du du =⎰⎰*12()I J u dx dx =⎰⎰01n n a a t a t =+++其中 **1()i i n I a a x dx dx =⎰⎰*0,1,,,1i n a ==,nc k 中的1n -维单位球面定义为 1{|1}n n S x h x -=∈= 命v 是1n S -上的向量场.如果对任何1n x S -∈都有,()0x v x =，就说v 是1n S -上的向量场.今设v 是1n S -上的连续可微的单位切向量场，即是对任何1n x S -∈有()1v x =. 考虑区域图 2.4*13{|}22n I x k x =∈≤≤13命*()(),xv x x v x I x=∈ 于是，v 被扩充为*I 上的连续可微的切向量. 再考虑变换*:n u I k → *()(),u x x tv x x I =+∈ 由于()u x ==可见变换u 把半径为13()22r r ≤≤的球面1(){|}n n S r x R x r -=∈=变到半径为的球面1(n S -上.引理2.3.2.3 当t 充分小时，变换u 把1()n S r -变成1(n S -证明：设11,3t t c<<，其中c 是在上的Lipschitz 常数.对于任何固定的10(n u S -∈命*()(),w x tv x x I =∈ 由于1()2tv x t x =⋅<， 所以13()()()22tv x w x tv x <-≤≤< 此外， ()()()()w x w y t v x v y t c x y -=⋅-≤⋅⋅-而1t c ⋅<，可见w 是把欧氏空间的闭集映入自身的压缩映像，据压缩映像原理，有唯一的原动点00()x w x =，即00()x tv x =+，所以1x =000()u tv ξξ=+，其中100n x S ξ-=∈.这就证明了对任何10(n u S -∈，存在唯一的10n S ξ-∈，使得00()u u ξ=14图 2.52.3.3 现在让我们对半径为r 的n 维球体(){|}n n B r x R x r =∈≤的体积给出一个计算公式(())n n n vol B r c r =其中 111312,2221322,23n nn n n cn n n c n n c n n n π----⎧⎪⎪-=⎨--⎪⎪-⎩为偶数为奇数 事实上，例如12342,,3c c c ππ===，按归纳法有10(())2[rn n n vol B r vol B dx -=⎰ 221012()2rn n n n c r x dx --=-⎰ 2102cos nn n c r d πθθ-=⎰算出上述积分，就得到所要的结果.图 2.6152.3.4 现在我们问：球面1n S -上是否存在连续可微的单位切向量？这个问题的回答有些古怪.如果1n -是奇数，回答是肯定的，事实上我们可以给出所要的向量，例如121321()(,,,),n n n v x x x x x x x x S --=---∈但是，如果1n -是偶数，回答则是否定的定理1.偶数维球面上不存在连续可微的单位切向量场.证明：假若不然，当n 是奇数时，若1n S -上存在连续可微的单位切向量场v ，则据引理3，变换()()u x x tv x =+当t 充分小时把区域*13{|}22n I x R x =∈≤≤变成区域*(){n u I x R x =∈≤≤，所以*()u I 的体积是*(())[[n n vol u I vol B vol B =-31[()()22n n n n c =-*()n vol I =由于n 是奇数，这个体积不可能是t 的多项式，因而和引理2的结果矛盾. 定理1还可以稍加推广如下.定理2.偶数维球面上不存在处处不为零的连续向量场.证明：假若不然，命v 是1n S -上处处不为零的连续向量场， 1()n x Sm Min v x -∈=.于是0m >.据Weierstrass 逼近定理[8]，中有界闭集上的连续函数可以用多项式函数均匀逼近，所以存在一个多项式映像1:n n p S R -→，即诸()i p x 都是1(,,)n x x 的多项式，图 2.716使得 1()(),n p x v x m x S --<∈ ， 命 1()()(),,n u x p x p x x x x S -=-∈即 1()()()n i i j j i j u x p x p x x x =⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑ 显然，上的联讯可微向量场，此外，21(),(),(),0,n u x x p x x p x x x x S -=-=∈所以u 是1n S -上的切向量场，最后，()0u x =蕴涵()(),p x p x x x =， 所以(),()0p x v x =,()()p x v x m -=>矛盾，从而u 在1n S -上处处不为零.因此()()()u x w x u x =就是1n S -上连续可微的单位切向量场.但是，如果1n -是偶数，定理1说，这是不可能的.例.地球表面的风的分布可以视为向量场，向量的长度和方向分别表示在该点的风力和风向.风力的分布当然是连续的，所以这个定理说，地球表面上总有一处是完全无风的.2.3.5 现在介绍一种方法，怎么样从维球体傻瓜的向量场构造出维球面上的切向量场.考虑1n k +，设111{|0}{|1}{|1}n n n n n n n k x k x S x k x B x k x +++=∈==∈==∈≤图 2.8n B 的边界球面1{|1}n n S x k x -=∈=是n S 的赤道.假设给了n B 上一个处处不为零的连续向量场u ，使得1n x S -∈时，()u x x =.首先，利用北极投影把n B 映成南半17球1{|0}n n n S x S x -+=∈≤，奇数对任何n x B ∈，从北极(0,0,1)N 到1(,,0)n x x x 的连线与n S 的交点ξ就是所要的对应点.容易验证，北极投影的确定义是2121()(2,,2,1),1n n x x x x x B x ξ=-∈+ 他的递变是111()(,,,0),1n n n x S ξξξξξ-+=∈-显然，这两个变换都是连续可微的.对于任何固定的n x B ∈， n k 中的直线()x tu x + ()t a <经过北极投影变成n S 上的球面曲线(())x tu x ξ+ （注意，北极投影显然对整个n k 上的点都有定义，不过n k 中不属于的点背变到北半球上罢了）.我们来证明：这条曲线在0t ≤时速度向量()u ξ是n S -在ξ处的切向量.事实上，按定义有 0()(())|t d u x tu x dt ξξ==+ 2201[(2()),,(2()),()1]1()t d x tu x x tu x x tu x dt x tu x =⎧⎫⎪⎪=⋅+++-⎨⎬++⎪⎪⎩⎭ {22121221(1)[2(),,2(),2,()][2,,2,1]2()[1]n x u x u x x u x x x x x u x x =+⋅--++ 由于()u x 连续依赖于x ，而x 连续依赖于ξ，可见()u ξ连续依赖于n S ξ-∈.此外，{}22222221(),(1)[4,()(1)2,()][4(1)]2,()[1]u x x u x x x u x x x x u x x ξξ=+⋅+--+-+ {2222221(1)2,()(1)2,()[1]0x x u x x x u x x =+-++=可见，u 是n S -上的连续切向量场.最后，还应指出μ在n S -上处处不为零，因为()0μξ=蕴涵,()0x u x =，从而有推出所有的()0i x μ=，与假设矛盾.只要当1n x S -∈时，(),()x x u x x ξ==所以()(0,,0,1)μξ=指向正北.同样，如果我们利用南极投影和向量场u 我们将得到北半球{}1|0n n n S x S x ++=∈≥上的处处不为零的连续向量场μ，但是在赤道1n S -上这个向量场指向正南.为了得到整个球面n S 上的连续向量场，我们利用向量场u -，这样18相应的向量场μ在赤道1n S -上也指向正北.与南半球上的向量场一致.这样一来，我们从所给的向量场u 构造出在整个上处处不为零的连续向量场μ.2.3.6 Brouwer 不动点定理定理3.把n 球体映入自身的任何连续映象f 至少有一个不动点，即存在n x B ∈，使()f x x =证明：假若不然，对任何n x B ∈，()f x x ≠.命1,(),1n x x u x x y x B x y-=-∈-- 其中()x f x =显然，当1n x S -∈时，()u x x =； ()u x 连续依赖于x ，因为,1x y ≠.此外，u 在n B 上处处不为零，因为()0u x =蕴涵,x x x y y x x y --=-或,,x x x x y y x x y +=+ 所以,,,,,,x x x x y x y x x x x y +=+ 即 ,,x x y x =由此再据()0u x =即得y x =于是，u 是n B 上处处不为零的连续向量场.使得1n x S -∈时，()u x x =.据F ，可以由此构造n S 上处处不为零的连续切向量场μ.据定理2，当是偶数时是不可能的.因此，我们证明了当n 是偶数时的Brouwer 定理.奇数的情形则由偶数的情形立即推出.事实上，如果2121:k k f B B --→没有不动点，那么22:k k F B B →也没有不动点，这里12121(,,)((,,),0)k k F x x f x x -=.参考文献[1] 江泽涵，拓扑学引论（第二分册）[M].1965年，上海科技出版社，126.[2] 中国科学院数学研究所，《对策论（博弈论）》[M].1965年，人民教育出版社，1960.[3] V.Guillemin，A.Pollack,Differential Topology,Prentice-Hall,Inc.1974.[4] nor. Analytic proofs of the"Hainy Ball Theorem"and the Brouwer Fixed Point Theorem[M]. 1978年，521—524.[5] 王树禾，图论（第二版）[M].2009年，科技出版社，15.[6] 熊金城，点集拓扑讲义（第三版）[M].2003年，高等教育出版社，251.[7] 燕子宗，杜乐乐，刘永明,Brouwer不动点定理的初等证明[J].长江大学学报，2008，5(1)，15-17.[8] 岳崇山，用组合发证明三维情况的Brouwer不动点定理 [J].数学学报，1962，No.7，p.33.[9] 江上欧，压缩映象原理的产生与应用，河北北方学院学报，2006，6(1)，3-6.[10] J.Dieudonne,Elements d’Analyse,I.fondements de l’Analyse moderme Ganthier-Villars,1972.19致谢回首既往，自己一生最宝贵的时光能于这样的校园之中，能在众多学富五车、才华横溢的老师们的熏陶下度过，实是荣幸之极.在这四年的时间里，我在学习上和思想上都受益非浅.这除了自身努力外，与各位老师、同学和朋友的关心、支持和鼓励是分不开的.论文的写作是枯燥艰辛而又富有挑战的.老师的谆谆诱导、同学的出谋划策及家长的支持鼓励，是我坚持完成论文的动力源泉.在此，我特别要感谢我的论文指导老师刘永平老师.从论文的选题、文献的采集、框架的设计、结构的布局到最终的论文定稿，从内容到格式，从标题到标点，她都费尽心血.没有刘老师的辛勤栽培、孜孜教诲，就没有我论文的顺利完成.在此我还要感谢和我一起学习和生活的同学，与他们的交流使我受益颇多.最后要感谢我的家人以及我的朋友们对我的理解、支持、鼓励和帮助，正是因为有了他们，我所做的一切才更有意义；也正是因为有了他们，我才有了追求进步的勇气和信心.这也将是我克服困难、不断前进的精神动力.郝斌斌2011年4月于兰州城市学院20。
不动点定理研究
前言不动点理论的研究兴起于20世纪初,荷兰数学家布劳维在1909年创立了不动点理论[1]．在此基础上，不动点定理有了进一步的发展，并产生了用迭代法求不动点的迭代思想．美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论，称为莱布尼茨不动点理论[2]．1927年，丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题，并提出了尼尔森数的概念[3]．我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形，并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理[4]．最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Bananch)[6]，他于1922年提出的压缩映像（俗称收缩映射）原理发展了迭代思想，并给出了Banach不动点定理[6]．这一定理有着及其广泛的应用，像代数方程、微分方程、许多着名的数学家为不动点理论的证明及应用作出了贡献.例如，荷兰数学家布劳威尔在1910年发表的《关于流形的映射》[2]一文中就证明了经典的不动点定理的一维形式.即,设连续函数()fx()fx把单位闭区间[0,1]映到[0,1][0,1]中，则有0[0,1]x，使00()fxx.波利亚曾经说过：“在问题解决中，如果你不能解答所提的问题，那么就去考虑一个适当的与之相关联的辅助问题”.“不动点”就是一个有效的可供选择的辅助问题。
作为Brouwer不动点定理从有限维到无穷维空间的推广，1927年Schauder 证明了下面不动点定理，我们称其为Sehauder不动点定理I：定理2设E是Banach 空间，X为E中非空紧凸集，XXf:是连续自映射，则f在X中必有不动点.Sehauder 不动点定理的另一表述形式是将映射的条件加强为紧映射(即对任意Xx，xf是紧的)，这时映射的定义域可不必是紧集，甚至不必是闭集。
1935年，Tyehonoff进一步将Sehauder不动点定理I推广到局部凸线性拓扑空间，得到了下面的不动点定理，我们称其为Tyehonoff不动点定理（吉洪诺夫不动点定理）。
brouwer不动点定理
brouwer不动点定理什么是不动点定理？当用户程序处于某个位置时，系统就会开始和停止执行。
如果用户不动，那么系统的运行状态也会发生改变；或者用户想要删除这个程序。
这就是不动点定理的真正含义。
当你的程序启动，因为某个地方没有启动，而返回了之前运行的时候的状态时，这个代码也属于这一类。
而在 brouwer函数中定义了一个不动点，定义如下：通过公式可以看出，这种方法是由一个函数定义了一个状态值不动点而不变的情形。
当然这只是在我们使用过程中出现的一些情况，但是这个定理本身也说明了如果它是在多个地方同时发生变化的话，那它们就不再成立了。
一、当用户处于某个位置时，系统就会开始和停止执行。
这个定理最早由 TheNumber. StatisticServices ()函数给出。
它是一个面向对象程序中执行时间窗口的函数，用于指示程序是否停止执行。
在 Brouwer中定义了一个函数名为RuleName和它所处位置。
在这个函数中，用户就是我们程序中处于位置的人的地址，这个地址是系统上给出给用户执行时间的集合（如果需要),同时执行不同对象执行期间不发生任何变动为该集合中其他所有对象提供服务时不变该集合中所有用户所执行操作所需的状态，包括任何状态变量。
这个函数返回一个 RUN函数执行。
我们可以把 RuleName和 Services两个函数在同一个内存中工作；其中 JavaScript用于控制多线程并发; Dockers用于模拟内存环境; JavaScript用于代码展示工具。
它还具有其它作用。
下面我们来看一下：代码如下：我们从上面不动点定理可以看出这一类程序在不定期会发生变化，比如用户离开原来的位置运行时状态值会发生改变，但是最终会返回到初始位置（如图);而用户离开原有当前位置时没有任何变化。
因此我们认为其是不动点定理：当用户处于当前位置时，系统就会自动开始和停止执行自己状态变化而不断变化的变量运行在系统指定位置中是这个意思是如果程序突然没有响应或者暂时停止了就会有很大影响；但我们可以从后面看到它不动点不变或者是直接被删除；但是仍然可以继续运行这个程序；然后再回来开始下一步执行！这个过程需要用到它自己！所以这里我们来看一个实例：假设我们有一个正在运行的软件，但他突然停止了所有工作状态。
brouwer 不动点定理
brouwer 不动点定理Brouwer不动点定理是数学分析中的一个重要定理，它由荷兰数学家L.E.J. Brouwer于1910年提出。
该定理在拓扑学、函数分析和经济学等领域具有广泛的应用。
它的核心思想是：对于一个连续变换的闭集，至少存在一个点在变换后不发生移动，即保持不动。
为了更好地理解Brouwer不动点定理，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设有一个地球仪，我们将地球仪放在桌子上，然后以任意方式移动地球仪，再将它放在桌子上，这个过程可以看作是一个连续变换。
根据Brouwer不动点定理，无论我们怎样移动地球仪，至少存在一个点在移动后保持不动，这个点就是地球仪的一个不动点。
在数学上，Brouwer不动点定理可以用更严谨的方式描述。
假设有一个从一个n维球面到自身的连续函数f(x)，其中x表示球面上的点。
根据Brouwer不动点定理，存在至少一个点x0，使得f(x0) = x0，即f(x0)保持不动。
要证明Brouwer不动点定理，需要使用拓扑学中的一些基本概念和定理。
首先，我们需要了解拓扑空间和连续映射的概念。
一个拓扑空间是一个集合，其中的元素被称为点，同时还有一些子集被称为开集，这些开集满足一定的性质。
一个连续映射是指在两个拓扑空间之间的映射，它将一个空间中的点映射到另一个空间中的点，并保持拓扑结构不变。
在这个基础上，我们可以引入Brouwer不动点定理的证明。
我们假设不存在不动点，即对于任意的x，f(x) ≠ x。
然后，我们构造一个函数g(x)，使得g(x) = f(x) - x。
根据我们的假设，g(x) ≠ 0。
接下来，我们考虑g(x)的零点集合Z = {x | g(x) = 0}。
由于g(x)是一个连续函数，Z是一个闭集。
根据定义，球面是一个紧致空间，因此Z也是一个紧致集合。
然后，我们需要使用反证法来推导出矛盾。
假设Z是一个非空集合，那么根据Brouwer分割定理，Z的补集是连通的。
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Brouwer不动点定理的几种证明学院名称：专业名称：学生姓名：指导教师：二○一一年五月摘要Brouwer不动点定理是很著名的定理.其中，关于它的证明很多有：代数拓扑的证明、组合拓扑的证明、微分拓扑的证明等.都涉及拓扑学上许多复杂的概念和结果.关于该定理，也可以用图论的方法证明，用离散离散理论解决连续系统中问题.本文试图在总结其他证明方法的基础上，对图论的方法证明Brouwer不动点定理进行详细的介绍来体现这一思想.关键词：Brouwer；不动点.ABSTRACTBrouwer fixed point theorem is very famous theorem . Among them , about its proof many : algebra topologies, proof of the proof, differential combined topology etc. The proof of topological Involves many complex on the concept of limited and results.About this theorem, also can use graph method to prove, in a discrete discrete theory in solving continuous system. This article tries to summarize the other proof method based on the method of graph theory prove Brouwer fixed point theorem for detailed introduction to reflect this thought.Keywords: Brouwer; Fixed point.目录第一章引言 (1)1.1 研究背景 (1)1.2 本课题的研究内容 (1)第二章 Brouwer不动点定理的证明 (2)2.1 Brouwer不动点定理的图论证明 (2)引理2.1.1（sperner，1982） (3)定理2.1.2 (Brouwer) (3)2.2 Brouwer不动点定理的初等证明 (5)2.2.1 基本概念与引理 (5)定理2.2.2.1(Banach不动点定理) (5)定理2.2.2.2(KKM定理) (5)2.2.3 Brouwer不动点定理的证明 (7)定理2.2.3.2 (FKKM定理) (7)定理2.2.3.5(Brouwer不动点定理) (8)2.3 Brouwer不动点定理的nor分析证明 (9)2.3.6 Brouwer不动点定理 (18)参考文献 (19)致谢 (20)第一章引言1.1 研究背景Brouwer不动点定理是非线性分析和拓扑学中的重要基本定理，它的叙述简洁，应用广泛，但证明却很不简单.不论是代数拓扑的证明[1]，还是组合拓扑的证明[2]，以及微分拓扑的证明[3]，都涉及拓扑学上许多复杂的概念和结果.1978年著名的微分拓扑学家nor给出了一中新证明[4]，只用到多变量微分学的知识和某些基本分析定理.关于该定理，也可以用图论的方法证明，这种离散理论解决连续系统中问题的思想，对我们也给了很大的启示.本文试图在总结其他证明方法的基础上，对图论的方法证明Brouwer不动点定理进行详细的介绍.1.2 本课题的研究内容整理Brouwer不动点定理的初等、图论方面的证明和nor给出的用多变量微分学和某些基本分析定理的新证明.详细介绍Brouwer不动点定理的图论方法证明，体现离散理论解决连续系统中问题的思想.12第二章 Brouwer 不动点定理的证明2.1 Brouwer 不动点定理的图论证明Brouwer 不动点定理：若2∆表示平面上一个三角形区域围成的闭区域，f 是2∆到自身的连续映射，则f 至少有一个不动点，即存在一点20p ∈∆，使得00()f p p =.首先把2∆剖分成若干小三角形区域，即221m i i δ=∆=，221,n ij i ji j mδδ≠≤≤的面积为零.把2∆的三个顶点分别标志位0,1,2.每个2i δ的顶也用{0,1,2}中的数标志.若2i δ的顶i p 在2∆上的边上，且2∆的这条边端点之标号为k 与m ，2i δ的顶也标成k 与m ，称这些标志位正常标志，在正常标志中小三角形2i δ的三顶分别标志0,1,2时，称2i δ为正常三角形，见图a.2∆的这种标志的剖分称为三角剖分.1图 2.1v v 1v 59v 10v 11图 2.23引理2.1.1（sperner ，1982）在2∆的三角剖分中，正常三角形为奇数个.证：记20δ为2∆的外部区域，22212,,...,m δδδ是2∆进行三角剖分得到三角形子区域.以{}22212,,...,m δδδ为顶集造一个图G ，对于i 与j 接非零的情形，仅当2i δ与2j δ有公共边具此边端点标志为0与1时，才在此二顶间连一边，对20δ与2(0)i i δ≠的情形，仅当2i δ的0-1标志的边落在2∆的0-1标志的边上时，在顶20δ与2i δ间连一边，见图b.由于上述图G 中奇次项的个数是偶数，如果20()d δ是奇数，则22212(),(),...,()m d d d δδδ中奇数个奇次项，又2()3,1,2,...,i d i m δ<=.故22212,,...,m δδδ中的奇次项是一次项.而仅当2i δ是正常三角形时，2()1i d δ=，所以正常三角形有奇数个.下证20()d δ是奇数.事实上，20()d δ是2∆上0-1边上以0与1为端点的小区间的个数.当的这条0-1边之内点为任何小三角形之顶时，，是奇数.当的这条边内有小三角形之顶时，由于标志是正常的，的则这种小三角形在的这条0-1边上之端点标志位0或1.这时又有两种情况，（i ）在这条0-1边上的小三角形顶皆标志0或皆标志1，则，（ii ）在2∆这条0-1边上的小三角形之顶点标0与标1都有时，我们把端点标号一样的小区间收缩成一点，标号不变，则f 的这条0-1边上的标号序列为0-1交错列010101…01，这里出现奇数个以0，1为端点的小区间，故20()d δ为奇数.证毕. 定理2.1.2 (Brouwer)f 是2∆到自己的连续映射，则存在'20p ∈∆，使''00()f p p =. 证：012,,p p p 是2∆的三个顶点，则对任意2p ∈∆，可以写成001122p a p a p a p =++，则0i a ≥，201i i a ==∑，其中的012,,,p p p p 是二维向量，且012(,,)p a a a =，'''012()(,,)f p a a a =.令{}2'012012(,,)|(,,),,0,1,2i i i S a a a a a a a a i =∈∆≥=. 如果能证出 012S S S φ≠，则存在012012(,,)a a a S S S ∈，且',0,1,2ii a a i ≤=；又22'01i i i i a a ====∑∑，故必有'''001122,,a a a a a a ===，即f 有不动点. 下证2i i S φ=≠.事实上，考虑2∆的正常标志的三角形剖分，使得标志i 的每个顶点属于,0,1,2i S i =.2∆上任意一点'''012012(,,),()(,,)p a a a f p a a a ==时，存在一个i S ，使i p S ∈，且0i a >；否则当每个0i a >时，'ii a a >.于是22'00ii i i a a ==>∑∑，矛盾.若一个三4角形顶点i p S ∈且0i a >时，p 标志以i ，这种标志是正常标志，例如2∆的顶点(0,1,2)i p i =有1i a =，故i i p S ∈，标成i ；在2∆的01p p 边上各点的20a =，我们只能把这边上的点标以0或1；02p p 边上的点同理只能标志0或2；12p p 上的点只能标志1或2，故正常标志.由引理知，至少有一个正常三角形，其中顶点分别属于012,,S S S .我们是剖分无限变密，且小三角形中的最大直径足够小，则有分别在012,,S S S 中的三个点，两两相距可以任意小，又f 是连续的，故012,,S S S 是闭集.于是，012S S S φ≠.证毕.52.2 Brouwer 不动点定理的初等证明2.2.1 基本概念与引理定义2.2.1.1 设E 是一线性空间，其一切子集构成的集族记为2E .子集A E ⊂称为有限闭的，若它与每一有限维平面L E ⊂的交按L 上的Eucild 拓扑是闭的；一个集族{}A λλσ∈称为有限交性质，如果它的每一有限子集的交不空.定义2.2.1.2 设E 是一线性空间，X 是E 上的任意子集，称:2E G X →是一个KKM 映像，如果对任何有限子集{}12,,...mx x xX ⊂，有：{}121,,...()m mi i x x x G x =∞⊂引理2.2.1.3 设集合n X R ⊂非空，则距离函数()inf y Xd x x y ∈=-是Lipschitz的，即有：()()d x d y x y -≤- ,n x y R ∀∈2.2.2 利用Banach 不动点定理证明KKM 定理 定理2.2.2.1(Banach 不动点定理)有限维空间中有界闭凸集上的连续自映射必有不动点． 定理2.2.2.2(KKM 定理)设E 是一线性空间，X 是E 的子集，:2E G X →是一KKM 映像.如果对于任何x X ∈，()G x 是有限闭的，则集族{}()|G x x X ∈具有有限交性质.证: 反证法.假设存在{}12,,...mx x xX ⊂使得1()m i i G x φ==.设L 是由{}12,,...mx x x 张成的有限维平面，d 是上的Eucild 的度量.令{}12,,...mD co x x x =，则D L ⊂.由假定每个1,2,...,()i i m L G x =在L 中闭，故(,())0i d x L G x =的充分必要条件是()i x LG x ∈.定义函数： 1()(,())mi i x d x L G x λ==∑由于1()mii G x φ==，故对于每一x D ∈，()0x λ>.由引理1知：6()()x y n x y λλ-≤- ,x y D ∀∈不妨设D 包含原点，否则用11m ii D x m =-∑代替D 即可.令：11()(,())()mi i i f x d x L G x x t x λ==∑ x D ∀∈ 式中，1t >是待定参数.则:f D D →连续，且对任意,x y D ∈，有：1111()()(,())(,())()()mmiii i i i f y f x d y L G x x d x L G x x t y t x λλ==-≤-∑∑1111(,())(,())()()m miii i i i d y LG x x d x LG x x t y t y λλ==≤-∑∑1111(,())(,())()()mmiii i i i d x L G x x d x L G x x t y t x λλ==+-∑∑下面对式(3)右端两项分别进行估计.首先由引理1．对任意,x y D ∈，有：1111(,())(,())()()mmiii i i i d y L G x x d x LG x x t y t y λλ==-∑∑11()()mi i x x y t y λ=≤-∑ 其次根据式(2)，对任意,x y D ∈，有：1111(,())(,())()()mmiii i i i d x L G x x d x L G x x t y t x λλ==-∑∑11(,())()()()()mi i i d x L G x x x y t x y λλλλ=≤-∑1((,()))()()mi i i n d x L G x x x y t x y λλ=≤-∑综合式(3)、(4)、(5)知：(,)()()h x y f y f x x y t-≤-7式中，111(,)(,())()()()m mi i i i i nh x y x d x L G x x y x y λλλ===+∑∑.在有界闭集D D⨯上连续，因此有最大值M .取足够大的{}max ,1t M ≥，则，f 构成D 上的一个压缩映射.由Banach 不动点定理知道，，有一不动点x D ∈.令{}{}|(,())0,1,2,...i I i d x LG x i m -=>∈则()ii Ix G x -∈∉.另外:11()(,())()mi i i x f x d x L G x x t x λ---===∑{}1(,())|()()i i i i i Ii Id x LG x x x i I G x t x λ--∈∈=∈∞∈⊂∑导致了矛盾.故定理2成立.2.2.3 Brouwer 不动点定理的证明引理2.2.3.1 设集族{}A λλσ∈是n R 中的非空闭集合，其中一个有界，具有有限交性质，则该集族看非空交.证明:反证法.假设A λλσφ∈=，则它的余集为全空间，即()n CA C A R λλλσλσ∈∈==即开集CA λ.的并覆盖全空间，当然也覆盖集族中的有界闭集.由有限覆盖定理知，存在有限个开集12,,...,m CA CA CA .覆盖住0A ，即：012m A CA CA CA ⊂从而：012m CA A A A ⊃，即：012()m A A A A φ= 这与假设相矛盾，从而引理2成立.定理2.2.3.2 (FKKM 定理)设X 是n R 中的非空紧凸集，:n G X R →是闭值的KKM 映射，且存在一点0x 使0()G x 有界，则集族{}()|G x x X ∈有非空交.证明 ：根据定理2知集族{}()|G x x X ∈具有有限交性质，于是根据引理2知定理3成立.引理2.2.3.3. 设X 是n R 中的非空紧凸集，映射:n G X R →连续，则至少存8在一点y X -∈使得：()inf ()x Xy G y x G y ---∈-=-引理2.2.3.4. 设X 是n R 中的非空紧凸集，映射:n G X R →连续.若对于X 中每一满足()x G x ≠的点x ，连结x 和()G x 的线段[],()x G x 至少包含X 中2点.则G 在X 中有不动点.定理2.2.3.5(Brouwer 不动点定理)设:n n G D R R ⊂→是闭集D 上的压缩映像，()G D D ⊂，则对任意0x D ∈，迭代序列：1()k k x G x += 0,1,...k =存在唯一的极限点.证明:由引理2.2.3.3，2.2.3.4可知Brouwer 不动点定理2.2.3.5成立.92.3 Brouwer 不动点定理的nor 分析证明2.3.1 考虑所有实数n 元组的集合1{{,...,}|(1)}n n i E x x x x i n ==≤≤是实数，在n E 上引进三种线性运算之后,{,,,,}n n R E =+⋅<>就称为n 维欧式空间，其中1(,...,)n x x x =称为n R 的点或向量，诸i x 称为点x 的坐标或向量x 的分量；向量(,...,)i n x x x =和(,...,)i n y y y =相加，结果是一个向量，定义为11(,...,)n n x y x y x y +=++ 实数α和向量x 相乘，结果是一个向量，定义为1,...,)(n x x x ααα=向量x 和y 的内积是一个实数，定义为 1,ni ii x y x y =〈〉=∑于是，向量的长度定义为x ==向量x 和y 的之间的距离就是x y -=由于对任何α有2,,2,,0x y x y x x x y y y αααα〈++〉=〈〉+〈〉+〈〉≥ 所以判别式2,,,0x y x x y y 〈〉-〈〉〈〉≤ 即是对任何x 和y n R ∈有Canchy By -∏不等式 |,|x y x y 〈〉≤⋅10等式成立的充要条件是：相差一个常数因子.因此我们可以定义的夹角,x y 〈〉︿的余弦为cos ,x y 〈〉︿,x y x y〈〉⋅＝显然，,cos x y 〈〉≤︿１｜｜；x 和y 相差正数因子时，,cos x y 〈〉≤︿１｜；相差负数因子时，,cos x y 〈〉=-︿１｜｜；此外由于222,x y x y x y -=+-〈〉２22,cos x y x y x y +-〈〉⋅︿＝２与通常的余弦定律一致，所以,cos x y 〈〉︿的定义是合理的.从而，向量x 和y 正交定义为， ,x y 〈〉︿＝０.向量x 可以用从原点到点x 的有向线段来表示，也可以平行移动到任何位置，只依赖于方向和长度.因此，在图示中，两个向量相加可以用平行四边形法则，也可以用三角形法则.图 2.3(a) 图 2.3(b)2.3.2 命*I 是n R 中的一个区域.如果对任何向量*x I ∈，都相应的地有一个向量()n y x R ∈，就说y 是把*I 映入n R 的一个映像（变换）.如果()y x 的诸分量1(,...,)(1)i n y x x i n ≤≤是1(,...,)n x x 的连续函数，就说y 是连续向量场.注意，在说到连续可微时，总是指函数对各个变元的一阶偏导数在包含*I 的一个n 维开领域中处处存在且连续.引理2.3.2.1 命*I 是有界闭域，v 是*I 上的连续可微向量场.于是存在Lipchitz 常数c ，使得*()(),,v x v y c x y x y I -≤-∈证明，由于v 是*I 上的连续，所以对任何*I ξ∈，存在()0δξ>，使得v 在方体 (,()){|||()(1)}n i i I x R x i n ξδξξδξ=∈-<≤≤11处处连续可微，命 *(,())sup ||iij x I jI v c x ξδξξ∈∈∂=∂ 于是，根据微分中值定理，对任何,(,())x y I ξδξ∈有22()()|(,...,)(,...,)|i n i n iv x v y v x x v y y -≤-∑1222{|(,...,)(,,...,)|i n i n iv x x x v y x x ≤-+∑1212|(,...,)(,,...,)|i n i n v y x x v y y x -+ .........1212|(,...,)(,,...,)|}i n i n v y y x v y x x -,,||ij i i ij i ji jc x y c x y ≤-≤-∑∑今证存在0δ>，不依赖于*I ξ∈，使得对任何,(,())x y I ξδξ∈，上述吧不等式成立.否则，对任何正整数p ，存在*p I ξ∈以及1,(,)p p p x y I pξ∈，使得()()p p ij p p ijx x v y c x y -≤-∑由于*I 是有界闭集，根据Bolzano-Weierstrass 定理，可设*p I ξξ→∈，从而，,p p x y ξ→.于是，当p 充分大时，,(,())p p x y I ξδξ∈，所以，()()p p ij p p ijv x v y c x y -≤-∑矛盾.这样一来，如果命 *,()()sup x y I M v x v y ∈=- ,max{,}ij i jMc c δ=∑则对任何*,x y I ∈有()()v x v y c x y -≤-引理2.3.2.2 命*I 是有界闭域，v 是*I 上的连续可微向量场.命u ：*n I R →是一个变换，定义为*()(),u x x t v x x I =+⋅∈ 于是，当||t 充分小时，u 是把*I 变成区域*()u I 的一一变换，区域*()u I 的体积可以表示为t 的多项式.证明：据引理1，设是的Lipschitz 常数.于是，当1||t c<时，变换u 是一一的.因为，若x y ≠而()()v x u y =，则由(()())x y t v y v x -=- 推出||x y t c x y x y -≤-<-，矛盾. 其次，由于所以的Jacobi 行列式是12,,()[]1,0,ii j ji jv J u tx i j i jδδ∂=+∂=⎧=⎨≠⎩因而可以表为的多项式：1()1()()n n J u a x t a x t =+++其中诸()i a x t 显然是的连续函数.注意，当0t =时，这个行列式之值为1，所以只要||t 充分小，则()J u 恒为正.于是，则反函数定理，当||t 充分小时，u 是把区域*I 变成区域*()u I 的一一连续可微变换，它的逆变换也是连续可微的.因此，按照体积的积分定义以及n 重积分的换元法则，区域的体积可以表示为**1()(())n u I vol u I du du =⎰⎰*12()I J u dx dx =⎰⎰01n n a a t a t =+++其中 **1()i i n I a a x dx dx =⎰⎰*0,1,,,1i n a ==,nc k 中的1n -维单位球面定义为 1{|1}n n S x h x -=∈= 命v 是1n S -上的向量场.如果对任何1n x S -∈都有,()0x v x =，就说v 是1n S -上的向量场.今设v 是1n S -上的连续可微的单位切向量场，即是对任何1n x S -∈有()1v x =. 考虑区域图 2.4*13{|}22n I x k x =∈≤≤13命*()(),xv x x v x I x=∈ 于是，v 被扩充为*I 上的连续可微的切向量. 再考虑变换*:n u I k → *()(),u x x tv x x I =+∈ 由于()u x ==可见变换u 把半径为13()22r r ≤≤的球面1(){|}n n S r x R x r -=∈=变到半径为的球面1(n S -上.引理2.3.2.3 当t 充分小时，变换u 把1()n S r -变成1(n S -证明：设11,3t t c<<，其中c 是在上的Lipschitz 常数.对于任何固定的10(n u S -∈命*()(),w x tv x x I =∈ 由于1()2tv x t x =⋅<， 所以13()()()22tv x w x tv x <-≤≤< 此外， ()()()()w x w y t v x v y t c x y -=⋅-≤⋅⋅-而1t c ⋅<，可见w 是把欧氏空间的闭集映入自身的压缩映像，据压缩映像原理，有唯一的原动点00()x w x =，即00()x tv x =+，所以1x =000()u tv ξξ=+，其中100n x S ξ-=∈.这就证明了对任何10(n u S -∈，存在唯一的10n S ξ-∈，使得00()u u ξ=14图 2.52.3.3 现在让我们对半径为r 的n 维球体(){|}n n B r x R x r =∈≤的体积给出一个计算公式(())n n n vol B r c r =其中 111312,2221322,23n nn n n cn n n c n n c n n n π----⎧⎪⎪-=⎨--⎪⎪-⎩为偶数为奇数 事实上，例如12342,,3c c c ππ===，按归纳法有10(())2[rn n n vol B r vol B dx -=⎰ 221012()2rn n n n c r x dx --=-⎰ 2102cos nn n c r d πθθ-=⎰算出上述积分，就得到所要的结果.图 2.6152.3.4 现在我们问：球面1n S -上是否存在连续可微的单位切向量？这个问题的回答有些古怪.如果1n -是奇数，回答是肯定的，事实上我们可以给出所要的向量，例如121321()(,,,),n n n v x x x x x x x x S --=---∈但是，如果1n -是偶数，回答则是否定的定理1.偶数维球面上不存在连续可微的单位切向量场.证明：假若不然，当n 是奇数时，若1n S -上存在连续可微的单位切向量场v ，则据引理3，变换()()u x x tv x =+当t 充分小时把区域*13{|}22n I x R x =∈≤≤变成区域*(){n u I x R x =∈≤≤，所以*()u I 的体积是*(())[[n n vol u I vol B vol B =-31[()()22n n n n c =-*()n vol I =由于n 是奇数，这个体积不可能是t 的多项式，因而和引理2的结果矛盾. 定理1还可以稍加推广如下.定理2.偶数维球面上不存在处处不为零的连续向量场.证明：假若不然，命v 是1n S -上处处不为零的连续向量场， 1()n x Sm Min v x -∈=.于是0m >.据Weierstrass 逼近定理[8]，中有界闭集上的连续函数可以用多项式函数均匀逼近，所以存在一个多项式映像1:n n p S R -→，即诸()i p x 都是1(,,)n x x 的多项式，图 2.716使得 1()(),n p x v x m x S --<∈ ， 命 1()()(),,n u x p x p x x x x S -=-∈即 1()()()n i i j j i j u x p x p x x x =⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑ 显然，上的联讯可微向量场，此外，21(),(),(),0,n u x x p x x p x x x x S -=-=∈所以u 是1n S -上的切向量场，最后，()0u x =蕴涵()(),p x p x x x =， 所以(),()0p x v x =,()()p x v x m -=>矛盾，从而u 在1n S -上处处不为零.因此()()()u x w x u x =就是1n S -上连续可微的单位切向量场.但是，如果1n -是偶数，定理1说，这是不可能的.例.地球表面的风的分布可以视为向量场，向量的长度和方向分别表示在该点的风力和风向.风力的分布当然是连续的，所以这个定理说，地球表面上总有一处是完全无风的.2.3.5 现在介绍一种方法，怎么样从维球体傻瓜的向量场构造出维球面上的切向量场.考虑1n k +，设111{|0}{|1}{|1}n n n n n n n k x k x S x k x B x k x +++=∈==∈==∈≤图 2.8n B 的边界球面1{|1}n n S x k x -=∈=是n S 的赤道.假设给了n B 上一个处处不为零的连续向量场u ，使得1n x S -∈时，()u x x =.首先，利用北极投影把n B 映成南半17球1{|0}n n n S x S x -+=∈≤，奇数对任何n x B ∈，从北极(0,0,1)N 到1(,,0)n x x x 的连线与n S 的交点ξ就是所要的对应点.容易验证，北极投影的确定义是2121()(2,,2,1),1n n x x x x x B x ξ=-∈+ 他的递变是111()(,,,0),1n n n x S ξξξξξ-+=∈-显然，这两个变换都是连续可微的.对于任何固定的n x B ∈， n k 中的直线()x tu x + ()t a <经过北极投影变成n S 上的球面曲线(())x tu x ξ+ （注意，北极投影显然对整个n k 上的点都有定义，不过n k 中不属于的点背变到北半球上罢了）.我们来证明：这条曲线在0t ≤时速度向量()u ξ是n S -在ξ处的切向量.事实上，按定义有 0()(())|t d u x tu x dt ξξ==+ 2201[(2()),,(2()),()1]1()t d x tu x x tu x x tu x dt x tu x =⎧⎫⎪⎪=⋅+++-⎨⎬++⎪⎪⎩⎭ {22121221(1)[2(),,2(),2,()][2,,2,1]2()[1]n x u x u x x u x x x x x u x x =+⋅--++ 由于()u x 连续依赖于x ，而x 连续依赖于ξ，可见()u ξ连续依赖于n S ξ-∈.此外，{}22222221(),(1)[4,()(1)2,()][4(1)]2,()[1]u x x u x x x u x x x x u x x ξξ=+⋅+--+-+ {2222221(1)2,()(1)2,()[1]0x x u x x x u x x =+-++=可见，u 是n S -上的连续切向量场.最后，还应指出μ在n S -上处处不为零，因为()0μξ=蕴涵,()0x u x =，从而有推出所有的()0i x μ=，与假设矛盾.只要当1n x S -∈时，(),()x x u x x ξ==所以()(0,,0,1)μξ=指向正北.同样，如果我们利用南极投影和向量场u 我们将得到北半球{}1|0n n n S x S x ++=∈≥上的处处不为零的连续向量场μ，但是在赤道1n S -上这个向量场指向正南.为了得到整个球面n S 上的连续向量场，我们利用向量场u -，这样18相应的向量场μ在赤道1n S -上也指向正北.与南半球上的向量场一致.这样一来，我们从所给的向量场u 构造出在整个上处处不为零的连续向量场μ.2.3.6 Brouwer 不动点定理定理3.把n 球体映入自身的任何连续映象f 至少有一个不动点，即存在n x B ∈，使()f x x =证明：假若不然，对任何n x B ∈，()f x x ≠.命1,(),1n x x u x x y x B x y-=-∈-- 其中()x f x =显然，当1n x S -∈时，()u x x =； ()u x 连续依赖于x ，因为,1x y ≠.此外，u 在n B 上处处不为零，因为()0u x =蕴涵,x x x y y x x y --=-或,,x x x x y y x x y +=+ 所以,,,,,,x x x x y x y x x x x y +=+ 即 ,,x x y x =由此再据()0u x =即得y x =于是，u 是n B 上处处不为零的连续向量场.使得1n x S -∈时，()u x x =.据F ，可以由此构造n S 上处处不为零的连续切向量场μ.据定理2，当是偶数时是不可能的.因此，我们证明了当n 是偶数时的Brouwer 定理.奇数的情形则由偶数的情形立即推出.事实上，如果2121:k k f B B --→没有不动点，那么22:k k F B B →也没有不动点，这里12121(,,)((,,),0)k k F x x f x x -=.参考文献[1] 江泽涵，拓扑学引论（第二分册）[M].1965年，上海科技出版社，126.[2] 中国科学院数学研究所，《对策论（博弈论）》[M].1965年，人民教育出版社，1960.[3] V.Guillemin，A.Pollack,Differential Topology,Prentice-Hall,Inc.1974.[4] nor. Analytic proofs of the"Hainy Ball Theorem"and the Brouwer Fixed Point Theorem[M]. 1978年，521—524.[5] 王树禾，图论（第二版）[M].2009年，科技出版社，15.[6] 熊金城，点集拓扑讲义（第三版）[M].2003年，高等教育出版社，251.[7] 燕子宗，杜乐乐，刘永明,Brouwer不动点定理的初等证明[J].长江大学学报，2008，5(1)，15-17.[8] 岳崇山，用组合发证明三维情况的Brouwer不动点定理 [J].数学学报，1962，No.7，p.33.[9] 江上欧，压缩映象原理的产生与应用，河北北方学院学报，2006，6(1)，3-6.[10] J.Dieudonne,Elements d’Analyse,I.fondements de l’Analyse moderme Ganthier-Villars,1972.19致谢回首既往，自己一生最宝贵的时光能于这样的校园之中，能在众多学富五车、才华横溢的老师们的熏陶下度过，实是荣幸之极.在这四年的时间里，我在学习上和思想上都受益非浅.这除了自身努力外，与各位老师、同学和朋友的关心、支持和鼓励是分不开的.论文的写作是枯燥艰辛而又富有挑战的.老师的谆谆诱导、同学的出谋划策及家长的支持鼓励，是我坚持完成论文的动力源泉.在此，我特别要感谢我的论文指导老师刘永平老师.从论文的选题、文献的采集、框架的设计、结构的布局到最终的论文定稿，从内容到格式，从标题到标点，她都费尽心血.没有刘老师的辛勤栽培、孜孜教诲，就没有我论文的顺利完成.在此我还要感谢和我一起学习和生活的同学，与他们的交流使我受益颇多.最后要感谢我的家人以及我的朋友们对我的理解、支持、鼓励和帮助，正是因为有了他们，我所做的一切才更有意义；也正是因为有了他们，我才有了追求进步的勇气和信心.这也将是我克服困难、不断前进的精神动力.郝斌斌2011年4月于兰州城市学院20。